Hovedsymmetriakse. Hvor mange symmetriakser har en trekant?

20. mai 2014

Menneskers liv er fylt med symmetri. Det er praktisk, vakkert, og det er ingen grunn til å finne opp nye standarder. Men hva er det egentlig og er det så vakkert i naturen som man ofte tror?

Symmetri

Siden antikken har folk forsøkt å organisere verden rundt seg. Derfor anses noen ting som vakre, og noen er ikke så mye. Fra et estetisk synspunkt anses de gyldne og sølvforholdene som attraktive, så vel som, selvfølgelig, symmetri. Dette begrepet har gresk opprinnelse og betyr bokstavelig talt "proporsjonalitet". Selvfølgelig vi snakker om ikke bare om tilfeldigheter på dette grunnlaget, men også på noen andre. I en generell forstand er symmetri en egenskap til et objekt når resultatet, som et resultat av visse formasjoner, er lik de opprinnelige dataene. Dette skjer både i bo og inne livløs natur, så vel som i gjenstander laget av mennesker.

Først og fremst brukes begrepet "symmetri" i geometri, men finner anvendelse i mange vitenskapelige felt, og betydningen forblir generelt uendret. Dette fenomenet forekommer ganske ofte og anses som interessant, siden flere av dens typer, så vel som elementer, er forskjellige. Bruken av symmetri er også interessant, fordi den ikke bare finnes i naturen, men også i mønstre på stoff, grenser til bygninger og mange andre menneskeskapte gjenstander. Det er verdt å vurdere dette fenomenet mer detaljert, fordi det er ekstremt fascinerende.

Bruk av begrepet i andre vitenskapelige felt

I det følgende vil symmetri bli vurdert fra et geometrisk synspunkt, men det er verdt å nevne at gitt ord brukes ikke bare her. Biologi, virologi, kjemi, fysikk, krystallografi - alt dette er en ufullstendig liste over områder der dette fenomenet studert fra ulike vinkler og ulike forhold. For eksempel avhenger klassifiseringen av hvilken vitenskap dette begrepet refererer til. Dermed varierer inndelingen i typer veldig, selv om noen grunnleggende kanskje forblir uendret hele veien.

Video om emnet

Klassifisering

Det finnes flere hovedtyper av symmetri, hvorav tre er de vanligste:

I tillegg skilles følgende typer også ut i geometri; de er mye mindre vanlige, men ikke mindre interessante:

• skyve;
• roterende;
• punkt;
• progressive;
• skru;
• fraktal;
• etc.

I biologi kalles alle arter litt annerledes, selv om de i hovedsak kan være like. Inndeling i visse grupper skjer på grunnlag av tilstedeværelse eller fravær, så vel som mengden av visse elementer, som sentre, plan og symmetriakser. De bør vurderes separat og mer detaljert.

Grunnleggende elementer

Fenomenet har visse trekk, hvorav en nødvendigvis er tilstede. De såkalte grunnelementene inkluderer plan, sentre og symmetriakser. Det er i samsvar med deres tilstedeværelse, fravær og mengde at typen bestemmes.

Symmetrisenteret er punktet inne i en figur eller krystall der linjene som parvis forbinder alle sider parallelt med hverandre, konvergerer. Det finnes selvsagt ikke alltid. Hvis det er sider som det ikke er noe parallelt par til, kan et slikt punkt ikke bli funnet, siden det ikke eksisterer. I følge definisjonen er det åpenbart at symmetriens sentrum er det som en figur kan reflekteres gjennom seg selv. Et eksempel vil for eksempel være en sirkel og et punkt i midten. Dette elementet er vanligvis betegnet som C.

Symmetriplanet er selvfølgelig imaginært, men det er nettopp det som deler figuren i to deler som er like hverandre. Den kan passere gjennom en eller flere sider, være parallell med den eller dele dem. For samme figur kan flere fly eksistere samtidig. Disse elementene er vanligvis betegnet som P.

Men kanskje det vanligste er det som kalles "symmetriakse". Dette er et vanlig fenomen som kan sees både i geometri og i naturen. Og det er verdt å vurdere separat.

Aksler

Ofte er elementet som en figur kan kalles symmetrisk i forhold til

en rett linje eller et linjestykke vises. Vi snakker i alle fall ikke om et punkt eller et fly. Deretter vurderes symmetriaksene til figurene. Det kan være mange av dem, og de kan være plassert på hvilken som helst måte: dele sidene eller være parallelle med dem, samt kryssende hjørner eller ikke gjøre det. Symmetriakser er vanligvis betegnet som L.

Eksempler inkluderer likebente og likesidede trekanter. I det første tilfellet vil det være en vertikal symmetriakse, på begge sider som det er like flater, og i det andre vil linjene krysse hver vinkel og falle sammen med alle halveringslinjer, medianer og høyder. Vanlige trekanter har ikke dette.

Forresten, helheten av alle de ovennevnte elementene i krystallografi og stereometri kalles graden av symmetri. Denne indikatoren avhenger av antall akser, fly og sentre.

Eksempler innen geometri

Konvensjonelt kan vi dele hele settet med studieobjekter av matematikere i figurer som har en symmetriakse og de som ikke har det. Alle vanlige polygoner, sirkler, ovaler, samt noen spesielle tilfeller faller automatisk inn i den første kategorien, mens resten faller inn i den andre gruppen.

Som i tilfellet da vi snakket om symmetriaksen til en trekant, eksisterer ikke dette elementet alltid for en firkant. For en firkant, rektangel, rombe eller parallellogram er det det, men for en uregelmessig figur er det følgelig ikke det. For en sirkel er symmetriaksen settet med rette linjer som går gjennom midten.

I tillegg er det interessant å vurdere tredimensjonale figurer fra dette synspunktet. I tillegg til alle vanlige polygoner og ballen, vil noen kjegler, samt pyramider, parallellogrammer og noen andre, ha minst én symmetriakse. Hver sak må vurderes separat.

Eksempler i naturen

Speilsymmetri i livet kalles bilateral, det er mest vanlig
ofte. Enhver person og mange dyr er et eksempel på dette. Aksial kalles radial og er mye mindre vanlig, vanligvis i flora. Og likevel eksisterer de. For eksempel er det verdt å tenke på hvor mange symmetriakser en stjerne har, og har den noen i det hele tatt? Selvfølgelig snakker vi om sjødyr, og ikke om emnet for studier av astronomer. Og det riktige svaret vil være: det avhenger av antall stråler fra stjernen, for eksempel fem, om den er femspiss.

I tillegg observeres radiell symmetri i mange blomster: tusenfryd, kornblomster, solsikker osv. Eksempler stor mengde, de er bokstavelig talt overalt rundt.

Arytmi

Dette begrepet minner først og fremst mest om medisin og kardiologi, men det har i utgangspunktet en litt annen betydning. I dette tilfellet vil synonymet være "asymmetri", det vil si fravær eller brudd på regelmessighet i en eller annen form. Det kan bli funnet som en ulykke, og noen ganger kan det bli en fantastisk teknikk, for eksempel i klær eller arkitektur. Tross alt er det mange symmetriske bygninger, men det berømte skjeve tårnet i Pisa er litt skrått, og selv om det ikke er den eneste, er det mest kjent eksempel. Det er kjent at dette skjedde ved et uhell, men dette har sin egen sjarm.

I tillegg er det åpenbart at ansikter og kropper til mennesker og dyr heller ikke er helt symmetriske. Det har til og med vært studier som viser at "korrekte" ansikter anses å være livløse eller rett og slett uattraktive. Likevel er oppfatningen av symmetri og dette fenomenet i seg selv fantastisk og har ennå ikke blitt fullstendig studert, og er derfor ekstremt interessant.

"Symmetri rundt oss" - Alle typer aksial symmetri. Rotasjoner. Det greske ordet symmetri betyr "proporsjon", "harmoni". Gratis Sentralt i forhold til et punkt. Symmetri i rommet. Rotasjon (roterende). I geometri er det figurer som har... Symmetri. Aksial. En slags symmetri. Rundt oss. Sentral.

"I symmetriens verden" - Ornamenter og friser er basert på et periodisk repeterende mønster. Formene til en bille, orm, sopp, blad, blomst osv. er symmetriske De fleste bygninger er speilsymmetriske. Skal det være symmetri i alt i livet? Hvorfor trenger du å vite om symmetri når du studerer ingeniør? Hva er symmetri? Symmetri i natur og teknologi.

"Symmetri i kunst" - Sentralaksial symmetri i arkitektur. II.1. Andel i arkitektur. Palazzo Spada (Roma). På grunn av dens kreative evner er periodisitet et universelt fenomen. III. Le Corbuier. Rytme er et av hovedelementene for uttrykksevnen til en melodi. R. Descartes. J.A. Fabr. Geometriske metoder for å skildre romlige figurer:

"Symmetripunkt" - Figurer som ikke har symmetriakser. Punkt O kalles symmetrisenteret. To punkter A og A1 kalles symmetriske med hensyn til O hvis O er midtpunktet til segmentet AA1. En likesidet trapes har bare aksial symmetri. Symmetri i naturen. Et rektangel og en rombe, som ikke er firkanter, har to symmetriakser.

"Matematisk symmetri" - Imidlertid mangler komplekse molekyler generelt symmetri. Palindromer. Aksial. Sentral symmetri. Aksial symmetri. Typer symmetri. Symmetri i biologi. Rotasjonssymmetri. Symmetri i kunsten. HAR MYE TIL FELLES MED PROGRESSELL SYMMETRI I MATEMATIKK. Spiral symmetri. Progressiv.

"Typer av symmetri" - Sentral symmetri er bevegelse. Speiltvillingen viser seg å være "invertert" langs retningen vinkelrett på speilplanet. Aksial symmetri er også bevegelse. Teorem. Parallell overføring. Sentral symmetri. Typer bevegelse. Begrepet bevegelse. Parallell overføring er en av bevegelsestypene.

Det er totalt 11 presentasjoner

I dag skal vi snakke om et fenomen som hver av oss stadig møter i livet: symmetri. Hva er symmetri?

Vi forstår alle omtrent betydningen av dette begrepet. Ordboken sier: symmetri er proporsjonalitet og fullstendig samsvar med arrangementet av deler av noe i forhold til en rett linje eller et punkt. Det er to typer symmetri: aksial og radial. La oss først se på den aksiale. Dette er, la oss si, "speil" symmetri, når den ene halvdelen av et objekt er helt identisk med den andre, men gjentar det som en refleksjon. Se på halvdelene av arket. De er speilsymmetriske. Halvdelene av menneskekroppen er også symmetriske (forfra) - identiske armer og ben, identiske øyne. Men la oss ikke ta feil; faktisk, i den organiske (levende) verden, kan absolutt symmetri ikke finnes! Halvdelene av arket kopierer hverandre langt fra perfekt, det samme gjelder Menneskekroppen(ta en nærmere titt selv); Det samme gjelder for andre organismer! Forresten, det er verdt å legge til at enhver symmetrisk kropp er symmetrisk i forhold til betrakteren bare i en posisjon. Det er verdt, for eksempel, å snu et papirark, eller løfte den ene hånden, og hva skjer? – du ser selv.

Folk oppnår ekte symmetri i arbeidene deres (tingene) - klær, biler ... I naturen er det karakteristisk for uorganiske formasjoner, for eksempel krystaller.

Men la oss gå videre til praksis. Du bør ikke starte med komplekse gjenstander som mennesker og dyr; la oss prøve å ferdig tegne speilhalvdelen av arket som den første øvelsen i et nytt felt.

Tegne et symmetrisk objekt - leksjon 1

Vi sørger for at det blir så likt som mulig. For å gjøre dette, vil vi bokstavelig talt bygge vår sjelefrende. Ikke tro at det er så lett, spesielt første gang, å tegne en speiltilsvarende linje med ett slag!

La oss markere flere referansepunkter for den fremtidige symmetriske linjen. Vi fortsetter slik: med en blyant, uten å trykke, tegner vi flere perpendikulærer til symmetriaksen - midtribben av bladet. Fire eller fem er nok foreløpig. Og på disse perpendikulærene måler vi til høyre samme avstand som på venstre halvdel til linjen på kanten av bladet. Jeg anbefaler deg å bruke en linjal, ikke stol for mye på øyet ditt. Som regel har vi en tendens til å redusere tegningen - dette er observert av erfaring. Vi anbefaler ikke å måle avstander med fingrene: feilen er for stor.

La oss koble de resulterende punktene med en blyantlinje:

La oss nå se nøye på om halvdelene virkelig er like. Hvis alt er riktig, vil vi sirkle det med en tusj og tydeliggjøre linjen vår:

Poppelbladet er ferdig, nå kan du ta en svingom på eikebladet.

La oss tegne en symmetrisk figur - leksjon 2

I dette tilfellet ligger vanskeligheten i det faktum at venene er merket og de ikke er vinkelrette på symmetriaksen, og ikke bare dimensjonene, men også helningsvinkelen må observeres strengt. Vel, la oss trene øyet vårt:

Så et symmetrisk eikeblad er tegnet, eller rettere sagt, vi bygde det i henhold til alle reglene:

Hvordan tegne et symmetrisk objekt - leksjon 3

Og la oss konsolidere temaet - vi avslutter med å tegne et symmetrisk syrinblad.

Det har han også interessant form- hjerteformet og med ører i bunnen, må du puste:

Dette er hva de tegnet:

Ta en titt på det resulterende arbeidet på avstand og vurder hvor nøyaktig vi var i stand til å formidle den nødvendige likheten. Her er et tips: se på bildet ditt i speilet, og det vil fortelle deg om det er noen feil. En annen måte: bøy bildet nøyaktig langs aksen (vi har allerede lært hvordan du bøyer det riktig) og kutt ut bladet langs den opprinnelige linjen. Se på selve figuren og på det kuttede papiret.

La oss nå vurdere symmetriaksene til sidene i trekanten. Husk at symmetriaksen til et segment er vinkelrett på segmentet i midten.

Ethvert punkt på en slik perpendikulær er like langt fra endene av segmentet. La nå være perpendikulære trukket gjennom midtpunktene til sidene BC og AC i trekanten ABC (fig. 220) til disse sidene, dvs. symmetriaksene til disse to sidene. Skjæringspunktet Q er like langt fra toppunktene B og C i trekanten, siden det ligger på symmetriaksen til siden BC, og det er også like langt fra toppunktene A og C. Følgelig er det like langt unna. fra alle tre toppunktene i trekanten, inkludert toppunktene A og B. Dette betyr at den ligger på symmetriaksen til trekantens tredje side AB. Så symmetriaksene til de tre sidene av trekanten skjærer hverandre på ett punkt. Dette punktet er like langt fra hjørnene i trekanten. Derfor, hvis du tegner en sirkel med en radius som er lik avstanden til dette punktet fra hjørnene i trekanten, med sentrum i det funnet punktet, vil den passere gjennom alle tre hjørnene i trekanten. En slik sirkel (fig. 220) kalles en omskrevet sirkel. Omvendt, hvis du ser for deg en sirkel som går gjennom de tre toppunktene i en trekant, må senteret være i like avstander fra trekantens toppunkter og tilhører derfor hver av symmetriaksene til sidene i trekanten.

Derfor har en trekant bare én omskreven sirkel: en gitt trekant kan omskrives av en sirkel, og bare én; dens sentrum ligger i skjæringspunktet mellom tre perpendikulærer hevet til sidene av trekanten ved deres midtpunkter.

I fig. 221 viser sirkler omskrevet rundt spisse, rette og stumpe trekanter; midten av den omskrevne sirkelen ligger i det første tilfellet inne i trekanten, i det andre - i midten av hypotenusen til trekanten, i det tredje - utenfor trekanten. Dette følger enklest av egenskapene til vinkler støttet av en sirkelbue (se avsnitt 210).

Siden hvilke som helst tre punkter som ikke ligger på samme linje kan betraktes som toppunktene i en trekant, kan det hevdes at en enkelt sirkel går gjennom hvilke som helst tre punkter som ikke tilhører linjen. Derfor har to sirkler høyst to punkter til felles.

Mål:

• pedagogisk:
  • gi en idé om symmetri;
  • introdusere hovedtypene av symmetri på flyet og i rommet;
  • utvikle sterke byggeferdigheter symmetriske figurer;
  • utvide din forståelse av kjente figurer ved å introdusere egenskaper assosiert med symmetri;
  • vise mulighetene for å bruke symmetri til å løse ulike problemer;
  • konsolidere ervervet kunnskap;
• allmennutdanning:
  • lære deg selv hvordan du forbereder deg på arbeid;
  • lære hvordan du kontrollerer deg selv og din nabo på skrivebordet;
  • lære å evaluere deg selv og din skrivebordsnabo;
• utvikle:
  • intensivere uavhengig aktivitet;
  • utvikle kognitiv aktivitet;
  • lære å oppsummere og systematisere informasjonen som mottas;
• pedagogisk:
  • utvikle en "skuldersans" hos elevene;
  • dyrke kommunikasjonsevner;
  • innføre en kommunikasjonskultur.

UNDER KLASSENE

Foran hver person ligger en saks og et ark.

Øvelse 1(3 min).

– La oss ta et ark, brette det i biter og klippe ut en figur. La oss nå brette ut arket og se på brettelinjen.

Spørsmål: Hvilken funksjon har denne linjen?

Foreslått svar: Denne linjen deler figuren i to.

Spørsmål: Hvordan er alle punktene i figuren plassert på de to resulterende halvdelene?

Foreslått svar: Alle punkter på halvdelene er i lik avstand fra brettelinjen og på samme nivå.

– Dette betyr at brettelinjen deler figuren i to slik at 1 halvdel er en kopi av 2 halvdeler, dvs. denne linjen er ikke enkel, den har en bemerkelsesverdig egenskap (alle punkter i forhold til den er i samme avstand), denne linjen er en symmetriakse.

Oppgave 2 (2 minutter).

– Klipp ut et snøfnugg, finn symmetriaksen, karakteriser det.

Oppgave 3 (5 minutter).

– Tegn en sirkel i notatboken.

Spørsmål: Bestem hvordan symmetriaksen går?

Foreslått svar: Annerledes.

Spørsmål: Så hvor mange symmetriakser har en sirkel?

Foreslått svar: Mye av.

– Det stemmer, en sirkel har mange symmetriakser. En like bemerkelsesverdig figur er en ball (romlig figur)

Spørsmål: Hvilke andre figurer har mer enn én symmetriakse?

Foreslått svar: Kvadrat, rektangel, likebente og likesidede trekanter.

– Tenk på tredimensjonale figurer: terning, pyramide, kjegle, sylinder, etc. Disse figurene har også en symmetriakse Bestem hvor mange symmetriakser har kvadratet, rektangelet, likesidet trekanten og de foreslåtte tredimensjonale figurene?

Jeg deler ut halvdeler av plastelinafigurer til elevene.

Oppgave 4 (3 min).

– Bruk den mottatte informasjonen og fullfør den manglende delen av figuren.

Merk: figuren kan være både plan og tredimensjonal. Det er viktig at elevene bestemmer hvordan symmetriaksen løper og fullfører det manglende elementet. Riktigheten av arbeidet bestemmes av naboen ved pulten og vurderer hvor riktig arbeidet ble utført.

En linje (lukket, åpen, med selvskjæring, uten selvskjæring) legges ut fra en blonde av samme farge på skrivebordet.

Oppgave 5 (Gruppearbeid 5 minutter).

– Bestem visuelt symmetriaksen og, i forhold til den, fullfør den andre delen fra en blonder i en annen farge.

Riktigheten av utført arbeid bestemmes av studentene selv.

Elementer av tegninger presenteres for elevene

Oppgave 6 (2 minutter).

– Finn de symmetriske delene av disse tegningene.

For å konsolidere materialet som dekkes, foreslår jeg følgende oppgaver, planlagt til 15 minutter:

Nevn alle like elementer i trekanten KOR og KOM. Hva slags trekanter er dette?

2. Tegn flere likebenede trekanter i notatboken med felles plattform lik 6 cm.

3. Tegn et segment AB. Konstruer et linjestykke AB vinkelrett og som går gjennom midtpunktet. Merk punktene C og D på den slik at firkanten ACBD er symmetrisk i forhold til den rette linjen AB.

– Våre første ideer om form dateres tilbake til den helt fjerne epoken av den eldgamle steinalderen - paleolitikum. I hundretusenvis av år av denne perioden bodde folk i huler, under forhold som var lite annerledes enn dyrelivet. Folk lagde redskaper for jakt og fiske, utviklet et språk for å kommunisere med hverandre, og i den sene paleolittiske epoken pyntet de sin eksistens ved å lage kunstverk, figurer og tegninger som avslører en bemerkelsesverdig formsans.
Da det skjedde en overgang fra enkel innsamling av mat til aktiv produksjon, fra jakt og fiske til jordbruk, gikk menneskeheten inn i en ny steinalder, i yngre steinalder.
Neolitisk menneske hadde en sterk sans for geometrisk form. Å fyre og male leirekar, lage sivmatter, kurver, stoffer og senere metallbearbeiding utviklet ideer om plane og romlige figurer. Neolittiske ornamenter var behagelige for øyet, og avslørte likhet og symmetri.
– Hvor forekommer symmetri i naturen?

Foreslått svar: vinger av sommerfugler, biller, treblader ...

– Symmetri kan også observeres i arkitektur. Når du bygger bygninger, følger utbyggere strengt symmetri.

Det er derfor bygningene blir så vakre. Også et eksempel på symmetri er mennesker og dyr.

Hjemmelekser:

1. Kom opp med ditt eget ornament, tegn det på et A4-ark (du kan tegne det i form av et teppe).
2. Tegn sommerfugler, legg merke til hvor elementer av symmetri er til stede.