Et rektangulært parallellepiped (PP) er ikke annet enn et prisme, hvis basis er et rektangel. For en PP er alle diagonaler like, noe som betyr at alle diagonalene beregnes ved hjelp av formelen:

• a, mot bunnen av PP;

  med sin høyde.

En annen definisjon kan gis ved å vurdere det kartesiske rektangulære koordinatsystemet:

PP-diagonalen er radiusvektoren til ethvert punkt i rommet spesifisert av x-, y- og z-koordinater i det kartesiske koordinatsystemet. Denne radiusvektoren til punktet er trukket fra origo. Og koordinatene til punktet vil være projeksjonene av radiusvektoren (diagonalene til PP) på koordinataksene. Anslagene faller sammen med toppunktene til dette parallellepipedet.



Et rektangulært parallellepiped er en type polyeder som består av 6 flater, ved bunnen av disse er et rektangel. En diagonal er et linjestykke som forbinder motsatte hjørner av et parallellogram.

Formel for å finne lengden på en diagonal - kvadratet på diagonalen lik summen kvadrater av tre dimensjoner av et parallellogram.



Jeg fant en god diagram-tabell på Internett med en fullstendig liste over alt som er i parallellepipedet. Det er en formel for å finne diagonalen, som er angitt med d.

Det er et bilde av kanten, toppunktet og andre viktige ting for parallellepipedet.



Hvis lengden, høyden og bredden (a,b,c) til et rektangulært parallellepiped er kjent, vil formelen for beregning av diagonalen se slik ut:



Vanligvis tilbyr lærere ikke elevene sine en ren formel, men anstrenger seg slik at de kan utlede den på egenhånd ved å stille ledende spørsmål:

• hva trenger vi å vite, hvilke data har vi?
• hvilke egenskaper har et rektangulært parallellepiped?
• gjelder Pythagoras teorem her? Hvordan?
• Finnes det nok data til å anvende Pythagoras teorem, eller trengs det noen andre beregninger?

Vanligvis, etter å ha svart på spørsmålene som stilles, kan elevene enkelt utlede denne formelen på egenhånd.

Diagonalene til et rektangulært parallellepiped er like. Samt diagonalene til de motsatte ansiktene. Lengden på diagonalen kan beregnes ved å kjenne lengden på kantene på parallellogrammet som kommer fra ett toppunkt. Denne lengden er lik kvadratroten av summen av kvadratene av lengdene på kantene.



En kuboid er en av de såkalte polyedrene, som består av 6 flater, som hver er et rektangel. En diagonal er et segment som forbinder motsatte hjørner av et parallellogram. Hvis lengden, bredden og høyden til et rektangulært parallellepiped tas til å være henholdsvis a, b, c, vil formelen for diagonalen (D) se slik ut: D^2=a^2+b^2+c ^2.



Diagonal av et rektangulært parallellepiped er et segment som forbinder dets motsatte topper. Så vi har kuboid med diagonal d og sidene a, b, c. En av egenskapene til et parallellepiped er at kvadratet diagonal lengde d er lik summen av kvadratene av de tre dimensjonene a, b, c. Derfor er konklusjonen den diagonal lengde kan enkelt beregnes ved hjelp av følgende formel:



Også:

Hvordan finne høyden på et parallellepiped?

• Diagonalt kvadrat, av et kvadratisk parallellepiped (se egenskapene til et kvadratisk parallellepiped) er lik summen av kvadratene på de tre forskjellige sidene (bredde, høyde, tykkelse), og følgelig er diagonalene til et kvadratisk parallellepiped lik roten av denne summen.

  Jeg husker skolens læreplan i geometri, vi kan si dette: diagonalen til et parallellepiped er lik kvadratroten hentet fra summen av de tre sidene (de er betegnet med små bokstaver a, b, c).

  Lengden på diagonalen til et rektangulært parallellepiped er lik kvadratroten av summen av kvadratene på sidene.

  Så vidt jeg vet siden skolepensum, klasse 9 hvis jeg ikke tar feil, og hvis minnet fungerer, så er diagonalen til et rektangulært parallellepiped lik kvadratroten av summen av kvadratene til alle tre sidene.

  kvadratet av diagonalen er lik summen av kvadratene av bredden, høyden og lengden, basert på denne formelen får vi svaret, diagonalen er lik kvadratroten av summen av de tre forskjellige dimensjoner, de angir bokstavene nсz abc

I denne leksjonen vil alle kunne studere emnet "Rektangulært parallellepiped". I begynnelsen av leksjonen vil vi gjenta hva vilkårlige og rette parallellepiped er, husk egenskapene til deres motsatte flater og diagonaler til parallellepipedet. Deretter skal vi se på hva en kuboid er og diskutere dens grunnleggende egenskaper.

Tema: Vinkelretthet av linjer og plan

Leksjon: Cuboid

En overflate sammensatt av to like parallellogrammer ABCD og A 1 B 1 C 1 D 1 og fire parallellogrammer ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 kalles parallellepipedum(Figur 1).

Ris. 1 Parallelepiped

Det vil si: vi har to like parallellogrammer ABCD og A 1 B 1 C 1 D 1 (baser), de ligger i parallelle plan slik at sidekantene AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 er parallelle. Dermed kalles en overflate sammensatt av parallellogrammer parallellepipedum.

Dermed er overflaten til et parallellepiped summen av alle parallellogrammene som utgjør parallellepipedet.

1. De motsatte flatene til et parallellepiped er parallelle og like.

(formene er like, det vil si at de kan kombineres ved å overlappe)

For eksempel:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (like parallellogrammer per definisjon),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (siden AA 1 B 1 B og DD 1 C 1 C er motsatte sider av parallellepipedet),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (siden AA 1 D 1 D og BB 1 C 1 C er motsatte sider av parallellepipedet).

2. Diagonalene til et parallellepiped skjærer hverandre i ett punkt og halveres av dette punktet.

Diagonalene til parallellepipedet AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B skjærer hverandre i ett punkt O, og hver diagonal er delt i to med dette punktet (fig. 2).

Ris. 2 Diagonalene til et parallellepipedum skjærer hverandre og er delt i to av skjæringspunktet.

3. Det er tre firedobler av like og parallelle kanter på et parallellepiped: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

Definisjon. Et parallellepiped kalles rett hvis sidekantene er vinkelrett på basene.

La sidekanten AA 1 være vinkelrett på basen (fig. 3). Dette betyr at rett linje AA 1 er vinkelrett på rette linjer AD og AB, som ligger i grunnplanet. Dette betyr at sideflatene inneholder rektangler. Og basene inneholder vilkårlige parallellogrammer. La oss betegne ∠BAD = φ, vinkelen φ kan være hvilken som helst.

Ris. 3 Høyre parallellepipedum

Så, et høyre parallellepiped er et parallellepiped der sidekantene er vinkelrett på bunnen av parallellepipedet.

Definisjon. Parallepipedet kalles rektangulært, hvis sidekantene er vinkelrette på basen. Basene er rektangler.

Den parallellepipediserte ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 er rektangulær (fig. 4), hvis:

1. AA 1 ⊥ ABCD (sidekant vinkelrett på basens plan, det vil si en rett parallellepiped).

2. ∠DÅRLIG = 90°, dvs. basen er et rektangel.

Ris. 4 Rektangulær parallellepipedum

Et rektangulært parallellepiped har alle egenskapene til et vilkårlig parallellepiped. Men det er tilleggsegenskaper, som er avledet fra definisjonen av et rektangulært parallellepiped.

Så, kuboid er et parallellepiped hvis sidekanter er vinkelrett på basen. Grunnlaget til en kuboid er et rektangel.

1. I et rektangulært parallellepiped er alle seks flatene rektangler.

ABCD og A 1 B 1 C 1 D 1 er rektangler per definisjon.

2. Laterale ribber er vinkelrett på basen. Så det er det sideflater rektangulært parallellepipedum - rektangler.

3. Alle dihedrale vinkler rektangulære parallellepipediserte rette linjer.

La oss for eksempel se på den dihedriske vinkelen til et rektangulært parallellepiped med kant AB, dvs. den dihedrale vinkelen mellom planene ABC 1 og ABC.

AB er en kant, punkt A 1 ligger i ett plan - i planet ABB 1, og punkt D i det andre - i planet A 1 B 1 C 1 D 1. Da kan den dihedriske vinkelen som vurderes også betegnes som følger: ∠A 1 ABD.

La oss ta punkt A på kant AB. AA 1 er vinkelrett på kanten AB i planet АВВ-1, AD er vinkelrett på kanten AB i planet ABC. Dette betyr at ∠A 1 AD er den lineære vinkelen til en gitt dihedral vinkel. ∠A 1 AD = 90°, som betyr at den dihedrale vinkelen ved kanten AB er 90°.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

På samme måte er det bevist at alle dihedriske vinkler på et rektangulært parallellepiped er riktige.

Kvadraten til diagonalen til et rektangulært parallellepiped er lik summen av kvadratene av dets tre dimensjoner.

Merk. Lengdene til de tre kantene som kommer fra ett toppunkt av en kuboid er målene til cuboid. De kalles noen ganger lengde, bredde, høyde.

Gitt: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - rektangulært parallellepipedum (fig. 5).

Bevis: .

Ris. 5 Rektangulær parallellepipedum

Bevis:

Rett linje CC 1 er vinkelrett på plan ABC, og derfor på rett linje AC. Dette betyr at trekanten CC 1 A er rettvinklet. I følge Pythagoras teorem:

Tenk på den rette trekanten ABC. I følge Pythagoras teorem:

Men f.Kr. og e.Kr. - motsatte sider rektangel. Så BC = AD. Deretter:

Fordi , A , Det. Siden CC 1 = AA 1, er dette det som måtte bevises.

Diagonalene til et rektangulært parallellepiped er like.

La oss betegne dimensjonene til parallellepipedet ABC som a, b, c (se fig. 6), da AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

I geometri skilles følgende typer parallellepipeder ut: rektangulær parallellepiped (flatene til parallellepipedene er rektangler); et rett parallellepiped (sideflatene fungerer som rektangler); skrånende parallellepipedum (sideflatene fungerer som perpendikulære); en kube er et parallellepiped med helt identiske dimensjoner, og flatene på kuben er firkanter. Parallelepipeds kan være enten skråstilte eller rette.

Hovedelementene i et parallellepiped er at de to ansiktene til de representerte geometrisk figur, som ikke har en felles kant er motsatte, og de som har er tilstøtende. Toppene på parallellepipedet, som ikke tilhører samme ansikt, virker motsatt av hverandre. Et parallellepiped har en dimensjon - dette er tre kanter som har et felles toppunkt.

Linjestykket som forbinder motsatte hjørner kalles en diagonal. De fire diagonalene til et parallellepiped, som krysser hverandre i ett punkt, er samtidig delt i to.

For å bestemme diagonalen til et parallellepiped, må du bestemme sidene og kantene, som er kjent fra forholdene til problemet. Med tre kjente ribber EN , I , MED tegne en diagonal i parallellepipedet. I henhold til egenskapen til et parallellepiped, som sier at alle vinklene er rette, bestemmes diagonalen. Konstruer en diagonal fra en av flatene til parallellepipedet. Diagonalene skal tegnes på en slik måte at diagonalen på ansiktet, ønsket diagonal på parallellepipedet og den kjente kanten danner en trekant. Etter at en trekant er dannet, finn lengden på denne diagonalen. Diagonalen i den andre resulterende trekanten fungerer som hypotenusen, så den kan finnes ved å bruke Pythagoras teorem, som må tas under kvadratroten. På denne måten vet vi verdien av den andre diagonalen. For å finne den første diagonalen til parallellepipedet i den dannede rette trekanten, er det også nødvendig å finne den ukjente hypotenusen (ved hjelp av Pythagoras teorem). Bruk det samme eksempelet, finn sekvensielt de resterende tre diagonalene som eksisterer i parallellepipedet, og utfør ytterligere konstruksjoner av diagonaler som danner rette trekanter og løs ved hjelp av Pythagoras teorem.

Et rektangulært parallellepiped (PP) er ikke annet enn et prisme, hvis basis er et rektangel. For en PP er alle diagonaler like, noe som betyr at alle diagonalene beregnes ved hjelp av formelen:

a, c - sider av bunnen av PP;

c er høyden.

En annen definisjon kan gis ved å vurdere det kartesiske rektangulære koordinatsystemet:

PP-diagonalen er radiusvektoren til ethvert punkt i rommet spesifisert av x-, y- og z-koordinater i det kartesiske koordinatsystemet. Denne radiusvektoren til punktet er trukket fra origo. Og koordinatene til punktet vil være projeksjonene av radiusvektoren (diagonalene til PP) på koordinataksene. Anslagene faller sammen med toppunktene til dette parallellepipedet.

Parallelepiped og dens typer

Hvis vi bokstavelig talt oversetter navnet fra gammelgresk, viser det seg at det er en figur som består av parallelle plan. Det er følgende ekvivalente definisjoner av et parallellepiped:

• et prisme med en base i form av et parallellogram;
• et polyeder, hvor hver side er et parallellogram.

Dens typer skilles ut avhengig av hvilken figur som ligger ved basen og hvordan sideribbene er rettet. I generell sak snakke om skrånende parallellepipedum, hvis base og alle flater er parallellogrammer. Hvis sideflatene til forrige visning blir rektangler, må den kalles direkte. Og rektangulær og basen har også 90º vinkler.

Dessuten prøver de i geometri å skildre sistnevnte på en slik måte at det er merkbart at alle kantene er parallelle. Her er forresten hovedforskjellen mellom matematikere og kunstnere. Det er viktig for sistnevnte å formidle kroppen i samsvar med perspektivloven. Og i dette tilfellet er parallelliteten til ribbene helt usynlig.

Om de introduserte notasjonene

I formlene nedenfor er notasjonene angitt i tabellen gyldige.

Formler for en skrånende parallellepiped

Første og andre for områder:

Den tredje er å beregne volumet til et parallellepiped:

Siden basen er et parallellogram, må du bruke de riktige uttrykkene for å beregne arealet.

Formler for et rektangulært parallellepiped

I likhet med det første punktet - to formler for områder:

Og en til for volum:

Første oppgave

Betingelse. Gitt et rektangulært parallellepiped, hvis volumet må finnes. Diagonalen er kjent - 18 cm - og det faktum at den danner vinkler på henholdsvis 30 og 45 grader med planet til sideflaten og sidekanten.

Løsning. For å svare på problemspørsmålet må du kjenne alle sidene i tre rette trekanter. De vil gi de nødvendige verdiene av kantene som du trenger for å beregne volumet.

Først må du finne ut hvor 30º vinkelen er. For å gjøre dette må du tegne en diagonal av sideflaten fra samme toppunkt der hoveddiagonalen til parallellogrammet ble tegnet. Vinkelen mellom dem vil være det som trengs.

Den første trekanten som vil gi en av verdiene til sidene av basen vil være følgende. Den inneholder den nødvendige siden og to tegnede diagonaler. Den er rektangulær. Nå må vi bruke relasjonen motsatt side(base sider) og hypotenuse (diagonaler). Det er lik sinus på 30º. Det vil si at den ukjente siden av basen vil bli bestemt som diagonalen multiplisert med sinusen 30º eller ½. La det være betegnet med bokstaven "a".

Den andre vil være en trekant som inneholder en kjent diagonal og en kant som den danner 45º. Den er også rektangulær, og du kan igjen bruke forholdet mellom benet og hypotenusen. Med andre ord, sidekant til diagonal. Det er lik cosinus på 45º. Det vil si at "c" beregnes som produktet av diagonalen og cosinus på 45º.

c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (cm).

I den samme trekanten må du finne et annet ben. Dette er nødvendig for deretter å beregne den tredje ukjente - "in". La det betegnes med bokstaven "x". Det kan enkelt beregnes ved å bruke Pythagoras setning:

x = √(18 2 - (9√2) 2) = 9√2 (cm).

Nå må vi vurdere en annen rettvinklet trekant. Den inneholder allerede kjente parter"c", "x" og den som må telles, "v":

i = √((9√2) 2 - 9 2 = 9 (cm).

Alle tre mengdene er kjent. Du kan bruke formelen for volum og beregne det:

V = 9 * 9 * 9 √2 = 729 √2 (cm 3).

Svar: volumet til parallellepipedet er 729√2 cm 3.

Andre oppgave

Betingelse. Du må finne volumet til et parallellepiped. I den er sidene av parallellogrammet, som ligger ved basen, kjent for å være 3 og 6 cm, så vel som dens spisse vinkel - 45º. Sideribben har en helning til bunnen på 30º og er lik 4 cm.

Løsning. For å svare på spørsmålet om problemet, må du ta formelen som ble skrevet for volumet til et skrånende parallellepiped. Men begge mengdene er ukjente i den.

Arealet av basen, det vil si av et parallellogram, vil bli bestemt av en formel der du må multiplisere de kjente sidene og sinusen til den spisse vinkelen mellom dem.

S o = 3 * 6 sin 45º = 18 * (√2)/2 = 9 √2 (cm 2).

Den andre ukjente mengden er høyde. Den kan tegnes fra hvilken som helst av de fire hjørnene over basen. Den kan finnes fra en rettvinklet trekant der høyden er benet og sidekanten er hypotenusen. I dette tilfellet ligger en vinkel på 30º motsatt den ukjente høyden. Dette betyr at vi kan bruke forholdet mellom benet og hypotenusen.

n = 4 * sin 30º = 4 * 1/2 = 2.

Nå er alle verdiene kjent og volumet kan beregnes:

V = 9 √2 * 2 = 18 √2 (cm 3).

Svar: volumet er 18 √2 cm 3.

Tredje oppgave

Betingelse. Finn volumet til et parallellepiped hvis det er kjent at det er rett. Sidene av basen danner et parallellogram og er lik 2 og 3 cm. Den spisse vinkelen mellom dem er 60º. Den mindre diagonalen til parallellepipedet er lik den større diagonalen til basen.

Løsning. For å finne ut volumet til et parallellepiped bruker vi formelen med grunnflate og høyde. Begge mengdene er ukjente, men de er enkle å beregne. Den første er høyden.

Siden den mindre diagonalen til parallellepipedet sammenfaller i størrelse med den større basen, kan de betegnes med samme bokstav d. Den største vinkelen til et parallellogram er 120º, siden den danner 180º med den spisse. La den andre diagonalen til basen betegnes med bokstaven "x". Nå for de to diagonalene til basen kan vi skrive cosinussetningene:

d 2 = a 2 + b 2 - 2 av cos 120º,

x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º.

Det gir ingen mening å finne verdier uten firkanter, siden de senere vil bli hevet til andre potens igjen. Etter å ha erstattet dataene får vi:

d 2 = 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º = 4 + 9 + 12 * ½ = 19,

x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º = 4 + 9 - 12 * ½ = 7.

Nå skal høyden, som også er sidekanten til parallellepipedet, vise seg å være et ben i trekanten. Hypotenusen vil være den kjente diagonalen til kroppen, og det andre benet vil være "x". Vi kan skrive Pythagoras teorem:

n 2 = d 2 - x 2 = 19 - 7 = 12.

Derfor: n = √12 = 2√3 (cm).

Nå er den andre ukjente mengden arealet av basen. Det kan beregnes ved hjelp av formelen nevnt i den andre oppgaven.

S o = 2 * 3 sin 60º = 6 * √3/2 = 3√3 (cm 2).

Ved å kombinere alt i volumformelen får vi:

V = 3√3 * 2√3 = 18 (cm 3).

Svar: V = 18 cm 3.

Fjerde oppgave

Betingelse. Det er nødvendig å finne ut volumet til et parallellepiped som oppfyller følgende betingelser: basen er en firkant med en side på 5 cm; sideflatene er romber; en av toppunktene som ligger over basen er like langt fra alle toppunktene som ligger ved basen.

Løsning. Først må du håndtere tilstanden. Det er ingen spørsmål med det første punktet om torget. Den andre, om romber, gjør det klart at parallellepipedet er skråstilt. Dessuten er alle kantene lik 5 cm, siden sidene på romben er de samme. Og fra den tredje blir det klart at de tre diagonalene trukket fra den er like. Dette er to som ligger på sideflatene, og den siste er inne i parallellepipedet. Og disse diagonalene er lik kanten, det vil si at de også har en lengde på 5 cm.

For å bestemme volumet trenger du en formel skrevet for et skrånende parallellepiped. Det er igjen ingen kjente mengder i den. Arealet av basen er imidlertid lett å beregne fordi det er en firkant.

So = 52 = 25 (cm2).

Situasjonen med høyde er litt mer komplisert. Det vil være slik i tre figurer: et parallellepiped, en firkantet pyramide og likebent trekant. Denne siste omstendigheten bør utnyttes.

Siden det er høyden, er det et ben i en rettvinklet trekant. Hypotenusen i den vil være en kjent kant, og det andre benet er lik halvparten av kvadratets diagonal (høyden er også medianen). Og diagonalen til basen er lett å finne:

d = √(2 * 5 2) = 5√2 (cm).

n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √(25 - 25/2) = √(25/2) = 2,5 √2 (cm).

V = 25 * 2,5 √2 = 62,5 √2 (cm 3).

Svar: 62,5 √2 (cm 3).

Bruksanvisning

Metode 2. La oss anta at det rektangulære parallellepipedet er en terning. En kube er et rektangulært parallellepiped, hver flate er representert av en firkant. Derfor er alle sidene like. Så for å beregne lengden på diagonalen vil den bli uttrykt som følger:

Kilder:

• rektangel diagonal formel

Et parallellepiped er et spesielt tilfelle av et prisme, der alle seks flatene er parallellogrammer eller rektangler. Et parallellepipedum med rektangulære flater kalles også rektangulært. Et parallellepiped har fire kryssende diagonaler. Hvis tre kanter a, b, c er gitt, kan du finne alle diagonalene til et rektangulært parallellepiped ved å utføre tilleggskonstruksjoner.

Bruksanvisning

Finn diagonalen til parallellepipedet m. For å gjøre dette, finn den ukjente hypotenusen i a, n, m: m² = n² + a². Erstatning kjente verdier, regn deretter ut kvadratroten. Resultatet som oppnås vil være den første diagonalen av parallellepipedet m.

På samme måte tegner du sekvensielt alle de tre andre diagonalene til parallellepipedet. Også, for hver av dem, utfør ytterligere konstruksjon av diagonaler av tilstøtende ansikter. Vurder de rette trekantene som er dannet og bruk Pythagoras teorem, finn verdiene til de gjenværende diagonalene.

Video om emnet

Kilder:

• finne et parallellepiped

Hypotenusen er motsatt side rett vinkel. Ben er sidene av en trekant ved siden av en rett vinkel. I forhold til trekanter ABC og ACD: AB og BC, AD og DC–, AC er den felles hypotenusen for begge trekantene (den ønskede diagonal). Derfor er AC = kvadrat AB + kvadrat BC eller AC b = kvadrat AD + kvadrat DC. Bytt ut sidelengdene rektangel inn i formelen ovenfor og beregn lengden på hypotenusen (diagonal rektangel).

For eksempel sidene rektangel ABCD er lik følgende verdier: AB = 5 cm og BC = 7 cm. Kvadraten på diagonalen AC til en gitt rektangel i henhold til Pythagoras teorem: AC kvadrat = kvadrat AB + kvadrat BC = 52+72 = 25 + 49 = 74 sq.cm. Bruk en kalkulator for å beregne verdien kvadratrot 74. Du skal få 8,6 cm (avrundet verdi). Vær oppmerksom på at i henhold til en av eiendommene rektangel, diagonalene er like. Så lengden på den andre diagonalen BD rektangel ABCD er lik lengden på diagonalen AC. For eksempelet ovenfor, denne verdien

Definisjon

Polyeder vi vil kalle en lukket overflate som består av polygoner og som avgrenser en viss del av rommet.

Segmentene som er sidene til disse polygonene kalles ribbeina polyeder, og polygonene selv er kanter. Toppunktene til polygoner kalles polyederhjørner.

Vi vil kun vurdere konvekse polyeder (dette er et polyeder som er plassert på den ene siden av hvert plan som inneholder ansiktet).

Polygonene som utgjør et polyeder danner overflaten. Den delen av rommet som er avgrenset av et gitt polyeder kalles dets indre.

Definisjon: prisme

Betrakt to like polygoner \(A_1A_2A_3...A_n\) og \(B_1B_2B_3...B_n\) plassert i parallelle plan slik at segmentene \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) parallell. Et polyeder dannet av polygonene \(A_1A_2A_3...A_n\) og \(B_1B_2B_3...B_n\) , samt parallellogrammer \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), kalles (\(n\)-gonal) prisme.

Polygoner \(A_1A_2A_3...A_n\) og \(B_1B_2B_3...B_n\) kalles prismebaser, parallellogrammer \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– sideflater, segmenter \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- laterale ribber.
Dermed er sidekantene av prismet parallelle og like med hverandre.

La oss se på et eksempel - et prisme \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), ved bunnen av den ligger en konveks femkant.

Høyde Prismer er en vinkelrett som faller fra et hvilket som helst punkt på en base til planet til en annen base.

Hvis sidekantene ikke er vinkelrette på basen, kalles et slikt prisme tilbøyelig(fig. 1), ellers – rett. I et rett prisme er sidekantene høyder, og sideflatene er like rektangler.

Hvis en regulær polygon ligger ved bunnen av et rett prisme, kalles prismet riktig.

Definisjon: volumbegrep

Enheten for volummåling er en enhetsterning (en kube som måler \(1\ ganger 1\ ganger 1\) enheter\(^3\), der enhet er en viss måleenhet).

Vi kan si at volumet til et polyeder er mengden plass som dette polyederet begrenser. Ellers: dette er en størrelse hvis numeriske verdi viser hvor mange ganger en enhetsterning og dens deler passer inn i et gitt polyeder.

Volum har samme egenskaper som areal:

1. Volumene av like figurer er like.

2. Hvis et polyeder er sammensatt av flere ikke-skjærende polyedre, så er volumet lik summen av volumene til disse polyedere.

3. Volum er en ikke-negativ størrelse.

4. Volum måles i cm\(^3\) ( kubikkcentimeter), m\(^3\) ( Kubikkmeter) etc.

Teorem

1. Arealet av prismets sideoverflate er lik produktet av basens omkrets og prismets høyde.
Sideoverflatearealet er summen av arealene til sideflatene til prismet.

2. Volumet av prismet er lik produktet av grunnflaten og høyden på prismet: \

Definisjon: parallellepiped

Parallelepiped er et prisme med et parallellogram ved bunnen.

Alle flater av parallellepipedet (det er \(6\) : \(4\) sideflater og \(2\) baser) er parallellogrammer, og de motsatte flatene (parallelle med hverandre) er like parallellogrammer (fig. 2) .

Diagonal av et parallellepiped er et segment som forbinder to hjørner av et parallellepiped som ikke ligger på samme side (det er \(8\) av dem: \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\) etc.).

Rektangulært parallellepipedum er et rett parallellepiped med et rektangel ved bunnen.
Fordi Siden dette er et rett parallellepiped, er sideflatene rektangler. Dette betyr at generelt er alle flatene til et rektangulært parallellepiped rektangler.

Alle diagonaler i et rektangulært parallellepiped er like (dette følger av trekantens likhet \(\triangel ACC_1=\triangel AA_1C=\triangle BDD_1=\triangle BB_1D\) etc.).

Kommentar

Dermed har et parallellepiped alle egenskapene til et prisme.

Teorem

Det laterale overflatearealet til et rektangulært parallellepiped er \

Torget full overflate rektangulært parallellepiped er lik \

Teorem

Volumet til en kuboid er lik produktet av dens tre kanter som kommer ut fra ett toppunkt (tre dimensjoner av cuboid): \

Bevis

Fordi I et rektangulært parallellepiped er sidekantene vinkelrett på basen, så er de også høyden, det vil si \(h=AA_1=c\) Fordi basen er altså et rektangel \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). Det er her denne formelen kommer fra.

Teorem

Diagonalen \(d\) til et rektangulært parallellepiped finner du ved å bruke formelen (der \(a,b,c\) er dimensjonene til parallellepipedet) \

Bevis

La oss se på fig. 3. Fordi basen er et rektangel, så er \(\triangel ABD\) rektangulær, derfor ifølge Pythagoras teorem \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Fordi alle sidekanter er vinkelrette på basene, da \(BB_1\perp (ABC) \Høyrepil BB_1\) vinkelrett på en hvilken som helst rett linje i dette planet, dvs. \(BB_1\perp BD\) . Dette betyr at \(\triangel BB_1D\) er rektangulær. Deretter ved Pythagoras teorem \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), thd.

Definisjon: kube

Kube er et rektangulært parallellepiped, der alle flatene er like kvadrater.

Dermed er de tre dimensjonene like med hverandre: \(a=b=c\) . Så følgende er sant

Teoremer

1. Volumet til en kube med kant \(a\) er lik \(V_(\text(kube))=a^3\) .

2. Diagonalen til kuben finner du ved å bruke formelen \(d=a\sqrt3\) .

3. Total overflate av en kube \(S_(\text(full kube))=6a^2\).