Den første bemerkelsesverdige grensen. Bemerkelsesverdige grenser. Eksempler på løsninger

Finn fantastiske grenser Det er vanskelig ikke bare for mange første- og andreårsstudenter som studerer grenseteorien, men også for noen lærere.

Formel for den første bemerkelsesverdige grensen

Konsekvenser av den første bemerkelsesverdige grensen la oss skrive det i formler
1. 2. 3. 4. Men på egenhånd generelle formler bemerkelsesverdige grenser hjelper ingen i en eksamen eller test. Poenget er at reelle oppgaver er konstruert slik at du fortsatt trenger å komme frem til formlene som er skrevet ovenfor. Og flertallet av elever som går glipp av undervisning, studerer dette kurset i fravær, eller har lærere som selv ikke alltid forstår hva de forklarer, kan ikke beregne de mest elementære eksemplene til bemerkelsesverdige grenser. Fra formlene til den første bemerkelsesverdige grensen ser vi at det med deres hjelp er mulig å studere usikkerheter av typen null delt på null for uttrykk med trigonometriske funksjoner. La oss først vurdere en rekke eksempler på den første bemerkelsesverdige grensen, og deretter studere den andre bemerkelsesverdige grensen.

Eksempel 1. Finn grensen for funksjonen sin(7*x)/(5*x)
Løsning: Som du kan se, er funksjonen under grensen nær den første bemerkelsesverdige grensen, men grensen for selve funksjonen er definitivt ikke lik én. I denne typen oppgaver om grenser bør man velge i nevneren en variabel med samme koeffisient som er inneholdt i variabelen under sinusen. I dette tilfellet, del og multipliser med 7

For noen vil slike detaljer virke unødvendige, men for de fleste elever som har vanskeligheter med grenser, vil det hjelpe dem bedre å forstå reglene og mestre det teoretiske stoffet.
Dessuten, hvis det er en invers form av en funksjon, er dette også den første fantastiske grensen. Og alt fordi den fantastiske grensen er lik én

Den samme regelen gjelder for konsekvensene av 1. bemerkelsesverdige grense. Derfor, hvis du blir spurt, "Hva er den første bemerkelsesverdige grensen?" Du bør svare uten å nøle at det er en enhet.

Eksempel 2. Finn grensen for funksjonen sin(6x)/tan(11x)
Løsning: For å forstå det endelige resultatet, la oss skrive funksjonen i skjemaet

For å bruke reglene for den bemerkelsesverdige grensen, multipliser og del med faktorer

Deretter skriver vi grensen for et produkt av funksjoner gjennom produktet av grenser

Uten komplekse formler fant vi chaska-grensen trigonometriske funksjoner. For assimilering enkle formler prøv å komme opp med og finne grensen på 2 og 4, formelen for konsekvens 1 av den fantastiske grensen. Vi skal se på mer komplekse problemer.

Eksempel 3: Regn ut grensen (1-cos(x))/x^2
Løsning: Ved kontroll ved substitusjon får vi en usikkerhet på 0/0. Mange mennesker vet ikke hvordan de skal redusere et slikt eksempel til én bemerkelsesverdig grense. Her bør du bruke trigonometrisk formel

I dette tilfellet vil grensen forvandles til en klar form

Vi klarte å redusere funksjonen til kvadratet av en bemerkelsesverdig grense.

Eksempel 4. Finn grensen
Løsning: Når vi erstatter, får vi den kjente funksjonen 0/0. Variabelen har imidlertid en tendens til Pi i stedet for null. Derfor, for å bruke den første bemerkelsesverdige grensen, vil vi utføre en slik endring i variabelen x slik at den nye variabelen går til null. For å gjøre dette, betegner vi nevneren som en ny variabel Pi-x=y

Ved å bruke den trigonometriske formelen gitt i forrige oppgave, reduseres eksemplet til 1 bemerkelsesverdig grense.

Eksempel 5: Beregn grense
Løsning: Til å begynne med er det ikke klart hvordan man forenkler grensene. Men siden det er et eksempel, så må det finnes et svar. Det faktum at variabelen går til enhet gir, når du erstatter, et trekk av formen null multiplisert med uendelig, så tangenten må erstattes med formelen

Etter dette får vi den nødvendige usikkerheten 0/0. Deretter utfører vi en endring av variabler i grensen og bruker periodisiteten til cotangensen

Siste erstatninger tillate oss å bruke konsekvens 1 av den bemerkelsesverdige grensen.

Den andre bemerkelsesverdige grensen er lik eksponentiell

Dette er en klassiker som ikke alltid er lett å nå i reelle grenseproblemer.
I beregningene trenger du grenser er konsekvenser av den andre bemerkelsesverdige grensen:
1. 2. 3. 4.
Takket være den andre bemerkelsesverdige grensen og dens konsekvenser, er det mulig å utforske usikkerheter som null delt på null, en i kraften til uendelig og uendelig delt på uendelig, og til og med i samme grad

La oss starte med enkle eksempler.

Eksempel 6. Finn grensen for en funksjon
Løsning: Direkte bruk av den andre bemerkelsesverdige grensen vil ikke fungere. Først bør du transformere eksponenten slik at den ser ut som inversen av begrepet i parentes

Dette er teknikken for å redusere til den andre bemerkelsesverdige grensen og i hovedsak trekke ut den andre formelen for konsekvensen av grensen.

Eksempel 7. Finn grensen for en funksjon
Løsning: Vi har oppgaver for formel 3 av følge 2 av en fantastisk grense. Å erstatte null gir en singularitet på formen 0/0. For å heve grensen til en regel snur vi nevneren slik at variabelen har samme koeffisient som i logaritmen

Det er også lett å forstå og utføre på eksamen. Elevenes vanskeligheter med å beregne grenser begynner med følgende oppgaver.

Eksempel 8. Beregn grensen for en funksjon[(x+7)/(x-3)]^(x-2)
Løsning: Vi har en type 1 singularitet til kraften i uendelighet. Hvis du ikke tror meg, kan du erstatte uendelig med "X" overalt og sørge for det. For å konstruere en regel deler vi telleren med nevneren i parentes; for å gjøre dette utfører vi først manipulasjonene

La oss erstatte uttrykket med grensen og gjøre det om til 2 fantastiske grenser

Grensen er lik eksponentialstyrken på 10. Konstanter som er termer med en variabel, både i parentes og en grad, introduserer ikke noe "vær" - dette bør huskes. Og hvis lærerne dine spør deg: "Hvorfor konverterer du ikke indikatoren?" (For dette eksemplet i x-3), si så at "Når en variabel har en tendens til uendelig, så legg til 100 til den eller trekk fra 1000, og grensen vil forbli den samme som den var!"
Det er en annen måte å beregne grenser av denne typen. Vi snakker om det i neste oppgave.

Eksempel 9. Finn grensen
Løsning: La oss nå ta ut variabelen i telleren og nevneren og gjøre en funksjon om til en annen. For å få den endelige verdien bruker vi formelen til følge 2 av den bemerkelsesverdige grensen

Eksempel 10. Finn grensen for en funksjon
Løsning: Ikke alle kan finne den gitte grensen. For å heve grensen til 2, forestill deg at sin (3x) er en variabel, og du må snu eksponenten

Deretter skriver vi indikatoren som en potens til en potens


Mellomargumenter er beskrevet i parentes. Som et resultat av å bruke den første og andre bemerkelsesverdige grensen, fikk vi eksponentialen i terning.

Eksempel 11. Beregn grensen for en funksjon sin(2*x)/ln(3*x+1)
Løsning: Vi har en usikkerhet på formen 0/0. I tillegg ser vi at funksjonen bør konverteres til å bruke begge fantastiske grenser. La oss utføre de tidligere matematiske transformasjonene

Videre, uten vanskeligheter, vil grensen ta verdien

Sånn fri vil du føle deg på oppgaver, prøver, moduler hvis du lærer å raskt skrive ut funksjoner og redusere dem til den første eller andre fantastiske grensen. Hvis det er vanskelig for deg å huske de gitte metodene for å finne grenser, kan du alltid bestille test til våre grenser.
For å gjøre dette, fyll ut skjemaet, oppgi data og legg ved en fil med eksempler. Vi har hjulpet mange studenter - vi kan hjelpe deg også!

Den første bemerkelsesverdige grensen brukes ofte til å beregne grenser som inneholder sinus, arcsinus, tangens, arctangens og de resulterende usikkerhetene null delt på null.

Formel

Formelen for den første bemerkelsesverdige grensen er: $$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin\alpha)(\alpha) = 1 $$

Vi legger merke til at for $ \alpha\to 0 $ får vi $ \sin\alpha \to 0 $, dermed har vi nuller i telleren og nevneren. Derfor er formelen til den første bemerkelsesverdige grensen nødvendig for å avsløre usikkerheten $ \frac(0)(0) $.

For å bruke formelen må to betingelser være oppfylt:

1. Uttrykkene i sinusen og nevneren til brøken er de samme
2. Uttrykk i sinus og nevner av en brøk har en tendens til null

Merk følgende! $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(2x^2+1))(2x^2+1) \neq 1 $ Selv om uttrykkene under sinus og i nevneren er de samme, men $ 2x ^2+1 = 1 $, ved $ x\til 0 $. Den andre betingelsen er ikke oppfylt, så du KAN IKKE bruke formelen!

Konsekvenser

Ganske sjelden i oppgaver kan du se en ren første vidunderlig grense, der du umiddelbart kunne skrive ned svaret. I praksis ser alt litt mer komplisert ut, men for slike tilfeller vil det være nyttig å vite konsekvensene av den første bemerkelsesverdige grensen. Takket være dem kan du raskt beregne de nødvendige grensene.

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\alpha)(\sin\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin(a\alpha))(\sin(b\alpha)) = \frac(a)(b) $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(tg\alpha)(\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\arcsin\alpha)(\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(arctg\alpha)(\alpha) = 1 $$

Eksempler på løsninger

La oss vurdere den første bemerkelsesverdige grensen, eksempler på dens løsning for å beregne grenser som inneholder trigonometriske funksjoner og usikkerhet $ \bigg[\frac(0)(0)\bigg] $

Eksempel 1

Beregn $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) $

Løsning

La oss se på grensen og legge merke til at den inneholder en sinus. Deretter erstatter vi $ x = 0 $ i telleren og nevneren og får usikkerheten null delt på null: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \frac(0)(0) ) $$ Allerede to tegn som vi trenger for å bruke en fantastisk grense, men det er en liten nyanse: vi kan ikke umiddelbart bruke formelen, siden uttrykket under sinustegnet er forskjellig fra uttrykket i nevneren. Og vi trenger at de er likeverdige. Derfor med hjelp elementære transformasjoner teller vil vi gjøre den om til $2x$. For å gjøre dette vil vi ta de to ut av nevneren til brøken som en egen faktor. Det ser slik ut: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2\cdot 2x) = $$ $$ = \frac(1)(2) \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = \frac(1)(2)\cdot 1 = \frac(1)(2) $$ Vennligst merk at på slutten $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = 1 $ ble oppnådd i henhold til formelen. Hvis du ikke kan løse problemet, send det til oss. Vi vil gi detaljert løsning. Du vil kunne se fremdriften til beregningen og få informasjon. Dette vil hjelpe deg med å få karakteren din fra læreren din i tide!

Svar

$$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) =\frac(1)(2) $$

Eksempel 2

Finn $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) $

Løsning

Som alltid må du først vite hvilken type usikkerhet. Hvis det er null delt på null, så tar vi hensyn til tilstedeværelsen av en sinus: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = \frac(0) (0) = $$ Denne usikkerheten lar oss bruke formelen for den første bemerkelsesverdige grensen, men uttrykket fra nevneren er ikke lik argumentet til sinus? Derfor kan formelen ikke brukes "head-on". Det er nødvendig å multiplisere og dele brøken med argumentet til sinus: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x)\sin(x^3+2x))((2x) -x^4)(x ^3+2x)) = $$ Nå skriver vi ned egenskapene til grensene: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x))(2x) -x^4)\cdot \lim_(x \to 0) \frac(\sin(x^3+2x))((x^3+2x)) = $$ Den andre grensen passer nøyaktig til formelen og er lik til en: $$ = \lim_(x\to 0 ) \frac(x^3+2x)(2x-x^4)\cdot 1 = \lim_(x\to 0) \frac(x^3+2x) )(2x-x^4) = $$ Erstatt igjen $ x = 0 $ i en brøk og vi får usikkerheten $ \frac(0)(0) $. For å eliminere det er det nok å ta $ x $ ut av parentes og redusere den med: $$ = \lim_(x\to 0) \frac(x(x^2+2))(x(2-x^ 3)) = \ lim_(x\til 0) \frac(x^2+2)(2-x^3) = $$ $$ = \frac(0^2 + 2)(2 - 0^3) = \frac(2 )(2) = 1 $$

Svar

$$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = 1 $$

Eksempel 4

Beregn $ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) $

Løsning

La oss starte beregningen med substitusjonen $ x=0 $. Som et resultat får vi usikkerheten $ \frac(0)(0) $. Grensen inneholder en sinus og en tangent, som antyder en mulig utvikling av situasjonen ved å bruke formelen til den første bemerkelsesverdige grensen. La oss transformere telleren og nevneren til brøken til en formel og konsekvens: $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) = \frac(0)(0) = \lim_(x\to0) \frac(\frac(\sin2x)(2x)\cdot 2x )(\frac(tg3x)(3x)\cdot 3x) = $$ Nå ser vi at i telleren og nevneren er det uttrykk som passer til formelen og konsekvenser. Sinusargumentet og tangentargumentet er det samme for de tilsvarende nevnerne $$ = \lim_(x\to0) \frac(1\cdot 2x)(1\cdot 3x) = \frac(2)(3) $$

Svar

$$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg2x) = \frac(2)(3) $$

Artikkelen: "Den første bemerkelsesverdige grensen, eksempler på løsninger" snakket om tilfeller der det er tilrådelig å bruke denne formelen og dens konsekvenser.

Det er flere bemerkelsesverdige grenser, men de mest kjente er den første og andre bemerkelsesverdige grensen. Det bemerkelsesverdige med disse grensene er at de har bred applikasjon og med deres hjelp kan man finne andre grenser i en rekke problemer. Dette skal vi gjøre i den praktiske delen. denne leksjonen. For å løse problemer ved å redusere dem til den første eller andre bemerkelsesverdige grensen, er det ikke nødvendig å avsløre usikkerheten i dem, siden verdiene til disse grensene lenge har blitt utledet av store matematikere.

Den første fantastiske grensen kalles grensen for forholdet mellom sinusen til en infinitesimal bue til den samme buen, uttrykt i radianmål:

La oss gå videre til å løse problemer ved den første bemerkelsesverdige grensen. Merk: hvis det er en trigonometrisk funksjon under grensetegnet, er dette nesten sikkert tegn at dette uttrykket kan tas til sin første bemerkelsesverdige grense.

Eksempel 1. Finn grensen.

Løsning. Bytte i stedet x null fører til usikkerhet:

.

Nevneren er sinus, derfor kan uttrykket bringes til den første bemerkelsesverdige grensen. La oss starte transformasjonen:

.

Nevneren er sinusen til tre X, men telleren har bare en X, noe som betyr at du må få tre X i telleren. For hva? For å introdusere 3 x = en og få uttrykket.

Og vi kommer til en variant av den første bemerkelsesverdige grensen:

fordi det ikke spiller noen rolle hvilken bokstav (variabel) i denne formelen som står i stedet for X.

Vi multipliserer X med tre og deler umiddelbart:

.

I samsvar med den første bemerkelsesverdige grensen som ble lagt merke til, erstatter vi brøkuttrykket:

Nå kan vi endelig løse denne grensen:

.

Eksempel 2. Finn grensen.

Løsning. Direkte substitusjon fører igjen til "null delt på null" usikkerheten:

.

For å få den første bemerkelsesverdige grensen, er det nødvendig at x under sinustegnet i telleren og bare x i nevneren har samme koeffisient. La denne koeffisienten være lik 2. For å gjøre dette, forestill deg gjeldende koeffisient for x som nedenfor, ved å utføre operasjoner med brøker, får vi:

.

Eksempel 3. Finn grensen.

Løsning. Når vi erstatter, får vi igjen usikkerheten "null delt på null":

.

Du forstår sikkert allerede at fra det opprinnelige uttrykket kan du få den første fantastiske grensen multiplisert med den første fantastiske grensen. For å gjøre dette dekomponerer vi kvadratene til x-en i telleren og sinusen i nevneren til identiske faktorer, og for å få de samme koeffisientene for x og sinus deler vi x-en i telleren med 3 og ganger umiddelbart. innen 3. Vi får:

.

Eksempel 4. Finn grensen.

Løsning. Nok en gang får vi usikkerheten "null delt på null":

.

Vi kan finne forholdet mellom de to første bemerkelsesverdige grensene. Vi deler både telleren og nevneren på x. Så, slik at koeffisientene for sinus og xer faller sammen, multipliserer vi den øvre x med 2 og deler umiddelbart på 2, og multipliserer den nedre x med 3 og deler umiddelbart med 3. Vi får:

Eksempel 5. Finn grensen.

Løsning. Og igjen usikkerheten om "null delt på null":

Vi husker fra trigonometri at tangens er forholdet mellom sinus og cosinus, og cosinus til null er lik en. Vi utfører transformasjonene og får:

.

Eksempel 6. Finn grensen.

Løsning. Den trigonometriske funksjonen under tegnet av en grense antyder igjen bruken av den første bemerkelsesverdige grensen. Vi representerer det som forholdet mellom sinus og cosinus.

Fra artikkelen ovenfor kan du finne ut hva grensen er og hva den spises med – dette er VELDIG viktig. Hvorfor? Du forstår kanskje ikke hva determinanter er og lykkes med å løse dem; du forstår kanskje ikke i det hele tatt hva en derivat er og finner dem med en "A". Men hvis du ikke forstår hva en grense er, vil det være vanskelig å løse praktiske oppgaver. Det vil også være en god idé å gjøre deg kjent med prøveløsningene og mine designanbefalinger. All informasjon presenteres i en enkel og tilgjengelig form.

Og i forbindelse med denne leksjonen trenger vi følgende undervisningsmateriell: Fantastiske grenser Og Trigonometriske formler. De finner du på siden. Det er best å skrive ut manualene - det er mye mer praktisk, og dessuten må du ofte referere til dem offline.

Hva er så spesielt med bemerkelsesverdige grenser? Det bemerkelsesverdige med disse grensene er at de ble bevist av de største sinnene til kjente matematikere, og takknemlige etterkommere trenger ikke å lide av forferdelige grenser med en haug med trigonometriske funksjoner, logaritmer, potenser. Det vil si at når vi skal finne grensene vil vi bruke ferdige resultater som er bevist teoretisk.

Det er flere fantastiske grenser, men i praksis har deltidsstudenter i 95 % av tilfellene to fantastiske grenser: Den første fantastiske grensen, Andre fantastiske grense. Det skal bemerkes at dette er historisk etablerte navn, og når de for eksempel snakker om "den første bemerkelsesverdige grensen", mener de med dette en veldig spesifikk ting, og ikke en tilfeldig grense tatt fra taket.

Den første fantastiske grensen

Tenk på følgende grense: (i stedet for den opprinnelige bokstaven "han" vil jeg bruke gresk bokstav"alfa", dette er mer praktisk med tanke på å presentere materiale).

I henhold til vår regel for å finne grenser (se artikkel Grenser. Eksempler på løsninger) prøver vi å erstatte null i funksjonen: i telleren får vi null (sinus til null er null), og i nevneren er det selvsagt også null. Dermed står vi overfor en formusikkerhet som heldigvis ikke trenger å avsløres. Jeg vet matematisk analyse, er det bevist at:

Dette matematiske faktum kalles Den første fantastiske grensen. Jeg vil ikke gi et analytisk bevis på grensen, men her er den: geometrisk betydning vi skal se på det i klassen ca infinitesimale funksjoner.

Ofte i praktiske oppgaver kan funksjoner ordnes annerledes, dette endrer ingenting:

- den samme første fantastiske grensen.

Men du kan ikke omorganisere telleren og nevneren selv! Hvis det er gitt en grense i skjemaet, må det løses i samme skjema, uten å omorganisere noe.

I praksis kan ikke bare en variabel, men også en elementær funksjon eller en kompleks funksjon fungere som en parameter. Det eneste viktige er at det har en tendens til null.

Eksempler:
, , ,

Her , , , , og alt er bra - den første fantastiske grensen gjelder.

Men følgende oppføring er kjetteri:

Hvorfor? Fordi polynomet ikke har en tendens til null, har det en tendens til fem.

Forresten, et raskt spørsmål: hva er grensen? ? Svaret finner du på slutten av leksjonen.

I praksis er ikke alt så glatt, nesten aldri får en student tilbud om å løse en gratisgrense og få et enkelt pass. Hmmm... jeg skriver disse linjene, og en veldig viktig tanke dukket opp - tross alt er det bedre å huske "gratis" matematiske definisjoner og formler utenat, dette kan gi uvurderlig hjelp i testen, når spørsmålet vil bestemmes mellom "to" og "tre", og læreren bestemmer seg for å stille eleven et enkelt spørsmål eller tilbud om å løse enkleste eksempelet("kanskje han(e) fortsatt vet hva?!").

La oss gå videre til å vurdere praktiske eksempler:

Eksempel 1

Finn grensen

Hvis vi merker en sinus i grensen, bør dette umiddelbart få oss til å tenke på muligheten for å bruke den første bemerkelsesverdige grensen.

Først prøver vi å erstatte 0 i uttrykket under grensetegnet (vi gjør dette mentalt eller i et utkast):

Så vi har en usikkerhet på formen sørg for å indikere i å ta en beslutning. Uttrykket under grensetegnet ligner på den første vidunderlige grensen, men dette er ikke akkurat det, det er under sinus, men i nevneren.

I slike tilfeller må vi organisere den første bemerkelsesverdige grensen selv ved å bruke en kunstig teknikk. Resonnementet kan være som følger: "under sinusen har vi , som betyr at vi også må komme inn i nevneren."
Og dette gjøres veldig enkelt:

Det vil si at nevneren blir kunstig multiplisert i dette tilfellet med 7 og delt på de samme syv. Nå har opptaket vårt fått en kjent form.
Når oppgaven er tegnet opp for hånd, er det tilrådelig å markere den første bemerkelsesverdige grensen med en enkel blyant:

Hva skjedde? Faktisk ble vårt innsirklede uttrykk til en enhet og forsvant i verket:

Nå gjenstår det bare å bli kvitt den tre-etasjers brøken:

Hvem har glemt forenklingen av brøker på flere nivåer, vennligst oppdater materialet i oppslagsboken Hete formler for skolematematikkkurs .

Klar. Endelig svar:

Hvis du ikke vil bruke blyanttegn, kan løsningen skrives slik:

“

La oss bruke den første fantastiske grensen

“

Eksempel 2

Finn grensen

Igjen ser vi en brøk og en sinus i grensen. La oss prøve å erstatte null i telleren og nevneren:

Vi har faktisk usikkerhet, og derfor må vi prøve å organisere den første fantastiske grensen. På timen Grenser. Eksempler på løsninger vi vurderte regelen om at når vi har usikkerhet, må vi faktorisere telleren og nevneren. Her er det samme, vi vil representere gradene som et produkt (multiplikatorer):

I likhet med forrige eksempel tegner vi en blyant rundt de bemerkelsesverdige grensene (her er det to av dem), og indikerer at de har en tendens til enhet:

Faktisk er svaret klart:

I de følgende eksemplene vil jeg ikke gjøre kunst i Paint, jeg tenker på hvordan du skal tegne en løsning i en notatbok - du forstår allerede.

Eksempel 3

Finn grensen

Vi erstatter null i uttrykket under grensetegnet:

Det er innhentet en usikkerhet som må avsløres. Hvis det er en tangent i grensen, blir den nesten alltid konvertert til sinus og cosinus ved å bruke den velkjente trigonometriske formelen (forresten, de gjør omtrent det samme med cotangens, se fig. metodisk materiale Hot trigonometriske formler På siden Matematiske formler, tabeller og referansemateriell).

I dette tilfellet:

Cosinus av null er lik én, og det er lett å bli kvitt den (ikke glem å merke at den har en tendens til én):

Derfor, hvis cosinus i grensen er en MULTIPLIER, så må den grovt sett gjøres om til en enhet som forsvinner i produktet.

Her ble alt enklere, uten noen multiplikasjoner og divisjoner. Den første bemerkelsesverdige grensen blir også til en og forsvinner i produktet:

Som et resultat oppnås uendelighet, og dette skjer.

Eksempel 4

Finn grensen

La oss prøve å erstatte null i telleren og nevneren:

Usikkerheten er oppnådd (cosinus av null, som vi husker, er lik en)

Vi bruker den trigonometriske formelen. Ta notat! Av en eller annen grunn er grenser ved bruk av denne formelen svært vanlige.

La oss flytte de konstante faktorene utover grenseikonet:

La oss organisere den første fantastiske grensen:

Her har vi bare én bemerkelsesverdig grense, som blir til én og forsvinner i produktet:

La oss bli kvitt den tre-etasjers strukturen:

Grensen er faktisk løst, vi indikerer at den gjenværende sinusen har en tendens til null:

Eksempel 5

Finn grensen

Dette eksemplet er mer komplisert, prøv å finne ut av det selv:

Noen grenser kan reduseres til 1. bemerkelsesverdige grense ved å endre en variabel, dette kan du lese om litt senere i artikkelen Metoder for å løse grenser.

Andre fantastiske grense

I teorien om matematisk analyse er det bevist at:

Denne faktaen er kalt andre fantastiske grensen.

Henvisning: er et irrasjonelt tall.

Parameteren kan ikke bare være en variabel, men også en kompleks funksjon. Det eneste viktige er at den streber etter uendelighet.

Eksempel 6

Finn grensen

Når uttrykket under grensetegnet er i en grad, er dette det første tegnet på at du må prøve å bruke den andre fantastiske grensen.

Men først, som alltid, prøver vi å erstatte i det uendelige stort antall i uttrykket på hvilket prinsipp dette gjøres, omtalt i leksjonen Grenser. Eksempler på løsninger.

Det er lett å merke at når grunnlaget for graden er , og eksponenten er , det vil si at det er usikkerhet om formen:

Denne usikkerheten avsløres nettopp ved hjelp av den andre bemerkelsesverdige grensen. Men som ofte skjer, ligger ikke den andre fantastiske grensen på et sølvfat, og den må organiseres kunstig. Man kan resonnere som følger: i i dette eksemplet parameter, som betyr at i indikatoren må vi også organisere . For å gjøre dette hever vi basen til makten, og slik at uttrykket ikke endres, hever vi det til makten:

Når oppgaven er fullført for hånd, markerer vi med blyant:

Nesten alt er klart, den forferdelige graden har blitt til et fint brev:

I dette tilfellet flytter vi selve grenseikonet til indikatoren:

Eksempel 7

Finn grensen

Merk følgende! Denne typen grenser forekommer veldig ofte, vennligst studer dette eksemplet veldig nøye.

La oss prøve å erstatte et uendelig stort tall i uttrykket under grensetegnet:

Resultatet er usikkerhet. Men den andre bemerkelsesverdige grensen gjelder usikkerheten i formen. Hva å gjøre? Vi må konvertere grunnlaget for graden. Vi resonnerer slik: i nevneren har vi , som betyr at i telleren må vi også organisere .