Svar:

Ingen navn

hvis vi anser at en ^ x \u003d e ^ x * ln (a), viser den at den samme 0 ^ 0 \u003d 1 (grense, ved X-\u003e 0)
Selv om svaret er "usikkerhet" også akseptabelt

Null i matematikk er ikke tomhet, dette nummeret er svært nær "ingenting", akkurat som uendelig bare på svinget

Kloakk:
0 ^ 0 \u003d 0 ^ (A-A) \u003d 0 ^ a * 0 ^ (- a) \u003d 0 ^ a / 0 ^ a \u003d 0/0
I dette tilfellet deler vi på , og denne operasjonen over et felt av reelle tall er ikke definert.

6 år siden

RPI.SU er den største russisktalende basen av spørsmål og svar. Prosjektet vårt ble implementert som en videreføring av den populære tjenesten otvety.google.ru, som ble stengt og fjernet 30. april 2015. Vi bestemte oss for å gjenopplive den nyttige tjenesten til Googles svar, slik at alle kan finne ut svaret på hans spørsmål fra Internett-fellesskapet.

Alle spørsmål lagt til Googles svar Site vi kopierte og lagret her. Navnene på gamle brukere vises også i skjemaet de eksisterte tidligere. Bare trenger å rekruttere registrering for å kunne stille spørsmål, eller svare på andre.

Å kontakte oss på spørsmål om nettstedet (reklame, samarbeid, gjennomgang av tjenesten), skriv til postkontoret [Email beskyttet] Bare alle de vanlige spørsmålene plasserer på nettstedet, de er ikke utstyrt med et svar via post.

Hva vil null være like hvis det tas til null?

Hvorfor er tallet til grad 0 lik 1? Det er en regel at et hvilket som helst tall, i tillegg til , reist i en null grad vil være lik en: 20 \u003d 1; 1,50 \u003d 1; 100000 \u003d 1 Men hvorfor er det så? Når tallet er reist i et forhold med en naturlig indikator, menes det at det multipliseres i seg selv så mange ganger indikatoren for graden: 43 \u003d 4 × 4 × 4; 26 \u003d 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 Når indikatoren på graden er 1, så er det bare en multiplikator under konstruksjonen (hvis det ikke kan være noen faktor generelt), og derfor er byggresultatet lik bakken: 181 \u003d 18; (-3,4) 1 \u003d -3,4 Men hvordan i et slikt tilfelle være med en nullindikator? Hva multiplisert med? La oss prøve å gå annerledes. Det er kjent at hvis to grader har de samme basene, men forskjellige indikatorer, kan basen stå i det samme, og indikatorene er enten foldet med hverandre (hvis graden multipliseres), eller trekk dividerindikatoren fra Dividy indikator (hvis delt): 32 × 31 \u003d 32 + 1 \u003d 33 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27 45 ÷ 43 \u003d 45-3 \u003d 42 \u003d 4 × 4 \u003d 16 Og nå anser vi et slikt eksempel: 82 ÷ 82 \u003d 82-2 \u003d 80 \u003d? Hva om vi ikke bruker egenskapen til grader med samme base og gjør beregninger i rekkefølge av følger: 82 ÷ 82 \u003d 64 ÷ 64 \u003d 1 Så vi fikk en elskede enhet. Således synes nullindikatoren i omfanget å si at tallet ikke multipliseres av seg selv, men er delt av seg selv. Og dermed blir det klart hvorfor uttrykket 00 ikke gir mening. Tross alt er det umulig å dele på 0. Det kan argumenteres annerledes. Hvis det for eksempel er multiplikasjon av grader 52 × 50 \u003d 52 + 0 \u003d 52, følger det at 52 ble multiplisert med 1. Følgelig, 50 \u003d 1.

Fra egenskapene til grader: A ^ N / A ^ M \u003d A ^ (NM) Hvis N \u003d M, vil resultatet være enheten unntatt naturlig A \u003d 0, i dette tilfellet (siden null i noen grad vil være null) ville ha en divisjon på , derfor eksisterer ikke 0 ^ 0

Konto på forskjellige språk

Nizhny navn fra 0 til 9 i populære verdens språk.

Språk	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Engelsk	null.	en.	to	tre.	fire.	fem.	seks.	syv.	Åtte	ni
Bulgarsk.	nula	edino.	to	tre	chetsiri.	kjæledyr	stang	sem.	akser	nett
Ungarsk.	nulla.	egy.	kettõ.	három.	négy.	Öt.	hatt.	hét.	nyolc.	kilenc.
nederlandsk	nul.	en.	twee.	dRIE	vier.	vijf.	zes.	zeven.	acht.	negen.
dansk	nul.	en.	til.	tre.	brann	fem.	sEKS.	sYV.	oTTE.	ni.
Spansk	cero.	uno.	dos.	tres.	cuatro.	cinco.	seis	siete.	ocho.	nueve.
Italiensk.	null.	uno.	på grunn.	tre.	quattro.	cinque.	sei	sette	otto.	nove.
Litauen	nulis.	vienas.	du.	trys.	keturi.	penki.	SKIP	sepetyni.	aðtuoni.	devyni.
tysk	nULL	ein.	zwei.	drei.	vier.	fünf.	sechs.	sieben.	acht.	neun.
Russisk	null	en	to	tre	fire	fem	seks	syv.	åtte	ni
Pusse	null.	jeden.	dWA.	trasen.	csium.	piêæ.	sze¶æ.	siedem.	osiem.	dziewiêæ.
Portugisisk	um.	dois.	três.	quatro.	cinco.	seis	sete	oito.	nove.
fransk	null.	fN	deux.	tROIS.	quatre.	cINQ.	seks.	sEPT.	huit.	neuf.
Tsjekkia	nula.	jedna.	dva.	tØI.	ètyøy.	gruve.	¹estest.	sedm.	oSM.	devìt.
svensk	noll	ett.	tVA.	tre.	fyra.	fem.	kjønn	sju.	atta.	nio.
Estisk	nULL	ÜKs.	kaks.	kOLM.	neli.	viis.	kuus.	sEITSE.	kaheksa.	Üheksa.

Negativ og null

Null, negativ og brøkdel

Null indikator

Vurder dette nummeret til en viss grad å gjenta det på en fabrikk så mange ganger som enheter i en indikator på graden.

Ifølge denne definisjonen, uttrykket: eN. 0 er ikke fornuftig. Men at regelen om å dele grader av samme nummer, slik at verdien av divideren er lik divisjonsindikatoren, ble definisjonen introdusert:

Nullgraden av et hvilket som helst tall vil være lik en.

Negativ indikator

Uttrykk a -M., i seg selv gir ikke mening. Men for å dele grader av samme nummer, og i tilfelle når dividerindikatoren er større enn den konkrete indikatoren, ble definisjonen introdusert:

Eksempel 1. Hvis dette tallet består av 5 hundre, 7 tiere, 2 enheter og 9 hundre, kan det avbildes som følger:

5 × 10 2 + 7 × 10 1 + 2 × 10 0 + 0 × 10 -1 + 9 × 10 -2 \u003d 572.09

Eksempel 2. Hvis dette nummeret består av en dusinvis, B-enheter, med tiendedeler og D tusenvis av det, kan det portretteres som følger:

eN. × 10 1 + b. × 10 0 + c. × 10 -1 + d. × 10 -3.

Handlinger på grader med negative indikatorer

Når du multipliserer grader av samme nummer, er indikatorene brettet.

Når du deler grader av samme nummer, blir dividerindikatoren trukket fra divisjonen.

For å bli tatt i graden av arbeid, er det nok å bygge i denne grad hvert faktum separat:

For å konstruere en brøkdel, er det nok å bygge denne graden separat begge medlemmer av Fraci:

Når du oppretter en grad i en annen grad, er indikatorene for grader variabel.

Fraksjonell indikator

Hvis en k. ikke det er et flere n., så uttrykk: gir ikke mening. Men at regelen om å trekke ut roten fra den grad fant sted med en hvilken som helst verdi på indikatoren i graden, ble definisjonen introdusert:

Takket være introduksjonen av et nytt symbol, kan rotutvinningen alltid erstattes av øvelsen.

Handlinger på grader med fraksjonelle indikatorer

Handlinger på grader med fraksjonelle indikatorer utføres i henhold til de samme reglene som er angitt for heltallindikatorer.

I beviset på denne situasjonen vil vi først anta at medlemmer av fraksjoner: og serveringsindikatorer på grader er positive.

Spesielt n. eller q. kan være lik en.

Når du multipliserer grader av samme nummer, folder fraksjonelle indikatorer:

Når du deler grader av samme nummer med fraksjonelle indikatorer, blir dividerindikatoren trukket fra DivIDE-indikatoren:

For å øke en grad i en annen grad i tilfelle av fraksjonelle indikatorer, er det tilstrekkelig å formere graderen:

For å trekke ut roten til brøkdegrad, er det ganske nok til å dele graden til roten:

Virkningsregler gjelder ikke bare for positivt fraksjonelle indikatorer, men også til negativ.

Det er en regel at et hvilket som helst tall i tillegg til , reist til null grad vil være lik en:
2 0 = 1; 1.5 0 = 1; 10 000 0 = 1
Men hvorfor er det så?
Når tallet er reist til et forhold med en naturlig figur, menes det at det multipliseres i seg selv så mange ganger som en indikator:
4 3 \u003d 4 × 4 × 4; 2 6 \u003d 2 × 2 × 2 × 2 × 2 x 2
Når indikatoren for graden er 1, så under konstruksjonen er det bare en multiplikator (hvis det ikke kan være noen faktor generelt), og derfor er byggesultatet lik jorden:
18 1 = 18;(-3.4)^1 = -3.4
Men hvordan, i dette tilfellet, med nullindikatoren? Hva multiplisert med?
La oss prøve å gå annerledes.

Hvorfor er tallet til grad 0 lik 1?

Det er kjent at hvis to grader har de samme basene, men forskjellige indikatorer, kan basen stå i det samme, og indikatorene er enten foldet med hverandre (hvis graden multipliseres), eller graden av dividerindikatoren Fra Dividy-indikatoren (hvis grader er delt):
3 2 × 3 1 \u003d 3 ^ (2 + 1) \u003d 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27
4 5 ÷ 4 3 \u003d 4 ^ (5-3) \u003d 4 2 \u003d 4 × 4 \u003d 16
Og vurder nå et slikt eksempel:
8 2 ÷ 8 2 \u003d 8 ^ (2-2) \u003d 8 0 \u003d?
Hva om vi ikke bruker egenskapen til grader med samme grunnlag og produserer beregninger i rekkefølge av deres følgende:
8 2 ÷ 8 2 \u003d 64 ÷ 64 \u003d 1
Så vi fikk en verdsatt enhet. Således synes nullindikatoren i omfanget å si at tallet ikke multipliseres av seg selv, men er delt av seg selv.
Og dermed blir det klart hvorfor uttrykket 0 0 ikke gir mening. Tross alt er det umulig å dele 0.

Første nivå

Graden og egenskapene. Uttømmende veiledning (2019)

Hvorfor trenger du? Hvor kommer de til deg? Hvorfor trenger du å tilbringe tid på studiet?

For å finne ut alt om grader, hva de trenger for det de trenger å bruke sin kunnskap i hverdagen Les denne artikkelen.

Og selvfølgelig vil kunnskapen om grader bringe deg nærmere den vellykkede overgivelsen av OGE eller EGE og for å komme inn i Universitetet i drømmene dine.

La oss gå ... (kjørte!)

Viktig merknad! Hvis i stedet for formler ser du abracadabra, rengjør hurtigbufferen. For å gjøre dette, klikk Ctrl + F5 (på Windows) eller CMD + R (på Mac).

FØRSTE NIVÅ

Øvelsen er den samme matematiske operasjonen som tillegg, subtraksjon, multiplikasjon eller divisjon.

Nå vil jeg forklare alt menneskelig språk på svært enkle eksempler. Følg med. Eksempler på elementær, men forklarer viktige ting.

La oss starte med tillegg.

Det er ingenting å forklare her. Du vet alle alt: Vi er åtte personer. Alle har to flasker Cola. Hvor mye er Cola? Høyre - 16 flasker.

Nå multiplikasjon.

Det samme eksempelet med en Cola kan registreres annerledes :. Matematikk - folk lising og lat. De merker først noen mønstre, og oppfinner deretter måten å "telle" dem raskere. I vårt tilfelle la de merke til at hver av de åtte menneskene hadde samme antall Cola-flasker og kom opp med en mottak kalt multiplikasjon. Enig, det anses å være enklere og raskere enn.

Så, for å lese raskere, enklere og uten feil, trenger du bare å huske tabell multiplikasjon. Selvfølgelig kan du gjøre alt sakte, vanskeligere og feil! Men…

Her er multiplikasjonstabellen. Gjenta.

Og den andre, vakrere:

Og hvilke andre triks kom opp med lat matematikere? Ikke sant - ereksjon.

Ereksjon

Hvis du trenger å multiplisere tallet for deg selv fem ganger, så sier matematikk at du må bygge dette nummeret i femte grad. For eksempel, . Matematikk Husk at to i femte grad er. Og de løser slike oppgaver i sinnet - raskere, enklere og uten feil.

For dette trenger du bare husk hva som er uthevet i fargen i tabellen i grad av tall. Tro det, det vil i stor grad lette livet ditt.

Forresten, hvorfor den andre graden kalles torget tall, og den tredje - cuba.? Hva betyr det? Veldig bra spørsmål. Nå vil det være for deg og firkanter, og Cuba.

Eksempel fra livsnummer 1

La oss starte med en firkant eller fra en annen grad av nummer.

Tenk deg et firkantet basseng av meter størrelse på en meter. Bassenget er på din dacha. Varme og virkelig ønsker å svømme. Men ... basseng uten bunnen! Du må lagre bunnen av bassengfliser. Hvor mye trenger du fliser? For å kunne bestemme dette, må du finne ut området på bunnen av bassenget.

Du kan bare beregne, med en finger, at bunnen av bassenget består av en meter kuber per meter. Hvis du har en meter fliser for meter, trenger du stykker. Det er enkelt ... men hvor så du en slik flis? Flisen er mer sannsynlig å se for å se og deretter "finger for å telle" tortur. Da må du multiplisere. Så på den ene siden av bunnen av bassenget passer vi til fliser (stykker) og på den andre for fliser. Multiplikasjon på, vil du få fliser ().

Har du merke til at for å bestemme området på bunnen av bassenget, multipliserer vi det samme nummeret selv? Hva betyr det? Dette multipliseres med samme nummer, vi kan dra nytte av "ereksjonen av utryddelsen". (Selvfølgelig, når du bare har to tall, multipliserer dem eller heve dem i graden. Men hvis du har mange av dem, er det mye lettere å heve dem når det gjelder beregninger, for mye mindre. For eksamen, den er veldig viktig).
Så tretti i andre grad vil (). Eller vi kan si at tretti i torget vil være. Med andre ord kan den andre graden av tallet alltid være representert som en firkant. Og tvert imot, hvis du ser en firkant - er det alltid den andre graden av noe nummer. Square er bildet av et andre grad nummer.

Eksempel fra livsnummer 2

Her er oppgaven, teller hvor mange firkanter på et sjakkbrett med et firkant av tallet ... på den ene siden av cellene og på den andre også. For å beregne deres mengde, må du multiplisere åtte eller ... Hvis du merker at sjakkbrettet er et firkant på siden, kan du bygge åtte per kvadrat. Det viser seg celler. () Så?

Eksempel fra livsnummer 3

Nå en terning eller en tredje grad av nummer. Det samme bassenget. Men nå må du vite hvor mye vann som må fylle ut dette bassenget. Du må telle volumet. (Volumer og væsker, forresten, måles i kubikkmeter. Plutselig, egentlig?) Tegn et basseng: bunnen av målerens størrelse og en dybde på meter og prøv å telle hvor mye kuber størrelsen på måleren på måleren vil Skriv inn bassenget ditt.

Høyre Vis fingeren og teller! En gang, to, tre, fire ... tjue to, tjuefire ... hvor mye skjedde det? Kom ikke ned? Vanskelig å telle fingeren? Så det! Ta et eksempel fra matematikere. De er lat, derfor merket at for å beregne volumet av bassenget, er det nødvendig å formere hverandre i lengde, bredde og høyde. I vårt tilfelle vil volumet av bassenget være lik kuber ... det er lettere for sannheten?

Og tenk nå, så langt som matematikk er lat og listig, hvis de er forenklet. Brakte alt til en handling. De la merke til at lengden, bredden og høyden er lik og at det samme tallet varnimer seg selv på seg selv ... og hva betyr dette? Dette betyr at du kan dra nytte av graden. Så, hva syntes du med fingeren, de gjør i en handling: Tre i Cuba er lik. Dette er skrevet slik :.

Det forblir bare husk bordet grader. Hvis du selvfølgelig er den samme lat og listige som matematikk. Hvis du liker å jobbe mye og gjøre feil - kan du fortsette å telle fingeren.

Vel, å endelig overbevise deg om at graderen kom opp med Lodii og Cunnies for å løse sine livsproblemer, og ikke å skape problemer med deg, her er et annet par eksempler fra livet.

Eksempel fra livsnummer 4

Du har en million rubler. I begynnelsen av hvert år tjener du hver million en million. Det vil si at hver million vil doble i begynnelsen av hvert år. Hvor mye penger vil du ha i årene? Hvis du sitter nå og "du tror fingeren din", så er du en veldig hardt arbeidende person og .. dumt. Men mest sannsynlig vil du svare om et par sekunder, fordi du er smart! Så, i det første året - to multiplisert to ... i det andre året - hva skjedde, en annen to, på det tredje året ... Stopp! Du la merke til at nummeret multipliserer seg selv. Så, to i femte grad - en million! Og tenk nå at du har en konkurranse, og disse millioner vil motta den som vil finne raskere ... Det er verdt å huske graden av tall, hva synes du?

Eksempel fra livsnummer 5

Du har en million. I begynnelsen av hvert år tjener du hver million to. Stor sannhet? Hver million tripler. Hvor mye penger vil du ha etter et år? La oss telle. Det første året er å multiplisere på, så resultatet er fortsatt på ... allerede kjedelig, fordi du allerede har forstått alt: tre multipliseres av seg selv. Derfor er den fjerde graden lik en million. Det er bare nødvendig å huske at tre i fjerde grad er eller.

Nå vet du at ved hjelp av ereksjonen av tallet, vil du i stor grad lette livet ditt. La oss se nærmere på hva du kan gjøre med grader og hva du trenger å vite om dem.

Vilkår og begreper ... for ikke å bli forvirret

Så, for forretter, la oss definere konseptene. Hva tror du, hva er indikatoren for graden? Det er veldig enkelt - dette er nummeret som er "på toppen" av graden av nummer. Ikke vitenskapelig, men det er klart og lett å huske ...

Vel, samtidig som en slik fundamentgrad? Enda enklere - dette er nummeret som er under, ved foten.

Her er en tegning for lojalitet.

Vel, generelt, for å oppsummere og bedre huske ... graden med grunnlaget "" og indikatoren "" leses som "til grad" og er skrevet som følger:

Graden av tall med en naturlig indikator

Du har allerede antatt at indikatoren er et naturlig tall. Ja, men hva er det naturnummer? Elementær! Naturlig Dette er tallene som brukes i kontoen ved notering av elementer: en, to, tre ... Vi, når vi vurderer varer, ikke si: "minus fem", "minus seks", "minus syv". Vi sier heller ikke: "En tredjedel", eller "null av hele, fem tiendedeler." Dette er ikke naturlige tall. Og hva disse tallene tror du?

Tall som "minus fem", "minus seks", "minus syv" tilhører hele tall. Generelt, til hele tall inkluderer alle naturlige tall, tallene er motsatt til naturlige (det vil si tatt med et minustegn), og nummeret. Null forstår enkelt - dette er når ingenting. Og hva mener de negative ("minus") tall? Men de ble oppfunnet primært for å utpeke gjeld: Hvis du har en balanse på telefonnummeret, betyr det at du bør operatør rubler.

Alle slags fraksjoner er rasjonelle tall. Hvordan oppsto de, hva synes du? Veldig enkelt. For flere tusen år siden fant våre forfedre at de mangler naturlige tall for å måle lenge, vekt, firkantet, etc. Og de oppfunnet seg rasjonelle tall... Jeg lurer på om det er sant?

Det er også irrasjonelle tall. Hva er dette nummeret? Hvis kort, så en uendelig desimalfraksjon. For eksempel, hvis omkretslengden er delt inn i diameteren, vil det irrasjonelle nummeret være.

Sammendrag:

Vi definerer begrepet grad, indikatoren som er et naturlig tall (dvs. en hel og positiv).

1. Et hvilket som helst tall til første grad like for seg selv:
2. Evaluer tallet på torget - det betyr å formere det i seg selv:
3. Evaluer tallet i kuben - det betyr å formere det i seg selv tre ganger:

Definisjon. Evaluer tallet i en naturlig grad - det betyr å multiplisere antallet hele tiden for deg selv:
.

Egenskaper av grader

Hvor kom disse egenskapene fra? Jeg vil vise deg nå.

La oss se: Hva er og ?

A-Priory:

Hvor mange multiplikatorer er her?

Veldig enkelt: Vi fullførte multiplikatorer til multiplikatorer, det viste seg faktorene.

Men i definisjon er dette graden av et tall med en indikator, det vil si at det var nødvendig å bevise.

Eksempel: Forenkle uttrykket.

Beslutning:

Eksempel: Forenkle uttrykket.

Beslutning: Det er viktig å legge merke til det i vår regel før Må være det samme grunnlaget!
Derfor kombinerer vi grader med grunnlag, men forblir en egen multiplikator:

bare for graders arbeid!

I intet tilfelle kan ikke skrive det.

2. Det er Graden av nummer

Akkurat som med den forrige eiendommen, vender vi oss til definisjonen av graden:

Det viser seg at uttrykket multipliseres i seg selv en gang, det vil si ifølge definisjonen, dette er det en rekke nummer:

Faktisk kan dette kalles "indikatoren for parentes". Men aldri kan gjøre det i mengden:

Husk formelen for forkortet multiplikasjon: Hvor mange ganger ønsket vi å skrive?

Men det er feil, fordi.

Negativ

Opp til dette punktet diskuterte vi bare hva indikatoren skulle være.

Men hva skal være grunnlaget?

I grader av S. naturlig indikator Basen kan være et hvilket som helst nummer. Og sannheten, vi kan multiplisere hverandre noen tall, enten de er positive, negative, eller til og med.

La oss tenke på hvilke tegn ("eller" ") vil ha grader av positive og negative tall?

For eksempel, et positivt eller negativt tall? MEN? ? Med den første er alt klart: Hvor mange positive tall vi ikke multipliseres av hverandre, vil resultatet være positivt.

Men med negativt litt mer interessant. Tross alt husker vi en enkel regel om klasse 6: "Minus for minus gir et pluss." Det er eller. Men hvis vi multipliserer på, vil den trene.

Bestem uavhengig, hvilket tegn på følgende uttrykk vil ha:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Håndtere?

Her er svarene: I de første fire eksemplene håper jeg alt er forståelig? Bare se på basen og indikatoren, og bruk riktig regel.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

I eksempel 5) er alt også ikke så skummelt, som det virker: Det spiller ingen rolle hva som er lik basen - graden er jevn, noe som betyr at resultatet alltid vil være positivt.

Vel, med unntak av saken når basen er null. Årsaken er ikke like? Åpenbart nei, fordi (fordi).

Eksempel 6) er ikke lenger så enkelt!

6 Eksempler på opplæring

Løsninger på 6 eksempler

Hvis du ikke tar hensyn til den åttende grad, hva ser vi her? Husk karakter 7-programmet. Så husket? Dette er en formel for forkortet multiplikasjon, nemlig - forskjellen på firkanter! Vi får:

Se forsiktig på nevneren. Han ligner veldig på en av multiplikatorene til telleren, men hva er galt? Ikke prosedyren for vilkårene. Hvis de ville forandre dem på steder, ville det være mulig å bruke regelen.

Men hvordan å gjøre det? Det viser seg veldig enkelt: Den jevne graden av denominatoren hjelper oss.

Magisk endret komponentene på steder. Dette "fenomenet" gjelder for ethvert uttrykk for en jevn grad: Vi kan fritt endre tegn i parentes.

Men det er viktig å huske: alle tegn endrer seg samtidig.!

La oss gå tilbake for eksempel:

Og igjen formelen:

Heltall Vi kaller naturlige tall motsatt dem (det vil si tatt med skiltet "") og nummeret.

hele positivt nummer, Og det er ikke forskjellig fra naturlig, så ser alt ut som i forrige avsnitt.

Og nå la oss vurdere nye tilfeller. La oss starte med en indikator som er lik.

Et hvilket som helst tall til null lik en:

Som alltid vil vi spørre meg: Hvorfor er det så?

Vurdere hvilken som helst grad med grunnlaget. Ta for eksempel og dominerende på:

Så, vi multiplisert nummeret på, og fikk det samme som det var. Og for hvilket nummer må multipliseres slik at ingenting har endret seg? Det er rett på. Så.

Vi kan gjøre det samme med et vilkårlig nummer:

Gjenta regelen:

Et hvilket som helst tall til null lik en.

Men fra mange regler er det unntak. Og her er det også det er et tall (som en base).

På den ene siden bør den være lik en hvilken som helst grad - hvor mye null selv ikke er multiplisert, fortsatt få , det er klart. Men på den annen side, som et hvilket som helst tall i null grad, bør være lik. Så hva er sannheten? Matematikk bestemte seg for ikke å binde og nektet å opprette null til null. Det vil si nå kan vi ikke bare deles i , men også å bygge den til null.

La oss gå videre. I tillegg til naturlige tall og tall inkluderer negative tall. For å forstå hva en negativ grad, vil vi gjøre som forrige gang: Domingly noe normalt tall på det samme for en negativ grad:

Herfra er det allerede lett å uttrykke ønsket:

Nå sprer vi den resulterende regelen til en vilkårlig grad:

Så, vi formulerer regelen:

Tallet er en negativ grad tilbake til samme nummer i positiv grad. Men samtidig basen kan ikke være null: (Fordi det er umulig å dele).

La oss oppsummere:

I. Uttrykket er ikke definert i saken. Hvis da.

II. Et hvilket som helst tall til null er lik ett :.

III. Et tall som ikke er lik , til en negativ grad tilbake til samme nummer til en positiv grad :.

Oppgaver for selvløsninger:

Vel, som vanlig, eksempler på selvløsninger:

Oppgaveanalyse for selvløsninger:

Jeg vet, jeg vet, tallene er forferdelige, men eksamenen skal være klar for alt! Del disse eksemplene eller spre sin beslutning, hvis jeg ikke kunne bestemme, og du vil lære å enkelt takle dem på eksamenen!

Fortsett å utvide sirkelen av tall, "egnet" som en indikator på graden.

Nå vurdere det rasjonelle tall. Hvilke tall kalles rasjonell?

Svar: Alt som kan representeres i form av fraksjoner, hvor og - heltall, og.

Å forstå hva som er "Fraktgrad", Vurdere fraksjonen:

Reist begge deler av ligningen i graden:

Husk nå regelen om "Grad til grad":

Hvilket nummer skal tas i graden for å få?

Denne formuleringen er definisjonen av rotgrad.

La meg minne deg på: Roten til nummeret () kalles nummeret som er lik i utryddelsen.

Det vil si at roten grad er en operasjon, reversere øvelsen i graden :.

Viser seg det. Selvfølgelig kan dette spesielle tilfellet utvides :.

Legg nå en teller: Hva er? Svaret er lett å komme ved hjelp av "graden til grad" -regelen:

Men kan årsaken være et hvilket som helst nummer? Tross alt kan roten ikke bli hentet fra alle tall.

Ingen!

Husk regelen: Et hvilket som helst tall som er oppført i en jevn grad, er nummeret positivt. Det vil si å trekke ut røttene til en jevn grad fra negative tall, det er umulig!

Dette betyr at det er umulig å bygge slikt tall i en brøkdegrad med en jevn nevner, det vil si at uttrykket ikke gir mening.

Hva med uttrykk?

Men det er et problem.

Tallet kan representeres i form av DRGIH, reduserte fraksjoner, for eksempel eller.

Og det viser seg at det er, men eksisterer ikke, men det er bare to forskjellige poster av samme nummer.

Eller et annet eksempel: en gang, så kan du skrive. Men det er verdt å skrive til oss på en annen måte, og igjen får vi en plage: (det vil si at de mottok et helt annet resultat!).

For å unngå lignende paradokser vurderer vi bare et positivt grunnlag av grad med fraksjonell indikator.

Så hvis:

• - Naturnummer;
• - heltall;

Eksempler:

Gradene med den rasjonelle indikatoren er svært nyttige for å konvertere uttrykk med røtter, for eksempel:

5 eksempler på opplæring

Analyse av 5 eksempler på opplæring

Vel, nå - det vanskeligste. Nå vil vi forstå irrasjonell.

Alle reglene og egenskapene til grader her er nøyaktig det samme som i en grad med en rasjonell indikator, med unntaket

Tross alt, per definisjon, er irrasjonelle tall tall som ikke kan representeres i form av en brøkdel, hvor og - heltall (det vil si irrasjonelle tall er alle gyldige tall unntatt rasjonell).

Når vi studerer grader med naturlig, hel og rasjonell indikator, utgjorde vi hver gang et bestemt "bilde", "analogi" eller en beskrivelse i mer kjente vilkår.

For eksempel er en naturlig figur et tall, flere ganger multiplisert av seg selv;

...null - Dette er hvordan tallet multiplisert seg selv en gang, det vil si at det ennå ikke har begynt å formere seg, det betyr at tallet i seg selv ikke engang har dukket opp - derfor er resultatet bare et bestemt "billetummer", nemlig tallet;

...grad med en hel negativ indikator "Det syntes å ha skjedd en viss" omvendt prosess ", det vil si tallet ble ikke multiplisert av seg selv, men deli.

Forresten, i vitenskapen brukes ofte med en kompleks indikator, det vil si at indikatoren ikke engang er et gyldig nummer.

Men på skolen tenker vi ikke på slike vanskeligheter, du vil få muligheten til å forstå disse nye konseptene på instituttet.

Hvor vi er sikker på at du vil gjøre! (Hvis du lærer å løse slike eksempler :))

For eksempel:

Solim deg selv:

Rester:

1. La oss starte med de vanlige reglene for treningsreglene for oss:

Se nå på indikatoren. Minner han ikke på noe? Husk formelen for forkortet multiplikasjon. Firkantede forskjeller:

I dette tilfellet,

Viser seg at:

Svar: .

2. Vi bringer fraksjonen i indikatorene for grader til samme form: enten både desimal eller begge vanlige. Vi får, for eksempel:

Svar: 16.

3. Ikke noe spesielt, vi bruker de vanlige egenskapene til grader:

AVANSERT NIVÅ

Bestemmelse av grad

Graden kalles uttrykket av skjemaet: hvor:

• — grad basis;
• - Indikator.

Graden med den naturlige indikatoren (n \u003d 1, 2, 3, ...)

Bygg en naturlig grad n - det betyr å multiplisere tallet for deg selv en gang:

Graden med heltallet (0, ± 1, ± 2, ...)

Hvis en indikator på graden er programvare positiv Nummer:

Konstruksjon i null grad:

Uttrykket er ubestemt, fordi det på den ene side i noen grad er det, og på den andre - et hvilket som helst antall i grad.

Hvis en indikator på graden er en hel negativ Nummer:

(Fordi det er umulig å dele).

Igjen om nuller: Uttrykket er ikke definert i saken. Hvis da.

Eksempler:

Rasjonell

• - Naturnummer;
• - heltall;

Eksempler:

Egenskaper av grader

For å gjøre det lettere å løse problemer, la oss prøve å forstå: Hvor kom disse egenskapene fra? Vi bevise dem.

La oss se: Hva er hva?

A-Priory:

Så i den rette delen av dette uttrykket oppnås et slikt arbeid:

Men i definisjon er dette graden av et tall med en indikator, det vil si:

Q.E.D.

Eksempel : Forenkle uttrykket.

Beslutning : .

Eksempel : Forenkle uttrykket.

Beslutning : Det er viktig å legge merke til det i vår regel førdet må være de samme basene. Derfor kombinerer vi grader med grunnlag, men forblir en egen multiplikator:

En annen viktig merknad: Dette er en regel - bare for graders arbeid!

I intet tilfelle til nerven til å skrive det.

Akkurat som med den forrige eiendommen, vender vi oss til definisjonen av graden:

Vi omgrupperer dette arbeidet slik:

Det viser seg at uttrykket multipliseres av seg selv en gang, det vil si i henhold til definisjonen, dette er - av graden av nummer:

Faktisk kan dette kalles "indikatoren for parentes". Men kan aldri gjøre dette i mengden :!

Husk formelen for forkortet multiplikasjon: Hvor mange ganger ønsket vi å skrive? Men det er feil, fordi.

Grad med negativt grunnlag.

Opp til dette punktet diskuterte vi bare hva som burde være indikator grad. Men hva skal være grunnlaget? I grader av S. naturlig indikator Basen kan være et hvilket som helst nummer .

Og sannheten, vi kan multiplisere hverandre noen tall, enten de er positive, negative, eller til og med. La oss tenke på hvilke tegn ("eller" ") vil ha grader av positive og negative tall?

For eksempel, et positivt eller negativt tall? MEN? ?

Med den første er alt klart: Hvor mange positive tall vi ikke multipliseres av hverandre, vil resultatet være positivt.

Men med negativt litt mer interessant. Tross alt husker vi en enkel regel om klasse 6: "Minus for minus gir et pluss." Det er eller. Men hvis vi vil multiplisere på (), viser det seg.

Og så til Infinity: Hver gang den neste multiplikasjonen vil endre skiltet. Enkle regler kan formuleres:

1. til og med grad - nummer positivt.
2. Negativt tall reist i merkelig grad - nummer negativ.
3. Et positivt tall til en eller annen grad er nummeret positivt.
4. Null til enhver grad er null.

Bestem uavhengig, hvilket tegn på følgende uttrykk vil ha:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Håndtere? Her er svarene:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

I de fire første eksemplene håper jeg alt er klart? Bare se på basen og indikatoren, og bruk riktig regel.

I eksempel 5) er alt også ikke så skummelt, som det virker: Det spiller ingen rolle hva som er lik basen - graden er jevn, noe som betyr at resultatet alltid vil være positivt. Vel, med unntak av saken når basen er null. Årsaken er ikke like? Åpenbart nei, fordi (fordi).

Eksempel 6) er ikke lenger så enkelt. Her må du vite det mindre: eller? Hvis du husker at det blir klart at, og derfor er basen mindre enn null. Det vil si at vi bruker regelen 2: Resultatet vil være negativt.

Og igjen bruker vi graden av grad:

Alt som vanlig - skriv ned definisjonen av grader og del dem til hverandre, del på parene og få:

Før du demonterer den siste regelen, løser vi flere eksempler.

Beregnede uttrykk:

Løsninger :

Hvis du ikke tar hensyn til den åttende grad, hva ser vi her? Husk karakter 7-programmet. Så husket? Dette er en formel for forkortet multiplikasjon, nemlig - forskjellen på firkanter!

Vi får:

Se forsiktig på nevneren. Han ligner veldig på en av multiplikatorene til telleren, men hva er galt? Ikke prosedyren for vilkårene. Hvis de ble byttet på steder, ville det være mulig å bruke regelen 3. Men hvordan å gjøre det? Det viser seg veldig enkelt: Den jevne graden av denominatoren hjelper oss.

Hvis du tegner det på, vil ingenting endres, ikke sant? Men nå viser det seg følgende:

Magisk endret komponentene på steder. Dette "fenomenet" gjelder for ethvert uttrykk for en jevn grad: Vi kan fritt endre tegn i parentes. Men det er viktig å huske: alle tegn endrer seg samtidig!Du kan ikke erstatte på, endre bare en ubehagelig minus!

La oss gå tilbake for eksempel:

Og igjen formelen:

Så nå den siste regelen:

Hvordan vil vi bevise? Selvfølgelig, som vanlig: Jeg vil avsløre begrepet grad og forenkler:

Vel, nå vil jeg avsløre parentes. Hvor mye vil bokstavene få? En gang på multiplikatorer - hva minner det? Det er ingenting annet enn definisjonen av operasjonen multiplikasjon: Totalt var det faktorer. Det vil si, det er per definisjon graden av tall med indikatoren:

Eksempel:

Irrasjonell

I tillegg til informasjon om grader for gjennomsnittlig nivå, vil vi analysere graden med den irrasjonelle indikatoren. Alle reglene og egenskapene til grader her er nøyaktig det samme som en grad med en rasjonell indikator, med unntaket - tross alt, per definisjon, er irrasjonelle tall tall som ikke kan sendes i form av en brøkdel, hvor - heltallene (dvs. irrasjonelle tall er alle gyldige tall i tillegg til rasjonell).

Når vi studerer grader med naturlig, hel og rasjonell indikator, utgjorde vi hver gang et bestemt "bilde", "analogi" eller en beskrivelse i mer kjente vilkår. For eksempel er en naturlig figur et tall, flere ganger multiplisert av seg selv; Tallet i null grad er på en eller annen måte multiplisert i seg selv en gang, det vil si at det ennå ikke har begynt å formere seg, det betyr at tallet selv ikke engang har dukket opp - derfor bare en viss "billet", nemlig, er resultatet ; Graden med en helt negativ indikator er som om en viss "revers prosess" skjedde, det vil si at tallet ikke multiplisert seg selv, men delt.

Tenk på at graden med en irrasjonell indikator er ekstremt vanskelig (akkurat som det er vanskelig å sende inn et 4-dimensjonalt rom). Det er ganske rent matematisk objekt som matematikk opprettet for å utvide begrepet grad til hele antallet tall.

Forresten, i vitenskapen brukes ofte med en kompleks indikator, det vil si at indikatoren ikke engang er et gyldig nummer. Men på skolen tenker vi ikke på slike vanskeligheter, du vil få muligheten til å forstå disse nye konseptene på instituttet.

Så hva gjør vi hvis vi ser en irrasjonell hastighet? Vi prøver å bli kvitt det med alle kanskje! :)

For eksempel:

Solim deg selv:

1)

2)

3)

Svar:

1. Vi husker formelen forskjellen på firkanter. Svar:.
2. Vi gir fraksjonen til samme form: enten både desimal, eller begge vanlige. Vi får for eksempel:.
3. Ikke noe spesielt, vi bruker de vanlige egenskapene til grader:

Sammendrag av seksjon og grunnleggende formler

Grad kalt uttrykket av skjemaet: hvor:

Heltall

graden, indikatoren som er et naturlig tall (dvs. en hel og positiv).

Rasjonell

graden, indikatoren som er negativt og brøktall.

Irrasjonell

graden, indikatoren som er en uendelig desimalfraksjon eller rot.

Egenskaper av grader

Funksjoner av grader.

• Negativt tall reist i til og med grad - nummer positivt.
• Negativt tall reist i merkelig grad - nummer negativ.
• Et positivt tall til en eller annen grad er nummeret positivt.
• Null til enhver grad er lik.
• Et hvilket som helst tall til null likeverdig.

Nå trenger du et ord ...

Hvordan trenger du en artikkel? Skriv ned i kommentarene som eller ikke.

Fortell meg om din erfaring med å bruke egenskapene til grader.

Kanskje du har spørsmål. Eller forslag.

Skriv i kommentarene.

Og lykke til på eksamenene!

En grad med en rasjonell indikator

Strømfunksjon IV.

§ 71. grader med null og negative indikatorer

I § \u200b\u200b69 viste vi oss (se Theorem 2) det t\u003e P.

(eN. =/= 0)

Ganske naturlig ønske om å utvide denne formelen og i tilfelle t. < S . Men så nummeret t - P. Det vil være enten negativt eller lik null. A. Vi snakket fortsatt bare om grader med naturlige indikatorer. Dermed står vi overfor behovet for å ta hensyn til reelle tall med null og negative indikatorer.

Definisjon 1. Et hvilket som helst nummer men , ikke like , til null grad lik en, det er, når men =/= 0

men 0 = 1. (1)

For eksempel (-13,7) 0 \u003d 1; π 0 \u003d 1; (√2) 0 \u003d 1. Nummeret 0 av null grad har ikke, det vil si at uttrykket 0 0 ikke er definert.

Definisjon 2.. Hvis en men \u003d / \u003d 0 og s - Naturlig nummer, da

men - N. = 1 /eN. n. (2)

dvs graden av et hvilket som helst tall, ulik , med en hel negativ indikator er fraksjonen, hvor tallet er en enhet, og nevneren er graden av det samme nummer A, men med en indikator motsatt indikatoren av en gitt grad .

For eksempel,

Ved å ta disse definisjonene, kan det bevises at eN. \u003d / \u003d 0, formel

verne for noen naturlige tall t. og N. , ikke bare for t\u003e P. . For å bevise, er det nok å begrense oss til å vurdere to tilfeller: t \u003d P. og t.< .п fordi tilfelle m\u003e N. Allerede vurdert i § 69.

La være t \u003d P. ; deretter . Det betyr at den venstre delen av likestilling (3) er lik 1. Den rette delen er t \u003d P. blir til

men m - N. = men n - N. = men 0 .

Men i definisjon. men 0 \u003d 1. Således er den høyre siden av likestilling (3) også lik 1. Følgelig, t \u003d P. Formel (3) er sant.

Antar nå det t.< п . Deler telleren og denominatoren til brøkdelen på men m. Vi vil få:

Som p\u003e T. deretter. Derfor . Ved hjelp av graden av grad med en negativ indikator, kan du ta opp .

Så for Som kreves for å bevise. Formel (3) er nå bevist for noen naturlige tall t. og s .

Kommentar. Negative indikatorer tillater deg å registrere fraksjoner uten nevner. For eksempel,

1 / 3 = 3 - 1 ; 2 / 5 = 2 5 - en ; i det hele tatt, EN. / b. = og B. - 1

Imidlertid bør man ikke tro at med en slik oppføring, blir fraksjonene til heltall. For eksempel 3. - 1 Det er samme brøkdel som 1/3, 2 5 - 1 - den samme brøkdelen som 2/5, og så videre.

Øvelser

529. Beregn:

530. Rekord uten nevner:

1) 1 / 8 , 2) 1 / 625 ; 3) 10 / 17 ; 4) - 2 / 3

531. Data desimalfraksjoner skrevet i form av heltalluttrykk ved hjelp av negative indikatorer:

1) 0,01; 3) -0,00033; 5) -7,125;

2) 0,65; 4) -0,5; 6) 75,75.

3) - 33 10 - 5