Комплексни броеви

Имагинарен. и. комплексни броеви. Апсолулу и ординираат

интегриран број. Комбинирани комплексни броеви.

Операции со сложени броеви. Геометриски

претставување на сложени броеви. Комплексната рамнина.

Модулот и аргументот на интегрираниот број. Тригонометриски

форма на интегриран број. Операции со комплекс

Броеви во тригонометриска форма. Моуро формула.

Службеник О. имагинарен. и. комплексни броеви Водеше во делот "Мимик и сложени броеви". Потребата за овие броеви на новиот тип се појави при решавање на квадратни равенки за случајотД.< 0 (здесь Д. - дискриминантна квадратна равенка). Долго време, овие бројки не се однесуваат на физички важи, па затоа беа наречени "имагинарни" броеви. Сепак, сега тие се многу широко користени во различни области на физиката.

двете технологија: електротехника, хидро и аеродинамика, теорија на еластичност итн.

Комплексни броеви снимање во форма: А + БИ.. Овде a.и. б. – вистински бројки , но i. – имагинарна единица, т.e. I. 2 = –1. Број a.повикан абсциса, А. б - Хордит Интегриран броја + БИ.Два комплексни броевиа + БИ. и. а - БИ. повикан конјугирана комплексни броеви.

Големи договори:

1. Валиден број Но,исто така може да се евидентира во форма Интегриран број:а +.0 i.или а -0 i.. На пример, снимање 5 + 0 I. и 5 - 0 i.значи ист број5 .

2. Сеопфатен број 0 + бИ Повикан чисто имагинарен. број. ЗаписбИзначи исто како 0 + бИ.

3. Две комплексни броеви А + БИ. и.c + DI.се сметаат за еднакви акоa \u003d C.и. б \u003d Д.. Инаку Комплексните броеви не се еднакви.

Покрај тоа. Збир на сложени броевиа + БИ. и. c + DI.наречен комплексен број (a + C. ) + (б + Д. ) i.На овој начин, кога додавате интегрирани броеви, нивните апсцизи и нарачки се посебно преклопени.

Оваа дефиниција е во согласност со правилата за дејствување со конвенционалните полиноми.

Одземање. Разликата помеѓу два комплексни броевиа + БИ. (намалени) и C + DI. (одземен) наречен комплексен број ( А - В. ) + (б-Д. ) i.

На овој начин, кога одземам два интегрирани броеви, нивните апсцизи и нарачки се одделно поднесени.

Множење. Производ комплексни броевиа + БИ. и. c + DI. интегрираниот број се нарекува:

( AC - BD. ) + (реклама + п.н.е. ) i.Оваа дефиниција следи од два барања:

1) Бројки а + БИ. и. c + DI.мора да се размножи како алгебарски Bicked.

2) Број I. Има основен имот:i. 2 = – 1.

Pri mers ( а + БИ. )( А - БИ.) \u003d А. 2 + Б. 2 . Оттука, Состав

двајца конјугирани интегрирани броеви еднакви на валидни

позитивен број.

Поделба. Сплит комплексен броја + БИ. (Подели) на друг C + DI.(делител) - тоа значи да се најде третиот бројe + f i (Песок), кој се множи од страна на делителc + DI., како резултат, делива + БИ.

Ако делител не е еднаков на нула, поделбата е секогаш можна.

Pri mers Најдете (8 + I. ) : (2 – 3 i.) .

R e w e n e n e. Јас го преработи овој став во форма на дел:

Мултиплицирање на бројката и именителот за 2 + 3i.

И. По извршувањето на сите трансформации, добиваме:

Геометриска застапеност на комплексни броеви. Вистинските броеви се прикажани со точки на нумерички директно:

Тука точка A.значи број -3, точкаБ. - број 2, и О. - нула. Спротивно на тоа, сложените броеви се прикажани со поени во координатната рамнина. Ние избираме правоаголни (cartesome) координати со иста скала на двете оски. Потоа комплексен број А + БИ. ќе биде претставена по точка P со Abscissa. А и обични Б (Види сл.). Овој координатен систем се нарекува комплексна рамнина .

Модул Интегриран број наречен векторска должина ОП.прикажувајќи комплексен број на координатот ( сеопфатен) Рамнина. Комплексен модул за број А + БИ. означува | а + БИ. | или писмо р.

Оди) броеви.

2. алгебарска форма на сеопфатни броеви

Интегриран број или комплекс наречен број кој се состои од два броја (Делови) - Реал и имагинарен.

Реално Тоа се нарекува било каков позитивен или негативен број, на пример, + 5, - 28, и слично. Го означува вистинскиот број на писмо "L".

Имагинарен.бројот се нарекува производ еднаков на производот на реалниот број во квадратен корен од негативна единица, на пример, 8, - 20, и слично.

Потребна е негативна единица имагинарен. И го означува писмото "yot":

Го означува вистинскиот број на имагинарното писмо "М".

Потоа имагинарен број може да биде напишан на следниов начин: J M. Во овој случај, комплексен број може да биде напишан на следниов начин:

A \u003d l + j m (2).

Таквата форма на евиденција за интегриран број (комплекс), кој е алгебарски износ на вистински и имагинарни делови, се нарекува алгебарски.

Пример 1. Присутен во комплексот алгебарски форма, вистинскиот дел е еднаков на 6, а имагинарното 15.

Одлука. A \u003d 6 + J 15.

Во прилог на алгебарски, комплексен број може да биде претставен со уште три:

1. Графички;

2. Тригонометриски;

3. Индикативен.

Таквите различни форми остро поедноставување на пресметките синусоидни вредности и нивната графичка слика.

Наизменично разгледајте го графичкиот, тригонометрискиот и индикаторот

форми на презентација на сложени броеви.

Графичка форма на сеопфатни броеви

За графичката претстава на сложени броеви се применуваат директно

координатен систем за јаглен. Во вообичаениот (училишен) координатен систем долж X оските (Abscissa Axis) и "Y" (оската на ордот), позитивни или негативни се одложени реално броеви.

Во истиот координатен систем усвоен во симболичкиот метод, по х оската

во форма на сегменти, реалните броеви се поставени, и по должината на оската "y" - имагинарен

Сл. 1. Координира систем за графичка слика на комплексни броеви

Затоа, оската на апсцисата "X" се нарекува оска на вистински величини или, за да се намали, реално оска.

Оската оска се нарекува оска на имагинарни количини или имагинарен. оска.

Истиот авион (т.е., рамнината на сликата), кој ги прикажува сложените броеви или вредности, се нарекуваат сеопфатен рамнина.

Во овој авион, комплексниот број A \u003d L + J M е прикажан од вектор

(Слика 2), проекцијата на која до вистинската оска е еднаква на нејзиниот вистински дел RE \u003d A "\u003d L и проекција на имагинарната оска - имагинарниот дел од IM A \u003d A" \u003d М.

(Реално - вистински - вистински, валиден, вистински, im - од англиски јазик.ИМаграни - нереален, имагинарен).

Сл. 2. Графичка репрезентација на комплексен број

Во овој случај, бројот a може да биде напишан така

A \u003d a "+ a" \u003d re a + y im a (3).

Користење на графичка слика на бројот А во комплексната рамнина, воведуваме нови дефиниции и добиваат некои важни односи:

1. должината на векторот се нарекува модул вектор и означува | А |.

Според теорема Питагора

| | \u003d. (4) .

2. Аргл формирана од вектор А и вистински позитивен

оска наречена Оска аргумент вектор А и се одредува преку неговата тангента:

tg α \u003d a "/ a" \u003d im a / re a (5).

Така, за графичка претстава на интегрираниот број

A \u003d A "+ A" во форма на вектор е неопходно:

1. Најдете векторски модул | a | со формула (4);

2. Најдете го аргументот на векторот на TG α според формулата (5);

3. Најдете го аголот α од соодносот α \u003d ARC TG α;

4. Во координатниот систем J (x), со агол α помошен

директно и на неа на одредена скала за одложување на сегментот еднаков на модулот на векторот | А |.

Пример 2. Комплексниот број A \u003d 3 + J4 е присутен во графичка форма.

Комплексни броеви I.
Координира
рамнина

Геометрискиот модел на поставениот R валидни броеви е нумеричката права линија. Секој вистински број одговара на единствената точка

на
Нумерички директни и, секоја точка директно
само еден одговара на еден
Валиден број!

По додавањето на нумерички директен, соодветен сет на сите валидни броеви, друга димензија е права линија која содржи плуралност чист м

Додавање на нумерички директен соодветен сет
Сите валидни броеви се уште една димензија -
Директно содржи многу чисто имагинарни броеви -
Ние го добиваме координатниот авион во кој сите
Интегриран број A + Bi може да се стави во согласност со
Точка (А; б) од координатната рамнина.
i \u003d 0 + 1i одговара на точката (0; 1)
2 + 3i одговара на точката (2; 3)
-I-4 одговара на точката (-4; -1)
5 \u003d 5 + 1i одговара на копнеж (5; 0)

Геометриско значење на операцијата за интерконекција

! Операцијата на интерфејсот е аксијална
Симетрија во однос на Abscissa оската.
!! Комбиниран пријател
Интегрираните броеви се еднакви на
Почетокот на координатите.
!!! Вектор прикажан
Конјугирани броеви, навалени на оската
абсциса со ист агол, но
Се наоѓа на различни страни на
на оваа оска.

Слика на валидни броеви

Слика на сложени броеви

Алгебарски
Метод
Слики:
Комплекс Број
A + Bi е прикажан
Точка рамнина
Со координати
(А; Б)

Примери за сликата на сложени броеви на координатниот авион

(Ние сме заинтересирани
Комплексни броеви
z \u003d x + yi, чиј
x \u003d -4. Оваа равенка
право,
паралелна оска
ред)
W.
X \u003d - 4
Валиден
Дел еднаков на -4.
0
Час

Поставете го множеството на сите комплексни броеви на координатниот авион, кој:

Имагинарен дел
е дури и
Snellyce.
Природно
Број
(Ние сме заинтересирани
Комплексни броеви
z \u003d x + yi, чиј
y \u003d 2,4,6,8.
Геометриска слика
се состои од четири
Директно, паралелно
Abscissa оска)
W.
8
6
4
2
0
Час

Поставувањето на комплексен број е еквивалентно на задачата на два валидни броеви A, B - вистински и имагинарни делови од овој интегриран број. Но, незаконското пар на броеви е прикажан во дерталниот правоаголен координатен систем со координати, така, оваа точка може да биде слика и за комплексен број Z: помеѓу комплексните броеви и точките на координатната рамнина воспоставува взаемно недвосмислена усогласеност. Кога го користите координатниот авион за сликата на сложените броеви, ОК оската најчесто се нарекува вистинска оска (бидејќи вистинскиот дел од бројот се зема за апсцисата на точката) и оската на ОУ-имагинарната оска ( Бидејќи имагинарниот дел од бројот е прифатен со цел). Комплексниот број Z, прикажан до точка (A, B), се нарекува афикс на оваа точка. Во овој случај, вистинските броеви се прикажани со точки кои лежат на вистинската оска, и сите чисто имагинарни броеви (на A \u003d 0) - точки кои лежат на имагинарната оска. Бројот на нула е прикажан од точката О.

На Сл. 8 изградени слики од броеви.

Два комплексни броеви на конјугираат се прикажани со поени, симетрични во однос на оската ОХ (точки на сликата 8).

Често со комплексен број се поврзани не само до точка М, прикажувајќи го овој број, туку и векторот OHMS (види став 93), кој води од околу во М; Сликата на голем број вектор е погодна од гледна точка на геометриското толкување на акумулацијата и одземањето на сложените броеви.

На Сл. 9, и се покажа дека векторот што го прикажува износот на сложени броеви се добива како дијагонала на паралелограмот, изграден во векторските слики на компонентите.

Ова правило на формирањето на векторите е познато како паралелограм (на пример, за додавање на сили или брзини во текот на физиката). Одземањето може да се намали на спротивниот вектор (Слика 9, б).

Како што е познато (став 8), позицијата на точката на авионот, исто така, може да се постави во поларните координати. Затоа, комплексниот број - стакната точка е исто така определена од задачата од Сл. 10 Јасно е дека во исто време интегриран модул за број: Поларниот радиус на точката што го прикажува бројот е еднаков на модулот на овој број.

Поларниот агол на точката М се нарекува аргумент на бројот прикажан во оваа точка. Аргументот на интегрираниот број (како и поларниот агол на точката) се одредува двосмислено; Ако - една од неговите вредности, тогаш сите нејзини вредности се изразени со формулата

Сите вредности на аргументот во агрегат се означени со симболот.

Значи, секој комплексен број може да се стави во согласност со пар валидни броеви: модулот и аргументот на овој број, а аргументот се одредува двосмислено. Напротив, наведениот модул и аргумент одговара на еден број кој има податоци модул и аргумент. Посебни својства имаат број на нула: неговиот модул е \u200b\u200bнула, аргументот не ја припишува секоја дефинитивна вредност.

За да се постигне недвосмисленост во одредувањето на аргументот на комплексен број, една од вредностите на аргументот може да се нарече главна работа. Тоа е означено со симбол. Обично, вредноста што ги задоволува нееднаквостите е избрана како главна вредност на аргументот.

(во други случаи нееднаквости).

Сè уште обрнуваме внимание на вредностите на аргументот на валидни и чисто имагинарни броеви:

Актуелните и имагинарните делови на интегрираниот број (како картезиски координатни точки) се изразуваат преку неговиот модул и аргументот (поларните координати на точката) користејќи формули (8.3):

и комплексниот број може да се евидентира во следната тригонометриска форма.