Forrige gang lagde vi en plan som du kan følge med på hvordan du raskt kan redusere brøker. La oss nå vurdere spesifikke eksempler reduksjon av fraksjoner.

Eksempler.

La oss sjekke om det største tallet er delelig med det minste tallet (teller for nevner eller nevner med teller)? Ja, i alle disse tre eksemplene er det største tallet delt på det mindre tallet. Dermed reduserer vi hver brøk med det minste av tallene (med telleren eller med nevneren). Vi har:

La oss sjekke om det største tallet er delelig med det minste tallet? Nei, den deler ikke.

Deretter går vi videre til å sjekke neste punkt: slutter inntastingen av både teller og nevner med en, to eller flere nuller? I det første eksemplet slutter telleren og nevneren på null, i det andre eksemplet to nuller, og i det tredje tre nuller. Dette betyr at vi reduserer den første brøken med 10, den andre med 100 og den tredje med 1000:

Vi har irreduserbare brøker.

Et større tall kan ikke deles på et mindre tall, og tall slutter ikke med null.

La oss nå sjekke om telleren og nevneren er i samme kolonne i multiplikasjonstabellen? 36 og 81 er begge delbare med 9, 28 og 63 er delbare med 7, og 32 og 40 er delbare med 8 (de er også delbare med 4, men hvis det er et valg, vil vi alltid redusere med en større). Dermed kommer vi til svarene:

Alle tall som er oppnådd er irreduserbare brøker.

Et større tall kan ikke deles på et mindre tall. Men posten til både telleren og nevneren ender på null. Så vi reduserer brøken med 10:

Denne andelen kan fortsatt reduseres. Vi sjekker multiplikasjonstabellen: både 48 og 72 er delbare med 8. Vi reduserer brøken med 8:

Vi kan også redusere den resulterende brøken med 3:

Denne fraksjonen er irreduserbar.

Det større tallet er ikke delelig med det mindre tallet. Telleren og nevneren slutter på null. Dette betyr at vi reduserer brøken med 10.

Vi sjekker tallene som er oppnådd i telleren og nevneren for og. Siden summen av sifrene til både 27 og 531 er delelig med 3 og 9, kan denne brøken reduseres med enten 3 eller 9. Vi velger den største og reduserer med 9. Resultatet er en ikke-reduserbar brøk.

Første nivå

Konvertering av uttrykk. Detaljert teori (2019)

Konvertering av uttrykk

Vi hører ofte denne ubehagelige setningen: "forenkle uttrykket." Vanligvis ser vi et slags monster som dette:

"Det er mye enklere," sier vi, men et slikt svar fungerer vanligvis ikke.

Nå skal jeg lære deg å ikke være redd for slike oppgaver. Dessuten vil du på slutten av leksjonen forenkle dette eksemplet til (bare!) vanlig nummer(ja, til helvete med disse brevene).

Men før du starter denne leksjonen, må du kunne håndtere brøker og faktorpolynomer. Derfor, først, hvis du ikke har gjort dette før, sørg for å mestre emnene "" og "".

Har du lest den? Hvis ja, så er du nå klar.

Grunnleggende forenklingsoperasjoner

La oss nå se på de grunnleggende teknikkene som brukes for å forenkle uttrykk.

Den enkleste er

1. Å bringe lignende

Hva er like? Dette tok du i 7. klasse, da bokstaver i stedet for tall først dukket opp i matematikk. Lignende er termer (monomialer) med samme bokstavdel. For eksempel, i summen er lignende termer og.

Husker du?

Å bringe lignende betyr å legge til flere lignende termer til hverandre og få en term.

Hvordan kan vi sette sammen bokstavene? - du spør.

Dette er veldig lett å forstå hvis du ser for deg at bokstavene er en slags gjenstander. For eksempel er et brev en stol. Hva er så uttrykket lik? To stoler pluss tre stoler, hvor mange blir det? Det stemmer, stoler: .

Prøv nå dette uttrykket: .

For å unngå forvirring, la forskjellige bokstaver representere forskjellige objekter. For eksempel, - er (som vanlig) en stol, og - er et bord. Deretter:

stoler bord stol bord stoler stoler bord

Tallene som bokstavene i slike termer multipliseres med kalles koeffisienter. For eksempel, i en monomial er koeffisienten lik. Og i den er lik.

Så, regelen for å bringe lignende er:

Eksempler:

Gi lignende:

Svar:

2. (og lignende, siden disse vilkårene derfor har samme bokstavdel).

2. Faktorisering

Dette er vanligvis den viktigste delen i å forenkle uttrykk. Etter at du har gitt lignende, må som oftest det resulterende uttrykket faktoriseres, det vil si presenteres som et produkt. Dette er spesielt viktig i brøk: For å kunne redusere en brøk må telleren og nevneren representeres som et produkt.

Du gikk gjennom metodene for å faktorisere uttrykk i detalj i emnet "", så her må du bare huske hva du har lært. For å gjøre dette, avgjør noen eksempler(må faktoriseres):

Løsninger:

3. Redusere en brøkdel.

Vel, hva kan være mer behagelig enn å krysse ut deler av telleren og nevneren og kaste dem ut av livet ditt?

Det er det fine med nedbemanning.

Det er enkelt:

Hvis telleren og nevneren inneholder de samme faktorene, kan de reduseres, det vil si fjernes fra brøken.

Denne regelen følger av den grunnleggende egenskapen til en brøk:

Det vil si at essensen av reduksjonsoperasjonen er det Vi deler telleren og nevneren til brøken med samme tall (eller med samme uttrykk).

For å redusere en brøkdel trenger du:

1) teller og nevner faktorisere

2) hvis telleren og nevneren inneholder felles faktorer, kan de krysses over.

Prinsippet tror jeg er klart?

Jeg vil gjerne gjøre deg oppmerksom på én ting typisk feil ved inngåelse. Selv om dette emnet er enkelt, gjør mange mennesker alt feil, uten å forstå det redusere- Dette betyr dele opp teller og nevner er samme tall.

Ingen forkortelser hvis telleren eller nevneren er en sum.

For eksempel: vi må forenkle.

Noen mennesker gjør dette: noe som er helt feil.

Et annet eksempel: redusere.

De "smarteste" vil gjøre dette: .

Fortell meg hva som er galt her? Det ser ut til: - dette er en multiplikator, som betyr at den kan reduseres.

Men nei: - dette er en faktor på bare ett ledd i telleren, men selve telleren som helhet er ikke faktorisert.

Her er et annet eksempel: .

Dette uttrykket er faktorisert, noe som betyr at du kan redusere det, det vil si dele telleren og nevneren med, og deretter med:

Du kan umiddelbart dele den inn i:

For å unngå slike feil, husk enkel måte hvordan bestemme om et uttrykk er faktorisert:

Den aritmetiske operasjonen som utføres sist når verdien av et uttrykk beregnes, er "master"-operasjonen. Det vil si, hvis du erstatter noen (hvilken som helst) tall i stedet for bokstaver og prøver å beregne verdien av uttrykket, så hvis den siste handlingen er multiplikasjon, så har vi et produkt (uttrykket er faktorisert). Hvis den siste handlingen er addisjon eller subtraksjon, betyr dette at uttrykket ikke er faktorisert (og derfor ikke kan reduseres).

For å konsolidere, løs noen selv eksempler:

Svar:

1. Jeg håper du ikke hastet med å kutte og? Det var fortsatt ikke nok å "redusere" enheter som dette:

Det første trinnet bør være faktorisering:

4. Legge til og trekke fra brøker. Redusere brøker til en fellesnevner.

Addisjon og subtraksjon vanlige brøker- operasjonen er velkjent: vi ser etter en fellesnevner, multipliserer hver brøk med den manglende faktoren og adderer/subtraherer tellerne. La oss huske:

Svar:

1. Nevnerne og er relativt prime, det vil si at de ikke har felles faktorer. Derfor er LCM for disse tallene lik produktet deres. Dette vil være fellesnevneren:

2. Her er fellesnevneren:

3. Det første her blandede fraksjoner vi gjør dem om til feil, og følger deretter det vanlige mønsteret:

Det er en helt annen sak om brøkene inneholder bokstaver, for eksempel:

La oss starte med noe enkelt:

a) Nevnere inneholder ikke bokstaver

Her er alt det samme som med vanlige numeriske brøker: vi finner fellesnevneren, multipliserer hver brøk med den manglende faktoren og adderer/subtraherer tellerne:

Nå i telleren kan du gi lignende, hvis noen, og faktor dem:

Prøv selv:

b) Nevnere inneholder bokstaver

La oss huske prinsippet om å finne en fellesnevner uten bokstaver:

· først og fremst bestemmer vi fellesfaktorene;

· så skriver vi ut alle fellesfaktorene en om gangen;

· og multipliser dem med alle andre ikke-vanlige faktorer.

For å bestemme fellesfaktorene til nevnerne, dekomponerer vi dem først i primære faktorer:

La oss understreke de vanlige faktorene:

La oss nå skrive ut de vanlige faktorene én om gangen og legge til alle de ikke-vanlige (ikke understreket) faktorene:

Dette er fellesnevneren.

La oss gå tilbake til bokstavene. Nevnerne er gitt på nøyaktig samme måte:

· faktor nevnerne;

· bestemme vanlige (identiske) faktorer;

· skrive ut alle vanlige faktorer én gang;

· multiplisere dem med alle andre ikke-vanlige faktorer.

Så, i rekkefølge:

1) faktor nevnerne:

2) bestemme vanlige (identiske) faktorer:

3) skriv ut alle de vanlige faktorene én gang og multipliser dem med alle andre (ikke-understrekede) faktorer:

Så det er en fellesnevner her. Den første brøken må multipliseres med, den andre - med:

Forresten, det er ett triks:

For eksempel: .

Vi ser de samme faktorene i nevnerne, bare alle med ulike indikatorer. Fellesnevneren vil være:

til en grad

til en grad

til en grad

til en grad.

La oss komplisere oppgaven:

Hvordan få brøker til å ha samme nevner?

La oss huske den grunnleggende egenskapen til en brøk:

Ingen steder står det at det samme tallet kan trekkes fra (eller legges til) fra telleren og nevneren til en brøk. For det er ikke sant!

Se selv: ta en hvilken som helst brøk, for eksempel, og legg til et tall til telleren og nevneren, for eksempel . Hva lærte du?

Så, en annen urokkelig regel:

Når du reduserer brøker til en fellesnevner, bruk kun multiplikasjonsoperasjonen!

Men hva må du multiplisere med for å få?

Så multipliser med. Og multipliser med:

Vi vil kalle uttrykk som ikke kan faktoriseres "elementære faktorer." For eksempel - dette er en elementær faktor. - Samme. Men nei: det kan faktoriseres.

Hva med uttrykket? Er det elementært?

Nei, fordi det kan faktoriseres:

(du har allerede lest om faktorisering i emnet "").

Så de elementære faktorene du dekomponerer et uttrykk i med bokstaver er en analog av de enkle faktorene du dekomponerer tall i. Og vi vil håndtere dem på samme måte.

Vi ser at begge nevnerne har en multiplikator. Det vil gå til fellesnevneren til den grad (husker du hvorfor?).

Faktoren er elementær, og de har ikke en felles faktor, noe som betyr at den første brøken ganske enkelt må multipliseres med den:

Et annet eksempel:

Løsning:

Før du multipliserer disse nevnerne i panikk, må du tenke på hvordan du kan faktorisere dem? De representerer begge:

Flott! Deretter:

Et annet eksempel:

Løsning:

La oss som vanlig faktorisere nevnerne. I den første nevneren setter vi det ganske enkelt utenfor parentes; i den andre - forskjellen mellom kvadrater:

Det ser ut til at det ikke er noen felles faktorer. Men hvis du ser nøye etter, er de like... Og det er sant:

Så la oss skrive:

Det vil si at det ble slik: innenfor parentesen byttet vi begrepene, og samtidig endret tegnet foran brøken til det motsatte. Vær oppmerksom på at du må gjøre dette ofte.

La oss nå bringe det til en fellesnevner:

Har det? La oss sjekke det nå.

Oppgaver for selvstendig løsning:

Svar:

Her må vi huske en ting til - forskjellen på kuber:

Vær oppmerksom på at nevneren til den andre brøken ikke inneholder formelen "kvadrat av summen"! Kvadraten av summen vil se slik ut: .

A - dette er den såkalte ikke perfekt firkant sum: det andre leddet i den er produktet av det første og siste, og ikke deres doble produkt. Det partielle kvadratet av summen er en av faktorene i utvidelsen av forskjellen av terninger:

Hva skal jeg gjøre hvis det allerede er tre brøker?

Ja, det samme! Først av alt, la oss sørge for det maksimalt beløp faktorene i nevnerne var de samme:

Merk: Hvis du endrer tegnene innenfor en parentes, endres tegnet foran brøken til det motsatte. Når vi endrer tegnene i andre parentes, endres tegnet foran brøken igjen til motsatt. Som et resultat har det (tegnet foran brøken) ikke endret seg.

Vi skriver ut hele den første nevneren i fellesnevneren, og legger så til alle faktorene som ennå ikke er skrevet, fra den andre, og deretter fra den tredje (og så videre, hvis det er flere brøker). Det vil si at det blir slik:

Hmm... Det er klart hva man skal gjøre med brøker. Men hva med de to?

Det er enkelt: du vet hvordan du legger til brøker, ikke sant? Så vi må få to til å bli en brøkdel! La oss huske: en brøk er en divisjonsoperasjon (telleren deles på nevneren, i tilfelle du har glemt det). Og det er ikke noe enklere enn å dele et tall på. I dette tilfellet vil ikke selve tallet endre seg, men blir til en brøkdel:

Akkurat det som trengs!

5. Multiplikasjon og deling av brøker.

Vel, den vanskeligste delen er over nå. Og foran oss er det enkleste, men samtidig det viktigste:

Fremgangsmåte

Hva er fremgangsmåten for å beregne et numerisk uttrykk? Husk ved å beregne betydningen av dette uttrykket:

Har du telt?

Det burde fungere.

Så la meg minne deg på det.

Det første trinnet er å beregne graden.

Den andre er multiplikasjon og divisjon. Hvis det er flere multiplikasjoner og divisjoner samtidig, kan de gjøres i hvilken som helst rekkefølge.

Og til slutt utfører vi addisjon og subtraksjon. Igjen, i hvilken som helst rekkefølge.

Men: uttrykket i parentes vurderes utenfor tur!

Hvis flere parenteser multipliseres eller divideres med hverandre, regner vi først ut uttrykket i hver av parentesene, og deretter multipliserer eller dividerer vi dem.

Hva om det er flere braketter inne i brakettene? Vel, la oss tenke: et eller annet uttrykk er skrevet innenfor parentes. Når du beregner et uttrykk, hva bør du gjøre først? Det stemmer, beregn parentesene. Vel, vi fant det ut: først beregner vi de indre parentesene, så alt annet.

Så prosedyren for uttrykket ovenfor er som følger (den gjeldende handlingen er uthevet i rødt, det vil si handlingen jeg utfører akkurat nå):

Ok, det hele er enkelt.

Men dette er ikke det samme som et uttrykk med bokstaver?

Nei, det er det samme! Bare i stedet for aritmetiske operasjoner trenger du å gjøre algebraiske operasjoner, det vil si handlingene beskrevet i forrige avsnitt: bringe lignende, legge til fraksjoner, redusere fraksjoner og så videre. Den eneste forskjellen vil være handlingen med å faktorisere polynomer (vi bruker ofte dette når vi jobber med brøker). Oftest, for å faktorisere, må du bruke I eller bare ta ut felles multiplikator ut av parentes.

Vanligvis er målet vårt å representere uttrykket som et produkt eller kvotient.

For eksempel:

La oss forenkle uttrykket.

1) Først forenkler vi uttrykket i parentes. Der har vi en forskjell på brøker, og målet vårt er å presentere det som et produkt eller kvotient. Så vi bringer brøkene til en fellesnevner og legger til:

Det er umulig å forenkle dette uttrykket ytterligere; alle faktorene her er elementære (husker du fortsatt hva dette betyr?).

2) Vi får:

Multiplisere brøker: hva kan være enklere.

3) Nå kan du forkorte:

OK, det er over nå. Ikke noe komplisert, ikke sant?

Et annet eksempel:

Forenkle uttrykket.

Prøv først å løse det selv, og først deretter se på løsningen.

Først av alt, la oss bestemme rekkefølgen av handlinger. La oss først legge til brøkene i parentes, så i stedet for to brøker får vi en. Deretter skal vi gjøre deling av brøker. Vel, la oss legge til resultatet med den siste brøken. Jeg vil nummerere trinnene skjematisk:

Nå skal jeg vise deg prosessen, og farge den gjeldende handlingen i rødt:

Til slutt vil jeg gi deg to nyttige tips:

1. Hvis det er lignende, må de bringes umiddelbart. Uansett hvilket tidspunkt lignende oppstår i vårt land, er det tilrådelig å ta dem opp umiddelbart.

2. Det samme gjelder for å redusere brøker: så snart muligheten til å redusere dukker opp, må den utnyttes. Unntaket er for brøker som du legger til eller trekker fra: hvis de nå har de samme nevnerne, bør reduksjonen stå til senere.

Her er noen oppgaver du kan løse på egen hånd:

Og det som ble lovet helt i begynnelsen:

Løsninger (kortfattet):

Hvis du har taklet minst de tre første eksemplene, så har du mestret temaet.

Nå til læring!

KONVERTERE UTTRYKK. SAMMENDRAG OG GRUNNLEGGENDE FORMLER

Grunnleggende forenklingsoperasjoner:

• Tar med lignende: for å legge til (redusere) lignende termer, må du legge til koeffisientene deres og tilordne bokstavdelen.
• Faktorisering:å sette den felles faktoren ut av parentes, bruke den osv.
• Reduserer en brøkdel: Telleren og nevneren til en brøk kan multipliseres eller divideres med det samme tallet som ikke er null, noe som ikke endrer verdien av brøken.
  1) teller og nevner faktorisere
  2) hvis teller og nevner har felles faktorer, kan de krysses ut.

  VIKTIG: kun multiplikatorer kan reduseres!

• Legge til og trekke fra brøker:
  ;
• Multiplisere og dele brøker:
  ;

Det er basert på deres grunnleggende egenskap: hvis telleren og nevneren til en brøk er delt med det samme polynomet som ikke er null, vil en lik brøk fås.

Du kan bare redusere multiplikatorer!

Medlemmer av polynomer kan ikke forkortes!

For å redusere en algebraisk brøk, må polynomene i telleren og nevneren først faktoriseres.

La oss se på eksempler på å redusere brøker.

Telleren og nevneren til brøken inneholder monomialer. De representerer arbeid(tall, variabler og deres potenser), multiplikatorer vi kan redusere.

Vi reduserer tallene med deres største felles divisor, det vil si med nai større antall, som hvert av disse tallene er delt med. For 24 og 36 er dette 12. Etter reduksjon gjenstår 2 fra 24, og 3 fra 36.

Grader reduseres med grad c den laveste prisen. Å redusere en brøk betyr å dele telleren og nevneren med samme divisor, og trekke fra eksponentene.

a² og a⁷ reduseres til a². I dette tilfellet forblir en i telleren av a² (vi skriver 1 bare i tilfellet når det etter reduksjon ikke er andre faktorer igjen. Fra 24 gjenstår 2, så vi skriver ikke 1 som gjenstår fra a²). Fra a⁷, etter reduksjon, gjenstår a⁵.

b og b reduseres med b; de resulterende enhetene skrives ikke.

c³º og c⁵ forkortes til c⁵. Det som gjenstår fra c³º er c²⁵, fra c⁵ er en (vi skriver det ikke). Dermed,

Telleren og nevneren til denne algebraiske brøken er polynomer. Du kan ikke avbryte vilkår for polynomer! (du kan ikke redusere for eksempel 8x² og 2x!). For å redusere denne brøkdelen trenger du . Telleren har en felles faktor på 4x. La oss ta det ut av parentes:

Både teller og nevner har samme faktor (2x-3). Vi reduserer brøken med denne faktoren. I telleren fikk vi 4x, i nevneren - 1. For 1 eiendom algebraiske brøker, brøken er 4x.

Du kan bare redusere faktorer (du kan ikke redusere denne brøkdelen med 25x²!). Derfor må polynomene i telleren og nevneren til brøken faktoriseres.

Telleren er hele kvadratet av summen, nevneren er forskjellen av kvadrater. Etter dekomponering ved bruk av forkortede multiplikasjonsformler får vi:

Vi reduserer brøken med (5x+1) (for å gjøre dette, kryss ut de to i telleren som en eksponent, og etterlater (5x+1)² (5x+1)):

Telleren har en felles faktor på 2, la oss ta den ut av parentes. Nevneren er formelen for forskjellen av terninger:

Som et resultat av utvidelsen fikk telleren og nevneren samme faktor (9+3a+a²). Vi reduserer brøkdelen med det:

Polynomet i telleren består av 4 ledd. det første leddet med det andre, det tredje med det fjerde, og fjern fellesfaktoren x² fra de første parentesene. Vi dekomponerer nevneren ved å bruke summen av kuberformelen:

I telleren, la oss ta den felles faktoren (x+2) ut av parentes:

Reduser brøken med (x+2):

La oss forstå hva reduserende brøker er, hvorfor og hvordan vi reduserer brøker, og gi regelen for å redusere brøker og eksempler på bruken.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Hva er "redusere brøker"

Reduser fraksjon

Å redusere en brøk er å dele dens teller og nevner med en felles faktor som er positiv og forskjellig fra én.

Som et resultat av denne handlingen vil en brøk med en ny teller og nevner fås, lik den opprinnelige brøken.

For eksempel, la oss ta vanlig brøk 6 24 og forkort den. Del telleren og nevneren med 2, noe som resulterer i 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12. I dette eksemplet reduserte vi den opprinnelige brøken med 2.

Reduserer fraksjoner til irreduserbar form

I forrige eksempel reduserte vi brøken 6 24 med 2, noe som resulterte i brøken 3 12. Det er lett å se at denne brøkdelen kan reduseres ytterligere. Vanligvis er målet med å redusere brøker å ende opp med en irreduserbar brøk. Hvordan redusere en brøkdel til sin irreduserbare form?

Dette kan gjøres ved å redusere telleren og nevneren med deres største felles faktor (GCD). Deretter, etter egenskapen til den største felles divisor, vil telleren og nevneren ha gjensidige primtall, og brøken vil være irreduserbar.

a b = a ÷ N O D (a , b) b ÷ N O D (a , b)

Redusere en brøkdel til en irreduserbar form

For å redusere en brøk til en irreduserbar form, må du dele dens teller og nevner med deres gcd.

La oss gå tilbake til brøken 6 24 fra det første eksemplet og bringe den til sin irreduserbare form. Den største felles deleren av tallene 6 og 24 er 6. La oss redusere brøken:

6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4

Å redusere fraksjoner er praktisk å bruke for ikke å jobbe med i store tall. Generelt er det en uuttalt regel i matematikk: hvis du kan forenkle ethvert uttrykk, må du gjøre det. Å redusere en brøk betyr oftest å redusere den til en irreduserbar form, og ikke bare redusere den med felles deler av telleren og nevneren.

Regel for å redusere brøker

For å redusere brøker, husk bare regelen, som består av to trinn.

Regel for å redusere brøker

For å redusere en brøkdel trenger du:

1. Finn gcd for telleren og nevneren.
2. Del telleren og nevneren på deres gcd.

La oss se på praktiske eksempler.

Eksempel 1. La oss redusere brøken.

Gitt brøken 182 195. La oss forkorte det.

La oss finne gcd for telleren og nevneren. For å gjøre dette er det i dette tilfellet mest praktisk å bruke den euklidiske algoritmen.

195 = 182 1 + 13 182 = 13 14 N O D (182, 195) = 13

Del telleren og nevneren med 13. Vi får:

182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15

Klar. Vi har fått en irreduserbar brøk som er lik den opprinnelige brøken.

Hvordan kan du ellers redusere brøker? I noen tilfeller er det praktisk å faktorisere telleren og nevneren i primfaktorer, og deretter fjerne alle vanlige faktorer fra øvre og nedre del av brøken.

Eksempel 2. Reduser brøken

Gitt brøken 360 2940. La oss forkorte det.

For å gjøre dette, forestill deg den opprinnelige brøken i skjemaet:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7

La oss bli kvitt de vanlige faktorene i telleren og nevneren, noe som resulterer i:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7 = 2 3 7 7 = 6 49

Til slutt, la oss se på en annen måte å redusere brøker på. Dette er den såkalte sekvensielle reduksjonen. Ved å bruke denne metoden utføres reduksjonen i flere trinn, i hver av disse blir fraksjonen redusert med en åpenbar felles faktor.

Eksempel 3. Reduser fraksjonen

La oss redusere brøkdelen 2000 4400.

Det er umiddelbart klart at teller og nevner har en felles faktor på 100. Vi reduserer brøken med 100 og får:

2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44

20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22

Vi reduserer det resulterende resultatet igjen med 2 og får en irreduserbar brøkdel:

10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

I denne leksjonen skal vi studere den grunnleggende egenskapen til en brøk, finne ut hvilke brøker som er like med hverandre. Vi skal lære å redusere brøker, finne ut om en brøk er reduserbar eller ikke, øve på å redusere brøker, og lære når vi skal bruke en sammentrekning og når ikke.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio lignende tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Flytende aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Denne informasjonen er tilgjengelig for registrerte brukere

Hovedegenskapen til en brøk

Tenk deg denne situasjonen.

På bordet 3 person og 5 epler Dele 5 epler for tre. Alle får \(\mathbf(\frac(5)(3))\) epler.

Og ved nabobordet 3 person og også 5 epler Hver igjen \(\mathbf(\frac(5)(3))\)

Totalt 10 epler 6 Menneskelig. Hver \(\mathbf(\frac(10)(6))\)

Men det er det samme.

\(\mathbf(\frac(5)(3) = \frac(10)(6))\)

Disse brøkene er likeverdige.

Du kan doble antall personer og doble antall epler. Resultatet blir det samme.

I matematikk er det formulert slik:

Hvis telleren og nevneren til en brøk multipliseres eller divideres med samme tall (ikke lik 0), vil den nye brøken være lik den opprinnelige brøken.

Denne egenskapen kalles noen ganger " hovedegenskapen til en brøk ».

$$\mathbf(\frac(a)(b) = \frac(a\cdot c)(b\cdot c) = \frac(a:d)(b:d))$$

For eksempel, veien fra by til landsby - 14 km.

Vi går langs veien og bestemmer avstanden tilbakelagt av kilometermarkører. Etter å ha gått seks kolonner, seks kilometer, forstår vi at vi har tilbakelagt \(\mathbf(\frac(6)(14))\) distanse.

Men hvis vi ikke ser stolpene (kanskje de ikke ble installert), kan vi beregne banen ved å bruke de elektriske stolpene langs veien. Deres 40 stykker for hver kilometer. Altså totalt sett 560 hele veien. Seks kilometer - \(\mathbf(6\cdot40 = 240)\) søyler. Det vil si at vi har bestått 240 fra 560 pilars-\(\mathbf(\frac(240)(560))\)

\(\mathbf(\frac(6)(14) = \frac(240)(560))\)

Eksempel 1

Merk et punkt med koordinater ( 5; 7 ) på koordinatplan XOY. Det vil tilsvare brøken \(\mathbf(\frac(5)(7))\)

Koble opprinnelsen til koordinatene til det resulterende punktet. Konstruer et annet punkt som har koordinater to ganger de foregående. Hvilken brøkdel fikk du? Vil de være likeverdige?

Løsning

En brøkdel på koordinatplanet kan merkes med en prikk. For å representere brøken \(\mathbf(\frac(5)(7))\), merk punktet med koordinaten 5 langs aksen Y Og 7 langs aksen X. La oss tegne en rett linje fra origo gjennom punktet vårt.

Punktet som tilsvarer brøken \(\mathbf(\frac(10)(14))\) vil også ligge på samme linje

De er ekvivalente: \(\mathbf(\frac(5)(7) = \frac(10)(14))\)