Hvis du trenger å heve et spesifikt tall til en potens, kan du bruke . Nå skal vi se nærmere på egenskaper til grader.

Eksponentielle tallåpner opp for store muligheter, de lar oss transformere multiplikasjon til addisjon, og addering er mye enklere enn å multiplisere.

For eksempel må vi multiplisere 16 med 64. Produktet av å multiplisere disse to tallene er 1024. Men 16 er 4x4, og 64 er 4x4x4. Det vil si 16 x 64 = 4x4x4x4x4, som også er lik 1024.

Tallet 16 kan også representeres som 2x2x2x2, og 64 som 2x2x2x2x2x2, og hvis vi multipliserer, får vi igjen 1024.

La oss nå bruke regelen. 16=4 2, eller 2 4, 64=4 3 eller 2 6, samtidig 1024=6 4 =4 5, eller 2 10.

Derfor kan oppgaven vår skrives annerledes: 4 2 x4 3 =4 5 eller 2 4 x2 6 =2 10, og hver gang får vi 1024.

Vi kan løse en rekke lignende eksempler og se at multiplisering av tall med potenser reduserer til legge til eksponenter, eller eksponentiell, selvfølgelig, forutsatt at basene til faktorene er like.

Dermed, uten å utføre multiplikasjon, kan vi umiddelbart si at 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20.

Denne regelen gjelder også når du deler tall med potenser, men i dette tilfellet eksponenten til divisoren trekkes fra eksponenten for utbyttet. Dermed 2 5:2 3 =2 2, som er vanlige tall tilsvarer 32:8=4, det vil si 2 2. La oss oppsummere:

a m x a n =a m+n, a m: a n =a m-n, hvor m og n er heltall.

Ved første øyekast kan det se ut til at dette er multiplisere og dele tall med potenser ikke veldig praktisk, fordi først må du representere tallet i eksponentiell form. Det er ikke vanskelig å representere tallene 8 og 16, det vil si 2 3 og 2 4, i denne formen, men hvordan gjør man dette med tallene 7 og 17? Eller hva du skal gjøre i tilfeller der et tall kan representeres i eksponentiell form, men grunnlaget for eksponentielle uttrykk for tall er svært forskjellige. For eksempel er 8x9 2 3 x 3 2, i så fall kan vi ikke summere eksponentene. Verken 2 5 eller 3 5 er svaret, og svaret ligger heller ikke i intervallet mellom disse to tallene.

Så er det i det hele tatt verdt å bry seg med denne metoden? Absolutt verdt det. Det gir enorme fordeler, spesielt for komplekse og tidkrevende beregninger.

Addisjon og subtraksjon av potenser

Det er åpenbart at tall med potenser kan legges til som andre størrelser , ved å legge dem etter hverandre med deres tegn.

Så summen av a 3 og b 2 er a 3 + b 2.
Summen av a 3 - b n og h 5 -d 4 er a 3 - b n + h 5 - d 4.

Odds like potenser av identiske variabler kan legges til eller trekkes fra.

Så summen av 2a 2 og 3a 2 er lik 5a 2.

Det er også åpenbart at hvis du tar to ruter a, eller tre ruter a, eller fem ruter a.

Men grader ulike variabler Og ulike grader identiske variabler, må komponeres ved å legge dem til med deres tegn.

Så summen av en 2 og en 3 er summen av en 2 + en 3.

Det er åpenbart at kvadratet av a, og terningen av a, ikke er lik to ganger kvadratet av a, men to ganger terningen av a.

Summen av a 3 b n og 3a 5 b 6 er a 3 b n + 3a 5 b 6.

Subtraksjon krefter utføres på samme måte som addisjon, bortsett fra at tegnene til subtrahendene må endres tilsvarende.

Eller:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3t 2 b 6 — 4t 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Multiplisere potenser

Tall med potenser kan multipliseres, som andre størrelser, ved å skrive dem etter hverandre, med eller uten multiplikasjonstegn mellom dem.

Dermed er resultatet av å multiplisere a 3 med b 2 a 3 b 2 eller aaabb.

Eller:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Resultatet i det siste eksemplet kan bestilles ved å legge til identiske variabler.
Uttrykket vil ha formen: a 5 b 5 y 3.

Ved å sammenligne flere tall (variabler) med potenser, kan vi se at hvis to av dem multipliseres, så er resultatet et tall (variabel) med potens lik beløp grader av termer.

Så, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Her er 5 potensen til multiplikasjonsresultatet, som er lik 2 + 3, summen av potensene til leddene.

Så, a n.a m = a m+n.

For a n tas a som en faktor like mange ganger som potensen til n;

Og en m tas som en faktor like mange ganger som graden m er lik;

Derfor, potenser med samme grunntall kan multipliseres ved å legge til potensens eksponenter.

Så a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Og x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Eller:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multipliser (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Svar: x 4 - y 4.
Multipliser (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Denne regelen gjelder også for tall hvis eksponenter er negativ.

1. Altså a -2 .a -3 = a -5 . Dette kan skrives som (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n.y-m = y-n-m.

3. a -n .a m = a m-n .

Hvis a + b multipliseres med a - b, blir resultatet a 2 - b 2: altså

Resultatet av å multiplisere summen eller differansen av to tall lik summen eller forskjellen på rutene deres.

Hvis du multipliserer summen og differansen av to tall hevet til torget, vil resultatet være lik summen eller differansen av disse tallene i fjerde grader.

Så, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Inndeling av grader

Tall med potenser kan deles som andre tall, ved å trekke fra utbyttet, eller ved å plassere dem i brøkform.

Dermed er a 3 b 2 delt på b 2 lik a 3.

Å skrive en 5 delt på en 3 ser ut som $\frac $. Men dette er lik en 2 . I en rekke tall
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
et hvilket som helst tall kan deles på et annet, og eksponenten vil være lik forskjell indikatorer på delbare tall.

Når du deler grader med samme grunntall, trekkes eksponentene deres fra..

Så y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Det vil si $\frac = y$.

Og a n+1:a = a n+1-1 = a n . Det vil si $\frac = a^n$.

Eller:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Regelen gjelder også for tall med negativ verdier av grader.
Resultatet av å dele en -5 med en -3 er en -2.
Også $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 eller $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Det er nødvendig å mestre multiplikasjon og deling av potenser veldig godt, siden slike operasjoner er veldig mye brukt i algebra.

Eksempler på å løse eksempler med brøker som inneholder tall med potenser

1. Reduser eksponentene med $\frac $ Svar: $\frac $.

2. Reduser eksponenter med $\frac$. Svar: $\frac$ eller 2x.

3. Reduser eksponentene a 2 /a 3 og a -3 /a -4 og bring til en fellesnevner.
a 2 .a -4 er a -2 den første telleren.
a 3 .a -3 er a 0 = 1, den andre telleren.
a 3 .a -4 er en -1 , den vanlige telleren.
Etter forenkling: a -2 /a -1 og 1/a -1 .

4. Reduser eksponentene 2a 4 /5a 3 og 2 /a 4 og kom med til en fellesnevner.
Svar: 2a 3 /5a 7 og 5a 5 /5a 7 eller 2a 3 /5a 2 og 5/5a 2.

5. Multipliser (a 3 + b)/b 4 med (a - b)/3.

6. Multipliser (a 5 + 1)/x 2 med (b 2 - 1)/(x + a).

7. Multipliser b 4 /a -2 med h -3 /x og a n /y -3 .

8. Del a 4 /y 3 med a 3 /y 2 . Svar: a/y.

Gradens egenskaper

Vi minner om at i denne leksjonen ordner det opp egenskaper til grader med naturlige indikatorer og null. Potenser med rasjonelle eksponenter og deres egenskaper vil bli diskutert i leksjoner for 8. klasse.

En potens med naturlig eksponent har flere viktige egenskaper som gjør at vi kan forenkle beregninger i eksempler med potenser.

Eiendom nr. 1
Produkt av makter

Når potenser multipliseres med de samme grunnene, forblir grunntallet uendret, og potensenes eksponenter adderes.

a m · a n = a m + n, der "a" er et hvilket som helst tall, og "m", "n" er alle naturlige tall.

Denne egenskapen til potenser gjelder også produktet av tre eller flere potenser.

• Forenkle uttrykket.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Presenter det som en grad.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Presenter det som en grad.
  (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Vær oppmerksom på at i den angitte egenskapen snakket vi bare om multiplikasjon av potenser med samme baser. Det gjelder ikke tillegget deres.

Du kan ikke erstatte summen (3 3 + 3 2) med 3 5. Dette er forståelig hvis
beregn (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36, og 3 5 = 243

Eiendom nr. 2
Delgrader

Når du deler potenser med de samme grunnene, forblir grunntallet uendret, og utbyttet trekkes fra eksponenten eksponent deler

• Skriv kvotienten som en potens
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
• Regne ut.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Eksempel. Løs ligningen. Vi bruker egenskapen til kvotekrefter.
3 8: t = 3 4

Svar: t = 3 4 = 81

Ved å bruke egenskap nr. 1 og nr. 2 kan du enkelt forenkle uttrykk og utføre beregninger.

Eksempel. Forenkle uttrykket.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Eksempel. Finn verdien av et uttrykk ved å bruke egenskapene til eksponenter.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Vær oppmerksom på at i Eiendom 2 snakket vi kun om å dele potenser med samme grunnlag.

Du kan ikke erstatte differansen (4 3 −4 2) med 4 1. Dette er forståelig hvis du regner ut (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48, og 4 1 = 4

Eiendom nr. 3
Å heve en grad til en makt

Når du hever en grad til en potens, forblir basisen til graden uendret, og eksponentene multipliseres.

(a n) m = a n · m, der "a" er et hvilket som helst tall, og "m", "n" er alle naturlige tall.

Vi minner om at en kvotient kan representeres som en brøk. Derfor vil vi dvele ved temaet å heve en brøk til en potens mer detaljert på neste side.

Hvordan multiplisere potenser

Hvordan multiplisere potenser? Hvilke potenser kan multipliseres og hvilke kan ikke? Hvordan multiplisere et tall med en potens?

I algebra kan du finne et produkt av potenser i to tilfeller:

1) hvis de har grader identiske grunner;

2) hvis gradene har samme indikatorer.

Når du multipliserer potenser med de samme grunnene, må grunntallet være det samme, og eksponentene må legges til:

Når du multipliserer grader med de samme indikatorene, kan den samlede indikatoren tas ut av parentes:

La oss se på hvordan du multipliserer potenser ved å bruke spesifikke eksempler.

Enheten er ikke skrevet i eksponenten, men når du multipliserer potenser, tar de hensyn til:

Når du multipliserer, kan det være et hvilket som helst antall potenser. Det bør huskes at du ikke trenger å skrive multiplikasjonstegnet før bokstaven:

I uttrykk gjøres eksponentisering først.

Hvis du trenger å multiplisere et tall med en potens, bør du først utføre eksponentieringen, og først deretter multiplikasjonen:

Multiplisere potenser med de samme basene

Denne videoopplæringen er tilgjengelig med abonnement

Har du allerede et abonnement? Å komme inn

I denne leksjonen vil vi studere multiplikasjon av potenser med like baser. La oss først huske definisjonen av grad og formulere et teorem om gyldigheten av likheten . Deretter vil vi gi eksempler på bruken på spesifikke tall og bevise det. Vi skal også bruke teoremet for å løse ulike problemer.

Emne: Kraft med en naturlig eksponent og dens egenskaper

Leksjon: Multiplisere potenser med de samme basene (formel)

1. Grunnleggende definisjoner

Grunnleggende definisjoner:

n- eksponent,

— n potensen til et tall.

2. Utsagn om setning 1

Teorem 1. For et hvilket som helst nummer EN og enhver naturlig n Og k likheten er sann:

Med andre ord: hvis EN– et hvilket som helst tall; n Og k naturlige tall, da:

Derfor regel 1:

3. Forklarende oppgaver

Konklusjon: spesielle tilfeller bekreftet riktigheten av teorem nr. 1. La oss bevise det generell sak, altså for enhver EN og enhver naturlig n Og k.

4. Bevis for teorem 1

Gitt et tall EN– noen; tall n Og k – naturlig. Bevise:

Beviset er basert på definisjonen av grad.

5. Løse eksempler ved å bruke setning 1

Eksempel 1: Tenk på det som en grad.

For å løse følgende eksempler bruker vi setning 1.

og)

6. Generalisering av teorem 1

En generalisering brukt her:

7. Løse eksempler ved hjelp av en generalisering av setning 1

8. Løse ulike problemer ved hjelp av setning 1

Eksempel 2: Regn ut (du kan bruke tabellen over grunnleggende potenser).

EN) (ifølge tabellen)

b)

Eksempel 3: Skriv det som en potens med base 2.

EN)

Eksempel 4: Bestem tegnet på tallet:

, A - negativ, siden eksponenten ved -13 er oddetall.

Eksempel 5: Erstatt (·) med potensen av et tall med en grunntall r:

Det har vi, altså.

9. Oppsummering

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. og andre Algebra 7. 6. utgave. M.: Opplysning. 2010

1. Skoleassistent (Kilde).

1. Presenter som en kraft:

a B C D E)

3. Skriv som potens med grunntall 2:

4. Bestem tegnet på tallet:

EN)

5. Erstatt (·) med potensen av et tall med en grunntall r:

a) r4 · (·) = r 15; b) (·) · r 5 = r 6

Multiplikasjon og deling av potenser med samme eksponenter

I denne leksjonen skal vi studere multiplikasjon av potenser med like eksponenter. La oss først huske de grunnleggende definisjonene og teoremene om å multiplisere og dele potenser med de samme basene og heve potenser til potenser. Deretter formulerer og beviser vi teoremer om multiplikasjon og deling av potenser med samme eksponenter. Og så vil vi med deres hjelp løse en rekke typiske problemer.

Påminnelse om grunnleggende definisjoner og teoremer

Her en- grunnlaget for graden,

— n potensen til et tall.

Teorem 1. For et hvilket som helst nummer EN og enhver naturlig n Og k likheten er sann:

Når potenser multipliseres med de samme basene, legges eksponentene til, basen forblir uendret.

Teorem 2. For et hvilket som helst nummer EN og enhver naturlig n Og k, slik at n > k likheten er sann:

Når du deler grader med de samme grunnene, trekkes eksponentene fra, men grunntallet forblir uendret.

Teorem 3. For et hvilket som helst nummer EN og enhver naturlig n Og k likheten er sann:

Alle teoremene som er oppført handlet om potenser med det samme grunner, i denne leksjonen skal vi se på grader med det samme indikatorer.

Eksempler på å multiplisere potenser med de samme eksponentene

Tenk på følgende eksempler:

La oss skrive ned uttrykkene for å bestemme graden.

Konklusjon: Av eksemplene kan det ses at , men dette må fortsatt bevises. La oss formulere teoremet og bevise det i det generelle tilfellet, det vil si for enhver EN Og b og enhver naturlig n.

Formulering og bevis på teorem 4

For alle tall EN Og b og enhver naturlig n likheten er sann:

Bevis Teorem 4 .

Etter definisjon av grad:

Så det har vi bevist .

For å multiplisere potenser med de samme eksponentene, er det nok å multiplisere basene og la eksponenten være uendret.

Formulering og bevis på teorem 5

La oss formulere et teorem for å dele potenser med de samme eksponentene.

For et hvilket som helst nummer EN Og b() og enhver naturlig n likheten er sann:

Bevis Teorem 5 .

La oss skrive ned definisjonen av grad:

Utsagn av teoremer i ord

Så det har vi bevist.

For å dele potenser med de samme eksponentene i hverandre, er det nok å dele en base med en annen, og la eksponenten være uendret.

Løse typiske problemer ved å bruke teorem 4

Eksempel 1: Tilstede som et produkt av krefter.

For å løse følgende eksempler bruker vi setning 4.

For å løse følgende eksempel, husk formlene:

Generalisering av teorem 4

Generalisering av teorem 4:

Løse eksempler ved å bruke generalisert setning 4

Fortsetter å løse typiske problemer

Eksempel 2: Skriv det som en kraft av produktet.

Eksempel 3: Skriv det som en potens med eksponent 2.

Regneeksempler

Eksempel 4: Regn ut på den mest rasjonelle måten.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. og andre Algebra 7.M.: Opplysning. 2006

2. Skoleassistent (Kilde).

1. Presenter som et produkt av makter:

A) ; b) ; V); G);

2. Skriv som en kraft av produktet:

3. Skriv som potens med eksponent 2:

4. Regn ut på den mest rasjonelle måten.

Matematikktime om emnet "Multiplikasjon og maktdeling"

Seksjoner: Matematikk

Pedagogisk mål:

eleven vil lære skille mellom egenskapene til multiplikasjon og deling av potenser med naturlige eksponenter; bruk disse egenskapene når det gjelder de samme basene;

eleven vil få muligheten kunne utføre krafttransformasjoner med av ulike grunner og kunne utføre transformasjoner i kombinerte oppgaver.

Oppgaver:

organisere studentenes arbeid ved å gjenta tidligere studert materiale;

sikre reproduksjonsnivået ved å utføre ulike typer øvelser;

organisere en sjekk av elevenes egenvurdering gjennom testing.

Aktivitetsenheter for undervisning: bestemmelse av grad med en naturlig indikator; grad komponenter; definisjon av privat; kombinasjonslov for multiplikasjon.

I. Organisering av en demonstrasjon av elevenes mestring av eksisterende kunnskap. (trinn 1)

a) Oppdatere kunnskap:

2) Formuler en definisjon av grad med en naturlig eksponent.

a n =a a a a … a (n ganger)

b k =b b b b a... b (k ganger) Begrunn svaret.

II. Organisering av selvevaluering av studentens grad av ferdigheter i nåværende erfaring. (steg 2)

Selv test: ( individuelt arbeid i to versjoner.)

A1) Presenter produktet 7 7 7 7 x x x som en potens:

A2) Representer kraften (-3) 3 x 2 som et produkt

A3) Regn ut: -2 3 2 + 4 5 3

Jeg velger antall oppgaver i testen i samsvar med forberedelsen av klassetrinn.

Jeg gir deg nøkkelen til testen for selvtest. Kriterier: bestått - ikke bestått.

III. Pedagogisk og praktisk oppgave (trinn 3) + trinn 4. (elevene skal selv formulere egenskapene)

beregn: 2 2 2 3 = ? 3 3 3 2 3 =?

Forenkle: a 2 a 20 = ? b 30 b 10 b 15 = ?

Mens de løser oppgave 1) og 2), foreslår elevene en løsning, og jeg, som lærer, organiserer klassen for å finne en måte å forenkle potenser når man multipliserer med de samme grunnene.

Lærer: kom opp med en måte å forenkle potenser når du multipliserer med de samme grunnene.

En oppføring vises på klyngen:

Temaet for timen er formulert. Multiplikasjon av potenser.

Lærer: kom opp med en regel for å dele potenser med samme grunnlag.

Begrunnelse: hvilken handling brukes for å kontrollere deling? a 5: a 3 = ? at a 2 a 3 = en 5

Jeg går tilbake til diagrammet - en klynge og legger til oppføringen - .. når vi deler, trekker vi fra og legger til emnet for leksjonen. ...og inndeling av grader.

IV. Formidle til elevene grensene for kunnskap (som et minimum og som et maksimum).

Lærer: Minimumsoppgaven for dagens leksjon er å lære å bruke egenskapene til multiplikasjon og divisjon av potenser med samme baser, og maksimaloppgaven er å bruke multiplikasjon og divisjon sammen.

Vi skriver på tavlen : a m a n = a m+n; a m: a n = a m-n

V. Organisering av å studere nytt materiale. (trinn 5)

a) I følge læreboka: nr. 403 (a, c, e) oppgaver med ulike formuleringer

nr. 404 (a, d, f) selvstendig arbeid, så organiserer jeg en gjensidig sjekk og gir nøklene.

b) For hvilken verdi av m er likheten gyldig? a 16 a m = a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14

Oppgave: finne på lignende eksempler for deling.

c) nr. 417 (a), nr. 418 (a) Feller for studenter: x 3 x n = x 3n; 3 4 3 2 = 9 6; a 16: a 8 = a 2.

VI. Oppsummere det som er lært, utføre diagnostisk arbeid (som oppmuntrer elevene, og ikke læreren, til å studere dette emnet) (trinn 6)

Diagnostisk arbeid.

Test(plasser nøklene på baksiden test).

Oppgavealternativer: representer kvotienten x 15 som potens: x 3; representere som en potens produktet (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; for hvilken m er likheten a 16 a m = a 32 gyldig? finn verdien av uttrykket h 0: h 2 ved h = 0,2; beregne verdien av uttrykket (5 2 5 0): 5 2 .

Leksjonssammendrag. Speilbilde. Jeg deler klassen i to grupper.

Finn argumenter i gruppe I: til fordel for å kjenne egenskapene til graden, og gruppe II - argumenter som vil si at du kan klare deg uten egenskaper. Vi lytter til alle svarene og trekker konklusjoner. I påfølgende leksjoner kan du tilby statistiske data og kalle rubrikken "Det er umulig å tro!"

Gjennomsnittspersonen spiser 32 10 2 kg agurker i løpet av livet.

Vepsen er i stand til å foreta en direkte flytur på 3,2 10 2 km.

Når glass sprekker forplanter sprekken seg med en hastighet på ca 5 10 3 km/t.

En frosk spiser mer enn 3 tonn mygg i løpet av livet. Bruk graden, skriv i kg.

Den mest produktive regnes for å være havfisken - månen (Mola mola), som legger opptil 300 000 000 egg med en diameter på omtrent 1,3 mm i en gyting. Skriv dette tallet med en potens.

VII. Hjemmelekser.

Historisk referanse. Hvilke tall kalles Fermat-tall.

S.19. nr. 403, nr. 408, nr. 417

Brukte bøker:

Lærebok "Algebra-7", forfattere Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk et al.

Didaktisk stoff for 7. klasse, L.V. Kuznetsova, L.I. Zvavich, S.B. Suvorov.

Encyklopedi av matematikk.

Magasinet "Kvant".

Egenskaper til grader, formuleringer, bevis, eksempler.

Etter at kraften til et tall er bestemt, er det logisk å snakke om gradsegenskaper. I denne artikkelen vil vi gi de grunnleggende egenskapene til kraften til et tall, mens vi berører alle mulige eksponenter. Her vil vi gi bevis for alle egenskaper ved grader, og også vise hvordan disse egenskapene brukes ved løsning av eksempler.

Sidenavigering.

Egenskaper til grader med naturlige eksponenter

Per definisjon av en potens med en naturlig eksponent, er potensen a n produktet av n faktorer, som hver er lik a. Basert på denne definisjonen, og også ved hjelp av egenskaper ved multiplikasjon av reelle tall, kan vi få og begrunne følgende gradegenskaper med naturlig eksponent:

hovedegenskapen til graden a m ·a n =a m+n, dens generalisering a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +...+n k;

egenskap til kvotientpotenser med identiske grunner a m:a n =a m−n ;

egenskapen til graden av et produkt (a·b) n =a n ·b n , dets forlengelse (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n ;

egenskapen til kvotienten i naturlig grad (a:b) n =a n:b n ;

heve en grad til en potens (a m) n =a m·n, dens generalisering (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;

sammenligning av grad med null:

• hvis a>0, så a n>0 for et hvilket som helst naturlig tall n;
• hvis a=0, så er a n=0;
• hvis a 2·m >0 , hvis a 2·m−1 n ;
• hvis m og n er naturlige tall slik at m>n, så for 0m n, og for a>0 er ulikheten a m >a n sann.

La oss umiddelbart merke at alle skriftlige likheter er det identisk underlagt de spesifiserte betingelsene, kan både høyre og venstre deler byttes. For eksempel, hovedegenskapen til brøken a m ·a n =a m+n med forenkle uttrykk ofte brukt i formen a m+n =a m ·a n .

La oss nå se på hver av dem i detalj.

La oss starte med egenskapen til produktet av to potenser med samme base, som kalles gradens hovedegenskap: for et hvilket som helst reelt tall a og alle naturlige tall m og n, er likheten a m ·a n =a m+n sann.

La oss bevise hovedegenskapen til graden. Ved definisjonen av en potens med en naturlig eksponent, kan produktet av potenser med identiske basiser av formen a m ·a n skrives som produktet . På grunn av egenskapene til multiplikasjon kan det resulterende uttrykket skrives som , og dette produktet er en potens av tallet a med en naturlig eksponent m+n, det vil si en m+n. Dette fullfører beviset.

La oss gi et eksempel som bekrefter gradens hovedegenskap. La oss ta grader med de samme grunnene 2 og naturlige potenser 2 og 3, ved å bruke den grunnleggende egenskapen til grader kan vi skrive likheten 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. La oss sjekke gyldigheten ved å beregne verdiene til uttrykkene 2 2 · 2 3 og 2 5 . Ved å utføre eksponentiering har vi 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 og 2 5 =2 2 2 2 2 = 32 , siden vi får like verdier, så er likheten 2 2 ·2 3 =2 5 er riktig, og det bekrefter gradens hovedegenskap.

Den grunnleggende egenskapen til en grad basert på egenskapene til multiplikasjon kan generaliseres til produktet av tre og mer grader med samme grunnlag og naturlige indikatorer. Så for et hvilket som helst tall k av naturlige tall n 1 , n 2 , …, n k er likheten a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +...+n k sann.

For eksempel, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Vi kan gå videre til den neste egenskapen til potenser med en naturlig eksponent – egenskap av kvotepotenser med samme grunnlag: for ethvert reelt tall a som ikke er null og vilkårlige naturlige tall m og n som tilfredsstiller betingelsen m>n, er likheten a m:a n =a m−n sann.

Før vi presenterer beviset for denne egenskapen, la oss diskutere betydningen av tilleggsbetingelsene i formuleringen. Betingelsen a≠0 er nødvendig for å unngå divisjon med null, siden 0 n =0, og da vi ble kjent med divisjon ble vi enige om at vi ikke kan dividere med null. Betingelsen m>n er introdusert for at vi ikke skal gå utover de naturlige eksponentene. Faktisk, for m>n eksponenten er a m−n et naturlig tall, ellers vil det være enten null (som skjer for m−n) eller et negativt tall (som skjer for m m−n ·a n =a (m−n) +n =a m. Fra den resulterende likheten a m−n ·a n =a m og av sammenhengen mellom multiplikasjon og divisjon følger det at en m−n er en kvotient av potenser a m og en n. Dette beviser egenskapen til potenskvotienter med de samme basene.

La oss gi et eksempel. La oss ta to grader med samme base π og naturlige eksponenter 5 og 2, likheten π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 tilsvarer den betraktede egenskapen til graden.

La oss nå vurdere produktkraftegenskap: den naturlige potensen n av produktet av to reelle tall a og b er lik produktet av potensene a n og b n , det vil si (a·b) n =a n ·b n .

Faktisk, etter definisjonen av en grad med en naturlig eksponent vi har . Siste stykke basert på egenskapene til multiplikasjon kan skrives om som , som er lik a n · b n .

Her er et eksempel: .

Denne egenskapen strekker seg til kraften til produktet av tre og mer multiplikatorer. Det vil si at egenskapen til naturlig grad n til et produkt av k faktorer skrives som (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n .

For klarhet vil vi vise denne egenskapen med et eksempel. For produktet av tre faktorer i makten 7 har vi .

Følgende eiendom er eiendom av en kvotient: kvotienten av reelle tall a og b, b≠0 til den naturlige potensen n er lik kvotienten av potensene a n og b n, det vil si (a:b) n =a n:b n.

Beviset kan utføres ved bruk av forrige egenskap. Så (a:b) n ·b n =((a:b)·b) n =a n , og fra likheten (a:b) n ·b n =a n følger det at (a:b) n er kvotienten til divisjon a n på bn.

La oss skrive denne egenskapen ved å bruke spesifikke tall som eksempel: .

La oss nå si det egenskapen til å heve en makt til en makt: for et hvilket som helst reelt tall a og eventuelle naturlige tall m og n, er potensen av a m i potensen av n lik potensen til tallet a med eksponent m·n, det vil si (a m) n =a m·n.

For eksempel, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

Beviset på kraft-til-grad-egenskapen er følgende kjede av likheter: .

Eiendommen som vurderes kan utvides til grad til grad mv. For eksempel, for alle naturlige tall p, q, r og s, er likheten . For større klarhet, la oss gi et eksempel med spesifikke tall: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10.

Det gjenstår å dvele ved egenskapene til å sammenligne grader med en naturlig eksponent.

La oss starte med å bevise egenskapen til å sammenligne null og makt med en naturlig eksponent.

Først, la oss bevise at a n >0 for enhver a>0.

Produktet av to positive tall er et positivt tall, som følger av definisjonen av multiplikasjon. Dette faktum og egenskapene til multiplikasjon antyder at resultatet av å multiplisere et hvilket som helst antall positive tall også vil være et positivt tall. Og kraften til et tall a med naturlig eksponent n, per definisjon, er produktet av n faktorer, som hver er lik a. Disse argumentene lar oss hevde at for enhver positiv base a, er graden a n et positivt tall. På grunn av den påviste egenskapen 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 og .

Det er ganske åpenbart at for ethvert naturlig tall n med a=0 er graden av en n null. Faktisk, 0n =0·0·…·0=0 . For eksempel, 0 3 =0 og 0 762 =0.

La oss gå videre til negative grader.

La oss starte med tilfellet når eksponenten er et partall, la oss betegne det som 2·m, der m er et naturlig tall. Deretter . I henhold til regelen for å multiplisere negative tall, er hvert av produktene av formen a·a lik produktet av de absolutte verdiene av tallene a og a, noe som betyr at det er et positivt tall. Derfor vil produktet også være positivt og grad a 2·m. La oss gi eksempler: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 og .

Til slutt, når grunntall a er et negativt tall og eksponenten er et oddetall 2 m−1, da . Alle produkter a·a er positive tall, produktet av disse positive tallene er også positivt, og dets multiplikasjon med det gjenværende negative tallet a resulterer i et negativt tall. På grunn av denne egenskapen (−5) er 3 17 n n produktet av venstre og høyre side av n sanne ulikheter a egenskaper ved ulikheter, en bevisbar ulikhet av formen a n n er også sann. For eksempel, på grunn av denne egenskapen, er ulikhetene 3 7 7 og .

Det gjenstår å bevise den siste av de listede egenskapene til grader med naturlige eksponenter. La oss formulere det. Av to potenser med naturlige eksponenter og identiske positive baser mindre enn én, er den hvis eksponent er mindre større; og av to potenser med naturlige eksponenter og identiske baser større enn én, er den hvis eksponent er større større. La oss gå videre til beviset for denne eiendommen.

La oss bevise at for m>n og 0m n . For å gjøre dette skriver vi ned forskjellen a m − a n og sammenligner den med null. Den registrerte forskjellen, etter å ha tatt en n fra parentes, vil ha formen a n ·(a m−n−1) . Det resulterende produktet er negativt som produktet av et positivt tall a n og et negativt tall a m−n −1 (a n er positiv som den naturlige potensen til et positivt tall, og forskjellen a m−n −1 er negativ, siden m−n >0 på grunn av startbetingelsen m>n, hvorav det følger at når 0m−n er mindre enn enhet). Derfor, a m −a n m n , som er det som måtte bevises. Som et eksempel gir vi riktig ulikhet.

Det gjenstår å bevise den andre delen av eiendommen. La oss bevise at for m>n og a>1 er a m >a n sann. Forskjellen a m −a n etter å ha tatt en n fra parentes har formen a n ·(a m−n −1) . Dette produktet er positivt, siden for a>1 er graden a n et positivt tall, og forskjellen a m−n −1 er et positivt tall, siden m−n>0 på grunn av starttilstanden, og for a>1 graden en m−n mer enn en. Følgelig, a m −a n >0 og a m >a n, som er det som måtte bevises. Denne egenskapen er illustrert av ulikheten 3 7 >3 2.

Egenskaper til potenser med heltallseksponenter

Siden positive heltall er naturlige tall, så faller alle egenskapene til potenser med positive heltallseksponenter nøyaktig sammen med egenskapene til potenser med naturlige eksponenter som er oppført og bevist i forrige avsnitt.

Vi definerte en grad med en negativ heltallseksponent, så vel som en grad med en nulleksponent, på en slik måte at alle egenskapene til grader med naturlige eksponenter, uttrykt ved likheter, forble gyldige. Derfor er alle disse egenskapene gyldige for både null eksponenter og negative eksponenter, mens, selvfølgelig, basene til potensene er forskjellige fra null.

Så for alle reelle og ikke-null tall a og b, samt alle heltall m og n, er følgende sanne: egenskaper til potenser med heltallseksponenter:

• a m ·a n =a m+n;
• a m:a n =a m−n;
• (a·b) n =an·bn;
• (a:b) n =a n:b n;
• (a m) n =a m·n;
• hvis n er et positivt heltall, er a og b positive tall, og a n n og a −n >b −n;
• hvis m og n er heltall, og m>n, så for 0m n, og for a>1 gjelder ulikheten a m >a n.

Når a=0, gir potensene a m og a n mening bare når både m og n er positive heltall, det vil si naturlige tall. Dermed er egenskapene som nettopp er skrevet også gyldige for tilfeller der a=0 og tallene m og n er positive heltall.

Å bevise hver av disse egenskapene er ikke vanskelig; for å gjøre dette er det nok å bruke definisjonene av grader med naturlige og heltallseksponenter, så vel som egenskapene til operasjoner med reelle tall. Som et eksempel, la oss bevise at makt-til-kraft-egenskapen gjelder for både positive heltall og ikke-positive heltall. For å gjøre dette må vi vise at hvis p er null eller naturlig tall og q er null eller et naturlig tall, da er likhetene (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p)·q, (a p) −q =a p·(−q) og ( a −p) −q =a (−p)·(−q) . La oss gjøre det.

For positive p og q ble likheten (a p) q =a p·q bevist i forrige avsnitt. Hvis p=0, så har vi (a 0) q =1 q =1 og a 0·q =a 0 =1, hvorav (a 0) q =a 0·q. Tilsvarende, hvis q=0, så (a p) 0 =1 og a p·0 =a 0 =1, hvorav (a p) 0 =a p·0. Hvis både p=0 og q=0, så (a 0) 0 =1 0 =1 og a 0·0 =a 0 =1, hvorav (a 0) 0 =a 0·0.

Nå beviser vi at (a −p) q =a (−p)·q . Per definisjon av en potens med en negativ heltallseksponent, altså . Ved egenskapen til kvotienter til makter vi har . Siden 1 p =1·1·…·1=1 og , så . Siste uttrykk per definisjon er en potens av formen a −(p·q) , som på grunn av multiplikasjonsreglene kan skrives som en (−p)·q .

like måte .

OG .

Ved å bruke samme prinsipp kan du bevise alle andre egenskaper til en grad med en heltallseksponent, skrevet i form av likheter.

I nest siste av de registrerte egenskapene er det verdt å dvele ved beviset for ulikheten a −n >b −n, som er gyldig for ethvert negativt heltall −n og enhver positiv a og b som betingelsen a er oppfylt for. . La oss skrive ned og transformere forskjellen mellom venstre og høyre side av denne ulikheten: . Siden etter betingelse a n n , derfor b n −a n >0 . Produktet a n · b n er også positivt som produktet av positive tall a n og b n . Da er den resulterende brøken positiv som kvotienten av de positive tallene b n −a n og a n ·b n . Derfor, hvorfra a −n >b −n , som er det som måtte bevises.

Den siste egenskapen til potenser med heltallseksponenter er bevist på samme måte som en lignende egenskap til potenser med naturlige eksponenter.

Egenskaper til potenser med rasjonelle eksponenter

Vi definerte en grad med en brøkeksponent ved å utvide egenskapene til en grad med en heltallseksponent til den. Potenser med brøkeksponenter har med andre ord de samme egenskapene som potenser med heltallseksponenter. Nemlig:

1. egenskapen til produktet av potenser med samme baser for a>0, og hvis og, så for a≥0;
2. egenskap av kvotepotenser med samme grunnlag for a>0;
3. egenskapen til et produkt til en brøkpotens for a>0 og b>0, og hvis og, så for a≥0 og (eller) b≥0;
4. egenskapen til en kvotient til en brøkpotens for a>0 og b>0, og hvis, så for a≥0 og b>0;
5. egenskap av grad til grad for a>0, og hvis og, så for a≥0;
6. egenskapen til å sammenligne potenser med like rasjonelle eksponenter: for alle positive tall a og b, a 0 ulikheten a p p er sann, og for p p >b p ;
7. egenskapen til å sammenligne potenser med rasjonelle eksponenter og like baser: for rasjonelle tall p og q, p>q for 0p q, og for a>0 – ulikhet a p >a q.

Beviset for egenskapene til potenser med brøkeksponenter er basert på definisjonen av en potens med en brøkeksponent, på egenskapene til den aritmetiske roten av n-te grad og på egenskapene til en potens med en heltallseksponent. La oss gi bevis.

Per definisjon av en potens med en brøkeksponent og , Da . Egenskapene til den aritmetiske roten lar oss skrive følgende likheter. Videre, ved å bruke egenskapen til en grad med en heltallseksponent, får vi , hvorfra vi, ved definisjonen av en grad med en brøkeksponent, har , og indikatoren for oppnådd grad kan transformeres som følger: . Dette fullfører beviset.

Den andre egenskapen til potenser med brøkeksponenter er bevist på en helt lignende måte:


De gjenværende likhetene er bevist ved å bruke lignende prinsipper:


La oss gå videre til å bevise den neste egenskapen. La oss bevise at for alle positive a og b, a 0 er ulikheten a p p sann, og for p p >b p . La oss skrive det rasjonelle tallet p som m/n, der m er et heltall og n er et naturlig tall. Betingelsene p 0 vil i dette tilfellet tilsvare henholdsvis betingelsene m 0. For m>0 og am m . Fra denne ulikheten, ved egenskapen til røtter, har vi, og siden a og b er positive tall, så, basert på definisjonen av en grad med en brøkeksponent, kan den resulterende ulikheten omskrives som, det vil si a p p .

Tilsvarende, for m m > b m , hvorfra, det vil si a p > b p .

Det gjenstår å bevise den siste av de oppførte eiendommene. La oss bevise at for rasjonelle tall p og q, p>q for 0p q, og for a>0 - ulikheten a p >a q. Vi kan alltid finne en fellesnevner rasjonelle tall p og q, la oss da få vanlige brøker og, hvor m 1 og m 2 er heltall, og n er et naturlig tall. I dette tilfellet vil betingelsen p>q tilsvare betingelsen m 1 >m 2, som følger av sammenligningsregelen vanlige brøker med de samme nevnerne. Deretter, ved egenskapen å sammenligne grader med samme baser og naturlige eksponenter, for 0m 1 m 2, og for a>1, ulikheten a m 1 >a m 2. Disse ulikhetene i egenskapene til røttene kan omskrives tilsvarende som Og . Og definisjonen av grad med rasjonell indikator lar oss gå videre til ulikhetene og hhv. Herfra trekker vi den endelige konklusjonen: for p>q og 0p q , og for a>0 – ulikheten a p >a q .

Egenskaper til potenser med irrasjonelle eksponenter

Fra måten en grad med en irrasjonell eksponent defineres på, kan vi konkludere med at den har alle egenskapene til grader med rasjonelle eksponenter. Så for alle a>0, b>0 og irrasjonelle tall p og q er følgende sanne egenskaper til potenser med irrasjonelle eksponenter:

1. a p ·a q =a p+q;
2. a p:a q =a p−q;
3. (a·b) p =ap·bp;
4. (a:b) p =a p:b p;
5. (a p) q =a p·q;
6. for alle positive tall a og b, a 0 ulikheten a p p er sann, og for p p >b p ;
7. for irrasjonelle tall p og q, p>q for 0p q, og for a>0 – ulikheten a p >a q.

Fra dette kan vi konkludere med at potenser med eventuelle reelle eksponenter p og q for a>0 har de samme egenskapene.

• Algebra - 10. klasse. Trigonometriske ligninger Leksjon og presentasjon om emnet: "Løse de enkleste trigonometriske ligningene" Tilleggsmateriell Kjære brukere, ikke glem å legge igjen kommentarer, anmeldelser, forslag! Alt materiell […]
• Det er åpen konkurranse for stillingen "SELGER - KONSULENT": Ansvar: salg mobiltelefoner og tilbehør til mobil kommunikasjon kundeservice for Beeline, Tele2, MTS-abonnenter tilkobling av Beeline og Tele2 tariffplaner og tjenester, MTS-rådgivning […]
• Parallelepipedformel Et parallellepiped er et polyeder med 6 flater, som hver er et parallellogram. En kuboid er et parallellepiped som hver side er et rektangel. Ethvert parallellepiped er preget av 3 […]
• STAVING N OG NN I ULIKE DELER AV TALE S.G. ZELISKAYA DIDAKTISK MATERIAL Teoretisk oppgave 1. Når skrives nn i adjektiv? 2. Nevn unntakene fra disse reglene. 3. Hvordan skille et verbalt adjektiv med suffikset -n- fra et partisipp med […]
• KONTROLL AV GOSTEKHNADZOR I BRYANSK REGIONEN Kvittering for betaling av statsavgift (Last ned-12,2 kb) Søknader om registrering for enkeltpersoner (Last ned-12 kb) Søknader om registrering for juridiske personer (Last ned-11,4 kb) 1. Ved registrering av ny bil : 1.applikasjon 2.pass […]
• Society for the Protection of Consumer Rights Astana For å få en pinkode for å få tilgang dette dokumentet på nettstedet vårt, send en SMS-melding med teksten zan til nummeret Abonnenter til GSM-operatører (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) ved å sende en SMS til nummeret […]
• Vedta loven om familiegods Godta den føderale loven om gratis tildeling til enhver innbygger som ønsker det Den russiske føderasjonen eller en familie av borgere av en tomt for å arrangere en familieeiendom på den følgende forhold: 1. Tomten er avsatt til […]
• Pivoev V.M. Vitenskapens filosofi og metodikk: opplæringen for master- og hovedfagsstudenter Petrozavodsk: PetrSU Publishing House, 2013. - 320 s. ISBN 978-5-821-1647-0 PDF 3 mb Læreboken er beregnet på seniorstudenter, masterstudenter og hovedfagsstudenter i sosiale og […]

Det er åpenbart at tall med potenser kan legges til som andre størrelser , ved å legge dem etter hverandre med deres tegn.

Så summen av a 3 og b 2 er a 3 + b 2.
Summen av a 3 - b n og h 5 -d 4 er a 3 - b n + h 5 - d 4.

Odds like potenser av identiske variabler kan legges til eller trekkes fra.

Så summen av 2a 2 og 3a 2 er lik 5a 2.

Det er også åpenbart at hvis du tar to ruter a, eller tre ruter a, eller fem ruter a.

Men grader ulike variabler Og ulike grader identiske variabler, må komponeres ved å legge dem til med deres tegn.

Så summen av en 2 og en 3 er summen av en 2 + en 3.

Det er åpenbart at kvadratet av a, og terningen av a, ikke er lik to ganger kvadratet av a, men to ganger terningen av a.

Summen av a 3 b n og 3a 5 b 6 er a 3 b n + 3a 5 b 6.

Subtraksjon krefter utføres på samme måte som addisjon, bortsett fra at tegnene til subtrahendene må endres tilsvarende.

Eller:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3t 2 b 6 - 4t 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Multiplisere potenser

Tall med potenser kan multipliseres, som andre størrelser, ved å skrive dem etter hverandre, med eller uten multiplikasjonstegn mellom dem.

Dermed er resultatet av å multiplisere a 3 med b 2 a 3 b 2 eller aaabb.

Eller:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Resultatet i det siste eksemplet kan bestilles ved å legge til identiske variabler.
Uttrykket vil ha formen: a 5 b 5 y 3.

Ved å sammenligne flere tall (variabler) med potenser, kan vi se at hvis to av dem multipliseres, så er resultatet et tall (variabel) med potens lik beløp grader av termer.

Så, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Her er 5 potensen til resultatet av multiplikasjonen, lik 2 + 3, summen av potensene til leddene.

Så, a n.a m = a m+n.

For a n tas a som en faktor like mange ganger som potensen til n;

Og en m tas som en faktor like mange ganger som graden m er lik;

Derfor, potenser med samme grunntall kan multipliseres ved å legge til potensens eksponenter.

Så a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Og x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Eller:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multipliser (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Svar: x 4 - y 4.
Multipliser (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Denne regelen gjelder også for tall hvis eksponenter er negativ.

1. Altså a -2 .a -3 = a -5 . Dette kan skrives som (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n.y-m = y-n-m.

3. a -n .a m = a m-n .

Hvis a + b multipliseres med a - b, blir resultatet a 2 - b 2: altså

Resultatet av å multiplisere summen eller differansen av to tall er lik summen eller differansen av kvadratene deres.

Hvis du multipliserer summen og differansen av to tall hevet til torget, vil resultatet være lik summen eller differansen av disse tallene i fjerde grader.

Så, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Inndeling av grader

Tall med potenser kan deles som andre tall, ved å trekke fra utbyttet, eller ved å plassere dem i brøkform.

Dermed er a 3 b 2 delt på b 2 lik a 3.

Eller:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Å skrive en 5 delt på en 3 ser ut som $\frac(a^5)(a^3)$. Men dette er lik en 2 . I en rekke tall
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
et hvilket som helst tall kan deles på et annet, og eksponenten vil være lik forskjell indikatorer på delbare tall.

Når du deler grader med samme grunntall, trekkes eksponentene deres fra..

Så y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Det vil si $\frac(yyy)(yy) = y$.

Og a n+1:a = a n+1-1 = a n . Det vil si $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Eller:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Regelen gjelder også for tall med negativ verdier av grader.
Resultatet av å dele en -5 med en -3 er en -2.
Også $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 eller $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Det er nødvendig å mestre multiplikasjon og deling av potenser veldig godt, siden slike operasjoner er veldig mye brukt i algebra.

Eksempler på å løse eksempler med brøker som inneholder tall med potenser

1. Reduser eksponentene med $\frac(5a^4)(3a^2)$ Svar: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Reduser eksponentene med $\frac(6x^6)(3x^5)$. Svar: $\frac(2x)(1)$ eller 2x.

3. Reduser eksponentene a 2 /a 3 og a -3 /a -4 og bring til en fellesnevner.
a 2 .a -4 er a -2 den første telleren.
a 3 .a -3 er a 0 = 1, den andre telleren.
a 3 .a -4 er en -1 , den vanlige telleren.
Etter forenkling: a -2 /a -1 og 1/a -1 .

4. Reduser eksponentene 2a 4 /5a 3 og 2 /a 4 og kom med til en fellesnevner.
Svar: 2a 3 /5a 7 og 5a 5 /5a 7 eller 2a 3 /5a 2 og 5/5a 2.

5. Multipliser (a 3 + b)/b 4 med (a - b)/3.

6. Multipliser (a 5 + 1)/x 2 med (b 2 - 1)/(x + a).

7. Multipliser b 4 /a -2 med h -3 /x og a n /y -3 .

8. Del a 4 /y 3 med a 3 /y 2 . Svar: a/y.

9. Del (h 3 - 1)/d 4 med (d n + 1)/t.

I den siste videoleksjonen lærte vi at graden av en bestemt base er et uttrykk som representerer produktet av basen i seg selv, tatt i en mengde lik eksponenten. La oss nå studere noen av maktens viktigste egenskaper og operasjoner.

La oss for eksempel gange to ulike grader med samme base:

La oss presentere dette arbeidet i sin helhet:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Etter å ha beregnet verdien av dette uttrykket, får vi tallet 32. På den annen side, som man kan se fra samme eksempel, kan 32 representeres som produktet av samme grunntall (to), tatt 5 ganger. Og faktisk, hvis du teller det, så:

Dermed kan vi trygt konkludere med at:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Denne regelen fungerer vellykket for alle indikatorer og grunner. Denne egenskapen til potensmultiplikasjon følger av regelen om at betydningen av uttrykk bevares under transformasjoner i et produkt. For enhver base a, er produktet av to uttrykk (a)x og (a)y lik a(x + y). Med andre ord, når noen uttrykk med samme base produseres, har den resulterende monomialen en total grad dannet ved å legge til gradene til det første og andre uttrykket.

Den presenterte regelen fungerer også utmerket når du multipliserer flere uttrykk. Hovedbetingelsen er at alle har samme grunnlag. For eksempel:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Det er umulig å legge til grader, og faktisk å utføre noen maktbaserte felleshandlinger med to elementer av et uttrykk hvis deres grunnlag er forskjellige.
Som videoen vår viser, på grunn av likheten mellom prosessene for multiplikasjon og divisjon, blir reglene for å legge til krefter i et produkt perfekt overført til divisjonsprosedyren. Tenk på dette eksemplet:

La oss gjennomføre en term-for-term transformasjon av uttrykket til Full utsikt og redusere de samme elementene i utbytte og divisor:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Sluttresultatet av dette eksemplet er ikke så interessant, for allerede i prosessen med å løse det er det klart at verdien av uttrykket er lik kvadratet av to. Og det er to som oppnås ved å trekke graden av det andre uttrykket fra graden til det første.

For å bestemme graden av kvotienten, er det nødvendig å trekke divisorgraden fra graden av utbytte. Regelen fungerer med samme grunnlag for alle sine verdier og for alle naturlige krefter. I form av abstraksjon har vi:

(a) x / (a) y = (a) x - y

Fra regelen om å dele identiske baser med grader, følger definisjonen for nullgraden. Åpenbart ser følgende uttrykk slik ut:

(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0

På den annen side, hvis vi gjør inndelingen på en mer visuell måte, får vi:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Når du reduserer alle synlige elementer i en brøk, oppnås alltid uttrykket 1/1, det vil si en. Derfor er det generelt akseptert at enhver base hevet til null potens er lik en:

Uavhengig av verdien av en.

Imidlertid ville det være absurd hvis 0 (som fortsatt gir 0 for enhver multiplikasjon) på en eller annen måte er lik én, så et uttrykk for formen (0) 0 (null til null potens) gir rett og slett ikke mening, og formel ( a) 0 = 1 legg til en betingelse: "hvis a ikke er lik 0."

La oss løse øvelsen. La oss finne verdien av uttrykket:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Siden basen er den samme overalt og lik 34, vil sluttverdien ha samme base med en grad (i henhold til reglene ovenfor):

Med andre ord:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Svar: uttrykket er lik en.

Første nivå

Grad og dens egenskaper. Omfattende guide (2019)

Hvorfor trengs grader? Hvor trenger du dem? Hvorfor bør du ta deg tid til å studere dem?

For å lære alt om grader, hva de er til for, hvordan du kan bruke kunnskapen din i Hverdagen les denne artikkelen.

Og selvfølgelig vil kunnskap om grader bringe deg nærmere vellykket gjennomføring OGE eller Unified State eksamen og opptak til universitetet du drømmer om.

La oss gå... (La oss gå!)

Viktig notat! Hvis du ser gobbledygook i stedet for formler, tøm hurtigbufferen. For å gjøre dette, trykk CTRL+F5 (på Windows) eller Cmd+R (på Mac).

FØRSTE NIVÅ

Eksponentiering er en matematisk operasjon akkurat som addisjon, subtraksjon, multiplikasjon eller divisjon.

Nå skal jeg forklare alt på menneskelig språk på veldig enkle eksempler. Vær forsiktig. Eksemplene er elementære, men forklarer viktige ting.

La oss starte med tillegg.

Det er ingenting å forklare her. Du vet allerede alt: vi er åtte. Alle har to flasker cola. Hvor mye cola er det? Det stemmer - 16 flasker.

Nå multiplikasjon.

Det samme eksempelet med cola kan skrives annerledes: . Matematikere er utspekulerte og late mennesker. De legger først merke til noen mønstre, og finner deretter ut en måte å "telle" dem raskere. I vårt tilfelle la de merke til at hver av de åtte personene hadde like mange colaflasker og kom opp med en teknikk kalt multiplikasjon. Enig, det anses som enklere og raskere enn.

Så for å telle raskere, enklere og uten feil, trenger du bare å huske gangetabell. Selvfølgelig kan du gjøre alt langsommere, vanskeligere og med feil! Men…

Her er multiplikasjonstabellen. Gjenta.

Og en annen, vakrere en:

Hvilke andre smarte telletriks har late matematikere funnet på? Ikke sant - heve et tall til en makt.

Å heve et tall til en makt

Hvis du trenger å multiplisere et tall med seg selv fem ganger, så sier matematikere at du må heve det tallet til femte potens. For eksempel, . Matematikere husker at to til femte potens er... Og de løser slike problemer i hodet - raskere, enklere og uten feil.

Alt du trenger å gjøre er husk hva som er uthevet i farger i tabellen over tallkrefter. Tro meg, dette vil gjøre livet ditt mye enklere.

Forresten, hvorfor kalles det andre grad? torget tall, og den tredje - kube? Hva betyr det? Veldig godt spørsmål. Nå vil du ha både firkanter og terninger.

Eksempel #1 fra det virkelige liv

La oss starte med kvadratet eller andre potens av tallet.

Se for deg et kvadratisk basseng som måler én meter ganger én meter. Bassenget er på din dacha. Det er varmt og jeg har veldig lyst til å svømme. Men... bassenget har ingen bunn! Du må dekke bunnen av bassenget med fliser. Hvor mange fliser trenger du? For å bestemme dette, må du kjenne til bunnområdet av bassenget.

Du kan ganske enkelt regne ut ved å vise fingeren at bunnen av bassenget består av meter for meter terninger. Hvis du har fliser en meter ganger en meter, trenger du brikker. Det er enkelt... Men hvor har du sett slike fliser? Flisen vil mest sannsynlig være cm for cm. Og så vil du bli torturert ved å «telle med fingeren». Da må du multiplisere. Så på den ene siden av bunnen av bassenget vil vi montere fliser (stykker) og på den andre også fliser. Multipliser med og du får fliser ().

La du merke til at for å bestemme arealet av bassengbunnen multipliserte vi det samme tallet med seg selv? Hva betyr det? Siden vi multipliserer det samme tallet, kan vi bruke "eksponentieringsteknikken". (Selvfølgelig, når du bare har to tall, må du fortsatt multiplisere dem eller heve dem til en potens. Men hvis du har mange av dem, er det mye lettere å heve dem til en potens, og det er også færre feil i beregningene For Unified State-eksamenen er dette veldig viktig).
Så, tretti til andre potens vil være (). Eller vi kan si at tretti kvadrat vil være. Med andre ord, andre potens av et tall kan alltid representeres som et kvadrat. Og omvendt, hvis du ser en firkant, er det ALLTID andre potens av et tall. Et kvadrat er et bilde av andre potens av et tall.

Eksempel #2 fra det virkelige liv

Her er en oppgave for deg: tell hvor mange ruter det er på sjakkbrettet ved å bruke kvadratet av tallet... På den ene siden av cellene og på den andre også. For å beregne antallet deres må du gange åtte med åtte eller... hvis du legger merke til at et sjakkbrett er en firkant med en side, kan du kvadrat åtte. Du vil få celler. () Så?

Eksempel #3 fra det virkelige liv

Nå er kuben eller tredje potens av et tall. Det samme bassenget. Men nå må du finne ut hvor mye vann som må helles i dette bassenget. Du må beregne volumet. (Volumer og væsker måles forresten i kubikkmeter. Uventet, ikke sant?) Tegn et basseng: en bunn som måler en meter og en dybde på en meter og prøv å telle hvor mange kuber som måler en meter på en meter som vil passe inn i bassenget ditt.

Bare pek fingeren og tell! En, to, tre, fire ... tjueto, tjuetre ... Hvor mange fikk du? Ikke tapt? Er det vanskelig å telle med fingeren? Så det! Ta et eksempel fra matematikere. De er late, så de la merke til at for å beregne volumet til bassenget, må du multiplisere lengden, bredden og høyden med hverandre. I vårt tilfelle vil volumet til bassenget være lik kuber... Lettere, ikke sant?

Tenk deg nå hvor late og utspekulerte matematikere er hvis de forenklet dette også. Vi reduserte alt til én handling. De la merke til at lengden, bredden og høyden er like og at samme tall multipliseres med seg selv... Hva betyr dette? Dette betyr at du kan dra nytte av graden. Så det du en gang telte med fingeren, gjør de i én handling: tre terninger er lik. Det er skrevet slik:.

Alt som gjenstår er husk tabellen over grader. Med mindre du selvfølgelig er like lat og utspekulert som matematikere. Hvis du liker å jobbe hardt og gjøre feil, kan du fortsette å telle med fingeren.

Vel, for endelig å overbevise deg om at grader ble oppfunnet av sluttere og utspekulerte mennesker for å løse sine egne livsproblemer, og ikke for å skape problemer for deg, her er et par flere eksempler fra livet.

Eksempel #4 fra det virkelige liv

Du har en million rubler. Ved begynnelsen av hvert år, for hver million du tjener, tjener du en million til. Det vil si at hver million du har dobles i begynnelsen av hvert år. Hvor mye penger vil du ha om år? Hvis du sitter nå og "teller med fingeren", betyr det at du er veldig hardtarbeidende mann og.. dum. Men mest sannsynlig gir du svar om et par sekunder, for du er smart! Så, i det første året - to multiplisert med to... i det andre året - hva skjedde, med to til, i det tredje året... Stopp! Du la merke til at tallet multipliseres med seg selv ganger. Så to til femte potens er en million! Tenk deg nå at du har en konkurranse og den som kan telle raskest vil få disse millionene... Det er verdt å huske tallenes krefter, synes du ikke?

Eksempel #5 fra det virkelige liv

Du har en million. I begynnelsen av hvert år, for hver million du tjener, tjener du to til. Flott er det ikke? Hver million tredobles. Hvor mye penger vil du ha i løpet av et år? La oss telle. Det første året - multipliser med, deretter resultatet med et annet ... Det er allerede kjedelig, fordi du allerede har forstått alt: tre ganges med seg selv ganger. Så til fjerde potens er det lik en million. Du må bare huske at tre til fjerde potens er eller.

Nå vet du at ved å heve et tall til en makt vil du gjøre livet ditt mye enklere. La oss se nærmere på hva du kan gjøre med grader og hva du trenger å vite om dem.

Termer og begreper... for ikke å bli forvirret

Så la oss først definere konseptene. Hva tror du, hva er en eksponent? Det er veldig enkelt - det er tallet som er "øverst" av potensen til tallet. Ikke vitenskapelig, men tydelig og lett å huske...

Vel, på samme tid, hva et slikt gradsgrunnlag? Enda enklere - dette er nummeret som er plassert under, ved basen.

Her er en tegning for godt mål.

Vel inne generelt syn, for å generalisere og huske bedre... En grad med en base " " og en eksponent " " leses som "til den grad" og skrives som følger:

Potensen til et tall med naturlig eksponent

Du har sikkert allerede gjettet: fordi eksponenten er et naturlig tall. Ja, men hva er det naturlig tall? Elementært! Naturlige tall er de tallene som brukes til å telle når objekter listes opp: en, to, tre... Når vi teller objekter, sier vi ikke: «minus fem», «minus seks», «minus sju». Vi sier heller ikke: «en tredjedel» eller «null komma fem». Dette er ikke naturlige tall. Hvilke tall tror du dette er?

Tall som "minus fem", "minus seks", "minus syv" refererer til hele tall. Generelt inkluderer heltall alle naturlige tall, tall motsatt naturlige tall (det vil si tatt med et minustegn) og tall. Null er lett å forstå - det er når det ikke er noe. Hva betyr negative ("minus") tall? Men de ble først og fremst oppfunnet for å indikere gjeld: hvis du har en saldo på telefonen i rubler, betyr dette at du skylder operatøren rubler.

Alle brøker er rasjonelle tall. Hvordan oppsto de, tror du? Veldig enkelt. For flere tusen år siden oppdaget våre forfedre at de manglet naturlige tall for å måle lengde, vekt, areal osv. Og de kom på rasjonelle tall... Interessant, ikke sant?

Det finnes også irrasjonelle tall. Hva er disse tallene? Kort sagt, uendelig desimal. For eksempel, hvis du deler omkretsen av en sirkel på diameteren, får du et irrasjonelt tall.

Sammendrag:

La oss definere konseptet med en grad hvis eksponent er et naturlig tall (dvs. heltall og positivt).

1. Ethvert tall i første potens er lik seg selv:
2. Å kvadrere et tall betyr å multiplisere det med seg selv:
3. Å kube et tall betyr å multiplisere det med seg selv tre ganger:

Definisjon.Å heve et tall til en naturlig potens betyr å multiplisere tallet med seg selv ganger:
.

Egenskaper til grader

Hvor kom disse egenskapene fra? Jeg skal vise deg nå.

La oss se: hva er det Og ?

A-priory:

Hvor mange multiplikatorer er det totalt?

Det er veldig enkelt: vi la til multiplikatorer til faktorene, og resultatet er multiplikatorer.

Men per definisjon er dette en potens av et tall med en eksponent, det vil si: , som er det som måtte bevises.

Eksempel: Forenkle uttrykket.

Løsning:

Eksempel: Forenkle uttrykket.

Løsning: Det er viktig å merke seg at i vår regel Nødvendigvis det må være de samme grunnene!
Derfor kombinerer vi kreftene med basen, men det forblir en egen faktor:

bare for produktet av makter!

Du kan ikke under noen omstendigheter skrive det.

2. det er det potensen til et tall

Akkurat som med den forrige egenskapen, la oss gå til definisjonen av grad:

Det viser seg at uttrykket multipliseres med seg selv ganger, det vil si, i henhold til definisjonen, er dette den tredje potensen til tallet:

I hovedsak kan dette kalles "å ta indikatoren ut av parentes." Men du kan aldri gjøre dette totalt:

La oss huske de forkortede multiplikasjonsformlene: hvor mange ganger ønsket vi å skrive?

Men dette er tross alt ikke sant.

Kraft med negativ base

Frem til dette punktet har vi bare diskutert hva eksponenten skal være.

Men hva skal ligge til grunn?

I kraft av naturlig indikator grunnlaget kan være hvilket som helst tall. Faktisk kan vi multiplisere alle tall med hverandre, enten de er positive, negative eller partall.

La oss tenke på hvilke tegn ("" eller "") som vil ha grader av positive og negative tall?

For eksempel, er tallet positivt eller negativt? EN? ? Med den første er alt klart: uansett hvor mange positive tall vi multipliserer med hverandre, vil resultatet være positivt.

Men de negative er litt mer interessante. Vi husker den enkle regelen fra 6. klasse: "minus for minus gir et pluss." Det vil si eller. Men hvis vi multipliserer med, fungerer det.

Bestem selv hvilket tegn følgende uttrykk vil ha:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Klarte du deg?

Her er svarene: I de fire første eksemplene håper jeg alt er klart? Vi ser ganske enkelt på basen og eksponenten og bruker den passende regelen.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

I eksempel 5) er ikke alt så skummelt som det ser ut til: tross alt spiller det ingen rolle hva basen er lik - graden er jevn, noe som betyr at resultatet alltid vil være positivt.

Vel, bortsett fra når basen er null. Grunnlaget er ikke likt, er det? Åpenbart ikke, siden (fordi).

Eksempel 6) er ikke lenger så enkelt!

6 eksempler å øve på

Analyse av løsningen 6 eksempler

Hvis vi ignorerer åttende potens, hva ser vi her? La oss huske programmet for 7. klasse. Så, husker du? Dette er formelen for forkortet multiplikasjon, nemlig forskjellen på kvadrater! Vi får:

La oss se nøye på nevneren. Det ser mye ut som en av tellerfaktorene, men hva er galt? Rekkefølgen på vilkårene er feil. Hvis de ble omvendt, kan regelen gjelde.

Men hvordan gjøre det? Det viser seg at det er veldig enkelt: den jevne graden av nevneren hjelper oss her.

På magisk vis endret begrepene plass. Dette "fenomenet" gjelder alle uttrykk i jevn grad: vi kan enkelt endre tegnene i parentes.

Men det er viktig å huske: alle tegn endres samtidig!

La oss gå tilbake til eksemplet:

Og igjen formelen:

Hel vi kaller de naturlige tallene, deres motsetninger (det vil si tatt med tegnet " ") og tallet.

positivt heltall, og det er ikke forskjellig fra naturlig, så ser alt ut akkurat som i forrige seksjon.

La oss nå se på nye saker. La oss starte med en indikator lik.

Ethvert tall i null potens er lik en:

Som alltid, la oss spørre oss selv: hvorfor er det slik?

La oss vurdere en viss grad med en base. Ta for eksempel og multipliser med:

Så vi multipliserte tallet med, og vi fikk det samme som det var - . Hvilket tall skal du gange med slik at ingenting endres? Det stemmer, på. Midler.

Vi kan gjøre det samme med et vilkårlig tall:

La oss gjenta regelen:

Ethvert tall i null potens er lik en.

Men det finnes unntak fra mange regler. Og her er det også der - dette er et tall (som en base).

På den ene siden må det være lik i hvilken som helst grad - uansett hvor mye du multipliserer null med seg selv, vil du fortsatt få null, dette er klart. Men på den annen side, som et hvilket som helst tall til null potens, må det være likt. Så hvor mye av dette er sant? Matematikerne bestemte seg for ikke å involvere seg og nektet å heve null til null potens. Det vil si at nå kan vi ikke bare dele med null, men også heve den til null potens.

La oss gå videre. I tillegg til naturlige tall og tall inkluderer heltall også negative tall. For å forstå hva en negativ grad er, la oss gjøre som forrige gang: multiplisere et normalt tall med det samme negativ grad:

Herfra er det enkelt å uttrykke hva du leter etter:

La oss nå utvide den resulterende regelen til en vilkårlig grad:

Så la oss formulere en regel:

Et tall i negativ potens er det gjensidige av det samme tallet til positiv grad. Men samtidig Basen kan ikke være null:(fordi du ikke kan dele med).

La oss oppsummere:

I. Uttrykket er ikke definert i saken. Hvis da.

II. Ethvert tall i nullpotens er lik én: .

III. Et tall som ikke er lik null til en negativ potens er inversen av det samme tallet til en positiv potens: .

Oppgaver for selvstendig løsning:

Vel, som vanlig, eksempler for uavhengig avgjørelse:

Analyse av problemer for uavhengig løsning:

Jeg vet, jeg vet, tallene er skumle, men på Unified State-eksamenen må du være forberedt på hva som helst! Løs disse eksemplene eller analyser løsningene deres hvis du ikke kunne løse dem, og du vil lære å takle dem enkelt i eksamen!

La oss fortsette å utvide rekkevidden av tall "egnet" som eksponent.

La oss nå vurdere rasjonelle tall. Hvilke tall kalles rasjonelle?

Svar: alt som kan representeres som en brøk, hvor og er heltall, og.

For å forstå hva det er "brøkdel grad", tenk på brøken:

La oss heve begge sider av ligningen til en potens:

La oss nå huske regelen om "grad til grad":

Hvilket tall må heves til en makt for å få?

Denne formuleringen er definisjonen av roten til th grad.

La meg minne deg på: roten av th potens av et tall () er et tall som, når det heves til en potens, er lik.

Det vil si at roten til th potens er den omvendte operasjonen av å heve til en potens: .

Det viser seg at. Selvfølgelig kan dette spesielle tilfellet utvides: .

Nå legger vi til telleren: hva er det? Svaret er enkelt å få ved å bruke makt-til-makt-regelen:

Men kan basen være et hvilket som helst tall? Tross alt kan ikke roten trekkes ut fra alle tall.

Ingen!

La oss huske regelen: ethvert tall hevet til en partall er et positivt tall. Det vil si at det er umulig å trekke ut jevne røtter fra negative tall!

Det betyr at slike tall ikke kan heves til brøkkraft med en jevn nevner, det vil si at uttrykket ikke gir mening.

Hva med uttrykket?

Men her oppstår et problem.

Tallet kan representeres i form av andre, reduserbare brøker, for eksempel, eller.

Og det viser seg at det eksisterer, men ikke eksisterer, men dette er bare to forskjellige poster med samme nummer.

Eller et annet eksempel: en gang, så kan du skrive det ned. Men hvis vi skriver ned indikatoren annerledes, vil vi igjen få problemer: (det vil si at vi fikk et helt annet resultat!).

For å unngå slike paradokser, vurderer vi bare positiv baseeksponent med brøkeksponent.

Så hvis:

• - naturlig tall;
• - heltall;

Eksempler:

Rasjonelle eksponenter er veldig nyttige for å transformere uttrykk med røtter, for eksempel:

5 eksempler å øve på

Analyse av 5 eksempler for trening

Vel, nå kommer den vanskeligste delen. Nå skal vi finne ut av det grad med irrasjonell eksponent.

Alle reglene og egenskapene til grader her er nøyaktig de samme som for en grad med en rasjonell eksponent, med unntak

Tross alt, per definisjon, er irrasjonelle tall tall som ikke kan representeres som en brøk, hvor og er heltall (det vil si at irrasjonelle tall er alle reelle tall unntatt rasjonelle).

Når vi studerer grader med naturlige, heltalls og rasjonelle eksponenter, skapte vi hver gang et bestemt "bilde", "analogi" eller beskrivelse i mer kjente termer.

For eksempel er en grad med en naturlig eksponent et tall multiplisert med seg selv flere ganger;

...tall til null potens- dette er, som det var, et tall multiplisert med seg selv en gang, det vil si at de ennå ikke har begynt å multiplisere det, noe som betyr at selve tallet ikke en gang har dukket opp ennå - derfor er resultatet bare et visst "tomt tall" , nemlig et tall;

...negativ heltallsgrad- det er som om en "omvendt prosess" hadde skjedd, det vil si at tallet ikke ble multiplisert med seg selv, men delt.

Forresten, i vitenskap brukes ofte en grad med en kompleks indikator, det vil si at en indikator ikke engang er ekte nummer.

Men på skolen tenker vi ikke på slike vanskeligheter; du vil ha muligheten til å forstå disse nye konseptene ved instituttet.

HVOR ER VI SIKRE AT DU GÅR! (hvis du lærer å løse slike eksempler :))

For eksempel:

Bestem selv:

Analyse av løsninger:

1. La oss starte med den vanlige regelen for å heve en makt til en makt:

Se nå på indikatoren. Minner han deg ikke om noe? La oss huske formelen for forkortet multiplikasjon av forskjellen av kvadrater:

I dette tilfellet,

Det viser seg at:

Svar: .

2. Vi reduserer brøker i eksponenter til samme utseende: enten begge desimaler eller begge vanlige. Vi får for eksempel:

Svar: 16

3. Ikke noe spesielt, la oss bruke det normale egenskaper grader:

AVANSERT NIVÅ

Fastsettelse av grad

En grad er et uttrykk for formen: , hvor:

• — grad base;
• - eksponent.

Grad med naturlig indikator (n = 1, 2, 3,...)

Å heve et tall til den naturlige potensen n betyr å multiplisere tallet med seg selv ganger:

Grad med en heltallseksponent (0, ±1, ±2,...)

Hvis eksponenten er positivt heltall Antall:

Konstruksjon til null grad:

Uttrykket er ubestemt, fordi på den ene siden, i hvilken som helst grad er dette, og på den annen side, et hvilket som helst tall i den th grad er dette.

Hvis eksponenten er negativt heltall Antall:

(fordi du ikke kan dele med).

Nok en gang om nuller: uttrykket er ikke definert i kasus. Hvis da.

Eksempler:

Kraft med rasjonell eksponent

• - naturlig tall;
• - heltall;

Eksempler:

Egenskaper til grader

For å gjøre det lettere å løse problemer, la oss prøve å forstå: hvor kom disse egenskapene fra? La oss bevise dem.

La oss se: hva er og?

A-priory:

Så på høyre side av dette uttrykket får vi følgende produkt:

Men per definisjon er det en potens av et tall med en eksponent, det vil si:

Q.E.D.

Eksempel : Forenkle uttrykket.

Løsning : .

Eksempel : Forenkle uttrykket.

Løsning : Det er viktig å merke seg at i vår regel Nødvendigvis det må være de samme grunnene. Derfor kombinerer vi kreftene med basen, men det forblir en egen faktor:

En annen viktig merknad: denne regelen - bare for produkt av makter!

Du kan ikke under noen omstendigheter skrive det.

Akkurat som med den forrige egenskapen, la oss gå til definisjonen av grad:

La oss omgruppere dette arbeidet slik:

Det viser seg at uttrykket multipliseres med seg selv ganger, det vil si, i henhold til definisjonen, er dette den tredje potensen til tallet:

I hovedsak kan dette kalles "å ta indikatoren ut av parentes." Men du kan aldri gjøre dette totalt: !

La oss huske de forkortede multiplikasjonsformlene: hvor mange ganger ønsket vi å skrive? Men dette er tross alt ikke sant.

Kraft med negativ base.

Til nå har vi bare diskutert hvordan det skal være indeks grader. Men hva skal ligge til grunn? I kraft av naturlig indikator grunnlaget kan være hvilket som helst tall .

Faktisk kan vi multiplisere alle tall med hverandre, enten de er positive, negative eller partall. La oss tenke på hvilke tegn ("" eller "") som vil ha grader av positive og negative tall?

For eksempel, er tallet positivt eller negativt? EN? ?

Med den første er alt klart: uansett hvor mange positive tall vi multipliserer med hverandre, vil resultatet være positivt.

Men de negative er litt mer interessante. Vi husker den enkle regelen fra 6. klasse: "minus for minus gir et pluss." Det vil si eller. Men hvis vi ganger med (), får vi - .

Og så videre i det uendelige: for hver påfølgende multiplikasjon vil tegnet endres. Vi kan formulere følgende enkle regler:

1. til og med grad, - antall positivt.
2. Et negativt tall, innebygd merkelig grad, - antall negativ.
3. Positivt tall til enhver grad er et positivt tall.
4. Null til enhver potens er lik null.

Bestem selv hvilket tegn følgende uttrykk vil ha:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Klarte du deg? Her er svarene:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

I de fire første eksemplene håper jeg at alt er klart? Vi ser ganske enkelt på basen og eksponenten og bruker den passende regelen.

I eksempel 5) er ikke alt så skummelt som det ser ut til: tross alt spiller det ingen rolle hva basen er lik - graden er jevn, noe som betyr at resultatet alltid vil være positivt. Vel, bortsett fra når basen er null. Grunnlaget er ikke likt, er det? Åpenbart ikke, siden (fordi).

Eksempel 6) er ikke lenger så enkelt. Her må du finne ut hva som er mindre: eller? Hvis vi husker det, blir det klart det, og derfor grunnlaget mindre enn null. Det vil si at vi bruker regel 2: resultatet blir negativt.

Og igjen bruker vi definisjonen av grad:

Alt er som vanlig - vi skriver ned definisjonen av grader og deler dem på hverandre, deler dem i par og får:

Før vi ser på den siste regelen, la oss løse noen eksempler.

Regn ut uttrykkene:

Løsninger :

Hvis vi ignorerer åttende potens, hva ser vi her? La oss huske programmet for 7. klasse. Så, husker du? Dette er formelen for forkortet multiplikasjon, nemlig forskjellen på kvadrater!

Vi får:

La oss se nøye på nevneren. Det ser mye ut som en av tellerfaktorene, men hva er galt? Rekkefølgen på vilkårene er feil. Hvis de ble reversert, kan regel 3 gjelde. Men hvordan? Det viser seg at det er veldig enkelt: den jevne graden av nevneren hjelper oss her.

Hvis du ganger det med, endres ingenting, ikke sant? Men nå blir det slik:

På magisk vis endret begrepene plass. Dette "fenomenet" gjelder alle uttrykk i jevn grad: vi kan enkelt endre tegnene i parentes. Men det er viktig å huske: Alle tegn endres samtidig! Du kan ikke erstatte den med ved å endre bare én ulempe vi ikke liker!

La oss gå tilbake til eksemplet:

Og igjen formelen:

Så nå siste regel:

Hvordan skal vi bevise det? Selvfølgelig, som vanlig: la oss utvide begrepet grad og forenkle det:

Vel, la oss nå åpne parentesene. Hvor mange bokstaver er det totalt? ganger med multiplikatorer - hva minner dette deg om? Dette er ikke annet enn en definisjon av en operasjon multiplikasjon: Det var bare multiplikatorer der. Det vil si at dette per definisjon er en potens av et tall med en eksponent:

Eksempel:

Grad med irrasjonell eksponent

I tillegg til informasjon om grader for gjennomsnittsnivået vil vi analysere graden med en irrasjonell eksponent. Alle reglene og egenskapene til grader her er nøyaktig de samme som for en grad med en rasjonell eksponent, med unntak - tross alt, per definisjon, er irrasjonelle tall tall som ikke kan representeres som en brøk, hvor og er heltall (det vil si , irrasjonelle tall er alle reelle tall unntatt rasjonelle tall).

Når vi studerer grader med naturlige, heltalls og rasjonelle eksponenter, skapte vi hver gang et bestemt "bilde", "analogi" eller beskrivelse i mer kjente termer. For eksempel er en grad med en naturlig eksponent et tall multiplisert med seg selv flere ganger; et tall til null potens er så å si et tall multiplisert med seg selv en gang, det vil si at de ennå ikke har begynt å multiplisere det, noe som betyr at selve tallet ikke en gang har dukket opp enda - derfor er resultatet bare et visst "blankt nummer", nemlig et tall; en grad med en negativ heltallseksponent - det er som om en "omvendt prosess" hadde skjedd, det vil si at tallet ikke ble multiplisert med seg selv, men delt.

Det er ekstremt vanskelig å forestille seg en grad med en irrasjonell eksponent (akkurat som det er vanskelig å forestille seg et 4-dimensjonalt rom). Det er snarere et rent matematisk objekt som matematikere skapte for å utvide gradsbegrepet til hele tallrommet.

Forresten, i vitenskapen brukes ofte en grad med en kompleks eksponent, det vil si at eksponenten ikke engang er et reelt tall. Men på skolen tenker vi ikke på slike vanskeligheter; du vil ha muligheten til å forstå disse nye konseptene ved instituttet.

Så hva gjør vi hvis vi ser en irrasjonell eksponent? Vi prøver så godt vi kan å bli kvitt det! :)

For eksempel:

Bestem selv:

1)

2)

3)

Svar:

1. La oss huske formelen for forskjellen på kvadrater. Svar: .
2. Vi reduserer brøkene til samme form: enten begge desimaler eller begge vanlige. Vi får for eksempel: .
3. Ikke noe spesielt, vi bruker de vanlige egenskapene til grader:

SAMMENDRAG AV SEKSJONEN OG GRUNNLEGGENDE FORMLER

Grad kalt et uttrykk for formen: , hvor:

Grad med en heltallseksponent

en grad hvis eksponent er et naturlig tall (dvs. heltall og positivt).

Kraft med rasjonell eksponent

grad, hvis eksponent er negative tall og brøktall.

Grad med irrasjonell eksponent

en grad hvis eksponent er en uendelig desimalbrøk eller rot.

Egenskaper til grader

Funksjoner av grader.

• Negativt tall hevet til til og med grad, - antall positivt.
• Negativt tall hevet til merkelig grad, - antall negativ.
• Et positivt tall i en hvilken som helst grad er et positivt tall.
• Null er lik enhver potens.
• Ethvert tall i null potens er lik.

NÅ HAR DU ORDET...

Hvordan liker du artikkelen? Skriv nedenfor i kommentarfeltet om du likte det eller ikke.

Fortell oss om din erfaring med gradsegenskaper.

Kanskje du har spørsmål. Eller forslag.

Skriv i kommentarfeltet.

Og lykke til med eksamen!