Teksten til verket er lagt ut uten bilder og formler.
Full versjon arbeid er tilgjengelig i fanen "Arbeidsfiler" i PDF-format
Tallenes verden er veldig mystisk og interessant. Tall er veldig viktige i vår verden. Jeg ønsker å lære så mye som mulig om tallenes opprinnelse og deres betydning i livene våre. Hvordan bruke dem og hvilken rolle spiller de i livene våre?
I fjor i matematikktimene begynte vi å studere emnet "Positive og negative tall". Jeg hadde et spørsmål: når dukket negative tall opp, i hvilket land hvilke forskere studerte dette problemet. Jeg leste på Wikipedia at et negativt tall er et element i settet med negative tall, som (sammen med null) dukket opp i matematikk da settet ble utvidet naturlige tall. Hensikten med utvidelsen er å la subtraksjonsoperasjonen utføres på et hvilket som helst tall. Som et resultat av utvidelsen oppnås et sett (ring) med heltall, bestående av positive (naturlige) tall, negative tall og null.
Som et resultat bestemte jeg meg for å utforske historien til negative tall.
Formålet med dette arbeidet er å studere historien om fremveksten av negative og positive tall.
Studieobjektet er negative tall og positive tall
Historie om positive og negative tall
Det tok lang tid før folk ble vant til negative tall. Negative tall virket uforståelige for dem, de brukte dem ikke, de så rett og slett ikke mye mening i dem. Disse tallene dukket opp mye senere enn naturlige tall og vanlige brøker.
Den første informasjonen om negative tall ble funnet av kinesiske matematikere på 200-tallet. f.Kr e. og selv da var bare reglene for å addere og subtrahere positive og negative tall kjent; reglene for multiplikasjon og divisjon gjaldt ikke.
I kinesisk matematikk ble positive størrelser kalt "chen", negative størrelser ble kalt "fu"; de ble portrettert forskjellige farger: "chen" - rød, "fu" - svart. Dette kan sees i boken "Aritmetikk i ni kapitler" (forfatter Zhang Can). Denne avbildningsmetoden ble brukt i Kina frem til midten av 1100-tallet, inntil Li Ye foreslo en mer praktisk betegnelse for negative tall - tallene som avbildet negative tall ble krysset ut med en linje diagonalt fra høyre til venstre.
Først på 700-tallet. Indiske matematikere begynte å bruke negative tall mye, men behandlet dem med en viss mistillit. Bhaskhara skrev direkte: "Folk godkjenner ikke abstrakte negative tall ...". Slik satte den indiske matematikeren Brahmagupta opp reglene for addisjon og subtraksjon: «eiendom og eiendom er eiendom, summen av to gjeld er gjeld; summen av eiendom og null er eiendom; summen av to nuller er null... Gjeld, som trekkes fra null, blir eiendom, og eiendom blir til gjeld. Hvis det er nødvendig å ta bort eiendom fra gjeld, og gjeld fra eiendom, så tar de summen deres." "Summen av to eiendommer er eiendom."
(+x) + (+y) = +(x + y) (-x) + (-y) = - (x + y)
(-x) + (+y) = - (x - y) (-x) + (+y) = +(y - x)
0 - (-x) = +x 0 - (+x) = -x
Indianerne kalte positive tall "dhana" eller "sva" (eiendom), og negative tall "rina" eller "kshaya" (gjeld). Indiske forskere, som prøvde å finne eksempler på slik subtraksjon i livet, kom til å tolke det fra synspunktet til handelsberegninger. Hvis en kjøpmann har 5000 rubler. og kjøper varer for 3000 rubler, har han 5000 - 3000 = 2000 rubler igjen. Hvis han har 3000 rubler, men kjøper for 5000 rubler, forblir han i gjeld for 2000 rubler. I samsvar med dette ble det antatt at her ble det utført en subtraksjon på 3000 - 5000, resultatet var tallet 2000 med en prikk øverst, som betyr "to tusen gjeld." Denne tolkningen var kunstig; kjøpmannen fant aldri gjeldsbeløpet ved å trekke fra 3000 - 5000, men trakk alltid 5000 - 3000.
Litt senere Det gamle India og Kina, de gjettet at i stedet for ordene "gjeld på 10 yuan" burde de bare skrive "10 yuan", men tegne disse hieroglyfene med svart blekk. Og i gamle tider var det ingen tegn "+" og "-" verken for tall eller for handlinger.
Grekerne brukte heller ikke tegn først. Den antikke greske forskeren Diophantus gjenkjente ikke negative tall i det hele tatt, og hvis han, når han løste en ligning, fikk negativ rot, så forkastet den som "utilgjengelig". Og Diophantus prøvde å formulere problemer og komponere ligninger på en slik måte å unngå negative røtter, men snart begynte Diophantus av Alexandria å betegne subtraksjon med et tegn.
Regler for å håndtere positive og negative tall ble foreslått allerede på 300-tallet i Egypt. Innføringen av negative mengder skjedde først med Diophantus. Han brukte til og med et spesielt symbol for dem. Samtidig bruker Diophantus slike figurer som "La oss legge til et negativt på begge sider," og formulerer til og med tegnregelen: "En negativ multiplisert med en negativ gir en positiv, mens en negativ multiplisert med en positiv gir negativt."
I Europa begynte negative tall å bli brukt fra 1100-1200-tallet, men først på 1500-tallet. de fleste forskere betraktet dem som "falske", "imaginære" eller "absurde", i motsetning til positive tall - "sanne". Positive tall ble også tolket som "eiendom", og negative tall som "gjeld", "mangel". Selv den berømte matematikeren Blaise Pascal hevdet at 0 − 4 = 0, siden ingenting kan være mindre enn ingenting. I Europa kom Leonardo Fibonacci fra Pisa ganske nær ideen om negativ mengde på begynnelsen av 1200-tallet. I en problemløsningskonkurranse med hoffmatematikerne til Frederick II, ble Leonardo av Pisa bedt om å løse et problem: det var nødvendig å finne hovedstaden til flere individer. Fibonacci mottok negativ betydning. "Denne saken," sa Fibonacci, "er umulig, med mindre vi aksepterer at man ikke hadde kapital, men gjeld." Negative tall ble imidlertid først brukt eksplisitt på slutten av 1400-tallet av den franske matematikeren Chuquet. Forfatter av en håndskrevet avhandling om aritmetikk og algebra "The Science of Numbers in tre deler" Symbolikken til Shuque er nær moderne.
Gjenkjennelsen av negative tall ble tilrettelagt av arbeidet til den franske matematikeren, fysikeren og filosofen René Descartes. Han foreslo en geometrisk tolkning av positive og negative tall - han introduserte koordinatlinjen. (1637).
Positive tall er representert på tallaksen ved punkter som ligger til høyre for begynnelsen 0, negative tall - til venstre. Den geometriske tolkningen av positive og negative tall bidro til deres gjenkjennelse.
I 1544 betraktet den tyske matematikeren Michael Stiefel først negative tall som tall mindre enn null (dvs. "mindre enn ingenting"). Fra dette tidspunktet blir negative tall ikke lenger sett på som en gjeld, men på en helt ny måte. Stiefel skrev selv: "Null er mellom sanne og absurde tall ..."
Nesten samtidig med Stiefel ble ideen om negative tall forsvart av Bombelli Raffaele (ca. 1530-1572), en italiensk matematiker og ingeniør som gjenoppdaget arbeidet til Diophantus.
På samme måte anså Girard negative tall for å være helt akseptable og nyttige, spesielt for å indikere mangelen på noe.
Hver fysiker arbeider konstant med tall: han måler, beregner, beregner alltid noe. Overalt i papirene hans er det tall, tall og tall. Hvis du ser nøye på fysikerens notater, vil du finne at når han skriver tall, bruker han ofte tegnene "+" og "-". (For eksempel: termometer, dybde- og høydeskala)
Bare i tidlig XIX V. teorien om negative tall fullførte utviklingen, og "absurde tall" fikk universell anerkjennelse.
Definisjon av tallbegrepet
I moderne verden folk bruker konstant tall uten å tenke på opprinnelsen deres. Uten kunnskap om fortiden er det umulig å forstå nåtiden. Tall er et av de grunnleggende begrepene i matematikk. Tallbegrepet utviklet seg i nær forbindelse med studiet av mengder; denne forbindelsen fortsetter til i dag. I alle grener av moderne matematikk må vi vurdere ulike mengder og bruke tall. Tall er en abstraksjon vant til kvantitative egenskaper gjenstander. Etter å ha dukket opp igjen primitive samfunn Fra behovene til telling endret og beriket tallbegrepet og ble til det viktigste matematiske begrepet.
Finnes et stort nummer av definisjoner av begrepet "nummer".
Den første vitenskapelige definisjonen av tall ble gitt av Euklid i hans Elementer, som han tilsynelatende arvet fra sin landsmann Eudoxus av Cnidus (ca. 408 - ca. 355 f.Kr.): "En enhet er den i samsvar med hvilken hver av de eksisterende tingene kalles en . Et tall er et sett som består av enheter." Slik definerte den russiske matematikeren Magnitsky begrepet tall i sin "Aritmetikk" (1703). Enda tidligere enn Euklid ga Aristoteles følgende definisjon: "Et tall er et sett som måles ved hjelp av enheter." I sin "General Arithmetic" (1707) skriver den store engelske fysikeren, mekanikeren, astronomen og matematikeren Isaac Newton: "Med tall mener vi ikke så mye et sett med enheter som det abstrakte forholdet mellom en mengde og en annen mengde av samme type. , tatt som en enhet.» . Det er tre typer tall: heltall, brøk og irrasjonell. Et helt tall er noe som måles med én; brøk er et multiplum av én, irrasjonelt er et tall som ikke er i samsvar med én.»
Mariupol-matematiker S.F. Klyuykov bidro også til definisjonen av begrepet tall: "Tall er matematiske modeller virkelige verden oppfunnet av mennesket for sin kunnskap." Han introduserte også de såkalte "funksjonelle tallene" i den tradisjonelle klassifiseringen av tall, som betyr det som vanligvis kalles funksjoner over hele verden.
Naturlige tall oppsto ved telling av objekter. Jeg lærte om dette i 5. klasse. Så lærte jeg at menneskets behov for å måle mengder ikke alltid uttrykkes i hele tall. Etter å ha utvidet settet med naturlige tall til brøker, ble det mulig å dele et hvilket som helst heltall med et annet heltall (med unntak av divisjon med null). Dukket opp brøktall. Trekk et heltall fra et annet heltall når det subtraherte er større enn minuend, i lang tid virket umulig. Det som var interessant for meg var det faktum at mange matematikere i lang tid ikke gjenkjente negative tall, og trodde at de ikke samsvarte med noen virkelige fenomener.
Opprinnelsen til ordene "pluss" og "minus"
Begrepene kommer fra ordene pluss - "mer", minus - "mindre". Først ble handlinger merket med de første bokstavene p; m. Mange matematikere foretrakk eller Opprinnelsen til moderne tegn "+" og "-" er ikke helt klar. “+”-tegnet kommer sannsynligvis fra forkortelsen et, dvs. "Og". Det kan imidlertid ha oppstått fra handelspraksis: solgte mål vin ble merket med "-" på fatet, og når lageret ble gjenopprettet, ble de krysset over, noe som resulterte i et "+"-tegn.
I Italia setter pengeutlånere, når de låner ut penger, gjeldsbeløpet og en strek foran debitors navn, som minuset vårt, og når debitor returnerte pengene, strøk de det ut, det viste seg omtrent som vårt pluss.
Moderne "+"-skilt dukket opp i Tyskland i siste tiåret XV århundre i Widmanns bok, som var en veiledning til telling for kjøpmenn (1489). Tsjekkiske Jan Widman skrev allerede "+" og "-" for addisjon og subtraksjon.
Litt senere skrev den tyske forskeren Michel Stiefel "Complete Arithmetic", som ble utgitt i 1544. Den inneholder følgende oppføringer for tall: 0-2; 0+2; 0-5; 0+7. Han kalte tall av den første typen «mindre enn ingenting» eller «lavere enn ingenting». Han kalte tall av den andre typen «mer enn ingenting» eller «høyere enn ingenting». Selvfølgelig forstår du disse navnene, fordi "ingenting" er 0.
Negative tall i Egypt
Til tross for slik tvil ble det imidlertid foreslått regler for drift med positive og negative tall allerede på 300-tallet i Egypt. Innføringen av negative mengder skjedde først med Diophantus. Han brukte til og med et spesielt symbol for dem (i dag bruker vi minustegnet til dette formålet). Riktignok argumenterer forskerne om Diophantus symbol betegnet et negativt tall eller bare en subtraksjonsoperasjon, fordi i Diophantus forekommer negative tall ikke isolert, men bare i form av positive forskjeller; og han anser bare rasjonelle positive tall som svar på problemer. Men samtidig bruker Diophantus slike figurer som "La oss legge til et negativt på begge sider," og formulerer til og med tegnregelen: "En negativ multiplisert med en negativ gir en positiv, mens en negativ multiplisert med en positiv gir negativ» (det vil si, som nå vanligvis formuleres: «Minus ved minus gir pluss, minus ved pluss gir minus»).
(-) (-) = (+), (-) (+) = (-).
Negative tall i det gamle Asia
I kinesisk matematikk ble positive størrelser kalt "chen", negative størrelser ble kalt "fu"; de ble avbildet i forskjellige farger: "chen" - rød, "fu" - svart. Denne avbildningsmetoden ble brukt i Kina frem til midten av 1100-tallet, inntil Li Ye foreslo en mer praktisk betegnelse for negative tall - tallene som avbildet negative tall ble krysset ut med en linje diagonalt fra høyre til venstre. Indiske forskere, som prøvde å finne eksempler på slik subtraksjon i livet, kom til å tolke det fra synspunktet til handelsberegninger.
Hvis en kjøpmann har 5000 rubler. og kjøper varer for 3000 rubler, har han 5000 - 3000 = 2000 rubler igjen. Hvis han har 3000 rubler, men kjøper for 5000 rubler, forblir han i gjeld for 2000 rubler. I samsvar med dette ble det antatt at her ble det utført en subtraksjon på 3000 - 5000, resultatet var tallet 2000 med en prikk øverst, som betyr "to tusen gjeld."
Denne tolkningen var kunstig, kjøpmannen fant aldri gjeldsbeløpet ved å trekke fra 3000 - 5000, men trakk alltid 5000 - 3000. I tillegg var det på dette grunnlaget bare mulig å forklare med en strekk reglene for å legge til og subtrahere "tall". med prikker», men det var umulig å forklare reglene for multiplikasjon eller divisjon.
På 500-600-tallet dukket negative tall opp og ble svært utbredt i indisk matematikk. I India ble negative tall brukt systematisk, omtrent som vi gjør nå. Indiske matematikere har brukt negative tall siden 700-tallet. n. e.: Brahmagupta formulerte reglene for aritmetiske operasjoner med dem. I hans verk leser vi: «eiendom og eiendom er eiendom, summen av to gjeld er gjeld; summen av eiendom og null er eiendom; summen av to nuller er null... Gjeld, som trekkes fra null, blir eiendom, og eiendom blir til gjeld. Hvis det er nødvendig å ta bort eiendom fra gjeld, og gjeld fra eiendom, så tar de summen deres."
Indianerne kalte positive tall "dhana" eller "sva" (eiendom), og negative tall "rina" eller "kshaya" (gjeld). I India var det imidlertid problemer med å forstå og akseptere negative tall.
Negative tall i Europa
Europeiske matematikere godkjente dem ikke på lenge, fordi tolkningen av "eiendomsgjeld" forårsaket forvirring og tvil. Faktisk, hvordan kan man "legge til" eller "trekke fra" eiendom og gjeld, hvilken reell betydning kan "multiplisere" eller "dele" eiendom med gjeld ha? (G.I. Glazer, matematikkens historie i skoletrinn IV-VI. Moskva, Prosveshchenie, 1981)
Derfor har negative tall fått plass i matematikk med store vanskeligheter. I Europa kom Leonardo Fibonacci fra Pisa ganske nær ideen om en negativ mengde på begynnelsen av 1200-tallet, men negative tall ble først brukt eksplisitt på slutten av 1400-tallet av den franske matematikeren Chuquet. Forfatter av en håndskrevet avhandling om aritmetikk og algebra, "Vitenskapen om tall i tre deler." Symbolikken til Shuquet nærmer seg den moderne (matematisk encyklopedisk ordbok. M., Sov. leksikon, 1988)
Moderne tolkning av negative tall
I 1544 betraktet den tyske matematikeren Michael Stiefel først negative tall som tall mindre enn null (dvs. "mindre enn ingenting"). Fra dette tidspunktet blir negative tall ikke lenger sett på som en gjeld, men på en helt ny måte. Stiefel skrev selv: "Null er mellom sanne og absurde tall ..." (GI Glazer, History of mathematics in school grades IV-VI. Moscow, Prosveshchenie, 1981)
Etter dette viet Stiefel arbeidet sitt helt til matematikk, der han var et selvlært geni. En av de første i Europa etter at Nicola Chuquet begynte å operere med negative tall.
Den berømte franske matematikeren René Descartes i «Geometry» (1637) beskriver den geometriske tolkningen av positive og negative tall; positive tall er representert på tallaksen ved punkter som ligger til høyre for begynnelsen 0, negative tall - til venstre. Den geometriske tolkningen av positive og negative tall førte til en klarere forståelse av naturen til negative tall og bidro til deres gjenkjennelse.
Nesten samtidig med Stiefel ble ideen om negative tall forsvart av R. Bombelli Raffaele (ca. 1530-1572), en italiensk matematiker og ingeniør som gjenoppdaget arbeidet til Diophantus.
Bombelli og Girard anså tvert imot negative tall for å være ganske akseptable og nyttige, spesielt for å indikere mangelen på noe. Den moderne betegnelsen for positive og negative tall med tegnene "+" og "-" ble brukt av den tyske matematikeren Widmann. Uttrykket "lavere enn ingenting" viser at Stiefel og noen andre mentalt forestilte positive og negative tall som punkter på en vertikal skala (som en termometerskala). Da utviklet av matematikeren A. Girard, viste ideen om negative tall som punkter på en bestemt linje, plassert på den andre siden av null enn positive, seg å være avgjørende for å gi disse tallene statsborgerrettigheter, spesielt som en resultat av utviklingen av koordinatmetoden av P. Fermat og R. Descartes.
Konklusjon
I arbeidet mitt undersøkte jeg historien om fremveksten av negative tall. Under undersøkelsen konkluderte jeg:
Moderne vitenskap møter mengder av en så kompleks natur at for å studere dem er det nødvendig å finne opp nye typer tall.
Ved introduksjon av nye tall veldig viktig har to forhold:
a) handlingsreglene over dem må være fullstendig definert og ikke føre til motsetninger;
b) nye nummersystemer skal bidra til enten å løse nye problemer eller forbedre allerede kjente løsninger.
For tiden har tiden syv generelt aksepterte nivåer av generalisering av tall: naturlige, rasjonelle, reelle, komplekse, vektor-, matrise- og transfinitte tall. Noen forskere foreslår å betrakte funksjoner som funksjonelle tall og utvide graden av generalisering av tall til tolv nivåer.
Jeg vil prøve å studere alle disse settene med tall.
applikasjon
DIKT
"Å legge til negative tall og tall med forskjellige tegn»
Hvis du virkelig vil kaste
Tallene er negative, det er ingen grunn til å bry seg:
Vi må raskt finne ut summen av modulene,
Ta så og legg til et minustegn.
Hvis tall med forskjellige fortegn er gitt,
For å finne summen deres er vi alle rett der.
Vi kan raskt velge en større modul.
Fra den trekker vi den minste.
Det viktigste er ikke å glemme skiltet!
Hvilken vil du sette? – Vi ønsker å spørre
Vi skal fortelle deg en hemmelighet, det kunne ikke vært enklere,
Skriv ned tegnet der modulen er større i svaret ditt.
Regler for å legge til positive og negative tall
Legg til minus til minus,
Du kan få et minus.
Hvis du legger sammen minus, pluss,
Vil det vise seg å være en flauhet?!
Du velger tegnet på tallet
Hvilken er sterkere, ikke gjespe!
Ta dem vekk fra modulene
Slutt fred med alle tallene!
Reglene for multiplikasjon kan tolkes på denne måten:
"Min venns venn er min venn": + ∙ + = + .
"Min fiendes fiende er min venn": ─ ∙ ─ = +.
«Vennen til min fiende er min fiende»: + ∙ ─ = ─.
«Min venns fiende er min fiende»: ─ ∙ + = ─.
Multiplikasjonstegnet er en prikk, det har tre tegn:
Dekk to av dem, den tredje vil gi svaret.
For eksempel.
Hvordan bestemme fortegnet til produktet 2∙(-3)?
La oss dekke pluss- og minustegnene med hendene våre. Det gjenstår et minustegn
Bibliografi
"Historie eldgamle verden", 5. klasse. Kolpakov, Selunskaya.
"Matematikkens historie i antikken", E. Kolman.
"Studenthåndbok." Forlag "VES", St. Petersburg. 2003
Flott matematisk leksikon. Yakusheva G.M. og så videre.
Vigasin A.A., Goder G.I., "History of the Ancient World," 5. klasses lærebok, 2001.
Wikipedia. Gratis leksikon.
Fremvekst og utvikling matematisk vitenskap: Bok. For læreren. - M.: Utdanning, 1987.
Gelfman E.G. "Positive og negative tall" opplæringen i matematikk for 6. klasse, 2001.
Hode. utg. M. D. Aksyonova. - M.: Avanta+, 1998.
Glazer G. I. "Historie om matematikk på skolen", Moskva, "Prosveshchenie", 1981
Barneleksikon "Jeg kjenner verden", Moskva, "Enlightenment", 1995.
Historie om matematikk i skolen, klassetrinn IV-VI. G.I. Glazer, Moskva, utdanning, 1981.
M.: Philol. LLC "WORD": OLMA-PRESS, 2005.
Malygin K.A.
Matematisk leksikon ordbok. M., Sov. leksikon, 1988.
Nurk E.R., Telgmaa A.E. "Matematikk 6. klasse", Moskva, "Enlightenment", 1989
Lærebok 5. klasse. Vilenkin, Zhokhov, Chesnokov, Shvartsburd.
Friedman L.M.. "Studying Mathematics", pedagogisk publikasjon, 1994.
F.eks. Gelfman et al., Positive og negative tall i Buratino-teatret. Matematikk lærebok for 6. klasse. 3. utgave, revidert, - Tomsk: Publishing House Tomsk universitet, 1998
Leksikon for barn. T.11. Matematikk
Historien om fremveksten av negative tall er veldig gammel og lang. Siden negative tall er noe flyktig, uvirkelig, har folk i lang tid ikke anerkjent deres eksistens.
Det hele startet i Kina, rundt det 2. århundre f.Kr. Kanskje de var kjent i Kina før, men den første omtalen går tilbake til den tiden. Der begynte de å bruke negative tall og betraktet dem som «gjeld», mens de positive ble kalt «eiendom». Rekorden som eksisterer nå eksisterte ikke da, og negative tall ble skrevet med svart, og positive tall i rødt.
Vi finner den første omtalen av negative tall i boken "Matematikk i ni kapitler" av den kinesiske forskeren Zhang Can.
Neste, i V-VI århundrer negative tall begynte å bli brukt ganske mye i Kina og India. Riktignok ble de i Kina behandlet med forsiktighet og prøvde å minimere bruken, men i India ble de tvert imot brukt veldig mye. Der ble det gjort beregninger med dem og negative tall virket ikke uforståelige.
Indiske forskere Brahmagupta Bhaskara (VII-VIII århundrer) er berømte, som i sin lære etterlot detaljerte forklaringer om å jobbe med negative tall.
Og i antikken, for eksempel i Babylon og i Det gamle Egypt, negative tall ble ikke brukt i det hele tatt. Og hvis regnestykket resulterte i et negativt tall, ble det vurdert at det ikke fantes noen løsning.
På samme måte ble negative tall i Europa ikke gjenkjent på veldig lenge. De ble ansett som «innbilte» og «absurde». De utførte ingen handlinger med dem, men forkastet dem bare hvis svaret var negativt. De trodde at hvis du trekker et hvilket som helst tall fra 0, vil svaret være 0, siden ingenting kan være det mindre enn null- tomhet.
For første gang i Europa vendte Leonardo av Pisa (Fibonacci) oppmerksomheten mot negative tall. Og han beskrev dem i sitt verk "The Book of Abacus" i 1202.
Leonardo Fibonacci Leonardo Fibonacci
Senere, i 1544, introduserte Mikhail Stiefel, i sin bok "Complete Arithmetic", først konseptet med negative tall og beskrev i detalj operasjonene med dem. "Null er mellom de absurde og de sanne tallene."
Og på 1600-tallet foreslo matematikeren Rene Descartes å sette negative tall på den digitale aksen til venstre for null.
Rene Descartes Rene Descartes
Fra den tiden begynte negative tall å bli mye brukt og akseptert, selv om mange forskere i lang tid nektet dem.
I 1831 kalte Gauss negative tall som absolutt tilsvarer positive. Og jeg anså ikke det faktum at ikke alle handlinger kan utføres med dem som noe forferdelig; med brøker, for eksempel, kan ikke alle handlinger gjøres heller.
Og på 1800-tallet skapte Wilman Hamilton og Hermann Grassmann en fullstendig teori om negative tall. Siden den gang har negative tall fått sine rettigheter, og nå er det ingen som tviler på virkeligheten deres.
Mennesket fant opp tallet for på en eller annen måte å indikere for seg selv og andre resultatene av telling og måling. Tilsynelatende dukket de første begrepene om antall blant mennesker opp i paleolittisk tid, men utviklet seg allerede i yngre steinalder. Det første trinnet i utseendet til tall var tilsynelatende bevisstheten om inndelingen av mål i "en" og "mange".
I den antikke verden begynte de først å bruke spesielle tegn for å angi tall: bildene deres ble bevart på leirtavler fra Mesopotamia, på egyptiske papyrus, og så videre.
Matematikken utviklet seg videre. Og i forskjellige land deres egne spesielle, autentiske og merkbart forskjellige tallsystemer begynte å dannes. Selv et skolebarn vet nå hvordan den romerske og arabiske skriften med tall skilte seg. Tall har gått i arv fra land til land, kultur til kultur, som en viktig og verdifull oppfinnelse og arv. Moderne tall, som både slavisk og vestlig sivilisasjon er bygget på, er arabiske tall, men lånt fra India. Mange tall som nå er kjent for alle ble oppfunnet i India, for eksempel tallet "0".
Inndelingen av tall i positive og negative dateres tilbake til utviklingen av matematikere i middelalderen. Igjen ble negative tall først brukt i India. Dette gjorde det lettere for kjøpmenn å beregne tap og gjeld. På den tiden var aritmetikk allerede et høyt utviklet anvendt felt, og algebra begynte å utvikle seg. Med introduksjonen av kartesisk geometri, hans koordinatsystemer, kom negative tall godt i bruk. De har ikke reist hit til i dag.
Komplekse tall er moderne konsept, slike tall kalles også "imaginære tall" og er avledet fra den formelle løsningen av kubikk og andregradsligninger. Deres "far" var middelaldermatematikeren Gerolamo Cardano. I løpet av Descartes tid ble komplekse tall, som negative tall, godt etablert i matematisk bruk.
Historien om negative tall
Det er kjent at naturlige tall oppsto ved telling av objekter. Menneskets behov for å måle mengder og det faktum at resultatet av en måling ikke alltid uttrykkes som et heltall førte til utvidelsen av settet med naturlige tall. Null- og brøktall ble introdusert.
Prosess historisk utvikling Konseptet med tall sluttet ikke der. Den første drivkraften for å utvide tallbegrepet var imidlertid ikke alltid rent praktiske behov til mennesker. Det hendte også at selve matematikkens problemer krevde utvidelse av tallbegrepet. Dette er nøyaktig hva som skjedde med fremveksten av negative tall. Å løse mange problemer, spesielt de som involverer ligninger, innebar å trekke et større tall fra et mindre tall. Dette krevde innføring av nye tall.
Negative tall dukket først opp i Det gamle Kina allerede for rundt 2100 år siden. De visste også hvordan de skulle legge til og subtrahere positive og negative tall; reglene for multiplikasjon og divisjon ble ikke brukt.
I det andre århundre. f.Kr e. Den kinesiske vitenskapsmannen Zhang Can skrev boken Arithmetic in Nine Chapters. Av innholdet i boken er det tydelig at dette ikke er et helt selvstendig verk, men en omarbeiding av andre bøker skrevet lenge før Zhang Can. I denne boken møter man negative størrelser for første gang i vitenskapen. De blir forstått annerledes enn måten vi forstår og anvender dem på. Han har ikke en fullstendig og klar forståelse av naturen til negative mengder og reglene for å operere med dem. Han forsto hvert negativt tall som en gjeld, og hvert positivt tall som eiendom. Han utførte operasjoner med negative tall ikke på samme måte som vi gjør, men ved å bruke resonnement om gjeld. For eksempel, hvis du legger til en annen gjeld til en gjeld, er resultatet gjeld, ikke eiendom (dvs. ifølge oss (- x) + (- x) = - 2x. Minustegnet var ikke kjent da, derfor i For å skille tallene , som uttrykker gjeld, skrev Zhan Can dem med et annet blekk enn tallene som uttrykker eiendom (positiv).
I kinesisk matematikk ble positive mengder kalt "chen" og ble avbildet i rødt, mens negative mengder ble kalt "fu" og ble avbildet i svart. Denne avbildningsmetoden ble brukt i Kina frem til midten av 1100-tallet, inntil Li Ye foreslo en mer praktisk betegnelse for negative tall - tallene som avbildet negative tall ble krysset ut med en linje diagonalt fra høyre til venstre. Selv om kinesiske forskere forklarte negative mengder som gjeld, og positive mengder som eiendom, unngikk de fortsatt deres utbredte bruk, siden disse tallene virket uforståelige, og handlinger med dem var uklare. Hvis problemet førte til en negativ løsning, så prøvde de å erstatte tilstanden (som grekerne) slik at man til slutt ville få en positiv løsning.
På 500-600-tallet dukket negative tall opp og ble svært utbredt i indisk matematikk. For beregninger brukte datidens matematikere et tellebrett, hvor tall ble avbildet ved hjelp av tellepinner. Siden det ikke var noen tegn + og - på den tiden, ble positive tall avbildet med røde pinner, og negative tall ble avbildet med svarte pinner og ble kalt "gjeld" og "mangel." Positive tall ble tolket som "eiendom". I motsetning til Kina var reglene for multiplikasjon og divisjon allerede kjent i India. I India ble negative tall brukt systematisk, omtrent som vi gjør nå. Allerede i arbeidet til den fremragende indiske matematikeren og astronomen Brahmagupta (598 - ca. 660) leser vi: «eiendom og eiendom er eiendom, summen av to gjeld er en gjeld; summen av eiendom og null er eiendom; summen av to nuller er null... Gjeld, som trekkes fra null, blir eiendom, og eiendom blir til gjeld. Hvis det er nødvendig å ta bort eiendom fra gjeld, og gjeld fra eiendom, så tar de summen deres."
Indiske matematikere brukte negative tall når de løste ligninger, og subtraksjon ble erstattet av addisjon med et like motsatt tall.
Sammen med negative tall introduserte indiske matematikere konseptet null, som tillot dem å lage et desimaltallsystem. Men i lang tid ble null ikke gjenkjent som et tall; "nullus" på latin betyr nei, fravær av et tall. Og først etter 10 århundrer, på 1600-tallet, med innføringen av et koordinatsystem, ble null et tall.
Grekerne brukte heller ikke tegn først. Den antikke greske forskeren Diophantus gjenkjente ikke negative tall i det hele tatt, og hvis en negativ rot ble oppnådd når han løste en ligning, forkastet han den som «utilgjengelig». Og Diophantus prøvde å formulere problemer og komponere ligninger på en slik måte å unngå negative røtter, men snart begynte Diophantus av Alexandria å betegne subtraksjon med tegnet .
Til tross for at negative tall har blitt brukt i lang tid, ble de behandlet med en viss mistillit, siden de vurderte dem som ikke helt reelle, deres tolkning som eiendomsgjeld forårsaket forvirring: hvordan kan man "legge til" og "trekke fra" eiendom og gjeld?
I Europa kom anerkjennelsen tusen år senere. Leonardo av Pisa (Fibonacci) kom ganske nær ideen om en negativ mengde på begynnelsen av 1200-tallet, som også introduserte den for å løse økonomiske oppgaver med gjeld og kom til ideen om at negative mengder skulle tas i motsatt betydning av positive. I de årene ble de såkalte matematiske duellene utviklet. Ved en problemløsningskonkurranse med hoffmatematikerne til Frederick II, ble Leonardo av Pisa (Fibonacci) bedt om å løse et problem: det var nødvendig å finne hovedstaden til flere individer. Fibonacci fikk en negativ verdi. "Denne saken," sa Fibonacci, "er umulig, med mindre vi antar at man ikke hadde kapital, men gjeld."
I 1202 brukte han først negative tall for å beregne tapene sine. Negative tall ble imidlertid brukt eksplisitt for første gang på slutten av 1400-tallet av den franske matematikeren Chuquet.
Likevel, frem til 1600-tallet, var negative tall "i folden" og i lang tid ble de kalt "falske", "imaginære" eller "absurde". Og selv på 1600-tallet hevdet den kjente matematikeren Blaise Pascal at 0-4 = 0 fordi det ikke er noe tall som kan være mindre enn ingenting, og frem til 1800-tallet forkastet matematikere ofte negative tall i sine beregninger, og vurderte dem som meningsløse. ..
Bombelli og Girard anså tvert imot negative tall for å være ganske akseptable og nyttige, spesielt for å indikere mangelen på noe. Et ekko av den tiden er det faktum at i moderne aritmetikk er operasjonen av subtraksjon og tegnet på negative tall betegnet med det samme symbolet (minus), selv om algebraisk sett er helt forskjellige konsepter.
I Italia, når de lånte ut penger, satte pengeutlånere beløpet på gjelden og en linje foran debitors navn, som minuset vårt, og når debitor returnerte pengene, strøk de det ut, så det så ut som vårt pluss. Du kan vurdere et pluss som et overstreket minus!
Moderne notasjon for positive og negative tall med fortegn
"+" og "-" ble brukt av den tyske matematikeren Widmann.
Den tyske matematikeren Michael Stiefel, i sin bok "Complete Arithmetic" (1544), introduserte først konseptet med negative tall som tall mindre enn null (mindre enn ingenting). Dette var et veldig stort skritt fremover for å rettferdiggjøre negative tall. Han gjorde det mulig å se negative tall ikke som en gjeld, men på en helt annen, ny måte. Men Stiefel kalte negative tall absurde; handlinger med dem, med hans ord, "går også absurd, tullete."
Etter Stiefel begynte forskere å utføre operasjoner med negative tall mer selvsikkert.
Negative løsninger på problemer ble i økende grad beholdt og tolket.
På 1600-tallet Den store franske matematikeren Rene Descartes foreslo å sette negative tall på talllinjen til venstre for null. Nå virker det hele så enkelt og forståelig for oss, men for å nå denne ideen tok det atten århundrer med vitenskapelig tankearbeid fra den kinesiske vitenskapsmannen Zhang Can til Descartes.
I verkene til Descartes fikk negative tall, som de sier, en reell tolkning. Descartes og hans tilhengere anerkjente dem på lik linje med positive. Men i operasjoner med negative tall var ikke alt klart (for eksempel multiplikasjon med dem), så mange forskere ønsket ikke å gjenkjenne negative tall som reelle tall. En stor og lang debatt brøt ut blant forskere om essensen av negative tall og om man skal gjenkjenne negative tall som reelle tall eller ikke. Denne striden etter Descartes varte i rundt 200 år. I løpet av denne perioden utviklet matematikk som vitenskap seg veldig mye, og negative tall ble møtt ved hvert trinn. Matematikk er blitt utenkelig, umulig uten negative tall. Alle mer forskere ble det klart at negative tall er reelle tall, like reelle, faktisk eksisterende tall, som positive tall.
Negative tall har knapt vunnet sin plass i matematikk. Uansett hvor hardt forskerne prøver å unngå dem. Imidlertid lyktes de ikke alltid med dette. Livet ga vitenskapen nye og nye oppgaver, og oftere og oftere førte disse oppgavene til negative løsninger i Kina, India og Europa. Først på begynnelsen av 1800-tallet. teorien om negative tall fullførte utviklingen, og "absurde tall" fikk universell anerkjennelse.
Hver fysiker arbeider konstant med tall: han måler, beregner, beregner alltid noe. Overalt i papirene hans er det tall, tall og tall. Hvis du ser nøye på fysikerens notater, vil du finne at når han skriver tall, bruker han ofte tegnene "+" og "-".
Hvordan oppstår positive, og spesielt negative tall i fysikk?
En fysiker tar for seg ulike fysiske størrelser som beskriver de ulike egenskapene til objekter og fenomener rundt oss. Byggehøyde, avstand fra skole til hjem, masse og temperatur Menneskekroppen, bilhastighet, boksvolum, kraft elektrisk strøm, brytningsindeks for vann, kraft atomeksplosjon, spenningen mellom elektrodene, varigheten av en leksjon eller fordypning, den elektriske ladningen til en metallkule - alt dette er eksempler fysiske mengder. En fysisk størrelse kan måles.
Man bør ikke tro at noen egenskap ved et objekt eller et naturfenomen kan måles og derfor er en fysisk størrelse. Det er ikke sånn i det hele tatt. For eksempel sier vi: «Hvilken vakre fjell rundt! Og hva vakker innsjø der under! Og for et vakkert grantre der borte på den steinen! Men vi kan ikke måle skjønnheten til fjellene, innsjøen eller denne ensomme granen!» Dette betyr at en egenskap som skjønnhet ikke er en fysisk størrelse.
Målinger av fysiske størrelser utføres ved hjelp av måleinstrumenter som linjal, klokke, vekter osv.
Så tall i fysikk oppstår som et resultat av å måle fysiske mengder, og den numeriske verdien av en fysisk mengde oppnådd som et resultat av måling avhenger: av hvordan denne fysiske mengden er definert; fra måleenhetene som brukes.
La oss se på skalaen til et vanlig gatetermometer.
Den har skjemaet vist på skala 1. Bare positive tall er trykt på den, og derfor, når den indikerer numerisk verdi temperaturer må forklares ytterligere med 20 grader Celsius (over null). Dette er upraktisk for fysikere - du kan tross alt ikke sette ord på en formel! Derfor brukes i fysikk en skala med negative tall.
La oss se på det fysiske kartet over verden. Landområdene på den er malt i ulike nyanser av grønt og brunt, og hav og hav er malt i blått og blått. Hver farge har sin egen høyde (for land) eller dybde (for hav og hav). En skala av dybder og høyder er tegnet på kartet, som viser hvilken høyde (dybde) en bestemt farge betyr,
Ved å bruke en slik skala er det nok å indikere tallet uten noen ekstra ord: positive tall svar ulike steder på land over overflaten av havet; negative tall tilsvarer punkter under havoverflaten.
I høydeskalaen vi vurderte, er høyden på vannoverflaten i Verdenshavet tatt som null. Denne skalaen brukes i geodesi og kartografi.
I kontrast, i hverdagen tar vi vanligvis høyden på jordoverflaten (på stedet der vi er) som null høyde.
3.1 Hvordan ble år talt i gammel tid?
I forskjellige land annerledes. For eksempel, i det gamle Egypt, hver gang han begynte å herske ny konge, tellingen av år begynte på nytt. Det første året av kongens regjering ble betraktet som det første året, det andre - det andre, og så videre. Da denne kongen døde og en ny kom til makten, begynte det første året igjen, så det andre, det tredje. Opptellingen av år som ble brukt av innbyggerne i en av de eldste byene i verden, Roma, var annerledes. Romerne anså året byen ble grunnlagt for å være det første, det neste året som det andre, og så videre.
Opptellingen av år som vi bruker oppsto for lenge siden og er assosiert med æren av Jesus Kristus, grunnleggeren Kristen religion. Å telle årene fra Jesu Kristi fødsel ble gradvis adoptert i forskjellige land. I vårt land ble det introdusert av tsar Peter den store for tre hundre år siden. Vi kaller tiden beregnet fra Kristi fødsel for VÅR ERA (og vi skriver den i forkortet form N.E.). Vår tidsalder varer i to tusen år.
Konklusjon
De fleste kjenner negative tall, men det er noen hvis representasjon av negative tall er feil.
Negative tall er mest vanlig i eksakte vitenskaper, matematikk og fysikk.
I fysikk oppstår negative tall som følge av målinger og beregninger av fysiske størrelser. Negativt tall – viser verdien elektrisk ladning. I andre vitenskaper, som geografi og historie, kan et negativt tall erstattes med ord, for eksempel under havnivå, og i historien - 157 f.Kr. e.
Litteratur
1. Flott vitenskapelig leksikon, 2005.
2. Vigasin A. A., «History of the Ancient World», lærebok for 5. klasse, 2001.
3. Vygovskaya V.V. "Leksjonsbasert utvikling i matematikk: 6. klasse" - M.: VAKO, 2008
4. «Positive og negative tall», lærebok i matematikk for 6. trinn, 2001.
5. Barneleksikon "Jeg kjenner verden", Moskva, "Enlightenment", 1995.
6.. “Studying Mathematics”, pedagogisk publikasjon, 1994.
7. "Elementer av historisisme i undervisning i matematikk på ungdomsskolen", Moskva, "Prosveshchenie", 1982
8. Nurk E.R., Telgmaa A.E. "Matematikk 6. klasse", Moskva, "Enlightenment", 1989
9. "Historie om matematikk på skolen", Moskva, "Prosveshchenie", 1981.
I gamle tider ble en person som kunne telle ansett som en trollmann. Ikke alle lesekyndige hadde slik "trolldom". Det var hovedsakelig skriftlærde som kunne regne, og også selvfølgelig kjøpmenn.
Men selv de som kunne regne, møtte nå og da en slags gåter og fallgruver. Addisjon, den enkleste aritmetiske operasjonen, kunne mestres med en viss mengde fantasi. Alt du trengte å gjøre var å forestille deg at de samme pinnene, småsteinene og skjellene en gang var sauer, en annen gang var de frukt, og den tredje gangen var de faktisk stjerner på himmelen. Og så er det enkelt. Kjenn deg selv, legg en pinne til pinnen og tell totalen. Omtrent slik ble vi lært å telle i første klasse.
Men problemene begynte allerede med subtraksjon. Det var ikke alltid mulig å trekke ett tall fra et annet. Noen ganger tar du bort, tar bort, og se, det er ingenting igjen. Ikke noe mer å ta av! Så subtraksjon var en vanskelig operasjon, og det var ikke alltid mulig å gjøre det.
Riktignok kan du bli smart og ta tellepinner i to farger, for eksempel svart og hvitt. Så kunne man trekke fra de hvite pinnene, og så, når det ikke er noe igjen, begynne å legge ut de svarte pinnene, som i reserve. I dette tilfellet kan subtraksjonen alltid utføres. Riktignok ville resultatet uttrykt i svarte pinner være vanskelig å tolke. La oss si at to hvite pinner er to sauer. Og to svarte pinner tilsvarer hvor mange sauer?
Men her ville kjøpmenn komme til unnsetning. "Alt klart!" – ville de sagt. – «To svarte pinner er to sauer som du burde gi bort, men ikke har gitt ennå. Dette er en plikt!
Og de hellige fedre, etter å ha tenkt på det, ville ha støttet dem. "Sannelig," ville de si, "Vi teller årene fra Kristi fødsel. Men selv før det var det mennesker i verden. Dette betyr at de svarte pinnene er årene som gjensto fra en gammel begivenhet før begynnelsen av vår kronologi."
Generelt kom vi med en tolkning av negative tall på et minutt. Det tok menneskeheten mer enn tusen år å gjøre dette. Og på det trettende århundre lærte de om negative tall (og ikke bare om dem) i Europa. I 1202 publiserte en kjøpmann (igjen en kjøpmann, du kan ikke unnslippe dem, kjøpmenn!) Leonardo av Pisa (1170 - 1250) en håndbok om aritmetikk, der han skisserte hva han hadde lært fra matematiske bøker om arabisk som jeg leste mens jeg var på besøk handelssaker i Egypt. Nemlig konseptet null (det vil si et siffer som angir fravær av et tall), konseptet med posisjonell notasjon av tall (det vil si hvordan man skriver et hvilket som helst tall med bare ti sifre), og reglene for aritmetiske operasjoner med tall skrevet på denne måten. Leonardo fra Pisa beskrev blant annet også tallene som ble oppnådd ved å trekke et større tall fra et mindre tall, det vil si negative tall. Leonardo viste også at ved hjelp av slike tall er det praktisk å registrere tap eller gjeld. Han var stor matematiker, Leonardo av Pisa. Han var også kjent under kallenavnet Fibonacci (sønn av Bonacci). En av Fibonaccis oppdagelser var en spesiell tallsekvens, som på den tiden ble ansett som en matematisk glede. Og i vår tid er Fibonacci-tall mye brukt, ikke bare i matematikk, men også i naturvitenskap og til og med i økonomi.
Generelt oppsto problemer som ligner på problemene beskrevet ovenfor med negative tall med alle "omvendte" aritmetiske operasjoner. To heltall kan multipliseres for å produsere et helt tall. Men resultatet av å dele to heltall med et heltall viste seg ikke alltid å være et heltall. Dette førte også til forvirring. Som i S. Marshaks barnedikt: "Og svaret mitt var: to gravere og to tredjedeler." Det vil si at for at resultatet av divisjon alltid skulle eksistere, var det nødvendig å introdusere, mestre og forstå, så å si, den "fysiske betydningen" av brøktall. I dag undervises dette i andre klasse. Menneskeheten har mestret brøktall i nesten tusen år. Og igjen - takk til kjøpmennene! Dette er hvem matematikken skylder sin fremgang!
Allerede på 1700-tallet kom matematikere opp med spesielle tall for å få en annen "omvendt" operasjon, utvinning kvadratrot fra negative tall. Dette er de såkalte "komplekse" tallene. Det er vanskelig å forestille seg dem, men det er mulig å venne seg til dem. Og fordelene ved å bruke komplekse tall stor. Eksistensen av disse "merkelige" tallene lettet i stor grad beregningen av komplekse AC elektriske kretser, og gjorde det også mulig å beregne profilen til en flyvinge.
Laster inn...
