В презентации продолжим рассмотрение равносильных уравнений, теорем, остановимся более подробно на этапах решения таких уравнений.
Для начала вспомним условие, при котором одно из уравнений является следствием другого (слайд 1). Автор приводит еще раз некоторые теоремы о равносильных уравнениях, которые были рассмотрены ранее: об умножении частей уравнения на одинаковое значение h (x); возведение частей уравнения в одинаковую четную степень; получение равносильного уравнения из уравнения log a f(x) = log a g (x).
На 5-м слайде презентации выделены основные этапы, с помощью которых удобно решать равносильные уравнения:
Найти решения равносильного уравнения;
Проанализировать решения;
Проверить.
Рассмотрим пример 1. Необходимо найти следствие уравнения x - 3 = 2. Найдем корень уравнения x = 5. Запишем равносильное уравнение (x - 3)(x - 6) = 2(x - 6), применив способ умножения частей уравнения на (x - 6). Упростив выражение до вида x 2 - 11x +30 = 0, найдем корни x 1 = 5, x 2 = 6. Т.к. каждый корень уравнения x - 3 = 2 является также решением уравнения x 2 - 11x +30 = 0, то x 2 - 11x +30 = 0 - это уравнение-следствие.
Пример 2. Найти другое следствие уравнения x - 3 = 2. Для получения равносильного уравнения используем метод возведения в четную степень. Упростив полученное выражение, запишем x 2 - 6x +5 = 0. Найдем корни уравнения x 1 = 5, x 2 = 1. Т.к. x = 5 (корень уравнения x - 3 = 2) является также решением уравнения x 2 - 6x +5 = 0, то уравнение x 2 - 6x +5 = 0 также является уравнением-следствием.
Пример 3. Необходимо найти следствие уравнения log 3 (x + 1) + log 3 (x + 3) = 1.
Заменим в уравнении 1 = log 3 3. Тогда, применяя утверждение из теоремы 6, запишем равносильное уравнение (x + 1)(x +3) = 3. Упростив выражение, получим x 2 + 4x = 0, где корнями будут x 1 = 0, x 2 = - 4. Значит уравнение x 2 + 4x = 0 - следствие для заданного уравнения log 3 (x + 1) + log 3 (x + 3) = 1.
Итак, можно сделать вывод: если расширяется область определения уравнения, то получается уравнение-следствие. Выделим стандартные действия при нахождении уравнения-следствия:
Избавление от знаменателей, которые содержат переменную;
Возведение частей уравнения в одинаковую четную степень;
Освобождение от логарифмических знаков.
Но важно запомнить: когда в ходе решения расширяется область определения уравнения, то необходимо проверить всех найденные корни - будут ли они попадать в ОДЗ.
Пример 4. Решить уравнение, представленное на слайде 12. Вначале найдем корни равносильного уравнения x 1 = 5, x 2 = - 2 (первый этап). Необходимо обязательно проверить корни (второй этап). Проверка корней (третий этап): x 1 = 5 не принадлежит области допустимых значений заданного уравнения, поэтому уравнение имеет одно решение только x = - 2.
В примере 5 найденный корень равносильного уравнения не входит в ОДЗ заданного уравнения. В примере 6 значение одного из двух найденных корней не определено, поэтому этот корень не является решением исходного уравнения.
При решении уравнений выполняются различные тождественные преобразования над выражениями, входящими в уравнение. При этом исходное уравнение изменяется другими, имеющими те же корни. Такие уравнения называются равносильными.
Определение: Уравнение
равносильно уравнению
если каждый корень первого уравнения является корнем второго и обратно, каждый корень второго уравнения является корнем первого, т.е. их решения совпадают.
Например, уравнения 3x-6=0; 2х-1=3 равносильны, т.к. каждое из уравнений имеет один корень х=2.
Любые два уравнения, имеющие пустое множество корней, считают равносильными.
Тот факт, что уравнения
f(x)=g(x) и f1(x)=g1(x)
равносильны, обозначают так:
f(x)=g(x) f1(x)=g1(x)
В процессе решения уравнений важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в равносильное ему уравнение.
Теорема 1: Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак, то получим уравнение, равносильное данному.
Доказательство: Докажем, что уравнение
f(x) = g(x)+q(x) (1)
равносильно уравнению
f(x) - q(x) = g(x) (2)
Пусть х=а - корень уравнения. Значит имеет место числовое равенство
Но тогда по свойству действительных чисел будет выполняться и числовое равенство
показывающее, что а - корень уравнения (2). Аналогично доказывается, что каждый корень уравнения (2) является и корнем уравнения (1).
Что и требовалось доказать.
Теорема 2: Если обе части уравнения умножить или разделить на отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.
Доказательство: докажем, что уравнение
равносильно уравнению
решим уравнение
и уравнение
- 2х-1=0
- 6х=3 2х=1
так как корни уравнений равны, то уравнения равносильны.
Что и требовалось доказать.
Рассмотрим уравнение
ОДЗ этого уравнения {х? 1, х? -3}
Мы знаем, что дробь равна нулю в том случае, когда ее числитель равен нулю, т.е.
а знаменатель не равен 0. Решая уравнение
находим корни х1=1, х2 = -2 . Но число 1 не входит в ОДЗ данного уравнения и значит, исходное уравнение имеет один корень х=-2.
В этом случае говорят, что уравнение
есть следствие уравнения
пусть даны два уравнения:
f1 (x) = g1 (x) (3)
f2 (x) = g2 (x) (4)
Если каждый корень уравнения (3) является корнем уравнения (4), то уравнение (4) называют следствием уравнения (3).
Этот факт записывают так:
В том случае, когда уравнение (3) - есть также следствие уравнения (4), эти уравнения равносильны.
Два уравнения равносильны в том, и только в том случае, когда каждое из них является следствием другого.
В приведенном выше примере уравнение - следствие
имеет два корня x1=1 и х2 =-2, а исходное уравнение имеет один корень х=-2. В этом случае корень х=1 называют посторонним для исходного уравнения
В общем случае корни уравнения-следствия, не являющиеся корнями исходного уравнения, называют посторонними.
Итак, если при решении уравнения происходит переход к уравнению - следствию, то могли появиться посторонние корни. В этом случае все корни уравнения-следствия нужно проверить, подставляя их в исходное уравнение. В некоторых случаях выявление посторонних корней облегчается знанием ОДЗ исходного уравнения - корни, не принадлежащие ОДЗ, можно сразу отбросить. Так, в приведенном примере посторонний корень х=1 не входит в ОДЗ уравнения
и потому отброшен.
Иногда посторонние корни могут появиться и при тождественных преобразованиях, если они приводят к изменению ОДЗ уравнения. Например, после приведения подобных членов в левой части уравнения
ОДЗ которого {х -2},
В тех случаях, когда в результате преобразований произошел переход от исходного уравнения к уравнению, не являющемуся его следствием, возможна потеря корней.
Например, уравнение
(х+1)(х+3)= х+1 (5)
Имеет два корня. Действительно, перенося все члены уравнения в левую часть и вынося х+1 за скобки, получим
откуда находим
Если же обе части уравнения (5) разделить («сократить») на х+1, то получим уравнение
имеющее один корень х=-2. В результате такого преобразования корень х=-1 потерян. Поэтому делить обе части уравнения на выражение, содержащее переменную, можно лишь в том случае, когда это выражение отлично от нуля.
Для того, чтобы в процессе решения уравнения избежать потери корней, необходимо следить за тем, чтобы переход осуществлялся либо к равносильным уравнениям, либо к уравнениям-следствиям.
Школьная лекция
«Равносильные уравнения. Уравнение-следствие »
Методические комментарии. Понятия равносильных уравнений, уравнений-следствий, теоремы о равносильности уравнений – это важные вопросы, связанные с теорией решения уравнений.
К 10-му классу учащиеся накопили некоторый опыт в решении уравнений. В 7-8-х классах решаются линейные и квадратные уравнения, здесь никаких неравносильных преобразований нет. Далее в 8-м и 9-ом классах решаются рациональные и простейшие иррациональные уравнения, выясняется, что в связи с освобождением от знаменателя и возведения обеих частей уравнения в квадрат могут появиться посторонние корни. Таким образом, возникает потребность для введения новых понятий: равносильность уравнений, равносильные и неравносильные преобразования уравнения, посторонние корни и проверка корней. На основе накопленного учащимися опыта решения перечисленных выше классов уравнений, возможно определить новое отношение равносильности уравнений и «открыть» вместе с учениками теоремы о равносильности уравнений.
Урок, конспект которого представлен ниже, предваряет рассмотрение тем, связанных с решением иррациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений. Теоретический материал этого урока служит опорой при решении всех классов уравнений. На данном уроке необходимо определить понятие равносильных уравнений, уравнений-следствий, рассмотреть теоремы о преобразованиях, приводящих к таким видам уравнений. Рассматриваемый материал, как отмечалось выше, является своеобразной систематизацией знаний учащихся о преобразованиях уравнений, он отличается определенной сложностью, поэтому наиболее приемлемым типом урока является школьная лекция. Особенность этого урока в том, что поставленная на нем учебная задача (цели) решается на протяжении многих последующих уроков (выявление преобразований над уравнениями ведущих к приобретению посторонних корней и потере корней).
Каждый этап урока занимает важное место в его структуре.
На этапе актуализации учащиеся вспоминают основные теоретические положения, связанные с уравнением: что такое уравнение, корень уравнения, что значит решить уравнение, область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Находят ОДЗ конкретных уравнений, которые послужат на уроке опорой для «открытия» теорем.
Цель этапа мотивации – создать проблемную ситуацию, которая состоит в отыскании правильного решения предложенного уравнения.
Решение учебной задачи (операционно-познавательный этап) на представленном уроке заключается в «открытии» теорем о равносильности уравнений и их доказательстве. Основное внимание при изложении материала уделено определению равносильных уравнений, уравнений-следствий, «отысканию» теорем о равносильности уравнений.
Записи, которые делает учитель в течение урока, представлены непосредственно в конспекте. Оформление записей учащимися в тетрадях приведено в конце конспекта урока.
Конспект урока
Тема. Равносильные уравнения. Уравнение-следствие.
(Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений /Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. – М.: Просвещение, 2003).
Цели урока. В совместной деятельности с учащимися выявить на множестве уравнений отношение равносильности, «открыть» теоремы о равносильности уравнений.
В результате ученик
знает
Определение равносильных уравнений,
Определения уравнения-следствия,
Формулировки основных теорем;
умеет
Из предложенных уравнений выбирать равносильные уравнения и уравнения-следствия,
Применять определения равносильных уравнений и уравнений-следствий в стандартных ситуациях;
понимает
Какие преобразования приводят к равносильным уравнениям или к уравнениям-следствиям,
Что существуют преобразования, в результате которых уравнение может приобрести посторонние корни,
Что в результате некоторых преобразований может произойти потеря корней.
Тип урока. Школьная лекция (2 часа).
Структура урока.
I. Мотивационно-ориентировочная часть:
Актуализация знаний,
Мотивация, постановка учебной задачи.
II. Операционно-познавательная часть:
Решение учебно-исследовательской задачи (цели урока).
III. Рефлексивно-оценочная часть:
Подведение итогов урока,
Выдача домашнего задания.
Ход урока
I . Мотивационно-ориентировочная часть.
Сегодня на уроке поговорим об уравнении, но тему пока записывать не будем. Вспомним основные понятия, связанные с уравнением. Прежде всего, что такое уравнение?
(Уравнение – это аналитическая запись задачи нахождения значений аргументов, при которых значения одной функции равны значениям другой функции).
Какие еще понятия связаны с уравнением?
(Корень уравнения и что значит решить уравнение. Корень уравнения – это число, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство. Решить уравнение – найти все его корни или установить, что их нет).
Что называется ОДЗ уравнения?
(Множество всех чисел, при которых имеют одновременно смысл функции, стоящие в левой и правой частях уравнения).
Найдите ОДЗ следующих уравнений.
5) 
6) 
.
На доске записано решение уравнения 
Что представляет собой процесс решения уравнения?
(Выполнение преобразований, приводящих данное уравнение к уравнению более простого вида, т.е. такого уравнения, нахождение корней которого не представляется трудным).
Верно, т.е. происходит последовательность упрощений от уравнения к уравнению 
и т.д. к 
. Проследим, что происходит с корнями уравнения на каждом этапе преобразований. В представленном решении получены два корня уравнения 
. Проверьте, являются ли числа они и числа 
и 
корнями исходного уравнения .
(Числа 
, и являются корнями исходного уравнения, а 
- нет).
Значит, в процессе решения эти корни были потеряны. В целом же выполненные преобразования привели к потере двух корней 
и приобретению постороннего корня .
Как можно избавиться от посторонних корней?
(Сделать проверку).
Допустима ли потеря корней? Почему?
(Нет, т.к. решить уравнение – это найти все его корни).
Как же избежать потери корней?
(Наверное, при решении уравнения не выполнять преобразования, которые ведут к потере корней).
Итак, чтобы процесс решения уравнения приводил к верным результатам, что важно знать при выполнении преобразований над уравнениями?
(Наверное, знать, какие преобразования над уравнениями сохраняют корни, какие приводят к потере корней или приобретению посторонних корней. Знать, какими преобразованиями их можно заменить, чтобы потери или приобретения корней не было).
Вот этим мы и займемся на этом уроке. Как бы вы сформулировали цель предстоящей деятельности на сегодняшнем уроке?
(Выявить преобразования над уравнениями, которые сохраняют корни, приводят к потере корней или приобретению посторонних корней. Знать, какими преобразованиями их можно заменить, чтобы потери или приобретения корней не было).
II . Операционно-познавательная часть.
Обратимся снова к уравнению, записанному на доске. Проследим, на каком этапе и в результате каких преобразований, были потеряны два корня и появился посторонний. (Учитель справа от каждого уравнения - проставляет числа).
Назовите уравнения, имеющие один и тоже набор (множество) корней.
(Уравнения , ,
,
и 
,).
Такие уравнения называются равносильными. Попытайтесь сформулировать определение равносильных уравнений.
(Уравнения, имеющие одно и тоже множество корней, называются равносильными).
Запишем определение.
Определение 1. Уравнения
и 
называются равносильными, если множества их корней совпадают.
Необходимо отметить, что уравнения не имеющие коней, также являются равносильными.
Для обозначения равносильных уравнений можно использовать символ «
».
Процесс решения уравнения , используя новое понятие, можно отразить так:
Таким образом, переход от данного уравнения к равносильному не влияет на множество корней получающегося уравнения.
А какие основные преобразования выполняли при решении линейных уравнений?
(Раскрытие скобок; перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, изменяя знак на противоположный; прибавление к обеим частям уравнения выражения, содержащее неизвестную).
Менялись ли при этом их корни?
На основе одного из этих преобразований, а именно: перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, меняя при этом знак на противоположный, в 7-м классе сформулировали свойство уравнений. Сформулируйте его, применив новое понятие.
(Если какой-нибудь член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному).
Какое еще свойство уравнения вы знаете?
(Обе части уравнения можно умножать на одно и тоже число, отличное от нуля).
Применение этого свойства также заменяет исходное уравнение на равносильное ему. Обратимся опять к уравнению, записанному на доске. Сравните множество корней уравнений и ?
(Корень уравнения является корнем уравнения ).
То есть при переходе одного уравнения к другому множество корней хотя и расширилось, но потери корней не произошло. В этом случае уравнение называют следствием уравнения . Попытайтесь сформулировать определение уравнения, которое является следствием данного уравнения.
(Если при переходе от одного уравнения к другому потери корней не происходит, то второе уравнение называют следствием первого уравнения).
Определение 2 . Уравнение называют следствием уравнения , если каждый корень уравнения является корнем уравнения .
- В результате какого преобразования получили уравнение из уравнения ?
(Возведение в квадрат обеих частей уравнения).
Значит, это преобразование может приводить к появлению посторонних корней, т.е. исходное уравнение преобразуется в уравнение-следствие. Есть ли еще уравнения-следствия в представленной цепочке преобразований уравнения ?
(Да, например, уравнение - следствие уравнения , а уравнение - следствие уравнения ).
А какие это уравнения?
(Равносильные).
Попытайтесь, используя понятие уравнения-следствия, сформулировать эквивалентное определение равносильных уравнений.
(Уравнения называются равносильными, если каждое из них является следствием другого).
Есть ли еще уравнения-следствия в предложенном решении уравнения ?
(Да, уравнение - следствие уравнения ).
Что происходит с корнями при переходе от к ?
(Потеряны два корня).
В результате какого преобразования это произошло?
(Ошибка в применении тождества 
).
Применяя новое понятие уравнения-следствия, и используя символ «
», процесс решения уравнения будет выглядеть так:
.
Итак, полученная схема демонстрирует нам, что если осуществляются равносильные переходы , , то множества корней получающихся уравнений не изменяются. Но только равносильные преобразования применять не всегда удается. Если же переходы неравносильные, то возможны два случая: и . В первом случае уравнение - следствие уравнения , множество корней получающегося уравнения включает в себя множество корней данного уравнения, здесь приобретаются посторонние корни, их можно отсечь выполняя проверку. Во втором случае получилось уравнение, для которого данное уравнение является следствием: , а значит, произойдет потеря корней, таких переходов не следует выполнять. Поэтому важно следить за тем, чтобы при преобразовании уравнения каждое следующее уравнение было следствием предыдущего. Что же надо знать, чтобы преобразования были только такими? Попробуем установить это. Запишем задание 1 (в нем предлагаются уравнения; их ОДЗ, найденная на этапе актуализации; записано множество корней каждого уравнения).
Задание 1. Являются ли уравнения каждой группы (а, б) равносильными? Назовите преобразование, в результате которого первое уравнение группы заменено вторым.
а)
б)
Обратимся к уравнениям группы а), являются ли эти уравнения равносильными?
(Да, и равносильны).
(Использовали тождество ).
То есть выражение в одной части уравнения заменили тождественно равным ему выражением. Изменилась ли ОДЗ уравнения при этом преобразовании?
Рассмотрим группу уравнений б). Равносильны ли эти уравнения?
(Нет, уравнение - следствие уравнения ).
В результате какого преобразования из получили ?
(Заменили левую часть уравнения тождественно равным ему выражением).
Что произошло с ОДЗ уравнения?
(ОДЗ расширилась).
В результате расширения ОДЗ получили уравнение-следствие и посторонний корень 
для уравнения . Значит, расширение ОДЗ уравнения может привести к появлению посторонних корней. Для обоих случаев а) и б) сформулируйте утверждение в общем виде. (Ученики формулируют, учитель корректирует).
(Пусть в некотором уравнении 
, выражение 
заменили на тождественное ему выражение 
. Если такое преобразование не изменяет ОДЗ уравнения, то переходим к равносильному уравнению 
. Если ОДЗ расширяется, то уравнение является следствием уравнения ).
Это утверждение является теоремой о преобразованиях приводящих к равносильным уравнениям или уравнениям-следствиям.
Теорема 1. , |
|
а) ОДЗ не изменяется | б) ОДЗ расширяется |
Примем эту теорему без доказательства. Следующее задание. Представлены три уравнения и их корни.
Задание 2. Равносильны ли следующие уравнения? Назовите преобразование, в результате которого первое уравнение заменено вторым уравнением, третьим уравнением.
Какие из предложенных уравнений равносильны?
(Только уравнения и ).
Какие преобразования выполнялись, чтобы от уравнения перейти к уравнению , ?
(К обеим частям уравнения в первом случае прибавили 
, во втором случае прибавили 
).
То есть в каждом случае прибавили некоторую функцию 
. Сравните область определения функции в уравнении с ОДЗ уравнения .
(Функция 
определена на ОДЗ уравнения ).
Какое уравнение получили в результате прибавления к обеим частям уравнения функции ?
(Получим уравнение равносильное ).
Что произошло с ОДЗ уравнения по сравнению с ОДЗ уравнения ?
(Она сузилась из-за функции 
).
Что же получили в этом случае? Будет ли уравнение равносильно уравнению или - уравнение-следствие для уравнения ?
(Нет, не то и ни другое).
Рассмотрев два случая преобразования уравнения , которые представлены в задании 2, попытайтесь сделать вывод.
(Если к обеим частям уравнения прибавить функцию, определенную на ОДЗ этого уравнения, то получим уравнение, равносильное данному).
Действительно, это утверждение является теоремой.
Теорема 2. , - определена | на ОДЗ уравнения |
|
Но утверждение, похожее на сформулированную теорему, мы использовали при решении уравнений. Как оно звучит?
(К обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же число).
Это свойство является частным случаем теоремы 2, когда 
.
Задание 3. Равносильны ли следующие уравнения? Назовите преобразование, в результате которого первое уравнение заменено вторым уравнением, третьим уравнением.
Какие из уравнений в задании 3 равносильны?
(Уравнения и ).
В результате какого преобразования из уравнения получены уравнения , ?
(Обе части уравнения умножили на 
и получили уравнение . Чтобы получить уравнение , обе части уравнения умножили на 
).
Какому же условию должна удовлетворять функция , чтобы умножив обе части уравнения на , было бы получено уравнение равносильное ?
(Функция должна быть определена на всей ОДЗ уравнения ).
Выполняли ли прежде над уравнениями такое преобразование?
(Выполняли, обе части уравнения умножали на число, отличное от нуля).
Значит, условие, налагаемое на функцию необходимо дополнить.
(Функция не должна обращаться в ноль ни при одном 
из ОДЗ уравнения).
Итак, запишем в символическом виде утверждение, которое позволяет от данного уравнения перейти к равносильному. (Учитель под диктовку учеников записывает теорему 3).
Теорема 3. - определена на всей ОДЗ
| |
для любого из ОДЗ
Докажем теорему. Что значит, что два уравнения равносильны?
(Надо показать, что все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения и наоборот, т.е. второе уравнение есть следствие первого и первое уравнение является следствием второго).
Докажем, что является следствием уравнения . Пусть 
- корень уравнения , что это значит?
(При подстановке в получим верное числовое равенство 
).
В точке функция определена и не обращается в ноль. Что это означает?
(Число 
. Поэтому числовое равенство можно помножить на 
. Получим верное числовое равенство ).
Что это равенство означает?
( - корень уравнения . Этим показали, что уравнение - уравнение-следствие для уравнения ).
Докажем, что - следствие уравнения . (Учащиеся работают самостоятельно, далее после обсуждения, учитель записывает вторую часть доказательства на доске).
Задание 4. Являются ли уравнения каждой группы (а, б) равносильными? Назовите преобразование, в результате которого первое уравнение группы заменено вторым.
а)
б)
Равносильны ли уравнения и ?
(Равносильны).
В результате какого преобразования из можно получить ?
(Возводим обе части уравнения в куб).
От правой и левой частей уравнения можно взять функцию 
. На каком множестве определена функция 
?
(На общей части множеств значений функций 
и 
).
Охарактеризуйте группу уравнений под буквой б)?
(Они не равносильны, является следствием , к уравнению применили функцию 
и перешли к уравнению , функция определена на общей части множеств значений функций 
и 
).
Чем же отличаются свойства функций в группе а) и б)?
(В первом случае функция монотонна, а во втором нет).
Сформулируем следующее утверждение. (Учитель под диктовку учащихся записывает теорему).
Теорема 4.
|
|
а) - монотонна | б) - не монотонна |
- определена на общей части множеств значений функций и 
Обсудим, как будет «работать» эта теорема при решении следующих уравнений.
Пример. Решить уравнение
1) 
; 2) 
.
Какую функцию применим к обеим частям уравнения 1)?
(Возведем обе части уравнения в куб, т.е. применим функцию ).
(Эта функция определена на общей части множеств значений функций, стоящих в левой и правой частях уравнения, она монотонна).
Значит, возведя обе части исходного уравнения в куб, какое уравнение получим?
(Равносильное данному).
Какую функцию применим к обеим частям уравнения 2)?
(Возведем обе части уравнения в четвертую степень, т.е. применим функцию 
).
Перечислите свойства этой функции, необходимые для применения теоремы 4.
(Эта функция определена на общей части множеств значений функций, стоящих в левой и правой частях уравнения, она не монотонна).
Какое же уравнение, относительно исходного, мы получим, возведя данное уравнение в четвертую степень?
(Уравнение-следствие).
Будут ли отличаться множество корней исходного уравнения и множество корней полученного уравнения?
(Могут появиться посторонние корни. Значит, необходима проверка).
Проведите решение этих уравнений дома.
III . Рефлексивно-оценочная часть.
Мы сегодня вместе «открыли» четыре теоремы. Еще раз просмотрите их и скажите, о каких уравнениях в них говорится.
(О равносильных уравнениях и уравнении-следствии).
Запишем тему урока. Вернемся к уравнению, которое рассматривали в начале сегодняшнего разговора. Какие из теорем 1-4 применялись при переходе от одного уравнения к другому? (Ученики вместе с учителем выясняют, какая теорема работала на каждом шаге, учитель на схеме отмечает номер теоремы).
T.2 Т.2 Т.1 Т.4 Т.2 Т.4
Что нового вы сегодня узнали на уроке?
(Понятия равносильных уравнений, уравнения-следствия, теоремы о равносильности уравнений).
Какую задачу мы поставили в начале урока?
(Выделить преобразования, не изменяющие множество корней уравнения, преобразования, ведущие к приобретению и потере корней).
Решили ли мы ее полностью?
Поставленную задачу, мы решили частично, ее исследование продолжим на следующих уроках при решении новых видов уравнений.
Используя новое для нас понятие равносильных уравнений, переформулируйте первую часть поставленной задачи «выделить преобразования, не изменяющие множество корней уравнения».
(Как узнать, является ли переход от одного уравнения к другому равносильным преобразованием).
Что поможет ответить на этот вопрос?
(Теоремы о равносильности уравнений).
А применяли ли сегодня преобразования, которые ведут к приобретению посторонних корней?
(Применяли, это возведение обеих частей уравнения в квадрат; использование формул, левая и правая части которых имеют смысл при разных значениях входящих в них букв).
Существуют и другие «специфические» причины, которые приводят как к появлению, так и к потере корней уравнения, о некоторых из них мы говорили. Но есть и такие, которые, как правило, связаны с определенным классом уравнений, а об этом разговор у нас будет позже.
Запишем домашнее задание:
знать определения равносильных уравнений, уравнения-следствия;
знать формулировки теорем 1-4;
провести по аналогии с доказательством теоремы 3 доказательство теорем 1 и 2;
4) №№ 139(4,6), 141(2) – выяснить, являются ли уравнения равносильными; решить уравнения ; .
Записи в тетрадях
Равносильные уравнения. Уравнение-следствие.
Определение 1. Уравнения и называются равносильными, если множества их корней совпадают.
Определение 2. Уравнение называют следствием уравнения , если каждый корень уравнения является корнем уравнения . заменили на тождественное ему выражение.
Пример. Решить уравнение
Класс: 11
Продолжительность: 2 урока.
Цель урока:
- (для учителя) формирование у учащихся целостного представления о методах решения иррациональных уравнений.
- (для учащихся) Развитие умения наблюдать, сравнивать, обобщать, анализировать математические ситуации (слайд 2). Подготовка к ЕГЭ.
План первого урока (слайд 3)
- Актуализация знаний
- Разбор теории: Возведение уравнения в чётную степень
- Практикум по решению уравнений
План второго урока
- Дифференцированная самостоятельная работа по группам «Иррациональные уравнения на ЕГЭ»
- Итог уроков
- Домашнее задание
Ход уроков
I. Актуализация знаний
Цель: повторить понятия, необходимые для успешного освоения темы урока.
Фронтальный опрос.
– Какие два уравнения называются равносильными?
– Какие преобразования уравнения называют равносильными?
– Данное уравнение заменить равносильным с пояснением применённого преобразования: (слайд 4)
а) х+ 2х +1; б) 5 = 5; в) 12х = -3; г) х = 32; д) = -4.
– Какое уравнение называют уравнением-следствием исходного уравнения?
– Может ли уравнение-следствие иметь корень, не являющийся корнем исходного уравнения? Как называются эти корни?
– Какие преобразования уравнения приводят к уравнениям-следствиям?
– Что называется арифметическим квадратным корнем?
Остановимся сегодня более подробно на преобразовании «Возведение уравнения в чётную степень».
II. Разбор теории: Возведение уравнения в чётную степень
Объяснение учителя при активном участии учащихся:
Пусть 2 m (m N) – фиксированное чётное натуральное число. Тогда следствием уравнения f(x) = g(x) является уравнение (f(x)) = (g(x)).
Очень часто это утверждение применяется при решении иррациональных уравнений.
Определение. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня, называется иррациональным.
При решении иррациональных уравнений используют следующие методы: (слайд 5)
Внимание! Методы 2 и 3 требуют обязательной проверки.
ОДЗ не всегда помогает устранить посторонние корни.
Вывод: при решении иррациональных уравнений важно пройти три этапа: технический, анализ решения, проверка(слайд 6).
III. Практикум по решению уравнений
Решить уравнение:
После обсуждения способа решения уравнения возведением в квадрат, решить переходом к равносильной системе.
Вывод : решение простейших уравнений с целыми корнями можно провести любым знакомым методом.
б) = х – 2
Решая методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень, учащиеся получают корни х = 0, х= 3 - , х= 3 + , проверить которые подстановкой сложно и трудоёмко. (Слайд 7). Переход к равносильной системе
позволяет быстро избавиться от посторонних корней. Условию х ≥ 2 удовлетворяет только х.
Ответ: 3 +
Вывод : иррациональные корни проверять лучше переходом к равносильной системе.
в) = х – 3
В процессе решения этого уравнения получаем два корня: 1 и 4. Оба корня удовлетворяют левой части уравнения, но при х = 1 нарушается определение арифметического квадратного корня. ОДЗ уравнения не помогает устранить посторонние корни. Переход к равносильной системе даёт правильный ответ.
Вывод: хорошее знание и понимание всех условий определения арифметического квадратного корня помогает перейти к выполнению равносильных преобразований.
Возведя обе части уравнения в квадрат, получим уравнение
х + 13 - 8 + 16 = 3 + 2х - х, уединив радикал в правую часть, получаем
26 – х + х = 8. Применение дальнейших действий по возведению в квадрат обеих частей уравнения, приведёт к уравнению 4-й степени. Переход к ОДЗ уравнения даёт хороший результат:
найдём ОДЗ уравнения:
х = 3.
Проверка: - 4 = , 0 = 0 верно.
Вывод: иногда возможно провести решение с помощью определения ОДЗ уравнения , но обязательно сделать проверку.
Решение: ОДЗ уравнения: -2 – х ≥ 0 х ≤ -2.
При х ≤ -2, < 0, а ≥ 0.
Следовательно, левая часть уравнения отрицательна, а правая – неотрицательна; поэтому исходное уравнение корней не имеет.
Ответ: корней нет.
Вывод: сделав правильные рассуждения по ограничению в условии уравнения, можно без труда найти корни уравнения, или установить, что их нет.
На примере решения этого уравнения показать двукратное возведение уравнения в квадрат, объяснить смысл фразы «уединение радикалов» и необходимость проверки найденных корней.
з) 
+ = 1.
Решение этих уравнения провести методом замены переменной до момента возвращения к исходной переменной. Закончить решение предложить тем, кто раньше справится с заданиями следующего этапа.
Контрольные вопросы
- Как решать простейшие иррациональные уравнения?
- Что необходимо помнить при возведении уравнения в чётную степень? (могут появиться посторонние корни)
- Как лучше проверять иррациональные корни? (с помощью ОДЗ и условий совпадения знаков обеих частей уравнения)
- Для чего необходимо уметь анализировать математические ситуации при решении иррациональных уравнений? (Для правильного и быстрого выбора способа решения уравнения).
IV. Дифференцированная самостоятельная работа по группам «Иррациональные уравнения на ЕГЭ»
Класс разбивается на группы (по 2-3 человека) по уровням обученности, каждая группа выбирает себе вариант с заданием, обсуждает и решает выбранные задания. По мере необходимости обращается к учителю за консультацией. После выполнения всех заданий своего варианта и проверки ответов учителем, участники группы индивидуально заканчивают решение уравнений ж) и з) предыдущего этапа урока. Для 4 и 5 вариантов (после проверки ответов и решения учителем) на доске записаны дополнительные задания, которые выполняются индивидуально.
Все индивидуальные решения в конце уроков сдаются учителю на проверку.
Вариант 1
Решите уравнения:
а) = 6;
б) = 2;
в) = 2 – х;
г) (х + 1) (5 – х) (+ 2 = 4.Вариант 5
1. Решите уравнение:
а) = ;
б)= 3 – 2х;
2. Решить систему уравнений:
Дополнительные задания:
V. Итог уроков
Какие трудности испытывали при выполнении заданий ЕГЭ? Что необходимо для устранения этих трудностей?
VI. Домашнее задание
Повторить теорию решения иррациональных уравнений, прочитать пункт 8.2 в учебнике (обратить внимание на пример 3).
Решить № 8.8 (а, в), № 8.9 (а, в), № 8.10 (а).
Литература:
- Никольский С.М., Потапов М.К., Н.Н. Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра и начала математического анализа, учебник для 11 класса общеобразовательных учреждений, М.: Просвещение, 2009.
- Мордкович А.Г. О некоторых методических вопросах, связанных с решением уравнений. Математика в школе. -2006. -№3.
- М. Шабунин. Уравнения. Лекции для старшеклассников и абитуриентов. Москва, «Чистые пруды», 2005. (библиотечка «Первое сентября»)
- Э.Н. Балаян. Практикум по решению задач. Иррациональные уравнения, неравенства и системы. Ростов-на-Дону, «Феникс», 2006.
- Математика. Подготовка к ЕГЭ-2011. Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова Легион-М, Ростов-на-Дону, 2010.
Позволяющие переходить от решаемого уравнения к так называемым равносильным уравнениям и уравнениям-следствиям , по решениям которых есть возможность определить решение исходного уравнения. В этой статье мы подробно разберем, какие уравнения называются равносильными, а какие – уравнениями-следствиями, дадим соответствующие определения, приведем поясняющие примеры и объясним, как найти корни уравнения по известным корням равносильного уравнения и уравнения-следствия.
Равносильные уравнения, определение, примеры
Дадим определение равносильных уравнений.
Определение
Равносильные уравнения – это уравнения, имеющие одни и те же корни или не имеющие корней.
Такие же по смыслу определения, но немного отличающиеся по формулировке, приводятся в различных учебниках математики, например,
Определение
Два уравнения f(x)=g(x) и r(x)=s(x) называют равносильными , если они имеют одинаковые корни (или, в частности, если оба уравнения не имеют корней) .
Определение
Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными уравнениями . Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными .
Под одними и теми же корнями понимается следующее: если какое-то число является корнем одного из равносильных уравнений, то оно является и корнем любого другого из этих уравнений, и не одно из равносильных уравнений не может иметь корня, который не является корнем любого другого из этих уравнений.
Приведем примеры равносильных уравнений. Например, три уравнения 4·x=8 , 2·x=4 и x=2 – равносильные. Действительно, каждое из них имеет единственный корень 2 , поэтому они равносильны по определению. Еще пример: равносильными являются два уравнения x·0=0 и 2+x=x+2 , множества их решений совпадают: корнем и первого и второго из них является любое число. Два уравнения x=x+5 и x 4 =−1 также представляют собой пример равносильных уравнений, они оба не имеют действительных решений.
Для полноты картины стоит привести примеры не равносильных уравнений. Например, не равносильны уравнения x=2 и x 2 =4 , так как второе уравнение имеет корень −2 , который не является корнем первого уравнения. Уравнения и также не являются равносильными, так как корнями второго уравнения являются любые числа, а число нуль не является корнем первого уравнения.
Озвученное определение равносильных уравнений относится как к уравнениям с одной переменной, так и к уравнениям с большим числом переменных. Однако для уравнений с двумя, тремя и т.д. переменными слово «корни» в определении нужно заменить словом «решения». Итак,
Определение
Равносильные уравнения – это уравнения, имеющие одни и те же решения, или не имеющие их.
Покажем пример равносильных уравнений с несколькими переменными. x 2 +y 2 +z 2 =0 и 5·x 2 +x 2 ·y 4 ·z 8 =0 - вот пример равносильных уравнений с тремя переменными x , y и z , они оба имеют единственное решение (0, 0, 0) . А вот уравнения с двумя переменными x+y=5 и x·y=1 не являются равносильными, так как, например, пара значений x=2 , y=3 является решением первого уравнения (при подстановке этих значений в первое уравнение получаем верное равенство 2+3=5 ), но не является решением второго (при подстановке этих значений во второе уравнение получаем неверное равенство 2·3=1 ).
Уравнения-следствия
Приведем определения уравнений-следствий из школьных учебников:
Определение
Если каждый корень уравнения f(x)=g(x) является в то же время корнем уравнения p(x)=h(x) , то уравнение p(x)=h(x) называют следствием уравнения f(x)=g(x) .
Определение
Если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого уравнения .
Приведем пару примеров уравнений-следствий. Уравнение x 2 =3 2
является следствием уравнения x−3=0
. Действительно, второе уравнение имеет единственный корень x=3
, этот корень является и корнем уравнения x 2 =3 2
, поэтому по определению уравнение x 2 =3 2
– это следствие уравнения x−3=0
. Другой пример: уравнение (x−2)·(x−3)·(x−4)=0
– это следствие уравнения 
, так как все корни второго уравнения (их два, это 2
и 3
), очевидно, являются корнями первого уравнения.
Из определения уравнения-следствия вытекает, что абсолютно любое уравнение является следствием любого уравнения, не имеющего корней.
Стоит привести несколько довольно очевидных следствий из определения равносильных уравнений и определения уравнения-следствия:
- Если два уравнения равносильны, то каждое из них является следствием другого.
- Если каждое из двух уравнений является следствием другого, то эти уравнения равносильны.
- Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.
Загрузка...
