Måling af områderne geometriske former.

§ 58. Pythagore 1 sætning.

__________
1 Pythagoras - Græsk videnskabsmand, der boede omkring 2500 år siden (564-473. BC).
_________

Lad en rektangulær trekant gives, hvis side men, b. og fra (Damn 267).

Bygge på sine sider, kvadraterne. Kvadrat af disse firkanter, henholdsvis lige men 2 , b. 2 I. fra 2. Vi beviser det fra 2 \u003d A. 2 + B. 2 .

Vi vil konstruere to firkanter af MKO og M "til" om "P" (Damn 268, 269), der har taget segmentet af hver af dem, svarende til summen af \u200b\u200bkateterne i den rektangulære trekant ABS.

Efter at have udført konstruktionerne i disse firkanter, vist på tegningerne 268 og 269, vil vi se, at kvadratet af Mkor styrtede to firkanter med firkanter men 2 I. b. 2 og fire lige rektangulære trekanter, der hver især er lig med den rektangulære trekant ABC. The Square M "K" om "P" styrtede ned i en firkantet (det er skygget i tegningen 269) og fire rektangulære trekanter, der hver især også svarer til ABS-trekanten. Den skraverede quadricle er en firkant, da dens parter er ens (hver er lig med hypotenuze af ABS Triangle, dvs. fra), og hjørner - direkte / 1 + / 2 \u003d 90 °, hvorfra / 3 \u003d 90 °).

Således er summen af \u200b\u200bfirkanterne af firkanterne bygget på kategorier (på tegningen 268 disse firkanter skygget), svarende til kvadratet af Mkor-pladsen uden summen af \u200b\u200bfirkanterne på fire lige trekanter, og firkanten af \u200b\u200bpladsen bygget På hypotenuse (på tegningen 269 er denne firkant også skygget), er lig med firkantet firkantet M "K" O "P", svarende til kvadratet af MKOR, uden summen af \u200b\u200bde fire af de samme trekanter. Følgelig er pladsen af \u200b\u200bpladsen bygget på hypotenneuz af den rektangulære trekant lig med summen af \u200b\u200bkvadraterne af firkanterne bygget på kategorier.

Vi får formlen fra 2 \u003d A. 2 + B. 2, hvor fra - Hypotenuse men og b. - Rødder af en rektangulær trekant.

Pythagores sætning godkendt kort som følger:

Kvadratet af hypotenus af den rektangulære trekant er lig med summen af \u200b\u200bkvadraterne af kateterne.

Fra formel fra 2 \u003d A. 2 + B. 2 Du kan få sådanne formler:

men 2 = fra 2 - b. 2 ;
B. 2 = fra 2 - men 2 .

Disse formler kan bruges til at finde en ukendt side af den rektangulære trekant på de to data til sine parter.
For eksempel:

a) Hvisatts men\u003d 4 cm, b.\u003d 3 cm, så kan du finde hypotenuse ( fra):
fra 2 \u003d A. 2 + B. 2, dvs. fra 2 \u003d 4 2 + 3 2; fra 2 \u003d 25, hvorfra fra \u003d √25 \u003d 5 (cm);

b) Hvis hypotenuse fra \u003d 17 cm og katat men \u003d 8 cm, så kan du finde en anden katat ( b.):

b. 2 = fra 2 - men 2, dvs. b. 2 = 17 2 - 8 2 ; b. 2 \u003d 225, hvorfra b.\u003d √225 \u003d 15 (cm).

Følge: Hvis i to rektangulære trekanter ABC og en 1 i 1 med 1 hypotenuse fra og fra 1 lige, og katat b. Triangle abs mere cate b. 1 Triangle A 1 i 1 C 1,
Det katet. men Triangle ABC Mindre kategori men 1 Triangle A 1 i 1 C 1. (Gør en tegning, der illustrerer denne konsekvens.)

Faktisk vil vi på grundlag af Pythagoret-sætningen få:

men 2 = fra 2 - b. 2 ,
men 1 2 = fra 1 2 - b. 1 2

I de registrerede formler er faldet ens, og den, der trækkes i den første formel, er mere subtraheret i den anden formel, derfor er den første forskel mindre end den anden,
dvs. men 2 < men 12. Fra men< men 1 .

Øvelser.

1. Bevis pythagora-sætningen til en ligevibried rektangulær trekant.

2. En rulle af en rektangulær trekant er 12 cm, den anden er 5 cm. Beregn længden af \u200b\u200bhypotenbruget af denne trekant.

3. Hypotenus af den rektangulære trekant er lig med 10 cm, en af \u200b\u200bkateterne er 8 cm. Beregn længden af \u200b\u200bden anden kategori af denne trekant.

4. Hypotenus af den rektangulære trekant er 37 cm, en af \u200b\u200bdens kateter er 35 cm. Beregn længden af \u200b\u200bden anden kategori af denne trekant.

5. Byg en firkant i området to gange jo større.

6. Byg en firkant i området to gange den mindre. Tegn. Adfærd diagonalt på denne plads. Squares bygget i halvdelen af \u200b\u200bdisse diagonaler vil være det ønskede.

7. Cartoundic Triangle Karts er henholdsvis 12 cm og 15 cm. Beregn længden af \u200b\u200bhypotenus af denne trekant med en nøjagtighed på 0,1 cm.

8. Hypotenusen af \u200b\u200bden rektangulære trekant er 20 cm, en af \u200b\u200bdens kateter er 15 cm. Beregn længden af \u200b\u200ben anden kategori med en nøjagtighed på 0,1 cm.

9. Hvilken længde skal der være en trappe, så den kan fastgøres til vinduet, der ligger i en højde på 6 m, hvis den nedre ende af trappen skal forsvare sig fra bygningen til 2,5 m? (Damn 271.)

Geometri - Videnskaben er ikke enkel. Det kan komme til nytte både for skoleprogrammet og i i virkeligheden. Kendskab til mange formler og sætninger vil forenkle geometriske beregninger. En af de mest enkle figurer i geometri er en trekant. En af varianterne af trekanter, ligesidet, har sine egne egenskaber.

Funktioner af den ligesidet trekant

Ifølge definitionen er trekanten en polyhedron, som har tre vinkler og tre sider. Dette er en flad todimensionel figur, dets egenskaber studeres i gymnasiet. Af typen af \u200b\u200bvinkel skelner med akutte vinkel-, dumme og rektangulære trekanter. Den rektangulære trekant er sådan en geometrisk figur, hvor en af \u200b\u200bhjørnerne er 90º. En sådan trekant har to kategorier (de skaber en straight vinkel), og en hypotenuse (det er modsat den direkte vinkel). Afhængigt af hvilke værdier der er kendt, er der tre enkle metoder til at beregne hypothen af \u200b\u200bden rektangulære trekant.

Den første måde at finde hypothen af \u200b\u200bden rektangulære trekant på er. Pythagoras sætning

Pythagoreo sætning er gammel måde at beregne nogen af \u200b\u200bsiderne af den rektangulære trekant. Det lyder sådan: "I en rektangulær trekant er pladsen af \u200b\u200bhypotenuse lig med summen af \u200b\u200bkvadraterne af kateterne." For at beregne hypotenuse er det således nødvendigt at trække kvadratroden af \u200b\u200bto kateter på pladsen. For klarhed er formlerne og skema vist.

Den anden vej. Beregning af hypotenus med 2 kendte værdier: CATE og tilstødende vinkel

En af egenskaberne af den rektangulære trekant anfører, at forholdet mellem længden af \u200b\u200bcatechet og længden af \u200b\u200bhypotenuse svarer til kosinden af \u200b\u200bvinklen mellem disse eller hypotenuse. Vi kalder den hjørne kendte vinkel α. På grund af en kendt definition er det nemt at formulere en formel til beregning af hypotenser: hypotenuse \u003d katat / cos (α)

Tværty vej. Beregning af hypotenus med 2 kendte værdier: CATE og et modstående hjørne

Hvis den modsatte vinkel er kendt, er det muligt at udnytte egenskaberne af den rektangulære trekant igen. Forholdet mellem længden af \u200b\u200bcatech og hypotenuse svarer til sin sius af det modsatte hjørne. Igen kalder vi den kendte vinkel α. Nu for beregninger vil vi anvende lidt anderledes formel:
Hypotenuse \u003d katat / synd (α)

Eksempler, der vil hjælpe med at håndtere formler

For en dybere forståelse af hver af formlerne bør visuelle eksempler overvejes. Så antag, at der er en rektangulær trekant, hvor der er sådanne data:

• Carthew - 8 cm.
• Den tilstødende vinkel COSα1 - 0,8.
• Det modsatte hjørne af SINNα2 - 0,8.

Ifølge Pythagore: Hypotenuse \u003d firkantet rod (36 + 64) \u003d 10 cm.
Størrelsen af \u200b\u200bkategorien og tilstødende vinkel: 8 / 0,8 \u003d 10 cm.
Størrelsen af \u200b\u200bkategorien og den modsatte vinkel: 8 / 0,8 \u003d 10 cm.

Efter at have forstået i formlen, kan det nemt beregnes med hypotenus med eventuelle data.

VIDEO: Pythagora Teorem

Sørg for, at denne trekant er rektangulær til dig, da Pythagora-sætningen kun gælder for rektangulære trekanter. I rektangulære trekanter er en af \u200b\u200btre vinkler altid lig med 90 grader.

• Den lige vinkel i den rektangulære trekant er angivet med ikonet i form af en firkant og ikke i form af en kurve, som betegner indirekte vinkler.

Angiv siden af \u200b\u200btrekanten. Katenets angiver som "A" og "B" (CATTS - Partier, der skærer i rette vinkler) og hypotenuse - som "C" (hypotenuse - den største side af den rektangulære trekant, der ligger modsat den direkte vinkel).

Bestemme hvilken vej til trekanten er nødvendig for at finde. Pythagore-sætningen giver dig mulighed for at finde nogen side af den rektangulære trekant (hvis to andre parter er kendt). Bestem, hvilken vej (A, B, C) skal findes.

• For eksempel er hypotenuse givet 5, og Dan Catat er lig med 3. I dette tilfælde er det nødvendigt at finde den anden CATT. Vi vender tilbage til dette eksempel senere.
• Hvis to andre parter er ukendte, er det nødvendigt at finde længden af \u200b\u200ben af \u200b\u200bde ukendte parter for at kunne anvende Pythagore-sætningen. For at gøre dette skal du bruge de grundlæggende trigonometriske funktioner (hvis du får værdien af \u200b\u200ben af \u200b\u200bde indirekte vinkler).

Seddt i Formula A 2 + B 2 \u003d C 2 data til dig værdier (eller værdier du fundet). Husk at A og B er nødder, og C er hypotenuse.

• I vores eksempel skal du skrive: 3² + B² \u003d 5².

Ørepladsen hver kendt side. Eller forlade grader - du kan bygge et nummer i en firkant senere.

• I vores eksempel skal du skrive: 9 + B² \u003d 25.

Adskille en ukendt side på den ene side af ligningen. For at gøre dette skal du overføre de kendte værdier til den anden side af ligningen. Hvis du finder hypotenuse, så i Pythagore-sætningen, er det allerede isoleret på den ene side af ligningen (så gør ingenting).

• I vores eksempel overføres 9 på højre side af ligningen for at adskille den ukendte B2. Du modtager B2 \u003d 16.

Fjern firkantetroten fra begge dele af ligningen efter et ukendt (på en firkant) er til stede på den ene side af ligningen, og på den anden side - et frit medlem (nummer).

• I vores eksempel, B2 \u003d 16. Fjern kvadratroten fra begge dele af ligningen og få b \u003d 4. Således er den anden CATT lig med 4.

Brug Pythagora-sætningen i hverdagen, da det kan bruges i et stort antal praktiske situationer. For at gøre dette lærer du at genkende rektangulære trekanter i hverdagen - i enhver situation, hvor to emner (eller linjer) skærer i rette vinkler, og det tredje objekt (eller linje) forbinder (diagonalt) toppen af \u200b\u200bde første første punkter (eller Linjer), du kan bruge Pythagore Teorem til at finde en ukendt side (hvis to andre parter er kendt).

• Eksempel: Dana er en trappe, der læner sig mod bygningen. Den nederste del af trappen er 5 meter fra bunden af \u200b\u200bvæggen. Den øverste del af trappen er 20 meter fra jorden (op ad væggen). Hvad er længden af \u200b\u200btrappen?
  • "5 meter fra væggen af \u200b\u200bvæggen" betyder, at A \u003d 5; "Det er 20 meter fra jorden" betyder, at B \u003d 20 (det vil sige to cent af den rektangulære trekant gives til dig, da bygningen og jordens overflade skærer i rette vinkler). Trappens længde er længden af \u200b\u200bden hypotenuse, der er ukendt.
    • a² + B² \u003d C²
    • (5) ² + (20) ² \u003d C²
    • 25 + 400 \u003d C²
    • 425 \u003d C².
    • c \u003d √425.
    • c \u003d 20.6. Således er den omtrentlige længde af trappen lig med 20,6 meter.

Ikke glemt Pythagores sætning. Pladsen af \u200b\u200bhypotenus af den rektangulære trekant er lig med summen af \u200b\u200bkvadraterne af sine kateter. Med andre ord, i en rektangulær trekant, er pladsen af \u200b\u200bpladsen bygget på hypotenuse lig med summen af \u200b\u200bkvadraterne af firkanterne bygget på sine kategorier.

Udpege længden af \u200b\u200btrekanten hypotenuse gennem C, og længden af \u200b\u200bkatterne gennem A og B:

Hypotenuse. - Dette er en af \u200b\u200bsiderne af den rektangulære trekant. Også i denne trekant er der to cateta..

Samtidig er hypotenuse den part, der er modsat den direkte vinkel. Og Kartets er parter, der danner denne vinkel.

I overensstemmelse med Pythagora Teorem, hypotenusfirkanten vil være lig med summen af \u200b\u200bkvadraterne af kateterne.

Det vil sige ab \u003d ac + bc.

Også ret og den modsatte erklæring - hvis den udføres af ligestilling i trekanten, så er denne trekant rektangulær.

Denne ejendom hjælper med at løse en masse geometriske opgaver.

Der er også en lidt anderledes formulering af denne sætning: Torget på pladsen, som er bygget på hypotenuse, er lig med summen af \u200b\u200bkvadraterne af kvadraterne bygget på catetes.

Hypotenusens firkant er lig med summen af \u200b\u200bkvadraterne af kateterne ... fra skolen af \u200b\u200bhjertet. Dette er en af \u200b\u200bde regler, jeg husker for evigt.)))

Hypotenbrugets plads er lig med summen af \u200b\u200bkvadraterne af kateterne

Dette er korrekt, Hypotenus-firkanten er lig med summen af \u200b\u200bkvadraterne af kateterne. Selvfølgelig blev vi undervist for os, og at denne teorem Pythagora ikke efterlader tvivl, så flot blandt den sædvanlige rutine for at huske, hvad de lærte for længe siden.

Det afhænger af længden af \u200b\u200bdenne hypotenuse. Hvis det er lig med en meter, er pladsen en kvadratmeter. Og hvis det for eksempel er 39,37 inches, så er pladsen lig med 1550 kvadratiske tommer, intet kan gøres her.

Hypotenusens firkant er lig med summen af \u200b\u200bkateters kvadrater - Pythagora-sætningen (forresten, det nemmeste afsnit i geometriens lærebog)

Ja, torvet af hypotenuse er lig med summen af \u200b\u200bkvadraterne af kateterne. Det ser ud til, at de blev undervist i skolen. Hvor mange år er gået, og vi husker stadig dette, elsket af os, sætning. Sandsynligvis kan de belaste og bevise, som skoleprogrammet.

Stadig sagt læser pythagora bukser, i alle retninger er lige;

Vi lærer sagde, at hvis du sover og pludselig en ild - du har brug for at kende teoremet i Pythagora))) er lig med summen af \u200b\u200bkvadraterne af kateterne

Hyppen af \u200b\u200bhypotenuse er lig med summen af \u200b\u200bkvadraterne af de to andre sider af trekanten (kateter).

Dette kan huskes, og du kan for evigt forstå, hvorfor dette er sådan.

til at begynde med skal du overveje en rektangulær trekant med de samme kategorier og placere det inde i en firkant med en side af svarende til hypotenuse.

Det store firkantede område vil være lig med området med fire identiske trekanter inde i det.

Jeg vil overveje alt hurtigt og få det resultat, vi har brug for.



Hvis kateterne ikke er de samme, er alt også ret simpelt:

det store firkantede område er lig med summen af \u200b\u200bområdet af de fire identiske trekanter plus torvpladsen i midten.



Ligegyldigt hvor cool - altid få lighed

summen af \u200b\u200bkvadraterne af kateterne er lig med torvet af hypotenuse.

En af de mest berømte i Geometri, Pythagores sætning læser:

Dette sætning vedrører en rektangulær trekant, det vil sige en, hvis vinkler er 90 grader. Siderne af den direkte vinkel kaldes catechos og skrå hypotenurus. Så hvis du tegner tre firkanter med bunden af \u200b\u200bhver af siderne af trekanten, er området af to firkanter i nærheden af \u200b\u200bkategorien lig med pladsen nær hypotenuse.

Instruktion

Hvis du har brug for at beregne på Pythagoreo-sætningen, skal du bruge følgende algoritme: - Bestem i trekanten, hvilke parter der er kategorier og - hypotenurus. To sider, der danner en vinkel i halvfems grader, og der er karteter, der forbliver den tredje hypotenuse. (cm) - Tag i anden grad hver cattata af denne trekant, det vil sige multiplicere på sig selv. Eksempel 1. Lad det være nødvendigt at beregne hypotenuse, hvis en katat i trekanten er 12 cm, og den anden - 5 cm. For det første er kvadraterne af kateterne lig med: 12 * 12 \u003d 144 cm og 5 * 5 \u003d 25 cm. Derefter bestemmer summen af \u200b\u200bkvadratkateterne. Et bestemt antal er hypotenuses., skal du slippe af med anden grad af nummer for at finde længde. af denne side af trekanten. For at gøre dette skal du fjerne værdien af \u200b\u200bmængden af \u200b\u200bkateter fra under kvadratrod. Eksempel 1. 144 + 25 \u003d 169. Kvadratrod ud af 169 vil være 13. Derfor er længden af \u200b\u200bdette hypotenuses. svarende til 13 cm.

En anden måde at beregne længde på hypotenuses. ligger i terminologien af \u200b\u200bsinus og hjørner i trekanten. Per definition: Sine vinkel af alfa - modsat catech for hypotenuse. Det er, ser på tegningen, synd A \u003d CV / AB. Derfor er Hypotenuse AV \u003d SV / Synd A. Eksempel 2. Lad en vinkel på 30 grader, og den passerende kniv - 4 cm. Det er nødvendigt at finde hypotenusen. Løsning: AV \u003d 4 cm / synd 30 \u003d 4 cm / 0,5 \u003d 8 cm. Besvar: Længde hypotenuses. lig med 8 cm.

En lignende måde at blive hypotenuses. Fra definitionen af \u200b\u200bcosinusvinkel. COSINE Vinkel - forholdet mellem den tilstødende kategori og hypotenuses.. Det vil sige, cos a \u003d ac / ab, herfra AV \u003d AC / cos a. Eksempel 3. I ABC Triangle, AV - Hypotenuse, er vinklen på dig 60 grader, katat højttalerne - 2 cm. Find AV.
Løsning: AV \u003d AC / COS 60 \u003d 2 / 0,5 \u003d 4 cm. Svar: Hypotenuse er 4 cm i længden.

Hjælpsomme rådgivning

Hvis du finder værdien af \u200b\u200bsinus eller cosinus af vinklen, skal du bruge enten Sinus og COSINE-bordet eller Bradys-bordet.

Tip 2: Sådan finder du længden af \u200b\u200bhypotenuses i en rektangulær trekant

Hypotenuse kaldes den længste ud af siderne i den rektangulære trekant, så det er ikke overraskende, at dette ord fra det græske sprog oversættes som "strakt". Denne side ligger altid modsat vinklen på 90 °, og de sider, der danner denne vinkel, kaldes kunder. At kende længderne af disse sider og størrelsen af \u200b\u200bakutte vinkler i forskellige kombinationer af disse værdier kan beregnes og længden af \u200b\u200bhypotenuse.

Instruktion

Hvis længderne af begge trekanter (A og B) er kendt, skal du bruge længden af \u200b\u200bhypotenuse (c) mest, måske kendt for den matematiske postatat - Pythagores sætning. Det står, at torvet i længden af \u200b\u200bhypotenuses er summen af \u200b\u200bkvadraterne af de kateters magi, hvilket indebærer, at du skal beregne roden af \u200b\u200bsummen af \u200b\u200bden opstillede længde på de to sider: C \u003d √ (A2 + C² ). For eksempel, hvis længden af \u200b\u200ben kategori er 15, A-10 centimeter, vil længden af \u200b\u200bhypotenuse være ca. 18.0277564 centimeter, da √ (155 + 10 ²) \u003d √ (225 + 100) \u003d √ 325-18.0277564 .

Hvis længden af \u200b\u200bkun en af \u200b\u200bkateterne (A) i en rektangulær trekant er kendt, såvel som værdien af \u200b\u200bvinklen, der ligger modsat den (α), kan længden af \u200b\u200bhypotenuse (C) ved anvendelse af en af \u200b\u200bde trigonometriske funktioner - sinus. For at gøre dette skal du dele længden af \u200b\u200bden kendte side til sinus af den kendte vinkel: C \u003d A / SIN (α). For eksempel, hvis længden af \u200b\u200ben af \u200b\u200bkateterne er 15 centimeter, og størrelsen af \u200b\u200bvinklen i det modsatte toppunkt af trekanten er 30 °, vil længden af \u200b\u200bhypotenuse være lig med 30 centimeter, siden 15 / synd (30 °) \u003d 15 / 0,5 \u003d 30.

Hvis værdien af \u200b\u200ben af \u200b\u200bde skarpe vinkler (α) er kendt i den rektangulære trekant og længden af \u200b\u200bkategorien ved siden af \u200b\u200bden (b), kan en anden trigonometrisk funktion anvendes til at beregne længden af \u200b\u200bhypotenuse (C) - COSINE . Du bør opdele længden af \u200b\u200bden kendte kategori på kosinden af \u200b\u200bden kendte vinkel: C \u003d b / cos (α). For eksempel, hvis længden af \u200b\u200bdenne kategori er 15 centimeter, og størrelsen af \u200b\u200bden akutte vinkel, til den tilstødende, er 30 °, vil længden af \u200b\u200bhypotenuse være ca. 17.3205081 centimeter, da 15 / cos (30 °) \u003d 15 / (0,5 * √3) \u003d 30 / √3≈17.3205081.

Det er sædvanligt at angive afstanden mellem de to punkter i ethvert segment. Det kan være lige, brudt eller lukket linje. Beregn længden kan være ret simpelt, hvis du kender nogle andre segmenter.

Instruktion

Hvis du har brug for at finde længden af \u200b\u200bsiderne af pladsen, vil det ikke være, hvis du er kendt for S. S. i forbindelse med det faktum, at alle sider af pladsen har