Logaritmer, som alle tall, kan legges til, trekkes fra og transformeres på alle måter. Men siden logaritmer er ikke akkurat vanlige tall, det er regler her, som kalles hovedegenskaper.
Du trenger definitivt å kjenne disse reglene - uten dem kan ikke et eneste alvorlig logaritmisk problem løses. I tillegg er det svært få av dem – du kan lære alt på en dag. Så la oss komme i gang.
Legge til og subtrahere logaritmer
Tenk på to logaritmer med samme base: log en x og logg en y. Deretter kan de legges til og trekkes fra, og:
- Logg en x+ logg en y=logg en (x · y);
- Logg en x− logg en y=logg en (x : y).
Så summen av logaritmer er lik logaritmen til produktet, og forskjellen er lik logaritmen til kvotienten. Merk: nøkkel øyeblikk Her - identiske grunner. Hvis årsakene er forskjellige, fungerer ikke disse reglene!
Disse formlene vil hjelpe deg å beregne logaritmisk uttrykk selv når dens individuelle deler ikke telles (se leksjonen "Hva er en logaritme"). Ta en titt på eksemplene og se:
Logg 6 4 + logg 6 9.
Siden logaritmer har samme base, bruker vi sumformelen:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 2 48 − log 2 3.
Basene er de samme, vi bruker forskjellsformelen:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 3 135 − log 3 5.
Igjen er basene de samme, så vi har:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Som du kan se, består de opprinnelige uttrykkene av "dårlige" logaritmer, som ikke beregnes separat. Men etter transformasjonene får man helt normale tall. Mange er bygget på dette faktum testpapirer. Ja, testlignende uttrykk tilbys i fullt alvor (noen ganger med praktisk talt ingen endringer) på Unified State Examination.
Trekke ut eksponenten fra logaritmen
La oss nå komplisere oppgaven litt. Hva om basen eller argumentet til en logaritme er en potens? Da kan eksponenten for denne graden tas ut av fortegnet til logaritmen iht følgende regler:
Det er lett å se at den siste regelen følger de to første. Men det er bedre å huske det uansett - i noen tilfeller vil det redusere mengden beregninger betydelig.
Selvfølgelig gir alle disse reglene mening hvis ODZ til logaritmen blir observert: en > 0, en ≠ 1, x> 0. Og en ting til: lær å bruke alle formler ikke bare fra venstre til høyre, men også omvendt, dvs. Du kan legge inn tallene før logaritmetegnet i selve logaritmen. Dette er det som oftest kreves.
Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 7 49 6 .
La oss bli kvitt graden i argumentet ved å bruke den første formelen:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:
[Tekst til bildet]
Legg merke til at nevneren inneholder en logaritme, hvis basis og argument er eksakte potenser: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Vi har:
[Tekst til bildet] Jeg tror det siste eksemplet krever litt avklaring. Hvor har logaritmene blitt av? Helt til siste øyeblikk jobber vi kun med nevneren. Vi presenterte grunnlaget og argumentet til logaritmen som sto der i form av potenser og tok ut eksponentene - vi fikk en "tre-etasjers" brøk.
La oss nå se på hovedbrøken. Telleren og nevneren inneholder samme tall: log 2 7. Siden log 2 7 ≠ 0, kan vi redusere brøken - 2/4 vil forbli i nevneren. I henhold til reglene for regnestykket kan de fire overføres til telleren, som er det som ble gjort. Resultatet ble svaret: 2.
Overgang til ny stiftelse
Når jeg snakker om reglene for å addere og subtrahere logaritmer, la jeg spesielt vekt på at de bare fungerer med de samme basene. Hva om årsakene er forskjellige? Hva om de ikke er nøyaktige potenser av samme tall?
Formler for overgang til en ny stiftelse kommer til unnsetning. La oss formulere dem i form av et teorem:
La logaritmeloggen gis en x. Deretter for et hvilket som helst tall c slik at c> 0 og c≠ 1, likheten er sann:
[Tekst til bildet]
Spesielt hvis vi setter c = x, vi får:
[Tekst til bildet]
Fra den andre formelen følger det at basen og argumentet til logaritmen kan byttes, men i dette tilfellet blir hele uttrykket "snudd", dvs. logaritmen vises i nevneren.
Disse formlene finnes sjelden i vanlige numeriske uttrykk. Det er mulig å vurdere hvor praktiske de er bare når man løser logaritmiske ligninger og ulikheter.
Det er imidlertid problemer som ikke kan løses i det hele tatt bortsett fra ved å flytte til en ny stiftelse. La oss se på et par av disse:
Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 5 16 log 2 25.
Merk at argumentene til begge logaritmene inneholder eksakte potenser. La oss ta ut indikatorene: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
La oss nå "reversere" den andre logaritmen:
[Tekst til bildet]Siden produktet ikke endrer seg ved omorganisering av faktorer, multipliserte vi rolig fire og to, og behandlet deretter logaritmer.
Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 9 100 lg 3.
Grunnlaget og argumentet til den første logaritmen er eksakte potenser. La oss skrive dette ned og bli kvitt indikatorene:
[Tekst til bildet]La oss nå bli kvitt desimallogaritmen ved å flytte til en ny base:
[Tekst til bildet]Grunnleggende logaritmisk identitet
Ofte i løsningsprosessen er det nødvendig å representere et tall som en logaritme til en gitt base. I dette tilfellet vil følgende formler hjelpe oss:
I det første tilfellet, nummeret n blir en indikator på graden stående i argumentasjonen. Antall n kan være absolutt hva som helst, fordi det bare er en logaritmeverdi.
Den andre formelen er faktisk en omskrevet definisjon. Det er det det kalles: den grunnleggende logaritmiske identiteten.
Faktisk, hva vil skje hvis nummeret b heve til en slik styrke at tallet b til denne potensen gir tallet en? Det stemmer: du får det samme nummeret en. Les denne paragrafen nøye igjen - mange setter seg fast i den.
Som formler for å flytte til en ny base, er den grunnleggende logaritmiske identiteten noen ganger den eneste mulige løsningen.
Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:
[Tekst til bildet]
Merk at log 25 64 = log 5 8 - tok bare kvadratet fra basen og argumentet til logaritmen. Når vi tar i betraktning reglene for å multiplisere potenser med samme base, får vi:
[Tekst til bildet]Hvis noen ikke vet, var dette en skikkelig oppgave fra Unified State Exam :)
Logaritmisk enhet og logaritmisk null
Avslutningsvis vil jeg gi to identiteter som vanskelig kan kalles egenskaper – snarere er de konsekvenser av definisjonen av logaritmen. De dukker stadig opp i problemer og, overraskende nok, skaper de problemer selv for "avanserte" studenter.
- Logg en en= 1 er en logaritmisk enhet. Husk en gang for alle: logaritme til hvilken som helst base en fra denne grunnen er lik en.
- Logg en 1 = 0 er logaritmisk null. Utgangspunkt en kan være hva som helst, men hvis argumentet inneholder én, er logaritmen lik null! Fordi en 0 = 1 er direkte konsekvens fra definisjonen.
Det er alle egenskapene. Sørg for å trene på å sette dem ut i livet! Last ned juksearket i begynnelsen av leksjonen, skriv det ut og løs problemene.
Logaritme av et tall N basert på EN kalt eksponent X , som du må bygge til EN for å få nummeret N
Forutsatt at 
,
,
Fra definisjonen av logaritme følger det at 
, dvs.
- denne likheten er den grunnleggende logaritmiske identiteten.
Logaritmer til grunntall 10 kalles desimallogaritmer. I stedet for 
skrive 
.
Logaritmer til basen e
kalles naturlig og er utpekt 
.
Grunnleggende egenskaper ved logaritmer.
Logaritmen til en er lik null for en hvilken som helst base.
Logaritme av produktet lik summen logaritmer av faktorer.
3) Logaritmen til kvotienten er lik differansen til logaritmene
Faktor 
kalt overgangsmodulen fra logaritmer til basen en
til logaritmer ved basen b
.
Ved å bruke egenskapene 2-5 er det ofte mulig å redusere logaritmen til et komplekst uttrykk til resultatet av enkle aritmetiske operasjoner på logaritmer.
For eksempel, 
Slike transformasjoner av en logaritme kalles logaritmer. Transformasjoner invers til logaritmer kalles potensering.
Kapittel 2. Elementer i høyere matematikk.
1. Grenser
Begrensning av funksjonen 
er et endelig tall A hvis, som xx
0
for hver forhåndsbestemt 
, det er et slikt tall 
det så snart 
, Det 
.
En funksjon som har en grense skiller seg fra den med en uendelig mengde: 
, hvor- b.m.v., dvs. 
.
Eksempel. Vurder funksjonen 
.
Når man strever 
, funksjon y
har en tendens til null: 
1.1. Grunnleggende teoremer om grenser.
Grensen for en konstant verdi er lik denne konstante verdien
.
Grensen for summen (forskjellen) av et begrenset antall funksjoner er lik summen (forskjellen) av grensene til disse funksjonene.
Grensen for produktet av et begrenset antall funksjoner er lik produktet av grensene for disse funksjonene.
Grensen for kvotienten til to funksjoner er lik kvotienten av grensene til disse funksjonene hvis grensen for nevneren ikke er null.
Fantastiske grenser
,
, Hvor 
1.2. Eksempler på grenseberegning
Imidlertid er ikke alle grenser beregnet så lett. Oftere kommer beregning av grensen ned til å avsløre en usikkerhet av typen: 
eller .
.
2. Derivert av en funksjon
La oss ha en funksjon 
, kontinuerlig på segmentet 
.
Argument 
fått en viss økning 
. Da vil funksjonen motta en økning 
.
Argumentverdi 
tilsvarer funksjonsverdien 
.
Argumentverdi 
tilsvarer funksjonsverdien.
Derfor,.
La oss finne grensen for dette forholdet ved 
. Hvis denne grensen eksisterer, kalles den den deriverte av den gitte funksjonen.
Definisjon 3 Derivert av en gitt funksjon 
ved argument 
kalles grensen for forholdet mellom økningen av en funksjon og økningen av argumentet, når økningen av argumentet vilkårlig har en tendens til null.
Derivert av en funksjon 
kan betegnes som følger:
;
;
;
.
Definisjon 4 Operasjonen med å finne den deriverte av en funksjon kalles differensiering.
2.1. Mekanisk betydning av derivat.
La oss vurdere den rettlinjede bevegelsen til et eller annet stivt legeme eller materiell punkt.
La på et tidspunkt 
bevegelige punkt 
var på avstand 
fra startposisjonen 
.
Etter en stund 
hun beveget seg et stykke 
. Holdning 
=
- gjennomsnittlig hastighet for et materialpunkt 
. La oss finne grensen for dette forholdet, med tanke på det 
.
Derfor definisjonen øyeblikkelig hastighet bevegelse av et materiell punkt kommer ned til å finne den deriverte av banen med hensyn til tid.
2.2. Geometrisk verdi av den deriverte
La oss ha en grafisk definert funksjon 
.
Ris. 1. Geometrisk betydning av derivat
Hvis 
, så pek 
, vil bevege seg langs kurven og nærme seg punktet 
.
Derfor 
, dvs. verdien av den deriverte for en gitt verdi av argumentet 
numerisk lik tangenten til vinkelen dannet av tangenten i et gitt punkt med den positive retningen til aksen 
.
2.3. Tabell over grunnleggende differensieringsformler.
Power funksjon
|
|
|
|
|
|
|
Eksponentiell funksjon
|
|
|
|
|
Logaritmisk funksjon
|
|
|
|
|
Trigonometrisk funksjon
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Invers trigonometrisk funksjon
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4. Regler for differensiering.
Avledet av 
Derivert av summen (forskjellen) av funksjoner
Derivert av produktet av to funksjoner
Derivert av kvotienten til to funksjoner
2.5. Derivat av en kompleks funksjon.
La funksjonen være gitt 
slik at det kan representeres i formen
Og 
, hvor variabelen 
er altså et mellomargument 
Den deriverte av en kompleks funksjon er lik produktet av den deriverte av den gitte funksjonen med hensyn til det mellomliggende argumentet og den deriverte av det mellomliggende argumentet med hensyn til x.
Eksempel 1. 
Eksempel 2. 
3. Differensialfunksjon.
La det være 
, differensierbar på et eller annet intervall 
La det gå på
denne funksjonen har en derivert
,
så kan vi skrive
(1),
Hvor 
- en uendelig liten mengde,
siden når 
Multiplisere alle likhetsvilkår (1) med 
vi har:
Hvor 
- b.m.v. høyere ordre.
Omfanget 
kalt funksjonens differensial 
og er utpekt 
.
3.1. Geometrisk verdi av differensialen.
La funksjonen være gitt 
.
Fig.2. Geometrisk betydning av differensial.
.
Tydeligvis differensialen til funksjonen 
er lik økningen av ordinaten til tangenten i et gitt punkt.
3.2. Derivater og differensialer av ulike rekkefølger.
Hvis det er 
, Deretter 
kalles den første deriverte.
Den deriverte av den første deriverte kalles andreordens deriverte og skrives 
.
Derivert av den n-te rekkefølgen av funksjonen 
kalles (n-1) ordensderiverte og er skrevet:
.
Differensialen til differensialen til en funksjon kalles den andre differensialen eller andreordensdifferensialen.
.
.
3.3 Løse biologiske problemer ved hjelp av differensiering.
Oppgave 1. Studier har vist at veksten av en koloni av mikroorganismer følger loven 
, Hvor N
- antall mikroorganismer (i tusenvis), t
– tid (dager).
b) Vil befolkningen i kolonien øke eller avta i løpet av denne perioden?
Svar. Størrelsen på kolonien vil øke.
Oppgave 2. Vannet i innsjøen testes med jevne mellomrom for å overvåke innholdet av sykdomsfremkallende bakterier. Gjennom t dager etter testing bestemmes konsentrasjonen av bakterier av forholdet
.
Når vil innsjøen ha en minimumskonsentrasjon av bakterier og vil det være mulig å svømme i den?
Løsning: En funksjon når maks eller min når dens deriverte er null.
,
La oss bestemme maks eller min vil være om 6 dager. For å gjøre dette, la oss ta den andre deriverte.
Svar: Etter 6 dager vil det være en minimumskonsentrasjon av bakterier.
Logaritmen av et positivt tall b til grunntallet a (a>0, a er ikke lik 1) er et tall c slik at a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Merk at logaritmen til et ikke-positivt tall er udefinert. I tillegg må basen til logaritmen være positivt tall, ikke lik 1. Hvis vi for eksempel kvadrerer -2, får vi tallet 4, men dette betyr ikke at logaritmen til grunntallet -2 av 4 er lik 2.
Grunnleggende logaritmisk identitet
a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Det er viktig at omfanget av definisjon av høyre og venstre side av denne formelen er forskjellig. Venstre side er definert kun for b>0, a>0 og a ≠ 1. Høyre side er definert for enhver b, og er ikke avhengig av a i det hele tatt. Dermed kan anvendelsen av den grunnleggende logaritmiske "identiteten" ved løsning av likninger og ulikheter føre til en endring i OD.
To åpenbare konsekvenser av definisjonen av logaritme
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
Faktisk, når vi hever tallet a til første potens, får vi det samme tallet, og når vi hever det til første potens null grader- en.
Logaritme av produktet og logaritme av kvotienten
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Logg a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Jeg vil advare skoleelever mot tankeløst å bruke disse formlene når de løser logaritmiske ligninger og ulikheter. Når du bruker dem "fra venstre til høyre", smalner ODZ, og når du flytter fra summen eller differansen av logaritmer til logaritmen til produktet eller kvotienten, utvides ODZ.
Faktisk er uttrykket log a (f (x) g (x)) definert i to tilfeller: når begge funksjonene er strengt tatt positive eller når f(x) og g(x) begge er mindre enn null.
Ved å transformere dette uttrykket til summen log a f (x) + log a g (x), er vi tvunget til å begrense oss til tilfellet når f(x)>0 og g(x)>0. Det er en innsnevring av utvalget av akseptable verdier, og dette er kategorisk uakseptabelt, siden det kan føre til tap av løsninger. Et lignende problem eksisterer for formel (6).
Graden kan tas ut av logaritmens fortegn
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)Og igjen vil jeg gjerne be om nøyaktighet. Tenk på følgende eksempel:
Logg a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Venstre side av likheten er åpenbart definert for alle verdier av f(x) bortsett fra null. Høyre side er kun for f(x)>0! Ved å ta graden ut av logaritmen, begrenser vi igjen ODZ. Den omvendte prosedyren fører til en utvidelse av utvalget av akseptable verdier. Alle disse merknadene gjelder ikke bare for kraft 2, men også for enhver jevn kraft.
Formel for å flytte til en ny stiftelse
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)At sjeldent tilfelle, når ODZ ikke endres under transformasjonen. Hvis du har valgt base c med omhu (positiv og ikke lik 1), er formelen for å flytte til en ny base helt trygg.
Velger vi tallet b som ny grunntall c, får vi en viktig spesielt tilfelle formler (8):
Logg a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Noen enkle eksempler med logaritmer
Eksempel 1. Regn ut: log2 + log50.
Løsning. log2 + log50 = log100 = 2. Vi brukte summen av logaritmene formel (5) og definisjonen av desimallogaritmen.
Eksempel 2. Regn ut: lg125/lg5.
Løsning. log125/log5 = log 5 125 = 3. Vi brukte formelen for å flytte til en ny base (8).
Tabell over formler relatert til logaritmer
| a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
Følger av dens definisjon. Og så logaritmen til tallet b basert på EN er definert som eksponenten som et tall må heves til en for å få nummeret b(logaritme eksisterer bare for positive tall).
Av denne formuleringen følger det at beregningen x=log a b, tilsvarer å løse ligningen a x =b. For eksempel, log 2 8 = 3 fordi 8 = 2 3 . Formuleringen av logaritmen gjør det mulig å rettferdiggjøre at if b=a c, deretter logaritmen til tallet b basert på en er lik Med. Det er også klart at temaet logaritmer er nært knyttet til emnet potenser av et tall.
Med logaritmer, som med alle tall, kan du gjøre operasjoner med addisjon, subtraksjon og transformere på alle mulige måter. Men på grunn av at logaritmer ikke er helt vanlige tall, gjelder her egne spesielle regler, som kalles hovedegenskaper.
Legge til og subtrahere logaritmer.
La oss ta to logaritmer med samme base: logg en x Og logg et y. Da er det mulig å utføre addisjons- og subtraksjonsoperasjoner:
log a x+ log a y= log a (x·y);
log a x - log a y = log a (x:y).
logg a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = logg en x 1 + logg en x 2 + logg en x 3 + ... + logg a x k.
Fra logaritmekvotientsetning En annen egenskap for logaritmen kan oppnås. Det er alminnelig kjent at logg en 1= 0, derfor
Logg en 1 /b=logg en 1 - logg a b= - logg a b.
Dette betyr at det er en likhet:
log a 1 / b = - log a b.
Logaritmer av to gjensidige tall av samme grunn vil avvike fra hverandre utelukkende ved tegn. Så:
Logg 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.
Legge til og subtrahere logaritmer
Grunnleggende egenskaper ved logaritmer
Logaritmer, som alle tall, kan legges til, trekkes fra og transformeres på alle måter. Men siden logaritmer ikke er helt vanlige tall, er det regler her, som kalles hovedegenskaper.
Du trenger definitivt å kjenne til disse reglene - uten dem kan ikke et eneste alvorlig logaritmisk problem løses. I tillegg er det svært få av dem – du kan lære alt på en dag. Så la oss komme i gang.
Tenk på to logaritmer med samme base: log en x og logg et y. Deretter kan de legges til og trekkes fra, og:
1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x − log a y = log a (x: y).
Så summen av logaritmer er lik logaritmen til produktet, og forskjellen er lik logaritmen til kvotienten. Vennligst merk: nøkkelen her er identiske grunner. Hvis årsakene er forskjellige, fungerer ikke disse reglene!
Disse formlene vil hjelpe deg med å beregne et logaritmisk uttrykk selv når dets individuelle deler ikke vurderes (se leksjonen "Hva er en logaritme"). Ta en titt på eksemplene og se:
Finn betydningen av uttrykket: logg 6 4 + logg 6 9.
Siden logaritmer har samme base, bruker vi sumformelen:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Finn betydningen av uttrykket: log 2 48 − log 2 3.
Basene er de samme, vi bruker forskjellsformelen:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Finn betydningen av uttrykket: log 3 135 − log 3 5.
Igjen er basene de samme, så vi har:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Som du kan se, består de opprinnelige uttrykkene av "dårlige" logaritmer, som ikke beregnes separat. Men etter transformasjonene får man helt normale tall. Mange tester er basert på dette faktum. Ja, testlignende uttrykk tilbys i fullt alvor (noen ganger med praktisk talt ingen endringer) på Unified State Examination.
La oss nå komplisere oppgaven litt. Hva om basen eller argumentet til en logaritme er en potens? Deretter kan eksponenten for denne graden tas ut av logaritmens fortegn i henhold til følgende regler:
1. logg a x n = n Logg en x;
3. 
Det er lett å se at den siste regelen følger de to første. Men det er bedre å huske det uansett - i noen tilfeller vil det redusere mengden beregninger betydelig.
Selvfølgelig gir alle disse reglene mening hvis ODZ til logaritmen blir observert: en > 0, en ≠ 1, x> 0. Og en ting til: lær å bruke alle formler ikke bare fra venstre til høyre, men også omvendt, dvs. Du kan legge inn tallene før logaritmetegnet i selve logaritmen. Dette er det som oftest kreves.
Finn betydningen av uttrykket: logg 7 49 6 .
La oss bli kvitt graden i argumentet ved å bruke den første formelen:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Finn betydningen av uttrykket:
Merk at nevneren inneholder en logaritme, hvis basis og argument er eksakte potenser: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2 . Vi har:
Jeg tror det siste eksemplet krever litt avklaring. Hvor har logaritmene blitt av? Helt til siste øyeblikk jobber vi kun med nevneren. Vi presenterte grunnlaget og argumentet for logaritmen som sto der i form av potenser og tok ut eksponentene - vi fikk en "tre-etasjers" brøk.
Laster inn...
