Plotte grafer av eksempler på lineære brøkfunksjoner. Fraksjonell lineær funksjon

“SUBASHI BASIC EDUCATIONAL SCHOOL” BALTASI KOMMUNE DISTRIKT

REPUBLIKKEN TATARSTAN

Leksjonsutvikling - 9. klasse

Emne: Brøk – lineær funksjonsjon

kvalifikasjonskategori

GarifullinENJernbaneJegRifkatovna

201 4

Leksjonsemne: Brøk er en lineær funksjon.

Hensikten med leksjonen:

Pedagogisk: Introduser elevene til konsepterfraksjonert – lineær funksjon og ligning av asymptoter;

Utviklingsmessig: Dannelse av teknikker logisk tenkning, utvikling av interesse for emnet; utvikle bestemmelsen av definisjonsdomenet, verdidomenet til en lineær brøkfunksjon og dannelsen av ferdigheter i å konstruere grafen;

- motiverende mål:pleie studentenes matematiske kultur, oppmerksomhet, opprettholde og utvikle interesse for å studere emnet gjennom søknad ulike former mestring av kunnskap.

Utstyr og litteratur: Laptop, projektor, interaktiv tavle, koordinatplan og graf for funksjonen y= , refleksjonskart, multimediapresentasjon,Algebra: lærebok for 9. klasse på grunnskolen / Yu.N. Makarychev, N.G. Mendyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova; redigert av S.A. Telyakovsky / M: "Prosveshchenie", 2004 med tillegg.

Leksjonstype:

leksjon om å forbedre kunnskap, ferdigheter, evner.

I løpet av timene.

Jeg Organisering av tid:

Mål: - utvikling av muntlige dataferdigheter;

repetisjon av teoretisk materiale og definisjoner som er nødvendige for å studere et nytt emne.

God ettermiddag Vi starter timen med å sjekke lekser:

Oppmerksomhet på skjermen (lysbilde 1-4):

Øvelse 1.

Vennligst svar på spørsmål 3 i henhold til grafen til denne funksjonen (finn høyeste verdi funksjoner, ...)

( 24 )

Oppgave -2. Regn ut verdien av uttrykket:

- =

Oppgave -3: Finn trippel summen av røttene kvadratisk ligning:

X 2 -671∙X + 670= 0.

Summen av koeffisientene til den kvadratiske ligningen er null:

1+(-671)+670 = 0. Så x 1 =1 og x 2 = Derfor,

3∙(x 1 +x 2 )=3∙671=2013

La oss nå skrive ned svarene på alle 3 oppgavene sekvensielt ved å bruke prikker. (24. desember 2013.)

Resultat: Ja, det stemmer! Så, temaet for dagens leksjon:

Brøk er en lineær funksjon.

Før du kjører på veien, må sjåføren kjenne reglene trafikk: forby og tillate skilt. I dag må du og jeg også huske noen forbudte og tillate tegn. Oppmerksomhet på skjermen! (Lysbilde-6 )

Konklusjon:

Uttrykket har ingen mening;

Riktig uttrykk, svar: -2;

riktig uttrykk, svar: -0;

Du kan ikke dele 0 med null!

Vær oppmerksom på at alt er skrevet ned riktig? (lysbilde – 7)

1) ; 2) = ; 3) = a .

(1) ekte likhet, 2) = - ; 3) = - en )

II. Lære et nytt emne: (lysbilde – 8).

Mål: Å lære ferdighetene til å finne definisjonsdomenet og verdidomenet til en lineær brøkfunksjon, konstruere grafen ved hjelp av parallell overføring av grafen til funksjonen langs abscissen og ordinataksen.

Bestem hvilken funksjons graf er gitt på koordinatplan?

Grafen til en funksjon på koordinatplanet er gitt.

Spørsmål

Forventet respons

Finn definisjonsdomenet til funksjonen, (D( y)=?)

X ≠0, eller(-∞;0]UUU

Vi flytter grafen til funksjonen ved hjelp av parallell translasjon langs okseaksen (abscisse) 1 enhet til høyre;

Hvilken funksjon tegnet du?

Vi flytter grafen til funksjonen ved hjelp av parallell translasjon langs Oy (ordinat)-aksen med 2 enheter oppover;

Nå, hvilken funksjon har du tegnet?

Tegn rette linjer x=1 og y=2

Hvordan tror du? Hvilke direktemeldinger mottok du og jeg?

Dette er de rette, som punktene på kurven til funksjonsgrafen nærmer seg når de beveger seg bort til uendelig.

Og de kalles– asymptoter.

Det vil si at en asymptote av hyperbelen løper parallelt med y-aksen i en avstand på 2 enheter til høyre for den, og den andre asymptoten løper parallelt med x-aksen i en avstand på 1 enhet over den.

Bra gjort! La oss nå konkludere:

Grafen til en lineær brøkfunksjon er en hyperbel, som kan fås fra hyperbelen y =ved hjelp av parallelle translasjoner langs koordinataksene. For å gjøre dette må formelen til den lineære brøkfunksjonen representeres i følgende skjema: y=

hvor n er antall enheter som hyperbelen er forskjøvet til høyre eller venstre med, m er antall enheter som hyperbelen er forskjøvet opp eller ned med. I dette tilfellet blir asymptotene til hyperbelen forskjøvet til rette linjer x = m, y = n.

La oss gi eksempler på en lineær brøkfunksjon:

; .

Fraksjonell lineær funksjon er en funksjon av formen y = , hvor x er en variabel, a, b, c, d er noen tall, og c ≠ 0, ad – bc ≠ 0.

c≠0 ogannonse- f.Kr≠0, siden ved c=0 blir funksjonen til lineær funksjon.

Hvisannonse- f.Kr=0, er den resulterende brøken en verdi som er lik (dvs. konstant).

Egenskaper til en lineær brøkfunksjon:

1. Ved økning positive verdier argument, funksjonsverdiene synker og har en tendens til null, men forblir positive.

2. Når positive verdier av funksjonen øker, reduseres verdiene til argumentet og har en tendens til null, men forblir positive.

III – konsolidering av materialet som dekkes.

Mål: - utvikle presentasjonsevner og -evnerformler for en lineær brøkfunksjon til formen:

Styrke ferdighetene til å tegne opp asymptotelikninger og plotte en graf av en lineær brøkfunksjon.

Eksempel -1:

Løsning: Ved hjelp av transformasjoner representerer vi denne funksjonen i skjemaet .

= (lysbilde 10)

Kroppsøvingsminutt:

(oppvarming ledes av vaktleder)

Mål: - lindre psykisk stress og forbedre helsen til elevene.

Arbeid med læreboka: nr. 184.

Løsning: Ved hjelp av transformasjoner representerer vi denne funksjonen i formen y=k/(x-m)+n.

= de x≠0.

La oss skrive asymptoteligningen: x=2 og y=3.

Så grafen til funksjonen beveger seg langs Ox-aksen i en avstand på 2 enheter til høyre for den og langs Oy-aksen i en avstand på 3 enheter over den.

Gruppearbeid:

Mål: - utvikle evnen til å lytte til andre og samtidig uttrykke ens mening spesifikt;

utdanning av en person som er i stand til å lede;

å fremme en matematisk talekultur hos elevene.

Valg 1

Gitt funksjon:

Alternativ nr. 2

Gitt en funksjon

1. Reduser den lineære brøkfunksjonen til standard visning og skriv ned ligningen til asymptotene.

2. Finn domenet til funksjonen

3. Finn settet med funksjonsverdier

1. Reduser den lineære brøkfunksjonen til standardform og skriv ned likningen til asymptotene.

2. Finn domenet til funksjonen.

3. Finn verdisettet til funksjonen.

(Gruppen som fullførte arbeidet først, forbereder seg på å forsvare Gruppearbeid ved tavlen. Arbeidet blir analysert.)

IV. Oppsummering av leksjonen.

Mål: - analyse av teoretiske og praktiske aktiviteter i leksjonen;

Dannelse av selvtillit ferdigheter hos studenter;

Refleksjon, selvevaluering av elevenes aktivitet og bevissthet.

Og så, mine kjære studenter! Leksjonen går mot slutten. Du må fylle ut et refleksjonskort. Skriv dine meninger nøye og leselig

Etternavn og fornavn ______________________________________

Leksjonstrinn

Bestemme kompleksitetsnivået til leksjonsstadiene

Din oss-trippel

Vurdering av aktiviteten din i timen, 1-5 poeng

lett

middels tung

vanskelig

Organisasjonsstadiet

Lære nytt stoff

Dannelse av ferdigheter i å konstruere en graf av en lineær brøkfunksjon

Gruppearbeid

Generell oppfatning om leksjonen

Hjemmelekser:

Mål: - sjekke nivået av mestring av dette emnet.

[klausul 10*, nr. 180(a), 181(b).]

Forberedelse til statseksamen: (Jobbe med "Virtuelt valgfag" )

Trening fra GIA-serien (nr. 23 - maksimal poengsum):

Tegn grafen for funksjonen Y=og bestem hvilke verdier av c den rette linjen y=c har nøyaktig ett felles punkt med grafen.

Spørsmål og oppgaver vil bli publisert fra 14.00 til 14.30.

Her koeffisientene for X og frie termer i teller og nevner er gitt reelle tall. Graf av en lineær brøkfunksjon i generell sak er hyperbel.

Den enkleste lineære brøkfunksjonen y = - Du-

streiker omvendt proporsjonal avhengighet ; hyperbelen som representerer det er velkjent fra kurset videregående skole(Fig. 5.5).

Ris. 5.5

Eksempel. 5.3

Plott en graf av en lineær brøkfunksjon:

1. Siden denne brøken ikke gir mening når x = 3, Det domene til funksjon X består av to uendelige intervaller:
3) og (3; +°°).

2. For å studere oppførselen til en funksjon på grensen til definisjonsdomenet (dvs. når X-»3 og kl X-> ±°°), er det nyttig å transformere dette uttrykket til summen av to ledd som følger:

Siden det første leddet er konstant, er funksjonen til funksjonen ved grensen faktisk bestemt av det andre, variable leddet. Etter å ha studert prosessen med endringen, når X->3 og X->±°°, vi trekker følgende konklusjoner angående den gitte funksjonen:

a) for x->3 til høyre(dvs. for *>3) verdien av funksjonen øker uten grense: på-> +°°: ved x->3 venstre(dvs. ved x y - Dermed nærmer den ønskede hyperbelen seg den rette linjen uten grense med ligningen x = 3 (nede til venstre Og øverst til høyre) og dermed er denne rette linjen vertikal asymptote overdrivelse;
b) når x ->±°° det andre leddet avtar uten grense, så verdien av funksjonen nærmer seg det første, konstante leddet uten grense, dvs. å verdsette y = 2. I dette tilfellet nærmer grafen til funksjonen seg uten grense (nederst til venstre og øverst til høyre) til den rette linjen gitt av ligningen y = 2; slik er denne linjen horisontal asymptote overdrivelse.

Kommentar. Informasjonen innhentet i denne delen er den viktigste for å karakterisere oppførselen til grafen til en funksjon i den avsidesliggende delen av flyet (figurativt sett, i det uendelige).

3. Forutsatt at l = 0, finner vi y = ~. Derfor vil den ønskede hy-

perbola skjærer aksen OU på punktet M x = (0;-^).

4. Funksjon null ( på= 0) vil være når X= -2; derfor skjærer denne hyperbelen aksen Åh ved punkt M2 (-2; 0).
5. En brøk er positiv hvis telleren og nevneren har samme fortegn, og negativ hvis de har forskjellige fortegn. Når vi løser de tilsvarende ulikhetssystemene, finner vi at funksjonen har to positive intervaller: (-°°; -2) og (3; +°°) og ett negativt intervall: (-2; 3).
6. Å representere en funksjon som en sum av to ledd (se punkt 2) gjør det ganske enkelt å oppdage to reduksjonsintervaller: (-°°; 3) og (3; +°°).
7. Denne funksjonen har åpenbart ingen ekstreme.
8. Sett Y av verdiene for denne funksjonen: (-°°; 2) og (2; +°°).
9. Det er heller ingen partall, oddetall eller periodisitet. Informasjonen som samles inn er tilstrekkelig til skjematisk

tegne en hyperbole grafisk som gjenspeiler egenskapene til denne funksjonen (fig. 5.6).

Ris. 5.6

Funksjonene som er diskutert frem til dette punktet kalles algebraisk. La oss nå gå videre til å vurdere transcendental funksjoner.

I denne leksjonen vi vil vurdere en brøk lineær funksjon, løse problemer ved å bruke en brøk lineær funksjon, modul, parameter.

Tema: Repetisjon

Leksjon: Brøk lineær funksjon

Definisjon:

En funksjon av skjemaet:

For eksempel:

La oss bevise at grafen til denne lineære brøkfunksjonen er en hyperbel.

La oss ta de to ut av parentes i telleren og få:

Vi har x i både telleren og nevneren. Nå transformerer vi slik at uttrykket vises i telleren:

La oss nå redusere brøken ledd for ledd:

Det er klart at grafen til denne funksjonen er en hyperbel.

Vi kan foreslå en andre bevismetode, nemlig å dele telleren med nevneren i en kolonne:

Fikk:

Det er viktig å enkelt kunne konstruere en graf av en lineær brøkfunksjon, spesielt for å finne symmetrisenteret til en hyperbel. La oss løse problemet.

Eksempel 1 - skisser en graf av en funksjon:

Vi har allerede konvertert denne funksjonen og fikk:

For å konstruere denne grafen vil vi ikke forskyve aksene eller selve hyperbelen. Vi bruker en standardmetode for å konstruere funksjonsgrafer, ved å bruke tilstedeværelsen av intervaller med konstant fortegn.

Vi handler i henhold til algoritmen. Først, la oss undersøke den gitte funksjonen.

Dermed har vi tre intervaller med konstant fortegn: helt til høyre () har funksjonen et plusstegn, så veksler tegnene, siden alle røtter har første grad. Så på et intervall er funksjonen negativ, på et intervall er funksjonen positiv.

Vi konstruerer en skisse av grafen i nærheten av røttene og bruddpunktene til ODZ. Vi har: siden fortegnet for funksjonen på et punkt endres fra pluss til minus, er kurven først over aksen, går deretter gjennom null og er deretter plassert under x-aksen. Når nevneren til en brøk er praktisk talt lik null, betyr det at når verdien av argumentet har en tendens til tre, har verdien av brøken en tendens til uendelig. I dette tilfellet, når argumentet nærmer seg trippelen til venstre, er funksjonen negativ og har en tendens til minus uendelig, til høyre er funksjonen positiv og forlater pluss uendelig.

Nå konstruerer vi en skisse av grafen til funksjonen i nærheten av punkter ved uendelig, dvs. når argumentet har en tendens til pluss eller minus uendelig. I dette tilfellet kan konstante vilkår neglisjeres. Vi har:

Dermed har vi en horisontal asymptote og en vertikal, sentrum av hyperbelen er punkt (3;2). La oss illustrere:

Ris. 1. Graf av en hyperbel for eksempel 1

Problemer med en lineær brøkfunksjon kan være komplisert av tilstedeværelsen av en modul eller parameter. For å bygge for eksempel en graf av funksjonen, må du følge følgende algoritme:

Ris. 2. Illustrasjon for algoritmen

Den resulterende grafen har grener som er over x-aksen og under x-aksen.

1. Bruk den angitte modulen. I dette tilfellet forblir deler av grafen plassert over x-aksen uendret, og de som ligger under aksen speiles i forhold til x-aksen. Vi får:

Ris. 3. Illustrasjon for algoritmen

Eksempel 2 - plott en funksjon:

Ris. 4. Funksjonsgraf for eksempel 2

Tenk på følgende oppgave - lag en graf av funksjonen. For å gjøre dette, må du følge følgende algoritme:

1. Tegn graf den submodulære funksjonen

La oss anta at vi får følgende graf:

Ris. 5. Illustrasjon for algoritmen

1. Bruk den angitte modulen. For å forstå hvordan du gjør dette, la oss utvide modulen.

Derfor, for funksjonsverdier med ikke-negative argumentverdier, vil ingen endringer skje. Når det gjelder den andre ligningen, vet vi at den oppnås ved å kartlegge den symmetrisk om y-aksen. vi har en graf over funksjonen:

Ris. 6. Illustrasjon for algoritmen

Eksempel 3 - plott en funksjon:

I henhold til algoritmen må du først bygge en graf av den submodulære funksjonen, vi har allerede bygget den (se figur 1)

Ris. 7. Graf av en funksjon, for eksempel 3

Eksempel 4 - finn antall røtter til en ligning med en parameter:

Husk at å løse en ligning med en parameter betyr å gå gjennom alle verdiene til parameteren og angi svaret for hver av dem. Vi handler etter metodikken. Først bygger vi en graf av funksjonen, dette har vi allerede gjort i forrige eksempel (se figur 7). Deretter må du dissekere grafen med en familie av linjer for forskjellige a, finne skjæringspunktene og skrive ned svaret.

Ser vi på grafen, skriver vi ut svaret: når og ligningen har to løsninger; når ligningen har én løsning; når ligningen ikke har noen løsninger.

Hjem > Litteratur

Kommunal utdanningsinstitusjon

"Gjennomsnitt omfattende skole nr. 24"

Problembasert abstrakt arbeid

om algebra og analyseprinsipper

Grafer over rasjonelle brøkfunksjoner

Elever i klasse 11 A Tovchegrechko Natalya Sergeevna arbeidsveileder Valentina Vasilievna Parsheva matematikklærer, lærer i høyeste kvalifikasjonskategori

Severodvinsk

Innhold 3Innledning 4Hoveddel. Grafer over brøk-rasjonelle funksjoner 6 Konklusjon 17 Litteratur 18

Introduksjon

Plotte funksjonsgrafer er en av de de mest interessante temaene i skolematematikk. En av vår tids største matematikere, Israel Moiseevich Gelfand, skrev: «Prosessen med å konstruere grafer er en måte å transformere formler og beskrivelser til geometriske bilder. Denne grafen er et middel til å se formler og funksjoner og se hvordan disse funksjonene endres. For eksempel, hvis det er skrevet y=x 2, så ser du umiddelbart en parabel; hvis y=x 2 -4, ser du en parabel senket med fire enheter; hvis y=4-x 2, så ser du forrige parabel skrudd ned. Denne evnen til å se både en formel og dens geometriske tolkning på en gang er viktig ikke bare for å studere matematikk, men også for andre fag. Det er en ferdighet som blir med deg hele livet, akkurat som evnen til å sykle, skrive eller kjøre bil.» I matematikktimer bygger vi hovedsakelig de enkleste grafene - grafer over elementære funksjoner. Først i 11. klasse lærte de å konstruere mer komplekse funksjoner ved hjelp av deriverte. Når du leser bøker:

skolekurs

Hensikt med arbeidet: å studere relevante teoretiske materialer, identifisere en algoritme for å konstruere grafer for brøk-lineære og brøk-rasjonelle funksjoner. Mål: 1. formulere begrepene brøk-lineære og brøk-rasjonelle funksjoner basert på teoretisk materiale om dette emnet; 2. finne metoder for å konstruere grafer for brøk-lineære og brøk-rasjonelle funksjoner.

Hoveddel. Grafer over rasjonelle brøkfunksjoner

1. Brøk - lineær funksjon og dens graf

Vi har allerede blitt kjent med en funksjon av formen y=k/x, hvor k≠0, dens egenskaper og graf. La oss ta hensyn til en funksjon ved denne funksjonen. Funksjon y=k/x på settet positive tall har egenskapen at med en ubegrenset økning i verdiene til argumentet (når x har en tendens til pluss uendelig), har verdiene til funksjonene, mens de forblir positive, en tendens til null. Når positive verdier av argumentet avtar (når x har en tendens til null), øker funksjonsverdiene uten grense (y har en tendens til pluss uendelig). Et lignende bilde er observert i settet negative tall. På grafen (fig. 1) er denne egenskapen uttrykt i det faktum at punktene til hyperbelen, når de beveger seg bort til det uendelige (til høyre eller venstre, opp eller ned) fra opprinnelsen til koordinatene, på ubestemt tid nærmer seg rettlinjen. linje: x-aksen, når │x│ har en tendens til pluss uendelig, eller til y-aksen når │x│ har en tendens til null. Denne linjen kalles asymptoter av kurven.

Ris. 1

Hyperbelen y=k/x har to asymptoter: x-aksen og y-aksen. Konseptet med asymptote spiller viktig rolle når du konstruerer grafer for mange funksjoner. Ved å bruke transformasjonene av funksjonsgrafer som er kjent for oss, kan vi flytte hyperbelen y=k/x i koordinatplanet til høyre eller venstre, opp eller ned. Som et resultat vil vi få nye funksjonsgrafer. Eksempel 1. La y=6/x. La oss flytte denne hyperbelen til høyre med 1,5 enheter, og deretter flytte den resulterende grafen opp 3,5 enheter. Med denne transformasjonen vil også asymptotene til hyperbelen y=6/x forskyves: x-aksen vil gå inn i den rette linjen y=3,5, y-aksen inn i den rette linjen y=1,5 (fig. 2). Funksjonen hvis graf vi har plottet kan spesifiseres med formelen

La oss representere uttrykket på høyre side av denne formelen som en brøk:

Dette betyr at figur 2 viser en graf over funksjonen gitt av formelen

Denne brøken har en teller og en nevner som er lineære binomialer med hensyn til x. Slike funksjoner kalles lineære brøkfunksjoner.

Generelt, en funksjon definert av en formel av skjemaet
, Hvor
x er en variabel, a,b, c, d– gitte tall, med c≠0 og
f.Kr- annonse≠0 kalles en lineær brøkfunksjon. Merk at kravet i definisjonen om at c≠0 og
bc-ad≠0, signifikant. Når c=0 og d≠0 eller bc-ad=0 får vi en lineær funksjon. Faktisk, hvis c=0 og d≠0, så

Hvis bc-ad=0, c≠0, uttrykker b fra denne likheten gjennom a, c og d og erstatter den med formelen, får vi:

Så i det første tilfellet fikk vi en lineær funksjon generelt syn
, i det andre tilfellet – en konstant
. La oss nå vise hvordan man plotter en lineær brøkfunksjon hvis den er gitt av en formel på formen
Eksempel 2. La oss plotte funksjonen
, dvs. la oss presentere det i skjemaet
: vi velger hele delen av brøken, og deler telleren med nevneren, får vi:

Så,
. Vi ser at grafen til denne funksjonen kan hentes fra grafen til funksjonen y=5/x ved å bruke to påfølgende skift: å flytte hyperbelen y=5/x til høyre med 3 enheter, og deretter skifte den resulterende hyperbelen
opp med 2 enheter Med disse skiftene vil også asymptotene til hyperbelen y = 5/x bevege seg: x-aksen 2 enheter opp, og y-aksen 3 enheter til høyre. For å konstruere en graf tegner vi asymptoter i koordinatplanet med en stiplet linje: rett linje y=2 og rett linje x=3. Siden hyperbelen består av to grener, for å konstruere hver av dem vil vi komponere to tabeller: en for x<3, а другую для x>3 (dvs. den første er til venstre for skjæringspunktet mellom asymptotene, og den andre er til høyre for den):

Ved å markere punktene i koordinatplanet hvis koordinater er angitt i den første tabellen og koble dem med en jevn linje, får vi en gren av hyperbelen. På samme måte (ved å bruke den andre tabellen) får vi den andre grenen av hyperbelen. Funksjonsgrafen er vist i figur 3.

Jeg liker hvilken som helst brøkdel
kan skrives på lignende måte, og fremhever hele delen. Følgelig er grafene for alle lineære brøkfunksjoner hyperbler, forskjøvet på forskjellige måter parallelt med koordinataksene og strukket langs Oy-aksen.

Eksempel 3.

La oss plotte funksjonen
.Siden vi vet at grafen er en hyperbel, er det nok å finne de rette linjene som dens grener (asymptoter) nærmer seg, og noen flere punkter. La oss først finne den vertikale asymptoten. Funksjonen er ikke definert der 2x+2=0, dvs. ved x=-1. Derfor er den vertikale asymptoten den rette linjen x = -1. For å finne den horisontale asymptoten, må du se på hva funksjonsverdiene nærmer seg når argumentet øker (i absolutt verdi), de andre leddene i telleren og nevneren til brøken
relativt liten. Derfor

Derfor er den horisontale asymptoten den rette linjen y=3/2. La oss bestemme skjæringspunktene til hyperbelen vår med koordinataksene. Ved x=0 har vi y=5/2. Funksjonen er lik null når 3x+5=0, dvs. ved x = -5/3. Etter å ha markert punktene (-5/3;0) og (0;5/2) på tegningen og tegnet de funnet horisontale og vertikale asymptotene, vil vi konstruere en graf (fig. 4). .

Generelt, for å finne den horisontale asymptoten, må du dele telleren med nevneren, så er y=3/2+1/(x+1), y=3/2 er den horisontale asymptoten.

2. Fraksjonell rasjonell funksjon

Tenk på den rasjonelle brøkfunksjonen

Der telleren og nevneren er polynomer av n-te og mnd grad. La brøken være en egen brøk (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и при том единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:Если:

Hvor k 1 ... k s er røttene til polynomet Q (x), som har henholdsvis multiplisiteter m 1 ... m s, og trinomialene tilsvarer konjugasjonsparene komplekse røtter Q (x) multiplisitet m 1 ... m t av en brøkdel av formen

Kalt elementært rasjonelle brøker henholdsvis den første, andre, tredje og fjerde typen. Her er A, B, C, k reelle tall; m og m - naturlige tall, m, m>1; et trinomium med reelle koeffisienter x 2 +px+q har imaginære røtter. Det er klart at grafen til en brøk-rasjonell funksjon kan fås som summen av grafer av elementære brøker. Graf av en funksjon

Vi får fra grafen til funksjonen 1/x m (m~1, 2, ...) ved å bruke parallell translasjon langs abscisseaksen med │k│ skalaenheter til høyre. Graf av en funksjon av formen

Det er enkelt å konstruere hvis du velger i nevneren perfekt firkant, og utfør deretter den tilsvarende dannelsen av grafen til funksjonen 1/x 2. Tegne grafer for en funksjon

kommer ned til å konstruere produktet av grafer av to funksjoner:

y= Bx+ C Og

Kommentar. Tegne grafer for en funksjon

Hvor a d-b c 0 ,
,

hvor n - naturlig tall, kan utføres av generell ordning forske på en funksjon og plotte en graf i noen spesifikke eksempler Du kan konstruere en graf med hell ved å utføre passende graftransformasjoner; beste måten gi metoder for høyere matematikk. Eksempel 1. Tegn graf funksjonen

Etter å ha isolert hele delen, har vi det

Brøkdel
La oss representere det som en sum av elementære brøker:

La oss bygge grafer over funksjoner:

Etter å ha lagt til disse grafene får vi en graf av den gitte funksjonen:

Figurene 6, 7, 8 viser eksempler på å konstruere funksjonsgrafer
Og
. Eksempel 2. Tegne grafer for en funksjon
:

(1);
(2);
(3); (4)

Eksempel 3. Plotte grafen til en funksjon

(1);
(2);
(3); (4)

Konklusjon

Når du utfører abstrakt arbeid: - klargjorde begrepene hennes om brøk-lineære og brøk-rasjonelle funksjoner: Definisjon 1. En lineær brøkfunksjon er en funksjon av formen , der x er en variabel, a, b, c og d er gitt tall, med c≠0 og bc-ad≠0. Definisjon 2. En rasjonell brøkfunksjon er en funksjon av formen

Hvor n

Laget en algoritme for å plotte grafer for disse funksjonene;

Fått erfaring med å plotte funksjoner som:

;

Jeg lærte å jobbe med tilleggslitteratur og materialer, velge vitenskapelig informasjon; - Jeg fikk erfaring med å utføre grafisk arbeid på en datamaskin; - Jeg lærte å skrive problembasert abstrakt arbeid.

Merknad. På tampen av det 21. århundre ble vi bombardert med en endeløs strøm av prat og spekulasjoner om informasjonsmotorveien og den kommende teknologien.

På tampen av det 21. århundre ble vi bombardert med en endeløs strøm av prat og spekulasjoner om informasjonsmotorveien og den kommende teknologien.

Valgfag er en av formene for organisering av pedagogiske, kognitive og pedagogiske forskningsaktiviteter til elever på videregående skoler

Dokument

Denne samlingen er den femte utgaven utarbeidet av teamet til Moskva City Pedagogical Gymnasium-Laboratory nr. 1505 med støtte fra…….

Matematikk og erfaring

Bok

Oppgaven forsøker en storstilt sammenligning av ulike tilnærminger til forholdet mellom matematikk og erfaring, som hovedsakelig har utviklet seg innenfor rammen av apriorisme og empirisme.

Funksjon y = og dens graf.

MÅL:

1) introduser definisjonen av funksjonen y = ;

2) lære hvordan du bygger en graf av funksjonen y = ved å bruke Agrapher-programmet;

3) utvikle evnen til å konstruere skisser av grafer for funksjonen y = ved å bruke transformasjonsegenskapene til funksjonsgrafer;

I. Nytt materiale - en utvidet samtale.

U: La oss vurdere funksjonene definert av formlene y = ; y = ; y = .

Hva er uttrykkene skrevet på høyre side av disse formlene?

D: Høyresidene av disse formlene har form av en rasjonell brøk, der telleren er et binomial av første grad eller et annet tall enn null, og nevneren er et binomial av første grad.

U: Slike funksjoner er vanligvis spesifisert av en formel av skjemaet

Tenk på tilfellene når a) c = 0 eller c) = .

(Hvis i det andre tilfellet elevene opplever vanskeligheter, må du be dem om å uttrykke seg Med fra en gitt proporsjon og deretter erstatte det resulterende uttrykket med formel (1)).

D1: Hvis c = 0, så er y = x + b en lineær funksjon.

D2: Hvis = , så c = . Erstatter verdien Med i formel (1) får vi:

Det vil si at y = er en lineær funksjon.

Y: En funksjon som kan spesifiseres med en formel på formen y =, hvor bokstaven x angir en uavhengig

Denne variabelen, og bokstavene a, b, c og d er vilkårlige tall, og c0 og ad er alle 0, kalles en lineær brøkfunksjon.

La oss vise at grafen til en lineær brøkfunksjon er en hyperbel.

Eksempel 1. La oss bygge en graf av funksjonen y = . La oss skille hele delen fra brøken.

Vi har: = = = 1 + .

Grafen til funksjonen y = +1 kan hentes fra grafen til funksjonen y = ved å bruke to parallelle translasjoner: et skift på 2 enheter til høyre langs X-aksen og et skift på 1 enhet oppover i retning av Y Med disse forskyvningene vil asymptotene til hyperbelen y = bevege seg: rett linje x = 0 (dvs. Y-aksen) er 2 enheter til høyre, og den rette linjen y = 0 (dvs. X-aksen) er én enhet opp. Før vi konstruerer en graf, la oss tegne asymptotene på koordinatplanet med en stiplet linje: rette linjer x = 2 og y = 1 (fig. 1a). Tatt i betraktning at hyperbelen består av to grener, for å konstruere hver av dem vil vi ved å bruke Agrapher-programmet lage to tabeller: en for x>2, og den andre for x<2.

X	1	0	-1	-2	-4	-10
på	-5	-2	-1	-0,5	0	0,5
X	3	4	5	6	8	12
på	7	4	3	2,5	2	1,6

La oss merke (ved hjelp av Agrapher-programmet) punkter i koordinatplanet, hvis koordinater er registrert i den første tabellen, og koble dem med en jevn kontinuerlig linje. Vi får en gren av hyperbelen. På samme måte, ved å bruke den andre tabellen, får vi den andre grenen av hyperbelen (fig. 1b).

Eksempel 2. La oss bygge en graf av funksjonen y = - La oss isolere hele delen fra brøken ved å dele binomialet 2x + 10 med binomialet x + 3. Vi får = 2 + . Derfor er y = -2.

Grafen til funksjonen y = --2 kan hentes fra grafen til funksjonen y = - ved å bruke to parallelle translasjoner: et skift på 3 enheter til venstre og et skift på 2 enheter ned. Asymptotene til hyperbelen er rette linjer x = -3 og y = -2. La oss lage (ved hjelp av Agrapher-programmet) tabeller for x<-3 и для х>-3.

X	-2	-1	1	2	7
på	-6	-4	-3	-2,8	-2,4
X	-4	-5	-7	-8	-11
på	2	0	-1	-1,2	-1,5

Ved å konstruere (bruke Agrapher-programmet) punkter i koordinatplanet og tegne grenene til hyperbelen gjennom dem, får vi en graf av funksjonen y = - (fig. 2).

U: Hva er grafen til en lineær brøkfunksjon?

D: Grafen til enhver lineær brøkfunksjon er en hyperbel.

T: Hvordan tegne en lineær brøkfunksjon?

D: Grafen til en lineær brøkfunksjon er hentet fra grafen til funksjonen y = ved bruk av parallelle translasjoner langs koordinataksene, grenene til hyperbelen til den lineære brøkfunksjonen er symmetriske om punktet (-. Den rette linjen x = kalles den vertikale asymptoten til hyperbelen Den rette linjen y = kalles den horisontale asymptoten.

T: Hva er definisjonsdomenet til en lineær brøkfunksjon?

T: Hva er verdiområdet til en lineær brøkfunksjon?

D: E(y) = .

T: Har funksjonen nuller?

D: Hvis x = 0, så f(0) = , d. Det vil si at funksjonen har nuller - punkt A.

T: Har grafen til en lineær brøkfunksjon skjæringspunkter med X-aksen?

D: Hvis y = 0, så er x = -. Dette betyr at hvis a, så har skjæringspunktet med X-aksen koordinater. Hvis a = 0, b, har grafen til den lineære brøkfunksjonen ingen skjæringspunkter med abscisseaksen.

U: Funksjonen reduseres over intervaller for hele definisjonsdomenet hvis bc-ad > 0 og øker over intervaller for hele definisjonsdomenet hvis bc-ad< 0. Но это немонотонная функция.

Spørsmål: Er det mulig å angi de største og minste verdiene til en funksjon?

D: Funksjonen har ikke de største og minste verdiene.

T: Hvilke linjer er asymptotene til grafen til en lineær brøkfunksjon?

D: Den vertikale asymptoten er den rette linjen x = -; og den horisontale asymptoten er den rette linjen y = .

(Elevene skriver ned alle generaliserende konklusjoner, definisjoner og egenskaper ved en lineær brøkfunksjon i en notatbok)

II. Konsolidering.

Når du konstruerer og "leser" grafer av lineære brøkfunksjoner, brukes egenskapene til Agrapher-programmet

III. Pedagogisk selvstendig arbeid.

Finn sentrum av hyperbelen, asymptoter og tegn grafen for funksjonen:

a) y = b) y = c) y = ; d) y = ; e) y =; e) y =;

g) y = h) y = -

Hver elev jobber i sitt eget tempo. Om nødvendig gir læreren hjelp ved å stille spørsmål, svarene på dette vil hjelpe eleven med å fullføre oppgaven riktig.

Laboratorie- og praktisk arbeid med å studere egenskapene til funksjonene y = og y = og egenskapene til grafene til disse funksjonene.

MÅL: 1) fortsette å utvikle ferdighetene til å bygge grafer for funksjonene y = og y = ved å bruke Agrapher-programmet;

2) konsolidere ferdighetene til å "lese grafer" av funksjoner og evnen til å "forutsi" endringer i grafer under ulike transformasjoner av lineære brøkfunksjoner.

I. Differensiert repetisjon av egenskapene til en lineær brøkfunksjon.

Hver elev får utdelt et kort – en utskrift med oppgaver. Alle konstruksjoner utføres ved hjelp av Agrapher-programmet. Resultatene av hver oppgave diskuteres umiddelbart.

Hver elev, ved hjelp av selvkontroll, kan justere resultatene som oppnås når de fullfører en oppgave og be om hjelp fra en lærer eller studentkonsulent.

Finn verdien av argumentet X hvor f(x) =6; f(x) = -2,5.

3. Konstruer en graf av funksjonen y = Bestem om punktet tilhører grafen til denne funksjonen: a) A(20;0,5); b) B(-30;-); c) C(-4;2,5); d) D(25;0,4)?

4. Konstruer en graf for funksjonen y = Finn intervallene der y>0 og hvor y<0.

5. Tegn grafen for funksjonen y = . Finn domene og rekkevidde for funksjonen.

6. Angi asymptotene til hyperbelen - grafen til funksjonen y = -. Lag en graf.

7. Tegn grafen for funksjonen y = . Finn nullpunktene til funksjonen.

II Laboratorie- og praktisk arbeid.

Hver elev får 2 kort: kort nr. 1 "Bruksanvisning" med en plan etter hvilken arbeidet gjøres, og teksten med oppgave og kort nr. 2 “ Funksjonelle studieresultater ”.

Tegn en graf av den angitte funksjonen.
Finn domenet til funksjonen.
Finn rekkevidden til funksjonen.
Angi asymptotene til hyperbelen.
Finn nullpunktene til funksjonen (f(x) = 0).
Finn skjæringspunktet for hyperbelen med X-aksen (y = 0).

7. Finn intervallene der: a) y<0; б) y>0.

8. Angi intervallene for økning (reduksjon) av funksjonen.

jeg alternativ.

Bruk Agrapher-programmet til å konstruere en graf av funksjonen og utforske dens egenskaper:

a) y = b) y = - c) y = d) y = e) y = f) y = . -5-

Populær

Parthenogenese - teknikk for den ulastelige unnfangelsen

« Konseptet med partenogenese Under befruktning frigjør sædcellene egget fra dets hviletilstand og det begynner å utvikle seg. Men i naturen er det tilfeller... »

Historien om de tre brødrene som ga de tre brødrene Harry Potter-tilbehør

« En gang i tiden bodde det Three Brothers of a Wizard, og en dag trengte de å krysse en elv; de kunne ikke svømme over den, den var for bred og dyp. Og brødre... »

De Broglie antok at partikler av materie

« O.S.Ageeva, T.N.Stroganova, K.S.Chemezova ELEMENTER AV KVANTEMEKANIKK OG FASTSTANDSFYSIKK Tyumen. 2009 UDC 537(075):621.38 Ageeva O.S.,... »