Med dette matteprogram Du kan løse andregradsligningen.

Programmet gir ikke bare svaret på problemet, men viser også løsningsprosessen på to måter:
- ved å bruke en diskriminant
- ved å bruke Vietas teorem (hvis mulig).

Dessuten vises svaret som nøyaktig, ikke omtrentlig.
For eksempel, for ligningen \(81x^2-16x-1=0\) vises svaret i følgende form:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ og ikke slik: \(x_1 = 0,247; \quad x_2 = -0,05\)

Dette programmet kan være nyttig for elever på videregående skole ungdomsskoler som forberedelse til tester og eksamener, når du tester kunnskap før Unified State Exam, for foreldre å kontrollere løsningen av mange problemer i matematikk og algebra. Eller kanskje det er for dyrt for deg å ansette en veileder eller kjøpe nye lærebøker? Eller vil du bare få det gjort så raskt som mulig? hjemmelekser i matematikk eller algebra? I dette tilfellet kan du også bruke våre programmer med detaljerte løsninger.

På denne måten kan du gjennomføre din egen trening og/eller trening. yngre brødre eller søstre, mens utdanningsnivået i feltet problemer som løses øker.

Hvis du ikke er kjent med reglene for å legge inn et kvadratisk polynom, anbefaler vi at du gjør deg kjent med dem.

Regler for å legge inn et kvadratisk polynom

Enhver latinsk bokstav kan fungere som en variabel.
For eksempel: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc.

Tall kan legges inn som hele eller brøktall.
Dessuten, brøktall kan angis ikke bare som en desimal, men også som en vanlig brøk.

Regler for inntasting av desimalbrøker.
I desimalbrøker kan brøkdelen skilles fra hele delen med enten punktum eller komma.
For eksempel kan du gå inn desimaler slik: 2,5x - 3,5x^2

Regler for inntasting av vanlige brøker.
Bare et helt tall kan fungere som teller, nevner og heltallsdel av en brøk.

Nevneren kan ikke være negativ.

Når du legger inn en numerisk brøk, skilles telleren fra nevneren med et divisjonstegn: /
Hele delen atskilt fra brøken med et og-tegnet: &
Inngang: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Resultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Når du legger inn et uttrykk du kan bruke parenteser. I dette tilfellet, når du løser en kvadratisk ligning, blir det introduserte uttrykket først forenklet.
For eksempel: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Bestemme seg for

Det ble oppdaget at noen skript som er nødvendige for å løse dette problemet, ikke ble lastet, og at programmet kanskje ikke fungerer.
Du kan ha AdBlock aktivert.
I dette tilfellet, deaktiver den og oppdater siden.

JavaScript er deaktivert i nettleseren din.
For at løsningen skal vises, må du aktivere JavaScript.
Her er instruksjoner for hvordan du aktiverer JavaScript i nettleseren din.

Fordi Det er mange mennesker som er villige til å løse problemet, forespørselen din har blitt satt i kø.
Om noen sekunder vil løsningen vises nedenfor.
Vennligst vent sek...

Hvis du oppdaget en feil i løsningen, så kan du skrive om dette i tilbakemeldingsskjemaet.
Ikke glem angi hvilken oppgave du bestemmer hva skriv inn i feltene.

Våre spill, puslespill, emulatorer:

Litt teori.

Kvadratisk ligning og dens røtter. Ufullstendige andregradsligninger

Hver av ligningene
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
ser ut som
\(ax^2+bx+c=0, \)
hvor x er en variabel, a, b og c er tall.
I den første ligningen a = -1, b = 6 og c = 1,4, i den andre a = 8, b = -7 og c = 0, i den tredje a = 1, b = 0 og c = 4/9. Slike ligninger kalles andregradsligninger.

Definisjon.
Kvadratisk ligning kalles en ligning av formen ax 2 +bx+c=0, der x er en variabel, a, b og c er noen tall, og \(a \neq 0 \).

Tallene a, b og c er koeffisientene til andregradsligningen. Tallet a kalles den første koeffisienten, tallet b er den andre koeffisienten, og tallet c er frileddet.

I hver av likningene på formen ax 2 +bx+c=0, hvor \(a\neq 0\), er den største potensen til variabelen x en kvadrat. Derav navnet: andregradsligning.

Merk at en kvadratisk ligning også kalles en ligning av andre grad, siden venstre side er et polynom av andre grad.

En annengradsligning der koeffisienten til x 2 er lik 1 kalles gitt andregradsligning. For eksempel er de gitte kvadratiske ligningene ligningene
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Hvis i en andregradsligning ax 2 +bx+c=0 er minst én av koeffisientene b eller c lik null, kalles en slik ligning ufullstendig andregradsligning. Dermed er ligningene -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 ufullstendige andregradsligninger. I den første av dem er b=0, i den andre c=0, i den tredje b=0 og c=0.

Det er tre typer ufullstendige kvadratiske ligninger:
1) ax 2 +c=0, hvor \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, hvor \(b \neq 0 \);
3) akse 2 =0.

La oss vurdere å løse ligninger for hver av disse typene.

For å løse en ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 +c=0 for \(c \neq 0 \), flytter du dens friledd til høyre side og deler begge sider av ligningen med a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Høyrepil x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Siden \(c \neq 0 \), deretter \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Hvis \(-\frac(c)(a)>0\), så har ligningen to røtter.

Hvis \(-\frac(c)(a) For å løse en ufullstendig andregradsligning på formen ax 2 +bx=0 med \(b \neq 0 \) utvider den venstre side av faktorer og få ligningen
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (matrise)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)

Dette betyr at en ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 +bx=0 for \(b \neq 0 \) alltid har to røtter.

En ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 =0 tilsvarer ligningen x 2 =0 og har derfor en enkelt rot 0.

Formel for røttene til en kvadratisk ligning

La oss nå vurdere hvordan vi løser kvadratiske ligninger der både koeffisientene til de ukjente og frileddet ikke er null.

La oss løse den andregradsligningen i generelt syn og som et resultat får vi formelen for røttene. Denne formelen kan deretter brukes til å løse enhver kvadratisk ligning.

Løs den andregradsligningen ax 2 +bx+c=0

Ved å dele begge sider med a, får vi den ekvivalente reduserte andregradsligningen
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

La oss transformere denne ligningen ved å velge kvadratet til binomialet:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\venstre(\frac(b)(2a)\høyre)^2- \venstre(\frac(b)(2a)\høyre)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Høyrepil \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\venstre(\frac(b)(2a)\høyre)^2 = \venstre(\frac(b)(2a)\høyre)^ 2 - \frac(c)(a) \Høyrepil \) \(\venstre(x+\frac(b)(2a)\høyre)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Høyrepil \venstre(x+\frac(b)(2a)\høyre)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Høyrepil \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Høyrepil x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Høyrepil \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Det radikale uttrykket kalles diskriminant av en andregradsligning ax 2 +bx+c=0 ("diskriminerende" på latin - diskriminator). Det er betegnet med bokstaven D, dvs.
\(D = b^2-4ac\)

Nå, ved å bruke diskriminantnotasjonen, omskriver vi formelen for røttene til den kvadratiske ligningen:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), hvor \(D= b^2-4ac \)

Det er åpenbart at:
1) Hvis D>0, så har andregradsligningen to røtter.
2) Hvis D=0, så har den andregradsligningen én rot \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Hvis D Altså, avhengig av verdien av diskriminanten, kan en andregradsligning ha to røtter (for D > 0), en rot (for D = 0) eller ha ingen røtter (for D Når du løser en andregradsligning ved å bruke denne formel, er det tilrådelig å gjøre følgende:
1) beregne diskriminanten og sammenligne den med null;
2) hvis diskriminanten er positiv eller lik null, bruk rotformelen; hvis diskriminanten er negativ, skriv ned at det ikke er noen røtter.

Vietas teorem

Den gitte andregradsligningen ax 2 -7x+10=0 har røttene 2 og 5. Summen av røttene er 7, og produktet er 10. Vi ser at summen av røttene er lik den andre koeffisienten tatt med det motsatte tegn, og produktet av røttene er lik frileddet. Enhver redusert kvadratisk ligning som har røtter har denne egenskapen.

Summen av røttene til den ovennevnte kvadratiske ligningen er lik den andre koeffisienten tatt med motsatt fortegn, og produktet av røttene er lik frileddet.

De. Vietas teorem sier at røttene x 1 og x 2 av den reduserte kvadratiske ligningen x 2 +px+q=0 har egenskapen:
\(\venstre\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

For å fortsette med emnet "Løse ligninger", vil materialet i denne artikkelen introdusere deg til kvadratiske ligninger.

La oss se på alt i detalj: essensen og notasjonen til en kvadratisk ligning, definere de medfølgende begrepene, analysere skjemaet for å løse ufullstendige og fullstendige ligninger, bli kjent med formelen for røtter og diskriminanten, etablere forbindelser mellom røttene og koeffisientene, og selvfølgelig vil vi gi en visuell løsning på praktiske eksempler.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadratisk ligning, dens typer

Definisjon 1

Kvadratisk ligning er en ligning skrevet som a x 2 + b x + c = 0, Hvor x– variabel, a , b og c– noen tall, mens en er ikke null.

Ofte kalles andregradsligninger også andregradsligninger, siden en andregradsligning i hovedsak er en algebraisk ligning av andre grad.

La oss gi et eksempel for å illustrere den gitte definisjonen: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, osv. Dette er andregradsligninger.

Definisjon 2

Tallene a, b og c er koeffisientene til den kvadratiske ligningen a x 2 + b x + c = 0, mens koeffisienten en kalles den første, eller senior, eller koeffisient ved x 2, b - den andre koeffisienten, eller koeffisient ved x, A c kalt et gratis medlem.

For eksempel i andregradsligningen 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 den ledende koeffisienten er 6, den andre koeffisienten er − 2 , og fritiden er lik − 11 . La oss ta hensyn til det faktum at når koeffisientene b og/eller c er negative, bruk deretter kortform poster som 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, men ikke 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

La oss også klargjøre dette aspektet: hvis koeffisientene en og/eller b lik 1 eller − 1 , så tar de kanskje ikke en eksplisitt del i å skrive kvadratisk ligning, som forklares av særegenhetene ved å skrive de angitte numeriske koeffisientene. For eksempel i andregradsligningen y 2 − y + 7 = 0 den ledende koeffisienten er 1, og den andre koeffisienten er − 1 .

Reduserte og ureduserte kvadratiske ligninger

Basert på verdien av den første koeffisienten deles kvadratiske ligninger inn i redusert og uredusert.

Definisjon 3

Redusert andregradsligning er en kvadratisk ligning der den ledende koeffisienten er 1. For andre verdier av den ledende koeffisienten er kvadratisk ligning ikke-redusert.

La oss gi eksempler: kvadratiske ligninger x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 reduseres, i hver av dem er den ledende koeffisienten 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- uredusert kvadratisk ligning, hvor den første koeffisienten er forskjellig fra 1 .

Enhver ikke-redusert kvadratisk ligning kan konverteres til en redusert ligning ved å dele begge sider med den første koeffisienten (ekvivalent transformasjon). Den transformerte ligningen vil ha de samme røttene som den gitte, ikke-reduserte ligningen eller vil heller ikke ha noen røtter i det hele tatt.

Betraktning konkret eksempel vil tillate oss å tydelig demonstrere overgangen fra en ikke-redusert kvadratisk ligning til en redusert.

Eksempel 1

Gitt ligningen 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Det er nødvendig å konvertere den opprinnelige ligningen til den reduserte formen.

Løsning

I henhold til skjemaet ovenfor deler vi begge sider av den opprinnelige ligningen med ledende koeffisient 6. Da får vi: (6 x 2 + 18 x − 7): 3 = 0: 3, og dette er det samme som: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 og videre: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0. Herfra: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0. Dermed oppnås en ligning tilsvarende den gitte.

Svar: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0.

Fullstendige og ufullstendige andregradsligninger

La oss gå til definisjonen av en kvadratisk ligning. I den spesifiserte vi det a ≠ 0. En lignende betingelse er nødvendig for ligningen a x 2 + b x + c = 0 var nettopp firkantet, siden kl a = 0 det forvandles i hovedsak til lineær ligning b x + c = 0.

I tilfellet når koeffisientene b Og c er lik null (noe som er mulig, både individuelt og sammen), kalles andregradsligningen ufullstendig.

Definisjon 4

Ufullstendig andregradsligning- en slik andregradsligning a x 2 + b x + c = 0, hvor minst én av koeffisientene b Og c(eller begge) er null.

Fullfør andregradsligningen– en kvadratisk ligning der alle numeriske koeffisienter ikke er lik null.

La oss diskutere hvorfor typene kvadratiske ligninger gis akkurat disse navnene.

Når b = 0, tar den andregradsligningen formen a x 2 + 0 x + c = 0, som er det samme som a x 2 + c = 0. På c = 0 andregradsligningen skrives som a x 2 + b x + 0 = 0, som tilsvarer a x 2 + b x = 0. På b = 0 Og c = 0 ligningen vil ta formen a x 2 = 0. Ligningene som vi fikk, skiller seg fra den komplette andregradslikningen ved at venstresiden deres ikke inneholder verken et ledd med variabelen x, eller et fritt ledd, eller begge deler. Faktisk ga dette faktum navnet til denne typen ligninger - ufullstendig.

For eksempel er x 2 + 3 x + 4 = 0 og − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 komplette andregradsligninger; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – ufullstendige andregradsligninger.

Løse ufullstendige andregradsligninger

Definisjonen gitt ovenfor gjør det mulig å fremheve følgende typer ufullstendige andregradsligninger:

• a x 2 = 0, tilsvarer denne ligningen koeffisientene b = 0 og c = 0;
• a · x 2 + c = 0 ved b = 0;
• a · x 2 + b · x = 0 ved c = 0.

La oss vurdere sekvensielt løsningen av hver type ufullstendig kvadratisk ligning.

Løsning av ligningen a x 2 =0

Som nevnt ovenfor tilsvarer denne ligningen koeffisientene b Og c, lik null. Ligningen a x 2 = 0 kan konverteres til en ekvivalent ligning x 2 = 0, som vi får ved å dele begge sider av den opprinnelige ligningen med tallet en, ikke lik null. Det åpenbare faktum er at roten til ligningen x 2 = 0 dette er null fordi 0 2 = 0 . Denne ligningen har ingen andre røtter, noe som kan forklares med egenskapene til graden: for et hvilket som helst tall p, ikke lik null, er ulikheten sann p 2 > 0, hvorav det følger at når p ≠ 0 likestilling p 2 = 0 vil aldri bli oppnådd.

Definisjon 5

For den ufullstendige andregradsligningen a x 2 = 0 er det altså en enkelt rot x = 0.

Eksempel 2

La oss for eksempel løse en ufullstendig andregradsligning − 3 x 2 = 0. Det tilsvarer ligningen x 2 = 0, dens eneste rot er x = 0, så har den opprinnelige ligningen en enkelt rot - null.

Kort fortalt er løsningen skrevet som følger:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Løse ligningen a x 2 + c = 0

Neste i rekken er løsningen av ufullstendige andregradsligninger, der b = 0, c ≠ 0, det vil si ligninger av formen a x 2 + c = 0. La oss transformere denne ligningen ved å flytte et ledd fra den ene siden av ligningen til den andre, endre tegnet til det motsatte og dele begge sider av ligningen med et tall som ikke er lik null:

• overføre c til høyre side, som gir ligningen a x 2 = − c;
• del begge sider av ligningen med en, vi ender opp med x = - c a .

Våre transformasjoner er ekvivalente; følgelig er den resulterende ligningen også ekvivalent med den opprinnelige, og dette faktum gjør det mulig å trekke konklusjoner om røttene til ligningen. Fra hva verdiene er en Og c verdien av uttrykket - c a avhenger: det kan ha et minustegn (for eksempel if a = 1 Og c = 2, deretter - c a = - 2 1 = - 2) eller et plusstegn (for eksempel if a = − 2 Og c = 6 så - c a = - 6 - 2 = 3); det er ikke null fordi c ≠ 0. La oss dvele mer detaljert ved situasjoner når - ca< 0 и - c a > 0 .

I tilfelle når - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа s likheten p 2 = - c a kan ikke være sann.

Alt er annerledes når - c a > 0: husk kvadratroten, og det vil bli tydelig at roten til ligningen x 2 = - c a vil være tallet - c a, siden - c a 2 = - c a. Det er ikke vanskelig å forstå at tallet - - c a også er roten til ligningen x 2 = - c a: ja, - - c a 2 = - c a.

Ligningen vil ikke ha andre røtter. Vi kan demonstrere dette ved å bruke metoden for selvmotsigelse. Til å begynne med, la oss definere notasjonene for røttene ovenfor som x 1 Og − x 1. La oss anta at likningen x 2 = - c a også har en rot x 2, som er forskjellig fra røttene x 1 Og − x 1. Vi vet det ved å substituere inn i ligningen x sine røtter transformerer vi ligningen til en rettferdig numerisk likhet.

Til x 1 Og − x 1 vi skriver: x 1 2 = - c a , og for x 2- x 2 2 = - c a . Basert på egenskapene til numeriske likheter, trekker vi ett korrekt likhetsledd for ledd fra et annet, noe som vil gi oss: x 1 2 − x 2 2 = 0. Vi bruker egenskapene til operasjoner med tall for å omskrive den siste likheten som (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Det er kjent at produktet av to tall er null hvis og bare hvis minst ett av tallene er null. Av ovenstående følger det x 1 − x 2 = 0 og/eller x 1 + x 2 = 0, som er det samme x 2 = x 1 og/eller x 2 = − x 1. En åpenbar motsetning oppsto, fordi man først var enige om at roten til ligningen x 2 skiller seg fra x 1 Og − x 1. Så vi har bevist at ligningen ikke har andre røtter enn x = - c a og x = - - c a.

La oss oppsummere alle argumentene ovenfor.

Definisjon 6

Ufullstendig andregradsligning a x 2 + c = 0 er ekvivalent med ligningen x 2 = - c a, som:

• vil ikke ha røtter ved - c a< 0 ;
• vil ha to røtter x = - c a og x = - - c a for - c a > 0.

La oss gi eksempler på løsning av likningene a x 2 + c = 0.

Eksempel 3

Gitt en andregradsligning 9 x 2 + 7 = 0. Det er nødvendig å finne en løsning.

Løsning

La oss flytte frileddet til høyre side av ligningen, så vil ligningen ta formen 9 x 2 = − 7.
La oss dele begge sider av den resulterende ligningen med 9 , kommer vi til x 2 = - 7 9 . På høyre side ser vi et tall med et minustegn, som betyr: y for gitt ligning ingen røtter. Deretter den opprinnelige ufullstendige andregradsligningen 9 x 2 + 7 = 0 vil ikke ha røtter.

Svar: ligningen 9 x 2 + 7 = 0 har ingen røtter.

Eksempel 4

Ligningen må løses − x 2 + 36 = 0.

Løsning

La oss flytte 36 til høyre side: − x 2 = − 36.
La oss dele begge deler med − 1 , vi får x 2 = 36. På høyre side - positivt tall, herfra kan vi konkludere med det x = 36 eller x = -36.
La oss trekke ut roten og skrive ned det endelige resultatet: ufullstendig andregradsligning − x 2 + 36 = 0 har to røtter x=6 eller x = − 6.

Svar: x=6 eller x = − 6.

Løsning av ligningen a x 2 +b x=0

La oss analysere den tredje typen ufullstendige kvadratiske ligninger, når c = 0. Å finne en løsning på en ufullstendig andregradsligning a x 2 + b x = 0, vil vi bruke faktoriseringsmetoden. La oss faktorisere polynomet som er på venstre side av ligningen, og ta det ut av parentes felles multiplikator x. Dette trinnet vil gjøre det mulig å transformere den opprinnelige ufullstendige kvadratiske ligningen til dens ekvivalent x (a x + b) = 0. Og denne ligningen tilsvarer i sin tur et sett med ligninger x = 0 Og a x + b = 0. Ligningen a x + b = 0 lineær, og dens rot: x = − b a.

Definisjon 7

Dermed den ufullstendige andregradsligningen a x 2 + b x = 0 vil ha to røtter x = 0 Og x = − b a.

La oss forsterke materialet med et eksempel.

Eksempel 5

Det er nødvendig å finne en løsning på ligningen 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Løsning

Vi tar den ut x utenfor parentes får vi ligningen x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Denne ligningen er ekvivalent med ligningene x = 0 og 2 3 x - 2 2 7 = 0. Nå skal du løse den resulterende lineære ligningen: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Skriv kort løsningen til ligningen slik:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 eller 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 eller x = 3 3 7

Svar: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminant, formel for røttene til en andregradsligning

For å finne løsninger på kvadratiske ligninger, er det en rotformel:

Definisjon 8

x = - b ± D 2 · a, hvor D = b 2 − 4 a c– den såkalte diskriminanten til en kvadratisk ligning.

Å skrive x = - b ± D 2 · a betyr i hovedsak at x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Det ville være nyttig å forstå hvordan denne formelen ble utledet og hvordan man bruker den.

Utledning av formelen for røttene til en andregradsligning

La oss stå overfor oppgaven med å løse en andregradsligning a x 2 + b x + c = 0. La oss utføre en rekke tilsvarende transformasjoner:

• del begge sider av ligningen med et tall en, forskjellig fra null, får vi følgende andregradsligning: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• la oss fremheve perfekt firkant på venstre side av den resulterende ligningen:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
  Etter dette vil ligningen ha formen: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Nå er det mulig å overføre de to siste leddene til høyre side, endre tegnet til det motsatte, hvoretter vi får: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Til slutt transformerer vi uttrykket skrevet på høyre side av den siste likheten:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Dermed kommer vi frem til likningen x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , tilsvarende den opprinnelige likningen a x 2 + b x + c = 0.

Vi undersøkte løsningen av slike ligninger i de foregående avsnittene (løsning av ufullstendige kvadratiske ligninger). Erfaringene som allerede er oppnådd gjør det mulig å trekke en konklusjon om røttene til ligningen x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• med b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• når b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, er ligningen x + b 2 · a 2 = 0, så er x + b 2 · a = 0.

Herfra er den eneste roten x = - b 2 · a åpenbar;

• for b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, vil følgende være sant: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 eller x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , som er det samme som x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 eller x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , dvs. ligningen har to røtter.

Det er mulig å konkludere med at tilstedeværelsen eller fraværet av røtter til ligningen x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (og derfor den opprinnelige ligningen) avhenger av tegnet til uttrykket b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 skrevet på høyre side. Og tegnet på dette uttrykket er gitt av tegnet på telleren, (nevner 4 a 2 vil alltid være positiv), det vil si tegnet på uttrykket b 2 − 4 a c. Dette uttrykket b 2 − 4 a c navnet er gitt - diskriminanten til den kvadratiske ligningen og bokstaven D er definert som dens betegnelse. Her kan du skrive ned essensen av diskriminanten - basert på dens verdi og fortegn kan de konkludere om den andregradsligningen vil ha reelle røtter, og i så fall hva er antallet røtter - en eller to.

La oss gå tilbake til likningen x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . La oss omskrive det med diskriminantnotasjon: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

La oss formulere våre konklusjoner igjen:

Definisjon 9

• på D< 0 ligningen har ingen reelle røtter;
• på D=0 ligningen har en enkelt rot x = - b 2 · a ;
• på D > 0 ligningen har to røtter: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 eller x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Basert på egenskapene til radikaler kan disse røttene skrives på formen: x = - b 2 · a + D 2 · a eller - b 2 · a - D 2 · a. Og når vi åpner modulene og bringer brøkene til en fellesnevner, får vi: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Så resultatet av resonnementet vårt var utledningen av formelen for røttene til en kvadratisk ligning:

x = - b + D2a, x = -b - D2a, diskriminant D beregnet med formelen D = b 2 − 4 a c.

Disse formlene gjør det mulig å bestemme begge reelle røtter når diskriminanten er større enn null. Når diskriminanten er null, vil bruk av begge formlene gi samme rot som den eneste løsningen på kvadratisk ligning. I tilfellet hvor diskriminanten er negativ, hvis vi prøver å bruke formelen for roten til en kvadratisk ligning, vil vi stå overfor behovet for å trekke ut Kvadratrot fra et negativt tall, som vil ta oss utover de reelle tallene. Med en negativ diskriminant vil den kvadratiske ligningen ikke ha reelle røtter, men et par komplekse konjugerte røtter er mulig, bestemt av de samme rotformlene vi fikk.

Algoritme for å løse andregradsligninger ved hjelp av rotformler

Det er mulig å løse en andregradsligning ved å umiddelbart bruke rotformelen, men i utgangspunktet gjøres dette når du skal finne komplekse røtter.

I de fleste tilfeller betyr det vanligvis ikke å søke etter komplekse, men etter reelle røtter til en kvadratisk ligning. Da er det optimalt, før du bruker formlene for røttene til en kvadratisk ligning, først å bestemme diskriminanten og sørge for at den ikke er negativ (ellers vil vi konkludere med at ligningen ikke har noen reelle røtter), og deretter fortsette med å beregne verdien av røttene.

Resonnementet ovenfor gjør det mulig å formulere en algoritme for å løse en andregradsligning.

Definisjon 10

For å løse en andregradsligning a x 2 + b x + c = 0, nødvendig:

• i henhold til formelen D = b 2 − 4 a c finne den diskriminerende verdien;
• hos D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• for D = 0, finn den eneste roten av ligningen ved å bruke formelen x = - b 2 · a ;
• for D > 0, bestem to reelle røtter av kvadratisk ligning ved å bruke formelen x = - b ± D 2 · a.

Merk at når diskriminanten er null, kan du bruke formelen x = - b ± D 2 · a, det vil gi samme resultat som formelen x = - b 2 · a.

La oss se på eksempler.

Eksempler på løsning av andregradsligninger

La oss gi løsninger på eksempler for ulike verdier av diskriminanten.

Eksempel 6

Vi må finne røttene til ligningen x 2 + 2 x − 6 = 0.

Løsning

La oss skrive ned de numeriske koeffisientene til den kvadratiske ligningen: a = 1, b = 2 og c = − 6. Deretter fortsetter vi i henhold til algoritmen, dvs. La oss begynne å beregne diskriminanten, som vi vil erstatte koeffisientene a, b Og c inn i diskriminantformelen: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Så vi får D > 0, som betyr at den opprinnelige ligningen vil ha to reelle røtter.
For å finne dem bruker vi rotformelen x = - b ± D 2 · a, og erstatter de tilsvarende verdiene, får vi: x = - 2 ± 28 2 · 1. La oss forenkle det resulterende uttrykket ved å ta faktoren ut av rottegnet og deretter redusere brøken:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 eller x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 eller x = - 1 - 7

Svar: x = - 1 + 7​​​​, x = - 1 - 7 .

Eksempel 7

Må løse en andregradsligning − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Løsning

La oss definere diskriminanten: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Med denne verdien av diskriminanten vil den opprinnelige ligningen bare ha én rot, bestemt av formelen x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Svar: x = 3,5.

Eksempel 8

Ligningen må løses 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Løsning

De numeriske koeffisientene til denne ligningen vil være: a = 5, b = 6 og c = 2. Vi bruker disse verdiene for å finne diskriminanten: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Den beregnede diskriminanten er negativ, så den opprinnelige kvadratiske ligningen har ingen reelle røtter.

I tilfellet når oppgaven er å indikere komplekse røtter, bruker vi rotformelen og utfører handlinger med komplekse tall:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 eller x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i eller x = - 3 5 - 1 5 · i.

Svar: det er ingen reelle røtter; de komplekse røttene er som følger: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

I skolepensum Det er ingen standardkrav for å lete etter komplekse røtter, derfor, hvis diskriminanten under løsningen blir bestemt til å være negativ, blir svaret umiddelbart skrevet ned at det ikke er noen reelle røtter.

Rotformel for selv andre koeffisienter

Rotformelen x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) gjør det mulig å oppnå en annen formel, mer kompakt, slik at man kan finne løsninger på kvadratiske ligninger med en jevn koeffisient for x ( eller med en koeffisient på formen 2 · n, for eksempel 2 3 eller 14 ln 5 = 2 7 ln 5). La oss vise hvordan denne formelen er utledet.

La oss stå overfor oppgaven med å finne en løsning på den kvadratiske ligningen a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Vi fortsetter i henhold til algoritmen: vi bestemmer diskriminanten D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), og bruker deretter rotformelen:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a.

La uttrykket n 2 − a · c betegnes som D 1 (noen ganger er det betegnet D "). Da vil formelen for røttene til den andregradsligningen som vurderes med den andre koeffisienten 2 · n ha formen:

x = - n ± D 1 a, hvor D 1 = n 2 − a · c.

Det er lett å se at D = 4 · D 1, eller D 1 = D 4. D 1 er med andre ord en fjerdedel av diskriminanten. Tydeligvis er tegnet på D 1 det samme som tegnet på D, noe som betyr at tegnet på D 1 også kan tjene som en indikator på tilstedeværelsen eller fraværet av røttene til en kvadratisk ligning.

Definisjon 11

For å finne en løsning på en kvadratisk ligning med en andre koeffisient på 2 n, er det nødvendig:

• finn D 1 = n 2 − a · c ;
• på D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• når D 1 = 0, bestem den eneste roten av ligningen ved å bruke formelen x = - n a;
• for D 1 > 0, bestem to reelle røtter ved å bruke formelen x = - n ± D 1 a.

Eksempel 9

Det er nødvendig å løse den kvadratiske ligningen 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Løsning

Vi kan representere den andre koeffisienten til den gitte ligningen som 2 · (− 3) . Deretter omskriver vi den gitte andregradsligningen til 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, hvor a = 5, n = − 3 og c = − 32.

La oss beregne den fjerde delen av diskriminanten: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Den resulterende verdien er positiv, noe som betyr at ligningen har to reelle røtter. La oss bestemme dem ved å bruke den tilsvarende rotformelen:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 eller x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 eller x = - 2

Det ville være mulig å utføre beregninger ved å bruke den vanlige formelen for røttene til en kvadratisk ligning, men i dette tilfellet vil løsningen være mer tungvint.

Svar: x = 3 1 5 eller x = - 2 .

Forenkle formen til kvadratiske ligninger

Noen ganger er det mulig å optimalisere formen til den opprinnelige ligningen, noe som vil forenkle prosessen med å beregne røttene.

For eksempel er den andregradsligningen 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 klart mer praktisk å løse enn 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Oftere utføres forenkling av formen til en kvadratisk ligning ved å multiplisere eller dele begge sider med et visst tall. For eksempel, ovenfor viste vi en forenklet representasjon av ligningen 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, oppnådd ved å dele begge sider med 100.

En slik transformasjon er mulig når koeffisientene til den kvadratiske ligningen ikke er gjensidig primtall. Da deler vi vanligvis begge sider av ligningen med den største felles divisoren av de absolutte verdiene til koeffisientene.

Som et eksempel bruker vi den andregradsligningen 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. La oss bestemme GCD for de absolutte verdiene til koeffisientene: GCD (12, 42, 48) = GCD(GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. La oss dele begge sider av den opprinnelige andregradsligningen med 6 og få den ekvivalente andregradsligningen 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Ved å multiplisere begge sider av en andregradsligning, blir du vanligvis kvitt brøkkoeffisienter. I dette tilfellet multipliserer de med det minste felles multiplum av nevnerne til koeffisientene. For eksempel, hvis hver del av andregradsligningen 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 multipliseres med LCM (6, 3, 1) = 6, vil den bli skrevet i mer i enkel form x 2 + 4 x − 18 = 0 .

Til slutt legger vi merke til at vi nesten alltid kvitter oss med minus ved den første koeffisienten til en kvadratisk ligning ved å endre tegnene til hvert ledd i ligningen, som oppnås ved å multiplisere (eller dividere) begge sider med − 1. For eksempel, fra den andregradsligningen − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, kan du gå til dens forenklede versjon 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Sammenheng mellom røtter og koeffisienter

Formelen for røttene til kvadratiske ligninger, allerede kjent for oss, x = - b ± D 2 · a, uttrykker røttene til ligningen gjennom dens numeriske koeffisienter. Basert på denne formelen har vi mulighet til å spesifisere andre avhengigheter mellom røttene og koeffisientene.

De mest kjente og anvendelige formlene er Vietas teorem:

x 1 + x 2 = - b a og x 2 = c a.

Spesielt for den gitte kvadratiske ligningen er summen av røttene den andre koeffisienten med motsatt fortegn, og produktet av røttene er lik frileddet. For eksempel, ved å se på formen til kvadratisk ligning 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, er det mulig å umiddelbart bestemme at summen av røttene er 7 3 og produktet av røttene er 22 3.

Du kan også finne en rekke andre sammenhenger mellom røttene og koeffisientene til en kvadratisk ligning. For eksempel kan summen av kvadratene til røttene til en kvadratisk ligning uttrykkes i termer av koeffisienter:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Kopyevskaya landlige ungdomsskole

10 måter å løse kvadratiske ligninger på

Leder: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

matematikklærer

landsbyen Kopevo, 2007

1. Historie om utviklingen av andregradsligninger

1.1 Kvadratiske ligninger i det gamle Babylon

1.2 Hvordan Diophantus komponerte og løste andregradsligninger

1.3 Kvadratiske ligninger i India

1.4 Kvadratiske ligninger av al-Khorezmi

1.5 Kvadratiske ligninger i Europa XIII - XVII århundrer

1.6 Om Vietas teorem

2. Metoder for å løse andregradsligninger

Konklusjon

Litteratur

1. Historie om utviklingen av andregradsligninger

1.1 Kvadratiske ligninger i det gamle Babylon

Behovet for å løse ligninger ikke bare av første, men også av andre grad i antikken var forårsaket av behovet for å løse problemer knyttet til å finne områder tomter og med jordarbeider av militær karakter, samt med utviklingen av astronomi og matematikk selv. Kvadratiske ligninger kunne løses rundt 2000 f.Kr. e. babylonere.

Ved å bruke moderne algebraisk notasjon kan vi si at i deres kileskrifttekster er det, i tillegg til ufullstendige, slike for eksempel komplette kvadratiske ligninger:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Regelen for å løse disse ligningene, som er angitt i de babylonske tekstene, er i hovedsak sammenfallende med den moderne, men det er ikke kjent hvordan babylonerne kom frem til denne regelen. Nesten alle kileskriftstekster som er funnet så langt gir kun problemer med løsninger lagt opp i form av oppskrifter, uten indikasjon på hvordan de ble funnet.

På tross av høy level utvikling av algebra i Babylon, mangler kileskrifttekstene begrepet et negativt tall og generelle metoder løse andregradsligninger.

1.2 Hvordan Diophantus komponerte og løste andregradsligninger.

Diophantus' Aritmetikk inneholder ikke en systematisk presentasjon av algebra, men den inneholder en systematisk rekke problemer, ledsaget av forklaringer og løst ved å konstruere ligninger av ulike grader.

Når du komponerer ligninger, velger Diophantus dyktig ukjente for å forenkle løsningen.

Her er for eksempel en av oppgavene hans.

Oppgave 11."Finn to tall, vel vitende om at summen deres er 20 og produktet deres er 96"

Diophantus begrunner som følger: fra betingelsene for problemet følger det at de nødvendige tallene ikke er like, siden hvis de var like, ville deres produkt ikke være lik 96, men til 100. Dermed vil en av dem være mer enn halvparten av summen deres, dvs. 10 + x, den andre er mindre, dvs. 10-tallet. Forskjellen mellom dem 2x .

Derav ligningen:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Herfra x = 2. Ett av de nødvendige tallene er lik 12 , annet 8 . Løsning x = -2 for Diophantus eksisterer ikke, siden gresk matematikk bare kjente positive tall.

Hvis vi løser dette problemet ved å velge et av de nødvendige tallene som det ukjente, vil vi komme til en løsning på ligningen

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Det er klart at ved å velge halvforskjellen til de nødvendige tallene som det ukjente, forenkler Diophantus løsningen; han klarer å redusere problemet til å løse en ufullstendig andregradsligning (1).

1.3 Kvadratiske ligninger i India

Problemer med kvadratiske ligninger finnes allerede i den astronomiske avhandlingen "Aryabhattiam", kompilert i 499 av den indiske matematikeren og astronomen Aryabhatta. En annen indisk vitenskapsmann, Brahmagupta (7. århundre), skisserte generell regel løsninger av kvadratiske ligninger redusert til en enkelt kanonisk form:

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

I ligning (1), koeffisientene, unntatt EN, kan også være negativ. Brahmaguptas styre er i hovedsak det samme som vårt.

I Det gamle India Offentlige konkurranser om å løse vanskelige problemer var vanlig. En av de gamle indiske bøkene sier følgende om slike konkurranser: «Som solen formørker stjernene med sin glans, så lærd mann overskygge en annens herlighet i populære forsamlinger ved å foreslå og løse algebraiske problemer.» Problemer ble ofte presentert i poetisk form.

Dette er et av problemene til den berømte indiske matematikeren på 1100-tallet. Bhaskars.

Oppgave 13.

"En flokk med sprø aper og tolv langs vinrankene ...

Etter å ha spist hadde myndighetene det gøy. De begynte å hoppe, henge...

Det er dem på torget, del 8. Hvor mange aper var det?

Jeg koste meg i lysningen. Fortell meg, i denne pakken?

Bhaskaras løsning indikerer at han visste at røttene til kvadratiske ligninger er toverdier (fig. 3).

Ligningen som tilsvarer oppgave 13 er:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara skriver under dekke:

x 2 - 64x = -768

og for å fullføre venstre side av denne ligningen til kvadrat, legger du til begge sider 32 2 , så får du:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Kvadratiske ligninger i al - Khorezmi

I den algebraiske avhandlingen til al-Khorezmi er det gitt en klassifisering av lineære og kvadratiske ligninger. Forfatteren teller 6 typer ligninger, og uttrykker dem som følger:

1) «Kvadrater er lik røtter», dvs. akse 2 + c = b X.

2) «Kvadrater er lik tall», dvs. øks 2 = c.

3) «Røttene er lik tallet», dvs. ah = s.

4) «Kvadrater og tall er lik røtter», dvs. akse 2 + c = b X.

5) «Kvadrater og røtter er lik tall», dvs. ah 2+ bx = s.

6) «Røtter og tall er lik kvadrater», dvs. bx + c = akse 2.

For al-Khorezmi, som unngikk forbruk negative tall, vilkårene for hver av disse ligningene er addisjoner, ikke subtraherbare. I dette tilfellet er det åpenbart ikke tatt hensyn til ligninger som ikke har positive løsninger. Forfatteren angir metoder for å løse disse ligningene ved å bruke teknikkene til al-jabr og al-muqabala. Hans avgjørelser er selvsagt ikke helt sammenfallende med våre. For ikke å nevne at det er rent retorisk, bør det for eksempel bemerkes at når man løser en ufullstendig andregradsligning av den første typen

al-Khorezmi, som alle matematikere før 1600-tallet, tar ikke hensyn til nullløsningen, sannsynligvis fordi det i spesifikke praktiske problemer ikke spiller noen rolle. Når du løser komplette kvadratiske ligninger, angir al-Khorezmi reglene for å løse dem ved å bruke spesielle numeriske eksempler, og deretter geometriske bevis.

Oppgave 14.«Kvadraten og tallet 21 er lik 10 røtter. Finn roten" (antyder roten av ligningen x 2 + 21 = 10x).

Forfatterens løsning er omtrent slik: del antall røtter i to, du får 5, gang 5 med seg selv, trekk 21 fra produktet, det som gjenstår er 4. Ta roten fra 4, du får 2. Trekk fra 2 fra 5 , får du 3, dette vil være ønsket rot. Eller legg til 2 til 5, som gir 7, dette er også en rot.

Avhandlingen om al-Khorezmi er den første boken som har kommet ned til oss, som systematisk setter opp klassifiseringen av kvadratiske ligninger og gir formler for løsningen deres.

1.5 Kvadratiske ligninger i Europa XIII - XVII bb

Formler for å løse kvadratiske ligninger på linje med al-Khwarizmi i Europa ble først satt frem i Abacus-boken, skrevet i 1202 av den italienske matematikeren Leonardo Fibonacci. Dette omfangsrike arbeidet, som gjenspeiler påvirkningen av matematikk, både islamske land og Antikkens Hellas, kjennetegnes ved både fullstendighet og klarhet i presentasjonen. Forfatteren utviklet uavhengig noen nye algebraiske eksempler løse problemer og var den første i Europa som innførte negative tall. Boken hans bidro til spredningen av algebraisk kunnskap ikke bare i Italia, men også i Tyskland, Frankrike og andre europeiske land. Mange problemer fra Abacus-boken ble brukt i nesten alle europeiske lærebøker på 1500- og 1600-tallet. og delvis XVIII.

Den generelle regelen for å løse kvadratiske ligninger redusert til en enkelt kanonisk form:

x 2 + bx = c,

for alle mulige kombinasjoner av koeffisienttegn b , Med ble formulert i Europa først i 1544 av M. Stiefel.

Avledningen av formelen for å løse en kvadratisk ligning i generell form er tilgjengelig fra Vieth, men Vieth gjenkjente bare positive røtter. Italienske matematikere Tartaglia, Cardano, Bombelli var blant de første på 1500-tallet. De tar hensyn, i tillegg til det positive, og negative røtter. Først på 1600-tallet. Takket være arbeidet til Girard, Descartes, Newton og andre forskere, får metoden for å løse kvadratiske ligninger en moderne form.

1.6 Om Vietas teorem

Teoremet som uttrykker forholdet mellom koeffisientene til en kvadratisk ligning og dens røtter, oppkalt etter Vieta, ble formulert av ham for første gang i 1591 som følger: "Hvis B + D, ganget med EN - EN 2 , er lik BD, Det EN er lik I og likeverdig D ».

For å forstå Vieta, bør vi huske det EN, som enhver vokalbokstav, betydde det ukjente (vår X), vokaler I, D- koeffisienter for det ukjente. På språket til moderne algebra betyr Vieta-formuleringen ovenfor: hvis det finnes

(et + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Uttrykke forholdet mellom røttene og koeffisientene til ligningene generelle formler skrevet ved hjelp av symboler, etablerte Viet enhetlighet i metodene for å løse ligninger. Men symbolikken til Viet er fortsatt langt fra moderne utseende. Han gjenkjente ikke negative tall, og derfor vurderte han, når han løste ligninger, bare tilfeller der alle røttene var positive.

2. Metoder for å løse andregradsligninger

Kvadratiske ligninger er grunnlaget som det majestetiske byggverket til algebra hviler på. Kvadratiske ligninger er funnet bred applikasjon ved løsning av trigonometriske, eksponentielle, logaritmiske, irrasjonelle og transcendentale ligninger og ulikheter. Vi vet alle hvordan vi løser andregradsligninger fra skolen (8. klasse) til eksamen.

Formens ligning

Uttrykk D= b 2 - 4 ac kalt diskriminerende kvadratisk ligning. HvisD = 0, så har ligningen én reell rot; hvis D> 0, så har ligningen to reelle røtter.
I tilfelle D = 0 , sies det noen ganger at en andregradsligning har to identiske røtter.
Bruke notasjonen D= b 2 - 4 ac, kan vi omskrive formel (2) i skjemaet

Hvis b= 2k, så har formel (2) formen:

Hvor k= b / 2 .
Sistnevnte formel er spesielt praktisk i tilfeller hvor b / 2 - et heltall, dvs. koeffisient b- partall.
Eksempel 1: Løs ligningen 2 x 2 - 5 x + 2 = 0 . Her a = 2, b = -5, c = 2. Vi har D= b 2 - 4 ac = (-5) 2- 4*2*2 = 9 . Fordi D > 0 , så har ligningen to røtter. La oss finne dem ved hjelp av formel (2)

Så x 1 =(5 + 3) / 4 = 2, x 2 =(5 - 3) / 4 = 1 / 2 ,
det er x 1 = 2 Og x 2 = 1 / 2 - røttene til en gitt ligning.
Eksempel 2: Løs ligningen 2 x 2 - 3 x + 5 = 0 . Her a = 2, b = -3, c = 5. Finne diskriminanten D= b 2 - 4 ac = (-3) 2- 4*2*5 = -31 . Fordi D 0 , så har ligningen ingen reelle røtter.

Ufullstendige andregradsligninger. Hvis i en andregradsligning øks 2 +bx+c =0 andre koeffisient b eller gratis medlem c er lik null, kalles andregradsligningen ufullstendig. Ufullstendige ligninger er isolert fordi for å finne røttene deres trenger du ikke å bruke formelen for røttene til en kvadratisk ligning - det er lettere å løse ligningen ved å faktorisere venstre side.
Eksempel 1: løse ligningen 2 x 2 - 5 x = 0 .
Vi har x(2 x - 5) = 0 . Så heller x = 0 , eller 2 x - 5 = 0 , det er x = 2.5 . Så ligningen har to røtter: 0 Og 2.5
Eksempel 2: løse ligningen 3 x 2 - 27 = 0 .
Vi har 3 x 2 = 27 . Derfor er røttene til denne ligningen 3 Og -3 .

Vietas teorem. Hvis den reduserte andregradsligningen x 2 +px+q =0 har reelle røtter, så er summen deres lik - s, og produktet er likt q, det er

x 1 + x 2 = -p,
x 1 x 2 = q

(summen av røttene til den ovennevnte kvadratiske ligningen er lik den andre koeffisienten tatt med motsatt fortegn, og produktet av røttene er lik frileddet).

Etter å ha fått en generell ide om likheter, og etter å ha blitt kjent med en av deres typer - numeriske likheter, kan du begynne å snakke om en annen type likheter som er veldig viktig fra et praktisk synspunkt - ligninger. I denne artikkelen skal vi se på hva er en ligning, og det som kalles roten til ligningen. Her vil vi gi de tilsvarende definisjonene, samt gi ulike eksempler på ligninger og deres røtter.

Sidenavigering.

Hva er en ligning?

Målrettet innføring i likninger starter vanligvis i matematikktimene i 2. klasse. På dette tidspunktet er følgende gitt definisjon av ligning:

Definisjon.

Ligningen er en likhet som inneholder et ukjent tall som må finnes.

Ukjente tall i ligninger er vanligvis betegnet med små tall. latinske bokstaver, for eksempel p, t, u osv., men de mest brukte bokstavene er x, y og z.

Dermed er ligningen bestemt ut fra skriveformens synspunkt. Med andre ord, likhet er en ligning når den følger de angitte skrivereglene - den inneholder en bokstav hvis verdi må finnes.

La oss gi eksempler på de aller første og enkleste ligningene. La oss starte med ligninger på formen x=8, y=3, osv. Ligninger som inneholder aritmetiske tegn sammen med tall og bokstaver ser litt mer kompliserte ut, for eksempel x+2=3, z−2=5, 3 t=9, 8:x=2.

Variasjonen av ligninger vokser etter å ha blitt kjent med - ligninger med parentes begynner å dukke opp, for eksempel 2·(x−1)=18 og x+3·(x+2·(x−2))=3. En ukjent bokstav i en ligning kan dukke opp flere ganger, for eksempel x+3+3·x−2−x=9, også bokstaver kan være på venstre side av ligningen, på høyre side av ligningen, eller på begge sider av ligningen. ligningen, for eksempel x· (3+1)−4=8, 7−3=z+1 eller 3·x−4=2·(x+12) .

Videre etter studier naturlige tall bekjentskap med heltall, rasjonelle, reelle tall oppstår, nye matematiske objekter studeres: potenser, røtter, logaritmer, etc., mens flere og flere nye ligningstyper som inneholder disse tingene dukker opp. Eksempler på dem kan sees i artikkelen grunnleggende typer ligninger studerer på skolen.

I 7. klasse, sammen med bokstaver, som betyr noen spesifikke tall, begynner de å vurdere bokstaver som kan ta forskjellige betydninger, kalles de variabler (se artikkel). Samtidig blir ordet "variabel" introdusert i definisjonen av ligningen, og det blir slik:

Definisjon.

Ligning kalt en likhet som inneholder en variabel hvis verdi må finnes.

For eksempel er likningen x+3=6·x+7 en likning med variabelen x, og 3·z−1+z=0 er en likning med variabelen z.

Under algebratimer i samme 7. klasse møter vi ligninger som inneholder ikke én, men to forskjellige ukjente variabler. De kalles ligninger i to variabler. I fremtiden er tilstedeværelsen av tre eller flere variabler i ligningene tillatt.

Definisjon.

Ligninger med en, to, tre osv. variabler– dette er ligninger som inneholder henholdsvis en, to, tre, ... ukjente variabler.

For eksempel er ligningen 3,2 x+0,5=1 en ligning med én variabel x, i sin tur er en ligning av formen x−y=3 en ligning med to variable x og y. Og ett eksempel til: x 2 +(y−1) 2 +(z+0,5) 2 =27. Det er klart at en slik likning er en likning med tre ukjente variabler x, y og z.

Hva er roten til en ligning?

Definisjonen av en ligning er direkte relatert til definisjonen av roten til denne ligningen. La oss gjennomføre noen resonnementer som vil hjelpe oss å forstå hva roten til ligningen er.

La oss si at vi har en ligning med én bokstav (variabel). Hvis i stedet for en bokstav inkludert i oppføringen av denne ligningen, erstattes et visst tall, blir ligningen til en numerisk likhet. Dessuten kan den resulterende likheten være enten sann eller usann. For eksempel, hvis du erstatter tallet 2 i stedet for bokstaven a i ligningen a+1=5, vil du få feil numerisk likhet 2+1=5. Hvis vi erstatter tallet 4 i stedet for a i denne ligningen, får vi riktig likhet 4+1=5.

I praksis, i det overveldende flertallet av tilfeller, er interessen i de verdiene av variabelen hvis substitusjon i ligningen gir riktig likhet; disse verdiene kalles røtter eller løsninger av denne ligningen.

Definisjon.

Roten til ligningen- dette er verdien av bokstaven (variabelen), ved substitusjon som ligningen blir til en korrekt numerisk likhet.

Merk at roten til en ligning i en variabel også kalles løsningen av ligningen. Med andre ord er løsningen til en ligning og roten til ligningen det samme.

La oss forklare denne definisjonen med et eksempel. For å gjøre dette, la oss gå tilbake til ligningen skrevet over a+1=5. I følge den angitte definisjonen av roten til en ligning, er tallet 4 roten til denne ligningen, siden når vi erstatter dette tallet i stedet for bokstaven a får vi den korrekte likheten 4+1=5, og tallet 2 er ikke dets rot, siden det tilsvarer en ukorrekt likhet på formen 2+1= 5 .

På dette tidspunktet dukker det opp en rekke naturlige spørsmål: "Har en likning en rot, og hvor mange røtter har en gitt likning?" Vi vil svare på dem.

Det er både ligninger som har røtter og ligninger som ikke har røtter. For eksempel har ligningen x+1=5 rot 4, men ligningen 0 x=5 har ingen røtter, siden uansett hvilket tall vi erstatter i denne ligningen i stedet for variabelen x, vil vi få den feilaktige likheten 0=5 .

Når det gjelder antall røtter til en ligning, er det både ligninger som har et visst begrenset antall røtter (en, to, tre osv.) og ligninger som har et uendelig antall røtter. For eksempel har likningen x−2=4 en enkelt rot 6, røttene til likningen x 2 =9 er to tall −3 og 3, likningen x·(x−1)·(x−2)=0 har tre røtter 0, 1 og 2, og løsningen til likningen x=x er et hvilket som helst tall, det vil si at det har et uendelig antall røtter.

Noen få ord bør sies om den aksepterte notasjonen for røttene til ligningen. Hvis en ligning ikke har røtter, skriver de vanligvis "ligningen har ingen røtter", eller bruker det tomme setttegnet ∅. Hvis ligningen har røtter, skrives de atskilt med komma, eller skrevet som elementer i settet i krøllete parentes. For eksempel, hvis røttene til ligningen er tallene −1, 2 og 4, så skriv −1, 2, 4 eller (−1, 2, 4). Det er også tillatt å skrive ned røttene til ligningen i form av enkle likheter. For eksempel, hvis ligningen inkluderer bokstaven x, og røttene til denne ligningen er tallene 3 og 5, kan du skrive x=3, x=5, og subscripts x 1 =3, x 2 =5 legges ofte til til variabelen, som om den angir tallrøttene til ligningen. Et uendelig sett med røtter til en ligning skrives vanligvis i formen; hvis mulig, brukes også notasjonen for sett med naturlige tall N, heltall Z og reelle tall R. For eksempel, hvis roten av en likning med variabel x er et hvilket som helst heltall, skriv , og hvis røttene til en likning med variabel y er et hvilket som helst reelt tall fra 1 til 9 inklusive, skriv .

For ligninger med to, tre og stort beløp variabler, som regel brukes ikke begrepet "roten av ligningen"; i disse tilfellene sier de "løsning av ligningen". Hva kalles å løse ligninger med flere variabler? La oss gi den tilsvarende definisjonen.

Definisjon.

Løse en ligning med to, tre osv. variabler kalt et par, tre osv. verdiene til variablene, og gjør denne ligningen til en korrekt numerisk likhet.

La oss vise forklarende eksempler. Tenk på en likning med to variabler x+y=7. La oss erstatte tallet 1 i stedet for x, og tallet 2 i stedet for y, og vi har likheten 1+2=7. Det er åpenbart feil, derfor er verdiparet x=1, y=2 ikke en løsning på den skrevne ligningen. Hvis vi tar et verdipar x=4, y=3, vil vi etter substitusjon inn i ligningen komme frem til den korrekte likheten 4+3=7, derfor er dette paret med variabelverdier, per definisjon, en løsning til ligningen x+y=7.

Ligninger med flere variabler, som ligninger med én variabel, kan ha ingen røtter, kan ha et endelig antall røtter, eller kan ha et uendelig antall røtter.

Par, trillinger, firdobler osv. Verdiene til variabler er ofte skrevet kort, og viser verdiene deres atskilt med komma i parentes. I dette tilfellet tilsvarer tallene skrevet i parentes variablene i alfabetisk rekkefølge. La oss avklare dette punktet ved å gå tilbake til forrige ligning x+y=7. Løsningen til denne ligningen x=4, y=3 kan kort skrives som (4, 3).

Den største oppmerksomheten i skolekurs matematikk, algebra og begynnelsen av analyse er viet til å finne røttene til ligninger i én variabel. Vi vil diskutere reglene for denne prosessen i detalj i artikkelen. løse ligninger.

Bibliografi.

• Matematikk. 2 klasser Lærebok for allmennutdanning institusjoner med adj. per elektron transportør. Klokken 14. Del 1 / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova, etc.] - 3. utg. - M.: Utdanning, 2012. - 96 s.: ill. - (Russlands skole). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Algebra: lærebok for 7. klasse allmennutdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigert av S. A. Telyakovsky. - 17. utg. - M.: Utdanning, 2008. - 240 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: 9. klasse: lærerikt. for allmennutdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigert av S. A. Telyakovsky. - 16. utg. - M.: Utdanning, 2009. - 271 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-021134-5.