Hvordan trekke ut roten til et tall på riktig måte. Hvordan finne roten til et tall. Å ta roten av et negativt tall

Når man skal løse ulike oppgaver fra et matematikk- og fysikkkurs, blir elever og studenter ofte møtt med behovet for å trekke ut røtter fra andre, tredje eller n. grad. Selvfølgelig, i århundret informasjonsteknologier Det vil ikke være vanskelig å løse dette problemet ved hjelp av en kalkulator. Det oppstår imidlertid situasjoner når det er umulig å bruke den elektroniske assistenten.

For eksempel lar mange eksamener ikke ta med elektronikk. I tillegg kan det hende du ikke har en kalkulator for hånden. I slike tilfeller er det nyttig å kjenne til i det minste noen metoder for å beregne radikaler manuelt.

En av de enkleste måtene å beregne røtter på er å ved hjelp av et spesielt bord. Hva er det og hvordan bruker du det riktig?

Ved å bruke tabellen kan du finne kvadratet til et hvilket som helst tall fra 10 til 99. Radene i tabellen inneholder verdiene til tiere, og kolonnene inneholder verdiene til enhetene. Cellen i skjæringspunktet mellom en rad og en kolonne inneholder kvadratet til et tosifret tall. For å regne ut kvadratet på 63 må du finne en rad med verdien 6 og en kolonne med verdien 3. I skjæringspunktet finner vi en celle med tallet 3969.

Siden å trekke ut roten er den omvendte operasjonen av kvadrering, for å utføre denne handlingen må du gjøre det motsatte: først finn cellen med tallet hvis radikal du vil beregne, og bruk deretter verdiene til kolonnen og raden for å bestemme svaret . Som et eksempel, vurder beregningen kvadratrot 169.

Vi finner en celle med dette tallet i tabellen, horisontalt bestemmer vi tiere - 1, vertikalt finner vi enheter - 3. Svar: √169 = 13.

På samme måte kan du beregne terning- og n-te røtter ved å bruke de riktige tabellene.

Fordelen med metoden er dens enkelhet og fraværet av ytterligere beregninger. Ulempene er åpenbare: Metoden kan bare brukes for et begrenset tallområde (tallet som roten finnes for må være i området fra 100 til 9801). I tillegg vil det ikke fungere hvis det gitte tallet ikke er i tabellen.

primtallsfaktorisering

Hvis tabellen med kvadrater ikke er for hånden eller det viste seg å være umulig å finne roten med dens hjelp, kan du prøve dekomponere tallet under roten til primære faktorer . Primære faktorer er de som kan være fullstendig (uten resten) delbare bare med seg selv eller med en. Eksempler kan være 2, 3, 5, 7, 11, 13 osv.

La oss se på å beregne roten ved å bruke √576 som eksempel. La oss dele det ned i hovedfaktorer. Vi får følgende resultat: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Ved å bruke den grunnleggende egenskapen til røttene √a² = a, vil vi bli kvitt røtter og kvadrater, og deretter beregne svaret: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​= 24.

Hva skal jeg gjøre hvis noen av multiplikatorene ikke har sitt eget par? Tenk for eksempel på beregningen av √54. Etter faktorisering får vi resultatet inn følgende skjema: √54 = √(2 ∙ 3∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Den ikke-avtakbare delen kan stå under roten. For de fleste geometri- og algebraoppgaver vil dette svaret bli regnet som det endelige svaret. Men hvis det er behov for å beregne omtrentlige verdier, kan du bruke metoder som vil bli diskutert nedenfor.

Herons metode

Hva skal du gjøre når du i det minste trenger å vite omtrentlig hva den ekstraherte roten er lik (hvis det er umulig å få en heltallsverdi)? Rask og pen eksakt resultat gir anvendelsen av Herons metode. Essensen er å bruke en omtrentlig formel:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

der R er tallet hvis rot må beregnes, a er det nærmeste tallet hvis rotverdi er kjent.

La oss se på hvordan metoden fungerer i praksis og vurdere hvor nøyaktig den er. La oss regne ut hva √111 er lik. Tallet nærmest 111, hvis rot er kjent, er 121. Dermed er R = 111, a = 121. Bytt ut verdiene i formelen:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

La oss nå sjekke nøyaktigheten til metoden:

10,55² = 111,3025.

Metodens feil var omtrent 0,3. Hvis nøyaktigheten til metoden må forbedres, kan du gjenta de tidligere beskrevne trinnene:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

La oss sjekke nøyaktigheten av beregningen:

10,536² = 111,0073.

Etter å ha brukt formelen på nytt, ble feilen helt ubetydelig.

Beregning av roten ved lang divisjon

Denne metoden for å finne kvadratrotverdien er litt mer kompleks enn de forrige. Det er imidlertid den mest nøyaktige blant andre beregningsmetoder uten kalkulator.

La oss si at du må finne kvadratroten nøyaktig til 4 desimaler. La oss analysere beregningsalgoritmen ved å bruke eksemplet på et vilkårlig tall 1308.1912.

1. Del papirarket i 2 deler med en vertikal linje, og trekk deretter en annen linje fra det til høyre, litt under den øvre kanten. La oss skrive tallet på venstre side, dele det inn i grupper med 2 sifre, flytte til høyre og venstre side fra komma. Det aller første sifferet til venstre kan være uten et par. Hvis tegnet mangler på høyre side av tallet, bør du legge til 0. I vårt tilfelle vil resultatet være 13 08.19 12.
2. La oss velge det beste stort antall, hvis kvadrat vil være mindre enn eller lik den første gruppen med sifre. I vårt tilfelle er det 3. La oss skrive det øverst til høyre; 3 er det første sifferet i resultatet. Nederst til høyre angir vi 3×3 = 9; dette vil være nødvendig for senere beregninger. Fra 13 i kolonnen trekker vi 9, vi får resten av 4.
3. La oss tilordne det neste tallparet til resten 4; vi får 408.
4. Multipliser tallet øverst til høyre med 2 og skriv det nede til høyre, legg til _ x _ = til det. Vi får 6_ x _ =.
5. I stedet for bindestreker må du erstatte det samme tallet, mindre enn eller lik 408. Vi får 66 × 6 = 396. Vi skriver 6 fra øverst til høyre, siden dette er det andre sifferet i resultatet. Trekk 396 fra 408, vi får 12.
6. La oss gjenta trinn 3-6. Siden sifrene flyttet ned er i brøkdelen av tallet, er det nødvendig å sette desimal tegnøverst til høyre etter 6. La oss skrive ned dobbeltresultatet med streker: 72_ x _ =. Et passende tall vil være 1: 721×1 = 721. La oss skrive det ned som svaret. La oss trekke fra 1219 - 721 = 498.
7. La oss utføre sekvensen av handlinger gitt i forrige avsnitt tre ganger til for å få nødvendig beløp desimaler. Hvis det ikke er nok tegn for videre beregninger, må du legge til to nuller til gjeldende tall til venstre.

Som et resultat får vi svaret: √1308.1912 ≈ 36.1689. Hvis du sjekker handlingen ved hjelp av en kalkulator, kan du forsikre deg om at alle tegn ble identifisert riktig.

Bitvis kvadratrotberegning

Metoden har høy presisjon . I tillegg er det ganske forståelig og krever ikke å huske formler eller en kompleks handlingsalgoritme, siden essensen av metoden er å velge riktig resultat.

La oss trekke ut roten til tallet 781. La oss se på rekkefølgen av handlinger i detalj.

1. La oss finne ut hvilket siffer i kvadratrotverdien som vil være mest signifikant. For å gjøre dette, la oss kvadrat 0, 10, 100, 1000, etc. og finne ut mellom hvilke av dem det radikale tallet er plassert. Vi får de 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. La oss velge verdien av tiere. For å gjøre dette bytter vi på å heve til potensen 10, 20, ..., 90 til vi får et tall som er større enn 781. For vårt tilfelle får vi 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. verdien av resultatet n vil være innenfor 20< n <30.
3. I likhet med forrige trinn velges verdien av enhetssifferet. La oss kvadrat 21,22, ..., 29 én etter én: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 8,2 Vi får = 7< n < 28.
4. Hvert påfølgende siffer (tideler, hundredeler osv.) beregnes på samme måte som vist ovenfor. Beregninger utføres til den nødvendige nøyaktigheten er oppnådd.

Det er på tide å ordne opp metoder for utvinning av rot. De er basert på egenskapene til røttene, spesielt på likhet, som er sant for alle negativt tall b.

Nedenfor vil vi se på hovedmetodene for å trekke ut røtter en etter en.

La oss starte med det enkleste tilfellet - trekke ut røtter fra naturlige tall ved å bruke en tabell med kvadrater, en tabell med terninger, etc.

Hvis tabeller med firkanter, terninger osv. Hvis du ikke har det for hånden, er det logisk å bruke metoden for å trekke ut roten, som innebærer å dekomponere det radikale tallet til primfaktorer.

Det er verdt spesielt å nevne hva som er mulig for røtter med odde eksponenter.

Til slutt, la oss vurdere en metode som lar oss sekvensielt finne sifrene til rotverdien.

La oss komme i gang.

Ved å bruke en tabell med firkanter, en tabell med kuber, etc.

I de enkleste tilfellene lar tabeller med firkanter, kuber osv. deg trekke ut røtter. Hva er disse tabellene?

Tabellen med kvadrater av heltall fra 0 til og med 99 (vist nedenfor) består av to soner. Den første sonen i tabellen er plassert på en grå bakgrunn; ved å velge en spesifikk rad og en spesifikk kolonne, lar den deg komponere et tall fra 0 til 99. La oss for eksempel velge en rad med 8 tiere og en kolonne med 3 enheter, med dette fikset vi tallet 83. Den andre sonen opptar resten av tabellen. Hver celle er plassert i skjæringspunktet mellom en bestemt rad og en bestemt kolonne, og inneholder kvadratet til det tilsvarende tallet fra 0 til 99. I skjæringspunktet mellom vår valgte rad med 8 tiere og kolonne 3 med ener er det en celle med tallet 6 889, som er kvadratet av tallet 83.

Tabeller med terninger, tabeller med fjerde potenser av tall fra 0 til 99, og så videre ligner på tabellen med kvadrater, bare de inneholder terninger, fjerde potenser osv. i den andre sonen. tilsvarende tall.

Tabeller med kvadrater, terninger, fjerde potenser, etc. lar deg trekke ut kvadratrøtter, terningerøtter, fjerderøtter osv. tilsvarende fra tallene i disse tabellene. La oss forklare prinsippet for deres bruk når du trekker ut røtter.

La oss si at vi må trekke ut den n-te roten av tallet a, mens tallet a finnes i tabellen over n-te potenser. Ved å bruke denne tabellen finner vi tallet b slik at a=b n. Deretter , derfor vil tallet b være den ønskede roten av den n-te graden.

Som et eksempel, la oss vise hvordan du bruker en kubetabell for å trekke ut kuberoten til 19 683. Vi finner tallet 19 683 i terningtabellen, fra det finner vi at dette tallet er terningen til tallet 27, derfor, .

Det er tydelig at tabeller med n-te potenser er veldig praktiske for å trekke ut røtter. Imidlertid er de ofte ikke for hånden, og kompilering av dem krever litt tid. Dessuten er det ofte nødvendig å trekke ut røtter fra tall som ikke finnes i de tilsvarende tabellene. I disse tilfellene må du ty til andre metoder for rotutvinning.

Faktorerer et radikalt tall i primfaktorer

En ganske praktisk måte å trekke ut roten til et naturlig tall (hvis, selvfølgelig, roten trekkes ut) er å dekomponere det radikale tallet i primfaktorer. Hans poenget er dette: etter det er det ganske enkelt å representere det som en potens med ønsket eksponent, som lar deg få verdien av roten. La oss avklare dette punktet.

La den n-te roten av et naturlig tall a tas og verdien lik b. I dette tilfellet er likheten a=b n sann. Tallet b, som ethvert naturlig tall, kan representeres som produktet av alle dets primfaktorer p 1 , p 2 , …, p m i formen p 1 ·p 2 ·…·p m , og radikaltallet a i dette tilfellet er representert som (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Siden dekomponeringen av et tall til primfaktorer er unik, vil dekomponeringen av radikaltallet a til primfaktorer ha formen (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, som gjør det mulig å beregne verdien av roten som .

Legg merke til at hvis dekomponeringen til primfaktorer av et radikalt tall a ikke kan representeres på formen (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, så er ikke den n-te roten av et slikt tall a fullstendig ekstrahert.

La oss finne ut av dette når vi løser eksempler.

Eksempel.

Ta kvadratroten av 144.

Løsning.

Hvis du ser på tabellen med kvadrater gitt i forrige avsnitt, kan du tydelig se at 144 = 12 2, hvorfra det er klart at kvadratroten av 144 er lik 12.

Men i lys av dette punktet er vi interessert i hvordan roten trekkes ut ved å dekomponere radikaltallet 144 i primfaktorer. La oss se på denne løsningen.

La oss dekomponere 144 til primfaktorer:

Det vil si 144=2·2·2·2·3·3. Basert på den resulterende dekomponeringen, kan følgende transformasjoner utføres: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Derfor, .

Ved å bruke gradens egenskaper og røttenes egenskaper kunne løsningen formulert seg litt annerledes: .

Svar:

For å konsolidere materialet, vurder løsningene til ytterligere to eksempler.

Eksempel.

Beregn verdien av roten.

Løsning.

Primfaktoriseringen av radikaltallet 243 har formen 243=3 5 . Dermed, .

Svar:

Eksempel.

Er rotverdien et heltall?

Løsning.

For å svare på dette spørsmålet, la oss faktorere det radikale tallet inn i primfaktorer og se om det kan representeres som en kube av et heltall.

Vi har 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. Den resulterende utvidelsen kan ikke representeres som en kube av et heltall, siden potensen til primfaktoren 7 ikke er et multiplum av tre. Derfor kan ikke kuberoten til 285 768 trekkes ut fullstendig.

Svar:

Nei.

Trekke ut røtter fra brøktall

Det er på tide å finne ut hvordan du trekker ut roten til et brøktall. La brøkradikaltallet skrives som p/q. I henhold til egenskapen til roten til en kvotient, er følgende likhet sann. Av denne likestillingen følger det regel for å trekke ut roten til en brøk: Roten av en brøk er lik kvotienten til roten av telleren delt på roten av nevneren.

La oss se på et eksempel på å trekke ut en rot fra en brøk.

Eksempel.

Hva er kvadratroten av fellesbrøken 25/169?

Løsning.

Ved å bruke kvadrattabellen finner vi at kvadratroten av telleren til den opprinnelige brøken er lik 5, og kvadratroten av nevneren er lik 13. Deretter . Dette fullfører utvinningen av roten til fellesfraksjonen 25/169.

Svar:

Roten av desimal eller et blandet tall trekkes ut etter å ha erstattet de radikale tallene med vanlige brøker.

Eksempel.

Ta terningsroten av desimalbrøken 474.552.

Løsning.

La oss forestille oss den opprinnelige desimalbrøken som en vanlig brøk: 474.552=474552/1000. Deretter . Det gjenstår å trekke ut kuberøttene som er i telleren og nevneren til den resulterende brøken. Fordi 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 og 1 000 = 10 3, så Og . Det gjenstår bare å fullføre beregningene .

Svar:

.

Å ta roten av et negativt tall

Det er verdt å dvele ved å trekke ut røtter fra negative tall. Når vi studerte røtter, sa vi at når roteksponenten er et oddetall, kan det være et negativt tall under rottegnet. Vi ga disse oppføringene følgende betydning: for et negativt tall −a og en oddetallseksponent av roten 2 n−1, . Denne likheten gir regel for å trekke ut oddetall fra negative tall: for å trekke ut roten av et negativt tall, må du ta roten av det motsatte positive tallet, og sette et minustegn foran resultatet.

La oss se på eksempelløsningen.

Eksempel.

Finn verdien av roten.

Løsning.

La oss transformere det opprinnelige uttrykket slik at det er et positivt tall under rottegnet: . Erstatt nå det blandede tallet med en vanlig brøk: . Vi bruker regelen for å trekke ut roten til en vanlig brøk: . Det gjenstår å beregne røttene i telleren og nevneren til den resulterende brøken: .

Her er en kort oppsummering av løsningen: .

Svar:

.

Bitvis bestemmelse av rotverdien

I det generelle tilfellet, under roten er det et tall som, ved å bruke teknikkene diskutert ovenfor, ikke kan representeres som den n-te potensen av noe tall. Men i dette tilfellet er det behov for å vite betydningen av en gitt rot, i det minste opp til et visst tegn. I dette tilfellet, for å trekke ut roten, kan du bruke en algoritme som lar deg sekvensielt få et tilstrekkelig antall sifferverdier av ønsket nummer.

Det første trinnet i denne algoritmen er å finne ut hva den viktigste biten av rotverdien er. For å gjøre dette, heves tallene 0, 10, 100, ... sekvensielt til potensen n inntil det øyeblikket når et tall overskrider det radikale tallet oppnås. Da vil tallet som vi hevet til potensen n på forrige trinn indikere det tilsvarende mest signifikante sifferet.

Tenk for eksempel på dette trinnet i algoritmen når du trekker ut kvadratroten av fem. Ta tallene 0, 10, 100, ... og kvadrat dem til vi får et tall større enn 5. Vi har 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5, som betyr at det mest signifikante sifferet vil være en-sifferet. Verdien av denne biten, så vel som de lavere, vil bli funnet i de neste trinnene i rotekstraksjonsalgoritmen.

Alle påfølgende trinn i algoritmen er rettet mot å sekvensielt avklare verdien av roten ved å finne verdiene til de neste bitene av ønsket verdi av roten, starter med den høyeste og flytter til de laveste. For eksempel viser verdien av roten ved det første trinnet å være 2, ved det andre – 2,2, ved det tredje – 2,23, og så videre 2,236067977…. La oss beskrive hvordan verdiene til sifrene finnes.

Sifrene blir funnet ved å søke gjennom deres mulige verdier 0, 1, 2, ..., 9. I dette tilfellet beregnes de n-te potensene til de tilsvarende tallene parallelt, og de sammenlignes med radikaltallet. Hvis verdien av graden på et tidspunkt overstiger det radikale tallet, anses verdien til sifferet som tilsvarer den forrige verdien som funnet, og overgangen til neste trinn i rotekstraksjonsalgoritmen gjøres; hvis dette ikke skjer, da er verdien av dette sifferet 9.

La oss forklare disse punktene ved å bruke samme eksempel på å trekke ut kvadratroten av fem.

Først finner vi verdien av enhetssifferet. Vi vil gå gjennom verdiene 0, 1, 2, ..., 9, og beregne henholdsvis 0 2, 1 2, ..., 9 2, til vi får en verdi større enn radikaltallet 5. Det er praktisk å presentere alle disse beregningene i form av en tabell:

Så verdien av enhetssifferet er 2 (siden 2 2<5 , а 2 3 >5). La oss gå videre til å finne verdien av tiendedelsplassen. I dette tilfellet kvadrerer vi tallene 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, og sammenligner de resulterende verdiene med det radikale tallet 5:

Siden 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, så er verdien av tiendedelsplassen 2. Du kan fortsette med å finne verdien av hundredeler:

Slik ble den neste verdien av roten av fem funnet, den er lik 2,23. Og slik kan du fortsette å finne verdier: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

For å konsolidere materialet, vil vi analysere utvinningen av roten med en nøyaktighet på hundredeler ved å bruke den betraktede algoritmen.

Først bestemmer vi det mest signifikante sifferet. For å gjøre dette kuber vi tallene 0, 10, 100 osv. til vi får et tall større enn 2 151 186. Vi har 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151 186 , så det mest signifikante sifferet er tiersifferet.

La oss bestemme verdien.

Siden 103<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186, så er verdien av tierplassen 1. La oss gå videre til enheter.

Dermed er verdien av en-sifferet 2. La oss gå videre til tideler.

Siden selv 12,9 3 er mindre enn det radikale tallet 2 151,186, er verdien av tiendedelsplassen 9. Det gjenstår å utføre det siste trinnet i algoritmen; det vil gi oss verdien av roten med den nødvendige nøyaktigheten.

På dette stadiet er verdien av roten funnet nøyaktig til hundredeler: .

Avslutningsvis av denne artikkelen vil jeg si at det er mange andre måter å trekke ut røtter på. Men for de fleste oppgavene er de vi studerte ovenfor tilstrekkelige.

Bibliografi.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: lærebok for 8. klasse. utdanningsinstitusjoner.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra og begynnelsen av analyse: Lærebok for 10. - 11. klassetrinn ved allmennutdanningsinstitusjoner.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematikk (en manual for de som går inn på tekniske skoler).

Kapittel først.

Finne den største heltalls kvadratroten fra et gitt heltall.

170. Innledende merknader.

EN) Siden vi vil snakke om å trekke ut bare kvadratroten, for å forkorte talen i dette kapittelet, vil vi i stedet for "kvadratrot" bare si "rot".

b) Hvis vi kvadrerer tallene til den naturlige rekken: 1,2,3,4,5. . . , så får vi følgende rutetabell: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,121,144. .,

Det er åpenbart mange heltall som ikke er i denne tabellen; Selvfølgelig er det umulig å trekke ut hele roten fra slike tall. Derfor, hvis du trenger å trekke ut roten til et heltall, for eksempel. kreves for å finne √4082, så er vi enige om å forstå dette kravet som følger: trekk ut hele roten av 4082, hvis mulig; hvis det ikke er mulig, må vi finne det største heltallet hvis kvadrat er 4082 (et slikt tall er 63, siden 63 2 = 3969, og 64 2 = 4090).

V) Hvis dette tallet er mindre enn 100, blir roten av det funnet ved hjelp av multiplikasjonstabellen; Dermed vil √60 være 7, siden syv 7 er lik 49, som er mindre enn 60, og åtte 8 er lik 64, som er større enn 60.

171. Trekke ut roten til et tall mindre enn 10 000, men større enn 100. La oss si at vi må finne √4082. Siden dette tallet er mindre enn 10 000, er roten mindre enn √l0 000 = 100. På den annen side er dette tallet større enn 100; dette betyr at roten av det er større enn (eller lik 10). (Hvis det for eksempel var nødvendig å finne √ 120 , så selv om tallet 120 > 100, men √ 120 er lik 10, fordi 11 2 = 121.) Men hvert tall som er større enn 10 men mindre enn 100 har 2 sifre; Dette betyr at den nødvendige roten er summen:

tiere + enere,

og derfor må kvadratet være lik summen:

Denne summen må være det største kvadratet på 4082.

La oss ta den største av dem, 36, og anta at kvadratet av tierroten vil være lik akkurat denne største kvadraten. Da må antallet tiere i roten være 6. La oss nå sjekke at dette alltid skal være tilfelle, dvs. antallet tiere i roten er alltid lik den største heltallsroten av antall hundrevis av radikalen.

Faktisk, i vårt eksempel, kan antallet tiere av roten ikke være mer enn 6, siden (7 des.) 2 = 49 hundre, som overstiger 4082. Men det kan ikke være mindre enn 6, siden 5 des. (med enheter) er mindre enn 6 des., og i mellomtiden (6 des.) 2 = 36 hundre, som er mindre enn 4082. Og siden vi ser etter den største hele roten, bør vi ikke ta 5 des for roten, når selv 6 tiere ikke er mye av.

Så vi har funnet tallet på tiere av roten, nemlig 6. Vi skriver dette tallet til høyre for =-tegnet, og husker at det betyr tiere av roten. Ved å heve den ved torget får vi 36 hundre. Vi trekker disse 36 hundrene fra de 40 hundrevis av radikaltallet og trekker fra de resterende to sifrene i dette tallet. Resten 482 må inneholde 2 (6 des.) (enheter) + (enheter)2. Produktet (6 des.) (enheter) må være tiere; derfor må dobbeltproduktet av tiere med enere søkes i tiere av resten, dvs. i 48 (vi får tallet ved å skille ett siffer til høyre i resten av 48 "2). De doblete tiere av roten utgjør 12. Dette betyr at hvis vi multipliserer 12 med enhetene til roten ( som fortsatt er ukjente), så bør vi få tallet som finnes i 48. Derfor deler vi 48 på 12.

For å gjøre dette, tegn en vertikal linje til venstre for resten og bak den (trinn tilbake fra linjen ett sted til venstre for formålet som nå vises) skriver vi dobbelt det første sifferet i roten, dvs. 12, og del 48 på det. I kvotienten får vi 4.

Vi kan imidlertid ikke garantere på forhånd at tallet 4 kan tas som enheter av roten, siden vi nå har delt med 12 hele tallet på tiere av resten, mens noen av dem kanskje ikke tilhører det doble produktet av tiere med enheter, men er en del av kvadratet av enheter. Derfor kan tallet 4 være stort. Vi må prøve det ut. Det er åpenbart egnet hvis summen 2 (6 des.) 4 + 4 2 ikke er mer enn resten 482.

Som et resultat får vi summen av begge på en gang. Det resulterende produktet viste seg å være 496, som er større enn resten 482; Det betyr at nummer 4 er stort. La oss så teste det neste mindre tallet 3 på samme måte.

Eksempler.

I eksempel 4, når vi deler de 47 tiere av resten med 4, får vi 11 som en kvotient. Men siden antall enheter av roten ikke kan være et tosifret tall 11 eller 10, må vi direkte teste tallet 9.

I eksempel 5, etter å ha trukket 8 fra den første flaten av kvadratet, viser resten seg å være 0, og den neste flaten består også av nuller. Dette viser at ønsket rot består av kun 8 tiere, og derfor må en null settes i stedet for enerne.

172. Trekke ut roten til et tall større enn 10 000. La oss si at vi må finne √35782. Siden radikaltallet overstiger 10 000, er roten av det større enn √10000 = 100, og derfor består det av 3 sifre eller mer. Uansett hvor mange sifre den består av, kan vi alltid betrakte den som summen av bare tiere og enere. Hvis for eksempel roten viser seg å være 482, kan vi regne den som mengden 48 des. + 2 enheter Da vil kvadratet av roten bestå av 3 ledd:

(desc.) 2 + 2 (desc.) (enhet) + (enhet) 2 .

Nå kan vi resonnere på nøyaktig samme måte som når vi fant √4082 (i forrige avsnitt). Den eneste forskjellen vil være at for å finne titallene av roten til 4082 måtte vi trekke ut roten av 40, og dette kunne gjøres ved hjelp av multiplikasjonstabellen; nå, for å få tier√35782, må vi ta roten av 357, noe som ikke kan gjøres ved å bruke multiplikasjonstabellen. Men vi kan finne √357 ved å bruke teknikken som ble beskrevet i forrige avsnitt, siden tallet 357< 10 000. Наибольший целый корень из 357 оказывается 18. Значит, в √3"57"82 должно быть 18 десятков. Чтобы найти единицы, надо из 3"57"82 вычесть квадрат 18 десятков, для чего достаточно вычесть квадрат 18 из 357 сотен и к остатку снести 2 последние цифры подкоренного числа. Остаток от вычитания квадpaта 18 из 357 у нас уже есть: это 33. Значит, для получения остатка от вычитания квадрата 18 дес. из 3"57"82, достаточно к 33 приписать справа цифры 82.

Deretter fortsetter vi som vi gjorde da vi fant √4082, nemlig: til venstre for resten av 3382 tegner vi en vertikal linje og bak den skriver vi (et går ett mellomrom tilbake fra linjen) to ganger antallet titalls av roten funnet, dvs. 36 (to ganger 18). I resten skiller vi ett siffer til høyre og deler antallet tiere av resten, dvs. 338, med 36. I kvotienten får vi 9. Vi tester dette tallet, som vi tildeler det til 36 til høyre og multiplisere med det. Produktet viste seg å være 3321, som er mindre enn resten. Dette betyr at tallet 9 passer, vi skriver det ved roten.

Generelt, for å trekke ut kvadratroten av et heltall, må du først trekke ut roten av dets hundrevis; hvis dette tallet er mer enn 100, må du lete etter roten til antallet hundrevis av disse hundre, det vil si av titusenvis av dette tallet; hvis dette tallet er mer enn 100, må du ta roten fra antallet hundrevis av titusener, det vil si fra millioner av et gitt tall, osv.

Eksempler.

I det siste eksemplet, etter å ha funnet det første sifferet og trukket fra kvadratet, får vi en rest av 0. Vi trekker fra de neste 2 sifrene 51. Ved å skille tierne får vi 5 des, mens det dobbeltfunne sifferet i roten er 6. Dette betyr at ved å dele 5 med 6 får vi 0. Vi setter 0 på andreplass ved roten og legger til de neste 2 sifrene til resten; vi får 5110. Så fortsetter vi som vanlig.

I dette eksemplet består den nødvendige roten av bare 9 hundre, og derfor må nuller plasseres på plassene til tiere og på plassene til enere.

Regel. For å trekke ut kvadratroten av et gitt heltall deler de det, fra høyre til venstre, på kanten, med 2 siffer i hver, bortsett fra det siste, som kan ha ett siffer.
For å finne det første sifferet i roten, ta kvadratroten av det første ansiktet.
For å finne det andre sifferet trekkes kvadratet til det første sifferet i roten fra det første sifferet, det andre sifferet tas til resten, og antallet tiere av det resulterende tallet deles med det dobbelte av det første sifferet i roten ; det resulterende heltall testes.
Denne testen utføres slik: bak den vertikale linjen (til venstre for resten) skriv to ganger det tidligere funnet nummeret til roten, og til det, på høyre side, legg til det testede sifferet, det resulterende tallet, etter dette tillegget , multipliseres med det testede sifferet. Hvis resultatet etter multiplikasjon er et tall større enn resten, er det testede sifferet ikke egnet, og det neste mindre sifferet må testes.
De neste sifrene i roten blir funnet ved hjelp av samme teknikk.
Hvis, etter å ha fjernet et ansikt, antallet tiere av det resulterende tallet viser seg å være mindre enn divisoren, det vil si mindre enn to ganger den funnet delen av roten, så setter de 0 ved roten, fjerner neste ansikt og fortsette handlingen videre.

173. Antall sifre i roten. Fra vurderingen av prosessen med å finne roten, følger det at det er like mange sifre i roten som det er ansikter med 2 sifre hver i radikalnummeret (venstre ansikt kan ha ett siffer).

Kapittel to.

Trekk ut omtrentlige kvadratrøtter av heltall og brøker .

For å trekke ut kvadratroten av polynomer, se tilleggene til 2. del av § 399 ff.

174. Tegn på en nøyaktig kvadratrot. Den nøyaktige kvadratroten av et gitt tall er et tall hvis kvadrat er nøyaktig lik det gitte tallet. La oss angi noen tegn som man kan bedømme om en nøyaktig rot kan trekkes ut fra et gitt tall eller ikke:

EN) Hvis den eksakte hele roten ikke trekkes ut fra et gitt heltall (resten oppnås ved ekstrahering), kan den nøyaktige brøkroten ikke finnes fra et slikt tall, siden enhver brøk som ikke er lik et helt tall, multiplisert med seg selv , produserer også en brøkdel i produktet, ikke et heltall.

b) Siden roten av en brøk er lik roten av telleren delt på roten av nevneren, kan den nøyaktige roten av en irreduserbar brøk ikke bli funnet hvis den ikke kan trekkes ut fra telleren eller nevneren. For eksempel kan den nøyaktige roten ikke trekkes ut fra brøkene 4/5, 8/9 og 11/15, siden den i den første brøken ikke kan trekkes ut fra nevneren, i den andre - fra telleren og i den tredje - verken fra telleren eller fra nevneren.

Fra tall der den eksakte roten ikke kan trekkes ut, kan bare omtrentlige røtter trekkes ut.

175. Omtrentlig rot nøyaktig til 1. En omtrentlig kvadratrot, nøyaktig til innenfor 1, av et gitt tall (heltall eller brøk, det spiller ingen rolle) er et heltall som tilfredsstiller følgende to krav:

1) kvadratet av dette tallet er ikke større enn det gitte tallet; 2) men kvadratet av dette tallet økt med 1 er større enn dette tallet. Med andre ord, en omtrentlig kvadratrot nøyaktig til 1 er den største heltalls kvadratroten av et gitt tall, det vil si roten som vi lærte å finne i forrige kapittel. Denne roten kalles omtrentlig med en nøyaktighet på 1, fordi for å få en nøyaktig rot, må vi legge til en brøkdel mindre enn 1 til denne omtrentlige roten, så hvis vi i stedet for den ukjente nøyaktige roten tar denne omtrentlige, vil vi lage en feil mindre enn 1.

Regel. For å trekke ut en omtrentlig kvadratrot nøyaktig til innenfor 1, må du trekke ut den største heltallsroten av heltallsdelen av det gitte tallet.

Tallet funnet av denne regelen er en omtrentlig rot med en ulempe , siden den mangler den nøyaktige roten til en viss brøkdel (mindre enn 1). Hvis vi øker denne roten med 1, får vi et annet tall der det er noe overskudd over den eksakte roten, og dette overskuddet er mindre enn 1. Denne roten økt med 1 kan også kalles en omtrentlig rot med nøyaktigheten 1, men med et overskudd. (Navnene: "med mangel" eller "med overskudd" i noen matematiske bøker er erstattet med andre tilsvarende: "ved mangel" eller "med overskytende.")

176. Tilnærmet rot med en nøyaktighet på 1/10. La oss si at vi må finne √2.35104 med en nøyaktighet på 1/10. Dette betyr at du må finne en desimalbrøk som vil bestå av hele enheter og tideler og som vil tilfredsstille følgende to krav:

1) kvadratet av denne brøken overstiger ikke 2,35104, men 2) hvis vi øker det med 1/10, så overskrider kvadratet av denne økte brøken 2,35104.

For å finne en slik brøk finner vi først en omtrentlig rot nøyaktig til 1, det vil si at vi trekker ut roten bare fra heltall 2. Vi får 1 (og resten er 1). Vi skriver tallet 1 ved roten og setter komma etter. Nå skal vi se etter antall tideler. For å gjøre dette tar vi ned til resten 1 sifrene 35 til høyre for desimaltegnet, og fortsetter ekstraksjonen som om vi trekker ut roten av heltallet 235. Vi skriver det resulterende tallet 5 i roten i stedet for tiendedeler . Vi trenger ikke de resterende sifrene i radikalnummeret (104). At det resulterende tallet 1,5 faktisk vil være en omtrentlig rot med en nøyaktighet på 1/10 kan sees av det følgende. Hvis vi skulle finne den største heltallsroten av 235 med en nøyaktighet på 1, ville vi fått 15. Så:

15 2 < 235, men 16 2 >235.

Ved å dele alle disse tallene med 100 får vi:

Dette betyr at tallet 1,5 er desimalbrøken som vi kalte en omtrentlig rot med en nøyaktighet på 1/10.

Ved å bruke denne teknikken kan vi også finne følgende omtrentlige røtter med en nøyaktighet på 0,1:

177. Tilnærmet kvadratrot til innenfor 1/100 til 1/1000, etc.

Anta at vi må finne en omtrentlig √248 med en nøyaktighet på 1/100. Dette betyr: finn en desimalbrøk som vil bestå av hele, tiendedeler og hundredeler og som vil tilfredsstille to krav:

1) kvadratet overstiger ikke 248, men 2) hvis vi øker denne brøken med 1/100, vil kvadratet til denne økte brøken overstige 248.

Vi vil finne en slik brøk i følgende rekkefølge: først finner vi hele tallet, så tiendedelstallet, så hundredelstallet. Roten til et heltall er 15 heltall. For å få tideltallet, som vi har sett, må du legge til de resterende 23 2 sifre til til høyre for desimaltegnet. I vårt eksempel er disse tallene ikke til stede i det hele tatt, vi setter nuller i stedet. Ved å legge dem til resten og fortsette som om vi fant roten til heltallet 24 800, finner vi tiendedelene tallet 7. Det gjenstår å finne hundredelstallet. For å gjøre dette legger vi til 2 nuller til resten 151 og fortsetter ekstraksjonen, som om vi fant roten til heltallet 2 480 000. Vi får 15,74. At dette tallet egentlig er en omtrentlig rot på 248 med en nøyaktighet på 1/100 kan sees av det følgende. Hvis vi skulle finne den største heltalls kvadratroten av heltallet 2 480 000, ville vi fått 1574; Midler:

1574 2 < 2 480 000, men 1575 2 > 2 480 000.

Ved å dele alle tall med 10 000 (= 100 2), får vi:

Dette betyr at 15,74 er den desimalbrøken som vi kalte en omtrentlig rot med en nøyaktighet på 1/100 av 248.

Ved å bruke denne teknikken for å finne en omtrentlig rot med en nøyaktighet på 1/1000 til 1/10000 osv., finner vi følgende.

Regel. For å trekke ut en omtrentlig rot fra et gitt heltall eller fra en gitt desimalbrøk med en nøyaktighet på 1/10 til 1/100 til 1/100 osv., finn først en omtrentlig rot med en nøyaktighet på 1 ved å trekke ut roten av heltall (hvis det ikke er det, skriver de om roten til 0 heltall).

Så finner de antall tideler. For å gjøre dette, legg til resten av de 2 sifrene i det radikale tallet til høyre for desimaltegnet (hvis de ikke er der, legg til to nuller til resten), og fortsett ekstraksjonen som gjøres når du trekker ut roten til et heltall . Det resulterende tallet skrives ved roten i stedet for tiendedeler.

Finn deretter hundredeler. For å gjøre dette, legges to tall til høyre for de som nettopp ble fjernet til resten, osv.

Når du trekker ut roten til et heltall med en desimalbrøk, er det derfor nødvendig å dele inn 2 sifre i sider hver, fra desimaltegnet, både til venstre (i heltallsdelen av tallet) og til høyre (i tallet). brøkdelen).

Eksempler.

1) Finn opptil 1/100 røtter: a) √2; b) √0,3;

I det siste eksemplet konverterte vi brøken 3/7 til en desimal ved å beregne 8 desimaler for å danne de 4 flatene som trengs for å finne de 4 desimalstedene til roten.

178. Beskrivelse av tabellen med kvadratrøtter. På slutten av denne boken er en tabell med kvadratrøtter beregnet med fire sifre. Ved å bruke denne tabellen kan du raskt finne kvadratroten av et helt tall (eller desimalbrøk) som ikke er uttrykt med mer enn fire sifre. Før vi forklarer hvordan denne tabellen er bygget opp, legger vi merke til at vi alltid kan finne det første signifikante sifferet i ønsket rot uten hjelp av tabeller ved bare å se på det radikale tallet; vi kan også enkelt finne ut hvilket desimal det første sifferet i roten betyr, og derfor må vi sette et komma i roten når vi finner sifrene. Her er noen eksempler:

1) √5"27,3 . Det første sifferet vil være 2, siden venstre side av radikalnummeret er 5; og roten av 5 er lik 2. I tillegg, siden det i heltallsdelen av radikalet bare er 2 flater, må det i heltallsdelen av ønsket rot være 2 sifre, og derfor må dets første siffer 2 betyr tiere.

2) √9.041. Åpenbart, i denne roten vil det første sifferet være 3 prime enheter.

3) √0,00"83"4. Det første signifikante sifferet er 9, siden ansiktet som roten må tas fra for å få det første signifikante sifferet er 83, og roten av 83 er 9. Siden det nødvendige tallet ikke vil inneholde verken hele tall eller tiendedeler, første siffer 9 må bety hundredeler.

4) √0,73"85. Det første signifikante tallet er 8 tideler.

5) √0,00"00"35"7. Det første signifikante tallet vil være 5 tusendeler.

La oss komme med en bemerkning til. La oss anta at vi må trekke ut roten til et tall som, etter å ha forkastet det okkuperte ordet i det, er representert av en serie tall som dette: 5681. Denne roten kan være en av følgende:

Hvis vi tar røttene som vi understreker med én linje, vil de alle uttrykkes med samme tallserie, nettopp de tallene som oppnås når man trekker ut roten fra 5681 (disse vil være tallene 7, 5, 3, 7 ). Grunnen til dette er at flatene som det radikale tallet må deles inn i når man skal finne sifrene til roten vil være de samme i alle disse eksemplene, derfor vil sifrene for hver rot være de samme (bare posisjonen til desimalen punktet vil selvfølgelig være annerledes). På samme måte, i alle røttene som er understreket av oss med to linjer, bør de samme tallene oppnås, nøyaktig de som brukes til å uttrykke √568.1 (disse tallene vil være 2, 3, 8, 3), og for det samme grunnen til. Dermed vil sifrene i røttene til tallene representert (ved å slippe komma) ved samme rad med tall 5681 være av to (og bare to): enten er dette raden 7, 5, 3, 7, eller rad 2, 3, 8, 3. Det samme kan selvsagt sies om alle andre tallserier. Derfor, som vi nå vil se, i tabellen, tilsvarer hver rad med sifre i det radikale tallet 2 rader med sifre for røttene.

Nå kan vi forklare strukturen til tabellen og hvordan du bruker den. For klarhet i forklaringen har vi vist begynnelsen av den første siden i tabellen her.

Denne tabellen er plassert på flere sider. På hver av dem, i den første kolonnen til venstre, er tallene 10, 11, 12... (opptil 99) plassert. Disse tallene uttrykker de to første sifrene i tallet som kvadratroten søkes fra. I den øvre horisontale linjen (så vel som i bunnen) er tallene: 0, 1, 2, 3... 9, som representerer det tredje sifferet i dette tallet, og lenger til høyre er tallene 1, 2, 3. . . 9, som representerer det fjerde sifferet i dette nummeret. Alle andre horisontale linjer inneholder 2 firsifrede tall som uttrykker kvadratrøttene til de tilsvarende tallene.

Anta at du må finne kvadratroten av et tall, enten et heltall eller uttrykt som en desimalbrøk. Først og fremst finner vi, uten hjelp av tabeller, det første sifferet i roten og dets siffer. Da vil vi forkaste kommaet i dette tallet, hvis det er en. La oss først anta at etter å ha forkastet kommaet, vil for eksempel bare 3 sifre være igjen. 114. Vi finner i tabellene i kolonnen lengst til venstre de 2 første sifrene, dvs. 11, og beveger oss fra dem til høyre langs den horisontale linjen til vi kommer til den vertikale kolonnen, som øverst (og nederst) er det 3. sifferet. av tallet , dvs. 4. På dette stedet finner vi to firesifrede tall: 1068 og 3376. Hvilket av disse to tallene skal tas og hvor kommaet skal settes i det, dette bestemmes av det første sifferet i roten og sifferet, som vi fant tidligere. Så hvis vi trenger å finne √0,11"4, er det første sifferet i roten 3 tideler, og derfor må vi ta 0,3376 for roten. Hvis vi trengte å finne √1,14, ville det første sifferet i roten være 1, og vi Da ville vi tatt 1,068.

På denne måten kan vi enkelt finne:

√5,30 = 2,302; √7"18 = 26,80; √0,91"6 = 0,9571, osv.

La oss nå anta at vi må finne roten til et tall uttrykt (ved å slippe desimaltegnet) med 4 sifre, for eksempel √7"45.6. Når vi legger merke til at det første sifferet i roten er 2 tiere, finner vi for nummer 745, som nå er forklart, sifrene 2729 (vi merker kun dette tallet med fingeren, men skriver det ikke ned.) Så beveger vi oss fra dette tallet videre til høyre til på høyre side av bordet (bak den siste fete linjen) møter vi den vertikale kolonnen som er markert øverst (og bunnen) 4 det sifferet i det gitte tallet, dvs. tallet 6, og finner tallet 1 der. Dette vil være en korreksjon som må påføres (i tankene) til det tidligere funnet tallet 2729; vi får 2730. Vi skriver ned dette tallet og setter et komma i det på riktig sted: 27.30.

På denne måten finner vi for eksempel:

√44,37 = 6,661; √4,437 = 2,107; √0,04"437 =0,2107 osv.

Hvis det radikale tallet er uttrykt med bare ett eller to sifre, kan vi anta at disse sifrene blir fulgt av en eller to nuller, og deretter fortsette som forklart for et tresifret tall. For eksempel, √2,7 =√2,70 =1,643; √0,13 = √0,13"0 = 0,3606, osv.

Til slutt, hvis det radikale tallet er uttrykt med mer enn 4 sifre, tar vi bare de første 4 av dem, og forkaster resten, og for å redusere feilen, hvis det første av de forkastede sifrene er 5 eller mer enn 5, da vil vi øke med l den fjerde av de beholdte sifrene. Så:

√357,8| 3 | = 18,91; √0,49"35|7 | = 0,7025; og så videre.

Kommentar. Tabellene angir omtrentlig kvadratrot, noen ganger med mangel, noen ganger med overskudd, nemlig den av disse omtrentlige røttene som kommer nærmere den eksakte roten.

179. Trekke ut kvadratrøtter fra vanlige brøker. Den nøyaktige kvadratroten av en irreduserbar brøk kan bare trekkes ut når begge leddene i brøken er eksakte kvadrater. I dette tilfellet er det nok å trekke ut roten til telleren og nevneren separat, for eksempel:

Den enkleste måten å finne en omtrentlig kvadratrot av en ordinær brøk med en viss desimalpresisjon, er å først konvertere ordinære brøken til en desimal, og i denne brøken beregner antallet desimaler etter desimaltegnet det dobbelte av antall desimaler. i ønsket rot.

Du kan imidlertid gjøre det annerledes. La oss forklare dette med følgende eksempel:

Finn omtrentlig √ 5 / 24

La oss gjøre nevneren til et eksakt kvadrat. For å gjøre dette vil det være nok å multiplisere begge leddene i brøken med nevneren 24; men i dette eksemplet kan du gjøre det annerledes. La oss dekomponere 24 til primfaktorer: 24 = 2 2 2 3. Fra denne dekomponeringen er det klart at hvis 24 multipliseres med 2 og ytterligere 3, vil hver enkel faktor i produktet gjentas et likt antall ganger, og derfor , vil nevneren bli en firkant:

Det gjenstår å regne ut √30 med en viss nøyaktighet og dele resultatet med 12. Man må huske på at å dele med 12 også vil redusere brøken som indikerer nøyaktighetsgraden. Så hvis vi finner √30 med en nøyaktighet på 1/10 og deler resultatet med 12, vil vi få en omtrentlig rot av brøken 5/24 med en nøyaktighet på 1/120 (nemlig 54/120 og 55/120)

Kapittel tre.

Graf av en funksjonx = √y .

180. Invers funksjon. La det gis en ligning som bestemmer på som en funksjon av X for eksempel slik: y = x 2 . Vi kan si at det ikke bare bestemmer på som en funksjon av X , men også omvendt bestemmer X som en funksjon av på , om enn på en implisitt måte. For å gjøre denne funksjonen eksplisitt, må vi løse denne ligningen for X , tar på for et kjent nummer; Så fra ligningen vi tok finner vi: y = x 2 .

Det algebraiske uttrykket oppnådd for x etter å ha løst ligningen som definerer y som en funksjon av x kalles den inverse funksjonen til den som definerer y.

Så funksjonen x = √y invers funksjon y = x 2 . Hvis vi, som vanlig, betegner den uavhengige variabelen X , og den avhengige på , så kan den inverse funksjonen oppnådd nå uttrykkes som følger: y = √x . For å oppnå en funksjon invers til en gitt (direkte), er det derfor nødvendig å utlede fra ligningen som definerer denne gitte funksjonen X avhengig av y og i det resulterende uttrykket erstatte y på x , A X på y .

181. Graf over en funksjon y = √x . Denne funksjonen er ikke mulig med en negativ verdi X , men det kan beregnes (med hvilken som helst nøyaktighet) for enhver positiv verdi x , og for hver slik verdi mottar funksjonen to forskjellige verdier med samme absolutte verdi, men med motsatte fortegn. Hvis du er kjent √ Hvis vi bare angir den aritmetiske verdien av kvadratroten, kan disse to verdiene av funksjonen uttrykkes som følger: y = ± √ x For å plotte en graf over denne funksjonen, må du først kompilere en tabell med verdiene. Den enkleste måten å lage denne tabellen på er fra tabellen med direkte funksjonsverdier:

y = x 2 .

x

y

hvis verdiene på ta som verdier X , og vice versa:

y = ± √ x

Ved å plotte alle disse verdiene på tegningen får vi følgende graf.

I samme tegning avbildet vi (med en stiplet linje) grafen til den direkte funksjonen y = x 2 . La oss sammenligne disse to grafene med hverandre.

182. Forholdet mellom grafene til direkte og inverse funksjoner. For å kompilere en verditabell for den inverse funksjonen y = ± √ x vi tok for X de tallene som er i tabellen for den direkte funksjonen y = x 2 fungert som verdier for på , og for på tok de tallene; som i denne tabellen var verdiene for x . Det følger av dette at begge grafene er like, bare grafen til den direkte funksjonen er slik plassert i forhold til aksen på - hvordan grafen til den inverse funksjonen er plassert i forhold til aksen X - ov. Som et resultat, hvis vi bøyer tegningen rundt en rett linje OA halverer en rett vinkel xOy , slik at den delen av tegningen som inneholder halvaksen OU , falt på delen som inneholder akselakselen Åh , Det OU kompatibel med Åh , alle divisjoner OU vil falle sammen med delinger Åh , og parabelpoeng y = x 2 vil justere med de tilsvarende punktene på grafen y = ± √ x . For eksempel poeng M Og N , hvis ordinat 4 , og abscissene 2 Og - 2 , vil falle sammen med punktene M" Og N" , for hvilken abscissen 4 , og ordinatene 2 Og - 2 . Hvis disse punktene faller sammen, betyr dette at de rette linjene MM" Og NN" vinkelrett på OA og del denne rette linjen i to. Det samme kan sies for alle andre tilsvarende punkter i begge grafene.

Dermed bør grafen til den inverse funksjonen være den samme som grafen til den direkte funksjonen, men disse grafene er plassert annerledes, nemlig symmetrisk med hverandre i forhold til halveringslinjen til vinkelen xOy . Vi kan si at grafen til den inverse funksjonen er en refleksjon (som i et speil) av grafen til den direkte funksjonen i forhold til halveringslinjen til vinkelen xOy .

Matematikk oppsto da mennesket ble bevisst seg selv og begynte å posisjonere seg som en autonom enhet av verden. Ønsket om å måle, sammenligne, telle det som omgir deg er det som ligger til grunn for en av våre dagers grunnleggende vitenskaper. Til å begynne med var dette partikler av elementær matematikk, som gjorde det mulig å koble tall med deres fysiske uttrykk, senere begynte konklusjonene å bli presentert bare teoretisk (på grunn av deres abstraksjon), men etter en stund, som en vitenskapsmann sa det, " matematikk nådde taket av kompleksitet da de forsvant fra det." alle tallene." Konseptet "kvadratrot" dukket opp på et tidspunkt da det lett kunne støttes av empiriske data, og gikk utover beregningsplanet.

Der det hele begynte

Den første omtalen av roten, som for tiden er betegnet som √, ble registrert i verkene til babylonske matematikere, som la grunnlaget for moderne aritmetikk. Selvfølgelig lignet de lite på den nåværende formen - forskere fra disse årene brukte først klumpete tabletter. Men i det andre årtusen f.Kr. e. De utledet en omtrentlig regneformel som viste hvordan man trekker ut kvadratroten. Bildet nedenfor viser en stein som babylonske forskere hugget prosessen for å utlede √2 på, og den viste seg å være så korrekt at avviket i svaret bare ble funnet i tiende desimal.

I tillegg ble roten brukt hvis det var nødvendig å finne en side av en trekant, forutsatt at de to andre var kjent. Vel, når du løser andregradsligninger, er det ingen unnslippe fra å trekke ut roten.

Sammen med de babylonske verkene ble gjenstanden for artikkelen også studert i det kinesiske verket "Matematikk i ni bøker", og de gamle grekerne kom til den konklusjon at ethvert tall som roten ikke kan trekkes ut fra uten en rest gir et irrasjonelt resultat .

Opprinnelsen til dette begrepet er assosiert med den arabiske representasjonen av tall: gamle forskere trodde at kvadratet til et vilkårlig tall vokser fra en rot, som en plante. På latin høres dette ordet ut som radix (du kan spore et mønster - alt som har en "rot" betydning er konsonant, enten det er reddik eller radikulitt).

Forskere fra påfølgende generasjoner plukket opp denne ideen og utpekte den som Rx. For eksempel, på 1400-tallet, for å indikere at kvadratroten av et vilkårlig tall a ble tatt, skrev de R 2 a. "Flåtten", kjent for moderne øyne, dukket opp først på 1600-tallet takket være Rene Descartes.

Dagene våre

I matematiske termer er kvadratroten av et tall y tallet z hvis kvadrat er lik y. Med andre ord er z 2 =y ekvivalent med √y=z. Imidlertid er denne definisjonen bare relevant for den aritmetiske roten, siden den innebærer en ikke-negativ verdi av uttrykket. Med andre ord, √y=z, der z er større enn eller lik 0.

Generelt, som gjelder for å bestemme en algebraisk rot, kan verdien av uttrykket være enten positiv eller negativ. På grunn av det faktum at z 2 =y og (-z) 2 =y, har vi: √y=±z eller √y=|z|.

På grunn av det faktum at kjærligheten til matematikk bare har økt med utviklingen av vitenskapen, er det forskjellige manifestasjoner av kjærlighet til det som ikke kommer til uttrykk i tørre beregninger. For eksempel, sammen med slike interessante fenomener som Pi Day, feires også kvadratrotferier. De feires ni ganger hvert hundre år, og bestemmes etter følgende prinsipp: tallene som angir i rekkefølge dagen og måneden må være kvadratroten av året. Så neste gang vi skal feire denne høytiden er 4. april 2016.

Egenskaper til kvadratroten på feltet R

Nesten alle matematiske uttrykk har et geometrisk grunnlag, og √y, som er definert som siden av et kvadrat med området y, har ikke unnsluppet denne skjebnen.

Hvordan finne roten til et tall?

Det finnes flere beregningsalgoritmer. Den enkleste, men samtidig ganske tungvinte, er den vanlige aritmetiske beregningen, som er som følger:

1) fra tallet hvis rot vi trenger, trekkes oddetall etter tur - til resten ved utgangen er mindre enn den subtraherte eller til og med lik null. Antall trekk vil til slutt bli ønsket antall. For eksempel beregne kvadratroten av 25:

Det neste oddetall er 11, resten er: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

For slike tilfeller er det en utvidelse av Taylor-serien:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , hvor n tar verdier fra 0 til

+∞, og |y|≤1.

Grafisk representasjon av funksjonen z=√y

La oss vurdere den elementære funksjonen z=√y på feltet til reelle tall R, der y er større enn eller lik null. Tidsplanen ser slik ut:

Kurven vokser fra origo og skjærer nødvendigvis punktet (1; 1).

Egenskaper til funksjonen z=√y på feltet til reelle tall R

1. Definisjonsdomenet til funksjonen som vurderes er intervallet fra null til pluss uendelig (null er inkludert).

2. Verdiområdet for funksjonen som vurderes er intervallet fra null til pluss uendelig (null er igjen inkludert).

3. Funksjonen tar sin minimumsverdi (0) kun ved punktet (0; 0). Det er ingen maksimumsverdi.

4. Funksjonen z=√y er verken partall eller oddetall.

5. Funksjonen z=√y er ikke periodisk.

6. Det er bare ett skjæringspunkt for grafen til funksjonen z=√y med koordinataksene: (0; 0).

7. Skjæringspunktet for grafen til funksjonen z=√y er også nullpunktet til denne funksjonen.

8. Funksjonen z=√y vokser kontinuerlig.

9. Funksjonen z=√y tar bare positive verdier, derfor opptar grafen dens første koordinatvinkel.

Alternativer for å vise funksjonen z=√y

I matematikk, for å lette beregningen av komplekse uttrykk, brukes noen ganger kraftformen for å skrive kvadratroten: √y=y 1/2. Dette alternativet er praktisk, for eksempel ved å heve en funksjon til en potens: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2. Denne metoden er også en god representasjon for differensiering med integrasjon, siden kvadratroten takket være den representeres som en vanlig potensfunksjon.

Og i programmering er det å erstatte symbolet √ kombinasjonen av bokstaver sqrt.

Det er verdt å merke seg at i dette området er kvadratroten etterspurt, siden den er en del av de fleste geometriske formler som er nødvendige for beregninger. Selve tellealgoritmen er ganske kompleks og er basert på rekursjon (en funksjon som kaller seg selv).

Kvadratrot i komplekst felt C

I det store og hele var det emnet for denne artikkelen som stimulerte oppdagelsen av feltet komplekse tall C, siden matematikere ble hjemsøkt av spørsmålet om å få en jevn rot av et negativt tall. Slik så den imaginære enheten i ut, som er preget av en veldig interessant egenskap: kvadratet er -1. Takket være dette ble kvadratiske ligninger løst selv med en negativ diskriminant. I C er de samme egenskapene relevante for kvadratroten som i R, det eneste er at restriksjonene på det radikale uttrykket fjernes.