Как се изважда по колона

Изваждането на многоцифрени числа обикновено се извършва в колона, записвайки числата едно под друго (умалено отгоре, изваждане отдолу), така че цифрите на същите цифри да са разположени една под друга (единици под единици, десетици под десетици, и т.н.). Вляво между числата се поставя знак за действие. Под франшизата е начертана линия. Изчислението започва с цифрата на единиците: единиците се изваждат от единиците, след това десетиците се изваждат от десетиците и т.н. Резултатът от изваждането се записва под реда:

Нека разгледаме пример, когато на някое място цифрата на умаляваното е по-малка от цифрата на субтрахенда:

Не можем да извадим 9 от 2, какво трябва да направим в този случай? Имаме недостиг в категорията единици, но в категорията десетици умаленото има цели 7 десетици, така че можем да прехвърлим една от тези десетици в категорията единици:

В категорията единици имахме 2, хвърлихме десетка, станаха 12 единици. Сега можем лесно да извадим 9 от 12. Пишем 3 под чертата на мястото на единиците. На мястото на десетиците имахме 7 единици, прехвърлихме една от тях на прости единици, оставяйки 6 десетици. Пишем 6 под линията на мястото на десетките В резултат на това получаваме числото 63:

Изваждането на колона обикновено не се записва толкова подробно, вместо това се поставя точка над цифрата на цифрата, в която ще бъде заета единица, за да не се помни коя цифра ще трябва да се извади допълнително единица:

В същото време те казват следното: не можете да извадите 9 от 2, вземаме едно, от 12 изваждаме 9 - получаваме 3, пишем 3, на мястото на десетките имахме 7 единици, прехвърлихме една, има 6 наляво, пишем 6.

Сега помислете за колонно изваждане от числа, съдържащи нули:

Да започнем да изваждаме. От 7 изваждаме 3, пишем 4. Не можем да извадим 5 от нула, така че сме принудени да вземем единица в най-високия ранг, но в най-високия ранг също имаме 0, така че за тази цифра сме принудени да вземем по-висок ранг. Като вземем едно от мястото на хилядите, получаваме 10 стотици:

Поставяме една от единиците на мястото на стотните в низшия ред, което води до 10 десетици. Извадете 5 от 10, напишете 5:

В мястото на стотните ни остават 9 единици, така че изваждаме 6 от 9 и записваме 3. В мястото на хилядите имахме единица, но я изразходвахме за долните цифри, така че тук остава нула (няма нужда да да го напишеш). В резултат на това получихме числото 354:

Такъв подробен запис на решението беше даден, за да бъде по-лесно да се разбере как се извършва изваждане на колона от числа, съдържащи нули. Както вече споменахме, на практика решението обикновено се записва така:

И всички споменати действия се извършват в ума. За да улесните изваждането, запомнете това просто правило:

При изваждане по колона, ако над нулата има точка, нулата се превръща в 9.

Калкулатор за изваждане на колони

Този калкулатор ще ви помогне да извадите числа в колона. Просто въведете умаляваното и субтрахента и щракнете върху бутона Изчисли.

Има удобен метод за намиране на разликата на две естествени числа - колонно изваждане, или колонно изваждане. Този метод носи името си от метода за записване на умаляваното и разликата едно под друго. По този начин можете да извършвате както основни, така и междинни изчисления в съответствие с необходимите цифри на числата.

Този метод е удобен за използване, защото е много прост, бърз и визуален. Всички изчисления, които на пръв поглед изглеждат сложни, могат да бъдат сведени до събиране и изваждане на прости числа.

По-долу ще разгледаме как точно да използвате този метод. Разсъжденията ни ще бъдат подкрепени с примери за по-голяма яснота.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Какво трябва да прегледате, преди да научите колонно изваждане?

Методът се основава на някои прости действия, което вече обсъдихме по-рано. Необходимо е да прегледате как правилно да изваждате с помощта на таблица за добавяне. Също така е препоръчително да знаете основното свойство за изваждане на равни естествени числа (в буквална форма се записва като a − a = 0). Ще ни трябват следните равенства: a − 0 = a и 0 − 0 = 0 , където a е произволно естествено число(ако е необходимо, вижте основните свойства за намиране на разликата на цели числа).

Освен това е важно да знаете как да определите ранга на естествените числа.

Основното нещо на първия етап е правилното записване на първоначалните данни. Първо запишете първото число, от което ще извадим. Под него поставяме субтрахенда. Числата трябва да са разположени строго едно под друго, като се вземе предвид ранга: десетки под десетки, стотици под стотици, единици под единици. Записът се чете отдясно наляво. След това поставете минус от лявата страна на колоната и начертайте линия под двете числа. Крайният резултат ще бъде изписан под него.

Пример 1

Нека покажем с пример кой запис за броене е правилен:

Използвайки първото, можем да намерим колко ще бъде 56 − 9, използвайки второто, 3 004 − 1 670, и третото, 203 604 500 − 56 777.

Както можете да видите, с помощта на този метод можете да извършвате изчисления с различна сложност.

След това ще разгледаме процеса на намиране на самата разлика. За да направите това, изваждаме стойностите на цифрите една по една: първо изваждаме единици от единици, след това десетки от десетки, след това стотици от стотици и т.н. Записваме стойностите под линията, разделяща оригиналните данни от резултата. В резултат на това трябва да получим число, което ще бъде правилният отговор на задачата, т.е. разликата между оригиналните числа.

Как точно се извършват изчисленията можете да видите на тази диаграма:

Разбрахме общата картина на записване и броене. Има обаче някои точки в метода, които се нуждаят от пояснение. За целта ще дадем конкретни примери и ще ги обясним. Нека започнем с най-простите задачи и постепенно да увеличаваме сложността, докато най-накрая разберем всички нюанси.

Съветваме ви да прочетете внимателно всички примери, защото всеки от тях илюстрира някои неразбираеми точки. Ако стигнете до края и запомните всички обяснения, тогава изчисляването на разликата на естествените числа в бъдеще няма да ви създаде ни най-малко затруднения.

Пример 2

Състояние:Нека намерим разликата 74 805 - 24 003, като използваме изваждане на колона.

Решение:

Нека напишем тези числа едно под друго, като поставим правилно цифрите една под друга и ги подчертаем:

Изваждането започва отдясно наляво, тоест от единици. Броим: 5 - 3 = 2 (ако е необходимо, повторете таблиците за събиране на естествени числа). Записваме резултата под реда, където са посочени единиците:

Извадете десетиците. И двете стойности в нашата колона са нула и изваждането на нула от нула винаги дава нула (както си спомняте, споменахме, че ще имаме нужда от това свойство за изваждане по-късно). Пишем резултата на правилното място:

Следващата стъпка е да се намери стойността на разликата в хиляди: 4 − 4 = 0. Записваме получената нула на правилното й място и завършваме с:

Получихме 50 802, което ще бъде правилният отговор за горния пример. Това завършва изчисленията.

Отговор: 50 802 .

Да вземем друг пример:

Пример 3

Състояние: Нека изчислим колко ще бъдат 5777 - 5751, като използваме метода на разликата в колоните.

Решение:

Вече посочихме стъпките, които трябва да предприемем по-горе. Изпълняваме ги последователно за нови числа и завършваме с:

Резултатът започва с две нули. защото те са първи, след това можете спокойно да ги изхвърлите и да получите 26 в отговора. Това число ще бъде правилният отговор в нашия пример.

Отговор: 26 .

Ако погледнете условията на двата примера, дадени по-горе, е лесно да забележите, че досега сме вземали само числа, които са еднакви по брой цифри. Но методът на колоната може да се използва и когато умаляваното включва повече знаци от субтрахенда.

Пример 4

Състояние:нека намерим разликата 502 864 число 2330.

Решение

Да изпишем числата едно под друго, като спазваме необходимото съотношение на цифрите. Ще изглежда така:

Сега изчисляваме стойностите една по една:

– единици: 4 − 0 = 4 ;

– десетици: 6 − 3 = 3 ;

– стотици: 8 − 3 = 5 ;

– хиляди: 2 − 2 = 0 .

Нека запишем какво получихме:

Сутрахендът има стойности в десетки и стотици хиляди, но умаляваното не. Какво да правя? Нека си припомним, че празнотата в математическите примери е еквивалентна на нула. Това означава, че трябва да извадим нули от първоначалните стойности. Изваждането на нула от естествено число винаги дава нула, следователно всичко, което ни остава, е да пренапишем първоначалните стойности на цифрите в областта за отговор:

Нашите изчисления са завършени. Получихме резултата: 502 864 - 2 330 = 500 534.

Отговор: 500 534 .

В нашите примери стойностите на цифрите на субтрахенда винаги се оказват по-малки от стойностите на умаляваното, така че това не създава трудности при изчисляването. Какво трябва да направите, ако не можете да извадите стойността на долния ред от стойността на горния ред, без да отидете в минус? След това трябва да „заемем“ стойностите на по-високите битове. Да вземем конкретен пример.

Пример 5

Състояние:намерете разликата 534 - 71.

Пишем колоната, която вече ни е позната, и предприемаме първата стъпка от изчисленията: 4 - 1 = 3. Получаваме:

След това трябва да преминем към броене на десетки. За да направим това, трябва да извадим 7 от 3. Тази операция не може да се извърши с естествени числа, тъй като има смисъл само с умалено, което е по-голямо от субтрахенда. Следователно в в този примертрябва да „заемем“ единица от най-високата цифра и по този начин да я „разменим“. Тоест, ние сякаш променяме 100 на 10 десетици и вземаме една от тях. За да не забравяме това, маркираме желаната цифра с точка, а в десетки пишем 10 с различен цвят. В крайна сметка получихме запис, който изглеждаше така:

Записваме получения резултат върху на точното мястопод чертата:

Просто трябва да завършим броенето, като пресметнем стотици. Имаме точка над числото 5: това означава, че сме взели десетката от тук за предишната цифра. Тогава 5 − 1 = 4. Няма нужда да изваждате нищо от четиримата, тъй като това, което се изважда на мястото на стотните, няма значение. Пишем 4 на място и получаваме отговора:

Отговор: 463 .

Често трябва да извършите действието „размяна“ няколко пъти в рамките на един пример. Нека да разгледаме този проблем.

Пример 6

Състояние:какво е 1 632 - 947?

Решение

В първия етап на броене трябва да извадите две от седем, така че незабавно „заемаме“ десет, за да разменим за 10 единици. Отбелязваме това действие с точка и броим 10 + 2 - 7 = 5. Ето как изглежда нашият запис с маркировки:

След това трябва да преброим десетки. Посочената точка означава, че за изчисления вземаме число в тази цифра, което е с едно по-малко: 3 − 1 = 2. Ще трябва да извадим четири от две, така че „разменяме“ стотици. Получаваме (10 + 2) − 4 = 12 − 4 = 8.

Да преминем към броенето на стотици. От шест вече сме взели едно, така че 6 − 1 = 5. Изваждаме девет от пет, за което вземаме хилядата, която имаме, и я „разменяме“ за 10 стотици. Така (10 + 5) − 9 = 15 − 9 = 6. Нашият запис за бележки сега изглежда така:

Просто трябва да направим изчисленията на хилядната позиция. Вече сме взели една единица от тук, така че 1 − 1 = 0. Пишем резултата под последния ред и вижте какво се е случило:

Това завършва изчисленията. Водещата нула може да бъде изхвърлена. И така, 1632 − 947 = 685.

Отговор: 685 .

Нека вземем още по-сложен пример.

Пример 7

Състояние:извадете 907 от 8,002.

За да извадим едно число от друго, поставяме изваждаемото под умаляваното, както следва: единици под единици, десетици под десетици. Например, нека вземем двуцифрено число като умалено и едноцифрено число като субтрахенд.

7 – 5 = 2 Записваме резултата под единици.

Сега изваждаме десетици от десетици, но субтрахенът няма десетици, така че пропускаме десетицата от умаляваното в отговора.

27 – 5 = 22

Сега нека вземем и двете двуцифрени числа:

Извадете единиците на субтрахенда от единиците на умаляваното:

6 – 4 = 2 запишете резултата под единици

Сега изваждаме десетиците на субтрахенда от десетиците на умаляваното:

8 – 3 = 5 Записваме резултата под десетици.

В резултат на това получаваме разликата:

86 – 34 = 52

Изваждане с преминаващи десетици

Нека се опитаме да намерим разликата на следните числа:

Извадете единиците. Не можете да извадите 9 от 7; ние вземаме една десетица от десетиците на умаляваното. За да не забравяме, поставяме точка на десетиците.

17 – 9 = 8

Сега изваждаме десетици от десетици. Сутрахендът няма десетици, но ние взехме назаем една десетица от умаляваното:

2 десетици – 1 десетица = 1 десетица

В резултат на това получаваме разликата:

27 – 9 = 18

Сега да вземем за пример трицифрени числа:

Извадете единиците. 2 по-малко 8 , така че заемаме една десетица от десетиците на умаляваното: 2 + 10 = 12 (пишем 10 над единиците). За да не забравяме, поставяме точка на десетиците.

12 – 8 = 4 Записваме резултата под единици.

Взехме една десетка от десетици за единици, което означава, че в умаленото вече няма три десетици, а две ( 3 десетици – 1 десетица = 2 десетици).

Две десетици са по-малко от шест, ние заемаме сто или 10 десетици от стотици ( 2 десетици + 10 десетици = 12 десетициние пишем 10 над десетиците на умаляваното), и за да не забравяме, поставяме точка над стотиците. Извадете десетките:

12 десетици – 6 десетици = 6 десетици Записваме резултата под десетици.

Взехме сто от стотици, което се редуцира за десетки, което означава, че нямаме 9 стотици и 8 стотици ( 9 стотици – 1 стотица = 8 стотици). Извадете стотици:

8 стотици – 7 стотици = 1 стотица . Записваме резултата под стотици.

В резултат получаваме:

932 – 768 = 164

Нека да усложним задачата. Какво трябва да направите, ако мястото, от което трябва да вземете десетка, е нула? Например:

Да започнем с единици. 2 по-малко 8 , тоест трябва да вземете назаем от десетки. Но тази се намалява с десетки 0 , което означава, че за десетки трябва да заемате от стотици. В стотните място и в умаляваното 0 , заемаме от хиляди. За да не забравяме, поставяме точка над хилядите.

В стотици умалели останки 9 , тъй като приемаме сто за десетки: 10 – 1 = 9 ние пишем 9 над стотици.

Остава и в десетките 9 , тъй като взехме една десетка за единици: 10 – 1 = 9 ние пишем 9 над десетици, а над единици пишем 10 .

Ние броим единици:

12 – 8 = 4 Записваме резултата под единиците.

Остават десетки намалени 9 , считаме:

9 – 6 = 3 Записваме резултата под десетици.

Стотици намалени останки 9 , субтрахенда няма стотици, пропускаме 9 в отговор имаше стотици.

В категорията на хилядите декрементируеми имаше 1 , ние го окупирахме (точка над хиляди), което означава, че не са останали повече хиляди. В резултат получаваме:

1002 – 68 = 934

И така, нека обобщим.

За да намерите разликата на две числа (изваждане по колона) :

1. Поставяме изваждаемото под умаляваното, записваме единици под единици, десетици под десетици и т.н.
2. Нека изваждаме малко по малко.
3. Ако трябва да вземете десетка от следващия ранг, поставете точка над ранга, от който сте го взели. Поставяме 10 над категорията, за която заемаме.
4. Ако има 0 в цифрата, от която заимстваме, тогава за нея заемаме от следващата цифра умалено, над която поставяме точка. Поставяме 9 над ранга, за който сме заели, тъй като сме заели една десетка.

Както знаем, всяко число може да бъде написано с помощта на десет символа, които се наричат ​​(арабски) в числа. Това означава, че не е необходимо да можете да броите до повече от десет, за да завършите писмени задачи по математика. Нека например ни дадат задача да броим огромен бройпесъчинки, изсипани върху масата. Преброяваме десет песъчинки и ги поставяме на една купчина. След това отброяваме още десет песъчинки и ги поставяме на друга купчина. И така нататък, и така нататък, докато е възможно. Преместваме останалите песъчинки, които не попадат в някоя от купчините (ако има такива), в далечния край на масата, за да не пречат. Пред нас бяха останали само купища и десетки. Започваме да ги броим. И се захващаме с работата по същия начин, както когато преди нас имаше само голямо разпръскване на отделни песъчинки. След като преброихме десет купчини от десетки, ние ги събираме в една по-голяма купчина - купчина от стотици. След това правим още един куп, сто и така нататък, докато можем. Преместваме допълнителните купчини от десетки, които не са включени в нито една купчина от стотици (ако има такива), в далечния край на масата. Сега нека започнем да броим купчините от стотици. И така нататък, и така нататък - по вече познатата схема. Всеки път имаме работа с все по-големи и по-големи групи. Рано или късно ще постигнем факта, че пред нас ще има по-малко от десет купчини. Сега остава само да попълните следната таблица.

купчини- милиони (разтоварване милиона)	купчини - стотици хиляди (разтоварване стотици хиляди)	купчини - десетки хиляди (разтоварване десетки хиляди)	купчини- хиляди (разтоварване хиляди)	купчини- стотици (разтоварване стотици)	купчини- десетки (разтоварване десетки)	Отделно песъчинки (разтоварване единици)

В най-дясната колона трябва да въведете броя на отделните песъчинки, които не попадат в купчинки. Научно тази колона на таблицата се нарича единици цифра. Също така се казва, че е най-малката цифра от числото. Във втората колона отдясно ( десетки място) трябва да поставите броя на купчините в десетки. И така нататък. Ако е необходимо, вляво на таблицата могат да се добавят произволен брой колони (цифри от висок ред), като не е толкова важно как се наричат. Ако, напротив, има твърде много колони, тогава допълнителните колони отляво могат да бъдат изтрити. Задачата за броене на песъчинки е изпълнена.

Сега нека да видим как можете да добавите две големи числабез да използвате акаунти. Да кажем, че трябва да добавите 2345 песъчинки към 1234 песъчинки. Въвеждаме и двете числа в таблицата:

Откакто се събрахме гънкатези номера, тогава ги извикахме условия. Нека съберем съдържанието на всяка цифра поотделно: единици с единици, десетки с десетки, стотици със стотици, хиляди с хиляди и получаваме отговора:

Обърнете внимание, че резултатът от събирането научно се нарича сбор. По този начин,

1234 + 2345 = 3579.

За съжаление нещата не винаги се получават толкова просто. Нека изчислим

Въвеждаме термините в таблицата, добавяме всяка цифра поотделно и получаваме:

Нека си признаем, лошо се получи. Например в най-ниската категория имаше 17 песъчинки. От такъв брой песъчинки можете да направите една пълна купчина от десет, като мястото за тази купчина от десет е в следващия най-висок ранг. Ще трябва да пренапишете таблицата в различна форма, като оформите нови купчини според нуждите и незабавно ги поставите в правилната категория. След това остава да извършите добавянето отново във всяка цифра и едва тогава ще получите правилния отговор:

	Десетки хиляди
1-ви термин
2-ри мандат
Помощни линии			1 3

Е, по принцип можете да направите това, но отговорът не винаги се получава бързо. Ето, например, какво дълга масатрябва да съставите, за да съберете числата 9999 и 1 по следния начин:

	Десетки хиляди
1-ви термин
2-ри мандат
Помощни линии
Помощни линии
Помощни линии

Да видим дали можем да се задоволим с по-кратък запис. Нека съберем отново числата 5678 и 6789 и се опитаме да бъдем възможно най-кратки. Е, първо, няма нужда да подреждате таблицата толкова внимателно и да изписвате заглавията на колоните и редовете. Нека напишем термините просто така:

В резултат на това добавяне образувахме допълнителна купчина десетки, които записахме в подходящата за нея категория. Сега, когато добавяме купчини от десетки, ще вземем предвид и тази допълнителна купчина: 7 десетки + 8 десетки = 15 десетици; 15 десетици + 1 десетица = 16 десетици; 16 десетици = 1 стотна + 6 десетици. Така че трябва да напишете:

Накрая остава само да съберем всичко, което е попаднало на хилядното място (и за красота напишете още веднъж от най-високата цифра в реда отдолу):

Продължавайки да пишем такива малки стълби, ще получим окончателния отговор във формата:

Опашка за десетките. Събираме 7 и 8 и получаваме 15. Е, сега къде да напишем числото 1, къде да напишем числото 5? Забравихме да оставим свободна линия под линията, където трябва да започват стълбите! Но, разбира се, няма да задраскаме или преработим нищо. Просто ще напишем числото 1 най-отгоре на таблицата. Единственото важно нещо е да попада в правилната категория:

Най-накрая всичко беше наред! Но ние можем да направим още по-добре. На самия връх така или иначе нищо друго освен сингъли не може да застане. Това означава, че изобщо не е необходимо тези единици да се изписват толкова внимателно. Достатъчно е да поставите малки спретнати точки вместо тези. Като този:

Извършваме изваждането във всяка цифра поотделно и получаваме отговора:

Хмм... Ситуацията в категорията единство е много неприятна. Осем трябва да се извадят от седем. Но вече имаме известен опит. Ние знаем как да излезем от тази ситуация. Трябва да разбиете куп десетки на отделни песъчинки и тогава всичко ще си дойде на мястото. Можете да го напишете така:

Да преминем към категорията десетки. И тук ни чакат неприятности. От шест трябва да извадите седем и след това да извадите още една единица. Повтаряме трика с разделянето на купчина от по-висок ранг:

На мястото на десетиците сега имаме: 10 + 6 = 16; 16 − 7 = 9; 9 − 1 = 8. Продължаваме по този начин и накрая получаваме:

Всичко би било наред, но вече знаем, че тази форма на запис може да доведе до известно неудобство. Нека се опитаме да изчислим

В категорията единици ситуацията е много успешна:

Да преминем към изчисления в десетките. Но тук всичко не е толкова гладко. Ще трябва да го напишете така:

Довеждаме изчисленията до края и получаваме:

Цялата тази структура може да бъде заменена с една единствена точка, която може удобно да бъде написана на мястото на „−1“. Резултатът е:

Тук, за да извършим изваждане на мястото на единиците, ще трябва да разделим купчината от десетици на отделни песъчинки, но ние също нямаме купчини от десетици. Няма проблем! Ще се съсредоточим малко. Сега ще вземем назаем една купчина или десет от нищото, но тогава, когато извършим изчисления на мястото на десетките, определено ще трябва да върнем взетата назаем купчина. Чувствайте се свободни да поставите точката в категорията десетки. На мястото на единиците получаваме: 10 + 0 = 10; 10 − 1 = 9:

Време е да се справим с мястото на десетките. Тук имаме нула купчини и трябва да се върне още една купчина, както ни напомня точката по-горе. Поставяме точка в категорията на стотиците и не се замисляме дали истинската шепа стотици е разделена на десет купчини или такава купчина е взета назаем „от нищото“. Сега имаме десет купчини на мястото на десетиците. Връщаме един от тях, остават девет:

Сега знаем всичко за изваждането. Остава само да се развие умението.

В училище тези действия се изучават от прости към сложни. Ето защо е наложително да разберете напълно алгоритъма за извършване на тези операции прости примери. Така че по-късно няма да има трудности с разделянето на десетични дроби в колона. В крайна сметка това е най-трудната версия на такива задачи.

Тази тема изисква последователно изучаване. Тук пропуските в знанията са недопустими. Всеки ученик трябва да научи този принцип още в първи клас. Следователно, ако пропуснете няколко урока подред, ще трябва да овладеете материала сами. В противен случай по-късно ще възникнат проблеми не само с математиката, но и с други предмети, свързани с нея.

Втората предпоставка за успешно изучаване на математика е да се премине към примери за дълго деление само след усвояване на събирането, изваждането и умножението.

За детето ще бъде трудно да дели, ако не е научило таблицата за умножение. Между другото, по-добре е да го преподавате с помощта на таблицата на Питагор. Няма нищо излишно и в този случай умножението се учи по-лесно.

Как се умножават естествените числа в колона?

Ако възникне трудност при решаването на примери в колона за деление и умножение, тогава трябва да започнете да решавате задачата с умножение. Тъй като делението е обратна операция на умножението:

1. Преди да умножите две числа, трябва да ги разгледате внимателно. Изберете този с повече цифри (по-дълъг) и първо го запишете. Поставете втория под него. Освен това номерата от съответната категория трябва да са в същата категория. Тоест най-дясната цифра на първото число трябва да е над най-дясната цифра на второто.
2. Умножете най-дясната цифра на долното число по всяка цифра на горното число, като започнете отдясно. Напишете отговора под чертата, така че последната му цифра да е под тази, по която сте умножили.
3. Повторете същото с друга цифра от по-ниското число. Но резултатът от умножението трябва да бъде изместен с една цифра наляво. В този случай последната му цифра ще бъде под тази, по която е умножен.

Продължете това умножение в колона, докато числата във втория фактор свършат. Сега те трябва да бъдат сгънати. Това ще бъде отговорът, който търсите.

Алгоритъм за умножение на десетични знаци

Първо, трябва да си представите, че дадените дроби не са десетични, а естествени. Тоест премахнете запетаите от тях и след това продължете, както е описано в предишния случай.

Разликата започва, когато отговорът е записан. В този момент е необходимо да се преброят всички числа, които се появяват след десетичните точки в двете дроби. Точно толкова от тях трябва да се преброят от края на отговора и да се постави запетая.

Удобно е да илюстрирате този алгоритъм с пример: 0,25 x 0,33:

Откъде да започна да уча разделяне?

Преди да решите примери за дълго деление, трябва да запомните имената на числата, които се появяват в примера за дълго деление. Първият от тях (този, който се дели) е делим. Второто (разделено на) е делителя. Отговорът е личен.

След това, използвайки обикновен ежедневен пример, ще обясним същността на тази математическа операция. Например, ако вземете 10 сладки, тогава е лесно да ги разделите по равно между мама и татко. Но какво ще стане, ако трябва да ги дадете на родителите и брат си?

След това можете да се запознаете с правилата за разделяне и да ги усвоите конкретни примери. Първо прости, а след това преминете към все по-сложни.

Алгоритъм за разделяне на числата в колона

Първо, нека представим процедурата за естествени числа, делими на едноцифрено число. Те ще бъдат и основа за многоцифрени делители или десетични дроби. Само тогава трябва да правите малки промени, но повече за това по-късно:

• Преди да направите дълго деление, трябва да разберете къде са дивидентът и делителят.
• Запишете дивидента. Вдясно от него е разделителят.
• Начертайте ъгъл отляво и отдолу близо до последния ъгъл.
• Определете непълния дивидент, тоест числото, което ще бъде минимално за разделяне. Обикновено се състои от една цифра, максимум две.
• Изберете числото, което ще бъде написано първо в отговора. Трябва да е броят пъти, в които делителят се вписва в дивидента.
• Запишете резултата от умножаването на това число по делителя.
• Напишете го под непълния дивидент. Извършете изваждане.
• Добавете към остатъка първата цифра след частта, която вече е разделена.
• Изберете отново числото за отговор.
• Повторете умножението и изваждането. Ако остатъкът е нула и дивидентът е свършил, тогава примерът е готов. В противен случай повторете стъпките: премахнете числото, вземете числото, умножете, извадете.

Как да решим дълго деление, ако делителят има повече от една цифра?

Самият алгоритъм напълно съвпада с описаното по-горе. Разликата ще бъде броят на цифрите в непълния дивидент. Сега трябва да има поне две от тях, но ако се окажат по-малко от делителя, тогава трябва да работите с първите три цифри.

В това разделение има още един нюанс. Факт е, че остатъкът и добавеното към него число понякога не се делят на делителя. След това трябва да добавите друго число по ред. Но отговорът трябва да е нула. Ако разделяте трицифрени числа в колона, може да се наложи да премахнете повече от две цифри. След това се въвежда правило: в отговора трябва да има една нула по-малко от броя на премахнатите цифри.

Можете да разгледате това разделение, като използвате примера - 12082: 863.

• Непълният дивидент в него се оказва числото 1208. Числото 863 е поставено в него само веднъж. Следователно отговорът трябва да е 1, а под 1208 напишете 863.
• След изваждане остатъкът е 345.
• Трябва да добавите числото 2 към него.
• Числото 3452 съдържа 863 четири пъти.
• Като отговор трябва да се запише четири. Освен това, когато се умножи по 4, се получава точно това число.
• Остатъкът след изваждане е нула. Тоест делбата е завършена.

Отговорът в примера би бил числото 14.

Ами ако дивидентът завършва на нула?

Или няколко нули? В този случай остатъкът е нула, но дивидентът все още съдържа нули. Няма нужда да се отчайвате, всичко е по-просто, отколкото може да изглежда. Достатъчно е просто да добавите към отговора всички нули, които остават неразделени.

Например, трябва да разделите 400 на 5. Непълният дивидент е 40. Пет се вписва в него 8 пъти. Това означава, че отговорът трябва да бъде записан като 8. При изваждане не остава остатък. Тоест делението е завършено, но в дивидента остава нула. Ще трябва да се добави към отговора. Така разделянето на 400 на 5 е равно на 80.

Какво да направите, ако трябва да разделите десетична дроб?

Отново, това число изглежда като естествено число, ако не беше запетаята, разделяща цялата част от дробната част. Това предполага, че разделянето на десетични дроби в колона е подобно на описаното по-горе.

Единствената разлика ще бъде точката и запетая. Тя трябва да бъде поставена в отговора веднага щом се премахне първата цифра от дробната част. Друг начин да кажете това е следният: ако сте приключили с разделянето на цялата част, поставете запетая и продължете решението по-нататък.

Когато решавате примери за дълго деление с десетични дроби, трябва да запомните, че произволен брой нули могат да бъдат добавени към частта след десетичната запетая. Понякога това е необходимо, за да се попълнят числата.

Деление на два знака след десетичната запетая

Може да изглежда сложно. Но само в началото. В края на краищата, как да разделим колона от дроби на естествено число, вече е ясно. Това означава, че трябва да намалим този пример до вече позната форма.

Лесно е да се направи. Трябва да умножите и двете дроби по 10, 100, 1000 или 10 000 и може би по милион, ако задачата го изисква. Предполага се, че множителят се избира въз основа на това колко нули има в десетичната част на делителя. Тоест резултатът ще бъде, че ще трябва да разделите дробта на естествено число.

И това ще бъде най-лошият сценарий. В крайна сметка може да се случи дивидентът от тази операция да стане цяло число. Тогава решението на примера с разделяне на колона от дроби ще бъде намалено до самото прост вариант: операции с естествени числа.

Като пример: разделете 28,4 на 3,2:

• Първо трябва да се умножат по 10, тъй като второто число има само една цифра след десетичната запетая. Умножението ще даде 284 и 32.
• Предполага се, че са разделени. Освен това цялото число е 284 на 32.
• Първото число, избрано за отговора, е 8. Умножаването му дава 256. Остатъкът е 28.
• Разделянето на цялата част е приключило и в отговора е запетая.
• Премахнете до остатък 0.
• Вземете 8 отново.
• Остатък: 24. Добавете още 0 към него.
• Сега трябва да вземете 7.
• Резултатът от умножението е 224, остатъкът е 16.
• Свалете още 0. Вземете по 5 и ще получите точно 160. Остатъкът е 0.

Разделението е завършено. Резултатът от пример 28.4:3.2 е 8,875.

Ами ако делителят е 10, 100, 0,1 или 0,01?

Точно както при умножението, тук не е необходимо дълго деление. Достатъчно е просто да преместите запетаята в желаната посока за определен брой цифри. Освен това, използвайки този принцип, можете да решавате примери както с цели числа, така и с десетични дроби.

Така че, ако трябва да разделите на 10, 100 или 1000, тогава десетичната точка се премества наляво със същия брой цифри, колкото има нули в делителя. Тоест, когато едно число се дели на 100, десетичната запетая трябва да се премести наляво с две цифри. Ако дивидентът е естествено число, тогава се приема, че запетаята е в края.

Това действие дава същия резултат, както ако числото трябва да бъде умножено по 0,1, 0,01 или 0,001. В тези примери запетаята също се премества наляво с брой цифри, равни на дължината на дробната част.

При деление на 0,1 (и т.н.) или умножение по 10 (и т.н.) десетичната запетая трябва да се премества надясно с една цифра (или две, три в зависимост от броя на нулите или дължината на дробната част).

Струва си да се отбележи, че броят на цифрите, посочени в дивидента, може да не е достатъчен. След това липсващите нули могат да се добавят отляво (в цялата част) или отдясно (след десетичната запетая).

Деление на периодични дроби

В този случай няма да е възможно да се получи точен отговор при разделяне в колона. Как да решите пример, ако срещнете дроб с точка? Тук трябва да преминем към обикновените дроби. И след това ги разделете според предварително научените правила.

Например, трябва да разделите 0.(3) на 0,6. Първата фракция е периодична. Преобразува се във фракцията 3/9, която, намалена, дава 1/3. Втората дроб е последният десетичен знак. Още по-лесно е да го запишете както обикновено: 6/10, което е равно на 3/5. Правилото за деление на обикновени дроби изисква замяна на делението с умножение и делителя с реципрочното. Тоест примерът се свежда до умножаване на 1/3 по 5/3. Отговорът ще бъде 5/9.

Ако примерът съдържа различни дроби...

Тогава са възможни няколко решения. първо, обикновена дробМожете да опитате да го конвертирате в десетичен знак. След това разделете два знака след десетичната запетая, като използвате горния алгоритъм.

Второ, всеки ограничен десетичен знакможе да се напише в обикновена форма. Но това не винаги е удобно. Най-често такива фракции се оказват огромни. И отговорите са тромави. Следователно първият подход се счита за по-предпочитан.