Vinkelrett og skrått

Teorem. Hvis en vinkelrett og skrå linje er tegnet fra ett punkt utenfor planet, da:

1) skrå som har like projeksjoner er like;

2) av de to skråstilte er den som har større projeksjon større;

3) like skråninger har like projeksjoner;

4) av de to fremspringene er den som tilsvarer den større skråstilte større.

Tre perpendikulære teorem. For at en rett linje som ligger i et plan skal være vinkelrett på en skråstilt, er det nødvendig og tilstrekkelig at denne rette linjen er vinkelrett på projeksjonen av den skråstilte (fig. 3).

Arealteorem ortogonal projeksjon polygon på et plan. Arealet av den ortogonale projeksjonen av en polygon på et plan er lik produktet av arealet til polygonen og cosinus til vinkelen mellom polygonplanet og projeksjonsplanet.

Konstruksjon.

1. På et fly en vi gjennomfører en direkte EN.

3. I fly b gjennom punktet EN la oss lage en direkte b, parallelt med linjen EN.

4. Det er bygget en rett linje b parallelt med flyet en.

Bevis. Basert på parallelliteten til en rett linje og et plan, en rett linje b parallelt med flyet en, siden den er parallell med linjen EN, som tilhører flyet en.

Studere. Problemet har et uendelig antall løsninger, siden den rette linjen EN i flyet en velges tilfeldig.

Eksempel 2. Bestem i hvilken avstand fra flyet punktet er plassert EN, hvis rett AB skjærer planet i en vinkel på 45º, avstanden fra punktet EN til punktet I tilhørende flyet er lik cm?

Løsning. La oss lage en tegning (fig. 5):

AC– vinkelrett på planet en, AB– skrå, vinkel ABC– vinkel mellom rett linje AB og fly en. Triangel ABC– rektangulær fordi AC– vinkelrett. Nødvendig avstand fra punktet EN til flyet - dette er beinet AC høyre trekant. Når vi kjenner vinkelen og hypotenusen cm, finner vi benet AC:

Svar: 3 cm.

Eksempel 3. Bestem i hvilken avstand fra flyet likebent trekant er det et punkt 13 cm avstand fra hvert av hjørnene i trekanten hvis grunnflaten og høyden til trekanten er lik 8 cm?

Løsning. La oss lage en tegning (fig. 6). Punktum S vekk fra poengene EN, I Og MED på samme avstand. Så tilbøyelig S.A., S.B. Og S.C. lik, SÅ– den vanlige perpendikulæren til disse skråstilte. Ved teoremet om skråninger og projeksjoner AO = VO = CO.

Punktum OM– midten av en sirkel omskrevet rundt en trekant ABC. La oss finne radiusen:

Hvor Sol- utgangspunkt;

AD– høyden til en gitt likebenet trekant.

Finne sidene i en trekant ABC fra en rettvinklet trekant ABD ifølge Pythagoras teorem:

Nå finner vi OB:

Tenk på en trekant SOB: S.B.= 13 cm, OB= = 5 cm Finn lengden på perpendikulæren SÅ ifølge Pythagoras teorem:

Svar: 12 cm.

Eksempel 4. Gitt parallelle plan en Og b. Gjennom poenget M, som ikke tilhører noen av dem, tegnes rette linjer EN Og b det korset en på poeng EN 1 og I 1 og flyet b– på punkter EN 2 og I 2. Finne EN 1 I 1 hvis det er kjent at MA 1 = 8 cm, EN 1 EN 2 = 12 cm, EN 2 I 2 = 25 cm.

Løsning. Siden tilstanden ikke sier hvordan punktet er plassert i forhold til begge planene M, da er to alternativer mulige: (fig. 7, a) og (fig. 7, b). La oss se på hver av dem. To kryssende linjer EN Og b definere et plan. Dette planet skjærer to parallelle plan en Og b langs parallelle linjer EN 1 I 1 og EN 2 I 2 i henhold til setning 5 om parallelle linjer og parallelle plan.

Trekanter MA 1 I 1 og MA 2 I 2 er like (vinkler EN 2 MV 2 og EN 1 MV 1 – vertikal, hjørner MA 1 I 1 og MA 2 I 2 – innvendig på tvers liggende med parallelle linjer EN 1 I 1 og EN 2 I 2 og sekant EN 1 EN 2). Fra likheten til trekanter følger proporsjonaliteten til sidene:

Herfra

Alternativ a):

Alternativ b):

Svar: 10 cm og 50 cm.

Eksempel 5. Gjennom poenget EN flyet g en direkte linje ble trukket AB, danner en vinkel med planet en. Via direkte AB et fly tegnes r, dannes med flyet g hjørne b. Finn vinkelen mellom projeksjonen av en rett linje AB til flyet g og fly r.

Løsning. La oss lage en tegning (fig. 8). Fra poenget I slipp vinkelrett på planet g. Lineær dihedral vinkel mellom plan g Og r- Dette er en rett vinkel AD DBC, basert på perpendikulæriteten til en linje og et plan, samt Basert på perpendikulæriteten til plan, et plan r vinkelrett på trekantens plan DBC, siden den går gjennom linjen AD. Vi konstruerer ønsket vinkel ved å slippe perpendikulæren fra punktet MED til flyet r, la oss betegne det Finn sinusen til denne vinkelen i en rettvinklet trekant MEG SELV. La oss introdusere et hjelpesegment a = BC. Fra en trekant ABC: Fra en trekant marinen vi finner

Leksjonens tema

• Vinkelrett og skrått.

Leksjonens mål

• Bli kjent med nye definisjoner og husk noen som allerede er studert.
• Lær å bruke egenskapene til former når du løser problemer.
• Forstå noen tilsynelatende enkle konsepter og definisjoner.
• Utviklingsmessig – å utvikle elevenes oppmerksomhet, utholdenhet, utholdenhet, logisk tenkning, matematisk tale.
• Pedagogisk - gjennom leksjonen, dyrke en oppmerksom holdning til hverandre, innpode evnen til å lytte til kamerater, gjensidig hjelp og uavhengighet.

Leksjonens mål

• Test elevenes problemløsningsevner.
• Lær å oppfatte informasjon riktig.
• Gjennomgå det grunnleggende om vinkelrett og skrå.

Timeplan

1. Introduksjon.
2. Repetisjon av tidligere studert materiale.
3. Vinkelrett og skrått.
4. Eksempler på problemløsning.

introduksjon

Det er ingen hemmelighet at all elementær geometri kom til oss hovedsakelig fra Egypt og Hellas. I fjern og gammel tid ble geometri brukt som en vitenskap for å måle jorden og også veldig tett i konstruksjon. Alle teoremer, lover og aksiomer ble utledet og bevist å lette måling eller byggearbeid. Dagens tema var svært viktig for datidens mennesker siden vinkelrett og skrå er hovedretningslinjene for denne typen arbeid.

Det er mange hypoteser angående byggeteknikken til de egyptiske pyramidene. Det er åpenbart at denne teknikken har endret seg over tid, dvs. senere pyramider ble bygget annerledes enn tidligere. Mest av hypoteser er basert på det faktum at blokkene ble kuttet i steinbrudd ved bruk av stanser, meisler, meisler, adzes, etc., hvor hovedmaterialet i produksjonen var kobber. Følgelig måtte det utvunnede materialet på en eller annen måte transporteres til byggeplassen og installeres. Avvik mellom ulike hypoteser gjelder hovedsakelig metoder for levering og montering av blokker, samt estimater av byggetid og arbeidsbehov.

Byggeteknikk av de store pyramidene ifølge Herodot

Vår eneste skriftlige kilde, som beskriver prosessen med å bygge pyramidene, fungerer som bok II av "Historien" til Herodot, som besøkte Egypt ca. 450 f.Kr eh. Uten å snakke egypternes språk, Herodot måtte ta notater fra ordene til de greske nybyggerne som bodde i landet, samt - gjennom oversettere - fra ordene fra representanter for det egyptiske prestedømmet. Det var definitivt vanskelig for ham å finne ut hvordan de store pyramidene ble bygget for to tusen år siden før ham, siden det var usannsynlig å være kjent for egypterne selv.

Noen ble forpliktet til å dra enorme steinblokker fra steinbrudd i de arabiske fjellene til Nilen (steinene ble fraktet over elven på skip), mens andre ble beordret til å dra dem videre til de såkalte libyske fjellene. Hundre tusen mennesker utførte dette arbeidet kontinuerlig, og skiftet hver tredje måned. Det tok ti år for de utslitte menneskene å bygge veien som disse steinblokkene ble dratt langs – arbeidet var etter min mening nesten like enormt som byggingen av selve pyramiden. Byggingen av selve pyramiden varte i tjue år.

Andre teorier om blokkfremstilling og installasjon

Det er også en teori om at selve blokkene som utgjør pyramiden ble laget ved hjelp av forskaling. På det forrige laget ble det installert rektangulær forskaling, som deretter ble hellet en mørtellignende sammensetning i. Selve den frosne blokken fungerte som forskaling for de neste blokkene i det voksende laget. Komponentene i løsningen kunne relativt enkelt leveres av mange slaver uten bruk av komplekst utstyr.

Denne teorien forklarer godt den ideelle passformen til veggene til individuelle blokker.

Alternative hypoteser

En rekke forfattere la frem hypoteser om at pyramidene ble bygget av andre utviklede sivilisasjoner, enten terrestriske, som senere forsvant, eller fremmede. Også et av samfunnene av amatøregyptologer fremmet en teori om at enorme steinblokker ble flyttet ved hjelp av drager. Egyptologer vurderer ikke slike hypoteser seriøst.

Vinkelrett og skrått

Og så la oss starte med det enkleste og la oss gjenta hva vinkelrett og skrå er.

Definisjon. To linjer kalles perpendikulære hvis de skjærer hverandre i rette vinkler.

Svar: 13.

Maskiner og mekanismer.

Maskiner og mekanismer, mekaniske enheter som letter arbeidet og øker produktiviteten. Biler kan være varierende grader kompleksitet - fra en enkel etthjuls trillebår til heiser, biler, utskrift, tekstil og datamaskiner. Energimaskiner konverterer en type energi til en annen. For eksempel konverterer vannkraftgeneratorer den mekaniske energien til fallende vann til elektrisk energi. Forbrenningsmotoren konverterer den kjemiske energien til bensin til termisk energi og deretter til den mekaniske energien til kjøretøyets bevegelse.

Et gir er en mekanisme eller del av en mekanisme som inkluderer tannhjul.

Hensikt:

• overføring av rotasjonsbevegelse mellom aksler, som kan ha parallelle, kryssende eller kryssende akser.
• konvertere rotasjonsbevegelse til translasjonsbevegelse og omvendt.

I dette tilfellet overføres kraften fra ett element til et annet ved hjelp av tenner. Tannhjulet med færre tenner kalles et pinion, det andre hjulet med et stort antall tenner kalles et hjul. Par tannhjul har samme antall tenner, i dette tilfellet kalles drivhjulet et tannhjul, og det drevne tannhjulet kalles et hjul.

Arkimedes skrue, Arkimedes skrue- en mekanisme som historisk er brukt for å overføre vann fra lavtliggende vannmasser til vanningskanaler. Det var en av flere oppfinnelser og funn som tradisjonelt ble tilskrevet Arkimedes, som levde på 300-tallet f.Kr. e. Arkimedes-skruen ble prototypen på skruen.

Propellen roteres vanligvis av et vindhjul eller manuelt. Som den nedre enden av røret snur, det samler opp en viss mengde vann. Denne vannmengden vil gli opp i spiralrøret når akselen roterer til vannet til slutt renner ut av toppen av røret og forsyner vanningssystemet.

Spørsmål

1. Hva er vinkelrett?
2. Hvilken linje kalles skråstilt?
3. Er diagonalene til et kvadrat delt i to med skjæringspunktet?
4. Er diagonalene til et kvadrat like?
5. Hvor brukes et skråplan i praksis?
6. Hvilken form kalles et rektangel?

Liste over kilder som er brukt

1. "The Pyramid Builders"-notater av Dr. Z. Hawass
2. Perepelkin Yu. Ya. Historien om det gamle Egypt. - St. Petersburg: " Sommerhage", 2000.
3. Kobycheva Marina Viktorovna, matematikklærer
4. Mazur K. I. "Løse de viktigste konkurranseproblemene i matematikk i samlingen redigert av M. I. Skanavi"

Vi jobbet med leksjonen

Poturnak S.A.

Kobycheva Marina Viktorovna

Still et spørsmål om moderne utdanning, uttrykke en idé eller løse et presserende problem, kan du Pedagogisk forum, hvor på internasjonalt nivå et pedagogisk råd med nye tanker og handlinger samles. Etter å ha skapt blogg, Du vil ikke bare forbedre din status som kompetent lærer, men også gi et betydelig bidrag til utviklingen av fremtidens skole. Gilde av pedagogiske ledereåpner dører for topprangerte spesialister og inviterer dem til å samarbeide om å skape de beste skolene i verden.

GEOMETRI

Seksjon II. STEREOMETRI

§8. VENTILT OG SKÅÅ. SKÅPROJEKSJON PÅ ET FLY.

2. Egenskaper av vinkelrett og skrå.

La oss vurdere egenskapene til vinkelrett og skrå.

1) Perpendikulæren trukket fra et gitt punkt til planet er mindre enn noen skråstilt trukket fra samme punkt til planet.

I figur 411: AN AK.

2) Hvis to skrånende skråninger trukket fra et gitt punkt til et plan er like, så er deres projeksjoner like.

K 1 og vinkelrett AN og AK = AK 1. Deretter etter egenskap: NK = NK 1.

3) Hvis to skrånende skråninger trukket fra et gitt punkt til et gitt plan har like projeksjoner, så er de like med hverandre.

I figur 412 er to skråplan AK og A tegnet fra punkt A til plan a K 1 og vinkelrett på AN, med KH = K 1 N. Deretter etter egenskap: AK = AK 1 .

4) Hvis to skråplan trekkes fra et gitt punkt til et plan, så har det større skråplanet en større projeksjon.

L og vinkelrett på AN, A K > AL . Deretter etter eiendom: H K > HL.

5) Hvis to skråplan trekkes fra et gitt punkt til et plan, så er det største av dem det som har en større projeksjon på det gitte planet.

I figur 413 er to skråplan AK og A tegnet fra punkt A til plan a L og vinkelrett på AN, NK> N L . Deretter etter eiendom: AK> A L .

Eksempel 1. To skrånende skråninger tegnes fra et punkt til et plan, hvor lengdene er 41 cm og 50 cm Finn fremspringene til de skrånende, hvis de har et forhold på 3:10, og avstanden fra punktet til flyet.

Løsninger. 1) A L = 41 cm; AK = 50 cm (fig. 413). Ved eiendom har vi H L NK. La oss betegne H L = 3 x cm, NK = 10 x cm, AN = h se AN - avstand fra punkt A til planetα .

4) Ved å likestille, får vi 41 2 - 9x 2 = 50 2 - 100 x 2; x 2 = 9; x = 3 (med tanke på x> 0). Så N L = 3 ∙ 3 = 9 (cm), NK = 10 ∙ 3 = 30 (cm).

Eksempel 2. Fra dette punktet til to skråplan er tegnet, hveri cm Vinkelen mellom de skrånende er 60°, og vinkelen mellom deres fremspring er rett. Finn avstanden fra punktet til flyet.

Egenskaper til skrå linjer som kommer fra ett punkt. 1. En perpendikulær er alltid kortere enn en skråstilt hvis de er tegnet fra samme punkt. 2. Hvis de skråstilte er like, så er deres projeksjoner like, og omvendt. 3. En større skrå tilsvarer en større projeksjon og omvendt.

Lysbilde 10 fra presentasjonen "Perpendikulær og skråstilt til flyet". Størrelsen på arkivet med presentasjonen er 327 KB.

Geometri 10. klasse

sammendrag andre presentasjoner

"Parallelogramproblemer" - Geometri. Prikker. Høyden på parallellogrammet. Torget. Bevis. Tangent til en sirkel. Tegn på et parallellogram. Omkretsen av et parallellogram. Sirkel. Del. Midtlinje. Sentre av sirkler. Vinkler. Parallelogram. Finn arealet av parallellogrammet. To sirkler. Egenskaper til et parallellogram. Skarpt hjørne. Arealet av et parallellogram. Diagonaler til et parallellogram. Diagonal. Firkant. Trekanter.

"Metoder for konstruksjon av seksjoner" - Dannelse av ferdigheter i konstruksjon av seksjoner. La oss vurdere fire tilfeller av å konstruere deler av et parallellepiped. Konstruer deler av tetraederet. Intern designmetode. Arbeid med disker. Parallepipedet har seks flater. Kutteplan. Konstruksjon av seksjoner av polyeder. Sporet er den rette skjæringslinjen mellom seksjonsplanet og planet til en hvilken som helst flate av polyederet. Sporingsmetode. Memo.

""Vanlige polyeder" 10. klasse" - Forventet resultat. Et tetraeder beskrevet nær Mars banesfære. Sentrum O, akse a og plan. Ansikter av et polyeder. Radiolaria. Innhold. Vanlige polyedre. Vanlige polyeder i Platons filosofiske verdensbilde. Feodaria. Vanlige polyedre finnes i levende natur. I løpet av timene. Et punkt (rett linje, plan) kalles et senter (akse, plan). Hvilken av følgende geometriske legemer er ikke et vanlig polyeder?

"Bestemmelse av dihedriske vinkler" - Punkt K fjernes fra hver side. Punktene M og K ligger i forskjellige ansikter. Gradmål for vinkel. Egenskapen til en trihedral vinkel. Merknader om problemløsning. Punkt M er plassert på en av flatene til en dihedral vinkel lik 30. Konstruksjon av en lineær vinkel. Tegn en vinkelrett. En rett linje tegnet i et gitt plan. Dihedrale vinkler i pyramidene. Problemløsning. Punkt K. Denne pyramiden. Punktet på kanten kan være vilkårlig.

"Metoder for å konstruere seksjoner av polyedre" - Ethvert plan. Kunstnere. Geometriens lover. Blitz-undersøkelse. Gjensidig ordning plan og polyeder. Konstruer en del av et polyeder. Polygoner. Aksiomatisk metode. Oppgaver. Skip. Oppgave. Aksiomer. Konstruksjon av seksjoner av polyedre. Snitt etter forskjellige plan. Et gammelt kinesisk ordtak. Selvstendig arbeid. Diagonale snitt. Konsolidering av ervervet kunnskap. Kutteplan.

"Equilateral Polygons" - Heksaeder (Terning) Terningen består av seks firkanter. Oktaeder Oktaederet består av åtte likesidede trekanter. Et tetraeder har 4 flater, 4 topper og 6 kanter. Det er 5 typer vanlige polyedre. Vanlige polygoner. Dodekaederet har 12 flater, 20 hjørner og 30 kanter. Ikosaederet har 20 ansikter, 12 hjørner og 30 kanter. Dermed har en kube 6 flater, 8 topper og 12 kanter. Tetraeder Tetraederet består av fire likesidede trekanter.

Geometri

Stereometri

Vinkelrett og skrått

Vinkelrett slippes fra et gitt punkt til et gitt plan kalles et segment som forbinder dette punktet med et punkt i planet og liggende på en linje vinkelrett på planet. Enden av dette segmentet som ligger i et plan kalles basen av perpendikulæren. Avstand fra punkt til plan er lengden på perpendikulæren som slippes fra dette punktet på planet.
På bildet AB- vinkelrett; A.C.- tilbøyelig; B.C.- projeksjon.

Avstand fra rett linje til et plan parallelt med det er avstanden fra et hvilket som helst punkt på denne rette linjen til planet.
Avstand mellom parallelle plan er avstanden fra et hvilket som helst punkt på ett plan til et annet plan.
Tilbøyelig trukket fra et gitt punkt til et gitt plan er ethvert segment som forbinder et gitt punkt med et punkt på planet og ikke er vinkelrett på planet. Enden av et segment som ligger i et plan kalles skrånende base.
Et segment som forbinder basene til en perpendikulær og en skrå trukket fra samme punkt kalles skrå projeksjon.

Egenskaper til skrå linjer trukket fra ett punkt til ett plan

1. Skråninger tegnet til et plan fra ett punkt (figuren under til venstre) er like hvis og bare hvis de har like projeksjoner.
2. Hvis to skrånende skråninger trekkes fra et punkt til et plan, så er den med den største projeksjonen større, og omvendt, den større skrånende har den større projeksjonen.
Vær oppmerksom på at disse egenskapene er bevart for skrå linjer trukket til et plan fra forskjellige punkter, men har samme vinkelrett lengde (bilde til høyre).