Продолжуваме да ја проучуваме темата “ решавање равенки" Веќе се запознавме со линеарни равенки и продолжуваме кон запознавање квадратни равенки.

Прво ќе погледнеме што е квадратна равенка и како е напишана општ поглед, и дајте сродни дефиниции. После ова, ќе користиме примери за детално да испитаме како се решаваат нецелосните квадратни равенки. Следно, да продолжиме со решавање на целосни равенки, да ја добиеме коренската формула и да се запознаеме со дискриминантот квадратна равенкаи разгледајте решенија за типични примери. Конечно, да ги следиме врските помеѓу корените и коефициентите.

Навигација на страницата.

Што е квадратна равенка? Нивните типови

Прво треба јасно да разберете што е квадратна равенка. Затоа, логично е да се започне разговор за квадратни равенки со дефиниција на квадратна равенка, како и сродни дефиниции. По ова, можете да ги разгледате главните типови квадратни равенки: намалени и ненамалени, како и целосни и нецелосни равенки.

Дефиниција и примери на квадратни равенки

Дефиниција.

Квадратна равенкае равенка на формата a x 2 +b x+c=0, каде што x е променлива, a, b и c се некои броеви, а a е не-нула.

Веднаш да кажеме дека квадратните равенки често се нарекуваат равенки од втор степен. Ова се должи на фактот дека квадратната равенка е алгебарска равенкавтор степен.

Наведената дефиниција ни овозможува да дадеме примери на квадратни равенки. Значи 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, итн. Ова се квадратни равенки.

Дефиниција.

Броеви а, б и в се нарекуваат коефициенти на квадратната равенка a·x 2 +b·x+c=0, а коефициентот a се нарекува прв, или највисок, или коефициент од x 2, b е вториот коефициент, или коефициентот на x, а c е слободен член .

На пример, да земеме квадратна равенка од формата 5 x 2 −2 x −3=0, овде водечкиот коефициент е 5, вториот коефициент е еднаков на −2, а слободниот член е еднаков на −3. Забележете дека кога коефициентите b и/или c се негативни, како во штотуку дадениот пример, тогаш Кратка формапишување квадратна равенка од формата 5 x 2 −2 x−3=0, а не 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0.

Вреди да се напомене дека кога коефициентите a и/или b се еднакви на 1 или −1, тогаш тие обично не се експлицитно присутни во квадратната равенка, што се должи на особеностите на пишување на таквите. На пример, во квадратната равенка y 2 −y+3=0 водечкиот коефициент е еден, а коефициентот на y е еднаков на −1.

Намалени и ненамалени квадратни равенки

Во зависност од вредноста на водечкиот коефициент, се разликуваат намалени и ненамалени квадратни равенки. Да ги дадеме соодветните дефиниции.

Дефиниција.

Се нарекува квадратна равенка во која водечкиот коефициент е 1 дадена квадратна равенка. Инаку квадратната равенка е недопрена.

Според оваа дефиниција, квадратни равенки x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 итн. – дадено, во секој од нив првиот коефициент е еднаков на еден. A 5 x 2 −x−1=0, итн. - ненамалени квадратни равенки, нивните водечки коефициенти се различни од 1.

Од секоја ненамалена квадратна равенка, со делење на двете страни со водечкиот коефициент, можете да отидете на намалениот. Ова дејство е еквивалентна трансформација, односно намалената квадратна равенка добиена на овој начин ги има истите корени како и првобитната нередуцирана квадратна равенка или, како неа, нема корени.

Да погледнеме пример како се врши преминот од ненамалена квадратна равенка во намалена.

Пример.

Од равенката 3 x 2 +12 x−7=0 се оди на соодветната намалена квадратна равенка.

Решение.

Треба само да ги поделиме двете страни на првобитната равенка со водечкиот коефициент 3, тој не е нула, за да можеме да ја извршиме оваа акција. Имаме (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, што е исто, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, а потоа (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, од ​​каде . Така ја добивме редуцираната квадратна равенка која е еквивалентна на првобитната.

Одговор:

Целосни и нецелосни квадратни равенки

Дефиницијата за квадратна равенка го содржи условот a≠0. Овој услов е неопходен така што равенката a x 2 + b x + c = 0 е квадратна, бидејќи кога a = 0 таа всушност станува линеарна равенка од формата b x + c = 0.

Што се однесува до коефициентите b и c, тие можат да бидат еднакви на нула, и поединечно и заедно. Во овие случаи, квадратната равенка се нарекува нецелосна.

Дефиниција.

Се нарекува квадратната равенка a x 2 +b x+c=0 нецелосни, ако барем еден од коефициентите b, c е еднаков на нула.

За возврат

Дефиниција.

Целосна квадратна равенкае равенка во која сите коефициенти се различни од нула.

Ваквите имиња не биле случајно дадени. Ова ќе стане јасно од следните дискусии.

Ако коефициентот b е нула, тогаш квадратната равенка добива форма a·x 2 +0·x+c=0, и е еквивалентна на равенката a·x 2 +c=0. Ако c=0, односно квадратната равенка има форма a·x 2 +b·x+0=0, тогаш може да се препише како a·x 2 +b·x=0. И со b=0 и c=0 ја добиваме квадратната равенка a·x 2 =0. Добиените равенки се разликуваат од целосната квадратна равенка по тоа што нивните леви страни не содржат ниту член со променливата x, ниту слободен член, ниту и двете. Оттука и нивното име - нецелосни квадратни равенки.

Значи равенките x 2 +x+1=0 и −2 x 2 −5 x+0,2=0 се примери за целосни квадратни равенки, и x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 се нецелосни квадратни равенки.

Решавање на нецелосни квадратни равенки

Од информациите во претходниот став произлегува дека постои три вида нецелосни квадратни равенки:

• a·x 2 =0, на него одговараат коефициентите b=0 и c=0;
• a x 2 +c=0 кога b=0 ;
• и a·x 2 +b·x=0 кога c=0.

Да испитаме по ред како се решени нецелосните квадратни равенки на секој од овие типови.

a x 2 =0

Да почнеме со решавање на нецелосни квадратни равенки во кои коефициентите b и c се еднакви на нула, односно со равенки од формата a x 2 =0. Равенката a·x 2 =0 е еквивалентна на равенката x 2 =0, која се добива од оригиналот со делење на двата дела со ненула број a. Очигледно, коренот на равенката x 2 =0 е нула, бидејќи 0 2 =0. Оваа равенка нема други корени, што се објаснува со фактот дека за секој ненулти број p важи неравенката p 2 >0, што значи дека за p≠0 никогаш не се постигнува еднаквоста p 2 =0.

Значи, нецелосната квадратна равенка a·x 2 =0 има еден корен x=0.

Како пример, го даваме решението на нецелосната квадратна равенка −4 x 2 =0. Тоа е еквивалентно на равенката x 2 =0, нејзиниот единствен корен е x=0, затоа, првобитната равенка има единствен корен нула.

Кратко решение во овој случај може да се напише на следниов начин:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Сега да погледнеме како се решаваат нецелосни квадратни равенки во кои коефициентот b е нула и c≠0, односно равенки од формата a x 2 +c=0. Знаеме дека преместувањето на член од едната страна на равенката на другата со спротивен знак, како и делењето на двете страни на равенката со број што не е нула, дава еквивалентна равенка. Затоа, можеме да ги извршиме следните еквивалентни трансформации на нецелосната квадратна равенка a x 2 +c=0:

• поместете го c на десната страна, што ја дава равенката a x 2 =−c,
• и поделете ги двете страни со a, добиваме .

Добиената равенка ни овозможува да извлечеме заклучоци за нејзините корени. Во зависност од вредностите на a и c, вредноста на изразот може да биде негативна (на пример, ако a=1 и c=2, тогаш ) или позитивна (на пример, ако a=−2 и c=6, тогаш ), не е нула, бидејќи по услов c≠0. Ајде да ги разгледаме случаите одделно.

Ако , тогаш равенката нема корени. Оваа изјава произлегува од фактот дека квадратот на кој било број е ненегативен број. Од ова произлегува дека кога , тогаш за кој било број p еднаквоста не може да биде вистина.

Ако , тогаш ситуацијата со корените на равенката е различна. Во овој случај, ако се сетиме за , тогаш коренот на равенката веднаш станува очигледен; тоа е бројот, бидејќи . Лесно е да се погоди дека бројот е исто така коренот на равенката, навистина, . Оваа равенка нема други корени, што може да се покаже, на пример, со контрадикција. Ајде да го направиме тоа.

Да ги означиме корените на равенката штотуку објавена како x 1 и −x 1 . Да претпоставиме дека равенката има уште еден корен x 2, различен од наведените корени x 1 и −x 1. Познато е дека заменувањето на неговите корени во равенка наместо x ја претвора равенката во правилна нумеричка еднаквост. За x 1 и −x 1 имаме , а за x 2 имаме . Својствата на нумеричките еднаквости ни овозможуваат да извршиме одземање по член на точни нумерички равенства, па со одземање на соодветните делови од равенствата се добива x 1 2 −x 2 2 =0. Својствата на операциите со броеви ни овозможуваат да ја преработиме добиената еднаквост како (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Знаеме дека производот на два броја е еднаков на нула ако и само ако барем еден од нив е еднаков на нула. Според тоа, од добиената еднаквост следува дека x 1 −x 2 =0 и/или x 1 +x 2 =0, што е исто, x 2 =x 1 и/или x 2 =−x 1. Така, дојдовме до контрадикција, бидејќи на почетокот рековме дека коренот на равенката x 2 е различен од x 1 и −x 1. Ова докажува дека равенката нема други корени освен и .

Дозволете ни да ги сумираме информациите во овој пасус. Нецелосната квадратна равенка a x 2 +c=0 е еквивалентна на равенката која

• нема корени ако,
• има два корени и ако .

Да разгледаме примери за решавање на нецелосни квадратни равенки од формата a·x 2 +c=0.

Да почнеме со квадратната равенка 9 x 2 +7=0. По поместување на слободниот член на десната страна од равенката, тој ќе добие форма 9 x 2 =−7. Поделувајќи ги двете страни на добиената равенка со 9, доаѓаме до. Бидејќи на десната страна испадна негативен број, тогаш оваа равенка нема корени, затоа, првобитната нецелосна квадратна равенка 9 x 2 +7=0 нема корени.

Да решиме уште една нецелосна квадратна равенка −x 2 +9=0. Ја поместуваме деветката на десната страна: −x 2 =−9. Сега ги делиме двете страни со −1, добиваме x 2 =9. На десната страна е позитивен број, од што заклучуваме дека или . Потоа го запишуваме конечниот одговор: нецелосната квадратна равенка −x 2 +9=0 има два корени x=3 или x=−3.

a x 2 +b x=0

Останува да го дознаеме решението последен типнецелосни квадратни равенки за c=0. Нецелосните квадратни равенки од формата a x 2 + b x = 0 ви овозможуваат да решите метод на факторизација. Очигледно, можеме, сместени на левата страна на равенката, за што е доволно да го извадиме заедничкиот фактор x од заградите. Ова ни овозможува да преминеме од првобитната нецелосна квадратна равенка на еквивалентна равенка од формата x·(a·x+b)=0. И оваа равенка е еквивалентна на множество од две равенки x=0 и a·x+b=0, од ​​кои последната е линеарна и има корен x=−b/a.

Значи, нецелосната квадратна равенка a·x 2 +b·x=0 има два корени x=0 и x=−b/a.

За да го консолидираме материјалот, ќе го анализираме решението на конкретен пример.

Пример.

Решете ја равенката.

Решение.

Со вадење на x од загради се добива равенката . Тоа е еквивалентно на две равенки x=0 и . Решавање на она што го добивме линеарна равенка: , и делење на мешаниот број со заедничка дропка, ние најдовме . Според тоа, корените на првобитната равенка се x=0 и .

По стекнувањето на потребната пракса, решенијата на ваквите равенки може да се напишат накратко:

Одговор:

x=0,.

Дискриминантна, формула за корени на квадратна равенка

За решавање на квадратни равенки, постои коренска формула. Ајде да го запишеме формула за корени на квадратна равенка: , Каде D=b 2 −4 a c- т.н дискриминатор на квадратна равенка. Влезот во суштина значи дека .

Корисно е да се знае како е изведена коренската формула и како се користи за наоѓање на корените на квадратните равенки. Ајде да го сфатиме ова.

Изведување на формулата за корените на квадратна равенка

Дозволете ни да ја решиме квадратната равенка a·x 2 +b·x+c=0. Ајде да извршиме некои еквивалентни трансформации:

• Можеме да ги поделиме двете страни на оваа равенка со ненула број a, што ќе резултира со следната квадратна равенка.
• Сега изберете целосен квадратна неговата лева страна: . По ова, равенката ќе добие форма.
• Во оваа фаза, можно е да ги пренесеме последните два члена на десната страна со спротивен знак, имаме .
• И да го трансформираме изразот на десната страна: .

Како резултат на тоа, доаѓаме до равенка која е еквивалентна на првобитната квадратна равенка a·x 2 +b·x+c=0.

Ние веќе решивме равенки слични по форма во претходните ставови, кога испитувавме. Ова ни овозможува да ги извлечеме следните заклучоци во врска со корените на равенката:

• ако , тогаш равенката нема реални решенија;
• ако , тогаш равенката ја има формата, значи, , од која е видлив нејзиниот единствен корен;
• ако , тогаш или , што е исто како или , односно равенката има два корени.

Така, присуството или отсуството на корените на равенката, а со тоа и на првобитната квадратна равенка, зависи од знакот на изразот на десната страна. За возврат, знакот на овој израз се одредува со знакот на броителот, бидејќи именителот 4·a 2 е секогаш позитивен, односно со знакот на изразот b 2 −4·a·c. Овој израз b 2 −4 a c беше наречен дискриминатор на квадратна равенкаи означени со писмото Д. Оттука е јасна суштината на дискриминаторот - врз основа на неговата вредност и знак, заклучуваат дали квадратната равенка има вистински корени, и ако има, колкав е нивниот број - еден или два.

Да се ​​вратиме на равенката и да ја преработиме користејќи ја дискриминаторната нотација: . И ние извлекуваме заклучоци:

• ако Д<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• ако D=0, тогаш оваа равенка има еден корен;
• конечно, ако D>0, тогаш равенката има два корени или, кои може да се препишат во форма или, и откако ќе ги прошириме и ги доведеме дропките до заеднички именител добиваме.

Така, ги изведовме формулите за корените на квадратната равенка, тие изгледаат како , каде што дискриминантата D се пресметува со формулата D=b 2 −4·a·c.

Со нивна помош, со позитивна дискриминаторна, можете да ги пресметате двата реални корени на квадратна равенка. Кога дискриминаторот е еднаков на нула, двете формули ја даваат истата вредност на коренот, што одговара на единственото решение на квадратната равенка. И со негативна дискриминаторка, кога се обидуваме да ја искористиме формулата за корените на квадратна равенка, се соочуваме со извлекување на квадратен корен на негативен број, што не носи надвор од опсегот и училишна наставна програма. Со негативна дискриминанта, квадратната равенка нема вистински корени, туку има пар комплексен конјугаткорени, кои може да се најдат со користење на истите коренски формули што ги добивме.

Алгоритам за решавање на квадратни равенки со помош на коренски формули

Во пракса, кога решавате квадратни равенки, можете веднаш да ја користите коренската формула за да ги пресметате нивните вредности. Но, ова е повеќе поврзано со наоѓање сложени корени.

Меѓутоа, во училишен курсалгебра обично ние зборуваме зане за сложени, туку за реални корени на квадратна равенка. Во овој случај, препорачливо е, пред да ги користите формулите за корените на квадратната равенка, прво да го пронајдете дискриминаторот, да бидете сигурни дека е ненегативен (во спротивно, можеме да заклучиме дека равенката нема вистински корени). и само тогаш пресметајте ги вредностите на корените.

Горенаведеното расудување ни дозволува да пишуваме алгоритам за решавање на квадратна равенка. За да ја решите квадратната равенка a x 2 +b x+c=0, потребно е:

• користејќи ја формулата за дискриминација D=b 2 −4·a·c, пресметај ја нејзината вредност;
• заклучи дека квадратната равенка нема вистински корени ако дискриминантата е негативна;
• пресметај го единствениот корен од равенката користејќи ја формулата ако D=0;
• најдете два реални корени на квадратна равенка користејќи ја коренската формула ако дискриминантата е позитивна.

Овде само забележуваме дека ако дискриминаторот е еднаков на нула, можете да ја користите и формулата; таа ќе ја даде истата вредност како .

Можете да преминете на примери за користење на алгоритам за решавање на квадратни равенки.

Примери за решавање на квадратни равенки

Да разгледаме решенија на три квадратни равенки со позитивна, негативна и нулта дискриминантна. Откако се занимававме со нивното решение, по аналогија ќе биде можно да се реши која било друга квадратна равенка. Да почнеме.

Пример.

Најдете ги корените на равенката x 2 +2·x−6=0.

Решение.

Во овој случај ги имаме следните коефициенти на квадратната равенка: a=1, b=2 и c=−6. Според алгоритмот, прво треба да ја пресметате дискриминаторот; за да го направите ова, ги заменуваме наведените a, b и c во формулата за дискриминација, имаме D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Бидејќи 28>0, односно дискриминантата е поголема од нула, квадратната равенка има два реални корени. Ајде да ги најдеме користејќи ја коренската формула, добиваме , тука можете да ги поедноставите добиените изрази со правење поместување на мултипликаторот надвор од коренскиот знакпроследено со намалување на фракцијата:

Одговор:

Да преминеме на следниот типичен пример.

Пример.

Решете ја квадратната равенка −4 x 2 +28 x−49=0 .

Решение.

Започнуваме со наоѓање на дискриминаторот: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Според тоа, оваа квадратна равенка има еден корен, кој го наоѓаме како , т.е.

Одговор:

x=3,5.

Останува да размислиме за решавање на квадратни равенки со негативна дискриминантна.

Пример.

Решете ја равенката 5·y 2 +6·y+2=0.

Решение.

Еве ги коефициентите на квадратната равенка: a=5, b=6 и c=2. Ние ги заменуваме овие вредности во формулата за дискриминација, ја имаме D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Дискриминантата е негативна, затоа оваа квадратна равенка нема вистински корени.

Ако треба да наведете комплексни корени, потоа ја применуваме добро познатата формула за корените на квадратна равенка и изведуваме дејствија со сложени броеви :

Одговор:

нема вистински корени, сложени корени се: .

Да забележиме уште еднаш дека ако дискриминантата на квадратна равенка е негативна, тогаш во училиште обично веднаш запишуваат одговор во кој укажуваат дека нема вистински корени, а не се наоѓаат сложени корени.

Корен формула за дури втори коефициенти

Формулата за корените на квадратната равенка, каде што D=b 2 −4·a·c ви овозможува да добиете формула со покомпактна форма, што ви овозможува да решавате квадратни равенки со парен коефициент за x (или едноставно со коефициент кој има форма 2·n, на пример, или 14· ln5=2·7·ln5 ). Ајде да ја извадиме.

Да речеме дека треба да решиме квадратна равенка од формата a x 2 +2 n x+c=0. Ајде да ги најдеме неговите корени користејќи ја формулата што ја знаеме. За да го направите ова, ја пресметуваме дискриминаторот D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), а потоа ја користиме коренската формула:

Да го означиме изразот n 2 −a c како D 1 (понекогаш се означува D "). Тогаш формулата за корените на квадратната равенка што се разгледува со вториот коефициент 2 n ќе ја добие формата , каде што D 1 =n 2 −a·c.

Лесно е да се види дека D=4·D 1, или D 1 =D/4. Со други зборови, D 1 е четвртиот дел од дискриминаторот. Јасно е дека знакот D 1 е ист како знакот D. Односно, знакот D 1 е исто така показател за присуство или отсуство на корени на квадратна равенка.

Значи, за да решите квадратна равенка со втор коефициент 2·n, ви треба

• Пресметај D 1 =n 2 −a·c ;
• Ако Д 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Ако D 1 =0, тогаш пресметајте го единствениот корен од равенката користејќи ја формулата;
• Ако D 1 >0, тогаш пронајдете два вистински корени користејќи ја формулата.

Ајде да размислиме да го решиме примерот користејќи ја коренската формула добиена во овој став.

Пример.

Решете ја квадратната равенка 5 x 2 −6 x −32=0 .

Решение.

Вториот коефициент на оваа равенка може да се претстави како 2·(−3) . Односно, можете да ја преработите првобитната квадратна равенка во форма 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, тука a=5, n=−3 и c=−32 и да го пресметате четвртиот дел од дискриминаторски: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Бидејќи неговата вредност е позитивна, равенката има два реални корени. Ајде да ги најдеме користејќи ја соодветната формула за корен:

Забележете дека беше можно да се користи вообичаената формула за корените на квадратна равенка, но во овој случај ќе треба да се изврши повеќе пресметковна работа.

Одговор:

Поедноставување на формата на квадратни равенки

Понекогаш, пред да започнете да ги пресметувате корените на квадратната равенка користејќи формули, не е повредено да се постави прашањето: „Дали е можно да се поедностави формата на оваа равенка? Согласете се дека во однос на пресметките ќе биде полесно да се реши квадратната равенка 11 x 2 −4 x−6=0 отколку 1100 x 2 −400 x−600=0.

Вообичаено, поедноставувањето на формата на квадратна равенка се постигнува со множење или делење на двете страни со одреден број. На пример, во претходниот пасус беше можно да се поедностави равенката 1100 x 2 −400 x −600=0 со делење на двете страни со 100.

Слична трансформација се врши со квадратни равенки, чии коефициенти не се . Во овој случај, двете страни на равенката обично се поделени со апсолутните вредности на неговите коефициенти. На пример, да ја земеме квадратната равенка 12 x 2 −42 x+48=0. апсолутни вредности на неговите коефициенти: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Поделувајќи ги двете страни на првобитната квадратна равенка со 6, доаѓаме до еквивалентната квадратна равенка 2 x 2 −7 x+8=0.

И множењето на двете страни на квадратната равенка обично се прави за да се ослободиме од фракционите коефициенти. Во овој случај, множењето се врши со именители на неговите коефициенти. На пример, ако двете страни на квадратната равенка се помножат со LCM(6, 3, 1)=6, тогаш таа ќе добие поедноставен облик x 2 +4·x−18=0.

Како заклучок на оваа точка, забележуваме дека тие речиси секогаш се ослободуваат од минусот на највисокиот коефициент на квадратната равенка со менување на знаците на сите членови, што одговара на множење (или делење) на двете страни со -1. На пример, обично се поместува од квадратната равенка −2 x 2 −3 x+7=0 до решението 2 x 2 +3 x−7=0 .

Врска помеѓу корените и коефициентите на квадратна равенка

Формулата за корените на квадратната равенка ги изразува корените на равенката преку нејзините коефициенти. Врз основа на формулата на коренот, можете да добиете други односи помеѓу корените и коефициентите.

Најпознатите и најприменливите формули од теоремата на Виета се од формата и . Конкретно, за дадената квадратна равенка, збирот на корените е еднаков на вториот коефициент со спротивен знак, а производот на корените е еднаков на слободниот член. На пример, гледајќи ја формата на квадратната равенка 3 x 2 −7 x + 22 = 0, веднаш можеме да кажеме дека збирот на неговите корени е еднаков на 7/3, а производот на корените е еднаков на 22 /3.

Користејќи ги веќе напишаните формули, можете да добиете голем број други врски помеѓу корените и коефициентите на квадратната равенка. На пример, збирот на квадратите на корените на квадратна равенка можете да го изразите преку неговите коефициенти: .

Библиографија.

• Алгебра:тетратка за 8 одделение. општо образование институции / [Ју. Н. Макаричев, Н. Г. Миндјук, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; Изменето од С.А. Телјаковски. - 16-ти изд. - М.: Образование, 2008. - 271 стр. : болен. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А.Г.Алгебра. 8-мо одделение. Во 14 часот Дел 1. Учебник за ученици образовните институции/ А. Г. Мордкович. - 11-то издание, избришано. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 стр.: илуст. ISBN 978-5-346-01155-2.

Библиографски опис: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Методи за решавање на квадратни равенки // Млад научник. 2016. Бр.6.1. P. 17-20..02.2019).



Нашиот проект е за начини за решавање на квадратни равенки. Цел на проектот: научете да решавате квадратни равенки на начини кои не се вклучени во училишната програма. Задача: најдете сè можни начинирешавање на квадратни равенки и учење како самите да ги користите и воведување на овие методи на вашите соученици.

Што се „квадратни равенки“?

Квадратна равенка- равенка на формата секира2 + bx + c = 0, Каде а, б, в- некои бројки ( a ≠ 0), x- непознато.

Броевите a, b, c се нарекуваат коефициенти на квадратната равенка.

• a се нарекува прв коефициент;
• b се нарекува втор коефициент;
• в - слободен член.

Кој беше првиот што ги „измисли“ квадратните равенки?

Некои алгебарски техники за решавање на линеарни и квадратни равенки биле познати пред 4000 години во Антички Вавилон. Откривањето на древните вавилонски глинени плочи, кои датираат од некаде помеѓу 1800 и 1600 п.н.е., ги дава најраните докази за проучување на квадратните равенки. Истите таблети содржат методи за решавање на одредени типови квадратни равенки.

Потребата за решавање равенки не само од прв, туку и од втор степен во античко време била предизвикана од потребата да се решат проблемите поврзани со наоѓање области земјишни парцелии со земјени работи од воен карактер, како и со самиот развој на астрономијата и математиката.

Правилото за решавање на овие равенки, утврдено во вавилонските текстови, во суштина се совпаѓа со модерното, но не е познато како Вавилонците дошле до ова правило. Речиси сите досега пронајдени текстови со клинесто писмо даваат само проблеми со решенија изложени во форма на рецепти, без индикации за тоа како се пронајдени. И покрај високо ниворазвој на алгебрата во Вавилон, текстовите со клинесто писмо немаат концепт за негативен број и општи методирешавање на квадратни равенки.

Вавилонски математичари од околу 4 век п.н.е. го користел методот на комплемент на квадрат за да реши равенки со позитивни корени. Околу 300 п.н.е Евклид смислил поопшт метод на геометриско решение. Првиот математичар кој најде решенија за равенки со негативни корени во форма на алгебарска формула беше индиски научник Брамагупта(Индија, 7 век н.е.).

Брамагупта постави општо правило за решавање на квадратни равенки сведени на една канонска форма:

ax2 + bx = c, a>0

Коефициентите во оваа равенка можат да бидат и негативни. Правилото на Брамагупта во суштина е исто како и нашето.

Јавните натпревари во решавање на тешки проблеми беа вообичаени во Индија. Една од старите индиски книги го вели следново за ваквите натпревари: „Како што сонцето ги затемнува ѕвездите со својот сјај, така учен човекќе ја засени својата слава на јавните собири со предлагање и решавање на алгебарски проблеми“. Проблемите честопати беа претставени во поетска форма.

Во еден алгебарски трактат Ал-Хваризмидадена е класификација на линеарни и квадратни равенки. Авторот брои 6 типа равенки, изразувајќи ги на следниов начин:

1) „Квадратите се еднакви на корените“, т.е. ax2 = bx.

2) „Квадратите се еднакви на броевите“, т.е. ax2 = c.

3) „Корените се еднакви на бројот“, т.е. ax2 = c.

4) „Квадратите и броевите се еднакви на корените“, т.е. ax2 + c = bx.

5) „Квадратите и корените се еднакви на бројот“, т.е. ax2 + bx = c.

6) „Корените и броевите се еднакви на квадрати“, т.е. bx + c == ax2.

За Ал-Хваризми, кој избегнувал употреба на негативни броеви, поимите на секоја од овие равенки се собирања, а не одземања. Во овој случај, равенките кои немаат позитивни решенија очигледно не се земаат предвид. Авторот поставува методи за решавање на овие равенки користејќи ги техниките на ал-џабр и ал-мукабал. Неговата одлука, се разбира, не се совпаѓа целосно со нашата. Да не зборуваме дека е чисто реторичко, треба да се забележи, на пример, дека при решавањето на нецелосна квадратна равенка од прв тип, Ал-Хорезми, како и сите математичари до 17 век, не го земаат предвид нултото решение. веројатно затоа што во конкретни практични тоа не е важно во задачите. Кога решава целосни квадратни равенки, Ал-Хваризми ги поставува правилата за нивно решавање користејќи одредени нумерички примери, а потоа и нивните геометриски докази.

Формите за решавање на квадратни равенки по моделот на Ал-Хваризми во Европа за првпат беа претставени во „Книгата на абакусот“, напишана во 1202 година. италијански математичар Леонард Фибоначи. Авторот самостојно развил некои нови алгебарски примерирешавајќи проблеми и прв во Европа воведе негативни бројки.

Оваа книга придонесе за ширење на алгебарското знаење не само во Италија, туку и во Германија, Франција и други европски земји. Многу проблеми од оваа книга се користени во речиси сите европски учебници од 14-17 век. Општо правилорешението на квадратните равенки сведено на една канонска форма x2 + bх = с за сите можни комбинации на знаци и коефициенти b, c беше формулирано во Европа во 1544 година. М. Штифел.

Изведувањето на формулата за решавање на квадратна равенка во општа форма е достапно од Viète, но Viète препознал само позитивни корени. Италијански математичари Тартаља, Кардано, Бомбелимеѓу првите во 16 век. земете ги во предвид, покрај позитивните, и негативни корени. Само во 17 век. благодарение на напорите Жирар, Декарт, Њутни други научници, методот на решавање на квадратни равенки добива современа форма.

Ајде да погледнеме неколку начини за решавање на квадратни равенки.

Стандардни методи за решавање на квадратни равенки од училишната наставна програма:

1. Факторирање на левата страна на равенката.
2. Начин за избор на целосен квадрат.
3. Решавање на квадратни равенки со помош на формулата.
4. Графичко решениеквадратна равенка.
5. Решавање равенки со помош на теоремата на Виета.

Дозволете ни да се задржиме подетално на решението на намалените и нередуцираните квадратни равенки користејќи ја теоремата на Виета.

Потсетиме дека за да се решат горенаведените квадратни равенки, доволно е да се најдат два броја чиј производ е еднаков на слободниот член, а чиј збир е еднаков на вториот коефициент со спротивен знак.

Пример.x 2 -5x+6=0

Треба да најдете броеви чиј производ е 6, а збирот е 5. Овие броеви ќе бидат 3 и 2.

Одговор: x 1 =2, x 2 =3.

Но, овој метод можете да го користите и за равенки со првиот коефициент не еднаков на еден.

Пример.3x 2 +2x-5=0

Земете го првиот коефициент и помножете го со слободниот член: x 2 +2x-15=0

Корените на оваа равенка ќе бидат броеви чиј производ е еднаков на - 15, а чиј збир е еднаков на - 2. Овие броеви се 5 и 3. За да ги најдете корените на првобитната равенка, поделете ги добиените корени со првиот коефициент.

Одговор: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Решавање равенки со методот „фрлање“.

Размислете за квадратната равенка ax 2 + bx + c = 0, каде што a≠0.

Помножувајќи ги двете страни со a, ја добиваме равенката a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Нека ax = y, од каде x = y/a; тогаш доаѓаме до равенката y 2 + со + ac = 0, еквивалентна на дадената. Ги наоѓаме неговите корени за 1 и 2 користејќи ја теоремата на Виета.

Конечно добиваме x 1 = y 1 /a и x 2 = y 2 /a.

Со овој метод, коефициентот a се множи со слободниот член, како да е „фрлен“ кон него, поради што се нарекува метод на „фрлање“. Овој метод се користи кога корените на равенката може лесно да се најдат со помош на теоремата на Виета и што е најважно, кога дискриминаторот е точен квадрат.

Пример.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Да го „фрлиме“ коефициентот 2 на слободниот член и да направиме замена и да ја добиеме равенката y 2 - 11y + 30 = 0.

Според инверзната теорема на Виета

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 ​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Одговор: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Својства на коефициенти на квадратна равенка.

Нека е дадена квадратната равенка ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0.

1. Ако a+ b + c = 0 (т.е. збирот на коефициентите на равенката е нула), тогаш x 1 = 1.

2. Ако a - b + c = 0, или b = a + c, тогаш x 1 = - 1.

Пример.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Бидејќи a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), тогаш x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Одговор: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Пример.132x 2 + 247x + 115 = 0

Бидејќи a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), потоа x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Одговор: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Постојат и други својства на коефициентите на квадратна равенка. но нивната употреба е посложена.

8. Решавање на квадратни равенки со помош на номограм.

Сл. 1. Номограм

Ова е стар и моментално заборавен метод за решавање на квадратни равенки, поставен на стр.83 од збирката: Bradis V.M. Математички табели со четири цифри. - М., Образование, 1990 година.

Табела XXII. Номограм за решавање на равенката z 2 + pz + q = 0. Овој номограм овозможува, без да се реши квадратна равенка, да се одредат корените на равенката од нејзините коефициенти.

Криволинеарната скала на номограмот е изградена според формулите (сл. 1):

Верувајќи OS = p, ED = q, OE = a(сите во cm), од сл. 1 сличности на триаголници САНИ ЦДФја добиваме пропорцијата

што по замените и поедноставувањата ја дава равенката z 2 + pz + q = 0,и писмото zзначи ознака на која било точка на заоблена скала.

Ориз. 2 Решавање квадратни равенки со помош на номограм

Примери.

1) За равенката z 2 - 9z + 8 = 0номограмот ги дава корените z 1 = 8,0 и z 2 = 1,0

Одговор: 8.0; 1.0.

2) Со номограм ја решаваме равенката

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Поделете ги коефициентите на оваа равенка со 2, ја добиваме равенката z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Номограмот дава корени z 1 = 4 и z 2 = 0,5.

Одговор: 4; 0,5.

9. Геометриски метод за решавање на квадратни равенки.

Пример.X 2 + 10x = 39.

Во оригиналот, овој проблем е формулиран на следниов начин: „Квадратот и десетте корени се еднакви на 39“.

Размислете за квадрат со страна x, на неговите страни се конструираат правоаголници така што другата страна на секоја од нив е 2,5, затоа плоштината на секоја е 2,5x. Добиената бројка потоа се комплетира на нов квадрат ABCD, додавајќи четири квадрати во аглите. еднаков квадрат, страната на секоја од нив е 2,5, а плоштината е 6,25

Ориз. 3 Графички метод за решавање на равенката x 2 + 10x = 39

Плоштината S на квадратот ABCD може да се претстави како збир од плоштините на: оригиналниот квадрат x 2, четири правоаголници (4∙2,5x = 10x) и четири дополнителни квадрати (6,25∙4 = 25), т.е. S = x 2 + 10x = 25. Заменувајќи го x 2 + 10x со бројот 39, добиваме дека S = 39 + 25 = 64, што значи дека страната на квадратот е ABCD, т.е. отсечка AB = 8. За бараната страна x од оригиналниот квадрат добиваме

10. Решавање равенки користејќи ја теоремата на Безут.

Теорема на Безут. Остатокот од делењето на полиномот P(x) со биномот x - α е еднаков на P(α) (односно, вредноста на P(x) при x = α).

Ако бројот α е коренот на полиномот P(x), тогаш овој полином е делив со x -α без остаток.

Пример.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Поделете го P(x) со (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, или x-3=0, x=3; Одговор: x1 =2, x2 =3.

Заклучок:Способноста за брзо и рационално решавање на квадратни равенки е едноставно неопходна за да се реши повеќе сложени равенки, на пример, дробни рационални равенки, равенки повисоки степени, биквадратни равенки и во средно школотригонометриски, експоненцијални и логаритамски равенки. Откако ги проучувавме сите пронајдени начини за решавање на квадратни равенки, можеме да ги советуваме нашите соученици, освен стандардни методи, решение со метод на пренос (6) и решение на равенки со користење на својствата на коефициентите (7), бидејќи тие се подостапни за разбирање.

Литература:

1. Брадис В.М. Математички табели со четири цифри. - М., Образование, 1990 година.
2. Алгебра 8 одделение: учебник за 8 одделение. општо образование институции Макаричев Ју.Н., Миндјук Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. ед. S. A. Telyakovsky 15-то издание, ревидирана. - М.: Образование, 2015 година
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Глејзер Г.И. Историја на математиката на училиште. Прирачник за наставници. / Ед. В.Н. Помлади. - М.: Образование, 1964 година.

Прво ниво

Квадратни равенки. Сеопфатен водич (2019)

Во терминот „квадратна равенка“, клучниот збор е „квадратна“. Ова значи дека равенката нужно мора да содржи променлива (иста х) на квадрат и не треба да има xes до третата (или поголема) моќност.

Решението на многу равенки се сведува на решавање на квадратни равенки.

Ајде да научиме да утврдиме дека ова е квадратна равенка, а не некоја друга равенка.

Пример 1.

Ајде да се ослободиме од именителот и да го помножиме секој член од равенката со

Ајде да преместиме сè на левата страна и да ги подредиме поимите по опаѓачки редослед на силите на X

Сега можеме со сигурност да го кажеме тоа дадена равенкае квадрат!

Пример 2.

Помножете ја левата и десната страна со:

Оваа равенка, иако првично беше во неа, не е квадратна!

Пример 3.

Ајде да помножиме сè со:

Страшно? Четвртиот и вториот степен... Меѓутоа, ако направиме замена, ќе видиме дека имаме едноставна квадратна равенка:

Пример 4.

Се чини дека е таму, но ајде да погледнеме подетално. Ајде да преместиме сè на левата страна:

Видете, тоа е намалено - и сега тоа е едноставна линеарна равенка!

Сега обидете се сами да одредите кои од следните равенки се квадратни, а кои не се:

Примери:

Одговори:

1. квадрат;
2. квадрат;
3. не квадрат;
4. не квадрат;
5. не квадрат;
6. квадрат;
7. не квадрат;
8. квадрат.

Математичарите конвенционално ги делат сите квадратни равенки на следниве типови:

• Целосни квадратни равенки- равенки во кои коефициентите и, како и слободниот член c, не се еднакви на нула (како во примерот). Покрај тоа, меѓу целосните квадратни равенки постојат дадена- ова се равенки во кои коефициентот (равенката од примерот еден не само што е целосна, туку и намалена!)

• Нецелосни квадратни равенки- равенки во кои коефициентот и или слободниот член c се еднакви на нула:

  Тие се нецелосни бидејќи им недостасува некој елемент. Но, равенката секогаш мора да содржи x квадрат!!! Во спротивно веќе нема да биде квадратна равенка, туку некоја друга равенка.

Зошто дошле до ваква поделба? Се чини дека има X квадрат, и во ред. Оваа поделба се одредува со методите на решение. Ајде да го разгледаме секој од нив подетално.

Решавање на нецелосни квадратни равенки

Прво, да се фокусираме на решавање на нецелосни квадратни равенки - тие се многу поедноставни!

Постојат типови на нецелосни квадратни равенки:

1. , во оваа равенка коефициентот е еднаков.
2. , во оваа равенка слободниот член е еднаков на.
3. , во оваа равенка коефициентот и слободниот член се еднакви.

1. јас. Затоа што знаеме да извлечеме Квадратен корен, тогаш да се изразиме од оваа равенка

Изразот може да биде или негативен или позитивен. Квадрат број не може да биде негативен, бидејќи при множење на два негативни или два позитивни броја, резултатот секогаш ќе биде позитивен број, така што: ако, тогаш равенката нема решенија.

И ако, тогаш добиваме два корени. Нема потреба да ги меморирате овие формули. Главната работа е дека мора да знаете и секогаш да запомните дека не може да биде помалку.

Ајде да се обидеме да решиме неколку примери.

Пример 5:

Решете ја равенката

Сега останува само да се извлече коренот од левата и десната страна. На крајот на краиштата, се сеќавате како да извлечете корени?

Одговор:

Никогаш не заборавајте за корените со негативен знак!!!

Пример 6:

Решете ја равенката

Одговор:

Пример 7:

Решете ја равенката

О! Квадратот на број не може да биде негативен, што значи дека равенката

без корени!

За такви равенки кои немаат корени, математичарите излегоа со посебна икона - (празен сет). А одговорот може да се напише вака:

Одговор:

Така, оваа квадратна равенка има два корени. Овде нема ограничувања, бидејќи не го извадивме коренот.
Пример 8:

Решете ја равенката

Да го извадиме заедничкиот фактор од загради:

Така,

Оваа равенка има два корени.

Одговор:

Наједноставниот тип на нецелосни квадратни равенки (иако сите се едноставни, нели?). Очигледно, оваа равенка секогаш има само еден корен:

Овде ќе се откажеме од примери.

Решавање на целосни квадратни равенки

Потсетуваме дека целосна квадратна равенка е равенка на формата равенка каде

Решавањето на целосни квадратни равенки е малку потешко (само малку) од овие.

Запомнете, Секоја квадратна равенка може да се реши со помош на дискриминатор! Дури и нецелосни.

Останатите методи ќе ви помогнат да го направите тоа побрзо, но ако имате проблеми со квадратните равенки, прво совладајте го решението користејќи ја дискриминаторот.

1. Решавање на квадратни равенки со помош на дискриминант.

Решавањето на квадратните равенки со помош на овој метод е многу едноставно; главната работа е да се запамети низата на дејства и неколку формули.

Ако, тогаш равенката има корен.Треба да обрнете посебно внимание на чекорот. Дискриминантот () ни го кажува бројот на корените на равенката.

• Ако, тогаш формулата во чекорот ќе се сведе на. Така, равенката ќе има само корен.
• Ако, тогаш нема да можеме да го извлечеме коренот на дискриминаторот на чекорот. Ова покажува дека равенката нема корени.

Да се ​​вратиме на нашите равенки и да погледнеме неколку примери.

Пример 9:

Решете ја равенката

Чекор 1прескокнуваме.

Чекор 2.

Го наоѓаме дискриминаторот:

Ова значи дека равенката има два корени.

Чекор 3.

Одговор:

Пример 10:

Решете ја равенката

Равенката е претставена во стандардна форма, па Чекор 1прескокнуваме.

Чекор 2.

Го наоѓаме дискриминаторот:

Ова значи дека равенката има еден корен.

Одговор:

Пример 11:

Решете ја равенката

Равенката е претставена во стандардна форма, па Чекор 1прескокнуваме.

Чекор 2.

Го наоѓаме дискриминаторот:

Ова значи дека нема да можеме да го извлечеме коренот на дискриминаторот. Нема корени на равенката.

Сега знаеме како правилно да ги запишеме таквите одговори.

Одговор:без корени

2. Решавање на квадратни равенки со помош на теоремата на Виета.

Ако се сеќавате, постои еден вид равенка што се нарекува намалена (кога коефициентот a е еднаков на):

Ваквите равенки се многу лесно да се решат користејќи ја теоремата на Виета:

Збир на корени даденаквадратната равенка е еднаква, а производот на корените е еднаков.

Пример 12:

Решете ја равенката

Оваа равенка може да се реши со помош на теоремата на Виета бидејќи .

Збирот на корените на равенката е еднаков, т.е. ја добиваме првата равенка:

И производот е еднаков на:

Ајде да го составиме и решиме системот:

• И. Износот е еднаков на;
• И. Износот е еднаков на;
• И. Износот е еднаков.

и се решение за системот:

Одговор: ; .

Пример 13:

Решете ја равенката

Одговор:

Пример 14:

Решете ја равенката

Равенката е дадена, што значи:

Одговор:

КВАДРАТСКИ РАВЕНКИ. ПРОСЕЧНО НИВО

Што е квадратна равенка?

Со други зборови, квадратна равенка е равенка на формата, каде што - непознатото, - некои броеви и.

Бројот се нарекува највисок или првиот коефициентквадратна равенка, - втор коефициент, А - слободен член.

Зошто? Затоа што ако равенката веднаш стане линеарна, затоа што ќе исчезне.

Во овој случај, и може да биде еднаква на нула. Во овој стол равенката се нарекува нецелосна. Ако сите поими се на место, односно равенката е завршена.

Решенија на различни типови квадратни равенки

Методи за решавање на нецелосни квадратни равенки:

Прво, да ги погледнеме методите за решавање на нецелосни квадратни равенки - тие се поедноставни.

Можеме да ги разликуваме следниве видови равенки:

I., во оваа равенка коефициентот и слободниот член се еднакви.

II. , во оваа равенка коефициентот е еднаков.

III. , во оваа равенка слободниот член е еднаков на.

Сега да го погледнеме решението за секој од овие подтипови.

Очигледно, оваа равенка секогаш има само еден корен:

Квадратен број не може да биде негативен, бидејќи кога ќе помножите два негативни или два позитивни броја, резултатот секогаш ќе биде позитивен број. Затоа:

ако, тогаш равенката нема решенија;

ако имаме два корени

Нема потреба да ги меморирате овие формули. Главната работа што треба да се запамети е дека не може да биде помала.

Примери:

Решенија:

Одговор:

Никогаш не заборавајте за корените со негативен знак!

Квадратот на број не може да биде негативен, што значи дека равенката

без корени.

За накратко да запишеме дека проблемот нема решенија, ја користиме иконата за празно поставување.

Одговор:

Значи, оваа равенка има два корени: и.

Одговор:

Ќе го извадиме заеднички мултипликаторнадвор од заградите:

Производот е еднаков на нула ако барем еден од факторите е еднаков на нула. Ова значи дека равенката има решение кога:

Значи, оваа квадратна равенка има два корени: и.

Пример:

Решете ја равенката.

Решение:

Да ја пресметаме левата страна на равенката и да ги најдеме корените:

Одговор:

Методи за решавање на целосни квадратни равенки:

1. Дискриминаторски

Решавањето на квадратните равенки на овој начин е лесно, главната работа е да се запамети низата на дејства и неколку формули. Запомнете, секоја квадратна равенка може да се реши со помош на дискриминатор! Дури и нецелосни.

Дали го забележавте коренот од дискриминантот во формулата за корени? Но, дискриминаторот може да биде негативен. Што да се прави? Треба да обрнеме посебно внимание на чекор 2. Дискриминаторот ни го кажува бројот на корените на равенката.

• Ако, тогаш равенката има корени:
• Ако тогаш равенката има идентични корени, но во суштина еден корен:

  Таквите корени се нарекуваат двојни корени.

• Ако, тогаш коренот на дискриминантот не е извлечен. Ова покажува дека равенката нема корени.

Зошто е можно различни количиникорени? Да се ​​свртиме кон геометриска смислаквадратна равенка. Графикот на функцијата е парабола:

Во посебен случај, кој е квадратна равенка, . Ова значи дека корените на квадратната равенка се точките на пресек со оската на апсцисата (оската). Параболата може воопшто да не ја пресекува оската или може да ја пресече на една (кога темето на параболата лежи на оската) или две точки.

Покрај тоа, коефициентот е одговорен за насоката на гранките на параболата. Ако, тогаш гранките на параболата се насочени нагоре, а ако, тогаш надолу.

Примери:

Решенија:

Одговор:

Одговор:.

Одговор:

Ова значи дека нема решенија.

Одговор:.

2. Теорема на Виета

Многу е лесно да се користи теоремата на Виета: само треба да изберете пар броеви чиј производ е еднаков на слободниот член на равенката, а збирот е еднаков на вториот коефициент земен со спротивен знак.

Важно е да се запамети дека теоремата на Виета може да се примени само во намалени квадратни равенки ().

Ајде да погледнеме неколку примери:

Пример #1:

Решете ја равенката.

Решение:

Оваа равенка може да се реши со помош на теоремата на Виета бидејќи . Други коефициенти: ; .

Збирот на корените на равенката е:

И производот е еднаков на:

Ајде да избереме парови на броеви чиј производ е еднаков и да провериме дали нивниот збир е еднаков:

• И. Износот е еднаков на;
• И. Износот е еднаков на;
• И. Износот е еднаков.

и се решение за системот:

Така, и се корените на нашата равенка.

Одговор: ; .

Пример #2:

Решение:

Ајде да избереме парови на броеви што даваат во производот, а потоа да провериме дали нивниот збир е еднаков:

и: вкупно даваат.

и: вкупно даваат. За да се добие, доволно е едноставно да се сменат знаците на наводните корени: и, на крајот на краиштата, производот.

Одговор:

Пример #3:

Решение:

Слободниот член на равенката е негативен, и затоа производот на корените е негативен број. Ова е можно само ако еден од корените е негативен, а другиот е позитивен. Затоа збирот на корените е еднаков на разлики во нивните модули.

Дозволете ни да избереме парови на броеви кои даваат во производот, а чија разлика е еднаква на:

и: нивната разлика е еднаква - не одговара;

и: - не е соодветно;

и: - не е соодветно;

и: - погоден. Останува само да се запамети дека еден од корените е негативен. Бидејќи нивниот збир мора да биде еднаков, коренот со помал модул мора да биде негативен: . Проверуваме:

Одговор:

Пример #4:

Решете ја равенката.

Решение:

Равенката е дадена, што значи:

Слободниот член е негативен, и затоа производот на корените е негативен. И ова е можно само кога едниот корен од равенката е негативен, а другиот позитивен.

Ајде да избереме парови чиј производ е еднаков, а потоа да одредиме кои корени треба да имаат негативен знак:

Очигледно, само корените се погодни за првиот услов:

Одговор:

Пример #5:

Решете ја равенката.

Решение:

Равенката е дадена, што значи:

Збирот на корените е негативен, што значи дека барем еден од корените е негативен. Но, бидејќи нивниот производ е позитивен, тоа значи дека двата корени имаат знак минус.

Дозволете ни да избереме парови на броеви чиј производ е еднаков на:

Очигледно, корените се броевите и.

Одговор:

Се согласувам, многу е погодно да се дојде до корени усно, наместо да се брои овој гаден дискриминатор. Обидете се да ја користите теоремата на Виета што е можно почесто.

Но, теоремата на Виета е потребна за да се олесни и забрза пронаоѓањето на корените. За да имате корист од неговото користење, мора да ги доведете дејствата до автоматизам. И за ова, решете уште пет примери. Но, не изневерувајте: не можете да користите дискриминатор! Само теоремата на Виета:

Решенија за задачи за самостојна работа:

Задача 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Според теоремата на Виета:

Како и обично, изборот го започнуваме со парчето:

Не е погоден бидејќи износот;

: износот е токму она што ви треба.

Одговор: ; .

Задача 2.

И повторно нашата омилена теорема Виета: збирот мора да биде еднаков, а производот мора да биде еднаков.

Но бидејќи не смее, туку, ги менуваме знаците на корените: и (вкупно).

Одговор: ; .

Задача 3.

Хм... Каде е тоа?

Треба да ги преместите сите термини во еден дел:

Збирот на корените е еднаков на производот.

Добро, застани! Равенката не е дадена. Но, теоремата на Виета е применлива само во дадените равенки. Значи, прво треба да дадете равенка. Ако не можете да водите, откажете се од оваа идеја и решете се на друг начин (на пример, преку дискриминатор). Дозволете ми да ве потсетам дека да се даде квадратна равенка значи да се направи водечки коефициент еднаков:

Одлично. Тогаш збирот на корените е еднаков на и производот.

Овде е лесно да се избере како лупење круши: на крајот на краиштата, тоа е прост број (извинете за тавтологијата).

Одговор: ; .

Задача 4.

Слободниот член е негативен. Што е посебно за ова? И факт е дека корените ќе имаат различни знаци. И сега, при изборот, не го проверуваме збирот на корените, туку разликата во нивните модули: оваа разлика е еднаква, но производ.

Значи, корените се еднакви на и, но еден од нив е минус. Теоремата на Виета ни кажува дека збирот на корените е еднаков на вториот коефициент со спротивен знак, т.е. Ова значи дека помалиот корен ќе има минус: и, бидејќи.

Одговор: ; .

Задача 5.

Што треба прво да направите? Така е, дајте ја равенката:

Повторно: ги избираме факторите на бројот, а нивната разлика треба да биде еднаква на:

Корените се еднакви на и, но еден од нив е минус. Кои? Нивниот збир треба да биде еднаков, што значи дека минусот ќе има поголем корен.

Одговор: ; .

Дозволете ми да резимирам:

1. Теоремата на Виета се користи само во дадените квадратни равенки.
2. Користејќи ја теоремата на Виета, можете да ги најдете корените со избор, усно.
3. Ако равенката не е дадена или не се најде равенка соодветен пармножители на слободниот термин, што значи дека нема цели корени и треба да го решите на друг начин (на пример, преку дискриминатор).

3. Метод за избор на целосен квадрат

Ако сите поими што ја содржат непознатата се претставени во форма на поими од скратените формули за множење - квадратот на збирот или разликата - тогаш по замена на променливите, равенката може да се претстави во форма на нецелосна квадратна равенка од типот.

На пример:

Пример 1:

Решете ја равенката: .

Решение:

Одговор:

Пример 2:

Решете ја равенката: .

Решение:

Одговор:

Во принцип, трансформацијата ќе изгледа вака:

Ова имплицира:.

Не те потсетува на ништо? Ова е дискриминаторска работа! Токму така ја добивме формулата за дискриминација.

КВАДРАТСКИ РАВЕНКИ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНИТЕ РАБОТИ

Квадратна равенка- ова е равенка на формата, каде што - непознатото, - коефициентите на квадратната равенка, - слободниот член.

Целосна квадратна равенка- равенка во која коефициентите не се еднакви на нула.

Намалена квадратна равенка- равенка во која коефициентот, односно: .

Нецелосна квадратна равенка- равенка во која коефициентот и или слободниот член c се еднакви на нула:

• ако коефициентот, равенката изгледа вака:
• ако има слободен член, равенката има форма: ,
• ако и, равенката изгледа вака: .

1. Алгоритам за решавање на нецелосни квадратни равенки

1.1. Нецелосна квадратна равенка на формата, каде што, :

1) Да го изразиме непознатото:

2) Проверете го знакот на изразот:

• ако, тогаш равенката нема решенија,
• ако, тогаш равенката има два корени.

1.2. Нецелосна квадратна равенка на формата, каде што, :

1) Да го извадиме заедничкиот фактор од загради: ,

2) Производот е еднаков на нула ако барем еден од факторите е еднаков на нула. Според тоа, равенката има два корени:

1.3. Нецелосна квадратна равенка на формата, каде што:

Оваа равенка секогаш има само еден корен: .

2. Алгоритам за решавање на целосни квадратни равенки од формата каде

2.1. Решение со помош на дискриминант

1) Да ја намалиме равенката на стандарден поглед: ,

2) Да ја пресметаме дискриминаторот користејќи ја формулата: , која го означува бројот на корените на равенката:

3) Најдете ги корените на равенката:

• ако, тогаш равенката има корени, кои се наоѓаат со формулата:
• ако, тогаш равенката има корен, кој се наоѓа со формулата:
• ако, тогаш равенката нема корени.

2.2. Решение со помош на теоремата на Виета

Збирот на корените на намалената квадратна равенка (равенка на формата каде) е еднаков, а производот на корените е еднаков, т.е. , А.

2.3. Решение со методот на избор на целосен квадрат

ВО модерното општествоспособноста да се извршуваат операции со равенки кои содржат квадратна променлива може да биде корисна во многу области на активност и е широко користена во пракса во научните и техничките достигнувања. Доказ за тоа може да се најде во дизајнот на морски и речни бродови, авиони и проектили. Користејќи ги таквите пресметки, траекториите на движење на повеќето различни тела, вклучувајќи вселенски објекти. Примерите со решавање на квадратни равенки се користат не само во економското предвидување, при проектирање и изградба на згради, туку и во најобичните секојдневни околности. Тие може да бидат потребни на планинарски патувања, на спортски настани, во продавници кога купувате и во други многу вообичаени ситуации.

Да го разделиме изразот на неговите составни фактори

Се одредува степенот на равенката максимална вредностстепен на променливата што ја содржи овој израз. Ако е еднакво на 2, тогаш таквата равенка се нарекува квадратна.

Ако зборуваме на јазикот на формулите, тогаш наведените изрази, без разлика како изгледаат, секогаш може да се доведат до форма кога лева странаизразот се состои од три поими. Меѓу нив: ax 2 (односно, променлива на квадрат со неговиот коефициент), bx (непозната без квадрат со неговиот коефициент) и c (слободна компонента, т.е. редовен број). Сето ова од десната страна е еднакво на 0. Во случај кога на таков полином му недостасува еден од неговите составни членови, со исклучок на секирата 2, се нарекува нецелосна квадратна равенка. Прво треба да се разгледаат примери за решавање на вакви проблеми, вредностите на променливите во кои лесно се наоѓаат.

Ако изразот изгледа како да има два члена на десната страна, поточно ax 2 и bx, најлесниот начин да се најде x е со ставање на променливата надвор од загради. Сега нашата равенка ќе изгледа вака: x(ax+b). Следно, станува очигледно дека или x=0, или проблемот се сведува на наоѓање променлива од следниот израз: ax+b=0. Ова е диктирано од една од својствата на множење. Правилото вели дека производот на два фактора резултира со 0 само ако еден од нив е нула.

Пример

x=0 или 8x - 3 = 0

Како резултат на тоа, добиваме два корени на равенката: 0 и 0,375.

Равенките од овој вид можат да го опишат движењето на телата под влијание на гравитацијата, кои почнале да се движат од одредена точка земена како потекло на координатите. Тука се зема математичката нотација следната форма: y = v 0 t + gt 2 /2. Со замена на потребните вредности, изедначување на десната страна со 0 и наоѓање можни непознати, можете да го дознаете времето што минува од моментот кога телото се крева до моментот кога паѓа, како и многу други величини. Но, ние ќе зборуваме за ова подоцна.

Факторирање на израз

Правилото опишано погоре овозможува да се решат овие проблеми во посложени случаи. Ајде да погледнеме примери за решавање на квадратни равенки од овој тип.

X 2 - 33x + 200 = 0

Ова квадратен триноме комплетен. Прво, да го трансформираме изразот и да го факторизираме. Има два од нив: (x-8) и (x-25) = 0. Како резултат на тоа, имаме два корени 8 и 25.

Примерите со решавање на квадратни равенки во одделение 9 овозможуваат овој метод да најде променлива во изрази не само од вториот, туку дури и од третиот и четвртиот ред.

На пример: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. При множење на десната страна во фактори со променлива, има три од нив, односно (x+1), (x-3) и (x+ 3).

Како резултат на тоа, станува очигледно дека оваа равенка има три корени: -3; -1; 3.

Квадратен корен

Друг случај нецелосна равенкавториот ред е израз претставен во јазикот на буквите на таков начин што десната страна е изградена од компонентите ax 2 и c. Овде, за да се добие вредноста на променливата, слободниот термин се пренесува на десна страна, а после тоа се зема квадратниот корен од двете страни на еднаквоста. Треба да се забележи дека во овој случај обично има два корени на равенката. Единствени исклучоци можат да бидат еднаквостите кои воопшто не содржат поим со, каде што променливата е еднаква на нула, како и варијанти на изрази кога десната страна ќе излезе дека е негативна. Во вториот случај, воопшто нема решенија, бидејќи горенаведените дејства не можат да се извршат со корени. Треба да се разгледаат примери на решенија на квадратни равенки од овој тип.

Во овој случај, корените на равенката ќе бидат броевите -4 и 4.

Пресметка на површината на земјиштето

Потребата за ваков вид пресметки се појави во древни времиња, бидејќи развојот на математиката во многу нешта во тие далечни времиња бил детерминиран од потребата со најголема точност да се определат површините и периметарите на земјишните парцели.

Треба да разгледаме и примери за решавање на квадратни равенки врз основа на проблеми од овој вид.

Значи, да речеме дека има правоаголна парцела, чија должина е 16 метри поголема од ширината. Треба да ја најдете должината, ширината и периметарот на локацијата ако знаете дека неговата површина е 612 м2.

За да започнете, ајде прво да ја создадеме потребната равенка. Да ја означиме со x ширината на плоштината, тогаш нејзината должина ќе биде (x+16). Од напишаното произлегува дека плоштината се определува со изразот x(x+16), кој според условите на нашата задача е 612. Тоа значи дека x(x+16) = 612.

Решавањето на целосни квадратни равенки, а овој израз е токму тоа, не може да се направи на ист начин. Зошто? Иако левата страна сè уште содржи два фактора, нивниот производ воопшто не е еднаков на 0, па овде се користат различни методи.

Дискриминаторски

Најпрво, тогаш да ги направиме потребните трансформации изгледна овој израз ќе изгледа вака: x 2 + 16x - 612 = 0. Тоа значи дека добивме израз во форма што одговара на претходно наведениот стандард, каде што a=1, b=16, c=-612.

Ова може да биде пример за решавање на квадратни равенки со помош на дискриминатор. Еве потребни пресметкисе произведуваат според шемата: D = b 2 - 4ac. Оваа помошна количина не само што овозможува да се најдат потребните количини во равенка од втор ред, туку и го одредува бројот на можни опции. Ако D>0, има два од нив; за D=0 има еден корен. Во случај Д<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

За корените и нивната формула

Во нашиот случај, дискриминаторот е еднаков на: 256 - 4(-612) = 2704. Ова сугерира дека нашиот проблем има одговор. Ако знаете k, решението на квадратните равенки мора да се продолжи со помош на формулата подолу. Тоа ви овозможува да ги пресметате корените.

Тоа значи дека во дадениот случај: x 1 =18, x 2 =-34. Втората опција во оваа дилема не може да биде решение, бидејќи димензиите на парцелата не можат да се мерат во негативни количини, што значи x (односно ширината на парцелата) е 18 m Од тука ја пресметуваме должината: 18 +16=34, а периметарот 2(34+ 18)=104(m2).

Примери и задачи

Продолжуваме со нашето проучување на квадратните равенки. Примери и детални решенија за неколку од нив ќе бидат дадени подолу.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Ајде да преместиме сè на левата страна на еднаквоста, да направиме трансформација, односно ќе го добиеме типот на равенката што обично се нарекува стандардна и ќе ја изедначиме на нула.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Додавајќи слични, ја одредуваме дискриминантата: D = 49 - 48 = 1. Ова значи дека нашата равенка ќе има два корени. Да ги пресметаме според горната формула, што значи дека првиот од нив ќе биде еднаков на 4/3, а вториот на 1.

2) Сега да ги решиме мистериите од различен вид.

Ајде да дознаеме дали има корени овде x 2 - 4x + 5 = 1? За да добиеме сеопфатен одговор, да го намалиме полиномот на соодветната вообичаена форма и да ја пресметаме дискриминантната. Во горниот пример, не е неопходно да се реши квадратната равенка, бидејќи тоа воопшто не е суштината на проблемот. Во овој случај, D = 16 - 20 = -4, што значи дека навистина нема корени.

Теорема на Виета

Удобно е да се решаваат квадратни равенки користејќи ги горенаведените формули и дискриминантот, кога квадратниот корен се зема од вредноста на второто. Но, ова не се случува секогаш. Сепак, постојат многу начини да се добијат вредностите на променливите во овој случај. Пример: решавање на квадратни равенки користејќи ја теоремата на Виета. Таа го добила името по кој живеел во 16 век во Франција и направил блескава кариера благодарение на неговиот математички талент и врските на дворот. Неговиот портрет може да се види во статијата.

Моделот што го забележал славниот Французин бил следниов. Тој докажа дека корените на равенката нумерички се собираат на -p=b/a, а нивниот производ одговара на q=c/a.

Сега да ги разгледаме конкретните задачи.

3x 2 + 21x - 54 = 0

За едноставност, да го трансформираме изразот:

x 2 + 7x - 18 = 0

Да ја искористиме теоремата на Виета, ова ќе ни го даде следново: збирот на корените е -7, а нивниот производ е -18. Оттука добиваме дека корените на равенката се броевите -9 и 2. Откако ќе провериме, ќе се увериме дека овие променливи вредности навистина се вклопуваат во изразот.

График на парабола и равенка

Концептите на квадратна функција и квадратни равенки се тесно поврзани. Примери за ова веќе беа дадени претходно. Сега да погледнеме малку подетално неколку математички загатки. Секоја равенка од опишаниот тип може да се претстави визуелно. Таквата врска, нацртана како график, се нарекува парабола. Нејзините различни типови се претставени на сликата подолу.

Секоја парабола има теме, односно точка од која излегуваат нејзините гранки. Ако a>0, тие одат високо до бесконечност, а кога a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Визуелните претстави на функции помагаат да се решат сите равенки, вклучувајќи ги и квадратните. Овој метод се нарекува графички. А вредноста на променливата x е координатата на апсцисата во точките каде линијата на графиконот се пресекува со 0x. Координатите на темето може да се најдат со помош на формулата штотуку дадена x 0 = -b/2a. И со замена на добиената вредност во оригиналната равенка на функцијата, можете да дознаете y 0, односно втората координата на темето на параболата, која припаѓа на оската на ординатите.

Пресекот на гранките на параболата со оската на апсцисата

Има многу примери за решавање на квадратни равенки, но има и општи обрасци. Ајде да ги погледнеме. Јасно е дека пресекот на графикот со оската 0x за a>0 е возможен само ако y 0 зема негативни вредности. И за а<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Во спротивно Д<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Од графикот на параболата можете да ги одредите и корените. Спротивното е исто така точно. Односно, ако не е лесно да се добие визуелна претстава на квадратна функција, можете да ја изедначите десната страна на изразот со 0 и да ја решите добиената равенка. И знаејќи ги точките на пресек со оската 0x, полесно е да се конструира график.

Од историјата

Користејќи равенки што содржат квадратна променлива, во старите денови тие не само што правеле математички пресметки и ги одредувале областите на геометриските фигури. На древните им биле потребни такви пресметки за големи откритија во областа на физиката и астрономијата, како и за правење астролошки прогнози.

Како што сугерираат современите научници, жителите на Вавилон биле меѓу првите кои решиле квадратни равенки. Ова се случи четири века пред нашата ера. Се разбира, нивните пресметки беа радикално различни од моментално прифатените и се покажаа како многу попримитивни. На пример, месопотамиските математичари немаа поим за постоењето на негативни броеви. Тие, исто така, не беа запознаени со други суптилности што ги знае секој модерен ученик.

Можеби дури и порано од научниците од Вавилон, мудреецот од Индија Баудхајама започнал да решава квадратни равенки. Ова се случило околу осум века пред Христовата ера. Точно, равенките од втор ред, методите за решавање што тој ги даде, беа наједноставни. Покрај него, за слични прашања во старите времиња се интересирале и кинеските математичари. Во Европа, квадратните равенки почнаа да се решаваат дури на почетокот на 13 век, но подоцна тие беа користени во нивните дела од такви големи научници како Њутн, Декарт и многу други.

Во оваа статија ќе разгледаме решавање на нецелосни квадратни равенки.

Но, прво, да повториме кои равенки се нарекуваат квадратни. Равенка од формата ax 2 + bx + c = 0, каде што x е променлива, а коефициентите a, b и c се некои броеви, а a ≠ 0 се вика квадрат. Како што гледаме, коефициентот за x 2 не е еднаков на нула, и затоа коефициентите за x или слободниот член можат да бидат еднакви на нула, во тој случај добиваме нецелосна квадратна равенка.

Постојат три типа на нецелосни квадратни равенки:

1) Ако b = 0, c ≠ 0, тогаш ax 2 + c = 0;

2) Ако b ≠ 0, c = 0, тогаш ax 2 + bx = 0;

3) Ако b = 0, c = 0, тогаш секира 2 = 0.

• Ајде да дознаеме како да решиме равенки од формата ax 2 + c = 0.

За да ја решиме равенката, го поместуваме слободниот член c на десната страна од равенката, добиваме

секира 2 = ‒с. Бидејќи a ≠ 0, ги делиме двете страни на равенката со a, потоа x 2 = ‒c/a.

Ако ‒с/а > 0, тогаш равенката има два корени

x = ±√(–c/a) .

Ако ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Ајде да се обидеме да разбереме со примери како да решаваме такви равенки.

Пример 1. Решете ја равенката 2x 2 ‒ 32 = 0.

Одговор: x 1 = - 4, x 2 = 4.

Пример 2. Решете ја равенката 2x 2 + 8 = 0.

Одговор: равенката нема решенија.

• Ајде да дознаеме како да го решиме равенки од формата ax 2 + bx = 0.

За да ја решиме равенката ax 2 + bx = 0, да ја факторизираме, односно да го извадиме x од загради, ќе добиеме x(ax + b) = 0. Производот е еднаков на нула ако барем еден од факторите е еднаков на нула. Тогаш или x = 0, или ax + b = 0. Решавајќи ја равенката ax + b = 0, добиваме ax = - b, од каде x = - b/a. Равенката од формата ax 2 + bx = 0 секогаш има два корени x 1 = 0 и x 2 = ‒ b/a. Погледнете како изгледа решението на равенките од овој тип на дијаграмот.

Ајде да го консолидираме нашето знаење со конкретен пример.

Пример 3. Решете ја равенката 3x 2 ‒ 12x = 0.

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 или 3x – 12 = 0

Одговор: x 1 = 0, x 2 = 4.

• Равенки од трет тип секира 2 = 0се решаваат многу едноставно.

Ако секира 2 = 0, тогаш x 2 = 0. Равенката има два еднакви корени x 1 = 0, x 2 = 0.

За јасност, да го погледнеме дијаграмот.

Дозволете ни да се погрижиме кога го решаваме Пример 4 дека равенките од овој тип можат да се решат многу едноставно.

Пример 4.Решете ја равенката 7x 2 = 0.

Одговор: x 1, 2 = 0.

Не е секогаш веднаш јасно каков тип на нецелосна квадратна равенка треба да решиме. Размислете за следниот пример.

Пример 5.Решете ја равенката

Ајде да ги помножиме двете страни на равенката со заеднички именител, односно со 30

Ајде да го намалиме

5 (5x 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) = 90.

Ајде да ги отвориме заградите

25x 2 + 45 – 24x 2 + 54 = 90.

Ајде да дадеме слично

Да го преместиме 99 од левата страна на равенката надесно, менувајќи го знакот во спротивното

Одговор: нема корени.

Разгледавме како се решаваат нецелосните квадратни равенки. Се надевам дека сега нема да имате потешкотии со ваквите задачи. Внимавајте кога го одредувате типот на нецелосната квадратна равенка, тогаш ќе успеете.

Ако имате прашања на оваа тема, пријавете се за моите лекции, заедно ќе ги решиме проблемите што се појавуваат.

веб-страница, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до изворот.