В котором отсутствует тяга либо управляющая сила и момент, называется баллистической траекторией. Если механизм, приводящий в действие объект, остается рабочим на протяжении всего времени передвижения - он относится к ряду авиационных либо динамических. Траекторию самолета во время полета с выключенными двигателями на большой высоте также можно назвать баллистической.

На объект, который передвигается по заданным координатам, действует лишь механизм, приводящий тело в действие, силы сопротивления и тяжести. Набор таких факторов исключает появление возможности к прямолинейному движению. Данное правило работает даже в космосе.

Тело описывает траекторию, которая подобна эллипсу, гиперболе, параболе либо окружности. Последние два варианта достигаются при второй и первой космических скоростях. Расчеты для движения по параболе или окружности проводятся для определения траектории баллистической ракеты.

Учитывая все параметры при запуске и полете (массу, скорость, температуру и т. д.), выделяют следующие особенности траектории:

• Для того чтобы запустить ракету как можно дальше необходимо подобрать правильный угол. Наилучшим является острый, около 45º .
• Объект имеет одинаковую начальную и конечную скорости.
• Тело приземляется под таким же углом, как и запускается.
• Время движения объекта от старта и до середины, а также от середины до финишной точки является одинаковым.

Свойства траектории и практические значения

Движение тела после прекращения влияния на него движущей силы изучает внешняя баллистика. Данная наука предоставляет расчеты, таблицы, шкалы, прицелы и вырабатывает оптимальные варианты для стрельбы. Баллистическая траектория пули - это кривая линия, которую описывает центр тяжести объекта, находящегося в полете.

Так как на тело влияют сила тяжести и сопротивления, путь, который описывает пуля (снаряд), образует форму кривой линии. Под действием приведенных сил скорость и высота объекта постепенно снижается. Различают несколько траекторий: настильную, навесную и сопряженную.

Первая достигается при использовании угла возвышения, который является меньшим, нежели угол наибольшей дальности. Если при разных траекториях дальность полета остается одинаковой - такую траекторию можно назвать сопряженной. В случае, когда угол возвышения больше, чем угол наибольшей дальности, путь приобретает название навесного.

Траектория баллистического движения объекта (пули, снаряда) состоит из точек и участков:

• Вылета (например, дульный срез ствола) - данная точка является началом пути, и, соответственно, отсчета.
• Горизонта оружия - этот участок проходит через точку вылета. Траектория пересекает ее дважды: при выпуске и падении.
• Участка возвышения - это линия, которая является продолжением горизонта образует вертикальную плоскость. Данный участок носит название плоскости стрельбы.
• Вершины траектории - это точка, которая находится посредине между начальной и конечной точками (выстрела и падения), имеет наивысший угол на протяжении всего пути.
• Наводки - мишень или место прицела и начало движения объекта образуют линию прицеливания. Между горизонтом оружия и конечной целью формируется угол прицеливания.

Ракеты: особенности запуска и движения

Различают управляемые и неуправляемые баллистические ракеты. На формирование траектории также влияют внешние и наружные факторы (силы сопротивления, трения, вес, температура, требуемая дальность полета и т.д).

Общий путь запущенного тела можно описать следующими этапами:

• Запуск. При этом ракета переходит в первую стадию и начинает свое движение. С этого момента и начинается измерение высоты траектории полета баллистической ракеты.
• Приблизительно через минуту запускается второй двигатель.
• Через 60 секунд после второго этапа запускается третий двигатель.
• Далее тело входит в атмосферу.
• В последнюю очередь происходит взрыв боевых головок.

Запуск ракеты и формирование кривой передвижения

Кривая передвижения ракеты состоит из трех частей: периода запуска, свободного полета и повторного входа в земную атмосферу.

Боевые снаряды запускаются с фиксированной точки переносных установок, а также транспортных средств (судов, субмарин). Приведение в полет продолжается от десятых тысячных секунд до нескольких минут. Свободное падение составляет наибольшую часть траектории полета баллистической ракеты.

Преимуществами запуска такого приспособления являются:

• Продолжительное время свободного полета. Благодаря этому свойству существенно уменьшается расход топлива в сравнении с другими ракетами. Для полета прототипов (крылатых ракет) используются более экономичные двигатели (например, реактивные).
• На скорости, с которой движется межконтинентальная орудие (примерно 5 тыс. м/с), перехват дается с большой сложностью.
• Баллистическая ракета в состоянии поразить цель на расстоянии до 10 тыс. км.

В теории путь передвижения снаряда - это явление из общей теории физики, раздела динамики твердых тел в движении. Относительно данных объектов рассматривается передвижение центра масс и движение вокруг него. Первое относится к характеристике объекта, совершающего полет, второе - к устойчивости и управлению.

Так как тело имеет программные траектории для совершения полета, расчет баллистической траектории ракеты определяется физическими и динамическими расчетами.

Современные разработки в баллистике

Поскольку боевые ракеты любого вида являются опасными для жизнедеятельности, главной задачей обороны является усовершенствование точек для запуска поражающих систем. Последние должны обеспечить полную нейтрализацию межконтинентального и баллистического оружия в любой точке движения. К рассмотрению предложена многоярусная система:

• Данное изобретение состоит из отдельных ярусов, каждый из которых имеет свое назначение: первые два будут оснащены оружием лазерного типа (самонаводящиеся ракеты, электромагнитные пушки).
• Следующих два участка оснащаются тем же оружием, но предназначенного для поражения головных частей оружия противника.

Разработки в оборонном ракетостроении не стоят на месте. Ученные занимаются модернизацией квазибаллистической ракеты. Последняя представлена как объект, имеющий низкий путь в атмосфере, но при этом резко изменяющий направление и диапазон.

Баллистическая траектория такой ракеты не влияет на скорость: даже на предельно низкой высоте объект передвигается быстрее, нежели обычный. Например, разработка РФ «Искандер» летит на сверхзвуковой скорости - от 2100 до 2600 м/с при массе 4 кг 615 г, круизы ракеты передвигают боеголовку весом до 800 кг. При полете маневрирует и уклоняется от противоракетной обороны.

Межконтинентальное оружие: теория управления и составляющие

Многоступенчатые баллистические ракеты носят название межконтинентальных. Такое название появилось неспроста: из-за большой дальности полета становится возможным перебросить груз на другой конец Земли. Основным боевым веществом (зарядом), в основном, является атомное либо термоядерное вещество. Последнее размещается в передней части снаряда.

Далее в конструкции устанавливается система управления, двигатели и баки с топливом. Габариты и масса зависят от требуемой дальности полета: чем больше расстояние, тем выше стартовый вес и габариты конструкции.

Баллистическую траекторию полета МБР отличают от траектории иных ракет по высоте. Многоступенчатая ракета проходит процесс запуска, затем на протяжении нескольких секунд движется вверх под прямым углом. Системой управления обеспечивается направления орудия в сторону цели. Первая ступень привода ракеты после полного выгорания самостоятельно отделяется, в этот же момент запускается следующая. При достижении заданной скорости и высоты полета ракета начинает стремительно двигаться вниз к цели. Скорость полета к объекту назначения достигает 25 тыс. км/ч.

Мировые разработки ракет специального назначения

Около 20 лет назад в ходе модернизации одного из ракетных комплексов средней дальности был принят проект противокорабельных баллистических ракет. Такая конструкция размещается на автономной пусковой платформе. Вес снаряда составляет 15 тонн, а дальность пуска - почти 1,5 км.

Траектория баллистической ракеты для уничтожения кораблей не поддается для быстрых расчетов, поэтому предугадать действия противника и устранить данное орудие невозможно.

Такая разработка имеет преимущества:

• Дальность пуска. Эта величина в 2-3 раза больше, нежели у прототипов.
• Скорость и высота полета делают боевое оружие неуязвимым для противоракетной обороны.

Мировые специалисты уверены в том, что оружие массового поражения все-таки можно обнаружить и нейтрализовать. Для таких целей используются специальные разведывательные заорбитные станции, авиацию, подводные лодки, корабли и др. Самым главным «противодействием» является космическая разведка, которая представлена в виде радиолокационных станций.

Баллистическая траектория определяется системой разведки. Полученные данные передаются по месту назначения. Основной проблемой является быстрое устаревание информации - за короткий период времени данные теряют свою актуальность и могут расходиться с настоящим местом нахождения оружия на расстояние до 50 км.

Характеристики боевых комплексов отечественной оборонной промышленности

Наиболее мощным оружием нынешнего времени считается межконтинентальная баллистическая ракета, которая размещается стационарно. Отечественный ракетный комплекс "Р-36М2" является одним из наилучших. На нем размещается сверхпрочное боевое орудие "15А18М", которое способно нести до 36 ядерных снарядов индивидуального точного наведения.

Баллистическую траекторию полета такого оружия практически невозможно предугадать, соответственно, нейтрализация ракеты также предоставляет сложности. Боевая мощность снаряда составляет 20 Мт. Если данный боеприпас взорвется на низкой высоте - системы связи, управления, противоракетной обороны выйдут из строя.

Модификации приведенной ракетной установки можно использовать и в мирных целях.

Среди твердотопливных ракет особенно мощной считается "РТ-23 УТТХ". Такое приспособление базируется автономно (мобильно). В стационарной станции-прототипе ("15Ж60") стартовая тяга выше на 0,3, в сравнении с мобильной версией.

Запуск ракет, который проводится непосредственно со станций сложно нейтрализовать, ведь количество снарядов может достигать 92 единиц.

Ракетные комплексы и установки заграничной оборонной промышленности

Высота баллистической траектории ракеты американского комплекса «Минитмен-3» не особо отличается от характеристик полета отечественных изобретений.

Комплекс, который разработан в США, является единственным «защитником» Северной Америки среди оружия такого вида до сегодняшнего дня. Несмотря на давность изобретения, показатели устойчивости орудия являются неплохими и в нынешнее время, ведь ракеты комплекса могли противостоять противоракетной обороне, а также поразить цель с высоким уровнем защиты. Активный участок полета непродолжительный, и составляет 160 с.

Другое изобретение американцев - «Пискипер». Он также мог обеспечить точное попадание в цель благодаря наивыгоднейшей траектории баллистического движения. Специалисты утверждают, что боевые возможности приведенного комплекса почти в 8 раз выше, нежели у «Минитмена». Боевое дежурство «Пискипера» составляло 30 секунд.

Полет снаряда и движение в атмосфере

Из раздела динамики известно влияние плотности воздуха на скорость передвижения любого тела в различных слоях атмосферы. Функция последнего параметра учитывает зависимость плотности непосредственно от высоты полета и выражается в зависимости:

Н (у) =20000-у/20000+у;

где у - высота полета снаряда (м).

Расчет параметров, а также траектории межконтинентальной баллистической ракеты можно производить с помощью специальных программ на ЭВМ. Последние приведут ведомости, а также данные о высоте полета, скорости и ускорении, продолжительности каждого этапа.

Экспериментальная часть подтверждает расчетные характеристики, и доказывает, что на скорость оказывает влияние форма снаряда (чем лучше обтекаемость, тем выше скорость).

Управляемое оружие массового поражения прошлого века

Все оружие приведенного типа можно разделить на две группы: наземное и авиационное. Наземным называется такие приспособления, запуск которых осуществляется со стационарных станций (например, шахт). Авиационное, соответственно, запускается с корабля-носителя (самолета).

К группе наземных относятся баллистические, крылатые и зенитные ракеты. К авиационным - самолеты-снаряды, АБР и управляемые снаряды воздушного боя.

Основной характеристикой расчета баллистической траектории движения является высота (несколько тысяч километров над слоем атмосферы). При заданном уровне над уровнем Земли снаряды достигают высоких скоростей и создают огромные сложности для их выявления и нейтрализации ПРО.

Известными БР, которые рассчитаны на среднюю дальность полета, являются: «Титан», «Тор», «Юпитер», «Атлас» и др.

Баллистическая траектория ракеты, которая запускается из точки и попадает по заданным координатам, имеет форму эллипса. Размер и протяженность дуги зависит от начальных параметров: скорости, угла запуска, массы. Если скорость снаряда приравнивается к первой космической (8 км/с), боевое орудие, которое запущено параллельно к горизонту, превратится в спутник планеты с круговой орбитой.

Несмотря на постоянное усовершенствование в области обороны, путь полета боевого снаряда практически не изменяется. На текущий момент технологии не в состоянии нарушить законы физики, которым подчиняются все тела. Небольшим исключением являются ракеты с самонаведением - они могут менять направление в зависимости от перемещения цели.

Изобретатели противоракетных комплексов также модернизируют и разрабатывают орудие для уничтожения средств массового поражения нового поколения.

Простая виртуальная ракета

Урок с компьютерной поддержкой. 10-й класс

Если бы кто-нибудь из обитателей Космического городка
в эту минуту проснулся и выглянул в окно,
то был бы до крайности удивлён,
увидев, как ракета медленно отделилась от земли
и плавно поднялась в воздух. Это произошло почти бесшумно.
Из нижнего сопла двигателя с лёгким шипением
вырывалась тонкая струя нагретых газов. Реактивной силы
от этой струи было достаточно, чтобы сообщить ракете
поступательное движение, т.к. благодаря наличию прибора
невесомости сама ракета ровным счётом ничего не весила.

Н.Носов. Незнайка на Луне

Хорошо известно, что движение ракеты в пространстве основано на ракетодинамическом принципе, который заключается в использовании реактивной силы, возникающей в результате отбрасывания с большой скоростью массы сгорающего в двигателях ракеты топлива . Существенно, что до создания тяги отбрасываемые продукты горения входили в общую массу ракеты. Это означает, что рассматривается движение тел переменной массы, причём тяга создаётся в результате извержения части массы, принадлежащей телу .

Построим простейшую модель вертикального взлёта ракеты, для чего рассмотрим задачу следующего содержания :

Ракета стартует вертикально вверх с поверхности Земли. Масса ракеты без топлива 10 т, масса топлива 50 т. Известно, что за каждую секунду полёта сгорает 50 кг топлива. Скорость вылета из сопла частиц сгоревшего топлива постоянна относительно ракеты и равна 10 4 м/с. На какой высоте окажется ракета через 100 с и через 1000 с полёта? Какова скорость ракеты в эти моменты? (Масса Земли равна 6 · 10 21 т, радиус Земли 6400 км, гравитационная постоянная в законе всемирного тяготения равна 6,6 · 10 –11 Н · м 2 /кг 2 , сопротивлением воздуха пренебречь.) Для вычисления рассмотрите величины (массу, высоту полёта и скорость ракеты. – Ред. ) М i , h i , i через M i –1 , h i –1 , i –1 .

Решение. Согласно уравнение движения тела переменной массы имеет вид: M · d /dt = F – u , где М – масса тела в момент времени t , F – внешняя сила, действующая на тело, – скорость тела в момент t , u – реактивная сила, – расход массы, u – скорость выброшенной массы относительно тела. Заменяя бесконечно малые приращения конечными разностями, получаем M · / t = F – u .

Предполагая, что на протяжении всего полёта сила гравитационного взаимодействия тела (в нашем случае – ракеты) с Землёй остаётся постоянной, получим:

Поскольку i = i +1 – i , можно записать, что

Полученное выражение будет использоваться для вычисления каждого значения скорости через её предыдущее значение.

Высоту подъёма ракеты будем определять согласно формуле где – скорость ракеты в середине i -го интервала времени. Наконец, предполагая, что во время полёта ракеты её масса уменьшается по линейному закону M = M 0 – i t , получим полную совокупность уравнений, необходимых для математического моделирования полёта ракеты в рамках поставленной задачи.

Последовательные этапы математического моделирования рассмотренной задачи можно схематически изобразить в виде: начальное значение массы значение скорости значение высоты новое значение массы новое значение скорости новое значение высоты и т.д.

Количественный расчёт модели проведём с использованием электронных таблиц MicrosoftExcel . Выбрав малый отрезок времени, например, 10 с, и учитывая конкретные численные значения исходных данных, записанные в СИ, получим расчётные таблицы в режиме отображения формул и значений (см. «Электронные приложения» к № 17/08, с. 21):

– в столбце А записываем нумерацию шагов по вре- мени (величина шага 10 с);

– в столбце В, в ячейке В2, – начальное значение массы, в ячейках В3–В58 – закон изменения массы ракеты в соответствии с оговорённой выше закономерностью и правилами записи формул в MicrosoftExcel ;

– в столбце С записываем результаты вычислений промежуточных значений величины

– в столбце D – величины

– в столбце Е в ячейке Е2 – значение начальной скорости, в остальных ячейках – формулы вычисления последующих значений скорости через предыдущие;

– столбец F структурируем аналогично.

Графики изменения массы, скорости и высоты с течением времени представлены на рис. 1, а ; 1, б ; 1, в соответственно.

Номер шага по времени (величина шага интегрирования 10 с)

Рис. 1. Зависимости массы ракеты (a ), её скорости (б ) и высоты подъёма (в ) от времени полёта

Анализ таблицы и графиков позволяет сделать следующие выводы. Через 100 с полёта ракета окажется на высоте 7137 м и будет иметь скорость 125 м/с. Через 1000 с скорость ракеты будет отрицательной, что в данном случае не имеет физического смысла, т.е. полёт прекратится.

Дальнейшее усовершенствование модели может быть связано с учётом :

– изменения с высотой гравитационного потенциала Земли (ускорения свободного падения): где R 0 – радиус Земли, g 0 – ускорение свободного падения на поверхности Земли;

– наличия силы сопротивления воздуха и её убывания с высотой: F сопр = k 2 , где k = c S – коэффициент лобового сопротивления, с – безразмерный коэффициент (равный 0,045 для «каплевидного» тела), = 0 · 10 – h – плотность воздуха на высоте h , 0 – плотность воздуха на поверхности Земли, 5,6 · 10 –5 м –1 – ещё один коэффициент, S – площадь поперечного сечения тела;

–наличия силы тяги двигателя F тяги.

В простейшем случае (принятом и в предыдущей модели) изменения массы тела по линейному закону: M (t ) = M 0 – t M кон (где M кон – остаточная масса после полного выгорания топлива), – и при постоянной силе тяги получим модель с пятью входными параметрами: M 0 , M кон, , совокупностью входящих в k постоянных коэффициентов и F тяги. Она описывается двумя формулами для получения последовательных значений высоты и скорости:

h i+1 = h i + i t ;

где M (t i ) g i – сила тяжести, действующая на ракету в момент времени – ускорение свободного падения на высоте h i ; сила сопротивления среды на высоте h i .

Практическая работа с рассмотренными моделями, по-видимому, наиболее целесообразна при изучении реактивного движения . Можно дополнить её задачами :

1. Получите уравнения модели, соответствующие улучшенному приближению (см. Приложение).

2. Проведите моделирование взлёта ракеты при значениях параметров M 0 = 2,107 кг, M кон = 2,105 кг, = 2,105 кг/с, F тяги = 4,108 Н. Достигнет ли ракета при этих значениях параметров первой космической скорости 7,8 км/с? При моделировании выводите на экран таблицы значения функций (t ) и h (t ) с таким шагом, чтобы они умещались на экране (т.е. значительно большим, чем шаг интегрирования). Кроме того, выведите на экран графики этих функций для качественного анализа динамики процесса.

3. Проведите исследование соотношения двух из входных параметров, при которых ракета достигнет первой космической скорости и в этот момент исчерпает горючее. Постройте соответствующую фазовую диаграмму в переменных (M 0 , F тяги) и др.

4. Разработайте усовершенствованную модель взлёта ракеты, приняв во внимание следующие обстоятельства:

1) при очень высоких скоростях полёта описанный выше характер зависимости силы сопротивления от скорости нуждается в уточнении;

2) реальные космические ракеты обычно двух-трёхступенчатые, а двигатели разных ступеней имеют разную силу тяги.

Расчётные таблицы для каждой задачи строятся аналогично рассмотренной выше.

В качестве дополнительной полезно также рассмотреть задачу , несмотря на то, что её решение не вписывается в рамки рассмотренных выше моделей:

Ракета была запущена вертикально вверх. Известна зависимость скорости полёта от времени – функция (t ). В начале полёта скорость возрастала, а через некоторое время начала уменьшаться. Определите высоту ракеты над землёй к тому моменту, когда скорость начала падать . Используйте для решения задачи алгоритм прямоугольников. Считайте t нач = 0, рассмотрите
(t ) = (–t 2 + t – 90) tg (t /15), d = 0,2.

Решение. Высота подъёма ракеты над землёй равна площади фигуры, ограниченной осью t , графиком зависимости скорости от t и вертикальными прямыми t = a , t = b . Такая фигура называется криволинейной трапецией . Простейший алгоритм приближённого вычисления площади криволинейной трапеции сводится к следующему . Отрезок [a , b ] разбивается на несколько равных частей. Пусть число частей равно n , тогда каждая часть имеет длину h = (b – a )/n . Сама криволинейная трапеция при этом разбивается на n узких полос. Площадь криволинейной трапеции, очевидно, равна сумме площадей всех полос, а площадь каждой отдельной полосы может быть приближённо вычислена как d · f (c ), где c – середина отрезка, лежащего в основании полосы. Фактически мы каждую полосу заменяем прямоугольником: ширина i -го прямоугольника для i = 1, …, n равна d , а высота равна f (c i ), где c i – середина основания i -й полосы. Сумма площадей прямоугольников равна:

d · f (c 1) + … + d · f (c n ) = d {f [a + d /2] + f [a + d /2 + d ] + … + f [a + d /2 + (n – 1)d ]}.

На использовании последнего выражения основывается алгоритм приближённого вычисления площадей криволинейных трапеций, называемый алгоритмом прямоугольников (см. «Электронные приложения» к № 17/08, с. 21. – Ред. ). График (t ) показан на рис. 2 (а = 6,85, d = 10,65, h = 0,2, n = 19).

Рис. 2. Зависимость скорости ракеты от времени полёта при заданной скорости

При наличии свободного времени и технических возможностей нелишней будет постройка и запуск простейшей одноступенчатой модели ракеты . В этом случае информационно-аналитическую модель можно использовать для предварительных оценок, показывая тем самым, что успех конструкторской деятельности в значительной степени зависит от теоретических знаний из физики, а также из смежных с ней и прикладных наук, от умений проектировать, моделировать, выполнять необходимые чертежи и проводить расчёты.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Одна из причин погрешности приближения такова: вычисляя i +1 , мы используем значение ускорения в точке t i ; но ведь на протяжении времени от t i до t i+ 1 ускорение пусть незначительно, но изменилось, а мы это не учли. Попробуем внести исправление: заменим в формулах значения a (t i ) и (t i ) средними арифметическими от значений в точках t i и t i +1 , т.е. перейдём к формулам:

Здесь стоит заметить, что в правой части первой формулы величины определяются, вообще говоря, тремя факторами: t i +1 – известно, i +1 и s i +1 к моменту начала расчёта неизвестны. Решение может быть найдено путём записи последовательности явных расчётных формул, в правых частях которых все величины к моменту расчёта известны:

В последней формуле выражение в скобках вполне можно заменить на 2i +1 , т.к. к моменту расчёта по ней эта величина уже найдена. Такой приём увеличивает устойчивость метода.

Литература

1. Ермаков А.М. Простейшие авиамодели. – М.: Просвещение, 1989.

2. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности: Учеб. пособие для физ. спец. вузов. – М.: Высшая школа, 1986.

3. Абрамов С.А., Гнездилова Г.Г., Капустина Е.Н., Селюн М.И. Задачи по программированию. – М.: Наука, 1988.

4. Угринович Н.Д . Информатика и информационные технологии: Учебник для 10–11 классов. – М.: Бином–Лаборатория знаний, 2003.

5. Информатика. Задачник-практикум в 2 т.: Под ред. И.Г.Семакина, Е.К.Хеннера. Т. 2. – М.: Бином–Лаборатория знаний, 2002.

6. Касьянов В.А. Физика-10. – М.: Дрофа, 2001.

7. Абрамов С.А., Зима Е.В. Начала информатики. – М.: Наука, 1988.

24 марта 2014 в 19:05

Учебная/игровая программа расчета полезной нагрузки ракеты с учетом нескольких ступеней и гравитационных потерь

• Космонавтика ,
• Физика ,
• Игры и игровые приставки

Не учитывающиеся параметры

• Для упрощения задачи не учитываются:
• Потери на трение о воздух.
• Изменение тяги в зависимости от атмосферного давления.
• Набор высоты.
• Потери времени на разделение ступеней.
• Изменения тяги двигателей на участке максимального скоростного напора.
• Учитывается только одна компоновка - с последовательным расположением ступеней.

Немного физики и математики

Расчет скорости

Разгон ракеты в модели происходит так:


Высота полёта предполагается постоянной. Тогда тягу ракеты можно будет разделить на две проекции: Fx и Fy . Fy должен быть равен mg , это наши гравитационные потери, а Fx - это сила, которая будет разгонять ракету. F постоянна, это тяга двигателей, m меняется из-за расхода топлива.
Изначально была попытка аналитического решения уравнения движения ракеты. Однако, она не увенчалась успехом, поскольку гравитационные потери зависят от скорости ракеты. Проведем мысленный эксперимент:

1. В начале полёта ракета просто не оторвется от стартового стола, если тяга двигателей будет меньше, чем вес ракеты.
2. В конце разгона ракета всё также притягивается к Земле с силой mg , но это неважно, поскольку её скорость такая, что упасть она не успевает, и, когда она выйдет на круговую орбиту, она будет постоянно падать на Землю, «промахиваясь» мимо неё из-за скорости.

Получается, что фактические гравитационные потери являются функцией от массы и скорости ракеты. В качестве упрощённого приближения гравитационные потери я решил считать как:

V1 - это первая космическая скорость.
Для расчета итоговой скорости пришлось использовать численное моделирование. С шагом в одну секунду производятся следующие расчеты:

Верхний индекс t - это текущая секунда, t-1 - предыдущая.

Или на языке программирования

for (int time = 0; time < iBurnTime; time++) { int m1 = m0 - iEngineFuelUsage * iEngineQuantity; double ms = ((m0 + m1) / 2); double Fy = (1-Math.pow(result/7900,2))*9.81*ms; if (Fy < 0) { Fy = 0; } double Fx = Math.sqrt(Math.pow(iEngineThrust * iEngineQuantity * 1000, 2)-Math.pow(Fy, 2)); if (Fx < 0) { Fx = 0; } result = (result + Fx / ms); m0 = m1; }

Расчет максимальной полезной нагрузки

Зная итоговую скорость для каждой допустимой полезной нагрузки, можно решать задачу максимизации полезной нагрузки как задачу нахождения корня нелинейного уравнения.

Мне показалось удобнее всего решать это уравнение методом половинного деления :

Код совершенно стандартный

public static int calculateMaxPN(int stages) { deltaV = new double; int result = 0; int PNLeft = 50; while (calculateVelocity(PNLeft, stages, false) > 7900) { PNLeft = PNLeft + 1000; } System.out.println(calculateVelocity(PNLeft, stages, false)); int PNRight = PNLeft - 1000; double error = Math.abs(calculateVelocity(PNLeft, stages, false) - 7900); System.out.println("Слева " + Double.toString(PNLeft) + "; Справа " + Double.toString(PNRight) + "; Ошибка " + Double.toString(error)); boolean calcError = false; while ((error / 7900 > 0.001) && !calcError) { double olderror = error; if (calculateVelocity((PNLeft + PNRight) / 2, stages, false) > 7900) { PNRight = (PNLeft + PNRight) / 2; } else { PNLeft = (PNLeft + PNRight) / 2; } error = Math.abs(calculateVelocity((PNLeft + PNRight) / 2, stages, false) - 7900); System.out.println("Слева " + Double.toString(PNLeft) + "; Справа " + Double.toString(PNRight) + "; Ошибка " + Double.toString(error)); if (Math.abs(olderror - error) < 0.0001) { //аварийный выход если алгоритм уйдет не туда PNLeft = 0; PNRight = 0; calcError = true; } } result = (PNLeft + PNRight) / 2; calculateVelocity(result, stages, true); return result; }

А поиграть?

Теперь, после теоретической части, можно и поиграть.
Проект расположен на GitHub . Лицензия MIT, пользуйтесь и модифицируйте на здоровье, а распространение даже приветствуется.

Главное и единственное окно программы:

Вы можете рассчитать конечную скорость ракеты для указанной ПН, заполнив текстовые поля параметров, введя ПН сверху и нажав кнопку «Посчитать скорость».
Также можно рассчитать максимальную полезную нагрузку для данных параметров ракеты, в этом случае поле «ПН» не учитывается.
Есть реальная ракета с пятью ступенями «Minotaur V». Кнопка «Minotaur V» загружает параметры, похожие на эту ракету для того, чтобы показать пример работы программы.
По сути это режим «песочницы», в котором можно создавать ракеты с произвольными параметрами, изучая, как различные параметры влияют на грузоподъемность ракеты.

Соревнование

Режим «Соревнование» активируется нажатием кнопки «Соревнование». В этом режиме количество управляемых параметров сильно ограничено для одинаковости условий соревнования. На всех ступенях стоят однотипные двигатели (это нужно для наглядности необходимости нескольких ступеней). Можно управлять количеством двигателей. Также можно управлять распределением топлива по ступеням и количеством ступеней. Максимальный вес топлива - 300 тонн. Залить меньше топлива можно.
Задача : используя минимальное количество двигателей добиться максимальной ПН. Если желающих поиграть будет много, то в каждом количестве двигателей будет свой зачет.
Желающие могут оставлять свой результат с использованными параметрами в комментариях. Успехов!

Проектировать, строить и запускать модели ракет не просто. Особенно, когда конструктор стремится к достижению наивысших результатов в соревнованиях.

Успех спортсмена во многом зависит от правильного выбора двигателя для модели. Еще один шаг к достижению рекорда - знание законов движения модели.

В этой главе мы познакомимся с понятиями, связанными с движением - скоростью, ускорением и другими факторами, влияющими на высоту полета.

Летные качества моделей ракет в основном зависят от следующих факторов:

• G CT - стартовый вес модели ракеты (кг);
• G T - вес топлива (кг);
• J ∑ - суммарный импульс двигателя (двигателей) (кг·сек);
• Р уд - удельная тяга двигателя (двигателей) (кг·сек/кг);
• V - скорость модели ракеты (м/сек);
• Р - тяга двигателя (двигателей) (кг);
• а - ускорение модели ракеты (м/сек 2);
• t - время действия двигателя (двигателей) (сек);
• i - количество ступеней модели ракеты.

Идеальная скорость модели ракеты

Высота полета модели ракеты зависит в первую очередь от ее скорости, достигаемой в конце работы двигателя. Сначала рассмотрим, как найти конечную скорость модели без учета сопротивления воздуха и притяжения земли. Такую скорость назовем идеальной скоростью модели ракеты.

Для определения скорости модели ракеты используем следующий закон механики: изменение количества движения какого-либо тела равно импульсу приложенной к телу силы.

Количеством движения называется произведение массы тела m на его скорость V, а импульсом силы - произведение приложенной к телу силы F на время ее действия t.

В нашем случае этот закон выражается формулой:

где m - масса модели ракеты;
V к - скорость модели ракеты в конце работы двигателя;
V ст - скорость модели ракеты в начале движения (в данном случае Уст=0);
Р - тяга двигателя;
t - время работы двигателя.

Так как в момент старта V ст = 0, получим:

Масса модели ракеты во время работы двигателя по мере выгорания топлива меняется. Будем считать, что расход топлива - величина постоянная и что за время работы двигателя вес топлива равномерно уменьшается от G T до 0. Для упрощения расчетов предположим, что средний вес топлива равен G T /2, тогда средняя масса модели ракеты будет равна:
Учитывая, что P·t=J ∑ -Р уд ·G T) и исходя из среднего веса топлива, перепишем уравнение (20):
откуда:

или

Эта формула - приближенное выражение известной формулы К. Э. Циолковского . Ее можно записать и в другом, более удобном для расчета виде. Для этого умножим числитель и знаменатель правой части формулы на G T /2.
Приведем несколько примеров использования этой формулы.

Задача 4 . Определить идеальную скорость одноступенчатой модели ракеты, если: G CT =0,1 кг; Р уд =30 кг·сек/кг; G T =0,018 кг.

Решение . Для решения применим формулу (23). Получим:

Формула К. Э. Циолковского

Точнее идеальную скорость модели ракеты можно определить по известной формуле К. Э. Циолковского с помощью логарифмических таблиц.
где W - скорость истечения газов из сопла;
m ст - стартовая масса модели ракеты;
m к - конечная масса модели ракеты;
Z - число Циолковского.

Коэффициент 2,3026 появился во второй формуле при переходе от натурального логарифма к десятичному.

Задача 5 . Определить идеальную скорость модели ракеты по формуле К. Э. Циолковского, если: G CT =0,1 кг; G T =0,018 кг; Р уд =30 кг·сек/кг.

Решение . Конечный вес модели ракеты:

Подставим имеющиеся данные в формулу Циолковского:

3. Действительная скорость модели ракеты

На полет модели ракеты оказывают влияние сопротивление воздуха и наличие земного тяготения. Поэтому в наши расчеты необходимо ввести поправку на эти факторы. Только тогда мы получим действительную скорость модели ракеты в конце работы двигателя, на основании которой можно подсчитать и траекторию полета модели.

Действительную конечную скорость модели ракеты можно подсчитать по формуле:

где V к - идеальная скорость модели ракеты;
Р ср - средняя тяга двигателя;
g - земное ускорение;
t - время;
D - диаметр миделя;
А - коэффициент.

В этой формуле выражение gt учитывает тяготение земли, а выражение D 2 /P ср ·А - влияние сопротивления воздуха. Коэффициент А зависит от идеальной скорости и высоты полета модели ракеты. Значения коэффициента А для различных идеальных скоростей и высот полета приведены в табл. 2.

Задача 6 . Определить действительную скорость модели ракеты в конце активного участка траектории полета, если Р уд =30 кг·сек/кг; G T =0,018 кг; G Т =0,1 кг; t=0,6 сек; Р ср =0,9 кг; D=3 см.

Решение . Идеальную скорость модели ракеты определим по одному из приведенных вариантов формулы К. Э. Циолковского:

Действительную скорость модели ракеты подсчитаем по формуле (25):
Значение коэффициента А для данной высоты полета А=0,083.
Задача 7 . Определить действительную скорость модели ракеты в конце активного участка, если Р уд =25 кг·сек/кг; G T =0,1 кг; t=4 сек; D=3 см; G=0,1 кг (G к - вес модели ракеты без топлива).

Решение . Стартовый вес модели:

Идеальная скорость модели ракеты:

Средняя тяга двигателя:



Исходя из того, что суммарный импульс и время работы - основные параметры двигателя, эту формулу для практического использования удобнее переписать в виде:

так как

4. Высота полета модели ракеты

Рассмотрим теперь, как, зная скорость модели ракеты, найти высоту ее полета. Будем рассматривать полет модели строго по вертикали. Траекторию полета модели ракеты можно разбить на два участка - активный, при работающих двигателях модели ракеты, и пассивный - полет модели по инерции после окончания работы двигателей. Таким образом, общая высота полета модели ракеты равна:
где h 1 - высота полета на активном участке;
h 2 - высота полета на пассивном участке.

Высоту h 1 можно вычислить, считая, что скорость модели ракеты изменяется равномерно от 0 до V действ в конце работы двигателей. Средняя скорость на данном участке равна

где t - время полета на активном участке.

В формуле (27) при подсчете V действ было учтено сопротивление воздуха. Другое дело, когда мы будем подсчитывать h 2 . Если бы сопротивление воздуха отсутствовало, то по законам механики тело, летящее по инерции с начальной скоростью, набирает высоту

Так как в нашем случае V нач =V действ, то

В эту формулу для учета сопротивления воздуха необходимо ввести коэффициент. Опытным путем найдено, что он приблизительно равен 0,8. Таким образом, с учетом сопротивления воздуха формула примет вид
Тогда формулу (26) можно записать в виде:
Задача 8 . Рассчитать высоту траектории полета модели ракеты и ее ускорение на основании данных: G CT =0,08 кг; D=2,3 см; P уд =45,5 кг·сек/кг; Р ср =0,25 кг; f=4 сек; G Т =0,022 кг; J ∑ =1,0 кг·сек (двигатель ДБ-З-СМ-10).

Решение . Идеальная скорость модели ракеты:

Действительная скорость модели ракеты:
Высота полета модели ракеты на активном участке:
Высота полета на пассивном участке:
Общая высота полета модели ракеты:

5. Изменение параметров траектории полета модели ракеты в зависимости от времени работы двигателя

Из формулы (29) видно, что высота полета модели ракеты в основном зависит от величины скорости модели ракеты, достигаемой в конце работы двигателей. Чем больше эта скорость, тем выше полетит модель. Посмотрим, какими способами можно увеличить эту скорость. Возвратимся к формуле (25).
Мы видим, что чем меньше значение gt и D 2 /P ср ·A, тем выше скорость модели ракеты, а значит, больше значение высоты полета модели.

Таблица 3 показывает изменение параметров траектории полета ракеты в зависимости от времени работы двигателя. Таблица дана для моделей ракет со стартовым весом G CT =0,08 кг и двигателем ДБ-З-СМ-10. Характеристики двигателя: J ∑ =1,0 кг·сек; Р уд =45,5 кг·сек/кг; G T =0,022 кг. Суммарный импульс остается постоянным на протяжений всего полета.

Из таблицы видно, что при времени работы двигателя 0,1 сек, теоретическая высота полета модели равна 813 м. Казалось бы, давайте делать двигатели с таким временем работы - и рекорды обеспечены. Однако при таком времени работы двигателя модель должна развить скорость от 0 до 140,6 м/сек. Если бы на борту ракеты с такой скоростью были живые существа, то ни одно из них не смогло бы выдержать такой перегрузки.

Таким образом, мы с вами подошли еще к одному важному понятию в ракетостроении - скорости набора скорости или ускорению. Перегрузки, связанные с чрезмерным ускорением модели ракеты, могут разрушить модель. А чтобы сделать конструкцию более прочной, придется увеличить ее вес. Кроме того, полеты с большими ускорениями опасны для окружающих.

6. Ускорение модели ракеты

На модель ракеты в полете действуют следующие силы: направленная вверх сила тяги двигателя, и направленные вниз сила притяжения земли (вес модели) и сопротивления воздуха.

Допустим, что сопротивление воздуха отсутствует. Для определения ускорения нашей модели используем второй закон механики: произведение массы тела на его ускорение равно действующей ка тело силе (F=m·a).

В нашем случае этот закон примет вид:

Это выражение для ускорения в начале полета.

Из-за выгорания топлива масса модели ракеты постоянно меняется. Следовательно, меняется и ее ускорение. Чтобы найти ускорение в конце активного участка, будем считать, что все топливо в двигателе сгорело, но двигатель еще работает в последний момент перед отключением. Тогда ускорение в конце активного участка можно рассчитать по формуле:

Если ввести в формулу средний вес модели ракеты на активном участке G ср = G CT -G T /2, то получим формулу среднего ускорения:
Ускорение модели ракеты можно также определить из приближенной формулы Циолковского (23), зная, что по известной формуле механики V к =a ср ·t (t в нашем случае - время работы двигателя), подставим это значение для V к в формулу (23)

Приближенная формула Циолковского не учитывает влияние земного притяжения, которое направлено вниз и придает всем телам ускорение, равное g. С поправкой на земное притяжение формула для среднего ускорения на активном участке полета примет вид:
Еще раз следует подчеркнуть, что формулы (32) и (33) не учитывают сопротивление воздуха.

Задача 9 . Определить, не учитывая сопротивления воздуха, среднее ускорение модели ракеты, если G CT =0,08/кг; G T =0.022 кг; Р ср =0,25 кг; t=4 сек; Р уд =45,5 кг·сек/кг; W=P уд ·g=446 м/сек.

Решение . Среднее ускорение модели ракеты найдем по формулам (32) и (33):

Как видите, результаты получились одинаковыми. Но так как эти формулы не учитывают сопротивления воздуха, то величина действительной скорости, подсчитанная по формуле V действ =а ср ·t, будет завышена.

Задача 10 . Определить без учета сопротивления воздуха скорость модели ракеты в конце активного участка и высоту полета, исходя из результатов задачи 9. Результаты сравнить с результатами задачи 8.

Решение . V действ =а ср ·t=25,7·4=102,2 м/сек.

Действительная скорость модели ракеты в задаче 8, решенной с учетом сопротивления воздуха, равна 76,4 м/сек. Следовательно, пренебрежение сопротивлением воздуха дает абсолютную погрешность

и относительную погрешность

Без учета сопротивления воздуха высота полета модели ракеты на активном участке:
На пассивном участке:

Общая высота: H=h 1 +h 2 =205,6+538=743,6 м.

Сравнивая эти результаты с результатами задачи 8, где высота полета модели подсчитывалась с учетом сопротивления воздуха и равнялась 390,8 м, получим:

7. Истинное ускорение модели ракеты

Для определения истинного ускорения модели ракеты часто используется формула:
При выведении формулы (34) рассматриваются два положения модели ракеты во время полета: на старте, когда ее масса равна G CT /g, и в конце активного участка, когда масса модели равна (G CT -G T)/g. Для этих двух положений подсчитывается ускорение модели и берется его среднее значение. Причем не учитывается, что расход топлива в процессе полета приводит не к постоянному (линейному) изменению ускорения, а к неравномерному.

Для примера рассмотрим полет модели ракеты со стартовым весом G CT =0,08 кг и двигателем ДБ-З-СМ-10, имеющим данные Р ср =0,25 кг; t=4 сек, G T =0,022 кг; ω=0,022/4=0,0055 кг; Р уд =45,5 кг·сек/кг.

По формуле (30), не учитывающей сопротивления воздуха, произведем расчет ускорений через каждые 0,5 сек, допуская, что секундный расход топлива величина постоянная (ω=const).

По формуле (34) подсчитаем среднее ускорение:
Определим среднее ускорение по формулам (32) и (33), также не учитывающим сопротивление воздуха:

Теперь наглядно видна разница между полученными результатами. Формула (34) для подсчета среднего ускорения модели ракеты не годится, т. к. неприменима для тел с переменной массой. Нужно использовать формулы (32) и (33), дающие достаточную точность в любой точке траектории полета модели ракеты. Но как показали результаты полетов моделей ракет и их испытания в аэродинамических трубах, в формулы (32) и (33) необходимо ввести учитывающий сопротивление воздуха коэффициент К, который изменяется в пределах 0,66÷0,8.

Таким образом, формулы истинного ускорения модели ракеты имеют вид:

Разберем вышеприведенный пример до конца. Определим истинное ускорение модели ракеты и ее действительную скорость (возьмем среднее значение коэффициента К=0,743)
Выбирать значение коэффициента надо в зависимости от площади миделя модели ракеты. Чем больше площадь миделя, тем меньше нужно брать значение К из диапазона его изменения 0,66÷0,8.

Приведенный метод расчета действительной скорости модели ракеты наиболее простой и достаточно точный. Исключает необходимость пользования таблицами.

8. Скорость многоступенчатых моделей ракет

Идея многоступенчатых ракет принадлежит нашему соотечественнику, замечательному ученому К. Э. Циолковскому. Модель многоступенчатой ракеты с тем же запасом топлива, что и одноступенчатая, достигает большей конечной скорости, дальности и высоты полета, так как двигатели каждой ступени работают последовательно, один за другим. Когда отработает двигатель нижней ступени, она отделяется, начинает работать двигатель следующей ступени и т. д. С отделением очередной ступени масса модели ракеты уменьшается. Так повторяется до последней ступени. Благодаря длительному разгону и все уменьшающейся массе модель получает значительно большую скорость, чем при одновременном срабатывании всех двигателей.

Большое значение имеют весовые соотношения ступеней. Эти соотношения даже более существенны, чем выбор топлива для двигателей.

Предположим, что на каждой ступени модели ракеты используются двигатели с одинаковой удельной тягой, т. е. одинаковой скоростью истечения газов из сопла двигателя.

Идеальную скорость последней ступени модели ракеты можно вычислить по формуле Циолковского (24), только вместо отношения масс m ст /m к возьмем величину М. Формула (24) примет вид.