§ 1 Универсален начин за сравняване на числа
Нека се запознаем с основните свойства на числовите неравенства, а също и да разгледаме универсален начин за сравняване на числа.
Резултатът от сравняването на числа може да бъде записан с помощта на равенство или неравенство. Неравенството може да бъде строго или нестрого. Например, a>3 е строго неравенство; a≥3 е нестрого неравенство. Как се сравняват числата зависи от вида на сравняваните числа. Например, ако трябва да сравним десетични дроби, тогава ги сравняваме малко по малко; Ако трябва да сравните обикновени дроби с различни знаменатели, тогава трябва да ги намалите до общ знаменател и да сравните числителите. Но има универсален начин за сравняване на числата. Състои се в следното: намиране на разликата между числата a и b; ако a - b > 0, тоест положително число, тогава a > b; ако a - b< 0, то есть отрицательное число, то a < b; если a - b = 0, то a = b. Этот способ удобно использовать для доказательства неравенств. Например, доказать неравенство:
2b2 - 6b + 1 > 2b(b- 3)
Нека използваме универсалния метод за сравнение. Намерете разликата между изразите 2b2 - 6b + 1 и 2b(b - 3);
2b2 - 6b + 1- 2b(b-3)= 2b2 - 6b + 1 - 2b2 + 6b; събираме подобни членове и получаваме 1. Тъй като 1 е по-голямо от нула, положително число, то 2b2 - 6b+1 > 2b(b-3).
§ 2 Свойства на числовите неравенства
Свойство 1. Ако a > b, b > c, тогава a > c.
Доказателство. Ако a > b, тогава разликата a - b > 0, тоест положително число. Ако b >c, тогава разликата b - c > 0 е положително число. Нека съберем положителните числа a - b и b - c, отворим скобите и дадем подобни членове, получаваме (a - b) + (b - c) = a - b + b - c= a - c. Тъй като сборът от положителни числа е положително число, значи a - c е положително число. Следователно a > c, което трябваше да се докаже.
Свойство 2. Ако a< b, c- любое число, то a + с < b+ с. Это свойство можно трактовать так: «К обеим частям верного неравенства можно прибавить одно и то же число, при этом знак неравенства не изменится».
Доказателство. Нека намерим разликата между изразите a + c и b + c, отворете скобите и дадете подобни термини, получаваме (a + c) - (b + c) \u003d a + c - b - c \u003d a - b . По условие а< b, тогда разность a - b- отрицательное число. Значит, и разность (a + с) -(b+ с) отрицательна. Следовательно, a + с < b+ с, что и требовалось доказать.
Свойство 3. Ако a< b, c - положительное число, то aс < bс.
Ако< b, c- отрицательное число, то aс >пр. н. е.
Доказателство. Нека да намерим разликата между изразите ac и bc, да сложим c извън скоби, тогава имаме ac-bc = c(a-b). Но тъй като а Ако умножим отрицателно число a-b по положително число c, тогава продуктът c (a-b) е отрицателен, следователно разликата ac-bc е отрицателна, което означава, че ac Ако отрицателно число a-b се умножи по отрицателно число c, тогава произведението c(a-b) ще бъде положително, следователно разликата ac-bc ще бъде положителна, което означава ac>bc. Q.E.D. Например, а Тъй като делението може да бъде заменено с умножение с обратното, = n∙, доказаното свойство може да се приложи и към делението. По този начин значението на това свойство е следното: „И двете части на неравенството могат да бъдат умножени или разделени на едно и също положително число, като знакът на неравенството не се променя. И двете части на неравенството могат да бъдат умножени или разделени на отрицателно число, като е необходимо знакът на неравенството да се промени на противоположния знак. Помислете за следствието от свойство 3. Последица. Ако Доказателство. Разделяме двете страни на неравенството a
намалете дробите и вземете Твърдението е доказано. Всъщност, например, 2< 3, но Свойство 4. Ако a > b и c > d, тогава a + c > b + d. Доказателство. Тъй като a>b и c>d, разликите a-b и c-d са положителни числа. Тогава сборът от тези числа също е положително число (a-b)+(c-d). Разгънете скобите и групирайте (a-b)+(c-d) = a-b+ c-d= (a+c)-(b+ d). С оглед на това равенство, полученият израз (a + c) - (b + d) ще бъде положително число. Следователно a+ c> b+ d. Неравенства от вида a>b, c>d или a< b, c< d называют неравенствами одинакового смысла, а неравенства a>б, в Свойство 5. Ако a > b, c > d, то ac > bd, където a, b, c, d са положителни числа. Доказателство. Тъй като a>b и c е положително число, тогава, използвайки свойство 3, получаваме ac > bc. Тъй като c >d и b е положително число, то bc > bd. Следователно по първото свойство ac > bd. Значението на доказаното свойство е следното: „Ако умножим термин по термин неравенства с едно и също значение, в които лявата и дясната част са положителни числа, тогава получаваме неравенство със същия смисъл“ Например, 6< a < 7, 4 < b< 5 тогда, 24 < ab < 35. Свойство 6. Ако a< b, a и b - положительные числа, то an< bn, где n- натуральное число. Доказателство. Ако умножим член по член тези n неравенства a< b, то, согласно утверждению свойства 5, получим an< bn. Прочесть доказанное утверждение можно так: «Если обе части неравенства - положительные числа, то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень, сохранив знак неравенства». § 3 Приложение на имоти Разгледайте пример за приложението на свойствата, които разгледахме. Нека 33< a < 34, 3 < b< 4. Оценить сумму a + b, разность a - b, произведение a ∙ b и частное a: b. 1) Оценете сумата a + b. Използвайки свойство 4, получаваме 33 + 3< a + b < 34 + 4 или 36 < a+ b <38. 2) Оценете разликата a - b. Тъй като няма свойство за изваждане, тогава разликата a - b ще бъде заменена със сумата a + (-b). Нека първо да оценим (- b). За да направите това, като използвате свойство 3, двете части на неравенство 3< b< 4 умножим на -1, при этом меняем знак неравенства на противоположный знак 3 ∙ (-1) >b∙ (-1) > 4 ∙ (-1). Получаваме -4< -b< -3. Теперь можно сложить два неравенства одного знака 33< a < 34 и -4< -b< -3. Имеем 2 9< a - b <31. 3) Оценете произведението a ∙ b. По свойство 5 умножаваме неравенствата на същия знак Неравенствата в математиката играят значителна роля. В училище се занимаваме основно с числени неравенства, с чието определение ще започнем тази статия. И тогава изброяваме и обосноваваме свойства на числените неравенства, на който се основават всички принципи на работа с неравенства. Веднага отбелязваме, че много свойства на числените неравенства са сходни. Следователно ще представим материала по същата схема: формулираме свойството, даваме неговата обосновка и примери и след това преминаваме към следващото свойство. Навигация в страницата. Когато въведохме понятието неравенство, забелязахме, че неравенствата често се дефинират по начина, по който са написани. Така че ние нарекохме неравенствата смислени алгебрични изрази, съдържащи знаци не равни ≠, по-малки от<, больше >, по-малко или равно на ≤ или по-голямо или равно на ≥. Въз основа на горната дефиниция е удобно да се дефинира численото неравенство: Срещата с числените неравенства става в уроците по математика в първи клас веднага след запознаване с първите естествени числа от 1 до 9 и запознаване с операцията за сравнение. Вярно е, че там те се наричат просто неравенства, като се пропуска определението за "числово". За по-голяма яснота не пречи да дадем няколко примера за най-простите числови неравенства от този етап на тяхното изследване: 1<2
, 5+2>3
. И по-далеч от естествените числа, знанието се простира до други видове числа (целочислени, рационални, реални числа), изучават се правилата за тяхното сравнение и това значително разширява видовото разнообразие на числовите неравенства: −5> −72, 3> − 0,275 (7−5, 6) , . На практика работата с неравенства позволява редица свойства на числените неравенства. Те следват от въведеното от нас понятие за неравенство. По отношение на числата тази концепция се дава от следното твърдение, което може да се счита за дефиницията на отношенията "по-малко от" и "по-голямо от" в множеството от числа (често се нарича различна дефиниция на неравенството): Определение.
Тази дефиниция може да бъде преработена в дефиниция на по-малко или равно на и по-голямо или равно на. Ето нейната формулировка: Определение.
Ще използваме тези дефиниции при доказване на свойствата на числените неравенства, които сега разглеждаме. Започваме нашия преглед с три основни свойства на неравенствата. Защо са съществени? Защото те са отражение на свойствата на неравенствата в най-общ смисъл, а не само по отношение на числовите неравенства. Числови неравенства, написани със знаци< и >, характерно: Що се отнася до числовите неравенства, записани с помощта на знаците на нестроги неравенства ≤ и ≥, те имат свойството на рефлексивност (а не на антирефлексивност), тъй като неравенствата a≤a и a≥a включват случая на равенство a=a . Те също се характеризират с антисиметрия и транзитивност. И така, числените неравенства, записани със знаците ≤ и ≥, имат следните свойства: Доказателството им е много подобно на вече дадените, така че няма да се спираме на тях, а ще преминем към други важни свойства на числовите неравенства. Нека допълним основните свойства на числените неравенства с поредица от резултати с голямо практическо значение. Методите за оценка на стойностите на изразите се основават на тях, принципите на решение на неравенстватаи т.н. Затова е препоръчително да се справите добре с тях. В този подраздел ще формулираме свойствата на неравенствата само за един знак на строго неравенство, но трябва да се има предвид, че подобни свойства ще са валидни и за противоположния знак, както и за знаците на нестроги неравенства. Нека обясним това с пример. По-долу формулираме и доказваме следното свойство на неравенствата: ако a
За удобство представяме свойствата на числовите неравенства под формата на списък, като същевременно даваме съответното твърдение, изписваме го формално с букви, даваме доказателство и след това показваме примери за употреба. И в края на статията ще обобщим всички свойства на числовите неравенства в таблица. Отивам! Добавянето (или изваждането) на произволно число към двете страни на истинското числово неравенство дава истинско числово неравенство. С други думи, ако числата a и b са такива, че a
За да докажем това, нека съставим разликата между лявата и дясната част на последното числово неравенство и да покажем, че то е отрицателно при условие a (a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b. Тъй като по условие а
Не се спираме на доказателството на това свойство на числови неравенства за изваждане на числото c, тъй като при множеството реални числа изваждането може да бъде заменено с добавяне на −c . Например, ако добавите числото 15 към двете части на правилното числово неравенство 7>3, тогава ще получите правилното числово неравенство 7+15>3+15, което е същото, 22>18. Ако и двете части на правилното числово неравенство се умножат (или разделят) на едно и също положително число c, тогава ще се получи правилното числово неравенство. Ако и двете части на неравенството се умножат (или разделят) на отрицателно число c и знакът на неравенството се обърне, тогава ще се получи правилното неравенство. В буквална форма: ако числата a и b отговарят на неравенството a пр. н. е. Доказателство. Да започнем със случая, когато c>0 . Съставете разликата между лявата и дясната част на числовото неравенство, което се доказва: a·c−b·c=(a−b)·c . Тъй като по условие а 0 , то продуктът (a−b) c ще бъде отрицателно число като произведението на отрицателно число a−b и положително число c (което следва от ). Следователно a c−b c<0
, откуда a·c Не се спираме на доказателството на разглежданото свойство за разделяне на двете части на истинското числово неравенство на едно и също число c, тъй като делението винаги може да бъде заменено с умножение по 1/c. Нека покажем пример за прилагане на анализираното свойство към конкретни числа. Например, можете и двете части на правилното числово неравенство 4<6
умножить на положительное число 0,5
, что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5
, откуда −2<3
. А если обе части верного числового неравенства −8≤12
разделить на отрицательное число −4
, и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4)
, откуда 2≥−3
. От току-що разгледаното свойство за умножаване на двете страни на числово равенство по число следват два практически ценни резултата. Затова ги формулираме под формата на следствия. Всички свойства, разгледани по-горе в този параграф, се обединяват от факта, че отначало се дава правилно числово неравенство, а от него чрез някои манипулации с частите на неравенството и знака се получава друго правилно числово неравенство. Сега ще дадем блок от свойства, в който първоначално са дадени не едно, а няколко правилни числови неравенства и се получава нов резултат от съвместното им използване след добавяне или умножаване на техните части. Ако за числа a , b , c и d неравенствата a
Нека докажем, че (a+c)−(b+d) е отрицателно число, това ще докаже, че a+c По индукция това свойство се простира до почленно събиране на три, четири и най-общо краен брой числени неравенства. И така, ако за числа a 1 , a 2 , …, a n и b 1 , b 2 , …, b n неравенства a 1 a 1 +a 2 +…+a n . Например, дадени са ни три правилни числови неравенства с един и същ знак −5<−2
, −1<12
и 3<4
. Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4
– тоже верное. Можете да умножите член по член числови неравенства от същия знак, и двете части на които са представени с положителни числа. По-специално, за две неравенства a
За да го докажем, можем да умножим и двете страни на неравенството a
Това свойство е валидно и за умножението на произволен краен брой валидни числови неравенства с положителни части. Тоест, ако a 1 , a 2 , …, a n и b 1 , b 2 , …, b n са положителни числа и a 1 a 1 a 2 ... a n . Отделно, заслужава да се отбележи, че ако нотацията на числовите неравенства съдържа неположителни числа, тогава тяхното умножение по член може да доведе до неправилни числови неравенства. Например, числени неравенства 1<3
и −5<−4
– верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4)
, что то же самое, −5<−12
, а это неверное неравенство. Последица. Умножение член по член на идентични истински неравенства от вида a
В заключение на статията, както обещахме, ще съберем всички проучени имоти в таблица на свойствата на числовите неравенства: Библиография. ЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА I § 10 Основни свойства на числовите неравенства 1. Ако a > b, тогава б< а
, и обратно, ако но< b
, тогава б > а.
Доказателство.Нека бъде a > b
. По дефиниция това означава, че числото ( а - б
) е положителен. Ако поставим знак минус пред него, тогава полученото число е - ( а - б
) очевидно ще бъде отрицателен. Ето защо - ( а - б
) < 0, или б - а
< 0. А это (опять же по определению) и означает, что б< a
. Каним учениците сами да докажат обратното твърдение. Доказаното свойство на неравенствата позволява проста геометрична интерпретация: ако точка A лежи на реалната права вдясно от точка B, тогава точка B лежи вляво от точка A и обратно (виж фиг. 20). 2. Ако a > b, а b > c, тогава а > в.
Геометрично, това свойство е както следва. Нека точка А (съответстваща на числото но
) лежи вдясно от точка B (съответстваща на числото б
), а точка B от своя страна лежи вдясно от точка C (съответстваща на числото от
). Тогава точка А ще лежи още повече вдясно от точка С (фиг. 21). Нека дадем алгебрично доказателство на това свойство на неравенствата. Нека бъде a > b
, а b > c
. Това означава, че числата ( а - б
) И ( б-в
) са положителни. Сборът от две положителни числа очевидно е положителен. Ето защо ( а - б
) + (б-в
) > 0, или а - в
> 0. Но това означава, че но
> от
. 3. Ако a > b, след това за произволно число от a + c > b + c, а - в > б - в.
С други думи, ако едно и също число се добави или извади от двете части на числово неравенство, тогава неравенството няма да бъде нарушено. Доказателство.Нека бъде a > b
. Означава, че а - б
> 0. Но а - б
= (а + в
) - (b + c
). Ето защо ( а + в
) - (b + c
) > 0. И по дефиниция това означава, че a + c > b + c
. По същия начин е показано, че а - в > б - в
. Например, ако добавим 1 1 / 2 към двете части на неравенството 5 > 4, тогава получаваме Последица.Всеки член от една част от числово неравенство може да се прехвърли в друга част от неравенството чрез промяна на знака на този член на противоположния. Нека например a + b > c
. Това се изисква да се докаже a > c - b
. За да се докаже от двете части на това неравенство, е достатъчно да се извади числото б
. 4. Нека бъде a > b. Ако c > 0, тогава ac > bc
. Ако от< 0
, тогава асо< bс
. С други думи, ако и двете части на числовото неравенство се умножат по положително число, тогава неравенството няма да бъде нарушено; Накратко, това свойство е формулирано по следния начин: Неравенството се запазва при умножение член по член с положително число и обръща знака при умножение член по член с отрицателно число. Например, умножавайки неравенството 5 > 1 член по член по 7, получаваме 35 > 7. Член по член умножаването на същото неравенство по - 7 дава - 35< - 7. Доказателство за 4-то свойство. Нека бъде a > b. Това означава, че номерът а - бположително. Произведение на две положителни числа а - бИ от
очевидно също е положителен, т.е. ( а - б
) от
> 0, или По същия начин разглеждаме случая, когато числото от
отрицателен. Произведение на положително число а - б
до отрицателно число от
очевидно е отрицателен, т.е. Последица.Знакът на неравенството се запазва, когато се разделя член на член с положително число и се обръща, когато се разделя по член на отрицателно число. Това следва от факта, че деленето на число от
=/= 0 е еквивалентно на умножение по числото 1 /
° С
. Упражнения
81. Може ли неравенството 2 > 1 да се умножи член по член по но) но
2+1; б) | но
|; в) но
; г) 1 - 2a + но
2 така че знакът на неравенството да се запази? 82. Винаги ли е 5 х
над 4 х
, но - в
по-малко в
? 83. Какво може да бъде число х
ако се знае, че - х
> 7? 84. Подредете във възходящ ред на числото: а) a 2, 5a 2, 2a 2; б) 5 но
, 2но
; в) но
, но
2 , но
3 . 85. Подредете в низходящ ред на числата а - б
, но
- 2б
, но
- 3б
. 86. Дайте геометрична интерпретация на третото свойство на числовите неравенства. Множеството от всички реални числа може да се представи като обединение от три множества: множеството от положителни числа, множеството от отрицателни числа и множеството, състоящо се от едно число - числото нула. За да посочите, че номерът ноположително, насладете се на записа а > 0, за да посочите отрицателно число, използвайте друг запис а< 0
. Сборът и произведението на положителните числа също са положителни числа. Ако номер ноотрицателно, след това числото -ноположителен (и обратно). За всяко положително число a има положително рационално число r, Какво r< а
. Тези факти са в основата на теорията за неравенствата. По дефиниция, неравенството a > b (или еквивалентно, b< a) имеет место в том и только в том случае, если а - b >0, тоест ако числото a - b е положително. Помислете по-специално за неравенството но< 0
. Какво означава това неравенство? Според дефиницията по-горе това означава, че 0 - а > 0, т.е. -a > 0или иначе какъв номер -ноположително. Но това е така, ако и само ако броят ноотрицателен. Така че неравенството но< 0
означава, че числото но негативно. Често се използва и нотацията аб(или, което е същото, б.а). (a b) [(a > b) V (a = b)] Пример 1Правилни ли са неравенствата 5 0, 0 0? Неравенството 5 0 е сложно твърдение, състоящо се от две прости твърдения, свързани с логическо свързващо „или“ (дизюнкция). Или 5 > 0, или 5 = 0. Първото твърдение 5 > 0 е вярно, второто твърдение 5 = 0 е невярно. По дефиницията на дизюнкция, такова сложно твърдение е вярно. Запис 00 се обсъжда по подобен начин. Неравенства на формата a > b, a< b
ще се наричат строги, а неравенствата на формата ab, ab- нестроги. неравенства a > bИ c > d(или но< b
И от< d
) ще се наричат неравенства със същото значение и неравенства a > bИ ° С< d
- неравенства с противоположно значение. Обърнете внимание, че тези два термина (неравенства с едно и също и противоположно значение) се отнасят само до формата на писане на неравенства, а не до самите факти, изразени от тези неравенства. И така, по отношение на неравенството но< b
неравенство от< d
е неравенство със същия смисъл и в писмен вид d > c(което означава едно и също нещо) - неравенство с противоположно значение. Заедно с неравенствата на формата a > b, абсе използват т. нар. двойни неравенства, т.е. неравенства на вида но< с < b
, асо< b
, а< cb
, но< с < b
(1) но< с
И от< b.
Подобно значение имат и неравенствата acb, ac< b, а < сb.
Двойното неравенство (1) може да се запише по следния начин: (а< c < b) [(a < c) & (c < b)] и двойното неравенство a ≤ c ≤ bможе да се запише в следната форма: (а в б) [(а< c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)] Нека сега преминем към представянето на основните свойства и правила за действия върху неравенствата, като се съгласим, че в тази статия буквите а, б, впредставляват реални числа и нозначава естествено число. 1) Ако a > b и b > c, тогава a > c (транзитивност). Доказателство. Тъй като според условието a > bИ b > c, след това числата а - бИ б - вса положителни, а оттам и броят a - c \u003d (a - b) + (b - c), като сбор от положителни числа, също е положителен. Това означава, по дефиниция, че а > в. 2) Ако a > b, то за всяко c важи неравенството a + c > b + c. Доказателство. Защото a > b, след това числото а - бположително. Следователно броят (a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - bсъщо е положителен, т.е. 3) Ако a + b > c, тогава a > b - c,т.е. всеки член може да бъде прехвърлен от една част на неравенството в друга, като се промени знакът на този член на противоположния. Доказателството следва от свойство 2) е достатъчно и за двете части на неравенството a + b > cдобавете число -б. 4) Ако a > b и c > d, тогава a + c > b + d,т.е. добавянето на две неравенства с едно и също значение води до неравенство със същото значение. Доказателство. С дефиницията на неравенството е достатъчно да се покаже, че разликата Последица. Правила 2) и 4) предполагат следното правило за изваждане на неравенствата: ако a > b, c > d, тогава a - d > b - c(за доказателството е достатъчно и за двете части на неравенството a + c > b + dдобавете число - в - г). 5) Ако a > b, тогава за c > 0 имаме ac > bc, а за c< 0 имеем ас < bc.
С други думи, когато и двете части на неравенството се умножат, нито една не е положително число, знакът на неравенството се запазва (т.е. получава се неравенство със същото значение), а когато се умножи по отрицателно число, знакът на неравенството се променя на обратното (т.е. получава се неравенство с противоположно значение. Доказателство. Ако a > b, тогава а - бе положително число. Следователно знакът на разликата ac-bc = такси)съвпада със знака на числото от: ако оте положително число, тогава разликата ac - bcположително и следователно ac > bc, и ако от< 0
, то тази разлика е отрицателна и следователно bc - acположителен, т.е. bc > ac. 6) Ако a > b > 0 и c > d > 0, тогава ac > bd,т.е., ако всички членове на две неравенства с едно и също значение са положителни, тогава умножаването на тези неравенства член по член води до неравенство със същото значение. Доказателство. Ние имаме ac - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b(c - d). Защото c > 0, b > 0, a - b > 0, c - d > 0, след това ac - bd > 0, т.е. ac > bd. Коментирайте.От доказателството става ясно, че условието d > 0при формулирането на свойство 6) е маловажно: за да бъде това свойство вярно, достатъчно е условията a > b > 0, c > d, c > 0. Ако (ако неравенствата a > b, c > d) числа а, б, вне всички са положителни, тогава неравенството ac > bdможе да не се изпълнява. Например, когато но = 2, б =1, ° С= -2, д= -3 имаме a > b, c > д, но неравенството ac > bd(т.е. -4 > -3) не успя. Следователно изискването числата a, b, c да бъдат положителни в характеристиката на свойството 6) е от съществено значение. 7) Ако a ≥ b > 0 и c > d > 0, тогава (разделяне на неравенства). Доказателство. Ние имаме Коментирайте.Отбелязваме важен частен случай на правило 7), получен при a = b = 1: ако c > d > 0, тогава. По този начин, ако членовете на неравенството са положителни, тогава при преминаване към реципрочни числа получаваме неравенство с противоположно значение. Каним читателите да проверят, че това правило е запазено и в 7) Ако ab > 0 и c > d > 0, тогава (разделяне на неравенства). Доказателство. тогава. По-горе доказахме няколко свойства на неравенствата, записани със знака >
(Повече ▼). Всички тези свойства обаче могат да бъдат формулирани с помощта на знака <
(по-малко), тъй като неравенството б< а
означава по дефиниция същото като неравенството a > b. Освен това, тъй като е лесно да се провери, доказаните по-горе свойства се запазват и за нестроги неравенства. Например, свойство 1) за нестроги неравенства ще има следния вид: if ab и bc, тогава асо. Разбира се, общите свойства на неравенствата не се ограничават до казаното по-горе. Все още има цяла линияобщи неравенства, свързани с разглеждането на степенни, експоненциални, логаритмични и тригонометрични функции. Общият подход за записване на тези видове неравенства е както следва. Ако някаква функция y = f(x)нараства монотонно на сегмента [a,b], то за x 1 > x 2 (където x 1 и x 2 принадлежат на този сегмент) имаме f (x 1) > f(x 2). По същия начин, ако функцията y = f(x)намалява монотонно на сегмента [a,b], след това при x 1 > x 2 (къде х 1И х 2 принадлежат към този сегмент) имаме f(x1)< f(x 2
). Разбира се, казаното не се различава от определението за монотонност, но тази техника е много удобна за запаметяване и записване на неравенства. Така, например, за всяка естествена n функция y = x nе монотонно нарастващ на лъча }
Числени неравенства: определение, примери
Свойства на числовите неравенства
Основни свойства
Други важни свойства на числовите неравенства
6 1 / 2 > 5 1 / 2 . Изваждайки числото 5 от двете части на това неравенство, получаваме 0 > - 1.
Ако двете страни на неравенството се умножат по отрицателно число, тогава знакът на неравенството ще се промени на противоположния.
ac - bc >
0. Следователно ac > bc
.
(а - б) в<
0; Ето защо ac - bc<
0, откъдето асо< bс
.
Записване аб, по дефиниция, означава, че или a > b, или a = b. Ако вземем предвид влизането абкато неопределено предложение, то в нотацията на математическата логика може да се запише
аcb. По дефиниция влизането
означава, че и двете неравенства са валидни:
a + c > b + c.
(a + c) - (b + c)положителен. Тази разлика може да се запише по следния начин:
(a + c) - (b + d) = (a - b) + (c - d).
Тъй като по условие на числото а - бИ в - гтогава са положителни (a + c) - (b + d)също е положително число.
Числителят на дроба от дясната страна е положителен (виж свойства 5), 6)), знаменателят също е положителен. Следователно,. Това доказва свойство 7).
Зареждане...
