Ако развитието на трудовите процеси и появата на собствеността принудиха човека да измисли числата и техните имена, то по-нататъшното нарастване на икономическите потребности на хората ги доведе по пътя на все по-голямо разширяване и задълбочаване на понятието за число. Особено значителни промени в този смисъл настъпиха, когато се появиха държави с повече или по-малко сложен държавен апарат, който изискваше отчитане на собствеността и създаване на данъчна система, и когато стоковата размяна премина в етапа на развитие на търговията, използвайки парична система. От една страна това доведе до появата на писмена номерация, а от друга започнаха да се развиват броителните операции, т.е. се появиха операции с числа.
Един вид запис на числа е извършен дори в онези далечни епохи на човешкия живот: всички тези възли, прорези, нанизани на корда от черупка, не са нищо повече от зародиш на записано число. След това започнаха да обозначават числото 1 с едно тире, 2 с две, 3 с три и т.н.
Развитието на цифровата нотация винаги е съпътствало общото издигане на културното ниво на народите и следователно е било най-интензивно в онези страни, които бързо са следвали пътя на развитието на държавността.
Сред народите глобуснай-много изгодни условияза развитието на техните икономически и политически животимаше хора, които живееха на кръстопътя на три континента: Европа, Африка и Азия, както и народи, които заемаха териториите на полуостров Хиндустан и съвременен Китай. Природни условияпо тези места са били изключително разнообразни. Това многообразие и изключителна диференциация се наблюдават в развитието на производителните сили и съответно на обществения живот.
Държавите, разположени на тези територии, са първите държави в историята на човечеството, където намираме ембриона съвременните наукии по-специално математиката.
Номериране на държави от Древния Изток и Рим.
Древната вавилонска държава е била разположена в тази част на Месопотамия, където коритата на реките Тигър и Ефрат са най-близки. Главен градтази държава - Вавилон се е намирала на брега на Ефрат.
Разцветът на вавилонската държава датира от втората половина на 18 век. пр.н.е. Продукти селско стопанство(зърно, плодове, добитък) са били изнасяни за страни съседки. Търговията била благоприятствана от централното положение на Вавилон на бреговете на плавателни реки. Разцветът на търговията доведе до развитието на парична система от мерки. Във Вавилон е създадена система от мерки, подобна на нашата метрична, само че тя се основава не на числото 10, а на числото 60. Тази система е напълно поддържана от вавилонците за измерване на време и ъгли и ние наследихме от тях разделянето на часовете и градусите на 60 минути и минутите на 60 секунди.
Изследователите обясняват по различни начини появата на шестдесетичната бройна система сред вавилонците. Най-вероятно тук е взета предвид базата 60, която е кратна на 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60, което значително опростява всички изчисления.
Цифровата нотация сред вавилонците възниква в много далечна епоха. Смята се, че вавилонците са го заимствали от народите, които са живели на територията на вавилонската държава още преди нейното формиране. Този запис, подобно на вавилонското писмо, е направен върху глинени плочи чрез натискане на триъгълни клинове върху тях, като триъгълен блок служи като инструмент за запис. Този вид клинопис се състои основно от три позиции на острието: вертикално с върха надолу, хоризонтално с върха наляво и хоризонтално с върха надясно. В този случай знакът œ означава едно, 3 - десет. С помощта на тези знаци, използвайки и метода на добавяне, беше възможно да се изразят многоцифрени числа. Например знакът "ŭŭ" представлява 5, знакът 33ЎЎ- номер 23 и т.н. Я
Произходът на египетската култура датира от 4000 г. пр.н.е. Смята се, че египетската писменост е създадена през тази епоха. Първоначално има йероглифен характер, т.е. Всяка концепция беше изобразена като отделна картина. Но постепенно йероглифните записи придобиха малко по-различна форма, наречена йероглифна нотация.
Същият метод беше използван за записване на числа. При йероглифно писане числата вече бяха изразени в десетичната система и имаше специални знаци за номерата на местата: единици, десетки, стотици и др. Едно беше представено със знака |, десет, сто, хиляда, десет хиляди, сто хиляди, милион, десет милиона. Освен това, ако единица от някаква категория се съдържа в число няколко пъти, тогава тя се повтаря същия брой пъти в записа, т.е. беше спазен законът за събиране. Например числото 5 беше изразено така: . Числото 122 изглеждаше така: .
Египтяните са използвали само единични дроби, т.е. тези, които изразяват само една дроб в нашето обозначение, имат една в числителя (наричаме такива дроби аликвотна част). Изключение беше фракцията 2/3, за която имаше специален знак: ; Ѕ също имаше специален знак, а всички останали бяха изразени със символа „rho“, който имаше формата. За да представят дроб, те нарисуваха този символ и поставиха число под него, което представляваше знаменателя. Например една седмина беше написана така: .
Записите са правени предимно с бои върху папирус. Понякога материалите за запис са били камък, дърво, кожа или платно. Текстът е написан на редове предимно отдясно наляво и в колони отгоре надолу.
Първоначалните концепции на математиката, възникнали през Древен Китай, послужи за развитието на математическата култура на съседните народи, които заемат територията на съвременна Корея, Индокитай и особено Япония.
В Китай рано започва да се натрупва информация от математическо естество и се появява записването на числа. Освен това китайските йероглифни числа са дори по-сложни в писането от египетските. (фиг. в приложението).
Но в допълнение към тези йероглифни числа, по-простите цифрови знаци също са били широко разпространени в Китай, използвани в търговски транзакции.
Те изглеждаха така: |=1; ||=2; |||=3; ||||=4; |||||=5; | =6; ||=7; |||=8;||||=9; 0=0. Числата бяха написани в колони отгоре надолу. Голямо предимство на китайския запис на числата беше въвеждането на нула за изразяване на липсващи цифри. Смята се, че нулата е заимствана от Индия през 12 век.
От древни времена в Китай се използва изчислително устройство за тенджера, чието устройство напомня на съвременния руски абак (фиг. в приложението). Основната му разлика от руското сметало е, че нашето сметало се основава на десетичната бройна система, докато саун-тиганът има смесена петцифрена и двоична система. В сауна всяка тел се разделя на две части: в долната част има нанизани 5 кости, а в горната - 2. Когато се преброят и петте кости от долната част на телта, те се сменят по една в горната част; където костите в горната част са заменени с една кост от най-висок ранг. нотация номериране дробно рационално
В зората на човешката култура Китай е бил много по-напред от Вавилон и Египет в развитието на математиката.
Методът за писане на числа от римляните е заимстван от древните етруски - едно от племената Древна Италия. В този запис бяха запазени следи от петкратната бройна система и числата бяха изразени с букви, а именно числата 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 бяха обозначени с истинските букви I, V, X, L, C, D и M. За по-големи числа (10000, 100000, 1000000) имаше специални знаци. Нямаше знак за нула. В своите бележки те се придържаха към принципа на събиране и изваждане: числата, написани отдясно, се добавяха, а числата, написани отляво, се изваждаха от числото, написано до него. Така IX, XII, XC и CXXX означават съответно 9, 12, 90 и 130. Римската нотация на числата се използва в наше време в случаите, когато е необходимо да се запише някакво строго фиксирано число, върху което не трябва да се извършват аритметични операции. да се изпълни, например, датата на изграждане на паметник или сграда, век, глава в книга и др.
Поради трудността на изчисленията римляните прибягват до използването на броене на пръсти или сметало. (ориз).
Това сметало е метална дъска с жлебове, по които могат да се подават жетони. Има девет надлъжни вдлъбнатини, а седем от тях дават възможност за броене на единици, десетки, стотици, хиляди, десетки хиляди, стотици хиляди и милиони. Цифрите на единиците стават по-големи при преместване от десните канали към левите (както се вижда на фигурата). Двете най-десни жлебове позволяват да се броят дробни части. Жлебовете за цели числа са разделени на две части: един жетон се поставя в горната, а четири в долната. Горният жетон замества долните пет. Вторият жлеб вдясно също е разделен на две части и дава възможност за броене на дванадесети, като горната част съдържа един жетон, а долната част пет. Най-десният жлеб е разделен на три части, от които горната е с 24 лоба, средната - 48 лоба, а долната - 72 лоба. Дясната рисунка показва отчет, равен на 84 071+2|12+1|72.
Числа в Индия.
Индийците имат особено ценен принос в аритметиката. В това отношение математиката дължи на индианците подреждането на числовите записи чрез въвеждане на числа за десетичната бройна система и установяване на принципа за разместване на числата. В допълнение, в Индия използването на нула за обозначаване на съответните цифрови единици стана широко разпространено, което също изигра голяма роля за подобряване на цифровите записи и улесняване на операциите с числа.
Цифровите знаци на Индия не съвпадат като очертания със съвременните цифри, но все пак в някои случаи имат голяма прилика с тях. Например, индийските знаци, изобразяващи едно, седем и нула, бяха много подобни на съвременните числа. Останалите знаци са се променили значително през многото векове, които ни делят от времето на техния произход.
Въвеждането на нулата, числата и принципа на тяхната стойност на място улесни изчислителните операции с числа и следователно аритметичните изчисления получиха значително развитие в Индия. Основното предимство на въвеждането от индианците на методи за писане на числа беше, че те значително намалиха броя на цифрите, приложиха позиционната система към десетичното броене и въведоха знака нула. Докато гърците, евреите, сирийците и т.н. за писане на числа са използвани до 27 различни цифрови знаци сред индианците, броят на такива цифрови знаци е намалял до 10, включително обозначението на нула. Що се отнася до позиционната система, нейното начало е още сред вавилонците, но там тази система се използва за шестдесетично броене, а индийците я въведоха за десетично броене. И накрая, използването на знак за нула в позиционната система дава голямо предимство пред записването на числата от вавилонците. Така например сред вавилонците знакът Ў може да обозначава както едно, така и 1/60, и изобщо всяко число от формата 60 n, а в индийския запис знакът 1 може да обозначава само едно, тъй като за обозначаване на десет, сто и т.н., след единицата се изписваше съответният брой нули.
Процесът на писане на числа и извършване на аритметични операции върху тях се извършва от индианците върху бяла дъска, покрита с червен пясък. Инструментът за запис беше пръчка. Така при писане върху червената повърхност се появявали бели следи, нарисувани с клечка.
Броят на народите от Централна Азия.
От 7 век. В историята на народите, съставляващи държавите от Централна Азия и Близкия изток, арабската държава започва да играе значителна роля. От малките арабски държави, които изцяло се побират на Арабския полуостров през 7-8 век, се създава Арабският халифат - държава, заемаща обширна територия. Той включваше, освен основната територия на арабите, Палестина, Сирия, Месопотамия, Персия, Закавказие, средна Азия, Северна Индия, Египет, Северна Африкаи Иберийския полуостров. Столица на халифата първо е Дамаск, а след това през 8в. е построен близо до бившия Вавилон нов град- Багдад, където е преместена столицата.
Толкова са писали много от представителите на народите, които са влезли в халифата арабски, тогава буржоазните историци неправилно включват трудовете на учени от тези народи сред трудовете на арабите.
Първият голям математик сред народите, които са били част от халифата, е великият узбекски (хорезмийски) математик и астролог от 9 век. Мохамед бен Муса ал-Хорезми (2-ра половина на 8 век - между 830-840 г.).
Работата на Ал-Хорезми по аритметика е достигнала до нашето време само в превод на латински език. Той изигра значителна роля в развитието на европейската математика, тъй като именно в него европейците се запознаха с индийските методи за писане на числа, тоест със системата на индийските цифри, с използването на нула и със смесеното значение на цифрите . Поради факта, че тази информация е получена от европейците от книга, чийто автор е живял в арабска държаваи пише на арабски, Индийски цифридесетичната система започва неправилно да се нарича "арабски цифри".
Номерация в Русия.
Източнославянските племена, древните предци на руските, украинските и беларуските народи, започват да се формират около 2-3 хиляди години пр.н.е. През 7 и 8 век. Славяните имат своите първи градове. Първо големи градовеРусия имаше Киев и Новгород.
През 10 век, по време на управлението на Владимир Святославович (? -1015 г.), древноруска държава (Киевска Рус) достига своя най-голям разцвет и мощ. По културно развитие тя заемала едно от видните места сред европейските държави. В Рус през тази епоха, успоредно с общо развитиекултура имаше сравнително бързо разпространение на информация от математиката.
Вярно е, че до наше време не са оцелели паметници на математическата литература, които да ни дадат възможност да преценим развитието на математиката в Русия през 9-10 век, но документи от различен характер ни позволяват да направим някои изводи в това отношение. Първият руски паметник с математическо съдържание до ден днешен се счита за ръкописен труд на новгородски монах Кирика,написана от него през 1136 г. и носеща заглавието „Критика на дякона и домостроителя на Новгородския манастир Антоний, учението как да се каже на човек броя на всички години“.
В тази работа Кирик се разкри като много сръчен брояч и голям любител на числата. Основните проблеми, разрешени от Кирик са: хронологичен ред: Изчислете времето, изминало между едно събитие. Когато прави изчисления, Кирик използва система за номериране, наречена малък списък и изразена със следните имена: 10 000 - тъмнина, 100 000 - легион или невежи, 1 000 000 - леодр.
В допълнение към малкия списък, Древна Русимаше още по-голям списък, който позволяваше да се работи с много големи числа. В списъчната система главните цифрови единици имаха същите имена като в малката, но отношенията между тези единици бяха различни, а именно:
Хиляда хиляди е тъмнина;
Тъмнината на тези е легион или певедий;
Легион от легиони - leodr;
Leodr leodrov - гарван;
10 гарвана - колода.
В последното от тези числа, т.е. за колодата беше казано: „И повече от това не може да бъде разбрано от човешкия ум.“
Бяха изобразени единици, десетици и стотици славянски буквисъс знак, поставен над тях, наречен заглавие, за разграничаване на числата от буквите. Хиляди бяха изобразени с еднакви букви, но пред тях беше поставен знакът So, изобразяващ едно, - двадесет и две, - шест хиляди и т.н.
Darkness, legion и leodr бяха изобразени с едни и същи букви, но за да се разграничат от единици, десетки, стотици и хиляди, те бяха оградени. И така, изобразява три тъмнини; - три легиона и - три леодра.
До 16 век се отнася до изобретяването на забележително изчислително устройство, което по-късно получава името „руско сметало“ (фиг.). Смята се, че идеята за създаването на това устройство принадлежи на руските търговци Строгонов. Дробите в Древна Рус се наричали акции, по-късно „счупени числа“. В старите ръководства намираме следните имена на дроби на руски:
Половина, половина, - трета, - четвърта, - половин трета, - половина, - половина и половина трета, - половин трета, - половина и половина трета (малка трета), - половина и половина, - пет, - седем, - десятък.
Славянската номерация е била използвана в Русия до 16 век; едва през този век десетичната позиционна бройна система постепенно започва да прониква в нашата страна. Тя окончателно измества славянската номерация при Петър I.
Следпечатната обработка е неразделна и важна част от целия печатен процес. Именно това влияе върху свойствата и крайния вид на печатните продукти. Печатницата извършва такива видове следпечатни работи като номериране, перфориране, навиване, зашиване с телбод, залепване на блокове, ламиниране и заобляне на ъгли.
Номерация
Номерирането означава отпечатване на променливи данни върху копия на печатни публикации, а именно промяна на присвоените им номера. Номерирането се използва върху готови формуляри. Номерирането улеснява потребителите при търсене необходимата информация, а в някои случаи това е задължителна процедура, предвидена в закона. Номерирането в печатниците се извършва с помощта на номератор.
Прилага се номерирането:
- За навигация в текста
- За предотвратяване на фалшификация
- За спазване на законовите изисквания
- Да контролира и записва съответните формуляри.
Видове номерация
Най-често срещаните видове номериране:
- Директна непрекъсната номерация. Всеки първи лист отговаря на число X, следващият X+1 и т.н.
- Обратно непрекъснато номериране.
- Директно или обратно номериране със зададена стъпка.
Видове номерацияможе да се използва по желание на клиента, ако това не нарушава изискванията на съответния нормативни документи (лотарийни билети, формуляри за строга отчетност и др.)
Навиващи се шевове
При този тип шевове печатната публикация се навива върху пружина с произволен диаметър и цвят, обикновено метална. Най-често навиването на пружина се използва за направата на календари.
Ламиниране
При ламиниране печатните продукти се покриват със специален филм, който го предпазва от механични повреди и замърсявания, като същевременно запазва привлекателен външен вид. външен вид. Готови сме да ви предложим едностранно и двустранно матово и гланцово ламиниране с различна плътност.
Шиене, прегъване, биговане
Шиенето на брошури е технология, която ви позволява да комбинирате определен брой листове в тетрадка (брошура). Зашиването, при което листовете се държат заедно с метални скоби, се нарича зашиване с телбод.
Сгъване (на немски: fold) - начертаване на линия на сгъване върху тънка и средна хартия. Впоследствие печатните продукти се сгъват по линията на сгъване.
Биговането е прилагането на прави, дълбоко изпъкнали линии върху листове. В бъдеще това улеснява огъването на продуктите.
Заоблени ъгли
Под закръгляване на ъгли имаме предвид придаване на закръглена форма на ъглите на листови продукти с малък формат. Тези продукти са изработени от плътна хартия или картон. Радиусът на заобляне може да бъде 10R, 6R, 3.5R.
Билет 19
Въпрос 1. Методика за обучение по устно и писмено номериране на числата в рамките на 1000.
I. Устна номерация
Задачи:
1) Въвеждане на нова единица за броене на стотици;
2) Въвеждане на нови битови числа;
3) Въвеждане на нецифрени трицифрени числа:
Чрез броене 1;
Чрез образуване от стотици, десетици и единици;
4) Установяване на общия брой единици от всяка категория в целия брой.
Въвеждане на новата единица за броене на стотици:
Използвайки пръчки или модели на единици за стойност на място под ръководството на учител, децата повтарят известни единици за стойност на място, след което връзват 10 десетици в пакет и слушат името му - сто. След това броите в стотици (1 стотици, 2 стотици... 10 стотици или хиляда). На дъската се появяват запис и чертежи на цифрови единици
1 единица 1 см
10 единици = 1 дек. 10 cm = 1 dm
10 дек. = 1 клетка 10 dm = 1 m
След това е полезно за децата да сравняват единиците за броене - поставете единици с мерки за дължина и въведете хилядната лента. Ролята на простата единица на лентата е 1 cm, ролята на десетицата е 1 dm, а ролята на сто е 1 m знамена или ярки панделки.
Въвеждане на нови разрядни числа (треторазрядни числа - кръгли стотици), тяхното образуване и наименование, запознаване с новите числителни: сто, двеста...деветстотин, хиляда.
Видимост:модели битови единици (големи квадрати) и 1000 лента.
Въвеждане на нецифрени трицифрени числа:
а) Като преброите 1 до предишното, надхвърляйки 100: 100 и 1-101..
б) Чрез образуване от стотици, десетици и единици. Веднага се изпълнява обратната задача - разлагане на числата на разрядни членове, откриване на десетичния състав на числото.
Задачи:
1) Обозначаване на числата с цифри в таблицата с ранговете. Откриване на местното значение на числата;
2) Четене и писане на числа, записани извън таблицата;
3) Затвърдяване на знанията за номерирането.
1.Означаване на числата с цифри в таблицата на цифрите. Научете се да четете числа с помощта на номерационна таблица.Визуализация: номерационна таблица, вертикално и хоризонтално сметало.
В резултат на наблюденията на този етап децата се водят до извода, че стотиците са единици от трети ранг, записани в числото на трето място, като се брои отдясно наляво. Тук се въвежда концепцията за трицифрено число и че нулата означава липса на единици от която и да е цифра.
2. Четене на трицифрени числа, записани извън таблицата, и записването им въз основа на познаване на местното значение на числата.
Видове упражнения:
1) От тези числа запишете само тези, в които числото 7 означава des, единици, стотици.
2) Използвайте числата 3, 0, 1, за да запишете всичко трицифрени числа(цифрите не се повтарят)
3) Какво означава числото 0 в тези числа?
3. Затвърдяване на знанията за номерирането:
а) В процеса на изучаване на писмената номерация продължава работата по овладяване на десетичния състав на числата. За тази цел вече се използват карти с номера на места. (Числата се формират чрез суперпозиция и обратно)
б) Работи се и за усвояване на естествения ред, но вече се използват и писмени упражнения: запис на предходните и следващите; добавяне на 1, изваждане на 1; Попълнете празнината - запишете числата от ... до ...
в) Идентифициране на най-голямото и най-малкото сред едноцифрените, двуцифрените и трицифрените числа.
Имайте предвид, че най-малкото се записва като 1 и нули, а най-голямото като десетки.
г) Когато изучават номерирането, децата се учат да идентифицират общ бройединици от всяка категория в целия брой, а не само в съответната категория.
Визуализация: модели на битови единици.
В началния курс по математика номериранеЩе разберем набор от техники за отбелязване и именуване на естествени числа.
Естествените числа се изучават чрез концентрации. Концентрацията е комбинирана Общи чертиобласт на разглежданите числа. В началния курс се разграничават следните концентрации: десет, сто (2 етапа - от 11 до 20; от 21 до 100); хиляди, многоцифрени числа.
Крайната цел на изучаването на номерацията е да се овладеят редица общи принципи, лежащи в основата на десетичната бройна система, устно и писмено номериране, водещи учениците до систематични обобщения, способността да се подчертае и подчертае това, което е обичайно в нова област на числата, и разглеждане на нови неща, базирани на и в сравнение с предишно изучавани.
Основните образователни цели на изучаването на номерирането могат да бъдат наречени:
1. Създайте система от знания:
За естественото число и числото “0”;
За естествената последователност;
За устната и писмена номерация.
2. Въвеждане на изчислителни техники, базирани на познания за номериране.
Когато изучават тази тема, студентите трябва да развият следните умения:
Посочете номера писмено;
Сравнете всякакви числа по различни начини;
Замяна на число със сумата от цифровите членове;
Опишете произволно число.
Нека разгледаме методологията за въвеждане на основните математически понятия, изучавани в тази тема.
Концепцията за естествено число е дадена на емпирично ниво.
Числото се обозначава по реда на установяване на еднозначно съответствие между обектите на даден набор и думите - цифри.
В началното училище:
Числото е количествена характеристикаклас на еквивалентни множества.
Числото е елемент от подредено множество, член на естествена редица.
При изучаване на операции числото действа като обект, върху който се извършва аритметична операция.
Студентите трябва да развият следните знания и умения:
Разграничаване на число от други понятия;
Назовете номера правилно;
Познават начините за образуване на число (в резултат на броене; в резултат на измерване; в резултат на извършване на аритметични действия);
Знаете как да обозначавате числа с помощта на числа; цифрата е знак за означаване на число;
Познаване на различните функции на числото (количествена функция, функция за подреждане, функция за измерване).
Число и цифра "0".
Разглеждаме нулата като количествена характеристика на класа празни множества (2-2, 4-4), т.е. набор, който не съдържа нито един елемент.
Разглеждаме нулата като число, показващо на линийката началото на измерването (измерването).
Разглеждаме нулата като компонент на стъпки I и II (5+0, 05).
4. Числото нула се използва, ако няма единици от която и да е цифра (но не и липсваща цифра).
Например в числото 300 няма единици от категория I и II, т.е. единици и десетици, нека обозначим броя на единиците и десетиците с нули.
Естествена редица от числа.
Според традиционната програма естествената редица се въвежда като поредица от числа, която се използва за броене.
Свойства на сегмент от естествена серия:
Естествената редица от числа започва с единица.
Всяко число има своето място. Всяко следващо число е с едно повече от предишното; всеки предишен е с един по-малко от следващия.
Всички числа пред маркираното число са по-малки от него; следващите след тях са по-големи от изследвания брой.
Безкрайност на естествените числа.
В естествената редица от числа учениците трябва да могат да идентифицират крайни последователности: едноцифрени, двуцифрени, n-цифрени числа.
9, 99, 999, 9999… - най-големите едноцифрени, двуцифрени, трицифрени, четирицифрени, n-цифрени числа.
Защо? Ако добавим 1 към всяко от тях, получаваме най-малкото число в следната последователност.
10, 100, 1000, 10000... - най-малкото двуцифрено, трицифрено, n-цифрено число, т.к. при изваждане на едно от всеки, получаваме най-голямото число от предходната редица.
Има устна и писмена номерация.
Устното номериране е набор от правила, които правят възможно създаването на имена за много числа с помощта на няколко думи. В хода на изучаването на устното номериране е необходимо да се разкрият правилата за броене, четене и образуване на числа; познават числата от 0 до 9, числителни думи - четиридесет, деветдесет, сто, хиляда, милион, милиард. Правила на акаунта:
При броенето крайното число се отнася за целия комплект.
Правила за образуване на имена и четене на числата.
1. Имената на числата от 10 до 20 се образуват с помощта на имената, приети за първите десет числа, но има своя особеност - при четене първо се нарича долната цифра, а след това останалите (едно-двадесет; две-двадесет ).
2. Останалите имена на числата се образуват на принципа на подредбата на цифрите; четенето на числата започва с единици от най-висок ранг.
3. При образуване и четене на многоцифрени числа се спазва принципът на четене по клас.
Писменото номериране е набор от правила, които позволяват обозначаването на всякакви числа с помощта на няколко знака.
В хода на изучаване на писмената номерация се въвежда понятието „числа“.
Числото е знак за обозначаване на число. Провежда се целенасочена системна работа за разграничаване на понятията „число” и „цифра”.
Въвеждат се знаци (цифри) за обозначаване на първите девет числа. Всички останали числа се записват със същите десет цифри (от 0 до 9), но с две или повече цифри, чието значение зависи от мястото, заето от цифрата в записа на числото (т.е. стойността на мястото на цифрата или позиционен принципзаписване на номера).
Устното и писмено номериране на числата се основава на познаване на десетичната бройна система. В математиката бройната система е набор от знаци, правила за действие и реда, в който тези знаци се записват при образуване на число. Има два вида бройни системи:
Непозиционна система, която се характеризира с факта, че на всеки знак, независимо от формата, в която е изписано числото, се приписва едно много специфично значение (например римска номерация).
Позиционна система (например десетична бройна система), която се характеризира със следните свойства:
Всяка цифра отнема различни значенияв зависимост от позицията му в числовия запис (принцип на позиционния запис).
Всяка цифра, в зависимост от нейната позиция, се нарича разрядна единица; Цифровите единици са както следва: единици, десетици, стотици и др.
10 единици от една цифра съставляват една единица от следващата цифра, т.е. отношението на разрядните единици е равно на десет (10 единици = 1 дес.; 10 дес. = 1 сто и т.н.).
Започвайки отдясно наляво и подред, всеки 3-цифрени единици образуват класове цифри (единици, хиляди, милиони и т.н.).
Добавянето на още една единица от дадена категория към девет единици дава единица от следващата, по-висока (старша) категория.
Трябва да се подчертаят основните понятия на десетичната бройна система:
Единицата за броене е това, което приемаме като основа за броене. Всяка следваща единица за броене е 10 пъти по-голяма от предишната.
Мястото е мястото на цифра в число.
3. Поделения от I, II, III категории и др. - единици, стоящи на първо (единици), второ (десетки), трето (стотици) място в записа на число, като се брои отдясно наляво.
4. Номер на място - число, състоящо се от единици от една и съща цифра.
5. Нецифрено число - число, състоящо се от единици от различни цифри.
6. Клас - обединение на единици от три категории според определени характеристики. Всяка единица от следващия клас е хиляда пъти по-голяма от предишната. (И така, първата единица от класа единици е 1000 пъти по-малка от първата единица от класа хиляди и т.н.)
Редът за изучаване на номерирането може да бъде отразен в таблицата:
Методиката за изследване на номерацията на неотрицателни цели числа предполага възможността за различни подходи.
В методиката начално образованиетрадиционно изучаването на номерирането чрез концентрация. Този подход е отразен в учебниците по математика, разработени от М. А. Бантова, Г. В. Белтюкова. и т.н.
Постепенното разширяване на числовата област създава добри условия за формиране на знания, умения и навици за номериране: постепенно се обогатяват знанията за числата и начините за тяхното обозначаване; Практическите операции с числата се усложняват (образуване, именуване, запис, сравнение, преобразуване и др.).
Има три основни етапа на изучаване на номерирането: подготвителен, запознаване с нов материал, консолидиране на знания и умения.
На подготвителния етап е необходимо да се формира психологическа нагласа у учениците да изучават номерирането, да активират предишния си опит и съществуващите знания и да събудят интерес към новите числа. За тази цел се предлага да се включат предварителни упражнения за преглед на основните въпроси на номерирането на числата от предходната концентрация: съотношението на изучаваните единици за броене, десетичния състав на числата, естествената последователност, правилата за писане и методите за сравняване на числата. ; техники за събиране и изваждане, базирани на познания за номериране. Разработени са и упражнения за броене на предмети или за назоваване на числа в естествена последователност с достъп до нова концентрация; това помага на учениците да разберат, че има числа извън изучаваната концентрация и че те са донякъде подобни на числата, които вече са познати на децата.
При запознаване с номерирането упражненията помагат на учениците да идентифицират съществените признаци на формираните понятия и да овладеят методите на изучаваните действия.
Беше извършен подбор на въпроси и беше определен редът на изследване във всяка концентрация:
първо се разглежда образуването на единица за броене, обектите се броят с помощта на тази единица за броене;
въз основа на броенето се въвеждат нови разрядни числа, разкрива се тяхното формиране и имена;
въз основа на броене, използвайки всички известни единици за броене, е показано образуването и устното обозначаване на нецифрени числа; съставът им от битове;
включва упражнения за броене на предмети с помощта на нови числа; научава се естествената редица на числата;
въз основа на знанията за десетичния състав и стойността на числата се разкрива писменото номериране на числата;
във всички концентрации, заедно с броенето, се взема предвид измерването на такива величини като дължина, маса, цена; единиците за измерване на тези количества и тяхната връзка се изучават в сравнение със съответните единици за броене и подпомагат тяхното усвояване (например 1 dm = 10 cm; 1 rub. = 100 k.; 1 kg = 1000 g и др.);
въведени са методи за сравняване на числа въз основа на:
принципът на формиране на естествената последователност;
установяване на взаимно еднозначно съответствие между елементи на множества;
познаване на разрядния състав на числата;
познаване на състава на класа;
Във всяка концентрация се въвеждат изчислителни техники, базирани на познания за номериране:
а) принципът на образуване на естествена последователност, въвеждат се случаи на формата a + 1, където a е всяко естествено число;
б) разряден състав на числата (упражнения за събиране на цифрени числа и обратни упражнения за замяна на нецифрени числа със сбора от цифрени числа, както и изваждане на отделни цифрени числа от нецифрени числа) например:
400+70+3=473; 506=500+6; 842-40=802;
842-800=42; 842-2=840.
Когато се запознавате с номерирането, е необходимо да разчитате на обективните действия на учениците. За да направите това, се предлага да се използват различни учебни помагала: материал за броене, върху който е лесно да се илюстрира десетичното групиране на обекти при броене (пръчки, снопове пръчки, квадрати, ленти от квадрати, триъгълници с 10 кръга); визуални средства, които формират идеи за естествената последователност на числата (линийки, ролетки, ленти с подчертани сантиметри, дециметри, метри); нагледни помагала, които да ви помогнат да разберете позиционния принцип на писане на числа (таблици за номериране на рангове и класове, abaci).
След въведението се провежда целенасочена работа за консолидиране на знания и практически умения. Тренировъчните упражнения се комбинират с упражнения от творчески характер.
Дават се задачи за анализ типични грешки, за сравнение, класификация, обобщение, за характеризиране на всяко число. Схемата (планът) за разбор на числа, започвайки от едноцифрени до многозначни, постепенно ще се разширява, задълбочава и обогатява с нов теоретичен материал. В началния етап той може да бъде съставен въз основа на обобщение на формулираните отговори на учениците и да включва следните въпроси:
Четене на число.
Място на числото в броенето.
Десетичен състав.
Записване на число с помощта на цифри.
При изучаване на номерирането на многоцифрени числа схемата за разбор ще включва по-голям брой задачи.
Тази работа ще ни позволи да обобщим и систематизираме знанията на учениците за номерирането на неотрицателни цели числа.
Възможен е и друг подход към изучаването на номерацията на числата, който е отразен в програмата и учебниците, разработени от Н.Б.
Във връзка с тематичната структура на курса не се открояват концентрации, а теми: „Едноцифрени числа”, „Двуцифрени числа”, „Трицифрени числа”, „Четирицифрени числа”, „Петцифрени числа”. цифрени и шестцифрени числа”, в процеса на изучаване на които децата развиват съзнателни умения за четене и писане на числа.
Маркирането на теми, чиито имена са фокусирани върху броя знаци в числото, помага на децата да разберат разликите между число и число.
На първия етап в темата „Едноцифрени числа“ учениците развиват представи за кардиналните и редните числа и уменията за броене; Запознават се с изписването на числата и с отсечка от естествения ред на едноцифрените числа. След това научават значението на събирането и изваждането и състава на едноцифрени числа. Работата по овладяване на номерирането започва с разбирането, че двуцифреното число се състои от десетици и единици.
Последващата работа, насочена към овладяване на десетичната бройна система и развиване на умение за четене и писане на двуцифрени числа, е свързана с установяване на съответствие между предметния модел на число и неговото символно означение. Десет се използва като предметен модел нагледен материалпод формата на триъгълник с 10 кръга.
Препоръчителни задачи:
Да идентифицира признаци на прилики и разлики между двуцифрени и трицифрени числа;
Да записват числа в определени числа;
Да сравнявате числата;
Да се идентифицира правилото (модела) за конструиране на поредица от числа.
Изброените типове задачи се използват и при изучаване на други теми.
Упражнение: Сравнете упражненията в процес на работа, които учениците използват, за да научат устно и писмено номериране в различни учебници по математика за начално училище. Какви са характеристиките на тези упражнения във всеки учебник?
Номериране на клинове. Дори халдейците и вавилонците са имали писмени знаци за изобразяване на числа. Тяхната номерация се нарича клиновиднаи се намира в гробниците на древните персийски царе.
Йероглифна номерация. Египтяните приписват изобретяването на аритметиката на митичната фигура Тот (Фот). Те имаха десетична система дори при Фра Сезострис. Египетската номерация се нарича йероглифен. Египтяните са обозначавали едно, десет, сто и хиляда със специални знаци, йероглифи. Бяха изобразени няколко единици, десетици, стотици и хиляди проста конструкциятези знаци.
Китайска номерация. Номерацията също трябва да се счита за най-старата Китайски. Според китайците те го използват още от времето на Фуга, китайския император, живял 300 години пр. н. е. В тази номерация първите девет числа са изобразени със специални знаци. Имаше и знаци за обозначаване на 10, 100, 1000. Големи числа бяха написани в колони отгоре надолу.
Финикийска номерация. И накрая, номерирането също трябва да се счита за най-древното финикийски. Финикийците, в сравнение с египтяните, извършиха реформа в номерирането в смисъл, че замениха йероглифите с букви от своята азбука. Евреите също са използвали това номериране.
Финикийците и евреите са представяли първите девет числа и първите девет десетици с 18-те начални букви от своята азбука и са писали големи числаот дясна ръканаляво.
В самия Египет йероглифното номериране е изоставено и първо йератичното, а след това и демотичното писане е въведено за общо ползване (600 г. пр.н.е.). IN йератиченНомерирането на първите три числа е подобно на реалните числа.
Гръцка, римска и църковнославянска номерация. Гърците са възприели от финикийците система за представяне на числата с букви. Някои твърдят, че дотогава те са представлявали числа със същите знаци, които са известни като римскиномериране и това римско номериране следователно е старогръцко. църковнославянскине е нищо повече от гръцки, изразен само със славянски букви.
Римляните са използвали следните знаци, когато са изобразявали числата:
1 – I, 5 – V, 10 – X, 50 – L, 100 – C, 500 – D, 1000 – M.
Когато изобразяват останалите числа, те се ръководят от следното правило:
Ако по-малко число следва по-голямо, това увеличава числото; ако по-малко число предшества по-голямо, то намалява числото с неговата стойност.
В съответствие с това правило те изобразяват числата, както следва:
1 – I, 2 – II, 3 – III, 4 – IV, 5 – V, 6 – VI, 7 – VII, 8 – VIII, 9 – IX, 10 – X, 11 – XI, 12 – XII, 13 – XIII, 14 – XIV, 15 – XV, 16 – XVI, 17 – XVII, 18 – XVIII, 19 – XIX, 20 – XX, … 27 – XXVII, … 40 – XL, 60 – LX, 90 – XC, 100 – C, 110 – CX, 150 – CL, 400 – CD, 600 – DC, 900 – CM, 1100 – MC.
Числата, състоящи се от няколко хиляди, се записват по същия начин, както се записват числата до хиляда, с единствената разлика, че след числото хиляди по-долу с правилната странае присвоена буквата m (mille - хиляди). Така 505197 = DV m CXCVII.
В славянските и гръцките цифри първите девет числа, девет десетки и девет стотици са обозначени със специални букви.
В славянските цифри върху буквата се поставя заглавие (¯), което показва, че буквата представлява число.
Следната таблица показва паралелно гръцко и славянско номериране:
За да се обозначат хилядите, знакът се поставя пред числото на хилядите в славянската нотация, а в гръцката нотация към числото, обозначаващо хилядите, се добавя тире.
По този начин,
Произход и разпространение на десетичната номерация
Въпреки че все още не е възможно да се направи окончателно заключение относно образа, въвеждането и разпространението на десетичната система за номериране в цяла Европа, литературата предоставя много много важни указания по този въпрос. Някои наричат тази система арабска. Всъщност историята показва, че десетичната система е заимствана от арабите. Така е известно, че в началото на 13 век тосканският търговец Леонард запознава сънародниците си с методите на десетичната система след пътуванията си през Сирия и Египет. Сарко-Боско, известен учител по математика в Париж (починал през 1256 г.), и Роджър Бейкън със своите трудове най-много допринесоха за разпространението на тази система в цяла Европа. Те вече показват, че десетичното номериране е заимствано от арабите от индианците. Надеждно е известно от паметниците на арабската литература, че Абу Абдалах Мохамед Ибн Мусе, произхождащ от кораизма, пътува дълго време в Индия през 9 век и след завръщането си запознава арабските учени с индийското номериране. Арабските писатели Авицена Абен-Рагел и Алсефади също приписват изобретяването на номерацията на индианците.
Писмени паметници на санскрит, език древна индия, потвърждават инструкциите на арабските писатели.
От работата на Баскара, индийски писател от 12-ти век, става ясно, че индианците са знаели няколко века преди Баскара представянето на числата в десет знака, тъй като тази работа излага последователна теория за четири аритметични операции и дори извличане квадратни корени. Както Баскара, така и по-древният писател Брамегупта смятат изобретяването на номерацията за много древно. В още по-древния писател Арябгат намираме решения на много забележителни математически въпроси.
Тези индикации изглежда правят малко вероятни уверенията на френския геометър Чалс, че десетичната система е развитие на римския метод за използване на изчислителната таблица (Абак) в изчисленията и че едно въвеждане на нула е достатъчно, за да се получи истинска десетична система.
Аритметика и логистика сред гърците. Гърците се обадиха аритметикаучението за общи свойствачисла. Изкуството на броенето или набор от практически техники в изчислението, наричани от гърците логистиката.
Зареждане...
