I livet vil vi ofte måtte forholde oss til matematiske problemer: på skolen, på universitetet, og deretter hjelpe barnet ditt med å fullføre hjemmelekser. Mennesker i visse yrker vil møte matematikk på daglig basis. Derfor er det nyttig å huske eller huske matematiske regler. I denne artikkelen vil vi analysere en av dem: finne beinet høyre trekant.
Hva er en rettvinklet trekant
La oss først huske hva en rettvinklet trekant er. En rettvinklet trekant er geometrisk figur av tre segmenter som forbinder punkter som ikke ligger på samme rette linje, og en av vinklene på denne figuren er 90 grader. Sidene som danner en rett vinkel kalles ben, og siden som ligger motsatt rett vinkel– hypotenusa.
Finne beinet til en rettvinklet trekant
Det er flere måter å finne ut lengden på benet. Jeg vil gjerne vurdere dem mer detaljert.
Pythagoras teorem for å finne siden av en rettvinklet trekant
Hvis vi kjenner hypotenusen og benet, kan vi finne lengden på det ukjente benet ved å bruke Pythagoras teorem. Det høres slik ut: «Square of the hypotenuse lik summen kvadrater av ben." Formel: c²=a²+b², hvor c er hypotenusen, a og b er bena. Vi transformerer formelen og får: a²=c²-b².
Eksempel. Hypotenusen er 5 cm, og benet er 3 cm Vi transformerer formelen: c²=a²+b² → a²=c²-b². Deretter løser vi: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).
Trigonometriske forhold for å finne beinet til en rettvinklet trekant
Du kan også finne et ukjent ben hvis en annen side og en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er kjent. Det er fire alternativer for å finne et ben ved hjelp av trigonometriske funksjoner: sinus, cosinus, tangens, cotangens. Tabellen nedenfor vil hjelpe oss med å løse problemer. La oss vurdere disse alternativene.
Finn etappen til en rettvinklet trekant ved å bruke sinus
Sinusen til en vinkel (sin) er forholdet mellom motsatt side og hypotenusen. Formel: sin=a/c, hvor a er benet motsatt gitt vinkel, og c er hypotenusen. Deretter transformerer vi formelen og får: a=sin*c.
Eksempel. Hypotenusen er 10 cm, vinkel A er 30 grader. Ved hjelp av tabellen beregner vi sinus til vinkel A, den er lik 1/2. Deretter, ved hjelp av den transformerte formelen, løser vi: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).
Finn etappen til en rettvinklet trekant ved å bruke cosinus
Cosinus til en vinkel (cos) er forholdet tilstøtende ben til hypotenusen. Formel: cos=b/c, hvor b er benet ved siden av en gitt vinkel, og c er hypotenusen. La oss transformere formelen og få: b=cos*c.
Eksempel. Vinkel A er lik 60 grader, hypotenusen er lik 10 cm. Ved hjelp av tabellen regner vi ut cosinus til vinkel A, den er lik 1/2. Deretter løser vi: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).
Finn etappen til en rettvinklet trekant ved å bruke tangent
Tangent av en vinkel (tg) er forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side. Formel: tg=a/b, der a er siden motsatt av vinkelen, og b er siden ved siden av. La oss transformere formelen og få: a=tg*b.
Eksempel. Vinkel A er lik 45 grader, hypotenusen er lik 10 cm Ved hjelp av tabellen beregner vi tangenten til vinkel A, den er lik Løs: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).
Finn benet til en rettvinklet trekant ved å bruke cotangens
Vinkel cotangens (ctg) er forholdet mellom den tilstøtende siden og den motsatte siden. Formel: ctg=b/a, der b er benet ved siden av vinkelen, og er det motsatte benet. Med andre ord, cotangens er en "invertert tangent." Vi får: b=ctg*a.
Eksempel. Vinkel A er 30 grader, motsatt ben er 5 cm. I følge tabellen er tangenten til vinkel A √3. Vi beregner: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).
Så nå vet du hvordan du finner et ben i en rettvinklet trekant. Som du kan se, er det ikke så vanskelig, det viktigste er å huske formlene.
Sinus den spisse vinkelen α i en rettvinklet trekant er forholdet motsatte ben til hypotenusa.
Det er betegnet som følger: sin α.
Cosinus Den spisse vinkelen α i en rettvinklet trekant er forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen.
Den er betegnet som følger: cos α.
Tangent spiss vinkel α er forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side.
Den er betegnet som følger: tg α.
Cotangens spiss vinkel α er forholdet mellom den tilstøtende siden og den motsatte siden.
Den er betegnet som følger: ctg α.
Sinus, cosinus, tangens og cotangens av en vinkel avhenger bare av størrelsen på vinkelen.
Regler:
Grunnleggende trigonometriske identiteter i en rettvinklet trekant:
(α – spiss vinkel motsatt av benet b og ved siden av benet en . Side Med – hypotenusa. β – andre spisse vinkel).
b | sin 2 α + cos 2 α = 1 | |
en | 1 | |
b | 1 | |
en | 1 1 | |
synd α |
Når den spisse vinkelen økersin α ogtan α økning, ogcos α avtar.
For enhver spiss vinkel α:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Eksempel-forklaring:
Slipp inn en rettvinklet trekant ABC
AB = 6,
BC = 3,
vinkel A = 30º.
La oss finne ut sinusen til vinkel A og cosinus til vinkel B.
Løsning .
1) Først finner vi verdien av vinkel B. Alt er enkelt her: siden i en rettvinklet trekant er summen av de spisse vinklene 90º, så er vinkel B = 60º:
B = 90º – 30º = 60º.
2) La oss regne ut sin A. Vi vet at sinus er lik forholdet mellom motsatt side og hypotenusen. For vinkel A er motsatt side side BC. Så:
BC 3 1
sin A = -- = - = -
AB 6 2
3) La oss nå beregne cos B. Vi vet at cosinus er lik forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen. For vinkel B er det tilstøtende benet den samme siden BC. Dette betyr at vi igjen må dele BC med AB - det vil si utføre de samme handlingene som når vi beregner sinus til vinkel A:
BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2
Resultatet er:
sin A = cos B = 1/2.
sin 30º = cos 60º = 1/2.
Det følger av dette at i en rettvinklet trekant er sinusen til en spiss vinkel lik cosinus til en annen spiss vinkel - og omvendt. Dette er nøyaktig hva våre to formler betyr:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
La oss sørge for dette igjen:
1) La α = 60º. Ved å erstatte verdien av α i sinusformelen får vi:
sin (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.
2) La α = 30º. Ved å erstatte verdien av α i cosinusformelen får vi:
cos (90° – 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30º.
(For mer informasjon om trigonometri, se Algebra-delen)
Forholdet mellom motsatt side og hypotenusen kalles sinus med spiss vinkel høyre trekant.
\sin \alpha = \frac(a)(c)
Cosinus av en spiss vinkel i en rettvinklet trekant
Forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen kalles cosinus av en spiss vinkel høyre trekant.
\cos \alpha = \frac(b)(c)
Tangent av en spiss vinkel i en rettvinklet trekant
Forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side kalles tangens til en spiss vinkel høyre trekant.
tg \alpha = \frac(a)(b)
Kotangens av en spiss vinkel i en rettvinklet trekant
Forholdet mellom den tilstøtende siden og den motsatte siden kalles cotangens av en spiss vinkel høyre trekant.
ctg \alpha = \frac(b)(a)
Sinus av en vilkårlig vinkel
Ordinaten til et punkt på enhetssirkelen som vinkelen \alfa tilsvarer kalles sinus av en vilkårlig vinkel rotasjon \alfa .
\sin \alpha=y
Cosinus av en vilkårlig vinkel
Abscisse peker på enhetssirkel, som vinkelen \alpha tilsvarer kalles cosinus av en vilkårlig vinkel rotasjon \alfa .
\cos \alpha=x
Tangent av en vilkårlig vinkel
Forholdet mellom sinusen til en vilkårlig rotasjonsvinkel \alfa og dens cosinus kalles tangens til en vilkårlig vinkel rotasjon \alfa .
tan \alpha = y_(A)
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
Kotangens av en vilkårlig vinkel
Forholdet mellom cosinus til en vilkårlig rotasjonsvinkel \alfa og sinus kalles cotangens av en vilkårlig vinkel rotasjon \alfa .
ctg\alpha =x_(A)
ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
Et eksempel på å finne en vilkårlig vinkel
Hvis \alpha er en vinkel AOM, der M er et punkt i enhetssirkelen, da
\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).
For eksempel hvis \angle AOM = -\frac(\pi)(4), da: ordinaten til punktet M er lik -\frac(\sqrt(2))(2), abscisse er lik \frac(\sqrt(2))(2) og det er derfor
\sin \venstre (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);
\cos \venstre (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);
tg;
ctg \venstre (-\frac(\pi)(4) \høyre)=-1.
Tabell over verdier for sinus av cosinus av tangenter av cotangenter
Verdiene for de viktigste hyppig forekommende vinklene er gitt i tabellen:
| 0^(\circ) (0) | 30^(\sirkel)\venstre(\frac(\pi)(6)\høyre) | 45^(\circ)\venstre(\frac(\pi)(4)\høyre) | 60^(\cirkel)\venstre(\frac(\pi)(3)\høyre) | 90^(\cirkel)\venstre(\frac(\pi)(2)\høyre) | 180^(\sirkel)\venstre(\pi\høyre) | 270^(\circ)\venstre(\frac(3\pi)(2)\høyre) | 360^(\cirkel)\venstre(2\pi\høyre) | |
| \sin\alfa | 0 | \frac12 | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac(\sqrt 3)(2) | 1 | 0 | −1 | 0 |
| \cos\alpha | 1 | \frac(\sqrt 3)(2) | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac12 | 0 | −1 | 0 | 1 |
| tg\alfa | 0 | \frac(\sqrt 3)(3) | 1 | \sqrt3 | — | 0 | — | 0 |
| ctg\alfa | — | \sqrt3 | 1 | \frac(\sqrt 3)(3) | 0 | — | 0 | — |
Bruksanvisning
En trekant kalles rettvinklet hvis en av vinklene er 90 grader. Den består av to ben og en hypotenuse. Hypotenusen er den største siden av denne trekanten. Den ligger mot en rett vinkel. Bena kalles derfor de mindre sidene. De kan enten være like med hverandre eller ha forskjellige størrelser. Likestilling av ben er det du jobber med en rettvinklet trekant. Dens skjønnhet er at den kombinerer to figurer: en rettvinklet trekant og en likebenet trekant. Hvis bena ikke er like, så er trekanten vilkårlig og følger grunnloven: jo større vinkelen er, jo mer ruller den som ligger overfor den.
Det er flere måter å finne hypotenusen etter og vinkel. Men før du bruker en av dem, bør du bestemme hvilken vinkel som er kjent. Hvis du får en vinkel og en side ved siden av den, er det lettere å finne hypotenusen ved å bruke cosinus til vinkelen. Cosinus til en spiss vinkel (cos a) i en rettvinklet trekant er forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen. Det følger at hypotenusen (c) vil være lik forholdet mellom det tilstøtende benet (b) og cosinus til vinkelen a (cos a). Dette kan skrives slik: cos a=b/c => c=b/cos a.
Hvis en vinkel og et motsatt ben er gitt, bør du jobbe. Sinusen til en spiss vinkel (sin a) i en rettvinklet trekant er forholdet mellom motsatt side (a) og hypotenusen (c). Her er prinsippet det samme som i forrige eksempel, bare i stedet for cosinusfunksjonen tas sinusen. sin a=a/c => c=a/sin a.
Du kan også bruke en trigonometrisk funksjon som f.eks. Men å finne ønsket verdi vil bli litt mer komplisert. Tangensen til en spiss vinkel (tg a) i en rettvinklet trekant er forholdet mellom det motsatte benet (a) og det tilstøtende benet (b). Etter å ha funnet begge bena, bruk Pythagoras teorem (kvadraten på hypotenusen er lik summen av kvadratene til bena) og den største vil bli funnet.
Merk
Når du arbeider med Pythagoras teorem, husk at du har med en grad å gjøre. Etter å ha funnet summen av kvadratene til bena, må du ta kvadratroten for å få det endelige svaret.
Kilder:
- hvordan finne benet og hypotenusen
Hypotenusen er siden i en rettvinklet trekant som er motsatt 90 graders vinkel. For å beregne lengden er det nok å vite lengden på et av bena og størrelsen på en av de spisse vinklene i trekanten.
Bruksanvisning
Gitt en kjent og spiss rektangulær vinkel, vil størrelsen på hypotenusen være forholdet mellom benet og/av denne vinkelen, hvis denne vinkelen er motsatt/ved siden av den:
h = C1(eller C2)/sina;
h = C1 (eller C2)/cosα.
Eksempel: La ABC med hypotenusen AB og C gis La vinkelen B være 60 grader og vinkelen A være 30 grader Lengden på benet BC er 8 cm Lengden på hypotenusen AB kreves. For å gjøre dette kan du bruke en av metodene som er foreslått ovenfor:
AB = BC/cos60 = 8 cm.
AB = BC/sin30 = 8 cm.
Ordet " bein" kommer fra de greske ordene "vinkelrett" eller "lodd" - dette forklarer hvorfor begge sider av en rettvinklet trekant, som utgjør dens nitti-graders vinkel, ble kalt slik. Finn lengden på noen av bein ov er ikke vanskelig hvis verdien av den tilstøtende vinkelen og eventuelle andre parametere er kjent, siden i dette tilfellet vil verdiene til alle tre vinklene faktisk bli kjent.
Bruksanvisning
Hvis, i tillegg til verdien av den tilstøtende vinkelen (β), lengden på den andre bein a (b), deretter lengden bein og (a) kan defineres som kvotienten av lengden til det kjente bein og ved en kjent vinkel: a=b/tg(β). Dette følger av definisjonen av denne trigonometriske. Du klarer deg uten tangenten hvis du bruker teoremet. Det følger av det at lengden av den ønskede til sinusen til den motsatte vinkelen til forholdet mellom lengden til den kjente bein og til sinusen til en kjent vinkel. Motsatt av ønsket bein y spiss vinkel kan uttrykkes gjennom den kjente vinkelen som 180°-90°-β = 90°-β, siden summen av alle vinklene til en trekant må være 180°, og en av vinklene er 90°. Så, den nødvendige lengden bein og kan beregnes ved å bruke formelen a=sin(90°-β)∗b/sin(β).
Hvis verdien av den tilstøtende vinkelen (β) og lengden på hypotenusen (c) er kjent, så er lengden bein og (a) kan beregnes som produktet av lengden av hypotenusen og cosinus til den kjente vinkelen: a=c∗cos(β). Dette følger av definisjonen av cosinus som en trigonometrisk funksjon. Men du kan bruke, som i forrige trinn, teoremet for sinus og deretter lengden på ønsket bein a vil være lik produktet av sinusen mellom 90° og den kjente vinkelen og forholdet mellom lengden av hypotenusen og sinusen til den rette vinkelen. Og siden sinusen til 90° er lik én, kan vi skrive det slik: a=sin(90°-β)∗c.
Praktiske beregninger kan for eksempel utføres ved å bruke programvarekalkulatoren som følger med Windows OS. For å kjøre den, kan du velge "Kjør" fra hovedmenyen på "Start"-knappen, skriv inn calc-kommandoen og klikk "OK". I den enkleste versjonen av grensesnittet til dette programmet som åpnes som standard trigonometriske funksjoner er ikke gitt, så etter å ha startet det, må du klikke på "Vis"-delen i menyen og velge linjen "Vitenskapelig" eller "Engineering" (avhengig av versjonen som brukes operativsystem).
Video om emnet
Ordet "kathet" kom på russisk fra gresk. I nøyaktig oversettelse betyr det en loddlinje, det vil si vinkelrett på jordoverflaten. I matematikk er ben sidene som danner en rett vinkel i en rettvinklet trekant. Siden motsatt denne vinkelen kalles hypotenusen. Begrepet "katet" brukes også i arkitektur og sveiseteknologi.
Tegn en rettvinklet trekant DIA. Merk bena som a og b, og hypotenusen som c. Alle sider og vinkler i en rettvinklet trekant er definert innbyrdes. Forholdet mellom benet motsatt en av de spisse vinklene til hypotenusen kalles sinusen til denne vinkelen. I gitt trekant sinCAB=a/c. Cosinus er forholdet til hypotenusen til det tilstøtende benet, det vil si cosCAB=b/c. De omvendte relasjonene kalles sekant og cosekant.
Sekanten til denne vinkelen oppnås ved å dele hypotenusen med det tilstøtende benet, det vil si secCAB = c/b. Resultatet er den resiproke av cosinus, det vil si at den kan uttrykkes ved hjelp av formelen secCAB=1/cosSAB.
Kosekanten er lik kvotienten til hypotenusen delt på motsatt side og er den resiproke av sinusen. Det kan beregnes ved hjelp av formelen cosecCAB=1/sinCAB
Begge bena er forbundet med hverandre og med en cotangens. I dette tilfellet vil tangenten være forholdet mellom side a og side b, det vil si den motsatte siden til den tilstøtende siden. Dette forholdet kan uttrykkes med formelen tgCAB=a/b. Henholdsvis omvendt relasjon det vil være en cotangens: ctgCAB=b/a.
Forholdet mellom størrelsene på hypotenusen og begge bena ble bestemt av den gamle greske Pythagoras. Folk bruker fortsatt teoremet og navnet hans. Det står at kvadratet på hypotenusen er lik summen av kvadratene til bena, det vil si c2 = a2 + b2. Følgelig vil hvert ben være lik kvadratrot fra forskjellen mellom kvadratene på hypotenusen og det andre benet. Denne formelen kan skrives som b=√(c2-a2).
Lengden på beinet kan også uttrykkes gjennom relasjonene du kjenner til. I følge teoremene for sinus og cosinus er et ben lik produktet av hypotenusen og en av disse funksjonene. Det kan uttrykkes som og eller cotangens. Leg a kan for eksempel bli funnet ved å bruke formelen a = b*tan CAB. På nøyaktig samme måte, avhengig av gitt tangent eller , bestemmes den andre etappen.
Begrepet "katet" brukes også i arkitektur. Den påføres den joniske hovedstaden og lodd gjennom midten av ryggen. Det vil si at i dette tilfellet er dette leddet vinkelrett på en gitt linje.
Innen sveiseteknologi er det et "filetsveiseben". Som i andre tilfeller er dette den korteste avstanden. Her vi snakker om om gapet mellom en av delene som sveises til grensen til sømmen som ligger på overflaten av den andre delen.
Video om emnet
Kilder:
- hva er ben og hypotenus i 2019
Vi vil begynne studiet av trigonometri med den rette trekanten. La oss definere hva sinus og cosinus er, samt tangent og cotangens for en spiss vinkel. Dette er det grunnleggende om trigonometri.
La oss minne deg på det rett vinkel er en vinkel lik 90 grader. Med andre ord en halv dreiet vinkel.
Skarpt hjørne- mindre enn 90 grader.
Stump vinkel- større enn 90 grader. I forhold til en slik vinkling er ikke "stump" en fornærmelse, men et matematisk begrep :-)
La oss tegne en rettvinklet trekant. En rett vinkel er vanligvis betegnet med . Vær oppmerksom på at siden motsatt hjørnet er angitt med samme bokstav, bare liten. Dermed er siden motsatt vinkel A betegnet .
Vinkelen er angitt med den tilsvarende Gresk bokstav.
Hypotenus av en rettvinklet trekant er siden motsatt den rette vinkelen.
Ben- sider som ligger motsatte spisse vinkler.
Benet som ligger motsatt vinkelen kalles motsatte(i forhold til vinkel). Det andre benet, som ligger på en av sidene av vinkelen, kalles ved siden av.
Sinus Den spisse vinkelen i en rettvinklet trekant er forholdet mellom motsatt side og hypotenusen:
Cosinus spiss vinkel i en rettvinklet trekant - forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen:
Tangent spiss vinkel i en rettvinklet trekant - forholdet mellom den motsatte siden og den tilstøtende:
En annen (tilsvarende) definisjon: tangenten til en spiss vinkel er forholdet mellom vinkelens sinus og cosinus:
Cotangens spiss vinkel i en rettvinklet trekant - forholdet mellom den tilstøtende siden og den motsatte (eller, som er det samme, forholdet mellom cosinus og sinus):
Legg merke til de grunnleggende forholdene for sinus, cosinus, tangens og cotangens nedenfor. De vil være nyttige for oss når vi løser problemer.
La oss bevise noen av dem.
Ok, vi har gitt definisjoner og skrevet ned formler. Men hvorfor trenger vi fortsatt sinus, cosinus, tangens og cotangens?
Vi vet det summen av vinklene til en hvilken som helst trekant er lik.
Vi kjenner forholdet mellom fester høyre trekant. Dette er Pythagoras teorem: .
Det viser seg at når du kjenner to vinkler i en trekant, kan du finne den tredje. Når du kjenner de to sidene av en rettvinklet trekant, kan du finne den tredje. Dette betyr at vinklene har sitt eget forhold, og sidene har sitt eget. Men hva skal du gjøre hvis du i en rettvinklet trekant kjenner én vinkel (unntatt den rette vinkelen) og én side, men du må finne de andre sidene?
Dette er hva folk tidligere møtte når de lagde kart over området og stjernehimmelen. Det er tross alt ikke alltid mulig å måle alle sidene av en trekant direkte.
Sinus, cosinus og tangens – de kalles også trigonometriske vinkelfunksjoner- gi relasjoner mellom fester Og hjørner triangel. Når du kjenner vinkelen, kan du finne alle trigonometriske funksjoner ved hjelp av spesielle tabeller. Og når du kjenner sinus, cosinus og tangens til vinklene til en trekant og en av sidene, kan du finne resten.
Vi vil også tegne en tabell over verdiene for sinus, cosinus, tangens og cotangens for "gode" vinkler fra til.
Vær oppmerksom på de to røde strekene i tabellen. Ved passende vinkelverdier eksisterer ikke tangent og cotangens.
La oss se på flere trigonometriproblemer fra FIPI Task Bank.
1. I en trekant er vinkelen , . Finn .
Problemet er løst på fire sekunder.
Fordi det , .
2. I en trekant er vinkelen , , . Finn .
La oss finne det ved å bruke Pythagoras teorem.
Problemet er løst.
Ofte i oppgaver er det trekanter med vinkler og eller med vinkler og. Husk de grunnleggende forholdstallene for dem utenat!
For en trekant med vinkler og benet motsatt vinkelen på er lik halvparten av hypotenusen.
En trekant med vinkler og er likebenet. I den er hypotenusen ganger større enn benet.
Vi så på problemer med å løse rette trekanter – det vil si å finne ukjente sider eller vinkler. Men det er ikke alt! Det er mange problemer i Unified State Examination i matematikk som involverer sinus, cosinus, tangens eller cotangens av en ytre vinkel i en trekant. Mer om dette i neste artikkel.
Laster inn...
