Grad c rasjonell indikator

Khasyanova T.G.,

matematikklærer

Det presenterte materialet vil være nyttig for matematikklærere når de studerer emnet "Eksponent med en rasjonell eksponent."

Hensikten med det presenterte materialet: å avsløre min erfaring med å gjennomføre en leksjon om emnet "Eksponent med en rasjonell eksponent" arbeidsprogram disiplin "matematikk".

Metodikken for å gjennomføre leksjonen tilsvarer dens type - en leksjon i å studere og i utgangspunktet konsolidere ny kunnskap. Grunnleggende kunnskaper og ferdigheter ble oppdatert på grunnlag av tidligere opparbeidet erfaring; primær memorering, konsolidering og anvendelse av ny informasjon. Konsolideringen og anvendelsen av nytt materiale skjedde i form av å løse problemer som jeg testet av varierende kompleksitet, noe som gir positivt resultat mestre temaet.

I begynnelsen av timen satte jeg følgende mål for elevene: pedagogisk, utviklende, pedagogisk. I løpet av timen brukte jeg ulike måter aktiviteter: frontal, individuell, par, uavhengig, test. Oppgavene var differensierte og gjorde det mulig å identifisere, på hvert trinn i timen, graden av kunnskapstilegnelse. Volumet og kompleksiteten til oppgavene samsvarer aldersegenskaper studenter. Fra min erfaring - hjemmelekser, i likhet med problemene som er løst i klasserommet, lar deg konsolidere den ervervede kunnskapen og ferdighetene på en pålitelig måte. På slutten av timen ble det refleksjon og arbeidet til enkeltelever ble vurdert.

Målene ble nådd. Studentene studerte konseptet og egenskapene til en grad med en rasjonell eksponent, og lærte å bruke disse egenskapene når de skulle løse praktiske problemer. Bak selvstendig arbeid Karakterer vil bli annonsert ved neste leksjon.

Jeg tror at metodikken jeg bruker for undervisning i matematikk kan brukes av matematikklærere.

Leksjonsemne: Makt med rasjonell eksponent

Hensikten med leksjonen:

Identifisere nivået på studentenes mestring av et kompleks av kunnskap og ferdigheter, og på grunnlag av det bruke visse løsninger for å forbedre utdanningsprosessen.

Leksjonens mål:

Pedagogisk:å danne ny kunnskap blant studenter om grunnleggende konsepter, regler, lover for å bestemme grader med en rasjonell indikator, evnen til uavhengig å anvende kunnskap i standardforhold, i modifiserte og ikke-standardiserte forhold;

utvikle: tenke logisk og realisere kreative evner;

heve: utvikle interesse for matematikk, fylle på ordforråd med nye termer, få Ytterligere informasjon om verden rundt oss. Dyrk tålmodighet, utholdenhet og evnen til å overvinne vanskeligheter.

Organisering av tid

Oppdatering av referansekunnskap

Når du multipliserer potenser med de samme grunnene, legges eksponentene til, men grunntallet forblir det samme:

For eksempel,

2. Når du deler grader med de samme basene, trekkes eksponentene til gradene fra, men grunntallet forblir det samme:

For eksempel,

3. Når du hever en grad til en potens, multipliseres eksponentene, men grunntallet forblir det samme:

For eksempel,

4. Graden av produktet er lik produktet av gradene av faktorene:

For eksempel,

5. Graden av kvotienten er lik kvotienten av gradene av utbytte og divisor:

For eksempel,

Øvelser med løsninger

Finn betydningen av uttrykket:

Løsning:

I dette tilfellet kan ingen av egenskapene til en grad med en naturlig eksponent brukes eksplisitt, siden alle grader har ulike årsaker. La oss skrive noen krefter i en annen form:

(graden av produktet er lik produktet av gradene av faktorene);

(når man multipliserer potenser med de samme grunnene, adderes eksponentene, men grunntallet forblir det samme; når man hever en grad til en potens, multipliseres eksponentene, men grunntallet forblir det samme).

Da får vi:

I i dette eksemplet De fire første egenskapene for grad med naturlig eksponent ble brukt.

Aritmetisk kvadratrot
er et ikke-negativt tall hvis kvadrat er liken,
. På
- uttrykk
ikke definert, fordi det er ikke noe reelt tall hvis kvadrat er lik et negativt tallen.

Matematisk diktat(8-10 min.)

Alternativ

II. Alternativ

1.Finn verdien av uttrykket

EN)

b)

1.Finn verdien av uttrykket

EN)

b)

2.Beregn

EN)

b)

I)

2.Beregn

EN)

b)

V)

Selv test(på jakkeslaget):

Svarmatrise:

№ alternativ/oppgave

Oppgave 1

Oppgave 2

valg 1

a) 2

b) 2

a) 0,5

b)

V)

Alternativ 2

a) 1,5

b)

EN)

b)

klokken 4

II Dannelse av ny kunnskap

La oss vurdere hvilken betydning uttrykket har, hvor - positivt tall – brøktall og m-heltall, n-naturlig (n›1)

Definisjon: potens av a›0 med rasjonell eksponentr = , m-hel, n-naturlig ( n›1) nummeret blir oppringt.

Så:

For eksempel:

Merknader:

1. For ethvert positivt a og ethvert rasjonelt r-tall positivt.

2. Når
rasjonell grad tallenikke bestemt.

Uttrykk som
gir ikke mening.

3.Hvis et positivt brøktall er
.

Hvis brøkdel negativt tall altså -gir ikke mening.

For eksempel: - gir ikke mening.

La oss vurdere egenskapene til en grad med en rasjonell eksponent.

La a >0, b>0; r, s - noen rasjonelle tall. Da har en grad med en hvilken som helst rasjonell eksponent følgende egenskaper:

1.
2.
3.
4.
5.

III. Konsolidering. Dannelse av nye ferdigheter og evner.

Oppgavekort fungerer i små grupper i form av en prøve.

Fra heltallseksponenter av tallet a antyder overgangen til rasjonelle eksponenter seg selv. Nedenfor vil vi definere en grad med en rasjonell eksponent, og vi vil gjøre dette på en slik måte at alle egenskapene til en grad med en heltallseksponent bevares. Dette er nødvendig fordi heltall er en del av de rasjonelle tallene.

Det er kjent at settet med rasjonelle tall består av heltall og brøker, og hvert brøktall kan representeres som positivt eller negativt vanlig brøk. Vi definerte en grad med en heltallseksponent i forrige avsnitt, derfor, for å fullføre definisjonen av en grad med en rasjonell eksponent, må vi gi mening til graden av tallet en med en brøkindikator m/n, Hvor m er et heltall, og n- naturlig. La oss gjøre det.

La oss vurdere en grad med en brøkeksponent av formen . For at makt-til-makt-egenskapen skal forbli gyldig, må likheten holde . Hvis vi tar hensyn til den resulterende likheten og hvordan vi bestemte den n-te roten av graden, er det logisk å akseptere, forutsatt at gitt den gitte m, n Og en uttrykket gir mening.

Det er enkelt å sjekke at for alle egenskapene til en grad med en heltallseksponent er gyldig (dette ble gjort i avsnittet egenskapene til en grad med en rasjonell eksponent).

Resonnementet ovenfor lar oss gjøre følgende konklusjon: hvis gitt data m, n Og en uttrykket gir mening, så kraften til tallet en med en brøkindikator m/n kalt roten n grad av en til en grad m.

Dette utsagnet bringer oss nær definisjonen av en grad med en brøkeksponent. Det gjenstår bare å beskrive hva m, n Og en uttrykket gir mening. Avhengig av restriksjonene som er pålagt m, n Og en Det er to hovedtilnærminger.

1. Den enkleste måten er å pålegge en begrensning på en, etter å ha akseptert a≥0 for positivt m Og a>0 for negativt m(siden når m≤0 grad 0 m ikke bestemt). Da får vi følgende definisjon av en grad med brøkeksponent.

Definisjon.

Potensen til et positivt tall en med en brøkindikator m/n , Hvor m- hele, og n– et naturlig tall, kalt en rot n-te av tallet en til en grad m, det er, .

Brøkkraften til null bestemmes også med det eneste forbeholdet at indikatoren må være positiv.

Definisjon.

Nullpotens med positiv brøkeksponent m/n , Hvor m er et positivt heltall, og n– naturlig tall, definert som .
Når graden ikke er bestemt, det vil si graden av tallet null med en negativ brøkeksponent gir ikke mening.

Det skal bemerkes at med denne definisjonen av en grad med en brøkeksponent, er det ett forbehold: for noen negative en og noe m Og n uttrykket gir mening, men vi forkastet disse tilfellene ved å introdusere tilstanden a≥0. For eksempel gir oppføringene mening eller , og definisjonen gitt ovenfor tvinger oss til å si at potenser med en brøkeksponent av formen ikke fornuftig, siden basen ikke skal være negativ.

2. En annen tilnærming til å bestemme graden med en brøkeksponent m/n består i å vurdere partalls- og oddetallseksponenter for roten separat. Denne tilnærmingen krever en tilleggsbetingelse: kraften til tallet en, hvis eksponent er en reduserbar ordinær brøk, regnes som en potens av tallet en, hvis indikator er den tilsvarende irreduserbare brøkdelen (viktigheten av denne tilstanden vil bli forklart nedenfor). Det vil si hvis m/n er en irreduserbar brøk, da for et hvilket som helst naturlig tall k grad er foreløpig erstattet av .

Til og med n og positiv m uttrykket gir mening for alle ikke-negative en(en jevn rot av et negativt tall har ingen betydning), for negativ m Antall en må fortsatt være forskjellig fra null (ellers blir det divisjon med null). Og for oddetall n og positiv m Antall en kan være hvilken som helst (en oddetall er definert for et hvilket som helst reelt tall), og for negativ m Antall en må være ikke-null (slik at det ikke blir divisjon med null).

Resonnementet ovenfor fører oss til denne definisjonen av en grad med en brøkeksponent.

Definisjon.

La m/n- irreduserbar fraksjon, m- hele, og n- naturlig tall. For enhver reduserbar brøk erstattes graden med . Grad av en med en irreduserbar brøkeksponent m/n- det er for

o et hvilket som helst reelt tall en, helt positivt m og merkelig naturlig n, For eksempel, ;

o ethvert reelt tall som ikke er null en, negativt heltall m og rart n, For eksempel, ;

o ethvert ikke-negativt tall en, helt positivt m Til og med n, For eksempel, ;

o noe positivt en, negativt heltall m Til og med n, For eksempel, ;

o i andre tilfeller bestemmes ikke graden med en brøkindikator, da for eksempel gradene ikke er definert .a tillegger vi ingen mening til oppføringen; vi definerer potensen til tallet null for positive brøkeksponenter m/n Hvordan , for negative brøkeksponenter er potensen til tallet null ikke bestemt.

Som konklusjon av dette punktet, la oss trekke oppmerksomhet til det faktum at en brøkeksponent kan skrives som en desimalbrøk eller et blandet tall, for eksempel, . For å beregne verdiene til uttrykk av denne typen, må du skrive eksponenten i form av en vanlig brøk, og deretter bruke definisjonen av eksponenten med en brøkeksponent. For eksemplene ovenfor har vi Og

Første nivå

Grad og dens egenskaper. Omfattende guide (2019)

Hvorfor trengs grader? Hvor trenger du dem? Hvorfor bør du ta deg tid til å studere dem?

For å lære alt om grader, hva de er til for, hvordan du kan bruke kunnskapen din i Hverdagen les denne artikkelen.

Og selvfølgelig vil kunnskap om grader bringe deg nærmere vellykket gjennomføring OGE eller Unified State eksamen og opptak til universitetet du drømmer om.

La oss gå... (La oss gå!)

Viktig notat! Hvis du ser gobbledygook i stedet for formler, tøm hurtigbufferen. For å gjøre dette, trykk CTRL+F5 (på Windows) eller Cmd+R (på Mac).

FØRSTE NIVÅ

Eksponentiering er en matematisk operasjon akkurat som addisjon, subtraksjon, multiplikasjon eller divisjon.

Nå skal jeg forklare alt på menneskelig språk på veldig enkle eksempler. Vær forsiktig. Eksemplene er elementære, men forklarer viktige ting.

La oss starte med tillegg.

Det er ingenting å forklare her. Du vet allerede alt: vi er åtte. Alle har to flasker cola. Hvor mye cola er det? Det stemmer - 16 flasker.

Nå multiplikasjon.

Det samme eksempelet med cola kan skrives annerledes: . Matematikere er utspekulerte og late mennesker. De legger først merke til noen mønstre, og finner deretter ut en måte å "telle" dem raskere. I vårt tilfelle la de merke til at hver av de åtte personene hadde like mange colaflasker og kom opp med en teknikk kalt multiplikasjon. Enig, det anses som enklere og raskere enn.

Så for å telle raskere, enklere og uten feil, trenger du bare å huske gangetabell. Selvfølgelig kan du gjøre alt langsommere, vanskeligere og med feil! Men…

Her er multiplikasjonstabellen. Gjenta.

Og en annen, vakrere en:

Hvilke andre smarte telletriks har late matematikere funnet på? Ikke sant - heve et tall til en makt.

Å heve et tall til en makt

Hvis du trenger å multiplisere et tall med seg selv fem ganger, så sier matematikere at du må heve det tallet til femte potens. For eksempel, . Matematikere husker at to til femte potens er... Og de løser slike problemer i hodet - raskere, enklere og uten feil.

Alt du trenger å gjøre er husk hva som er uthevet i farger i tabellen over tallkrefter. Tro meg, dette vil gjøre livet ditt mye enklere.

Forresten, hvorfor heter det andre grad? torget tall, og den tredje - kube? Hva betyr det? Veldig godt spørsmål. Nå vil du ha både firkanter og terninger.

Eksempel #1 fra det virkelige liv

La oss starte med kvadratet eller andre potens av tallet.

Se for deg et kvadratisk basseng som måler én meter ganger én meter. Bassenget er på din dacha. Det er varmt og jeg har veldig lyst til å svømme. Men... bassenget har ingen bunn! Du må dekke bunnen av bassenget med fliser. Hvor mange fliser trenger du? For å bestemme dette, må du kjenne til bunnområdet av bassenget.

Du kan ganske enkelt regne ut ved å vise fingeren at bunnen av bassenget består av meter for meter terninger. Hvis du har fliser en meter ganger en meter, trenger du brikker. Det er enkelt... Men hvor har du sett slike fliser? Flisen vil mest sannsynlig være cm for cm. Og så vil du bli torturert ved å «telle med fingeren». Da må du multiplisere. Så på den ene siden av bunnen av bassenget vil vi montere fliser (stykker) og på den andre også fliser. Multipliser med og du får fliser ().

La du merke til at for å bestemme arealet av bassengbunnen multipliserte vi det samme tallet med seg selv? Hva betyr det? Siden vi multipliserer det samme tallet, kan vi bruke "eksponentieringsteknikken". (Selvfølgelig, når du bare har to tall, må du fortsatt multiplisere dem eller heve dem til en potens. Men hvis du har mange av dem, er det mye enklere å heve dem til en potens, og det er også færre feil i beregningene For Unified State-eksamenen er dette veldig viktig).
Så, tretti til andre potens vil være (). Eller vi kan si at tretti kvadrat vil være. Med andre ord, andre potens av et tall kan alltid representeres som en kvadrat. Og omvendt, hvis du ser en firkant, er det ALLTID andre potens av et tall. Et kvadrat er et bilde av andre potens av et tall.

Eksempel #2 fra det virkelige liv

Her er en oppgave for deg: tell hvor mange ruter det er på sjakkbrettet ved å bruke kvadratet av tallet... På den ene siden av cellene og på den andre også. For å beregne tallet deres må du gange åtte med åtte eller... hvis du legger merke til at et sjakkbrett er en firkant med en side, kan du rute åtte. Du vil få celler. () Så?

Eksempel #3 fra det virkelige liv

Nå kuben eller tredje potens av et tall. Det samme bassenget. Men nå må du finne ut hvor mye vann som må helles i dette bassenget. Du må beregne volumet. (Volumer og væsker måles forresten i kubikkmeter. Uventet, ikke sant?) Tegn et basseng: en bunn som måler en meter og en dybde på en meter og prøv å telle hvor mange kuber som måler en meter på en meter som vil passe inn i bassenget ditt.

Bare pek fingeren og tell! En, to, tre, fire ... tjueto, tjuetre ... Hvor mange fikk du? Ikke tapt? Er det vanskelig å telle med fingeren? Så det! Ta et eksempel fra matematikere. De er late, så de la merke til at for å beregne volumet til bassenget, må du multiplisere lengden, bredden og høyden med hverandre. I vårt tilfelle vil volumet til bassenget være lik kuber... Lettere, ikke sant?

Tenk deg nå hvor late og utspekulerte matematikere er hvis de forenklet dette også. Vi reduserte alt til én handling. De la merke til at lengden, bredden og høyden er like og at samme tall multipliseres med seg selv... Hva betyr dette? Dette betyr at du kan dra nytte av graden. Så det du en gang telte med fingeren, gjør de i én handling: tre terninger er lik. Det er skrevet slik:.

Alt som gjenstår er husk tabellen over grader. Med mindre du selvfølgelig er like lat og utspekulert som matematikere. Hvis du liker å jobbe hardt og gjøre feil, kan du fortsette å telle med fingeren.

Vel, for endelig å overbevise deg om at grader ble oppfunnet av sluttere og utspekulerte mennesker for å løse sine egne livsproblemer, og ikke for å skape problemer for deg, her er et par flere eksempler fra livet.

Eksempel #4 fra det virkelige liv

Du har en million rubler. Ved begynnelsen av hvert år, for hver million du tjener, tjener du en million til. Det vil si at hver million du har dobles i begynnelsen av hvert år. Hvor mye penger vil du ha om år? Hvis du sitter nå og "teller med fingeren", betyr det at du er veldig hardtarbeidende mann og.. dum. Men mest sannsynlig gir du svar om et par sekunder, for du er smart! Så, i det første året - to multiplisert med to... i det andre året - hva skjedde, med to til, i det tredje året... Stopp! Du la merke til at tallet multipliseres med seg selv ganger. Så to til femte potens er en million! Tenk deg nå at du har en konkurranse og den som kan telle raskest vil få disse millionene... Det er verdt å huske tallenes krefter, synes du ikke?

Eksempel #5 fra det virkelige liv

Du har en million. I begynnelsen av hvert år, for hver million du tjener, tjener du to til. Flott er det ikke? Hver million tredobles. Hvor mye penger vil du ha i løpet av et år? La oss telle. Det første året - multipliser med, deretter resultatet med et annet ... Det er allerede kjedelig, fordi du allerede har forstått alt: tre ganges med seg selv ganger. Så til fjerde potens er det lik en million. Du må bare huske at tre til fjerde potens er eller.

Nå vet du at ved å heve et tall til en makt vil du gjøre livet ditt mye enklere. La oss se nærmere på hva du kan gjøre med grader og hva du trenger å vite om dem.

Termer og begreper... for ikke å bli forvirret

Så la oss først definere konseptene. Hva tror du, hva er en eksponent? Det er veldig enkelt - det er tallet som er "øverst" av potensen til tallet. Ikke vitenskapelig, men tydelig og lett å huske...

Vel, på samme tid, hva et slikt gradsgrunnlag? Enda enklere - dette er nummeret som er plassert under, ved basen.

Her er en tegning for godt mål.

Vel inne generelt syn, for å generalisere og huske bedre... En grad med en base " " og en eksponent " " leses som "til den grad" og skrives som følger:

Potensen til et tall med naturlig eksponent

Du har sikkert allerede gjettet: fordi eksponenten er et naturlig tall. Ja, men hva er det naturlig tall? Elementært! Naturlige tall er de tallene som brukes til å telle når objekter listes opp: en, to, tre... Når vi teller objekter, sier vi ikke: «minus fem», «minus seks», «minus sju». Vi sier heller ikke: «en tredjedel» eller «null komma fem». Dette er ikke naturlige tall. Hvilke tall tror du dette er?

Tall som "minus fem", "minus seks", "minus syv" refererer til hele tall. Generelt inkluderer heltall alle naturlige tall, tall motsatt naturlige tall (det vil si tatt med et minustegn) og tall. Null er lett å forstå - det er når det ikke er noe. Hva betyr negative ("minus") tall? Men de ble først og fremst oppfunnet for å indikere gjeld: hvis du har en saldo på telefonen i rubler, betyr dette at du skylder operatøren rubler.

Alle brøker er rasjonelle tall. Hvordan oppsto de, tror du? Veldig enkelt. For flere tusen år siden oppdaget våre forfedre at de manglet naturlige tall for å måle lengde, vekt, areal osv. Og de kom på rasjonelle tall... Interessant, ikke sant?

Det finnes også irrasjonelle tall. Hva er disse tallene? Kort sagt, det er en uendelig desimalbrøk. For eksempel, hvis du deler omkretsen av en sirkel på diameteren, får du et irrasjonelt tall.

Sammendrag:

La oss definere konseptet med en grad hvis eksponent er et naturlig tall (dvs. heltall og positivt).

1. Ethvert tall i første potens er lik seg selv:
2. Å kvadrere et tall betyr å multiplisere det med seg selv:
3. Å kube et tall betyr å multiplisere det med seg selv tre ganger:

Definisjon. Hev tallet til naturlig grad- betyr å multiplisere et tall med seg selv ganger:
.

Egenskaper til grader

Hvor kom disse egenskapene fra? Jeg skal vise deg nå.

La oss se: hva er det Og ?

A-priory:

Hvor mange multiplikatorer er det totalt?

Det er veldig enkelt: vi la til multiplikatorer til faktorene, og resultatet er multiplikatorer.

Men per definisjon er dette en potens av et tall med en eksponent, det vil si: , som er det som måtte bevises.

Eksempel: Forenkle uttrykket.

Løsning:

Eksempel: Forenkle uttrykket.

Løsning: Det er viktig å merke seg at i vår regel Nødvendigvis det må være de samme grunnene!
Derfor kombinerer vi kreftene med basen, men det forblir en egen faktor:

bare for produktet av makter!

Du kan ikke under noen omstendigheter skrive det.

2. det er det potensen til et tall

Akkurat som med den forrige egenskapen, la oss gå til definisjonen av grad:

Det viser seg at uttrykket multipliseres med seg selv ganger, det vil si, i henhold til definisjonen, er dette den tredje potensen til tallet:

I hovedsak kan dette kalles "å ta indikatoren ut av parentes." Men du kan aldri gjøre dette totalt:

La oss huske de forkortede multiplikasjonsformlene: hvor mange ganger ønsket vi å skrive?

Men dette er tross alt ikke sant.

Kraft med negativ base

Frem til dette punktet har vi bare diskutert hva eksponenten skal være.

Men hva skal ligge til grunn?

I kraft av naturlig indikator grunnlaget kan være hvilket som helst tall. Faktisk kan vi multiplisere alle tall med hverandre, enten de er positive, negative eller partall.

La oss tenke på hvilke tegn ("" eller "") som vil ha grader av positive og negative tall?

For eksempel, er tallet positivt eller negativt? EN? ? Med den første er alt klart: uansett hvor mange positive tall vi multipliserer med hverandre, vil resultatet være positivt.

Men de negative er litt mer interessante. Vi husker den enkle regelen fra 6. klasse: "minus for minus gir et pluss." Det vil si eller. Men hvis vi ganger med, fungerer det.

Bestem selv hvilket tegn følgende uttrykk vil ha:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Klarte du deg?

Her er svarene: I de fire første eksemplene håper jeg alt er klart? Vi ser ganske enkelt på basen og eksponenten og bruker den passende regelen.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

I eksempel 5) er ikke alt så skummelt som det ser ut til: tross alt spiller det ingen rolle hva basen er lik - graden er jevn, noe som betyr at resultatet alltid vil være positivt.

Vel, bortsett fra når basen er null. Grunnlaget er ikke likt, er det? Åpenbart ikke, siden (fordi).

Eksempel 6) er ikke lenger så enkelt!

6 eksempler å øve på

Analyse av løsningen 6 eksempler

Hvis vi ignorerer åttende potens, hva ser vi her? La oss huske programmet for 7. klasse. Så, husker du? Dette er formelen for forkortet multiplikasjon, nemlig forskjellen på kvadrater! Vi får:

La oss se nøye på nevneren. Det ser mye ut som en av tellerfaktorene, men hva er galt? Rekkefølgen på vilkårene er feil. Hvis de ble omvendt, kan regelen gjelde.

Men hvordan gjøre det? Det viser seg at det er veldig enkelt: den jevne graden av nevneren hjelper oss her.

På magisk vis skiftet begrepene plass. Dette "fenomenet" gjelder alle uttrykk i en jevn grad: vi kan enkelt endre tegnene i parentes.

Men det er viktig å huske: alle tegn endres samtidig!

La oss gå tilbake til eksemplet:

Og igjen formelen:

Hel vi kaller de naturlige tallene, deres motsetninger (det vil si tatt med tegnet " ") og tallet.

positivt heltall, og det er ikke forskjellig fra naturlig, så ser alt ut akkurat som i forrige seksjon.

La oss nå se på nye saker. La oss starte med en indikator lik.

Et hvilket som helst nummer i null grader lik en:

Som alltid, la oss spørre oss selv: hvorfor er det slik?

La oss vurdere en viss grad med en base. Ta for eksempel og multipliser med:

Så vi multipliserte tallet med, og vi fikk det samme som det var - . Hvilket tall skal du gange med slik at ingenting endres? Det stemmer, på. Midler.

Vi kan gjøre det samme med et vilkårlig tall:

La oss gjenta regelen:

Ethvert tall i null potens er lik en.

Men det finnes unntak fra mange regler. Og her er det også der - dette er et tall (som en base).

På den ene siden må det være lik i hvilken som helst grad - uansett hvor mye du multipliserer null med seg selv, vil du fortsatt få null, dette er klart. Men på den annen side, som et hvilket som helst tall til null potens, må det være likt. Så hvor mye av dette er sant? Matematikerne bestemte seg for ikke å involvere seg og nektet å heve null til null potens. Det vil si at nå kan vi ikke bare dele med null, men også heve den til null potens.

La oss gå videre. I tillegg til naturlige tall og tall inkluderer heltall også negative tall. For å forstå hva en negativ grad er, la oss gjøre som forrige gang: multiplisere et normalt tall med det samme negativ grad:

Herfra er det enkelt å uttrykke hva du leter etter:

La oss nå utvide den resulterende regelen til en vilkårlig grad:

Så la oss formulere en regel:

Et tall i negativ potens er det gjensidige av det samme tallet til positiv grad. Men samtidig Basen kan ikke være null:(fordi du ikke kan dele med).

La oss oppsummere:

I. Uttrykket er ikke definert i saken. Hvis da.

II. Ethvert tall i null potens er lik én: .

III. Et tall som ikke er lik null til en negativ potens er inversen av det samme tallet til en positiv potens: .

Oppgaver for selvstendig løsning:

Vel, som vanlig, eksempler på uavhengige løsninger:

Analyse av problemer for uavhengig løsning:

Jeg vet, jeg vet, tallene er skumle, men på Unified State-eksamenen må du være forberedt på hva som helst! Løs disse eksemplene eller analyser løsningene deres hvis du ikke kunne løse dem, og du vil lære å takle dem enkelt i eksamen!

La oss fortsette å utvide rekkevidden av tall "egnet" som eksponent.

La oss nå vurdere rasjonelle tall. Hvilke tall kalles rasjonelle?

Svar: alt som kan representeres som en brøk, hvor og er heltall, og.

For å forstå hva det er "brøkdel grad", tenk på brøken:

La oss heve begge sider av ligningen til en potens:

La oss nå huske regelen om "grad til grad":

Hvilket tall må heves til en makt for å få?

Denne formuleringen er definisjonen av roten til th grad.

La meg minne deg på: roten av th potens av et tall () er et tall som, når det heves til en potens, er lik.

Det vil si at roten til th potens er den omvendte operasjonen av å heve til en potens: .

Det viser seg at. Tydeligvis dette spesielt tilfelle kan utvides: .

Nå legger vi til telleren: hva er det? Svaret er enkelt å få ved å bruke makt-til-makt-regelen:

Men kan basen være et hvilket som helst tall? Tross alt kan ikke roten trekkes ut fra alle tall.

Ingen!

La oss huske regelen: ethvert tall hevet til en partall er et positivt tall. Det vil si at det er umulig å trekke ut jevne røtter fra negative tall!

Dette betyr at slike tall ikke kan heves til en brøkpotens med en jevn nevner, det vil si at uttrykket ikke gir mening.

Hva med uttrykket?

Men her oppstår et problem.

Tallet kan representeres i form av andre, reduserbare brøker, for eksempel, eller.

Og det viser seg at det eksisterer, men ikke eksisterer, men dette er bare to forskjellige poster med samme nummer.

Eller et annet eksempel: en gang, så kan du skrive det ned. Men hvis vi skriver ned indikatoren annerledes, vil vi igjen få problemer: (det vil si at vi fikk et helt annet resultat!).

For å unngå slike paradokser, vurderer vi bare positiv baseeksponent med brøkeksponent.

Så hvis:

• - naturlig tall;
• - heltall;

Eksempler:

Rasjonelle eksponenter er veldig nyttige for å transformere uttrykk med røtter, for eksempel:

5 eksempler å øve på

Analyse av 5 eksempler for trening

Vel, nå kommer den vanskeligste delen. Nå skal vi finne ut av det grad med irrasjonell eksponent.

Alle reglene og egenskapene til grader her er nøyaktig de samme som for en grad med en rasjonell eksponent, med unntak

Tross alt, per definisjon, er irrasjonelle tall tall som ikke kan representeres som en brøk, hvor og er heltall (det vil si at irrasjonelle tall er alle reelle tall unntatt rasjonelle).

Når vi studerer grader med naturlige, heltalls og rasjonelle eksponenter, skapte vi hver gang et bestemt "bilde", "analogi" eller beskrivelse i mer kjente termer.

For eksempel er en grad med en naturlig eksponent et tall multiplisert med seg selv flere ganger;

...tall til null potens- dette er, som det var, et tall multiplisert med seg selv en gang, det vil si at de ennå ikke har begynt å multiplisere det, noe som betyr at selve tallet ikke engang har dukket opp ennå - derfor er resultatet bare et visst "tomt tall" , nemlig et tall;

...negativ heltallsgrad- det er som om en "omvendt prosess" hadde skjedd, det vil si at tallet ikke ble multiplisert med seg selv, men delt.

Forresten, i vitenskap brukes ofte en grad med en kompleks indikator, det vil si at en indikator ikke engang er ekte nummer.

Men på skolen tenker vi ikke på slike vanskeligheter; du vil ha muligheten til å forstå disse nye konseptene ved instituttet.

HVOR ER VI SIKRE AT DU GÅR! (hvis du lærer å løse slike eksempler :))

For eksempel:

Bestem selv:

Analyse av løsninger:

1. La oss starte med den vanlige regelen for å heve en makt til en makt:

Se nå på indikatoren. Minner han deg ikke om noe? La oss huske formelen for forkortet multiplikasjon av forskjellen av kvadrater:

I dette tilfellet,

Det viser seg at:

Svar: .

2. Vi reduserer brøker i eksponenter til samme utseende: enten begge desimaler eller begge vanlige. Vi får for eksempel:

Svar: 16

3. Ikke noe spesielt, la oss bruke det normale egenskaper grader:

AVANSERT NIVÅ

Fastsettelse av grad

En grad er et uttrykk for formen: , hvor:

• — grad base;
• - eksponent.

Grad med naturlig indikator (n = 1, 2, 3,...)

Å heve et tall til den naturlige potensen n betyr å multiplisere tallet med seg selv ganger:

Grad med en heltallseksponent (0, ±1, ±2,...)

Hvis eksponenten er positivt heltall Antall:

Konstruksjon til null grad:

Uttrykket er ubestemt, fordi på den ene siden, i hvilken som helst grad er dette, og på den annen side, et hvilket som helst tall i den th grad er dette.

Hvis eksponenten er negativt heltall Antall:

(fordi du ikke kan dele med).

Nok en gang om nuller: uttrykket er ikke definert i kasus. Hvis da.

Eksempler:

Kraft med rasjonell eksponent

• - naturlig tall;
• - heltall;

Eksempler:

Egenskaper til grader

For å gjøre det lettere å løse problemer, la oss prøve å forstå: hvor kom disse egenskapene fra? La oss bevise dem.

La oss se: hva er og?

A-priory:

Så på høyre side av dette uttrykket får vi følgende produkt:

Men per definisjon er det en potens av et tall med en eksponent, det vil si:

Q.E.D.

Eksempel : Forenkle uttrykket.

Løsning : .

Eksempel : Forenkle uttrykket.

Løsning : Det er viktig å merke seg at i vår regel Nødvendigvis det må være de samme grunnene. Derfor kombinerer vi kreftene med basen, men det forblir en egen faktor:

En annen viktig merknad: denne regelen - bare for produkt av makter!

Du kan ikke under noen omstendigheter skrive det.

Akkurat som med den forrige egenskapen, la oss gå til definisjonen av grad:

La oss omgruppere dette arbeidet slik:

Det viser seg at uttrykket multipliseres med seg selv ganger, det vil si, i henhold til definisjonen, er dette den tredje potensen til tallet:

I hovedsak kan dette kalles "å ta indikatoren ut av parentes." Men du kan aldri gjøre dette totalt: !

La oss huske de forkortede multiplikasjonsformlene: hvor mange ganger ønsket vi å skrive? Men dette er tross alt ikke sant.

Kraft med negativ base.

Til nå har vi bare diskutert hvordan det skal være indeks grader. Men hva skal ligge til grunn? I kraft av naturlig indikator grunnlaget kan være hvilket som helst tall .

Faktisk kan vi multiplisere alle tall med hverandre, enten de er positive, negative eller partall. La oss tenke på hvilke tegn ("" eller "") som vil ha grader av positive og negative tall?

For eksempel, er tallet positivt eller negativt? EN? ?

Med den første er alt klart: uansett hvor mange positive tall vi multipliserer med hverandre, vil resultatet være positivt.

Men de negative er litt mer interessante. Vi husker den enkle regelen fra 6. klasse: "minus for minus gir et pluss." Det vil si eller. Men hvis vi ganger med (), får vi - .

Og så videre i det uendelige: for hver påfølgende multiplikasjon vil tegnet endres. Vi kan formulere følgende enkle regler:

1. til og med grad, - antall positivt.
2. Et negativt tall, innebygd merkelig grad, - antall negativ.
3. Et positivt tall i en hvilken som helst grad er et positivt tall.
4. Null til enhver potens er lik null.

Bestem selv hvilket tegn følgende uttrykk vil ha:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Klarte du deg? Her er svarene:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

I de fire første eksemplene håper jeg at alt er klart? Vi ser ganske enkelt på basen og eksponenten og bruker den passende regelen.

I eksempel 5) er ikke alt så skummelt som det ser ut til: tross alt spiller det ingen rolle hva basen er lik - graden er jevn, noe som betyr at resultatet alltid vil være positivt. Vel, bortsett fra når basen er null. Grunnlaget er ikke likt, er det? Åpenbart ikke, siden (fordi).

Eksempel 6) er ikke lenger så enkelt. Her må du finne ut hva som er mindre: eller? Hvis vi husker det, blir det klart det, og derfor grunnlaget mindre enn null. Det vil si at vi bruker regel 2: resultatet blir negativt.

Og igjen bruker vi definisjonen av grad:

Alt er som vanlig - vi skriver ned definisjonen av grader og deler dem på hverandre, deler dem i par og får:

Før vi ser på den siste regelen, la oss løse noen eksempler.

Regn ut uttrykkene:

Løsninger :

Hvis vi ignorerer åttende potens, hva ser vi her? La oss huske programmet for 7. klasse. Så, husker du? Dette er formelen for forkortet multiplikasjon, nemlig forskjellen på kvadrater!

Vi får:

La oss se nøye på nevneren. Det ser mye ut som en av tellerfaktorene, men hva er galt? Rekkefølgen på vilkårene er feil. Hvis de ble reversert, kan regel 3 gjelde. Men hvordan? Det viser seg at det er veldig enkelt: den jevne graden av nevneren hjelper oss her.

Hvis du ganger det med, endres ingenting, ikke sant? Men nå blir det slik:

På magisk vis skiftet begrepene plass. Dette "fenomenet" gjelder alle uttrykk i en jevn grad: vi kan enkelt endre tegnene i parentes. Men det er viktig å huske: Alle tegn endres samtidig! Du kan ikke erstatte den med ved å endre bare én ulempe vi ikke liker!

La oss gå tilbake til eksemplet:

Og igjen formelen:

Så nå siste regel:

Hvordan skal vi bevise det? Selvfølgelig, som vanlig: la oss utvide begrepet grad og forenkle det:

Vel, la oss nå åpne parentesene. Hvor mange bokstaver er det totalt? ganger med multiplikatorer - hva minner dette deg om? Dette er ikke annet enn en definisjon av en operasjon multiplikasjon: Det var bare multiplikatorer der. Det vil si at dette per definisjon er en potens av et tall med en eksponent:

Eksempel:

Grad med irrasjonell eksponent

I tillegg til informasjon om grader for gjennomsnittsnivået vil vi analysere graden med en irrasjonell eksponent. Alle reglene og egenskapene til grader her er nøyaktig de samme som for en grad med en rasjonell eksponent, med unntak - tross alt, per definisjon, er irrasjonelle tall tall som ikke kan representeres som en brøk, hvor og er heltall (det vil si , irrasjonelle tall er alle reelle tall unntatt rasjonelle tall).

Når vi studerer grader med naturlige, heltalls og rasjonelle eksponenter, skapte vi hver gang et bestemt "bilde", "analogi" eller beskrivelse i mer kjente termer. For eksempel er en grad med en naturlig eksponent et tall multiplisert med seg selv flere ganger; et tall til null potens er så å si et tall multiplisert med seg selv en gang, det vil si at de ennå ikke har begynt å multiplisere det, noe som betyr at selve tallet ikke en gang har dukket opp enda - derfor er resultatet bare et visst «blankt nummer», nemlig et tall; en grad med en negativ heltallseksponent - det er som om en "omvendt prosess" hadde skjedd, det vil si at tallet ikke ble multiplisert med seg selv, men delt.

Det er ekstremt vanskelig å forestille seg en grad med en irrasjonell eksponent (akkurat som det er vanskelig å forestille seg et 4-dimensjonalt rom). Det er snarere et rent matematisk objekt som matematikere skapte for å utvide gradsbegrepet til hele tallrommet.

Forresten, i vitenskapen brukes ofte en grad med en kompleks eksponent, det vil si at eksponenten ikke engang er et reelt tall. Men på skolen tenker vi ikke på slike vanskeligheter; du vil ha muligheten til å forstå disse nye konseptene ved instituttet.

Så hva gjør vi hvis vi ser en irrasjonell eksponent? Vi prøver så godt vi kan å bli kvitt det! :)

For eksempel:

Bestem selv:

1)

2)

3)

Svar:

1. La oss huske formelen for forskjellen på kvadrater. Svar: .
2. Vi reduserer brøkene til samme form: enten begge desimaler eller begge vanlige. Vi får for eksempel: .
3. Ikke noe spesielt, vi bruker de vanlige egenskapene til grader:

SAMMENDRAG AV SEKSJONEN OG GRUNNLEGGENDE FORMLER

Grad kalt et uttrykk for formen: , hvor:

Grad med en heltallseksponent

en grad hvis eksponent er et naturlig tall (dvs. heltall og positivt).

Kraft med rasjonell eksponent

grad, hvis eksponent er negative tall og brøktall.

Grad med irrasjonell eksponent

en grad hvis eksponent er en uendelig desimalbrøk eller rot.

Egenskaper til grader

Funksjoner av grader.

• Negativt tall hevet til til og med grad, - antall positivt.
• Negativt tall hevet til merkelig grad, - antall negativ.
• Et positivt tall i en hvilken som helst grad er et positivt tall.
• Null er lik enhver potens.
• Ethvert tall i null potens er lik.

NÅ HAR DU ORDET...

Hvordan liker du artikkelen? Skriv nedenfor i kommentarfeltet om du likte det eller ikke.

Fortell oss om din erfaring med gradsegenskaper.

Kanskje du har spørsmål. Eller forslag.

Skriv i kommentarfeltet.

Og lykke til med eksamen!

Videoleksjonen "Eksponent med en rasjonell eksponent" inneholder en visuell undervisningsmateriellå gi en leksjon om dette emnet. Videoleksjonen inneholder informasjon om konseptet med en grad med en rasjonell eksponent, egenskaper ved slike grader, samt eksempler som beskriver bruken av utdanningsmateriell for å løse praktiske problemer. Hensikten med denne videoleksjonen er å tydelig og tydelig presentere undervisningsmateriellet, lette utviklingen og memorering av elevene, og utvikle evnen til å løse problemer ved å bruke de lærte konseptene.

De viktigste fordelene med videoleksjonen er muligheten til å visuelt utføre transformasjoner og beregninger, muligheten til å bruke animasjonseffekter for å forbedre læringseffektiviteten. Stemmeakkompagnement hjelper til med å utvikle korrekt matematisk tale, og gjør det også mulig å erstatte lærerens forklaring, og frigjør ham til å utføre individuelt arbeid.

Videoleksjonen begynner med å introdusere emnet. Koble sammen studier nytt emne med tidligere studert materiale, foreslås det å huske at n √a ellers er merket med a 1/n for naturlig n og positiv a. Denne n-rotrepresentasjonen vises på skjermen. Deretter foreslår vi å vurdere hva uttrykket a m/n betyr, der a er et positivt tall og m/n er en brøk. Definisjonen av en grad med en rasjonell eksponent som m/n = n √a m er gitt, uthevet i rammen. Det bemerkes at n kan være naturlig tall, og m er et heltall.

Etter å ha definert en grad med en rasjonell eksponent, avsløres dens betydning gjennom eksempler: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. Det vises også et eksempel hvor graden representert ved desimal, er konvertert til vanlig brøk representeres som en rot: (1/7) 1,7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 og eksempel med negativ verdi grader: 3 -1/8 = 8 √3 -1.

Det særegne ved det spesielle tilfellet når bunnen av graden er null er angitt separat. Det bemerkes at denne graden gir mening bare med en positiv brøkeksponent. I dette tilfellet er verdien null: 0 m/n =0.

Et annet trekk ved en grad med en rasjonell eksponent er bemerket - at en grad med en brøkeksponent ikke kan betraktes med en brøkeksponent. Eksempler på feilnotering av grad er gitt: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

Neste i videoleksjonen diskuterer vi egenskapene til en grad med en rasjonell eksponent. Det bemerkes at egenskapene til en grad med heltallseksponent også vil være gyldige for en grad med rasjonell eksponent. Det foreslås å tilbakekalle listen over eiendommer som også er gyldige i dette tilfellet:

1. Når potenser multipliseres med de samme basene, summeres eksponentene deres: a p a q =a p+q.
2. Delingen av grader med samme grunntall reduseres til en grad med en gitt grunntall og forskjellen i eksponentene: a p:a q =a p-q.
3. Hvis vi hever graden til en viss potens, så ender vi opp med en grad med en gitt base og produktet av eksponenter: (a p) q =a pq.

Alle disse egenskapene er gyldige for potenser med rasjonelle eksponenter p, q og positiv base a>0. Gradtransformasjoner når du åpner parentes forblir også sanne:

1. (ab) p =a p b p - heve til en viss potens med en rasjonell eksponent produktet av to tall reduseres til produktet av tall, som hver heves til en gitt potens.
2. (a/b) p =a p /b p - å heve en brøk til en potens med en rasjonell eksponent reduseres til en brøk hvis teller og nevner er hevet til en gitt potens.

Videoopplæringen diskuterer løsningseksempler som bruker de vurderte egenskapene til potenser med en rasjonell eksponent. Det første eksemplet ber deg finne verdien til et uttrykk som inneholder variablene x in brøkkraft: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Til tross for kompleksiteten til uttrykket, kan det løses ganske enkelt ved å bruke egenskapene til potenser. Å løse problemet begynner med å forenkle uttrykket, som bruker regelen om å heve en potens med en rasjonell eksponent til en potens, samt å multiplisere potenser med samme grunnlag. Etter å ha erstattet den gitte verdien x=8 i det forenklede uttrykket x 1/3 +48, ​​er det enkelt å oppnå verdien - 50.

I det andre eksemplet må du redusere en brøk hvis teller og nevner inneholder potenser med en rasjonell eksponent. Ved å bruke gradens egenskaper trekker vi ut faktoren x 1/3 fra differansen, som deretter reduseres i teller og nevner, og ved hjelp av formelen for kvadratforskjellen faktoriseres telleren, noe som gir ytterligere reduksjoner av identiske faktorer i teller og nevner. Resultatet av slike transformasjoner er den korte brøken x 1/4 +3.

Videoleksjonen «Eksponent med en rasjonell eksponent» kan brukes i stedet for at læreren forklarer et nytt leksjonsemne. Også denne håndboken inneholder nok full informasjon Til selvstudium student. Materialet kan også være nyttig for fjernundervisning.