Решавањето равенки во математиката зазема посебно место. На овој процес му претходат многу часови учење теорија, при што студентот учи како да решава равенки, да го одредува нивниот тип и да ја доведе вештината до целосна автоматизација. Сепак, потрагата по корени не секогаш има смисла, бидејќи тие можеби едноставно не постојат. Постојат посебни техники за наоѓање корени. Во оваа статија ќе ги анализираме главните функции, нивните домени на дефиниција, како и случаите кога недостасуваат нивните корени.

Која равенка нема корени?

Равенката нема корени ако нема вистински аргументи x за кои равенката е идентично вистинита. За не-специјалист, оваа формулација, како и повеќето математички теореми и формули, изгледа многу нејасно и апстрактно, но ова е во теорија. Во пракса, сè станува исклучително едноставно. На пример: равенката 0 * x = -53 нема решение, бидејќи не постои број x чиј производ со нула би дал нешто друго освен нула.

Сега ќе ги разгледаме најосновните типови равенки.

1. Линеарна равенка

Равенката се нарекува линеарна ако нејзината десна и лева страна се претставени во форма линеарни функции: ax + b = cx + d или во генерализирана форма kx + b = 0. Каде a, b, c, d се познати броеви, а x е непозната величина. Која равенка нема корени? Примери на линеарни равенки се претставени на илустрацијата подолу.

Во основа, линеарните равенки се решаваат со едноставно пренесување на бројниот дел на еден дел и содржината на x во друг. Резултатот е равенка од формата mx = n, каде што m и n се броеви, а x е непозната. За да најдете x, само поделете ги двете страни со m. Тогаш x = n/m. Повеќето линеарни равенки имаат само еден корен, но има случаи кога има или бесконечно многу корени или воопшто нема корени. Кога m = 0 и n = 0, равенката добива форма 0 * x = 0. Решението на таквата равенка ќе биде апсолутно секој број.

Меѓутоа, која равенка нема корени?

За m = 0 и n = 0, равенката нема корени во множеството реални броеви. 0 * x = -1; 0 * x = 200 - овие равенки немаат корени.

2. Квадратна равенка

Квадратна равенка е равенка од формата ax 2 + bx + c = 0 за a = 0. Најчестото решение е преку дискриминантата. Формулата за наоѓање на дискриминантата на квадратна равенка е: D = b 2 - 4 * a * c. Потоа има два корени x 1,2 = (-b ± √D) / 2 * a.

За D > 0 равенката има два корени, за D = 0 има еден корен. Но, која квадратна равенка нема корени? Најлесен начин да се набљудува бројот на корените на квадратната равенка е со графички приказ на функцијата, која е парабола. За a > 0 гранките се насочени нагоре, за a< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

Можете исто така визуелно да го одредите бројот на корените без да го пресметате дискриминаторот. За да го направите ова, треба да го пронајдете темето на параболата и да одредите во која насока се насочени гранките. Координатата x на темето може да се одреди со помош на формулата: x 0 = -b / 2a. Во овој случај, y координатата на темето се наоѓа со едноставно замена на вредноста x 0 во првобитната равенка.

Квадратната равенка x 2 - 8x + 72 = 0 нема корени, бидејќи има негативна дискриминантна D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224. Ова значи дека параболата не ја допира оската x и функцијата никогаш не ја зема вредноста 0, па затоа равенката нема вистински корени.

3. Тригонометриски равенки

Тригонометриските функции се разгледуваат на тригонометриски круг, но можат да бидат претставени и во Декартов координатен систем. Во оваа статија ќе разгледаме две главни тригонометриски функциии нивните равенки: sinx и cosx. Бидејќи овие функции формираат тригонометриски круг со радиус 1, |sinx| и |cosx| не може да биде поголема од 1. Значи, која равенка синкс нема корени? Размислете за графикот на функцијата sinx прикажан на сликата подолу.

Гледаме дека функцијата е симетрична и има период на повторување од 2pi. Врз основа на ова, можеме да кажеме дека максимална вредностоваа функција може да биде 1, а минимумот е -1. На пример, изразот cosx = 5 нема да има корени, бидејќи неговата апсолутна вредност е поголема од еден.

Ова е наједноставниот пример на тригонометриски равенки. Всушност, нивното решавање може да потрае многу страници, на крајот од кои сфаќате дека сте користеле погрешна формула и треба да започнете одново. Понекогаш, дури и ако правилно ги пронајдете корените, може да заборавите да ги земете предвид ограничувањата на ОД, поради што во одговорот се појавува дополнителен корен или интервал, а целиот одговор се претвора во грешка. Затоа, строго следете ги сите ограничувања, бидејќи не сите корени се вклопуваат во опсегот на задачата.

4. Системи на равенки

Систем од равенки е збир на равенки споени со кадрави или квадратни загради. Кадравите загради покажуваат дека сите равенки се извршуваат заедно. Односно, ако барем една од равенките нема корени или противречи на друга, целиот систем нема решение. Квадратни загради го означуваат зборот „или“. Ова значи дека ако барем една од равенките на системот има решение, тогаш целиот систем има решение.

Одговорот на системот c е множество од сите корени на поединечните равенки. И системите со кадрави загради имаат само заеднички корени. Системите на равенки можат да вклучуваат сосема различни функции, така што таквата сложеност не ни дозволува веднаш да кажеме која равенка нема корени.

Пронајден во проблематични книги и учебници различни типовиравенки: оние што имаат корени и оние што немаат. Како прво, ако не можете да ги најдете корените, немојте да мислите дека тие воопшто ги нема. Можеби сте згрешиле некаде, тогаш само треба внимателно да ја проверите вашата одлука.

Ги разгледавме најосновните равенки и нивните типови. Сега можете да кажете која равенка нема корени. Во повеќето случаи тоа не е тешко да се направи. Постигнувањето успех во решавањето на равенките бара само внимание и концентрација. Вежбајте повеќе, тоа ќе ви помогне многу подобро и побрзо да се движите низ материјалот.

Значи, равенката нема корени ако:

• В линеарна равенка mx = n вредност m = 0 и n = 0;
• во квадратна равенка, ако дискриминаторот помалку од нула;
• В тригонометриска равенкаод формата cosx = m / sinx = n, ако |m| > 0, |n| > 0;
• во систем на равенки со кадрави загради ако барем една равенка нема корени, и со квадратни загради ако сите равенки немаат корени.

Равенка на формата

Изразување Д= б 2 - 4 акповикани дискриминаторскиквадратна равенка. АкоД = 0, тогаш равенката има еден реален корен; ако Д> 0, тогаш равенката има два реални корени.
Во случај Д = 0 , понекогаш се вели дека квадратната равенка има два идентични корени.
Користење на ознаката Д= б 2 - 4 ак, можеме да ја преработиме формулата (2) во форма

Ако б= 2к, тогаш формулата (2) ја има формата:

Каде к= б / 2 .
Последната формула е особено погодна во случаи кога б / 2 - цел број, т.е. коефициент б- парен број.
Пример 1:Решете ја равенката 2 x 2 - 5 x + 2 = 0 . Еве a = 2, b = -5, c = 2. Ние имаме Д= б 2 - 4 наизменична струја = (-5) 2- 4*2*2 = 9 . Бидејќи Д > 0 , тогаш равенката има два корени. Ајде да ги најдеме со формулата (2)

Значи x 1 =(5 + 3) / 4 = 2, x 2 =(5 - 3) / 4 = 1 / 2 ,
тоа е x 1 = 2 И x 2 = 1 / 2 - корени на дадена равенка.
Пример 2:Решете ја равенката 2 x 2 - 3 x + 5 = 0 . Еве a = 2, b = -3, c = 5. Наоѓање на дискриминаторот Д= б 2 - 4 наизменична струја = (-3) 2- 4*2*5 = -31 . Бидејќи Д 0 , тогаш равенката нема вистински корени.

Нецелосни квадратни равенки. Ако во квадратна равенка секира 2 +bx+ в =0 втор коефициент били слободен член ве еднаква на нула, тогаш се повикува квадратната равенка нецелосни. Нецелосни равенкисе изолирани затоа што за да ги пронајдете нивните корени не мора да ја користите формулата за корените на квадратната равенка - полесно е да се реши равенката со факторингирање на нејзината лева страна.
Пример 1:реши ја равенката 2 x 2 - 5 x = 0 .
Ние имаме x(2 x - 5) = 0 . Така или x = 0 , или 2 x - 5 = 0 , тоа е x = 2.5 . Значи, равенката има два корени: 0 И 2.5
Пример 2:реши ја равенката 3 x 2 - 27 = 0 .
Ние имаме 3 x 2 = 27 . Според тоа, корените на оваа равенка се 3 И -3 .

Теорема на Виета. Ако намалената квадратна равенка x 2 + px+q =0 има вистински корени, тогаш нивниот збир е еднаков на - стр, а производот е еднаков q, тоа е

x 1 + x 2 = -p,
x 1 x 2 = q

(збирот на корените на горната квадратна равенка е еднаков на вториот коефициент земен со спротивен знак, а производот на корените е еднаков на слободниот член).

Прво ниво

Квадратни равенки. Сеопфатен водич (2019)

Во терминот „квадратна равенка“, клучниот збор е „квадратна“. Ова значи дека равенката нужно мора да содржи променлива (иста х) на квадрат и не треба да има xes до третата (или поголема) моќност.

Решението на многу равенки се сведува на точно решавање квадратни равенки.

Ајде да научиме да утврдиме дека ова е квадратна равенка, а не некоја друга равенка.

Пример 1.

Ајде да се ослободиме од именителот и да го помножиме секој член од равенката со

Ајде да преместиме сè на лева странаи подредете ги поимите по опаѓачки редослед на силите на x

Сега можеме со сигурност да го кажеме тоа дадена равенкае квадрат!

Пример 2.

Помножете ја левата и десната страна со:

Оваа равенка, иако првично беше во неа, не е квадратна!

Пример 3.

Ајде да помножиме сè со:

Страшно? Четвртиот и вториот степен... Меѓутоа, ако направиме замена, ќе видиме дека имаме едноставна квадратна равенка:

Пример 4.

Се чини дека е таму, но ајде да погледнеме подетално. Ајде да преместиме сè на левата страна:

Видете, тоа е намалено - и сега тоа е едноставна линеарна равенка!

Сега обидете се сами да одредите кои од следните равенки се квадратни, а кои не се:

Примери:

Одговори:

1. квадрат;
2. квадрат;
3. не квадрат;
4. не квадрат;
5. не квадрат;
6. квадрат;
7. не квадрат;
8. квадрат.

Математичарите конвенционално ги делат сите квадратни равенки на следниве типови:

• Целосни квадратни равенки- равенки во кои коефициентите и, како и слободниот член c, не се еднакви на нула (како во примерот). Покрај тоа, меѓу целосните квадратни равенки постојат дадена- ова се равенки во кои коефициентот (равенката од примерот еден не само што е целосна, туку и намалена!)

• Нецелосни квадратни равенки- равенки во кои коефициентот и или слободниот член c се еднакви на нула:

  Тие се нецелосни бидејќи им недостасува некој елемент. Но, равенката секогаш мора да содржи x квадрат!!! Во спротивно веќе нема да биде квадратна равенка, туку некоја друга равенка.

Зошто дошле до ваква поделба? Се чини дека има X квадрат, и во ред. Оваа поделба се одредува со методите на решение. Ајде да го разгледаме секој од нив подетално.

Решавање на нецелосни квадратни равенки

Прво, да се фокусираме на решавање на нецелосни квадратни равенки - тие се многу поедноставни!

Постојат типови на нецелосни квадратни равенки:

1. , во оваа равенка коефициентот е еднаков.
2. , во оваа равенка слободниот член е еднаков на.
3. , во оваа равенка коефициентот и слободниот член се еднакви.

1. јас. Затоа што знаеме да извлечеме Квадратен корен, тогаш да се изразиме од оваа равенка

Изразот може да биде или негативен или позитивен. Бројот во квадрат не може да биде негативен, бидејќи кога се множат два негативни или два позитивни броја, резултатот секогаш ќе биде позитивен број, значи: ако, тогаш равенката нема решенија.

И ако, тогаш добиваме два корени. Нема потреба да ги меморирате овие формули. Главната работа е дека мора да знаете и секогаш да запомните дека не може да биде помалку.

Ајде да се обидеме да решиме неколку примери.

Пример 5:

Решете ја равенката

Сега останува само да се извлече коренот од левата и десната страна. На крајот на краиштата, се сеќавате како да извлечете корени?

Одговор:

Никогаш не заборавајте за корените со негативен знак!!!

Пример 6:

Решете ја равенката

Одговор:

Пример 7:

Решете ја равенката

О! Квадратот на број не може да биде негативен, што значи дека равенката

без корени!

За такви равенки кои немаат корени, математичарите излегоа со посебна икона - (празен сет). А одговорот може да се напише вака:

Одговор:

Така, оваа квадратна равенка има два корени. Овде нема ограничувања, бидејќи не го извадивме коренот.
Пример 8:

Решете ја равенката

Да го извадиме заедничкиот фактор од загради:

Така,

Оваа равенка има два корени.

Одговор:

Наједноставниот тип на нецелосни квадратни равенки (иако сите се едноставни, нели?). Очигледно, оваа равенка секогаш има само еден корен:

Овде ќе се откажеме од примери.

Решавање на целосни квадратни равенки

Потсетуваме дека целосна квадратна равенка е равенка на формата равенка каде

Решавањето на целосни квадратни равенки е малку потешко (само малку) од овие.

Запомнете, Секоја квадратна равенка може да се реши со помош на дискриминатор! Дури и нецелосни.

Останатите методи ќе ви помогнат да го направите тоа побрзо, но ако имате проблеми со квадратните равенки, прво совладајте го решението користејќи ја дискриминаторот.

1. Решавање на квадратни равенки со помош на дискриминант.

Решавањето на квадратните равенки со помош на овој метод е многу едноставно; главната работа е да се запамети низата на дејства и неколку формули.

Ако, тогаш равенката има корен.Треба да обрнете посебно внимание на чекорот. Дискриминантот () ни го кажува бројот на корените на равенката.

• Ако, тогаш формулата во чекорот ќе се сведе на. Така, равенката ќе има само корен.
• Ако, тогаш нема да можеме да го извлечеме коренот на дискриминаторот на чекорот. Ова покажува дека равенката нема корени.

Да се ​​вратиме на нашите равенки и да погледнеме неколку примери.

Пример 9:

Решете ја равенката

Чекор 1прескокнуваме.

Чекор 2.

Го наоѓаме дискриминаторот:

Ова значи дека равенката има два корени.

Чекор 3.

Одговор:

Пример 10:

Решете ја равенката

Равенката е претставена во стандардна форма, па Чекор 1прескокнуваме.

Чекор 2.

Го наоѓаме дискриминаторот:

Ова значи дека равенката има еден корен.

Одговор:

Пример 11:

Решете ја равенката

Равенката е претставена во стандардна форма, па Чекор 1прескокнуваме.

Чекор 2.

Го наоѓаме дискриминаторот:

Ова значи дека нема да можеме да го извлечеме коренот на дискриминаторот. Нема корени на равенката.

Сега знаеме како правилно да ги запишеме таквите одговори.

Одговор:без корени

2. Решавање на квадратни равенки со помош на теоремата на Виета.

Ако се сеќавате, постои еден вид равенка што се нарекува намалена (кога коефициентот a е еднаков на):

Ваквите равенки се многу лесно да се решат користејќи ја теоремата на Виета:

Збир на корени даденаквадратната равенка е еднаква, а производот на корените е еднаков.

Пример 12:

Решете ја равенката

Оваа равенка може да се реши со помош на теоремата на Виета бидејќи .

Збирот на корените на равенката е еднаков, т.е. ја добиваме првата равенка:

И производот е еднаков на:

Ајде да го составиме и решиме системот:

• И. Износот е еднаков на;
• И. Износот е еднаков на;
• И. Износот е еднаков.

и се решение за системот:

Одговор: ; .

Пример 13:

Решете ја равенката

Одговор:

Пример 14:

Решете ја равенката

Равенката е дадена, што значи:

Одговор:

КВАДРАТСКИ РАВЕНКИ. ПРОСЕЧНО НИВО

Што е квадратна равенка?

Со други зборови, квадратна равенка е равенка на формата, каде што - непознатото, - некои броеви и.

Бројот се нарекува највисок или првиот коефициентквадратна равенка, - втор коефициент, А - слободен член.

Зошто? Затоа што ако равенката веднаш стане линеарна, затоа што ќе исчезне.

Во овој случај, и може да биде еднаква на нула. Во овој стол равенката се нарекува нецелосна. Ако сите поими се на место, односно равенката е завршена.

Решенија на различни типови квадратни равенки

Методи за решавање на нецелосни квадратни равенки:

Прво, да ги погледнеме методите за решавање на нецелосни квадратни равенки - тие се поедноставни.

Можеме да ги разликуваме следниве видови равенки:

I., во оваа равенка коефициентот и слободниот член се еднакви.

II. , во оваа равенка коефициентот е еднаков.

III. , во оваа равенка слободниот член е еднаков на.

Сега да го погледнеме решението за секој од овие подтипови.

Очигледно, оваа равенка секогаш има само еден корен:

Квадратен број не може да биде негативен, бидејќи кога ќе помножите два негативни или два позитивни броја, резултатот секогаш ќе биде позитивен број. Затоа:

ако, тогаш равенката нема решенија;

ако имаме два корени

Нема потреба да ги меморирате овие формули. Главната работа што треба да се запамети е дека не може да биде помала.

Примери:

Решенија:

Одговор:

Никогаш не заборавајте за корените со негативен знак!

Квадратот на број не може да биде негативен, што значи дека равенката

без корени.

За накратко да запишеме дека проблемот нема решенија, ја користиме иконата за празно поставување.

Одговор:

Значи, оваа равенка има два корени: и.

Одговор:

Ќе го извадиме заеднички мултипликаторнадвор од заградите:

Производот е еднаков на нула ако барем еден од факторите е еднаков на нула. Ова значи дека равенката има решение кога:

Значи, оваа квадратна равенка има два корени: и.

Пример:

Решете ја равенката.

Решение:

Да ја пресметаме левата страна на равенката и да ги најдеме корените:

Одговор:

Методи за решавање на целосни квадратни равенки:

1. Дискриминаторски

Решавањето на квадратните равенки на овој начин е лесно, главната работа е да се запамети низата на дејства и неколку формули. Запомнете, секоја квадратна равенка може да се реши со помош на дискриминатор! Дури и нецелосни.

Дали го забележавте коренот од дискриминантот во формулата за корени? Но, дискриминаторот може да биде негативен. Што да се прави? Треба да обрнеме посебно внимание на чекор 2. Дискриминаторот ни го кажува бројот на корените на равенката.

• Ако, тогаш равенката има корени:
• Ако, тогаш равенката има исти корени, а всушност, еден корен:

  Таквите корени се нарекуваат двојни корени.

• Ако, тогаш коренот на дискриминантот не е извлечен. Ова покажува дека равенката нема корени.

Зошто е можно различни количиникорени? Да се ​​свртиме кон геометриска смислаквадратна равенка. Графикот на функцијата е парабола:

Во посебен случај, кој е квадратна равенка, . Ова значи дека корените на квадратната равенка се точките на пресек со оската на апсцисата (оската). Параболата може воопшто да не ја пресекува оската или може да ја пресече на една (кога темето на параболата лежи на оската) или две точки.

Покрај тоа, коефициентот е одговорен за насоката на гранките на параболата. Ако, тогаш гранките на параболата се насочени нагоре, а ако, тогаш надолу.

Примери:

Решенија:

Одговор:

Одговор:.

Одговор:

Ова значи дека нема решенија.

Одговор:.

2. Теорема на Виета

Многу е лесно да се користи теоремата на Виета: само треба да изберете пар броеви чиј производ е еднаков на слободниот член на равенката, а збирот е еднаков на вториот коефициент земен со спротивен знак.

Важно е да се запамети дека теоремата на Виета може да се примени само во намалени квадратни равенки ().

Ајде да погледнеме неколку примери:

Пример #1:

Решете ја равенката.

Решение:

Оваа равенка може да се реши со помош на теоремата на Виета бидејќи . Други коефициенти: ; .

Збирот на корените на равенката е:

И производот е еднаков на:

Ајде да избереме парови на броеви чиј производ е еднаков и да провериме дали нивниот збир е еднаков:

• И. Износот е еднаков на;
• И. Износот е еднаков на;
• И. Износот е еднаков.

и се решение за системот:

Така, и се корените на нашата равенка.

Одговор: ; .

Пример #2:

Решение:

Ајде да избереме парови на броеви што даваат во производот, а потоа да провериме дали нивниот збир е еднаков:

и: вкупно даваат.

и: вкупно даваат. За да се добие, доволно е едноставно да се сменат знаците на наводните корени: и, на крајот на краиштата, производот.

Одговор:

Пример #3:

Решение:

Слободниот член на равенката е негативен, и затоа производот на корените е негативен број. Ова е можно само ако еден од корените е негативен, а другиот е позитивен. Затоа збирот на корените е еднаков на разлики во нивните модули.

Дозволете ни да избереме такви парови на броеви кои даваат во производот, а чија разлика е еднаква на:

и: нивната разлика е еднаква - не одговара;

и: - не е соодветно;

и: - не е соодветно;

и: - погоден. Останува само да се запамети дека еден од корените е негативен. Бидејќи нивниот збир мора да биде еднаков, коренот со помал модул мора да биде негативен: . Проверуваме:

Одговор:

Пример #4:

Решете ја равенката.

Решение:

Равенката е дадена, што значи:

Слободниот член е негативен, и затоа производот на корените е негативен. И ова е можно само кога едниот корен од равенката е негативен, а другиот позитивен.

Ајде да избереме парови чиј производ е еднаков, а потоа да одредиме кои корени треба да имаат негативен знак:

Очигледно, само корените се погодни за првиот услов:

Одговор:

Пример #5:

Решете ја равенката.

Решение:

Равенката е дадена, што значи:

Збирот на корените е негативен, што значи дека барем еден од корените е негативен. Но, бидејќи нивниот производ е позитивен, тоа значи дека двата корени имаат знак минус.

Дозволете ни да избереме парови на броеви чиј производ е еднаков на:

Очигледно, корените се броевите и.

Одговор:

Се согласувам, многу е погодно да се дојде до корени усно, наместо да се брои овој гаден дискриминатор. Обидете се да ја користите теоремата на Виета што е можно почесто.

Но, теоремата на Виета е потребна за да се олесни и забрза пронаоѓањето на корените. За да имате корист од неговото користење, мора да ги доведете дејствата до автоматизам. И за ова, решете уште пет примери. Но, не изневерувајте: не можете да користите дискриминатор! Само теоремата на Виета:

Решенија за задачи за самостојна работа:

Задача 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Според теоремата на Виета:

Како и обично, изборот го започнуваме со парчето:

Не е погоден бидејќи износот;

: износот е токму она што ви треба.

Одговор: ; .

Задача 2.

И повторно нашата омилена теорема Виета: збирот мора да биде еднаков, а производот мора да биде еднаков.

Но бидејќи не смее, туку, ги менуваме знаците на корените: и (вкупно).

Одговор: ; .

Задача 3.

Хм... Каде е тоа?

Треба да ги преместите сите термини во еден дел:

Збирот на корените е еднаков на производот.

Добро, застани! Равенката не е дадена. Но, теоремата на Виета е применлива само во дадените равенки. Значи, прво треба да дадете равенка. Ако не можете да водите, откажете се од оваа идеја и решете ја на друг начин (на пример, преку дискриминатор). Дозволете ми да ве потсетам дека да се даде квадратна равенка значи да се направи водечки коефициент еднаков:

Одлично. Тогаш збирот на корените е еднаков на и производот.

Овде е лесно да се избере како лупење круши: на крајот на краиштата, тоа е прост број (извинете за тавтологијата).

Одговор: ; .

Задача 4.

Слободниот член е негативен. Што е посебно за ова? И факт е дека корените ќе имаат различни знаци. И сега, при изборот, не го проверуваме збирот на корените, туку разликата во нивните модули: оваа разлика е еднаква, но производ.

Значи, корените се еднакви на и, но еден од нив е минус. Теоремата на Виета ни кажува дека збирот на корените е еднаков на вториот коефициент со спротивен знак, т.е. Ова значи дека помалиот корен ќе има минус: и, бидејќи.

Одговор: ; .

Задача 5.

Што треба прво да направите? Така е, дајте ја равенката:

Повторно: ги избираме факторите на бројот, а нивната разлика треба да биде еднаква на:

Корените се еднакви на и, но еден од нив е минус. Кои? Нивниот збир треба да биде еднаков, што значи дека минусот ќе има поголем корен.

Одговор: ; .

Дозволете ми да резимирам:

1. Теоремата на Виета се користи само во дадените квадратни равенки.
2. Користејќи ја теоремата на Виета, можете да ги најдете корените со избор, усно.
3. Ако равенката не е дадена или не се најде равенка соодветен парфактори од слободниот термин, што значи дека нема цели корени, а треба да решите на друг начин (на пример, преку дискриминатор).

3. Метод за избор на целосен квадрат

Ако сите поими што ја содржат непознатата се претставени во форма на поими од скратените формули за множење - квадратот на збирот или разликата - тогаш по замена на променливите, равенката може да се претстави во форма на нецелосна квадратна равенка од типот.

На пример:

Пример 1:

Решете ја равенката: .

Решение:

Одговор:

Пример 2:

Решете ја равенката: .

Решение:

Одговор:

ВО општ погледтрансформацијата ќе изгледа вака:

Ова имплицира:.

Не те потсетува на ништо? Ова е дискриминаторска работа! Токму така ја добивме формулата за дискриминација.

КВАДРАТСКИ РАВЕНКИ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНИТЕ РАБОТИ

Квадратна равенка- ова е равенка на формата, каде што - непознатото, - коефициентите на квадратната равенка, - слободниот член.

Целосна квадратна равенка- равенка во која коефициентите не се еднакви на нула.

Намалена квадратна равенка- равенка во која коефициентот, односно: .

Нецелосна квадратна равенка- равенка во која коефициентот и или слободниот член c се еднакви на нула:

• ако коефициентот, равенката изгледа вака:
• ако има слободен член, равенката има форма: ,
• ако и, равенката изгледа вака: .

1. Алгоритам за решавање на нецелосни квадратни равенки

1.1. Нецелосна квадратна равенка на формата, каде што, :

1) Да го изразиме непознатото:

2) Проверете го знакот на изразот:

• ако, тогаш равенката нема решенија,
• ако, тогаш равенката има два корени.

1.2. Нецелосна квадратна равенка на формата, каде што, :

1) Да го извадиме заедничкиот фактор од загради: ,

2) Производот е еднаков на нула ако барем еден од факторите е еднаков на нула. Според тоа, равенката има два корени:

1.3. Нецелосна квадратна равенка на формата, каде што:

Оваа равенка секогаш има само еден корен: .

2. Алгоритам за решавање на целосни квадратни равенки од формата каде

2.1. Решение со помош на дискриминант

1) Да ја намалиме равенката на стандарден поглед: ,

2) Да ја пресметаме дискриминаторот користејќи ја формулата: , која го означува бројот на корените на равенката:

3) Најдете ги корените на равенката:

• ако, тогаш равенката има корени, кои се наоѓаат со формулата:
• ако, тогаш равенката има корен, кој се наоѓа со формулата:
• ако, тогаш равенката нема корени.

2.2. Решение со помош на теоремата на Виета

Збирот на корените на намалената квадратна равенка (равенка на формата каде) е еднаков, а производот на корените е еднаков, т.е. , А.

2.3. Решение со методот на избор на целосен квадрат

Со ова математичка програмаТи можеш реши квадратна равенка.

Програмата не само што дава одговор на проблемот, туку и го прикажува процесот на решавање на два начина:
- користење на дискриминатор
- користејќи ја теоремата на Виета (ако е можно).

Покрај тоа, одговорот се прикажува како точен, а не приближен.
На пример, за равенката \(81x^2-16x-1=0\) одговорот е прикажан во следнава форма:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ и не вака: \(x_1 = 0,247; \quad x_2 = -0,05\)

Оваа програма може да биде корисна за средношколците средните училиштаво подготовка за тестовии испити, при проверка на знаењето пред обединет државен испит, за родителите да го контролираат решавањето на многу проблеми по математика и алгебра. Или можеби е премногу скапо за вас да ангажирате учител или да купите нови учебници? Или само сакате да го завршите тоа што е можно побрзо? домашна работапо математика или алгебра? Во овој случај, можете да ги користите и нашите програми со детални решенија.

На овој начин можете да спроведете сопствена обука и/или ваша обука. помлади браќаили сестри, додека нивото на образование во областа на проблемите што се решаваат се зголемува.

Доколку не сте запознаени со правилата за внесување на квадратен полином, ви препорачуваме да се запознаете со нив.

Правила за внесување квадратен полином

Секоја латинска буква може да дејствува како променлива.
На пример: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), итн.

Броевите може да се внесат како цели или фракциони броеви.
Згора на тоа, дробни броевиможе да се внесе не само како децимална, туку и како обична дропка.

Правила за внесување децимални дропки.
Во децималните дропки, дробниот дел може да се одвои од целиот дел или со точка или со запирка.
На пример, можете да внесете децималивака: 2,5x - 3,5x^2

Правила за внесување обични дропки.
Само цел број може да дејствува како броител, именител и цел број на дропка.

Именителот не може да биде негативен.

При внесување на нумеричка дропка, броителот се одвојува од именителот со знак за делење: /
Цел делодвоено од дропот со амперсанд: &
Влез: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Резултат: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

При внесување на израз можете да користите загради. Во овој случај, при решавање на квадратна равенка, прво се поедноставува воведениот израз.
На пример: 1/2 (y-1) (y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Одлучи

Откриено е дека некои скрипти неопходни за решавање на овој проблем не се вчитани и дека програмата може да не работи.
Можеби имате овозможено AdBlock.
Во овој случај, оневозможете го и освежете ја страницата.

JavaScript е оневозможен во вашиот прелистувач.
За да се појави решението, треба да овозможите JavaScript.
Еве инструкции за тоа како да овозможите JavaScript во вашиот прелистувач.

Бидејќи Има многу луѓе кои се подготвени да го решат проблемот, вашето барање е на ред.
За неколку секунди решението ќе се појави подолу.
Ве молам почекајте сек...

Ако ти забележал грешка во решението, тогаш можете да напишете за ова во Формуларот за повратни информации.
Не заборавај посочете која задачавие одлучувате што внесете во полињата.

Нашите игри, загатки, емулатори:

Малку теорија.

Квадратна равенка и нејзините корени. Нецелосни квадратни равенки

Секоја од равенките
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
изгледа како
\(ax^2+bx+c=0, \)
каде што x е променлива, a, b и c се броеви.
Во првата равенка a = -1, b = 6 и c = 1,4, во втората a = 8, b = -7 и c = 0, во третата a = 1, b = 0 и c = 4/9. Ваквите равенки се нарекуваат квадратни равенки.

Дефиниција.
Квадратна равенкасе нарекува равенка од формата ax 2 +bx+c=0, каде што x е променлива, a, b и c се некои броеви и \(a \neq 0 \).

Броевите a, b и c се коефициенти на квадратната равенка. Бројот a се нарекува прв коефициент, бројот b е вториот коефициент, а бројот c е слободен член.

Во секоја од равенките од формата ax 2 +bx+c=0, каде \(a\neq 0\), најголемата моќност на променливата x е квадрат. Оттука и името: квадратна равенка.

Забележете дека квадратната равенка се нарекува и равенка од втор степен, бидејќи нејзината лева страна е полином од втор степен.

Се нарекува квадратна равенка во која коефициентот x 2 е еднаков на 1 дадена квадратна равенка. На пример, дадените квадратни равенки се равенките
\(x^2-11x+30=0, \четири x^2-6x=0, \четири x^2-8=0 \)

Ако во квадратна равенка ax 2 +bx+c=0 барем еден од коефициентите b или c е еднаков на нула, тогаш таквата равенка се вика нецелосна квадратна равенка. Така, равенките -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 се нецелосни квадратни равенки. Во првиот од нив b=0, во вториот c=0, во третиот b=0 и c=0.

Постојат три типа на нецелосни квадратни равенки:
1) ax 2 +c=0, каде \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, каде \(b \neq 0 \);
3) секира 2 =0.

Ајде да размислиме за решавање на равенките на секој од овие типови.

За да решите нецелосна квадратна равенка од формата ax 2 +c=0 за \(c \neq 0 \), поместете го нејзиниот слободен член на десната страна и поделете ги двете страни на равенката со a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Десна стрелка x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Бидејќи \(c \neq 0 \), тогаш \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Ако \(-\frac(c)(a)>0\), тогаш равенката има два корени.

Ако \(-\frac(c)(a) За да се реши нецелосна квадратна равенка од формата ax 2 +bx=0 со \(b \neq 0 \) се множи нејзината лева страна и се добива равенката
\(x(ax+b)=0 \Десна стрелка \лево\( \почеток (низа)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end (низа) \десно. \Десна стрелка \лево\( \почеток (низа)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end (низа) \десно. \)

Ова значи дека нецелосната квадратна равенка од формата ax 2 +bx=0 за \(b \neq 0 \) секогаш има два корени.

Нецелосната квадратна равенка од формата ax 2 =0 е еквивалентна на равенката x 2 =0 и затоа има еден корен 0.

Формула за корените на квадратна равенка

Сега да разгледаме како да ги решиме квадратните равенки во кои и коефициентите на непознатите и слободниот член се ненула.

Да ја решиме квадратната равенка во општа форма и како резултат да ја добиеме формулата за корените. Оваа формула потоа може да се користи за решавање на која било квадратна равенка.

Решете ја квадратната равенка ax 2 +bx+c=0

Поделувајќи ги двете страни со a, ја добиваме еквивалентната намалена квадратна равенка
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Ајде да ја трансформираме оваа равенка со избирање на квадратот на биномот:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\десно)^2- \left(\frac(b)(2a)\десно)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Десна стрелка \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\десно)^2 = \left(\frac(b)(2a)\десно)^ 2 - \frac(c)(a) \десна стрелка \) \(\лево(x+\frac(b)(2a)\десно)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( в)(а) \Десна стрелка \лево(x+\frac(b)(2a)\десно)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \десно стрелка \) \(x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Десна стрелка x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \Десна стрелка \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Радикалниот израз се нарекува дискриминатор на квадратна равенка ax 2 +bx+c=0 („дискриминатор“ на латински - дискриминатор). Се означува со буквата Д, т.е.
\(D = b^2-4ac\)

Сега, користејќи ја дискриминаторната нотација, ја препишуваме формулата за корените на квадратната равенка:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), каде што \(D= b^2-4ac \)

Очигледно е дека:
1) Ако D>0, тогаш квадратната равенка има два корени.
2) Ако D=0, тогаш квадратната равенка има еден корен \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Ако D Така, во зависност од вредноста на дискриминаторот, квадратната равенка може да има два корени (за D > 0), еден корен (за D = 0) или да нема корени (за D Кога се решава квадратна равенка користејќи го ова формула, препорачливо е да се направи на следниов начин:
1) пресметај ја дискриминантата и спореди ја со нула;
2) ако дискриминаторот е позитивен или еднаков на нула, тогаш користете ја коренската формула; ако дискриминаторот е негативен, тогаш запишете дека нема корени.

Теорема на Виета

Зададената квадратна равенка ax 2 -7x+10=0 има корени 2 и 5. Збирот на корените е 7, а производот е 10. Гледаме дека збирот на корените е еднаков на вториот коефициент земен со спротивното знак, а производот на корените е еднаков на слободниот член. Секоја намалена квадратна равенка која има корени го има ова својство.

Збирот на корените на горната квадратна равенка е еднаков на вториот коефициент земен со спротивен знак, а производот на корените е еднаков на слободниот член.

Оние. Теоремата на Виета вели дека корените x 1 и x 2 од намалената квадратна равенка x 2 +px+q=0 имаат својство:
\(\лево\( \почеток(низа)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \крај (низа) \десно. \)

Квадратна равенка - лесно се решава! *Во натамошниот текст „КУ“.Пријатели, се чини дека не може да има ништо поедноставно во математиката од решавање на таква равенка. Но, нешто ми кажа дека многу луѓе имаат проблеми со него. Решив да видам колку впечатоци на барање дава Yandex месечно. Еве што се случи, погледнете:

Што значи тоа? Тоа значи дека месечно бараат околу 70.000 луѓе оваа информација, каква врска има ова лето, и што ќе се случува меѓу учебната година— ќе има двојно повеќе барања. Ова не е изненадувачки, бидејќи оние момци и девојчиња кои одамна завршиле училиште и се подготвуваат за обединет државен испит, ги бараат овие информации, а учениците исто така се трудат да ја освежат својата меморија.

И покрај фактот дека има многу сајтови кои ви кажуваат како да ја решите оваа равенка, решив исто така да придонесам и да го објавам материјалот. Прво, би сакал ова барањеи посетителите дојдоа на мојата страница; второ, во други статии, кога ќе се појави темата „КУ“, ќе дадам линк до оваа статија; трето, ќе ви кажам малку повеќе за неговото решение отколку што обично се наведува на други сајтови. Ајде да почнеме!Содржината на статијата:

Квадратна равенка е равенка од формата:

каде што коефициентите a,ба c се произволни броеви, со a≠0.

ВО училишен курсматеријалот е даден во следната форма– равенките се поделени во три класи:

1. Имаат два корени.

2. *Имаат само еден корен.

3. Немаат корени. Овде особено вреди да се забележи дека тие немаат вистински корени

Како се пресметуваат корените? Само!

Ја пресметуваме дискриминаторната. Под овој „страшен“ збор се крие многу едноставна формула:

Формулите на коренот се како што следува:

*Треба да ги знаете овие формули напамет.

Можете веднаш да запишете и решите:

Пример:

1. Ако D > 0, тогаш равенката има два корени.

2. Ако D = 0, тогаш равенката има еден корен.

3. Ако Д< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Да ја погледнеме равенката:

Од страна на во оваа прилика, кога дискриминаторот е еднаков на нула, училишниот курс вели дека резултатот е еден корен, овде е еднаков на девет. Сè е точно, така е, но ...

Оваа идеја е донекаде неточна. Всушност, постојат два корени. Да, да, немојте да се чудите, добивате два еднакви корени, а за да бидеме математички прецизни, тогаш одговорот треба да напише два корени:

x 1 = 3 x 2 = 3

Но, тоа е така - мало повлекување. На училиште можете да го запишете и да кажете дека има еден корен.

Сега следниот пример:

Како што знаеме, коренот на негативен бројне се извлекува, така што нема решение во овој случај.

Тоа е целиот процес на одлучување.

Квадратна функција.

Ова покажува како геометриски изгледа решението. Ова е исклучително важно да се разбере (во иднина, во една од написите детално ќе го анализираме решението на квадратната нееднаквост).

Ова е функција на формата:

каде што x и y се променливи

a, b, c – дадени броеви, со a ≠ 0

Графикот е парабола:

Односно, излегува дека со решавање на квадратна равенка со „y“ еднаква на нула, ги наоѓаме точките на пресек на параболата со оската x. Може да има две од овие точки (дискриминаторот е позитивен), еден (дискриминаторот е нула) и ниту еден (дискриминаторот е негативен). Детали за квадратна функција Можете да видитестатија од Инна Фелдман.

Ајде да погледнеме примери:

Пример 1: Реши 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Одговор: x 1 = 8 x 2 = –12

*Можно беше веднаш да се подели левата и десната страна на равенката со 2, односно да се поедностави. Пресметките ќе бидат полесни.

Пример 2: Одлучи x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Откривме дека x 1 = 11 и x 2 = 11

Дозволено е да се напише x = 11 во одговорот.

Одговор: x = 11

Пример 3: Одлучи x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Дискриминаторот е негативен, нема решение во реални бројки.

Одговор: нема решение

Дискриминаторот е негативен. Има решение!

Овде ќе зборуваме за решавање на равенката во случај кога ќе се добие негативна дискриминанта. Дали знаете нешто за сложени броеви? Овде нема да навлегувам во детали зошто и каде се појавија и која е нивната специфична улога и неопходност во математиката; ова е тема за голема посебна статија.

Концептот на комплексен број.

Малку теорија.

Комплексен број z е број на формата

z = a + bi

каде што се a и b реални броеви, јас е таканаречената имагинарна единица.

а+би – ова е ЕДЕН БРОЈ, а не собирање.

Имагинарната единица е еднаква на коренот минус еден:

Сега разгледајте ја равенката:

Добиваме два конјугирани корени.

Нецелосна квадратна равенка.

Ајде да разгледаме посебни случаи, ова е кога коефициентот „б“ или „в“ е еднаков на нула (или и двата се еднакви на нула). Тие можат лесно да се решат без никакви дискриминатори.

Случај 1. Коефициент b = 0.

Равенката станува:

Ајде да конвертираме:

Пример:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Случај 2. Коефициент c = 0.

Равенката станува:

Ајде да се трансформираме и факторизираме:

*Производот е еднаков на нула кога барем еден од факторите е еднаков на нула.

Пример:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 или x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Случај 3. Коефициенти b = 0 и c = 0.

Овде е јасно дека решението на равенката секогаш ќе биде x = 0.

Корисни својства и модели на коефициенти.

Постојат својства кои ви дозволуваат да решавате равенки со големи коефициенти.

Аx 2 + bx+ в=0 важи еднаквоста

а + б+ c = 0,Тоа

- ако за коефициентите на равенката Аx 2 + bx+ в=0 важи еднаквоста

а+ c =б, Тоа

Овие својства помагаат да се реши одреден тип равенки.

Пример 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Збирот на шансите е 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, што значи

Пример 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Еднаквоста држи а+ c =б, Средства

Правилности на коефициентите.

1. Ако во равенката ax 2 + bx + c = 0 коефициентот „b“ е еднаков на (a 2 +1), а коефициентот „c“ е нумерички еднаков на коефициентот „a“, тогаш неговите корени се еднакви

секира 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Пример. Размислете за равенката 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Ако во равенката ax 2 – bx + c = 0 коефициентот „b“ е еднаков на (a 2 +1), а коефициентот „c“ е нумерички еднаков на коефициентот „a“, тогаш неговите корени се еднакви

секира 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Пример. Размислете за равенката 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Ако во равенка. ax 2 + bx – c = 0 коефициент „b“ е еднакво на (а 2 – 1), и коефициент „в“ е нумерички еднаков на коефициентот „а“, тогаш неговите корени се еднакви

секира 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Пример. Размислете за равенката 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Ако во равенката ax 2 – bx – c = 0 коефициентот „b“ е еднаков на (a 2 – 1), а коефициентот c е нумерички еднаков на коефициентот „a“, тогаш неговите корени се еднакви

секира 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Пример. Размислете за равенката 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Теорема на Виета.

Теоремата на Виета е именувана по познатиот француски математичар Франсоа Виета. Користејќи ја теоремата на Виета, можеме да го изразиме збирот и производот на корените на произволно KU во однос на неговите коефициенти.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Вкупно, бројот 14 дава само 5 и 9. Ова се корените. Со одредена вештина, користејќи ја презентираната теорема, можете веднаш усно да решите многу квадратни равенки.

Дополнително, теоремата на Виета. Погодно е по тоа што по решавањето на квадратната равенка на вообичаен начин (преку дискриминатор), може да се проверат добиените корени. Препорачувам да го правите ова секогаш.

НАЧИН НА ПРЕВОЗ

Со овој метод, коефициентот „а“ се множи со слободниот член, како да е „фрлен“ кон него, поради што се нарекува метод на „трансфер“.Овој метод се користи кога корените на равенката може лесно да се најдат со помош на теоремата на Виета и што е најважно, кога дискриминаторот е точен квадрат.

Ако А± b+c≠ 0, тогаш се користи техниката на пренос, на пример:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Користејќи ја теоремата на Виета во равенката (2), лесно е да се одреди дека x 1 = 10 x 2 = 1

Добиените корени на равенката мора да се поделат со 2 (бидејќи двете беа „фрлени“ од x 2), добиваме

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Кое е образложението? Погледнете што се случува.

Дискриминаторите на равенките (1) и (2) се еднакви:

Ако ги погледнете корените на равенките, добивате само различни именители, а резултатот зависи токму од коефициентот x 2:

Вториот (модифициран) има корени кои се 2 пати поголеми.

Затоа, резултатот го делиме со 2.

*Ако ги превртиме трите, резултатот ќе го поделиме со 3 итн.

Одговор: x 1 = 5 x 2 = 0,5

Плоштад. ur-ie и унифициран државен испит.

Накратко ќе ви кажам за неговата важност - МОРА ДА СОМОЖИТЕ ДА ОДЛУЧИТЕ брзо и без размислување, треба напамет да ги знаете формулите на корените и дискриминаторите. Многу од проблемите вклучени во задачите на Обединетиот државен испит се сведуваат на решавање на квадратна равенка (вклучени и геометриски).

Нешто што вреди да се забележи!

1. Формата на пишување равенка може да биде „имплицитна“. На пример, можен е следниов запис:

15+ 9x 2 - 45x = 0 или 15x+42+9x 2 - 45x=0 или 15 -5x+10x 2 = 0.

Треба да го доведете во стандардна форма (за да не се збуните при решавањето).

2. Запомнете дека x е непозната големина и може да се означи со која било друга буква - t, q, p, h и други.