Hvad betyder vektor. Vektorer for dummies. Handlinger med vektorer. Vektor koordinater. Enkleste opgaver med vektorer. Scalar produktvektorer

Standard Definition: "Vector er et rettet segment." Normalt er dette begrænset til kandidatens viden om vektorerne. Hvem har brug for nogle "rettede segmenter"?

Og faktisk, hvad er vektorerne og hvorfor de?
Vejrudsigt. "Vinden er nordvestlig, hastigheden på 18 meter pr. Sekund." Enig, vindretningen af \u200b\u200bvindene (hvor den blæser fra), og modulet (det vil sige den absolutte værdi) af dens hastighed.

De værdier, der ikke har retninger, kaldes skalar. Masse, arbejde, elektrisk ladning er ikke rettet overalt. De er kun kendetegnet ved en numerisk værdi - "Hvor mange kilo" eller "Hvor meget JOULE".

Fysiske mængder, der ikke kun har absolut værdi, men også retningen kaldes vektor.

Hastighed, styrke, acceleration - vektorer. For dem er det vigtigt "hvor meget" og vigtigst "hvor". For eksempel er accelerationen af \u200b\u200bdet frie fald rettet mod jordens overflade, og dens værdi er 9,8 m / s2. Pulse, elektrisk feltstyrke, induktion af magnetfeltet - også vektorværdier.

Du husker, at fysiske mængder betegnes med breve, latin eller græsk. Arrogo over brevet viser, at værdien er vektor:

Her er et andet eksempel.
Bilen bevæger sig fra A i b. Slutresultatet er dets bevægelse fra punkt A til punkt B, det vil sige at flytte på vektoren .

Nu er det klart, hvorfor vektoren er et rettet segment. Bemærk, slutningen af \u200b\u200bvektoren er hvor pilen. Længde vektor Kaldet længden af \u200b\u200bdette segment. Betegner: Or.

Hidtil har vi arbejdet med skalære værdier i henhold til reglerne for aritmetisk og elementær algebra. Vektorer - et nyt koncept. Dette er en anden klasse af matematiske genstande. For dem, deres egne regler.

Når vi ikke vidste om tal. Bekendtskab med dem begyndte i junior klasser. Det viste sig, at tal kan sammenlignes med hinanden, folde, fradrag, formere og opdele. Vi lærte at der er en første og nummeret nul.
Nu bliver vi bekendt med vektorer.

Begreberne "mere" og "mindre" for vektorer eksisterer ikke - de kan være forskellige retninger. Du kan kun sammenligne længden af \u200b\u200bvektorerne.

Men begrebet ligestilling for vektorer er.
Lige Vektorerne har de samme længder og samme retning kaldes. Det betyder, at vektoren kan overføres parallelt med dig selv hvor som helst i flyet.
Enkelt Kaldet vektor, hvis længde er lig med 1. Nul - vektor, hvis længde er nul, det vil sige dens begyndelse falder sammen med enden.

Det er mest hensigtsmæssigt at arbejde med vektorer i et rektangulært koordinatsystem - det meget i hvilke tegne grafer af funktioner. Hvert punkt i koordinatsystemet svarer til to tal - dets koordinater for X og Y, Abscissa og Ordinate.
Vektoren indstiller også to koordinater:

Her i parentes registrerede koordinaterne for vektoren - ved x og på y.
De er simpelthen: den koordinatende ende af vektor minus koordinat af starten.

Hvis vektorkoordinaterne er angivet, er dens længde placeret med formlen

Tilsætning af vektorer

For tilsætning af vektorer er der to måder.

en . Regel parallelogram. For at folde vektorerne og, sætter vi starten på begge på et tidspunkt. Du vil blive afsluttet til parallelogrammet og fra samme punkt udfører vi diagonalen af \u200b\u200bparallelogrammet. Dette vil være summen af \u200b\u200bvektorer og.

Husk fastgøreren om svane, kræft og gedde? De forsøgte meget, men skiftede aldrig hvem fra scenen. Efter alt var vektor summen af \u200b\u200bde kræfter, der var fastgjort til bilen, nul.

2. Den anden måde at tilføje vektorer på er en trekantsregel. Tag de samme vektorer og. Ved slutningen af \u200b\u200bden første vektor fastgør jeg begyndelsen af \u200b\u200bden anden. Tilslut nu begyndelsen af \u200b\u200bden første og ende af den anden. Dette er summen af \u200b\u200bvektorerne og.

På samme måde kan flere vektorer foldes. Vi tilføjer dem en efter en, og derefter kombinerer begyndelsen af \u200b\u200bden første med slutningen af \u200b\u200bsidstnævnte.

Forestil dig at du går fra punkt A til afsnit B, fra B C, fra C i D, derefter i E og i f. Det endelige resultat af disse handlinger bevæger sig fra en i f.

Når du tilføjer vektorer og få:

Trække vektorer

Vektoren sendes til den modsatte vektor. Vektorernes længder er ens.

Nu er det klart, hvilken subtraktion af vektorer. Forskellen mellem vektorer er summen af \u200b\u200bvektoren og vektoren.

Multiplikation af vektor efter nummer

Når vektor multiplicerer tallet K, opnås vektoren, hvis længde er forskellig fra længden. Det er belagt med en vektor, hvis K er større, og er rettet modsat, hvis k er mindre end nul.

Scalar produktvektorer

Vektorer kan multipliceres ikke kun i tal, men også på hinanden.

Vektorernes skalære produkt er produktet af længderne af vektorerne på cosinet af hjørnet mellem dem.

Bemærk - flyttede to vektorer, og skalaren viste sig, det vil sige nummeret. For eksempel i fysik er mekanisk arbejde lig med det skalære produkt af to vektorer - kræfter og bevægelser:

Hvis vektorerne er vinkelret, er deres skalære produkt nul.
Og her er det skalære produkt udtrykt gennem koordinaterne for vektorerne og:

Fra formlen til et skalarprodukt kan du finde vinklen mellem vektorer:

Denne formel er især praktisk i stereometri. For eksempel, i opgaven med 14 af profileksamen i matematik, skal du finde vinklen mellem Cross-go lige eller mellem lige og plan. Ofte løses vektor metodeopgaven 14 flere gange hurtigere end klassisk.

I skoleprogrammet i matematik undersøges kun det skalære produkt af vektorer.
Det viser sig, at bortset fra skalar er der også et vektorprodukt, når vektoren er som følge af multiplikationsvektorer. Hvem giver eksamen i fysik, ved, hvad kraften i Lorentz og Amperens kraft. Formlen for at finde disse kræfter omfatter vektorkunst.

Vektorer - nyttigt matematisk instrument. I dette vil du se for det første år.

Vektor
I fysik og matematik er vektoren en værdi, der er kendetegnet ved dens numeriske værdi og retning. En masse vigtige værdier, der er vektorer, findes i fysik, såsom kraft, position, hastighed, acceleration, drejningsmoment, impuls, elektriske og magnetiske felter. De kan modsættes mod andre værdier, såsom masse, volumen, tryk, temperatur og densitet, der kan beskrives i et konventionelt antal, og de kaldes "Scalars". Vectorial bruges, når du arbejder med værdier, der ikke kan indstilles fuldstændigt ved hjælp af konventionelle tal. For eksempel ønsker vi at beskrive positionen af \u200b\u200bmotivet i forhold til et eller andet punkt. Vi kan sige, hvor mange kilometer fra peger på emnet, men vi kan ikke helt bestemme sin placering, indtil vi kender den retning, den er. Således er placeringen af \u200b\u200bemnet karakteriseret ved en numerisk værdi (afstand i kilometer) og retningen. Grafisk er vektorerne afbildet i form af rettede segmenter af en direkte længde, som i fig. 1. For eksempel for at præsentere grafisk styrke på fem kilo, er det nødvendigt at tegne en strækning af en lige linje i fem enheder i kraftens retning. Pilen angiver, at kraften virker fra A til B; Hvis kraften virker fra B til A, ville vi registrere eller for nemheds skyld, vektorerne er normalt udpeget af fedte store bogstaver (A, B, C og SO); Vektorer A og -A har lige numeriske værdier, men er modsat retningen. Den numeriske værdi af vektor A kaldes modulet eller længden og betegnes af A eller | A |. Dette er en størrelse, selvfølgelig, skalar. Vektoren, begyndelsen og slutningen af \u200b\u200bdet, der falder sammen, kaldes nul og udpeget O.

To vektorer kaldes lige (eller gratis), hvis deres moduler og retninger falder sammen. I mekanik og fysik bør denne definition imidlertid anvendes med forsigtighed, da to lige kræfter, der er fastgjort til forskellige punkter i kroppen, generelt vil føre til forskellige resultater. I denne henseende er vektorerne opdelt i "relateret" eller "glidende" som følger: De tilknyttede vektorer har faste punkter i ansøgningen. For eksempel indikerer en radiusvektor positionen af \u200b\u200bpunktet i forhold til en bestemt oprindelse. Beslægtede vektorer anses for at være lige, hvis de falder sammen ikke kun moduler og retninger, men de har et fælles applikationspunkt. Glidende vektorer kaldes lige vektorer placeret på en lige linje.
Tilsætning af vektorer. Ideen om at tilføje vektorer opstod fra det faktum, at vi kan finde den eneste vektor, der har samme indflydelse som den anden to vektor sammen. Hvis vi for at komme ind i et punkt, skal vi først gå i en kilometer i en retning og derefter B kilometer i en anden retning, så vi kunne nå vores endepunkt ved at passere med kilometer i den tredje retning (fig. 2). I den forstand kan vi sige det

A + B \u003d C.
Vektoren C kaldes den "resulterende vektor" A og B, den er indstillet af konstruktionen vist i figuren; I vektorer A og B, som parter er konstrueret af parallelogrammer, og C er en diagonal, der forbinder begyndelsen A og enden af \u200b\u200bV. fra fig. 2 Det kan ses, at tilsætningen af \u200b\u200bvektorer "commutative", dvs. A + B \u003d B + A. På samme måde kan du tilføje flere vektorer, der indkalder dem ved den "kontinuerlige kæde", som vist i fig. 3 for tre vektorer D, E og F. fra fig. 3 ses også det

(D + E) + F \u003d D + (E + F), dvs. Tilsætning af vektorer associative. Du kan opsummere et hvilket som helst antal vektorer, og vektorerne ligger ikke nødvendigvis i samme plan. Subtraktionen af \u200b\u200bvektorerne synes at blive behandlet med en negativ vektor. For eksempel er A - B \u003d A + (-b), hvor som defineret tidligere -b er en vektor svarende til modul, men modsat i retning. Denne formationsregel kan nu bruges som et reelt verifikationskriterium, om en vis værdi er en vektor eller ej. Bevægelser er normalt underlagt betingelserne i denne regel; Det samme kan siges om hastigheder; Kræfterne tilføjer på samme måde som det var muligt at se fra "trekanten af \u200b\u200bkræfter". Men nogle værdier, der besidder både numeriske værdier og anvisninger, er imidlertid ikke underlagt denne regel, kan derfor ikke betragtes som vektorer. Eksempler er endelige rotationer.
Multiplicere vektor på skalar. Produktet MA eller AM, hvor m (m nr. 0) er en skalar, og A - en nonzero-vektor defineres som en anden vektor, som i m gange længere end A og har retningen det og A, hvis nummeret m er positivt, og det modsatte, hvis det er negativt som vist i fig. 4, hvor m er henholdsvis 2 og -1/2. Derudover 1a \u003d A, dvs. Når man multiplicerer, ændres 1 vektor ikke. Værdien er -1a - vektoren svarende til længden, men den modsatte retning, er normalt skrevet som -A. Hvis A er nulvektor og (eller) m \u003d 0, så er MA en nulvektor. Multiplikationsfordeling, dvs.

Vi kan tilføje et hvilket som helst antal vektorer, og proceduren for komponenterne påvirker ikke resultatet. Højre og omvendt: Enhver vektor er foldet i to eller flere "komponenter", dvs. For to vektorer eller mere, som, der foldes, vil give kildevektoren som resultat. For eksempel i fig. 2, A og B - Komponenter C. Mange matematiske handlinger forenkles med vektorer, hvis vektoren af \u200b\u200btre komponenter nedbrydes på tre gensidigt vinkelrette retninger. Vælg det rigtige system af kartesiske koordinater med OX, OY- og OZ-akser som vist i fig. 5. I henhold til det rigtige koordinatsystem betyder vi, at X-, Y- og Z-akserne er placeret, som de kan placeres henholdsvis store, indeks og mellemfingre i højre hånd. Fra et rigtigt koordinatsystem kan du altid få et andet rigtigt koordinatsystem med den tilsvarende rotation. I fig. 5 er dekomponeringen af \u200b\u200bvektor A vist til tre komponenter, og de er i mængden af \u200b\u200bvektor A, siden

Dermed,

Det ville også være muligt at først tilføje og få derefter at tilføje fremspring af vektoren A i tre koordinatakser, angivet ved AX, AY og AZ kaldes "Scalar Components" af vektoren A:

hvor A, B og G er vinkler mellem en og tre koordinatakser. Nu introducerer vi tre vektor af enkeltlængde I, J og K (Orts), der har samme retning som de tilsvarende akser X, Y og Z. Derefter, hvis AX multipliceres med I, så er det resulterende produkt en vektor svarende til og

To vektorer er lige så, og kun hvis deres respektive skalære komponenter er ens. Således er A \u003d B da og kun hvis AX \u003d BX, AY \u003d BY, AZ \u003d BZ. To vektorer kan foldes ved at folde deres komponenter:

Derudover ifølge Pythagores sætning:

Lineære funktioner. Ekspression AA + BB, hvor A og B-skalar kaldes den lineære funktion af vektorer A og B. Dette er en vektor i samme plan som A og B; Hvis A og B ikke er parallelle, så med en ændring i A og B, vil AA + BB-vektoren bevæge sig over hele planet (fig. 6). Hvis A, B og C ikke alle ligger i samme plan, bevæger Vector AA + BB + CC (A, B og C) i hele rummet. Antag at A, B og C er enkeltvektorer I, J og K. Vector AI ligger på X-aksen; Vector AI + BJ kan bevæge sig i hele XY-planet; Vector AI + BJ + CK kan flyttes i hele rummet.

Det ville være muligt at vælge fire indbyrdes vinkelret vektor I, J, K og L og bestemme den fire-dimensionelle vektor som værdien A \u003d AXI + AYJ + AZK + AWL
Med Long.

Og det ville være muligt at fortsætte til fem, seks eller et hvilket som helst antal målinger. Selv om det er umuligt at præsentere visuelt en sådan vektor, opstår der ingen matematiske vanskeligheder her. En sådan post er ofte nyttig; For eksempel er tilstanden af \u200b\u200bden bevægelige partikel beskrevet af den seks-dimensionelle P (X, Y, Z, PX, PY, PX, X, Z, PX, PY, PZ), hvis komponenter er dens position i plads (x, y, z) og impulsen (px, py, pz). Et sådant rum kaldes "fase rum"; Hvis vi overvejer to partikler, er fasepladsen 12-dimensional, hvis tre, derefter 18 og så videre. Antallet af dimensioner kan øges på ubestemt tid; Samtidig skal de magnler, som vi vil behandle, på mange måder såvel som dem, som vi overvejer i resten af \u200b\u200bdenne artikel, nemlig tredimensionelle vektorer.
Multiplicere to vektorer. Regel for dannelse af vektorer blev opnået ved at studere opførelsen af \u200b\u200bde værdier, der er repræsenteret af vektorer. Der er ingen synlige grunde til, at to vektorer ikke kunne formere sig, men denne multiplikation vil kun give mening, hvis det kan vises til den matematiske konsistens; Derudover er det ønskeligt, at arbejdet har en vis fysisk betydning. Der er to metoder til multiplikation af vektorer, der svarer til disse forhold. Resultatet af en af \u200b\u200bdem er en skalar, et sådant produkt kaldes et "skalærprodukt" eller "internt arbejde" af to vektorer og ACHB eller (A, B) er skrevet. Resultatet af en anden multiplikation er en vektor kaldet "Vector Product" eller "Eksternt arbejde" og A * B eller [] registreres. Scalar Works har en fysisk betydning for en-, to eller tre dimensioner, mens vektorarbejderne kun er defineret for tre dimensioner.
Scalar Works. Hvis det i henhold til en vis kraft F, er det punkt, som det påføres, flyttes til afstanden R, så er det udførte arbejde lig med produktet R og komponenter F i R-retningen. Denne komponent er lig med F COS BF, RC, hvor BF, RC er en vinkel mellem F og R, dvs. Arbejdsarbejde \u003d FR COS BF, RC. Dette er et eksempel på en fysisk begrundelse af et skalarprodukt, der er defineret for to vektorer A, B ved formel
A * B \u003d AB COS BA, BS.
Da alle værdierne af den højre del af ligningen er skalar, så A * B \u003d B * A; Derfor er de scalerer multiplikation af kommutative. Scalar Multiplikation har også en distributionsegenskab: A * (B + C) \u003d A * B + A * S. Hvis vektorer A og B er vinkelret, så er COS BA, BC nul, og derfor a * b \u003d 0, selvom hverken en n n n nul. Derfor kan vi ikke opdele vektoren. Antag at vi har opdelt begge dele af ligningen A * B \u003d A * C til A. Dette ville give B \u003d C, og hvis Division kunne udføres, ville denne ligestilling være det eneste mulige resultat. Men hvis vi omskriver ligningen A * B \u003d A * C i formularen A * (B - C) \u003d 0 og husk at (B - C) - Vektoren, er det klart, at (B - C) ikke nødvendigvis er nødvendigvis nul og derfor b bør B ikke være lig med C. Disse modstridende resultater viser, at vektorafdelingen er umulig. Scalarproduktet giver en anden måde at skrive den numeriske værdi (modul) af vektoren: A * A \u003d AA * COS 0 ° \u003d A2;
så

Scalar produkt kan optages på en anden måde. For at gøre dette, lad os huske at: A \u003d AX I + AYJ + AZK. Læg mærke til det

Derefter,

Da sidstnævnte ligning indeholder X, Y og Z som de nedre indekser, er ligningen tilsyneladende afhængig af det valgte specifikke koordinatsystem. Dette er imidlertid ikke sådan, at det ses fra definitionen, der ikke afhænger af de udvalgte koordinatakser.
Vektor kunst. En vektor eller eksternt produkt af vektorer kaldes en vektor, hvis modul er lig med produktet af deres moduler på sinusvinklen, vinkelret på de oprindelige vektorer og den højre tre komponent sammen med dem. Dette produkt er nemmest at introducere, i betragtning af forholdet mellem hastighed og vinkelhastighed. Første vektor; Vi viser nu, at sidstnævnte også kan fortolkes som en vektor. Den roterende legems vinkelhastighed er defineret som følger: Vælg et hvilket som helst punkt på kroppen og udfør en vinkelret fra dette punkt til rotationsaksen. Derefter er kroppens vinkelhastighed antallet af radianer, som denne linje drejes pr. Tidsenhed. Hvis vinkelhastigheden er vektoren, skal den have en numerisk værdi og retning. Den numeriske værdi udtrykkes i radianer pr. Sekund, retningen kan vælges langs rotationsaksen, du kan bestemme den ved at sende vektoren i den retning, hvor den højre sidede skrue bevægede sig, når den drejes sammen med legemet. Overvej rotationen af \u200b\u200bkroppen omkring den faste akse. Hvis du installerer denne akse inde i ringen, som igen er fastgjort på aksen indsat i den anden ring, kan vi give en rotation af kroppen inde i den første ring med en vinkelhastighed W1 og derefter tvinge den indre ring (og kroppen ) at rotere med vinkelhastigheden W2. Figur 7 forklarer essensen af \u200b\u200bsagen; Cirkulære pile viser rotationsretninger. Denne krop er en solid kugle med centrum af O og Radius R.

Fig. 7. Kuglepen med midten O roterer med en vinkelhastighed W1 inde i BC-ringen, som igen roterer inde i DE-ringen med en vinkelhastighed W2. Sfæren roterer med en vinkelhastighed svarende til mængden af \u200b\u200bvinkelhastigheder, og alle punkter på direkte pop "er i den øjeblikkelige hvile.

Lad os give denne krop en bevægelse, der er summen af \u200b\u200bto forskellige vinkelhastigheder. Denne bevægelse er ret vanskelig at forestille sig, men det er helt klart, at kroppen ikke længere roterer en relativt fast akse. Det kan dog stadig siges, at det roterer. For at vise det, vælg noget punkt p på kropsoverfladen, som i det tidspunkt, vi overvejer i en stor cirkel, der forbinder de punkter, hvor to akser krydser overfladen af \u200b\u200bkuglen. Lavere vinkelret fra P på aksen. Disse vinkelrete vil blive henholdsvis RADII PJ og PK Cirkler PQR'er og PTUW. Vi vil bruge direkte pop ", der passerer gennem midten af \u200b\u200bkuglen. Nu bevæger Punktet P i det betragtede tidspunkt samtidig rundt om cirklerne, som kommer på punktet P. For et lille tidsinterval DT, P bevæger sig til afstanden

Denne afstand er nul hvis

I dette tilfælde er punktet P i en tilstand af øjeblikkelig hvile, og bare alle punkterne på en lige pop ". Resten af \u200b\u200bkuglen vil være i bevægelse (cirkler, for hvilke andre punkter bevæger sig ikke, men skærer). POPў er således øjeblikkelig rotationsakse på kuglen, ligesom hjulet, der ruller langs vejen på hvert tidspunkt, roterer i forhold til dets nederste punkt. Hvad er hjørnehastigheden af \u200b\u200bkuglen? Vælg punkt A for enkelhed, hvor W1-aksen krydser overfladen. På tidspunktet for tiden anser vi, det bevæger sig under DT-tid pr. Afstand

I cirkel af radius r synd W1. Pr. Definition, vinkelhastighed

Fra denne formel og relation (1) får vi

Med andre ord, hvis du skriver en numerisk værdi og vælger retningen af \u200b\u200bvinkelhastigheden som beskrevet ovenfor, foldes disse værdier som vektorer og kan betragtes som sådanne. Nu kan du indtaste et vektorprodukt; Overvej kroppen roteret ved vinkelhastigheden w. Vælg ethvert punkt p på kroppen og en hvilken som helst begyndelse af koordinaterne for OH, som er på rotationsaksen. Lad r være en vektor rettet mod O til P. Point P bevæger sig rundt om cirklen med en hastighed V \u003d W r Synd (W, R). Velocity V-vektoren er tangent til omkredsen og indikerer i retningen vist i fig. otte.

Denne ligning giver afhængigheden af \u200b\u200bhastigheden V-punkt fra kombinationen af \u200b\u200bto vektorer W og R. Vi bruger dette forhold til at bestemme en ny type produkt og skrive: V \u003d W * R. Da resultatet af en sådan multiplikation er vektoren, kaldes dette produkt vektor. For en hvilken som helst to vektorer A og B, hvis A * B \u003d C, derefter C \u003d AB SIN BA, BS, og vektorens retning C er, at den er vinkelret på planet, der passerer gennem A og B og indikerer i retningen, at falder sammen med bevægelsesretningen af \u200b\u200bden repristente skrue, hvis den er parallel med C og roterer fra A til B. Med andre ord kan vi sige, at A, B og C, der ligger i denne rækkefølge, danner det rigtige sæt koordinat akser. Anti-commutative vektor produkt; Vector B * A har det samme modul som A * B, men er rettet mod modsat retning: A * B \u003d -B * A. Dette produkt er fordelt, men ikke associativt; Du kan bevise det

Lad os se, hvordan vektorproduktet er skrevet med hensyn til komponenter og enkeltvektorer. Først og fremmest for enhver vektor A, A * A \u003d AA SIN 0 \u003d 0.
Følgelig i tilfælde af enkelt vektorer, jeg * i \u003d j * j \u003d k * k \u003d 0 og jeg * j \u003d k, j * k \u003d i, k * i \u003d j. Derefter,

Denne ligestilling kan også skrives som determinant:

Hvis A * B \u003d 0, er enten A eller B lig med 0 eller A og B-kollineret. Således, som i tilfælde af et skalarprodukt, er divisionen på vektoren umulig. Værdien A * B er lig med området for parallelogrammet med siderne af A og B. Det er nemt at se, da B sin Ba, BS - dens højde og A - base. Der er mange andre fysiske mængder, der er vektorarbejder. En af de vigtigste vektorværker vises i teorien om elektromagnetisme og kaldes pingingvektoren P. Denne vektor er angivet som følger: P \u003d E * H, hvor E og H er henholdsvis vektorerne af elektriske og magnetiske felter. Vector P kan betragtes som en given energiflow i watt pr. Kvadratmeter hvor som helst. Her er nogle flere eksempler: øjeblikket for kraft F (drejningsmoment) i forhold til begyndelsen af \u200b\u200bkoordinaterne, der virker på punktet, hvilken radiusvektor er defineret som R * F; Partiklen placeret ved r, vejning m og hastigheden V, har et vinkelmoment hr. * V i forhold til begyndelsen af \u200b\u200bkoordinaterne; Kraften, der virker på en partikel, der bærer elektrisk ladning q gennem et magnetfelt B ved en hastighed V, er der en qv * B.
Tredobbelte værker. Af de tre vektorer kan vi danne følgende tredobbelte værker: Vector (A * B) * C; Vektor (A * b) * c; SCALAR (A * B) * C. Den første type er produktet af C og Scalar A * B; Vi har allerede talt om sådanne værker. Den anden type kaldes dobbelt vektorprodukt; Vector A * B er vinkelret på flyet, hvor A og B ligger, og derfor (A * B) * C - vektoren, der ligger i planet A og B og vinkelret C. Følgelig, generelt (A * B) * C er ikke lige så ens (b * c). Gendannelse af A, B og C gennem deres koordinater (komponenter) langs X-, Y- og Z-akserne og multiplicering, kan det vises, at A * (B * C) \u003d B * (A * C) - C * (A * B ). Den tredje type produkt, der opstår ved beregning af gitteret i fast fysik, er numerisk lig med mængden af \u200b\u200bparallelepiped med ribber A, B, C. siden (A * B) * C \u003d A * (B * C), tegn på skalar og vektorvariationer kan ændres steder, og arbejdet er ofte skrevet som (ABC). Dette produkt er lig med determinant

Bemærk at (a b c) \u003d 0, hvis alle tre vektorer ligger i samme plan eller, hvis A \u003d 0 eller (og) b \u003d 0 eller (og) c \u003d 0.
Differentiering af vektor
Antag at vektor U er en funktion af en skalarvariabel T. For eksempel kan du være en radiusvektor udført fra begyndelsen af \u200b\u200bkoordinaterne til et bevægeligt punkt og t-tid. Lad ikke blive ændret til en lille mængde DT, hvilket vil føre til en ændring af dig ved værdien af \u200b\u200bDU. Dette er vist i fig. 9. DU / DT-forholdet er en vektor rettet i samme retning som du. Vi kan definere et derivat dig ved t som

Forudsat at denne grænse eksisterer. På den anden side kan du indsende dig som mængden af \u200b\u200bkomponenten til tre akser og rekord

Hvis U er en radiusvektor R, er DR / DT en punkthastighed, udtrykt som en funktion af tiden. Differentiering over tid igen får vi acceleration. Antag at punktet bevæger sig langs kurven vist i fig. 10. Lad os være en afstand, der er rejst med et punkt langs kurven. I løbet af det lille tidsinterval vil DT-punktet passere DS-afstand langs kurven; Radiusvektorens position ændres til Dr. Derfor er DR / DS - vektor rettet som Dr. Yderligere

Vektor DR - Ændring af radiusvektoren.

Der er en enkelt vektor tangent til kurven. Dette fremgår af det faktum, at når punktet Q er nærmet sig til punkt P, nærmer PQ tangenten og DR nærmer DS. Formler til differentiering af produktet svarer til formlerne til differentiering af produktet af skalære funktioner; Men da vektorproduktet er anti-kommutativ, skal multiplikationsordren gemmes. Derfor,

Således ser vi, at hvis vektoren er funktionen af \u200b\u200ben skalarvariabel, kan vi præsentere derivatet næsten som i tilfælde af en skalarfunktion.
Vektor og skalære felter. Gradient. Fysik skal ofte beskæftige sig med vektor eller skalarværdier, der varierer fra punkt til punkt i et givet område. Sådanne områder kaldes "felter". For eksempel kan en skalar være temperatur eller tryk; Vektoren kan være hastigheden af \u200b\u200bflytende væske eller elektrostatisk felt af ladesystemet. Hvis vi valgte noget koordinatsystem, svarer et hvilket som helst punkt P (X, Y, Z) i et givet område svarer til en vis radiusvektor R (\u003d XI + YJ + ZK) og også værdien af \u200b\u200bvektorværdien U (R) eller SCALAR F (R) forbundet med den. Antag, at U og F defineres i området helt sikkert; de der. Hvert punkt svarer til en og kun én værdi U eller F, selv om forskellige punkter kan selvfølgelig have forskellige værdier. Antag at vi vil beskrive den hastighed, som U og F skifter, når du bevæger sig langs dette område. Enkle private derivater, såsom DU / DX og DF / DY, passer ikke til os, fordi de afhænger af de specifikt udvalgte koordinatakser. Du kan dog indtaste en vektorforskelsoperatør, uafhængig af valg af akser af koordinater; Denne operatør kaldes "gradient". Lad os håndtere det skalære felt f. For det første overveje landets kredsløbskortområde. I dette tilfælde er F højden over havets overflade; Konturlinjer forbinder punkter med samme værdi f. Når du flytter langs nogen af \u200b\u200bdisse linjer, ændres ikke; Hvis du bevæger dig vinkelret på disse linjer, så vil ændringen F være maksimalt. Vi kan sammenligne hvert punkt af vektoren, der angiver værdien og retningen af \u200b\u200bden maksimale ændring i hastigheden F; Et sådant kort og nogle af disse vektorer er vist i fig. 11. Hvis vi gør det for hvert punkt på feltet, får vi et vektorfelt, der er forbundet med et skalarfelt f. Dette er et vektorfelt kaldet "gradient" f, som er skrevet som Grad F eller CF (Symbol C kaldes også "Recrut").

I tilfælde af tre dimensioner bliver konturlinierne overflader. Lille forskydning DR (\u003d IDX + JDY + KDZ) fører til en ændring af F, som er skrevet som

Hvor punkter angiver mere end høje ordrer. Dette udtryk kan skrives som et skalærprodukt.

Vi deler de rigtige og venstre dele af denne ligestilling på DS, og lad DS tendens til at nul; derefter

hvor DR / DS er en enkelt vektor i den valgte retning. Udtryk i parentes - Vector, afhængigt af det valgte punkt. DF / DS har således den maksimale værdi, når DR / DS indikerer i samme retning, er udtrykket, der står i parentes, en gradient. På denne måde,

- En vektor svarende til værdien og sammenføjning i retningen med en maksimal ændringsfrekvens F i forhold til koordinaterne. Gradient F er ofte skrevet i formularen

Det betyder, at operatøren eksisterer af sig selv. I mange tilfælde opfører den sig som en vektor og er faktisk en "vektorforskel operatør" - en af \u200b\u200bde vigtigste differentialoperatører i fysik. På trods af at C indeholder enkeltvektorer I, J og K, afhænger dens fysiske betydning ikke af det valgte koordinatsystem. Hvad er forbindelsen mellem CF og F? Først og fremmest antages, at F bestemmer potentialet hvor som helst. Med en lav forskydning af DR vil værdien af \u200b\u200bF ændre sig til

Hvis Q er en værdi (for eksempel en masse, ladning), forskydes på DR, så udføres arbejdet, når du flytter Q til DR, lig med

Siden DR - Flyt, QCF - kraft; -Sf - spænding (kraft pr. Mængde), der er forbundet med f. For eksempel, lad dig være elektrostatisk potentiale; Derefter er E den elektriske feltstyrke, gives med formlen E \u003d -CU. Antag, at du er skabt af et punkt elektrisk ladning i Q af vedhæng, der er placeret i begyndelsen af \u200b\u200bkoordinaterne. Værdien af \u200b\u200bU ved P (X, Y, Z) med en radiusvektor R er givet ved formlen

Hvor E0 er en dielektrisk konstant af ledig plads. derfor

Hvorfra det følger, at e virker i retningen R, og dets værdi er Q / (4PE0R3). Kendende skalarfeltet kan du bestemme det tilhørende vektorfelt. Det er også muligt at vende om. Ud fra det synspunkt af matematisk behandling betjenes skalære felter lettere end vektoren, da de er indstillet af en koordinatfunktion, mens vektorfeltet kræver tre funktioner svarende til komponenterne i vektoren i tre retninger. Således opstår spørgsmålet: Vektorfeltet er givet, kan vi registrere det tilhørende skalære felt?
Divergens og rotor. Vi så resultatet af handlingen på skalarfunktionen. Hvad sker der, hvis med gælder for vektoren? Der er to muligheder: lad dig (x, y, z) - vektor; Så kan vi danne en vektor og skalarprodukt som følger:

Den første af disse udtryk er en skalar kaldet divergens U (betegnet af Divu); Den anden er vektoren, den navngivne rotor U (betegnet med ROTU). Disse differentieringsfunktioner, divergens og rotor anvendes i vid udstrækning i matematisk fysik. Forestil dig at du er en vis vektor, og at den og dens første derivater er kontinuerlige i et område. Lad p være et punkt i dette område, omgivet af en lille lukket overflade s, der begrænser mængden af \u200b\u200bDV. Lad n være en enkelt vektor, vinkelret på denne overflade ved hvert punkt (n ændrer retningen, når de kører rundt om overfladen, men har altid en enkelt længde); Lad n blive rettet udad. Lad os vise det

Her indikerer, at disse integraler overtages over hele overfladen, DA er elementet af overfladen S. For enkelhed vil vi vælge en bekvem form S i form af en lille parallelepiped (som vist i figur 12) med DX, Dy og dz sider; Punkt P er et parallelepiped center. Vi beregner integralet fra ligning (4) først på et ansigt af parallelepiped. Til forkanten n \u003d I (enkelt vektor parallel x akse); Da \u003d Dydz. Bidrag til integralet fra forsiden er lige

På det modsatte ansigt n \u003d -i; Denne kant giver bidrag til integralet

Ved hjælp af Taylor Teorem får vi et fælles bidrag fra to ansigter

Bemærk at DXDYDZ \u003d DV. På samme måde kan du beregne bidraget fra de andre andre par af facetterne. Fuld integreret Equal.

Og hvis vi sætter DV (R) 0, vil medlemmerne af en højere ordre forsvinde. Ved formel (2) er udtrykket i parentes divu, som viser ligestilling (4). Ligestilling (5) kan bevises på samme måde. Vi bruger ris igen. 12; Derefter vil bidraget fra forkanten til integralet være ens

Og ved hjælp af Taylor Teorem får vi, at det samlede bidrag til integralet fra to ansigter har formularen

de der. Disse er to medlemmer fra udtrykket for ROTU i ligning (3). Andre fire medlemmer vil arbejde efter regnskabsføring af bidrag fra andre fire ansigter. Hvad betyder i det væsentlige disse forhold? Overveje ligestilling (4). Antag U-Speed \u200b\u200b(Flydende, for eksempel). Så nchu da \u003d un da, hvor FN er den normale komponent af vektoren U til overfladen. Derfor er FN da mængden af \u200b\u200bvæske, der strømmer gennem DA pr. Tidsenhed, og er mængden af \u200b\u200bvæske, der strømmer gennem S pr. Tidsenhed. Dermed,

Udvidelseshastigheden af \u200b\u200ben volumenenhed omkring punktet P. Herfra modtog divergensen sit navn; Det viser den hastighed, hvormed væsken ekspanderer fra (dvs. divergerende fra) P. For at forklare den fysiske værdi af rotoren U, overveje en anden overflade integreret for en lille cylindrisk volumen H højde på H, der omgiver punktet P; Flatparallelle overflader kan orienteres i enhver retning, vi vælger. Lad K være en -Sedin vektor vinkelret på hver overflade, og lad området af hver overflade af DA; Derefter den samlede volumen DV \u003d HDA (Fig. 13). Overvej nu integralet

Integand - det tidligere nævnte Triple Scalar-produkt har allerede nævnt. Dette produkt vil være nul på flade overflader, hvor K og n er parallelle. På overfladekurven

Hvor DS er et kurvelement som vist i fig. 13. Sammenligning af disse ækvivalenter med forholdet (5) får vi det

Vi antager stadig, at du er hastighed. Hvad i dette tilfælde vil den gennemsnitlige vinkelhastighed af væsken omkring K? Det er indlysende at

Hvis DA ikke er lig med 0. Dette udtryk er det maksimale, når K og Rotu angiver i samme retning; Dette betyder, at rotu er en vektor svarende til en to gange vinkelhastighed af væsken ved punkt P. Hvis væsken roterer relativt P, vil ROTU nr. 0, og U-vektorerne roterer omkring P. herfra, og rotornavnet opstod. Divergens-sætningen (Ostrogradsky-Gauss-sætningen) er en generalisering af formel (4) for endelige volumener. Det hævder, at for nogle volumen V er afgrænset af den lukkede overflade S,

Og det gælder for alle kontinuerlige vektorfunktioner, du har kontinuerlige første derivater overalt i V og på S. Vi vil ikke føre til beviset på dette sætning, men dets retfærdighed kan forstås intuitivt, hvilket repræsenterer volumen V opdelt i celler. Strømmen U gennem overfladen forsvinder summen for to celler, og kun celler på grænsen S vil bidrage til overfladen integreret. Stokes-sætningen er en generalisering af ligning (6) for endelige overflader. Hun hævder det

Indholdet af artiklen

Vektor.I fysik og matematik er vektoren en værdi, der er kendetegnet ved dens numeriske værdi og retning. En masse vigtige værdier, der er vektorer, findes i fysik, såsom kraft, position, hastighed, acceleration, drejningsmoment, impuls, elektriske og magnetiske felter. De kan være imod andre værdier, såsom vægt, volumen, tryk, temperatur og densitet, der kan beskrives i konventionelt antal, og de kaldes "skalarer".

Vectorial bruges, når du arbejder med værdier, der ikke kan indstilles fuldstændigt ved hjælp af konventionelle tal. For eksempel ønsker vi at beskrive positionen af \u200b\u200bmotivet i forhold til et eller andet punkt. Vi kan sige, hvor mange kilometer fra peger på emnet, men vi kan ikke helt bestemme sin placering, indtil vi kender den retning, den er. Således er placeringen af \u200b\u200bemnet karakteriseret ved en numerisk værdi (afstand i kilometer) og retningen.

Grafisk er vektorerne afbildet i form af rettede segmenter af en direkte længde, som i fig. 1. For eksempel for at præsentere grafisk styrke på fem kilo, er det nødvendigt at tegne en strækning af en lige linje i fem enheder i kraftens retning. Pilen angiver, at kraften virker fra EN.til B.; Hvis kraften havde handlet fra B. til EN., vi ville optage eller. For nemheds skyld er vektorerne normalt udpeget i fedte store bogstaver ( EN., B., C. etc); Vektorer EN.og - EN.har lige numeriske værdier, men er modsat retningen. Numerisk værdi vektor MEN hedder modul eller lena. Og betegner EN. eller | EN.|. Dette er en størrelse, selvfølgelig, skalar. Vektoren, begyndelsen og enden, hvoraf det falder sammen, kaldes nul og er angivet O..

To vektorer kaldes lige (eller ledig) Hvis deres moduler og retninger falder sammen. I mekanik og fysik bør denne definition imidlertid anvendes med forsigtighed, da to lige kræfter, der er fastgjort til forskellige punkter i kroppen, generelt vil føre til forskellige resultater. I denne henseende er vektorerne opdelt i "relateret" eller "glidende" som følger:

Relaterede vektorer Har faste punkter i ansøgningen. For eksempel indikerer en radiusvektor positionen af \u200b\u200bpunktet i forhold til en bestemt oprindelse. Beslægtede vektorer anses for at være lige, hvis de falder sammen ikke kun moduler og retninger, men de har et fælles applikationspunkt.

Glidende vektorer. De hedder lige vektorer placeret på en lige linje.

Tilsætning af vektorer.

Ideen om at tilføje vektorer opstod fra det faktum, at vi kan finde den eneste vektor, der har samme indflydelse som den anden to vektor sammen. Hvis vi for at komme ind i et punkt, skal vi gå først EN. kilometer i en retning og derefter B. kilometer i en anden retning, så kunne vi nå vores slutpunkt forbi C.kilometer i den tredje retning (figur 2). I den forstand kan vi sige det

EN. + B. = C..

Vektor C. kaldet "resulterende vektor" EN.og B., det er defineret af konstruktionen vist i figuren; i vektorer EN.og B.hvordan siderne er bygget af parallelogrammer, og C. - Diagonal Tilslutning af begyndelsen MEN Og slutningen. I. Fra fig. 2 Det kan ses, at tilsætningen af \u200b\u200bvektorer "commutative", dvs.

EN. + B. = B. + EN..

På samme måde kan flere vektorer foldes, konstruere dem i en kontinuerlig kæde, som vist i fig. 3 for tre vektorer D., E. og F.. Fra fig. 3 ses også det

(D. + E.) + F. = D.+ (E.+ F.),

de der. Tilsætning af vektorer associative. Du kan opsummere et hvilket som helst antal vektorer, og vektorerne ligger ikke nødvendigvis i samme plan. Subtraktionen af \u200b\u200bvektorerne synes at blive behandlet med en negativ vektor. For eksempel,

EN. – B. = EN. + (–B.),

hvor som defineret tidligere - B. - Vektor lige. I Efter modul, men modsat i retning.

Denne formationsregel kan nu bruges som et reelt verifikationskriterium, om en vis værdi er en vektor eller ej. Bevægelser er normalt underlagt betingelserne i denne regel; Det samme kan siges om hastigheder; Kræfterne tilføjer på samme måde som det var muligt at se fra "trekanten af \u200b\u200bkræfter". Men nogle værdier, der besidder både numeriske værdier og anvisninger, er imidlertid ikke underlagt denne regel, kan derfor ikke betragtes som vektorer. Eksempler er endelige rotationer.

Multiplicere vektor på skalar.

Sammensætning m.EN. eller EN.m.hvor m. (m. № 0) - Scalar, og EN. - Nonzero Vector, defineres som en anden vektor, som i m. En gang længere EN. og har også retningen det og EN.Hvis nummert. m. positivt og det modsatte, hvis m. Negativ, som vist i fig. 4, hvor m. Ligeligt henholdsvis 2 og -1/2. Derudover 1 EN. = EN.. Når man multiplicerer, ændres 1 vektor ikke. Værdi -1 EN. - Vektor lige. EN.i længden, men den modsatte retning er normalt skrevet som - EN.. Hvis en MEN - nul vektor og (eller) m. \u003d 0, derefter m.EN. - nul vektor. Multiplikationsfordeling, dvs.

Vi kan tilføje et hvilket som helst antal vektorer, og proceduren for komponenterne påvirker ikke resultatet. Højre og omvendt: Enhver vektor er foldet i to eller flere "komponenter", dvs. For to vektorer eller mere, som, der foldes, vil give kildevektoren som resultat. For eksempel i fig. 2, EN. og B. - Komponenter C..

Mange matematiske handlinger med vektorer forenkles, hvis vektoren nedbrydes på tre komponenter i tre gensidigt vinkelrette retninger. Vælg det rigtige system af kartesiske koordinater med akser OKSE., Oy. og Oz. Som vist i fig. 5. Under det rigtige koordinatsystem betyder vi, at akserne x., y. og z. De er placeret som de kan placeres henholdsvis store, indeks og mellemfingre i højre hånd. Fra et rigtigt koordinatsystem kan du altid få et andet rigtigt koordinatsystem med den tilsvarende rotation. I fig. 5, vist nedbrydningsvektor EN. Tre komponenter og. De er i mængden af \u200b\u200bvektoren EN., som

Det ville også være muligt at først foldes og få, og derefter tilføje.

Fremspring vektor MEN på tre koordinatakser udpeget A X., A Y.og En z. kaldet "Scalar Components" vektor EN.:

hvor eN., b. og g. - hjørner mellem EN. og tre koordinatakser. Nu introducerer vi tre vektor vektor jEG., j.og K. (orts) har samme retning som de tilsvarende akser x., y. og z.. Så, hvis A X. Multiplicere ved jEG., så er det resulterende produkt en vektor svarende til, og

To vektorer er lige så, og kun hvis deres respektive skalære komponenter er ens. På denne måde, EN.= B.så og kun når En x \u003d b x, En y \u003d b y, En z \u003d b z.

To vektorer kan foldes ved at folde deres komponenter:

Derudover ifølge Pythagores sætning:

Lineære funktioner.

Udtryk eN.EN. + b.B.hvor eN. og b. - Scalar, kaldet lineær funktion vektorer EN.og B.. Dette er en vektor i det samme plan, der EN.og B.; hvis en EN.og B. ikke parallelt, så når du skifter eN. og b. vektor eN.EN. + b.B. Det vil bevæge sig i hele flyet (figur 6). Hvis en EN., B. og C. Ikke alle lyver i samme plan, så vektor eN.EN. + b.B. + c.C. (eN., b. og c. ændre) bevæger sig gennem rummet. Lad os foregive det EN., B. og C. - Single Vectors. jEG., j. og k.. Vektor eN.jEG. Ligger på aksen x.; vektor eN.jEG. + b.j.kan bevæge sig over flyet xy.; vektor eN.jEG. + b.j.+ c.k. Det kan bevæge sig i hele rummet.

Det ville være muligt at vælge fire gensidigt vinkelret vektor jEG., j., k.og l.og definere en firedimensionel vektor som en størrelse

EN. = A X.jEG. + A Y.j. + A Z.k. + A W.l.

og det ville være muligt at fortsætte til fem, seks eller et hvilket som helst antal målinger. Selv om det er umuligt at præsentere visuelt en sådan vektor, opstår der ingen matematiske vanskeligheder her. En sådan post er ofte nyttig; For eksempel beskrives tilstanden af \u200b\u200bden bevægelige partikel af en seks-dimensionel vektor P.(x., y., z., p X., p y., p Z.), hvis komponenter - dens position i rummet ( x., y., z.) og impuls ( p X., p y., p Z.). Et sådant rum kaldes "fase rum"; Hvis vi overvejer to partikler, er fasepladsen 12-dimensional, hvis tre, derefter 18 og så videre. Antallet af dimensioner kan øges på ubestemt tid; Samtidig skal de magnler, som vi vil behandle, på mange måder såvel som dem, som vi overvejer i resten af \u200b\u200bdenne artikel, nemlig tredimensionelle vektorer.

Multiplicere to vektorer.

Regel for dannelse af vektorer blev opnået ved at studere opførelsen af \u200b\u200bde værdier, der er repræsenteret af vektorer. Der er ingen synlige grunde til, at to vektorer ikke kunne formere sig, men denne multiplikation vil kun give mening, hvis det kan vises til den matematiske konsistens; Derudover er det ønskeligt, at arbejdet har en vis fysisk betydning.

Der er to metoder til multiplikation af vektorer, der svarer til disse forhold. Resultatet af en af \u200b\u200bdem er en skalar, et sådant produkt kaldes et "skalærprodukt" eller "internt arbejde" af to vektorer og optages EN.C. B. eller ( EN., B.). Resultatet af en anden multiplikation er en vektor kaldet "Vector Product" eller "Eksternt arbejde" og optaget EN.ґ B. eller [ EN., B.]. Scalar Works har en fysisk betydning for en-, to eller tre dimensioner, mens vektorarbejderne kun er defineret for tre dimensioner.

Scalar Works.

Hvis under en vis styrke F. Det punkt, som det påføres, bevæger sig til afstanden r., så er det udførte arbejde lig med arbejdet r. og komponenter F. i retning r.. Denne komponent er lige F.cos B. F., r.med hvor B. F., r.c - hjørnet mellem F. og r..

Produceret arbejde \u003d. Fr.cos B. F., r.fra .

Dette er et eksempel på en fysisk begrundelse for et skalarprodukt, der er defineret for to vektorer. EN., B.ved formel

Ah. B. = AB. Cos B. EN., B.fra .

Da alle værdierne af den højre del af ligningen er skalar,

EN.C. B. = B.C. EN.;

derfor er de scalerer multiplikation af kommutative.

Scalar Multiplikation har også en distributionsejendom:

EN.H ( B. + FRA) = EN.C. B. + EN.C. FRA.

Hvis vektorer EN.og B. vinkelret, så cos b EN., B.c er nul, og derfor EN.C. B. \u003d 0, selvom hverken EN.heller ikke B. Ikke lig med nul. Derfor kan vi ikke opdele vektoren. Antag, at vi opdelte begge dele af ligningen EN.C. B.= EN.C. C.på den EN.. Det ville give B.= C.Og hvis divisionen kunne udføres, ville denne ligestilling være blevet det eneste mulige resultat. Men hvis vi omskriver ligningen EN.C. B.= EN.C. C. som EN.H ( B. – C.) \u003d 0 og husk at ( B. – C.) - Vektor, det er klart, at ( B. – C.) Det er ikke nødvendigt at nul og dermed B. bør ikke være ens C.. Disse modstridende resultater viser, at vektorafdelingen er umulig.

Scalar Product giver en anden måde at skrive en numerisk værdi (modul):

EN.C. EN. = Aa.C.cos 0 ° \u003d EN. 2 ;

Scalar produkt kan optages på en anden måde. For at gøre dette skal du huske at:

EN. = A X.jEG. + A Y.j. + A Z.k..

Da den sidste ligning indeholder x., y. og z. Som de nederste indekser, er ligningen tilsyneladende afhængig af det valgte specifikke koordinatsystem. Dette er dog ikke, hvad der kan ses fra definitionen, der ikke afhænger af de valgte koordinatakser.

Vektor kunst.

En vektor eller eksternt produkt af vektorer kaldes en vektor, hvis modul er lig med produktet af deres moduler på sinusvinklen, vinkelret på de oprindelige vektorer og den højre tre komponent sammen med dem. Dette produkt er nemmest at introducere, i betragtning af forholdet mellem hastighed og vinkelhastighed. Første vektor; Vi viser nu, at sidstnævnte også kan fortolkes som en vektor.

Den roterende legems vinkelhastighed er defineret som følger: Vælg et hvilket som helst punkt på kroppen og udfør en vinkelret fra dette punkt til rotationsaksen. Derefter er kroppens vinkelhastighed antallet af radianer, som denne linje drejes pr. Tidsenhed.

Hvis vinkelhastigheden er vektoren, skal den have en numerisk værdi og retning. Den numeriske værdi udtrykkes i radianer pr. Sekund, retningen kan vælges langs rotationsaksen, du kan bestemme den ved at sende vektoren i den retning, hvor den højre sidede skrue bevægede sig, når den drejes sammen med legemet.

Overvej rotationen af \u200b\u200bkroppen omkring den faste akse. Hvis du installerer denne akse inde i ringen, som igen er fastgjort på aksen indsat i den anden ring, kan vi give en rotation af kroppen inde i den første ring med en vinkelhastighed w.1 og derefter gøre den indre ring (og kroppen) rotere med vinkelhastighed w.2. SUNNERE 7 forklarer essensen af \u200b\u200bsagen; Cirkulære pile viser rotationsretninger. Denne krop er en solid kugle med midten. OM og radius. r..

Lad os give denne krop en bevægelse, der er summen af \u200b\u200bto forskellige vinkelhastigheder. Denne bevægelse er ret vanskelig at forestille sig, men det er helt klart, at kroppen ikke længere roterer en relativt fast akse. Det kan dog stadig siges, at det roterer. For at vise det, vælg noget punkt P. På kroppens overflade, som i det tidspunkt, der betragtes af os, er på en stor cirkel, forbinder de punkter, hvor to akser krydser overfladen af \u200b\u200bkuglen. Lavere vinkelret fra P. på aksen. Disse vinkelrete bliver radius PJ. og Pk. Cirkler. Pqrs. og Ptuw. henholdsvis. Lad os bruge lige POP.ў, passerer gennem midten af \u200b\u200bkuglen. Nu punkt P.I den nuværende tid i nutiden bevæger sig samtidigt rundt om de cirkler, der kommer i kontakt på det punkt P.. For et lille tidsinterval d t., P. Bevæger sig til afstand

Denne afstand er nul hvis

I dette tilfælde, punktet P. er i tilfælde af øjeblikkelig hvile, og bare alle punkterne på den lige POP.ў. Resten af \u200b\u200bkuglen vil være i bevægelse (omkreds, hvormed andre punkter bevæger sig ikke, men skærer). POP.det er således en øjeblikkelig rotationsakse af kuglen, ligesom hjulet ruller langs vejen på hvert tidspunkt, roterer i forhold til dets nedre punkt.

Hvad er hjørnehastigheden af \u200b\u200bkuglen? Vælg et punkt for enkelhed EN.hvor aksen w.1 krydser overfladen. På tidspunktet for tiden anser vi, det bevæger sig under D t. Afstand

i en cirkel af radius r. synd. w.1. Per definition, vinkelhastigheden

Fra denne formel og relation (1) får vi

Med andre ord, hvis du skriver en numerisk værdi og vælger retningen af \u200b\u200bvinkelhastigheden som beskrevet ovenfor, foldes disse værdier som vektorer og kan betragtes som sådanne.

Nu kan du indtaste et vektorprodukt; Overvej kroppen roterende med vinkelhastigheden w.. Vælg ethvert punkt. P. på kroppen og enhver begyndelse af koordinaterne OMsom er placeret på rotationsaksen. Lad ske r. - Vektor rettet mod OM til P.. Punkt P. Bevæger sig rundt om omkredsen ved hastigheder

V. = w. r. synd ( w., r.).

Hastighed vektor V. Det er tangent til omkredsen og indikerer i retningen vist i fig. otte.

Denne ligning giver hastighedsafhængighed. V. Peger fra en kombination af to vektorer w.og r.. Vi bruger dette forhold til at bestemme en ny type produkt og skrive ned:

V.= w.ґ R..

Da resultatet af en sådan multiplikation er vektoren, kaldes dette produkt vektor. For to vektorer EN. og B., hvis en

EN.ґ B.= C.,

C. = AB.sin B. EN., B.fra ,

og retning vektor C.sådan er, at det er vinkelret på flyet, der passerer gennem MEN og B. og indikerer i den retning, der falder sammen med bevægelsesretningen for repressalisen, hvis den er parallel C.og roterer fra EN.til B.. Med andre ord kan vi sige det EN., B. og C.Beliggende i denne rækkefølge danner det rigtige sæt koordinatakser. Anti-commutative vektor produkt; vektor B. ґ EN. har det samme modul som EN. ґ B.Men sendt til den modsatte retning:

EN. ґ B. = –B. ґ EN..

Dette produkt er fordelt, men ikke associativt; Du kan bevise det

Lad os se, hvordan vektorproduktet er skrevet med hensyn til komponenter og enkeltvektorer. Først og fremmest for enhver vektor EN.,

EN. ґ EN. = Aa.sin 0 \u003d 0.

Derfor, i tilfælde af enkeltvektorer,

jEG.ґ JEG.= J.ґ J.= K.ґ K.=0

jEG. ґ J.= K., j.ґ K. = JEG., k.ґ JEG.= J..

Denne ligestilling kan også skrives som determinant:

Hvis en EN. ґ B. = 0 , så enten EN.eller B. ligeligt 0 Enten. EN.og B. Collinear. Således, som i tilfælde af et skalarprodukt, er divisionen på vektoren umulig. Værdi EN. ґ B. svarende til pladsen af \u200b\u200bparallelogrammet med parterne EN.og B.. Det er nemt at se siden B. Sin B. EN., B.c - hans højde og EN. - Base.

Der er mange andre fysiske mængder, der er vektorarbejder. En af de vigtigste vektorværker vises i teorien om elektromagnetisme og kaldes pinging vektoren P.. Denne vektor er givet som følger:

P. = E. ґ H.,

hvor E.og H. - elektriske og magnetiske felter vektorer. Vektor P. Du kan overveje som en given strøm af energi i watt pr. Kvadratmeter på ethvert tidspunkt. Vi giver et par flere eksempler: Moment of Force F.(drejningsmoment) i forhold til begyndelsen af \u200b\u200bkoordinaterne, der handler på punktet, hvilken radius-vektor, hvoraf r., defineret som r. ґ F.; Partikel på et punkt r.Masse m. og hastighed V.har et vinklet øjeblik m.r. ґ V. i forhold til begyndelsen af \u200b\u200bkoordinaterne; Kraftvirkende på en partikelbærende elektrisk ladning q. gennem et magnetfelt B. med hastighed V., der er q.V. ґ B..

Tredobbelte værker.

Af de tre vektorer kan vi danne følgende triple værker: Vector ( EN.C. B.) ґ C.; Vektor ( EN.ґ B)ґ C.; Scalar ( EN.ґ B.) C. C..

Første type - vektor kunst C. Og scalara. EN.C. B.; Vi har allerede talt om sådanne værker. Den anden type kaldes dobbelt vektorprodukt; vektor EN.ґ B. vinkelret på flyet, hvor de lyver EN. og B., og derfor ( EN.ґ B.)ґ C. - Vektor liggende i fly EN.og B. Og vinkelret C.. Derfor, i det generelle tilfælde, EN.ґ B.)ґ C. № EN.ґ (B.ґ C.). Genopretning EN., B. og C.gennem deres koordinater (komponenter) på akserne x., y. og z. og multiplicere, kan du vise det EN.ґ (B.ґ C.) = B.ґ (EN.C. C.) - Cґ ( EN.C. B.). Tredje type produkt, der opstår ved beregning af gitteret i fast fysik, er numerisk lig med mængden af \u200b\u200bparallelepiped med ribber EN., B., C.. Som ( EN.ґ B.) C. C. = EN.H ( B.ґ C.), Tegnene på skalære- og vektormultiplikationer kan ændres på steder, og arbejdet er ofte skrevet som ( A B C.). Dette produkt er lig med determinant

Læg mærke til det ( A B C.) \u003d 0, hvis alle tre vektorer ligger i samme plan eller hvis MEN = 0 eller (og) I = 0 eller (og) FRA = 0 .

Differentiering af vektor

Antag at vektor U. er en funktion af en skalarvariabel t.. For eksempel, U. Det kan være en radiusvektor, der udføres fra begyndelsen af \u200b\u200bkoordinaterne til et bevægeligt punkt, og t. - Tid. Lad ske t. Skifte til en lille mængde d t.Hvad vil føre til forandring U. Efter størrelse D. U.. Dette er vist i fig. 9. D. RATIO. U./ D. t. - Vektor rettet i samme retning som D U.. Vi kan bestemme derivatet U. ved t., som

forudsat at denne grænse eksisterer. På den anden side kan du forestille dig U.som en sum af komponenten til tre akser og rekord

Hvis en U. - RADIUS-VECTOR r.T. d.r./dt. - punkt af punkt, udtrykt som en funktion af tiden. Differentiering over tid igen får vi acceleration. Antag at punktet bevæger sig langs kurven vist i fig. 10. LET. s. - Distance rejst med et punkt langs kurven. For et lille tidsinterval d t. DOT'en tager afstand D s. langs kurven; Placeringen af \u200b\u200bradius-vektoren vil skifte til D r.. Derfor D. r./ D. s. - Vektor rettet som d r.. Yderligere

der er en enkelt vektor tangent til kurven. Dette fremgår af, at når punktet nærmer sig Q. Til punkt P., Pq. nærmer sig tangential og d r. nærmer sig d s.

Formler til differentiering af produktet svarer til formlerne til differentiering af produktet af skalære funktioner; Men da vektorproduktet er anti-kommutativ, skal multiplikationsordren gemmes. Derfor,

Således ser vi, at hvis vektoren er funktionen af \u200b\u200ben skalarvariabel, kan vi præsentere derivatet næsten som i tilfælde af en skalarfunktion.

Vektor og skalære felter.

Gradient.

Fysik skal ofte beskæftige sig med vektor eller skalarværdier, der varierer fra punkt til punkt i et givet område. Sådanne områder kaldes "felter". For eksempel kan en skalar være temperatur eller tryk; Vektoren kan være hastigheden af \u200b\u200bflytende væske eller elektrostatisk felt af ladesystemet. Hvis vi valgte noget koordinatsystem, så et hvilket som helst punkt P. (x., y., z.) I et givet område svarer til nogle radiusvektor r. (= x.jEG. + y.j. + z.k.) og også værdien af \u200b\u200bvektorværdien U.(r.) Eller skalar. f.(r.) forbundet med det. Lad os foregive det U.og f. defineret i området helt sikkert; de der. Hvert punkt svarer til en og kun en værdi U.eller f.Selvom forskellige punkter selvfølgelig kan have forskellige værdier. Antag, at vi vil beskrive hastigheden med hvilken U.og f. ændre sig, når du flytter gennem dette område.

Enkle private derivater, såsom ¶ U./¶ X. og ¶F./¶ Y, Vi er ikke tilfredse, fordi de afhænger af de specifikt udvalgte koordinatakser. Du kan dog indtaste en vektorforskelsoperatør, uafhængig af valg af akser af koordinater; Denne operatør kaldes en "gradient".

Lad os få et skalærfelt f.. For det første overveje landets kredsløbskortområde. I dette tilfælde f. - højde over havets overflade Contour Lines Connect Points med samme værdi f.. Når du flytter langs nogen af \u200b\u200bdisse linjer f. ændres ikke Hvis du bevæger dig vinkelret på disse linjer, så ændres hastigheden f. Det bliver maksimalt. Vi kan sammenligne hvert punkt ved vektoren, der angiver størrelsen og retningen af \u200b\u200bden maksimale hastighedsændring f.; Et sådant kort og nogle af disse vektorer er vist i fig. 11. Hvis vi gør det for hvert punkt på feltet, får vi et vektorfelt, der er forbundet med et skalarfelt f.. Dette er et felt af en vektor kaldet "gradient" f.som er skrevet som grad f. eller med f. (Symbolet kaldes også "rekruttering").

I tilfælde af tre dimensioner bliver konturlinierne overflader. Lille forskydning D. r. (= jEG.D. x. + j.D. y. + k.D. z.) fører til en ændring f.som er skrevet som

hvor punkter angiver mere end høje ordrer. Dette udtryk kan skrives som et skalærprodukt.

Vi deler de rigtige og venstre dele af denne ligestilling på D s.og lad D. s. har tendens til nul; derefter

hvor d.r./dS -enhedsvektor i den valgte retning. Udtryk i parentes - Vector, afhængigt af det valgte punkt. På denne måde, dF./dS. har den maksimale værdi, når d.r./dS.indikerer i samme retning, at udtrykket, der står i parentes, er en gradient. På denne måde,

- Vektor svarende til den største og sammenfaldende i retningen ved maksimal forandring f.i forhold til koordinaterne. Gradient. f. ofte skrevet i formularen

Det betyder, at operatøren eksisterer af sig selv. I mange tilfælde opfører den sig som en vektor, og er faktisk en "vektorforskelsoperatør" - en af \u200b\u200bde vigtigste differentialoperatører i fysik. På trods af at C indeholder single vektorer jEG., J. og K.Hans fysiske forstand afhænger ikke af det valgte koordinatsystem.

Hvad er forbindelsen mellem med f. og f.? Først og fremmest antage det f.bestemmer potentialet hvor som helst. Med enhver lav forskydning d r. Værdi f.vil ændre sig på

Hvis en q. - Beløbet (for eksempel massen, opladningen) fordrevet på D r., så fungerer udført, når du flytter q.

hvorfra det følger det E. Acts i retningen r. og størrelsen er ens q./(4pE.0r. 3).

Kendende skalarfeltet kan du bestemme det tilhørende vektorfelt. Det er også muligt at vende om. Ud fra det synspunkt af matematisk behandling betjenes skalære felter lettere end vektoren, da de er indstillet af en koordinatfunktion, mens vektorfeltet kræver tre funktioner svarende til komponenterne i vektoren i tre retninger. Således opstår spørgsmålet: Vektorfeltet er givet, kan vi registrere det tilhørende skalære felt?

Divergens og rotor.

Vi så resultatet af handlingen på skalarfunktionen. Hvad sker der, hvis med gælder for vektoren? Der er to muligheder: lad Du er en da d

hvis D. EN.® 0. Dette er udtrykket som muligt, når k. og rot. U. Angiv i samme retning; Det betyder, at rot U. - Vektor svarende til dobbeltvæske vinkelhastighed på punkt P.. Hvis væsken roterer relativt P, så rot U. № 0 og vektorer U.vil rotere rundt P.. Dermed navnet på rotoren.

Divergence Theorem (Ostrogradsky Teorem - Gauss

Divergens-sætningen (Ostrogradsky-Gauss-sætningen) er en generalisering af formel (4) for endelige volumener. Hun hævder om noget volumen V.begrænset af en lukket overflade S.,

og gyldig for alle kontinuerlige vektorfunktioner U.have kontinuerlige første derivater overalt i V. og på S.. Vi vil ikke give her beviset for denne teorem, men dets retfærdighed kan forstås intuitivt og præsentere volumenet V. opdelt i celler. Flyde U.gennem overfladen er totalen for to celler adgang til nul, og kun celler på grænsen S. Depositum til overfladen integreret.

Stokes sætning.

det er en generalisering af ligning (6) for endelige overflader. Hun hævder det

hvor C. - lukket kurve og S. - Enhver overflade begrænset til denne kurve. U. og dets første derivater skal være kontinuerlige hele vejen igennem S. og C..

Hvad er en vektor? Betydningen af \u200b\u200bordet "vektor" i populære ordbøger og encyklopædi, eksempler på brugen af \u200b\u200budtrykket i hverdagen.

Vektor konstruktiv spænding - Filosofisk ordbog

Det nødvendige element i strukturelle spændinger, som bestemmer orienteringen, reproduktionsretningen, personlig kultur, personlighed, dets aktiviteter, samfund på alle stadier af offentligheden; Brigades, virksomheder, afdelinger mv. Reproduktion af relevante samfund af subkulturer. V.k.n. Det er et nødvendigt element af enhver dobbelt modstand som en værdifuld orienteringspekant indbygget i en hvilken som helst reproducerbar aktivitet af emnet. Således ikke kun virkelighedens deltagelse på godt og ondt, men også behovet for et emne at stræbe efter godt og undgå ondt. Dual opposition bærer en positiv og negativ, direkte og omvendt V.K. Mastering af den tilsvarende (sub) kultur, personligheden erhverver således et bestemt fokus i kampen mod uorganisering. Hver af cellerne i samfundet er iboende i et bestemt specifikt fokus, modstående entropi, uorganisering. I forbindelse med dette eksisterede et vigtigt problem, at ethvert samfund er graden af \u200b\u200btilfældighed af vektorer på forskellige samfundsgulve, graden af \u200b\u200btilfældighed V.K.N. Personlighed og organisation, Brigades og virksomheder mv. Ethvert fællesskab kan fungere normalt, hvis det er iboende i ham V.K. falder sammen, ikke meget forreste fra V.K.N. Hendes medlemmer, der genskaber hendes folk. Ellers opstår der en sociokulturel modsigelse, der genererer uorganisering, som truer både nyheden af \u200b\u200bnyhed og et fald i social energi under den nedre tærskel.

Vector M. - Forklarende ordbog Efremova.

1. En lige linje, kendetegnet ved en numerisk værdi og en bestemt orientering.

Forventet returvektor (Forventet returvektor) - Økonomisk ordbog.

vektornumrene svarende til de forventede afkast for dette sæt værdipapirer.

Rang vektor - Sociologisk ordbog

- Vector statistikker konstrueret af den tilfældige vektor af observationer X \u003d (x1, ..., xn) (se vektor), komponenterne i K-Roy er som følger. Hvis alle XT er forskellige, så komponenterne i V.R. Serverer naturlige tal fra 1 til n: I stedet for hver XI er der et tal, der udtrykker mængden af \u200b\u200bsådanne komponenter i vektoren XI, er værdien af \u200b\u200bformularen mindre end mængden af \u200b\u200bXI. Med andre ord på stedet for den største i mængden af \u200b\u200bXI, er det nummer P, på stedet for den næststørste (i faldende rækkefølge) - (n - 1) osv. I stedet for den mindste stående 1 . Hvis nogle X. er lig med hinanden, V.R. Det er bygget som: Den største x henføres til rangen n, følgende - rang (n-1) osv., Og så videre, indtil efter at have tildelt rangen (N - K), vil Equal XI ikke mødes. Lad det være XKL, ..., XKL. Hver af dem, vi tilskriver rangen til følgende i værdien af \u200b\u200bHKL 1, nyder rangen N- (K L 1), hvis den ikke er lig med nogen anden komponent X, og rangen Yu.n. Tolstova

Status Vector -

det samme, som bølgefunktionen.

Vektor vektor - Psykologisk ordbog

(Vectorcardiografi) - se elektrokardiografi.

Vektor vektor - Psykologisk encyklopædi

VectorCardiography (VectorCardiObog) - Medicinsk ordbog.

se elektrokardiografi.

Vector Meter - Big Encyclopedic Dictionary.

(Fra vektoren og ... Meter) - Enheden til måling af strømmer, spændinger af fasen med vekselstrøm.

Vector M. - Forklarende ordbog Efremova.

1. Elektrisk enhed til måling af spændingen eller kraften og fasen af \u200b\u200bvekselstrøm.

Vector diagram - Big Encyclopedic Dictionary.

det grafiske billede af værdierne af de fysiske mængder, der varierer ved den harmoniske lov og forholdet mellem dem i videoerne. Det bruges i beregninger i elektroteknik, akustik, optik osv.

Vektorpsykologi - Sociologisk ordbog

Se feltteori.

Vektorpsykologi - Psykologisk ordbog

Se diskussion af Levin-teori i artikel Vector (1).

Vektorpsykologi - Psykologisk encyklopædi

Vektor calculus - Big Encyclopedic Dictionary.

den matematiske sektion, hvor operationerne studeres. Inkluderer vektor algebra og vektor ugyldig. Reglerne for vektor algebra afspejler egenskaberne af de handlinger byaderielle værdier. For eksempel kaldes summen af \u200b\u200bvektorerne A og B vektoren, der kommer fra vektorens begyndelse A til enden af \u200b\u200bvektoren B, forudsat at begyndelsen af \u200b\u200bbegyndelsen påføres til enden af \u200b\u200bvektoren A; Denne regel er forbundet med reglerne for kraft eller hastigheder (se parallelogrammer af kræfter). Vektoren er beregningen af \u200b\u200bto typer multiplikation af vektorer (se skalar lækker, vektor kunst). Hvis jeg, J, K er tre gensidigt tillader enhedsvektor i rummet, så kan enhver vektor konkluderes som A \u003d A1I + A2J + A3K. Tallene A1, A2, A3 kaldes komponenter (koordinater) af Vector A. Grundlaget for Vector Analyza er baseret på differentieringsoperationer og integration af vektorfunktioner.

Vektorfelt - Big Encyclopedic Dictionary.

området, på hvert punkt af P, som er indstillet Vector A (P). Knunning vektorfelter fører mange fysiske fænomener og processer (fx hastighedsvektorer af de bevægelige fluidpartikler i hver momentum danner vektorfeltet).

Vector Art - Big Encyclopedic Dictionary.

vektor A på vektor B - vektor p \u003d vektorrum - et matematisk koncept, der generaliserer begrebet komprimering af vektorer af 3-dimensionelt rum i tilfælde af vilkårlig talrige dimensioner.

Vektor tilgang til psykoterapi - Psykologisk ordbog

(Vektor tilgang til psykoterapi) V.P. P. postulerer, at alle de forskellige terapier i det væsentlige distribueres på 6 AUD. vektorer eller modaliteter, der angiver vækstretningen. Valg af en af \u200b\u200bMN. Terapeutiske metoder, OSN. På disse vektorer kan en miljømæssig orienteret terapeut opnå høj effektiv afbalanceret terapeutisk integration, og TA er frihed til at udtrykke deres personlige præferencer og talenter. Nedenfor er klassificeret. Terapi metoder baseret på disse vektorer. 1. En rationel vektor karakteriseret ved et indblik, udvidelse af bevidsthed og læring: a) psykoan.; b) rationel og emotiv terapi c) transaktionsanalyse d) adfærdsterapi. 2. Neuromuskulær vektor karakteriseret ved muskelspænding, muskelafslapning og bevægelse, ledsaget af respiratoriske ændringer og følelser frigivelse: a) roshian terapi; b) bioenergi; c) Rolfing; d) Alexander-metode; e) Feldencraisa-metode; e) Danseterapi. 3. Interpersonel vektor præget af relationer mellem mennesker: a) Gruppe af møder; b) psykodrama; c) fælles familieterapi D) Gestalt terapi. 4. Vektor af fantasi præget af intrapersonal oplevelse, når du slukker for den eksterne stimulering: a) hypnoterapi; b) psykosyntese; c) Direkte fantasier i den vågen tilstand (guidede dagdrømme). 5. Transpersonlig vektor karakteriseret ved transcendens af en lukket tilstand af bevidsthed af en person: a) åndelig helbredelse; b) parapsykologiske fænomener; c) Yongian Psychology; d) Meditation. 6. Den biokemiske vektor karakteriseret ved kemiske ændringer i kroppen, der har en intern eller ekstern oprindelse: a) orthomolekylær terapi; b) carbogen; c) kostprocedurer og øvelser d) psykedelisk og psykolitisk lægemiddelterapi e) sedativer, stimulanter og beroligende midler. Se også innovativ psykoterapi, metoder til psykoterapi P. bindrim

Endelig fik jeg hænder til et omfattende og efterlængt emne analytisk geometri. For det første, lidt om dette afsnit af de højeste matematik .... Du huskede sikkert nu skolens geometri med mange sætninger, deres beviser, tegninger osv. Hvad skal man skjule, unloved og ofte et overkommeligt emne for en betydelig andel af eleverne. Analytisk geometri, mærkeligt nok, kan virke mere interessant og overkommelig. Hvad betyder adjektivet "analytisk"? To stemplet matematisk omsætning kommer straks til at tænke på: "Grafisk løsningsmetode" og "Analytisk Solution Method". Grafisk metode., Klart er forbundet med konstruktion af grafer, tegninger. Analytical.samme metode forudsætter løsning af opgaver overvejende Ved hjælp af algebraisk virkning. I denne henseende er algoritmen af \u200b\u200bløsninger af næsten alle opgaver af analytisk geometri enkel og gennemsigtig, ofte nok til forsigtigt at anvende de nødvendige formler - og svaret er klar! Nej, selvfølgelig, ganske uden tegninger her vil det ikke koste, foruden en bedre forståelse af materialet, vil jeg forsøge at bringe dem over nødvendigheden.

Åbningshastigheden for lektioner i geometri hævder ikke teoretisk fuldstændighed, det er fokuseret på at løse praktiske opgaver. Jeg inkluderede kun i mine forelæsninger, at fra mit synspunkt er vigtigt i praksis. Hvis du har brug for et mere komplet certifikat i henhold til ethvert afsnit, anbefaler jeg følgende ganske overkommelige litteratur:

1) den ting, som uden joke er kendt for flere generationer: Skole lærebog på geometri, forfattere - L.s. Atanasyan og selskabet. Denne bøjle af skole omklædningsrum har allerede opretholdt 20'erne (!) Reprint, som selvfølgelig ikke er grænsen.

2) Geometri i 2 volumener. Forfattere L.s. Atanasyan, Basilev V.T.. Disse er litteratur til videregående uddannelse, du skal bruge første tom. Fra mit synsfelt kan sjældent fundet opgaver falde ud, og lærebogen vil give uvurderlig hjælp.

Begge bøger kan downloades gratis på internettet. Derudover kan du bruge mit arkiv med færdige løsninger, der kan findes på siden. Download eksempler på højere matematik.

Fra instrumentelle værktøjer foreslår jeg igen min egen udvikling - softwarepakke Ifølge analytisk geometri, som vil reducere livet betydeligt og spare en masse tid.

Det antages, at læseren er bekendt med de grundlæggende geometriske koncepter og figurer: punkt, direkte, plan, trekant, parallelogram, parallelepiped, kube osv. Det er tilrådeligt at huske nogle sætninger, i det mindste soorem af Pythagora, Hej til 10. år)

Og nu vil vi konsekvent overveje: Vector koncept, handlinger med vektorer, vektorkoordinater. Næste anbefaler jeg at læse Den vigtigste artikel Scalar produktvektorersåvel som Vektor og blandede kunstvektorer. Lokal opgave er ikke for meget - deler segmentet i denne henseende. Baseret på ovenstående oplysninger kan du mestere direkte ligning på flyet fra de enkleste eksempler på løsningerhvad der vil tillade lær at løse geometri udfordringer. Følgende artikler er også nyttige: Plan ligning i rummet, Ligninger direkte i rummetDe vigtigste opgaver for lige og plan, andre sektioner af analytisk geometri. Naturligvis overvejer samtidig typiske opgaver.

Vektor koncept. Gratis vektor

Først gentager vi skoldefinitionen af \u200b\u200bvektoren. Vektor hedder rettet Segmentet, for hvilken dets begyndelse og enden er angivet:

I dette tilfælde er begyndelsen af \u200b\u200bsegmentet det punkt, slutningen af \u200b\u200bsegmentet - punktet. Selve vektoren er angivet igennem. Retning Det er vigtigt, hvis du omarrangerer pilen til en anden ende af segmentet, så vil vektoren være, og det er allerede en helt anden vektor. Konceptet af vektoren er praktisk at identificere med bevægelsen af \u200b\u200bden fysiske krop: du ser, gå til instituttets dør eller komme ud af instituttets dør er helt forskellige ting.

Separate punkter i flyet, rummet er praktisk at overveje den såkaldte nul vektor . I en sådan vektor falder enden og begyndelsen sammenhænge.

!!! Bemærk: I det følgende kan det vurderes, at vektorerne ligger i samme plan, eller du kan antage, at de er placeret i rummet - essensen af \u200b\u200bdet skitserede materiale er også gyldigt for flyet og for rummet.

Betegnelser: Mange tog straks opmærksomheden på staven uden pil i betegnelsen og sagde, på samme tid de satte pilen! Sandt nok kan du skrive med pilen: men tilladt den rekord, som jeg vil bruge i fremtiden. Hvorfor? Tilsyneladende har en sådan vane udviklet sig fra praktiske overvejelser, mine pile på skolen og universitetet viste sig for at være for differentieret og shaggy. I den pædagogiske litteratur, nogle gange gider de ikke med ure overhovedet, men allokere breve med fed skrift:, hvilket indebærer, at dette er en vektor.

Det var stilen, og nu om metoderne til optagelse af vektorer:

1) Vektorer kan skrives af to store latinske bogstaver:
etc. Samtidig er det første bogstav før Angiver begyndelsen af \u200b\u200bvektoren og det andet bogstav - punkt-end vektoren.

2) Vektorer registrerer også små latinske bogstaver:
Især er vores vektor mulig for korthed til at konvertere et lille latinbrev.

Lena. eller modul Nonzero vektoren kaldes længden af \u200b\u200bsegmentet. Længden af \u200b\u200bnulvektoren er nul. Logisk.

Vektorens længde er angivet ved tegn på modulet:

Sådan finder du længden af \u200b\u200bvektoren, vi vil lære (eller gentage, for hvem som) lidt senere.

At der var elementære oplysninger om vektoren, der var kendt for alle skolebørn. I den analytiske geometri, den såkaldte gratis vektor.

Hvis det er enkelt - vektor kan udskydes fra et hvilket som helst punkt.:

Vi plejede at ringe til sådanne vektorer (definitionen af \u200b\u200blige vektorer vil blive givet nedenfor), men er udelukkende fra et matematisk synspunkt. Dette er den samme vektor eller gratis vektor. Hvorfor gratis? Fordi du under løsningen af \u200b\u200bopgaver kan "vedhæfte" en eller anden vektor i nogen, punktet på det plane eller rum, du har brug for. Dette er en meget cool ejendom! Forestil dig en vilkårlig længde og retninger - det kan være "kloning" et uendeligt antal gange og på et hvilket som helst punkt af rum, faktisk eksisterer det overalt. Der er et så student tillæg: Til hver lektor i F ** Y via vektoren. Trods alt, ikke bare et vittigt rim, er alt matematisk korrekt - vektoren kan fastgøres der. Men skynd dig ikke for at glæde sig, eleverne har selv oftere \u003d)

Så, gratis vektor - dette er masser af identiske rettede segmenter. Skole Definition af en vektor givet i begyndelsen af \u200b\u200bstykket: "Vektoren kaldes en rettet snit ...", indebærer bestemt Direktionssegmentet taget fra dette sæt, som er bundet til et bestemt punkt på flyet eller rummet.

Det skal bemærkes, at i form af fysik er begrebet fri vektor i det generelle tilfælde forkert, og punktet for vektorapplikationen vigtig. Faktisk er et direkte slag af samme kraft på næsen eller i panden tilstrækkelig til at udvikle mit dumme eksempel tage forskellige konsekvenser. Imidlertid, ikke-fri Vektorer mødes og informeres (ikke gå der :)).

Handlinger med vektorer. COLLINEARITY VECTORS.

I skoleåret af geometri overvejes en række handlinger og regler med vektorer: tilsætning af regel for trekanten, tilsætning ifølge reglen for parallelogrammet, vektorforskel regel, vektor multiplikation med nummer, skalærprodukt af vektorer osv. For frø gentager vi to regler, der er særligt relevante for at løse problemerne med analytisk geometri.

Reglen om tilsætning af vektorer i henhold til regyrens regel

Overvej to vilkårlig nonzero vektor og:

Det er nødvendigt at finde størrelsen af \u200b\u200bdisse vektorer. På grund af det faktum, at alle vektorer betragtes som gratis, udsættes vektor fra ende VECTOR:

Summen af \u200b\u200bvektorer og er vektor. For en bedre forståelse af reglen i den, er det tilrådeligt at investere fysisk betydning: Lad noget krop lavet en vej til vektoren, og derefter ved vektoren. Derefter er summen af \u200b\u200bvektorerne en vektor af den resulterende vej med begyndelsen ved udgangspunktet og enden ved ankomstpunktet. En lignende regel formuleres for mængden af \u200b\u200bet hvilket som helst antal vektorer. Som de siger, kan kroppen passere sin vej stærkt fra en zigzag, og måske på autopilot - ifølge den resulterende vektor sum.

Forresten, hvis vektoren udskydes fra start vektor, så vil det være ækvivalent pollogram Rule. Tilsætning af vektorer.

Først om vektorens collinearity. To vektorer kaldes collinearHvis de ligger på en lige linje eller på parallelle lige linjer. Grandigt taler vi om parallelle vektorer. Men i forhold til dem bruger adjektivet "collinear" altid.

Præsentere to kollinære vektor. Hvis pilen af \u200b\u200bdisse vektorer er rettet i samme retning, kaldes sådanne vektorer soned.. Hvis pilene ser i forskellige retninger, så vil vektorerne den modsatte rettede.

Betegnelser: Vektorernes kollinering optages med det sædvanlige parallelisikon: Det er muligt at detaljere: (Vektorerne er overtrukket) eller (vektorer er modsatte).

Arbejde Nonzero-vektoren på tallet er en sådan vektor, hvis længde er lige, og vektorerne og er overtrukket med den modsat rettede.

Vektormultiplikationsreglen er lettere at forstå med tegningen:

Vi forstår flere detaljer:

1) retning. Hvis multiplikatoren er negativ, så vektor ændrer retningen På modsat.

2) Længde. Hvis multiplikatoren er afsluttet inden for eller, så længden af \u200b\u200bvektoren falder. Så vektorlængde er to gange mindre end længden af \u200b\u200bvektoren. Hvis multiplikatormodulet er mere end en, så længden af \u200b\u200bvektoren stigninger i tide.

3) Bemærk at alle kollinære vektorerI dette tilfælde udtrykkes en vektor gennem en anden, for eksempel. Det modsatte er også retfærdigt: Hvis en vektor kan udtrykkes gennem den anden, så er sådanne vektorer nødvendigvis collinear. På denne måde: hvis vi multiplicerer vektoren til nummeret, så den kollinære (i forhold til den oprindelige) vektor.

4) Vektorerne er overtrukket. Vektorer og er også overtrukket. En hvilken som helst af den første gruppe af den første gruppe er modsat rettet mod en hvilken som helst anden gruppe vektor.

Hvilke vektorer er lige?

To vektorer er ens, hvis de er forsynet og har samme længde.. Bemærk, at køleren indebærer, at vektorernes kolliaritet. Definitionen vil være unøjagtig (overflødig), hvis du siger: "To vektorer er lige, hvis de er collinear, er belagt og har samme længde."

Ud fra begrebet fri vektor er lige vektorer den samme vektor, som allerede er sket i det foregående afsnit.

Koordinaterne for vektoren på flyet og i rummet

Første punkt overvejer vektorer på flyet. Jeg vil skildre det kartesiske rektangulære koordinatsystem og udsætte fra begyndelsen af \u200b\u200bkoordinaterne enkelt Vektorer og:

Vektorer I. ortogonal.. Ortogonal \u003d vinkelret. Jeg anbefaler, at det langsomt bliver vant til terminerne: I stedet for parallelisme og vinkelrettelse bruger vi ord i overensstemmelse hermed collinearity. og ortogonalitet.

Betegnelse: Orthogonaliteten af \u200b\u200bvektorer registreres af det sædvanlige vinkeltikonikon, for eksempel :.

De pågældende vektorer kaldes koordinere vektorer eller orthy.. Disse vektorer form basis på overfladen. Hvad er grundlaget, jeg tror, \u200b\u200bintuitivt mange forståelige, mere detaljerede oplysninger findes i artiklen. Lineær (ikke) vektorafhængighed. Basisvektorer.. Surrentible ord, grundlaget og begyndelsen af \u200b\u200bkoordinaterne sætter hele systemet - dette er en slags fundament, hvor en komplet og mættet geometrisk liv koger.

Nogle gange bygget base kaldet ortonormated. Grundlaget for flyet: "Orto" - fordi koordinatvektorerne er ortogonale, adjektivet "normaliseret" betyder en, dvs. Længden af \u200b\u200bbasisvektorer er lig med en.

Betegnelse: Basis er normalt optaget i parentes inde i hvilken i streng sekvens. Opført grundlæggende vektorer, for eksempel:. Koordinere vektorer det er umuligt Omarrangere på steder.

Nogen Vector plane. den eneste måde udtrykt i formularen:
hvor - numbers.hedder koordinater for vektoren I denne base. Og selve udtrykket hedder nedbrydning af vektor Basis. .

Middag serveret:

Lad os starte med det første bogstav i alfabetet :. Ifølge tegningen ses det tydeligt, at når vektornedbrydning af grundlaget, netop overvejet:
1) Vector multiplikationsregel efter nummer: og;
2) Tilsætning af vektorer i Triangle-reglen :.

Og nu sætter mentalt vektoren fra et hvilket som helst andet punkt i flyet. Det er klart, at hans nedbrydning vil være "ubarmhjertigt følge ham." Her er det, vektorens frihed - vektoren "alle bærer med dig." Denne ejendom er selvfølgelig sandt for enhver vektor. Det er sjovt, at de grundlæggende (gratis) vektorer ikke er nødvendige for at udsætte fra begyndelsen af \u200b\u200bkoordinaterne, kan man for eksempel tegne til venstre i bunden, og den anden er til højre over, og intet vil ændre sig! Sandt nok er det ikke nødvendigt at gøre det, fordi læreren også vil vise originalitet og trækker dig "krediteret" på et uventet sted.

Vektorer illustrerer nøjagtigt vektor multiplikationsregel efter nummer, vektor er co-rettet med en basisk vektor, vektoren er rettet modsat bunden vektor. Dataene fra vektorerne er et af koordinaterne er nul, det kan registreres, at:


Og de grundlæggende vektorer, forresten, så: (Faktisk er de udtrykt sig selv i sig selv).

Og endelig: ,. Forresten, hvad er subtraktionen af \u200b\u200bvektorer, og hvorfor fortalte jeg ikke om fradragsreglen? Et sted i en lineær algebra kan jeg ikke huske, hvor jeg bemærkede, at subtraktion er et specielt tilfælde af tilsætning. Så dekomponeringen af \u200b\u200bvektorerne "de" og "E" er roligt optaget i form af mængden: . Omorganiserer pladsernes komponenter og følg tegningen, da den gamle god tilsætning af vektorer i henhold til registreringsreglen virker tydeligt i disse situationer.

Betragtes som nedbrydning af typen Nogle gange kaldet dekomponeringen af \u200b\u200bvektoren i ORT-systemet (dvs. i systemet med enkeltvektorer). Men det er ikke den eneste måde at optage vektoren på, den følgende mulighed er distribueret:

Eller med tegn på ligestilling:

De grundlæggende vektorer selv er skrevet som følger: Og

Det vil sige i parentes, er koordinaterne for vektoren angivet. I praktiske opgaver anvendes alle tre optagelsesmuligheder.

Tvivlede om at sige, men jeg vil stadig sige: koordinaterne for vektorerne kan ikke omarrangeres. Strengt i første omgang Skriv ned koordinatet, der svarer til enhedens vektor strengt på andenpladsen Vi skriver ned koordinatet, der svarer til enhedens vektor. Faktisk, og - dette er fordi to forskellige vektor.

Koordinater på flyet regnede ud. Overvej nu vektorerne i tredimensionelt rum, her næsten alle de samme! Tilføj kun en anden koordinat. Tredimensionale tegninger udfører hårdt, så jeg vil begrænse den samme vektor, som for enkelhed vil udskyde fra begyndelsen af \u200b\u200bkoordinaterne:

Nogen Vektor tredimensionale rum kan enkelt måde Rul gennem det orthormale grundlag:
, hvor - koordinaterne for vektoren (tal) i denne base.

Eksempel fra billedet: . Lad os se, hvordan handlingsreglerne med vektorer arbejder her. For det første er multiplikationen af \u200b\u200bvektoren: (Rød pil), (Green Arrow) og (Raulic Arrow). For det andet et eksempel på at tilføje nogle få, i dette tilfælde tre, vektorer :. Vektoren af \u200b\u200bmængden begynder ved udgangspunktet for afgangen (begyndelsen af \u200b\u200bvektoren) og fast i det sidste punkt for ankomst (ende vektor).

Alle tredimensionale vektorer er naturligt fri, prøv mentalt at udskyde vektoren fra et hvilket som helst andet punkt, og du vil forstå, at hans nedbrydning forbliver hos det. "

Svarende til flad sag, ud over optagelse Versioner med parenteser anvendes i vid udstrækning: enten.

Hvis der ikke er nogen (eller to) koordinatvektor i dekomponeringen, sættes der Zeros i stedet. Eksempler:
Vektor (omhyggeligt ) - Skriv;
Vektor (omhyggeligt ) - Skriv;
Vektor (omhyggeligt ) - Vi skriver.

Basevektorer er skrevet som følger:

Dette er måske al den mindste teoretiske viden, der er nødvendig for at løse problemerne med analytisk geometri. Måske lidt af vilkår og definitioner, så jeg anbefaler at genlæse tekande og forstå disse oplysninger igen. Og enhver læser vil være nyttig fra tid til anden for at kontakte den grundlæggende lektion for bedre at mestre materialet. Kollinearitet, ortogonalitet, orthormal basis, nedbrydning af en vektor - disse og andre koncepter vil ofte blive brugt i fremtiden. Jeg bemærker, at materialerne på stedet ikke er nok til at passere den teoretiske test, colloquium på geometri, da alle teorerne (desuden uden bevis), krypter jeg omhyggeligt - til skade for den videnskabelige stil af præsentationen, men plus til din forståelse af emnet. For at opnå en detaljeret teoretisk reference beder jeg om en bue til professor Atanasyan.

Og vi vender os til den praktiske del:

De enkleste opgaver af analytisk geometri.
Handlinger med vektorer i koordinater

Opgaver, der vil blive overvejet, er yderst ønskeligt at lære at løse på en komplet maskine, men formler husk Holy.Selv især ikke at huske sig selv, vil de huske \u003d) Dette er meget vigtigt, fordi andre opgaver af analytisk geometri er baseret på de enkleste elementære eksempler, og vil irritere den ekstra tid til at spise bonde. Ingen grund til at blinke de øverste knapper på trøjen, mange ting er bekendt med dig fra skolen.

Præsentationen af \u200b\u200bmaterialet vil gå parallelt med flyet og for rummet. Af den grund, at alle formler ... ser sig selv.

Sådan finder du en vektor på to punkter?

Hvis der gives to flypunkter, og vektoren har følgende koordinater:

Hvis der er to punkter i rummet, og vektoren har følgende koordinater:

Dvs. fra vektor ende koordinater nødt til at fratrække de tilsvarende koordinater begyndelsen af \u200b\u200bvektoren.

Opgaven: For de samme punkter skal du skrive ned formelten for at finde koordinaterne for vektoren. Formler i slutningen af \u200b\u200blektionen.

Eksempel 1.

Der er to punkter i flyet og. Find koordinaterne for vektoren

Afgørelse: Ifølge den tilsvarende formel:

Alternativt kan du bruge følgende post:

Æstete er løst som følger:

Personligt plejede jeg den første version af optagelsen.

Svar:

Efter betingelse var det ikke nødvendigt at bygge en tegning (som er typisk for opgaverne for analytisk geometri), men for at forklare nogle øjeblikke til tekande, passer ikke:

Sørg for at forstå forskellen mellem koordinaterne for punkterne og koordinaterne for vektorerne:

Koordinaterne for punktet - Disse er de sædvanlige koordinater i det rektangulære koordinatsystem. Gemmer point på koordinatplanet, tror jeg, at alle er i stand til stadig fra 5-6 klasse. Hvert punkt har et stramt sted på flyet, og bevæger dem et sted ikke kan flyttes.

Koordinater for samme vektor - Dette er hans grundlag på grundlag, i dette tilfælde. Enhver vektor er fri, så hvis det er nødvendigt, kan vi nemt udsætte det fra et andet punkt i flyet. Interessant nok, for vektorer, du ikke kan bygge akse overhovedet, er det rektangulære koordinatsystem, kun grundlaget, i dette tilfælde det orthonormale grundlag for flyet.

Records af koordinaterne for punkterne og de vektorernes koordinater synes at være ens:, og betydningen af \u200b\u200bkoordinaterne absolut forskelligeOg du bør forstå denne forskel godt. Denne forskel er selvfølgelig gyldig for rummet.

Mine damer og herrer, få hånd:

Eksempel 2.

a) Donerede punkter og. Find vektorer og.
b) Donas. og. Find vektorer og.
c) Datoer og. Find vektorer og.
d) Datoer. Find vers .

Måske nok. Disse er eksempler til en uafhængig løsning, prøv ikke at forsømme dem, betale af ;-). Tegninger behøver ikke at gøre. Løsninger og svar i slutningen af \u200b\u200blektionen.

Hvad er vigtigt, når du løser opgaver af analytisk geometri? Det er vigtigt at være yderst opmærksomme på at forhindre, at værkstedet af fejlen "to plus to er lig med nul." Jeg undskylder straks, hvis jeg var forkert \u003d)

Sådan finder du en længde af et segment?

Længde, som allerede nævnt, er angivet med modulets tegn.

Hvis der gives to punkter i flyet, og så kan længden af \u200b\u200bsegmentet beregnes ved formlen

Hvis der er to punkter i rummet, og så kan længden af \u200b\u200bsegmentet beregnes ved formlen

Bemærk: Formlerne forbliver korrekte, hvis relevante koordinater er omarrangeret af steder: og, men mere standard er den første mulighed.

Eksempel 3.

Afgørelse: Ifølge den tilsvarende formel:

Svar:

For klarhed vil jeg udføre en tegning

Sektion dette er ikke vektorOg flyt det et sted, selvfølgelig er det umuligt. Også, hvis du udfører en tegning på en skala: 1 enhed. \u003d 1 cm (to lufttale celler), så det resulterende svar kan kontrolleres ved en konventionel linje, der direkte måler længden af \u200b\u200bsegmentet.

Ja, løsningen er kort, men der er stadig et par vigtige øjeblikke, som jeg gerne vil præcisere:

For det første sætter vi dimensionen: "enheder". Tilstanden siger ikke, at det er millimeter, centimeter, meter eller kilometer. Derfor vil en matematisk kompetent løsning være en generel formulering: "enheder" - forkortede "enheder".

For det andet gentager vi skolematerialet, der er nyttigt, ikke kun for den betragtede opgave:

Vær opmærksom på vigtig teknisk teknik – plugging fra under roden. Som et resultat af beregningerne havde vi et resultat, og en god matematisk stil indebærer at lave en faktor fra under roden (hvis muligt). Mere processen ser sådan ud: . For at forlade svaret i formularen vil det ikke være en fejl - men den mangelfulde ting er sikkert og det vægtige argument for soldaterne fra læreren.

Her er andre almindelige tilfælde:

Ofte, under roden, opnås et tilstrækkeligt stort antal for eksempel. Hvordan skal man være i sådanne tilfælde? I en lommeregner skal du kontrollere, om et tal er opdelt i 4:. Ja, det blev opdelt, dermed delt: . Eller måske vil nummeret igen blive opdelt i 4? . På denne måde: . I nummeret er den sidste figur mærkeligt, derfor opdelt for tredje gang i 4 er det klart ikke muligt. Vi forsøger at opdele ni :. Som resultat:
Parat.

Produktion: Hvis nummeret er på roden, opnås nummeret, så forsøger vi at udholde en multiplikator fra under roden - på den kalkulator, vi kontrollerer, om nummeret er opdelt af: 4, 9, 16, 25, 36, 49, etc.

Under løsningen af \u200b\u200bforskellige problemer findes rødderne ofte, altid forsøger at udtrække multiplikatorer fra under roden for at undgå en lavere vurdering af ja unødvendige problemer med forbedring af dine beslutninger i henhold til lærerens kommentar.

Lad os på samme tid gentage opførelsen af \u200b\u200brødderne i pladsen og andre grader:

Handlingsreglerne med grader generelt findes i skolens lærebog på algebra, men jeg tror, \u200b\u200bfra ovenstående eksempler, alt eller næsten alt er allerede klart.

Opgave for en uafhængig løsning med et segment i rummet:

Eksempel 4.

Dana Dots og. Find længden af \u200b\u200bsegmentet.

Løsning og svar i slutningen af \u200b\u200blektionen.

Hvordan finder du længden af \u200b\u200bvektoren?

Hvis der gives et vektorplan, beregnes længden med formlen.

Hvis vektoren af \u200b\u200bplads er givet, beregnes dens længde med formlen .