Критерии за делимост на естествените числа.
Числата, които се делят на 2 без остатък, се наричатдори .
Числата, които не се делят равномерно на 2, се наричатстранно .
Тест за делимост на 2
Ако едно естествено число завършва с четна цифра, то това число се дели на 2 без остатък, а ако едно число завършва с нечетна цифра, то това число не се дели на 2 по равно.
Например числата 60 , 30 8 , 8 4 се делят на 2 без остатък, а числата са 51 , 8 5 , 16 7 не се делят на 2 без остатък.
Тест за делимост на 3
Ако сборът от цифрите на едно число се дели на 3, то числото се дели на 3; Ако сумата от цифрите на едно число не се дели на 3, то числото не се дели на 3.
Например, нека разберем дали числото 2772825 се дели на 3. За целта нека изчислим сумата от цифрите на това число: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - дели се на 3. Това означава, че числото 2772825 се дели на 3.
Тест за делимост на 5
Ако записът на едно естествено число завършва с цифрата 0 или 5, то това число се дели на 5 без остатък. Ако записът на дадено число завършва с друга цифра, то числото не се дели на 5 без остатък.
Например числата 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 се делят на 5 без остатък, а числата са 17 , 37 8 , 9 1 не споделяй.
Тест за делимост на 9
Ако сборът от цифрите на едно число се дели на 9, то числото се дели на 9; Ако сумата от цифрите на едно число не се дели на 9, то числото не се дели на 9.
Например, нека разберем дали числото 5402070 се дели на 9. За целта нека изчислим сумата от цифрите на това число: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - не се дели на 9 . Това означава, че числото 5402070 не се дели на 9.
Тест за делимост на 10
Ако едно естествено число завършва с цифрата 0, то това число се дели на 10 без остатък. Ако едно естествено число завършва с друга цифра, то не се дели равномерно на 10.
Например числата 40 , 17 0 , 1409 0 се делят на 10 без остатък, а числата 17 , 9 3 , 1430 7 - не споделяйте.
Правилото за намиране на най-голям общ делител (НОД).
За да намерите най-големия общ делител на няколко естествени числа, трябва:
2) от факторите, включени в разширяването на едно от тези числа, зачеркнете онези, които не са включени в разширяването на други числа;
3) намерете произведението на останалите множители.
Пример. Нека намерим НОД (48;36). Нека използваме правилото.
1. Нека разложим числата 48 и 36 на прости множители.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
36 = 2 · 2 · 3 · 3
2. От факторите, включени в разширението на числото 48, изтриваме тези, които не са включени в разширението на числото 36.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
Останалите фактори са 2, 2 и 3.
3. Умножете останалите множители и получете 12. Това число е най-големият общ делител на числата 48 и 36.
НОД (48;36) = 2· 2 · 3 = 12.
Правилото за намиране на най-малкото общо кратно (LCM).
За да намерите най-малкото общо кратно на няколко естествени числа, трябва:
1) разложете ги на прости множители;
2) запишете факторите, включени в разширяването на едно от числата;
3) добавете към тях липсващите множители от разширенията на останалите числа;
4) намерете произведението на получените фактори.
Пример.Нека намерим LOC (75;60). Нека използваме правилото.
1. Нека разложим числата 75 и 60 на прости множители.
75 = 3 · 5 · 5
60 = 2 · 2 · 3 · 3
2. Нека запишем коефициентите, включени в разширението на числото 75: 3, 5, 5.
LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · …
3. Добавете към тях липсващите множители от разгъването на числото 60, т.е. 2, 2.
LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2
4. Намерете произведението на получените множители
LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.
Най-малкото общо кратно на две числа е пряко свързано с най-големия общ делител на тези числа. Това връзка между GCD и NOCсе определя от следната теорема.
Теорема.
Най-малкото общо кратно на две цели положителни числа a и b е равно на произведението от a и b, делено на най-големия общ делител на a и b, т.е. LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).
Доказателство.
Позволявам M е някакво кратно на числата a и b. Тоест, M се дели на a и според определението за делимост има някакво цяло число k, така че равенството M=a·k да е вярно. Но M също се дели на b, тогава a·k се дели на b.
Нека обозначим gcd(a, b) като d. Тогава можем да запишем равенствата a=a 1 ·d и b=b 1 ·d, и a 1 =a:d и b 1 =b:d ще бъдат относително прости числа. Следователно условието, получено в предходния параграф, че a · k се дели на b, може да бъде преформулирано, както следва: a 1 · d · k се дели на b 1 · d и това, поради свойствата на делимост, е еквивалентно на условието че a 1 · k се дели на b 1 .
Трябва също така да запишете две важни следствия от разглежданата теорема.
Общите кратни на две числа са същите като кратните на тяхното най-малко общо кратно.
Това наистина е така, тъй като всяко общо кратно на M на числата a и b се определя от равенството M=LMK(a, b)·t за някакво цяло число t.
Най-малкото общо кратно на взаимно прости положителни числа a и b е равно на тяхното произведение.
Обосновката на този факт е съвсем очевидна. Тъй като a и b са относително прости, тогава gcd(a, b)=1, следователно, НОД(a, b)=a b: НОД(a, b)=a b:1=a b.
Най-малко общо кратно на три или повече числа
Намирането на най-малкото общо кратно на три или повече числа може да се сведе до последователно намиране на LCM на две числа. Как се прави това е показано в следната теорема 1 , a 2 , …, a k съвпадат с общите кратни на числата m k-1 и a k съвпадат с общите кратни на числото m k . И тъй като най-малкото положително кратно на числото m k е самото число m k, тогава най-малкото общо кратно на числата a 1, a 2, ..., a k е m k.
Библиография.
- Виленкин Н.Я. и други. 6 клас: учебник за общообразователните институции.
- Виноградов I.M. Основи на теорията на числата.
- Михелович Ш.Х. Теория на числата.
- Куликов Л.Я. и др. Сборник задачи по алгебра и теория на числата: Урокза студенти по физика и математика. специалности на педагогически институти.
Математическите изрази и задачи изискват много допълнителни знания. NOC е един от основните, особено често използван в Темата се изучава в гимназията и не е особено трудна за разбиране на материала; няма да е трудно за човек, запознат със степени и таблици за умножение задължителни числаи открийте резултата.
Определение
Общо кратно е число, което може да бъде напълно разделено на две числа едновременно (a и b). Най-често това число се получава чрез умножаване на оригиналните числа a и b. Числото трябва да се дели на двете числа едновременно, без отклонения.
NOC е приетото обозначение кратко име, събрани от първите букви.
Начини за получаване на номер
Методът за умножение на числа не винаги е подходящ за намиране на LCM; той е много по-подходящ за прости едноцифрени или двуцифрени числа. Обичайно е да се разделя на фактори; колкото по-голямо е числото, толкова повече фактори ще има.
Пример #1
Като най-прост пример, училищата обикновено използват прости, едно- или двуцифрени числа. Например, трябва да решите следната задача, намерете най-малкото общо кратно на числата 7 и 3, решението е съвсем просто, просто ги умножете. В резултат на това има число 21, просто няма по-малко число.
Пример №2
Вторият вариант на задачата е много по-труден. Дадени са числата 300 и 1260, намирането на LOC е задължително. За решаване на проблема се предполагат следните действия:
Разлагане на първо и второ число на прости множители. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7. Първият етап е завършен.
Вторият етап включва работа с вече получени данни. Всяко от получените числа трябва да участва в изчисляването на крайния резултат. За всеки множител най-много голямо числосъбития. НОК е общ брой, следователно факторите от числата трябва да се повтарят в него, всеки един, дори тези, които присъстват в един екземпляр. И двете начални числа съдържат числата 2, 3 и 5, в различни степени, 7 присъства само в един случай.
За да изчислите крайния резултат, трябва да вземете всяко число в най-голямата от степените, представени в уравнението. Всичко, което остава, е да умножите и да получите отговора, с правилно попълванеЗадачата се вписва в две стъпки без обяснение:
1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.
2) NOC = 6300.
Това е целият проблем, ако се опитате да изчислите необходимото число чрез умножение, тогава отговорът определено няма да е правилен, тъй като 300 * 1260 = 378 000.
Преглед:
6300 / 300 = 21 - правилно;
6300 / 1260 = 5 - правилно.
Правилността на получения резултат се определя чрез проверка - разделяне на ННК на двете начални числа; ако и в двата случая числото е цяло, то отговорът е верен.
Какво означава NOC в математиката?
Както знаете, в математиката няма нито една безполезна функция, тази не е изключение. Най-честата цел на това число е да се сведат дроби до общ знаменател. Какво обикновено се изучава в 5-6 клас гимназия. Освен това е общ делител за всички кратни, ако такива условия присъстват в проблема. Такъв израз може да намери кратно не само на две числа, но и на много по-голямо число - три, пет и т.н. как още числа- колкото повече действия има в задачата, но сложността не се увеличава.
Например, като се имат предвид числата 250, 600 и 1500, трябва да намерите техния общ LCM:
1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - този пример описва разлагането на множители в детайли, без редукция.
2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;
3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;
За да се състави израз, е необходимо да се споменат всички множители, в случая са дадени 2, 5, 3 - за всички тези числа е необходимо да се определи максималната степен.
Внимание: всички фактори трябва да бъдат доведени до точката на пълно опростяване, ако е възможно, разложени до едноцифрено ниво.
Преглед:
1) 3000 / 250 = 12 - правилно;
2) 3000 / 600 = 5 - вярно;
3) 3000 / 1500 = 2 - правилно.
Този метод не изисква никакви трикове или способности на ниво гений, всичко е просто и ясно.
Друг начин
В математиката много неща са свързани, много неща могат да бъдат решени по два или повече начина, същото важи и за намирането на най-малкото общо кратно, LCM. Следващ методможе да се използва в случай на прости двуцифрени и едноцифрени числа. Съставя се таблица, в която множителят се въвежда вертикално, множителят хоризонтално, а произведението се посочва в пресичащите се клетки на колоната. Можете да отразявате таблицата с помощта на линия, да вземете число и да запишете резултатите от умножаването на това число с цели числа, от 1 до безкрайност, понякога са достатъчни 3-5 точки, второто и следващите числа преминават през същия изчислителен процес. Всичко се случва, докато се намери общо кратно.
Имайки предвид числата 30, 35, 42, трябва да намерите LCM, свързващ всички числа:
1) Кратни на 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 и т.н.
2) Кратни на 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 и т.н.
3) Кратни на 42: 84, 126, 168, 210, 252 и т.н.
Прави впечатление, че всички числа са доста различни, единственото често срещано число сред тях е 210, така че това ще бъде НОК. Сред процесите, включени в това изчисление, има и най-голям общ делител, който се изчислява съгласно подобни принципи и често се среща в съседни задачи. Разликата е малка, но доста значителна, LCM включва изчисляване на число, което е разделено на всички зададени начални стойности, а GCD включва изчисляване най-висока стойностна които са разделени оригиналните числа.
Ланцинова Аиса
Изтегли:
Преглед:
За да използвате визуализации на презентации, създайте акаунт за себе си ( сметка) Google и влезте: https://accounts.google.com
Надписи на слайдове:
Задачи по GCD и LCM на числа. Работа на ученик от 6 клас на MCOU "Камишовска гимназия" Ланцинова Айса Ръководител Зоя Ерднигоряевна Горяева, учител по математика стр. Камишово, 2013г
Пример за намиране на НОД на числата 50, 75 и 325. 1) Нека разложим числата 50, 75 и 325 на прости множители. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 2) От факторите, включени в разгръщането на едно от тези числа, задраскваме тези, които не са включени в разгръщането на останалите . 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 3) Намерете произведението на останалите множители 5 ∙ 5 = 25 Отговор: НОД (50, 75 и 325) = 25 Най-голям естествено число, на което числата a и b се делят без остатък, се нарича най-голям общ делител на тези числа.
Пример за намиране на LCM на числата 72, 99 и 117. 1) Нека разложим числата 72, 99 и 117 на прости множители 72 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 99 = 3 ∙ 3 ∙ 11. 117 = 3 ∙ 3 ∙13 2) Запишете множителите, включени в разширяването на едно от числата 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3, и добавете към тях липсващите множители на останалите числа. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) Намерете произведението на получените множители. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 Отговор: LCM (72, 99 и 117) = 10296 Най-малкото общо кратно на естествените числа a и b е най-малкото естествено число, кратно на a и б.
Листът от картон има формата на правоъгълник, чиято дължина е 48 см, а ширината е 40 см. Този лист трябва да бъде нарязан без отпадъци равни квадратчета. Кои са най-големите квадрати, които могат да се получат от този работен лист и колко? Решение: 1) S = a ∙ b – площ на правоъгълника. S= 48 ∙ 40 = 1960 cm². – площ от картон. 2) a – страна на квадрата 48: a – броят на квадратите, които могат да бъдат положени по дължината на картона. 40: a – броят на квадратите, които могат да бъдат положени по ширината на картона. 3) НОД (40 и 48) = 8 (см) – страната на квадрата. 4) S = a² – площ на един квадрат. S = 8² = 64 (cm²) – площ на един квадрат. 5) 1960: 64 = 30 (брой квадратчета). Отговор: 30 квадрата със страна 8 см всеки. Проблеми с GCD
Камината в стаята трябва да бъде облицована с плочки във формата на квадрат. Колко плочки ще са необходими за камина с размери 195 ͯ 156 cm и какви са те? най-големи размериплочки? Решение: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (cm²) – S от повърхността на камината. 2) НОД (195 и 156) = 39 (cm) – страна на плочката. 3) S = a² = 39² = 1521 (cm²) – площ на 1 плочка. 4) 30420: = 20 (парчета). Отговор: 20 плочки с размери 39 ͯ 39 (cm). Проблеми с GCD
Градина с размери 54 ͯ m около периметъра трябва да бъде оградена, направете това, трябва да поставите бетонни стълбове на равни интервали. Колко стълба трябва да се донесат за обекта и на какво максимално разстояниеСтълбовете ще бъдат ли отделени един от друг? Решение: 1) P = 2(a + b) – периметър на площадката. P = 2(54 + 48) = 204 m 2) НОД (54 и 48) = 6 (m) – разстоянието между стълбовете. 3) 204: 6 = 34 (стълбове). Отговор: 34 стълба, на разстояние 6 m задачи
Бяха събрани букети от 210 бордо, 126 бели и 294 червени рози, като всеки букет съдържа равен брой рози от същия цвят. Който най-голямото числоот тези рози са направени букети и колко рози от всеки цвят има в един букет? Решение: 1) НОД (210, 126 и 294) = 42 (букети). 2) 210: 42 = 5 (бордо рози). 3) 126: 42 = 3 (бели рози). 4) 294: 42 = 7 (червени рози). Отговор: 42 букета: 5 бордо, 3 бели, 7 червени рози във всеки букет. Проблеми с GCD
Таня и Маша купиха същия брой пощенски комплекти. Таня плати 90 рубли, а Маша плати 5 рубли. Повече ▼. Колко струва един комплект? Колко комплекта е купил всеки човек? Решение: 1) 90 + 5 = 95 (руб.) Маша плати. 2) GCD (90 и 95) = 5 (рубли) – цена на 1 комплект. 3) 980: 5 = 18 (комплекти) – закупени от Таня. 4) 95: 5 = 19 (комплекти) – закупено от Маша. Отговор: 5 рубли, 18 комплекта, 19 комплекта. Проблеми с GCD
От пристанищния град започват три туристически разходки с корабче, първото от които е с продължителност 15 дни, второто – 20 и третото – 12 дни. След като се върнаха в пристанището, корабите потеглиха отново в същия ден. Днес от пристанището тръгнаха кораби и по трите маршрута. След колко дни отново ще плават заедно за първи път? Колко пътувания ще направи всеки кораб? Решение: 1) NOC (15,20 и 12) = 60 (дни) – време за среща. 2) 60: 15 = 4 (плавания) – 1 кораб. 3) 60: 20 = 3 (плавания) – 2 кораба. 4) 60: 12 = 5 (полети) – 3 кораба. Отговор: 60 дни, 4 полета, 3 полета, 5 полета. Задачи на НОК
Маша купи яйца за Мечето от магазина. По пътя към гората тя разбрала, че броят на яйцата се дели на 2,3,5,10 и 15. Колко яйца е купила Маша? Решение: LOC (2;3;5;10;15) = 30 (яйца) Отговор: Маша купи 30 яйца. Задачи на НОК
Необходимо е да направите кутия с квадратно дъно, за да поберете кутии с размери 16 ͯ 20 см. Каква е най-късата дължина на страната на квадратното дъно, за да паснат кутиите плътно в кутията? Решение: 1) LCM (16 и 20) = 80 (кутии). 2) S = a ∙ b – площ на 1 кутия. S = 16 ∙ 20 = 320 (cm²) – площ на дъното на 1 кутия. 3) 320 ∙ 80 = 25600 (cm²) - площта на дъното на квадрата. 4) S = a² = a ∙ a 25600 = 160 ∙ 160 – размерите на кутията. Отговор: 160 см е страната на дъното на квадрата. Задачи на НОК
По протежение на пътя от точка К има стълбове на всеки 45 м. Те решиха да сменят тези стълбове с други, като ги поставиха на разстояние 60 м един от друг. Колко стълба имаше и колко ще има? Решение: 1) LCM (45 и 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 – имаше стълбове. 3) 180: 60 = 3 – станаха стълбове. Отговор: 4 стълба, 3 стълба. Задачи на НОК
Колко войници маршируват на плаца, ако маршируват в строй от 12 души в редица и се престроят в колона от 18 души в редица? Решение: 1) НОК (12 и 18) = 36 (души) - маршируване. Отговор: 36 души. Задачи на НОК
Нека започнем да изучаваме най-малкото общо кратно на две или повече числа. В този раздел ще дефинираме термина, ще разгледаме теоремата, която установява връзката между най-малкото общо кратно и най-големия общ делител и ще дадем примери за решаване на задачи.
Общи кратни – определение, примери
В тази тема ще се интересуваме само от общи кратни на цели числа, различни от нула.
Определение 1
Общо кратно на цели числае цяло число, което е кратно на всички дадени числа. Всъщност това е всяко цяло число, което може да бъде разделено на което и да е от дадените числа.
Определението за общи кратни се отнася до две, три или повече цели числа.
Пример 1
Според дефиницията, дадена по-горе, общите кратни на числото 12 са 3 и 2. Освен това числото 12 ще бъде общо кратно на числата 2, 3 и 4. Числата 12 и -12 са обикновени кратни на числата ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.
В същото време общото кратно на числата 2 и 3 ще бъдат числата 12, 6, − 24, 72, 468, − 100 010 004 и цяла линиявсякакви други.
Ако вземем числа, които се делят на първото число от двойката и не се делят на второто, тогава такива числа няма да бъдат общи кратни. Така че за числата 2 и 3 числата 16, − 27, 5009, 27001 няма да бъдат обикновени кратни.
0 е общо кратно на всеки набор от цели числа, различни от нула.
Ако си припомним свойството делимост по отношение на противоположни числа, се оказва, че някакво цяло число k ще бъде общо кратно на тези числа, точно както числото - k. Това означава, че общите делители могат да бъдат положителни или отрицателни.
Възможно ли е да се намери LCM за всички номера?
Общото кратно може да се намери за всяко цяло число.
Пример 2
Да предположим, че ни е дадено кцели числа a 1 , a 2 , … , a k. Числото, което получаваме при умножаване на числа a 1 · a 2 · … · a kспоред свойството на делимост, той ще бъде разделен на всеки от факторите, които са били включени в оригиналния продукт. Това означава, че произведението на числата a 1 , a 2 , … , a kе най-малкото общо кратно на тези числа.
Колко общи кратни могат да имат тези цели числа?
Група от цели числа може да има голям бройобщи кратни. Всъщност броят им е безкраен.
Пример 3
Да предположим, че имаме някакво число k. Тогава произведението на числата k · z, където z е цяло число, ще бъде общо кратно на числата k и z. Като се има предвид, че броят на числата е безкраен, броят на общите кратни е безкраен.
Най-малко общо кратно (LCM) – Дефиниция, нотация и примери
Припомнете си концепцията за най-малкото число от даден набор от числа, която обсъдихме в раздела „Сравняване на цели числа“. Като вземем предвид тази концепция, формулираме дефиницията на най-малкото общо кратно, което има най-голямо практическо значение сред всички общи кратни.
Определение 2
Най-малкото общо кратно на дадени цели числае най-малкото положително общо кратно на тези числа.
Съществува най-малко общо кратно за произволен брой дадени числа. Най-често използваното съкращение за понятието в справочната литература е NOC. Кратка нотация за най-малко общо кратно на числа a 1 , a 2 , … , a kще има формата LOC (a 1, a 2, …, a k).
Пример 4
Най-малкото общо кратно на 6 и 7 е 42. Тези. LCM(6, 7) = 42. Най-малкото общо кратно на четирите числа 2, 12, 15 и 3 е 60. Кратка нотация ще изглежда като LCM (- 2, 12, 15, 3) = 60.
Най-малкото общо кратно не е очевидно за всички групи от дадени числа. Често трябва да се изчислява.
Връзка между NOC и GCD
Най-малкото общо кратно и най-големият общ делител са свързани. Връзката между понятията се установява от теоремата.
Теорема 1
Най-малкото общо кратно на две цели положителни числа a и b е равно на произведението от a и b, делено на най-големия общ делител на a и b, тоест LCM (a, b) = a · b: НОД (a, b ).
Доказателство 1
Да предположим, че имаме някакво число M, което е кратно на числата a и b. Ако числото M се дели на a, има и някакво цяло z , при което равенството е вярно M = a k. Според определението за делимост, ако М се дели на b, така че след това a · kразделена на b.
Ако въведем нова нотация за gcd (a, b) as д, тогава можем да използваме равенствата a = a 1 dи b = b 1 · d. В този случай и двете равенства ще бъдат относително прости числа.
Вече установихме това по-горе a · kразделена на b. Сега това условие може да се запише по следния начин:
a 1 d kразделена на b 1 d, което е еквивалентно на условието а 1 кразделена на b 1според свойствата на делимост.
Според свойството на взаимно простите числа, ако а 1И b 1- взаимно прости числа, а 1не се дели на b 1въпреки факта, че а 1 кразделена на b 1, Че b 1трябва да се сподели к.
В този случай би било уместно да приемем, че има число T, за което k = b 1 t, и оттогава b 1 = b: d, Че k = b: d t.
Сега вместо това кнека заместим в равенство M = a kизразяване на формата b: d t. Това ни позволява да постигнем равенство M = a b: d t. При t = 1можем да получим най-малкото положително общо кратно на a и b , равен a b: d, при условие че числата a и b положителен.
Така доказахме, че LCM (a, b) = a · b: НОД (а, б).
Установяването на връзка между LCM и GCD ви позволява да намерите най-малкото общо кратно чрез най-големия общ делител на две или повече дадени числа.
Определение 3
Теоремата има две важни следствия:
- кратни на най-малкото общо кратно на две числа са същите като общите кратни на тези две числа;
- най-малкото общо кратно на взаимно прости положителни числа a и b е равно на тяхното произведение.
Не е трудно да се обосноват тези два факта. Всяко общо кратно на M на числата a и b се определя от равенството M = LCM (a, b) · t за някакво цяло число t. Тъй като a и b са относително прости, тогава gcd (a, b) = 1, следователно gcd (a, b) = a · b: gcd (a, b) = a · b: 1 = a · b.
Най-малко общо кратно на три или повече числа
За да се намери най-малкото общо кратно на няколко числа, е необходимо последователно да се намери LCM на две числа.
Теорема 2
Нека се преструваме, че a 1 , a 2 , … , a k- това са едни цели числа положителни числа. За да се изчисли LCM m kтези числа трябва да изчислим последователно m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = НОК(m 2 , a 3) , … , m k = НОК(m k - 1, a k) .
Доказателство 2
Първото следствие от първата теорема, обсъдена в тази тема, ще ни помогне да докажем валидността на втората теорема. Разсъжденията се основават на следния алгоритъм:
- общи кратни на числа а 1И а 2съвпадат с кратни на техния LCM, всъщност те съвпадат с кратни на числото м 2;
- общи кратни на числа а 1, а 2И а 3 м 2И а 3 м 3;
- общи кратни на числа a 1 , a 2 , … , a kсъвпадат с общи кратни на числа m k - 1И a k, следователно съвпадат с кратни на числото m k;
- поради факта, че най-малкото положително кратно на числото m kе самото число m k, тогава най-малкото общо кратно на числата a 1 , a 2 , … , a kе m k.
Ето как доказахме теоремата.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
Зареждане...
