Kvadratisk ligning - lett å løse! *Heretter referert til som "KU". Venner, det ser ut til at det ikke kan være noe enklere i matematikk enn å løse en slik ligning. Men noe fortalte meg at mange har problemer med ham. Jeg bestemte meg for å se hvor mange on-demand-visninger Yandex gir ut per måned. Her er hva som skjedde, se:

Hva betyr det? Dette betyr at rundt 70 000 personer per måned søker etter denne informasjonen, hva har denne sommeren med det å gjøre, og hva som vil skje blant skoleår— det kommer dobbelt så mange forespørsler. Dette er ikke overraskende, fordi de gutta og jentene som ble uteksaminert fra skolen for lenge siden og forbereder seg til Unified State Exam, leter etter denne informasjonen, og skolebarn prøver også å friske opp hukommelsen.

Til tross for at det er mange sider som forteller deg hvordan du løser denne ligningen, bestemte jeg meg for å også bidra og publisere materialet. For det første vil jeg gjerne denne forespørselen og besøkende kom til nettstedet mitt; for det andre, i andre artikler, når emnet "KU" kommer opp, vil jeg gi en lenke til denne artikkelen; for det tredje vil jeg fortelle deg litt mer om løsningen hans enn det som vanligvis står på andre nettsteder. La oss komme i gang! Innholdet i artikkelen:

En kvadratisk ligning er en ligning av formen:

hvor koeffisientene a,bog c er vilkårlige tall, med a≠0.

I skolekurs materiale er gitt inn følgende skjema– ligningene er delt inn i tre klasser:

1. De har to røtter.

2. *Ha bare én rot.

3. De har ingen røtter. Det er spesielt verdt å merke seg her at de ikke har ekte røtter

Hvordan beregnes røtter? Bare!

Vi beregner diskriminanten. Under dette "forferdelige" ordet ligger en veldig enkel formel:

Rotformlene er som følger:

*Du må kunne disse formlene utenat.

Du kan umiddelbart skrive ned og løse:

Eksempel:

1. Hvis D > 0, så har ligningen to røtter.

2. Hvis D = 0, så har ligningen én rot.

3. Hvis D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

La oss se på ligningen:

Av i denne anledning, når diskriminanten er lik null, sier skolekurset at resultatet er én rot, her er det lik ni. Alt er riktig, det er slik, men...

Denne ideen er noe feil. Faktisk er det to røtter. Ja, ja, ikke bli overrasket, du får to like røtter, og for å være matematisk presis, så bør svaret skrive to røtter:

x 1 = 3 x 2 = 3

Men det er så - liten retrett. På skolen kan du skrive det ned og si at det er én rot.

Nå neste eksempel:

Som vi vet kan ikke roten av et negativt tall tas, så det er ingen løsning i dette tilfellet.

Det er hele beslutningsprosessen.

Kvadratisk funksjon.

Dette viser hvordan løsningen ser ut geometrisk. Dette er ekstremt viktig å forstå (i fremtiden, i en av artiklene vil vi analysere i detalj løsningen på den kvadratiske ulikheten).

Dette er en funksjon av skjemaet:

hvor x og y er variabler

a, b, c – gitte tall, med a ≠ 0

Grafen er en parabel:

Det vil si at det viser seg at ved å løse en andregradsligning med "y" lik null, finner vi skjæringspunktene til parabelen med x-aksen. Det kan være to av disse punktene (diskriminanten er positiv), ett (diskriminanten er null) og ingen (diskriminanten er negativ). Detaljer om kvadratisk funksjon Du kan se artikkel av Inna Feldman.

La oss se på eksempler:

Eksempel 1: Løs 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Svar: x 1 = 8 x 2 = –12

*Det var mulig å umiddelbart dele venstre og høyre side av ligningen med 2, det vil si forenkle den. Beregningene blir lettere.

Eksempel 2: Bestemme seg for x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Vi fant at x 1 = 11 og x 2 = 11

Det er lov å skrive x = 11 i svaret.

Svar: x = 11

Eksempel 3: Bestemme seg for x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminanten er negativ, det er ingen løsning i reelle tall.

Svar: ingen løsning

Diskriminanten er negativ. Det finnes en løsning!

Her vil vi snakke om å løse ligningen i tilfellet når en negativ diskriminant oppnås. Vet du noe om komplekse tall? Jeg vil ikke gå i detalj her om hvorfor og hvor de oppsto og hva deres spesifikke rolle og nødvendighet i matematikk er; dette er et emne for en stor egen artikkel.

Konseptet med et komplekst tall.

Litt teori.

Et komplekst tall z er et tall av formen

z = a + bi

hvor a og b er reelle tall, i er den såkalte imaginære enheten.

a+bi – dette er et ENKELT NUMMER, ikke et tillegg.

Den imaginære enheten er lik roten av minus én:

Tenk nå på ligningen:

Vi får to konjugerte røtter.

Ufullstendig andregradsligning.

La oss vurdere spesielle tilfeller, dette er når koeffisienten "b" eller "c" er lik null (eller begge er lik null). De kan løses enkelt uten diskriminering.

Tilfelle 1. Koeffisient b = 0.

Ligningen blir:

La oss konvertere:

Eksempel:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Tilfelle 2. Koeffisient c = 0.

Ligningen blir:

La oss transformere og faktorisere:

*Produktet er lik null når minst én av faktorene er lik null.

Eksempel:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 eller x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Tilfelle 3. Koeffisientene b = 0 og c = 0.

Her er det klart at løsningen på ligningen alltid vil være x = 0.

Nyttige egenskaper og mønstre av koeffisienter.

Det er egenskaper som lar deg løse likninger med store koeffisienter.

ENx 2 + bx+ c=0 likestilling holder

en + b+ c = 0, At

- hvis for koeffisientene til ligningen ENx 2 + bx+ c=0 likestilling holder

en+ c =b, At

Disse egenskapene hjelper til med å løse en bestemt type ligning.

Eksempel 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Summen av oddsen er 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, som betyr

Eksempel 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Likestilling holder en+ c =b, Midler

Regulariteter av koeffisienter.

1. Hvis i ligningen ax 2 + bx + c = 0 er koeffisienten "b" lik (a 2 +1), og koeffisienten "c" er numerisk lik koeffisienten "a", så er røttene like

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Eksempel. Tenk på ligningen 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Hvis i ligningen ax 2 – bx + c = 0 er koeffisienten "b" lik (a 2 +1), og koeffisienten "c" er numerisk lik koeffisienten "a", så er røttene like

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Eksempel. Tenk på ligningen 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Hvis i lign. ax 2 + bx – c = 0 koeffisient "b" er lik (a 2 – 1), og koeffisient "c" er numerisk lik koeffisienten "a", da er røttene like

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Eksempel. Tenk på ligningen 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Hvis i ligningen ax 2 – bx – c = 0 er koeffisienten “b” lik (a 2 – 1), og koeffisienten c er numerisk lik koeffisienten “a”, så er røttene like

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Eksempel. Tenk på ligningen 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Vietas teorem.

Vietas teorem er oppkalt etter den berømte franske matematikeren Francois Vieta. Ved å bruke Vietas teorem kan vi uttrykke summen og produktet av røttene til en vilkårlig KU i form av koeffisientene.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Totalt gir tallet 14 bare 5 og 9. Dette er røttene. Med en viss ferdighet, ved å bruke det presenterte teoremet, kan du løse mange andregradsligninger muntlig umiddelbart.

Vietas teorem, i tillegg. Det er praktisk ved at etter å ha løst en kvadratisk ligning på vanlig måte (gjennom en diskriminant), kan de resulterende røttene kontrolleres. Jeg anbefaler å gjøre dette alltid.

TRANSPORTMETODE

Med denne metoden multipliseres koeffisienten "a" med frileddet, som om den ble "kastet" til den, og det er derfor den kalles "overføringsmetoden". Denne metoden brukes når røttene til ligningen lett kan finnes ved å bruke Vietas teorem og, viktigst av alt, når diskriminanten er et eksakt kvadrat.

Hvis EN± b+c≠ 0, så brukes overføringsteknikken, for eksempel:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Ved å bruke Vietas teorem i ligning (2), er det lett å bestemme at x 1 = 10 x 2 = 1

De resulterende røttene til ligningen må deles på 2 (siden de to ble "kastet" fra x 2), får vi

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Hva er begrunnelsen? Se hva som skjer.

Diskriminantene til ligningene (1) og (2) er like:

Hvis du ser på røttene til ligningene, får du bare forskjellige nevnere, og resultatet avhenger nøyaktig av koeffisienten til x 2:

Den andre (modifiserte) har røtter som er 2 ganger større.

Derfor deler vi resultatet på 2.

*Hvis vi ruller de tre på nytt, deler vi resultatet med 3 osv.

Svar: x 1 = 5 x 2 = 0,5

Sq. ur-ie og Unified State Examination.

Jeg skal fortelle deg kort om viktigheten - DU MÅ KUNNE AVGJØRE raskt og uten å tenke, du må kunne formlene for røtter og diskriminanter utenat. Mange av problemene inkludert i Unified State Examination-oppgavene koker ned til å løse en kvadratisk ligning (inkludert geometriske).

Noe verdt å merke seg!

1. Formen for å skrive en ligning kan være "implisitt". For eksempel er følgende oppføring mulig:

15+ 9x 2 - 45x = 0 eller 15x+42+9x 2 - 45x=0 eller 15 -5x+10x 2 = 0.

Du må ta ham med til standard visning(for ikke å bli forvirret når du bestemmer deg).

2. Husk at x er en ukjent størrelse og den kan betegnes med en hvilken som helst annen bokstav - t, q, p, h og andre.

Første nivå

Kvadratiske ligninger. Omfattende guide (2019)

I begrepet "kvadratisk ligning" er nøkkelordet "kvadratisk." Dette betyr at ligningen nødvendigvis må inneholde en variabel (den samme x) i annen, og det skal ikke være x-er til den tredje (eller større) potensen.

Løsningen av mange ligninger kommer ned til å løse andregradsligninger.

La oss lære å bestemme at dette er en andregradsligning og ikke en annen ligning.

Eksempel 1.

La oss kvitte oss med nevneren og gange hvert ledd i ligningen med

La oss flytte alt til venstre side og ordne leddene i synkende rekkefølge av potenser av x

Nå kan vi med sikkerhet si det gitt ligning er firkantet!

Eksempel 2.

Multipliser venstre og høyre side med:

Denne ligningen, selv om den opprinnelig var i den, er ikke kvadratisk!

Eksempel 3.

La oss gange alt med:

Skummelt? Den fjerde og andre graden... Men hvis vi gjør en erstatning, vil vi se at vi har en enkel andregradsligning:

Eksempel 4.

Det ser ut til å være der, men la oss se nærmere. La oss flytte alt til venstre side:

Du skjønner, det har krympet – og nå er det enkelt lineær ligning!

Prøv nå å bestemme selv hvilke av følgende ligninger som er kvadratiske og hvilke som ikke er det:

Eksempler:

Svar:

1. torget;
2. torget;
3. ikke firkantet;
4. ikke firkantet;
5. ikke firkantet;
6. torget;
7. ikke firkantet;
8. torget.

Matematikere deler konvensjonelt alle kvadratiske ligninger inn i følgende typer:

• Fullfør andregradsligninger- ligninger der koeffisientene og, samt frileddet c, ikke er lik null (som i eksempelet). I tillegg er det blant komplette andregradsligninger gitt- dette er ligninger der koeffisienten (ligningen fra eksempel en ikke bare er fullstendig, men også redusert!)

• Ufullstendige andregradsligninger- ligninger der koeffisienten og eller frileddet c er lik null:

  De er ufullstendige fordi de mangler et element. Men ligningen må alltid inneholde x i annen!!! Ellers vil det ikke lenger være en andregradsligning, men en annen ligning.

Hvorfor kom de med en slik inndeling? Det ser ut til at det er et X i kvadrat, og det er greit. Denne inndelingen bestemmes av løsningsmetodene. La oss se på hver av dem mer detaljert.

Løse ufullstendige andregradsligninger

La oss først fokusere på å løse ufullstendige kvadratiske ligninger - de er mye enklere!

Det finnes typer ufullstendige kvadratiske ligninger:

1. , i denne ligningen er koeffisienten lik.
2. , i denne ligningen er frileddet lik.
3. , i denne ligningen er koeffisienten og frileddet like.

1. jeg. Fordi vi vet hvordan vi skal trekke ut Kvadratrot, så la oss uttrykke fra denne ligningen

Uttrykket kan enten være negativt eller positivt. Et tall i annen kan ikke være negativt, for når du multipliserer to negative eller to positive tall, vil resultatet alltid være positivt tall, så: hvis, så har ligningen ingen løsninger.

Og hvis, så får vi to røtter. Det er ikke nødvendig å huske disse formlene. Det viktigste er at du må vite og alltid huske at det ikke kan være mindre.

La oss prøve å løse noen eksempler.

Eksempel 5:

Løs ligningen

Nå gjenstår det bare å trekke ut roten fra venstre og høyre side. Tross alt, husker du hvordan du trekker ut røtter?

Svar:

Glem aldri røtter med negativt fortegn!!!

Eksempel 6:

Løs ligningen

Svar:

Eksempel 7:

Løs ligningen

Åh! Kvadraten til et tall kan ikke være negativ, noe som betyr at ligningen

ingen røtter!

For slike ligninger som ikke har røtter, kom matematikere opp med et spesielt ikon - (tomt sett). Og svaret kan skrives slik:

Svar:

Dermed har denne kvadratiske ligningen to røtter. Det er ingen begrensninger her, siden vi ikke hentet ut roten.
Eksempel 8:

Løs ligningen

La oss ta den felles faktoren ut av parentes:

Dermed,

Denne ligningen har to røtter.

Svar:

Den enkleste typen ufullstendige kvadratiske ligninger (selv om de alle er enkle, ikke sant?). Åpenbart har denne ligningen alltid bare én rot:

Vi vil avstå fra eksempler her.

Løse komplette andregradsligninger

Vi minner om at en komplett kvadratisk ligning er en ligning av formen ligning der

Å løse komplette andregradsligninger er litt vanskeligere (bare litt) enn disse.

Huske, Enhver kvadratisk ligning kan løses ved hjelp av en diskriminant! Til og med ufullstendig.

De andre metodene vil hjelpe deg å gjøre det raskere, men hvis du har problemer med kvadratiske ligninger, må du først mestre løsningen ved å bruke diskriminanten.

1. Løse andregradsligninger ved hjelp av en diskriminant.

Å løse kvadratiske ligninger ved hjelp av denne metoden er veldig enkelt; det viktigste er å huske rekkefølgen av handlinger og et par formler.

Hvis, så har ligningen en rot. Du må være spesielt oppmerksom på trinnet. Diskriminant () forteller oss antall røtter til ligningen.

• Hvis, vil formelen i trinnet reduseres til. Dermed vil ligningen kun ha en rot.
• Hvis, så vil vi ikke være i stand til å trekke ut roten til diskriminanten på trinnet. Dette indikerer at ligningen ikke har noen røtter.

La oss gå tilbake til ligningene våre og se på noen eksempler.

Eksempel 9:

Løs ligningen

Trinn 1 vi hopper over.

Steg 2.

Vi finner diskriminanten:

Dette betyr at ligningen har to røtter.

Trinn 3.

Svar:

Eksempel 10:

Løs ligningen

Ligningen er presentert i standardform, så Trinn 1 vi hopper over.

Steg 2.

Vi finner diskriminanten:

Dette betyr at ligningen har én rot.

Svar:

Eksempel 11:

Løs ligningen

Ligningen er presentert i standardform, så Trinn 1 vi hopper over.

Steg 2.

Vi finner diskriminanten:

Dette betyr at vi ikke vil være i stand til å trekke ut roten til diskriminanten. Det er ingen røtter til ligningen.

Nå vet vi hvordan vi skal skrive ned slike svar riktig.

Svar: ingen røtter

2. Løse andregradsligninger ved hjelp av Vietas teorem.

Hvis du husker, er det en type ligning som kalles redusert (når koeffisienten a er lik):

Slike ligninger er veldig enkle å løse ved å bruke Vietas teorem:

Summen av røtter gitt andregradsligningen er lik, og produktet av røttene er lik.

Eksempel 12:

Løs ligningen

Denne ligningen kan løses ved å bruke Vietas teorem fordi .

Summen av røttene til ligningen er lik, dvs. vi får den første ligningen:

Og produktet er lik:

La oss komponere og løse systemet:

• Og. Beløpet er lik;
• Og. Beløpet er lik;
• Og. Beløpet er likt.

og er løsningen på systemet:

Svar: ; .

Eksempel 13:

Løs ligningen

Svar:

Eksempel 14:

Løs ligningen

Ligningen er gitt, som betyr:

Svar:

KVADRATISKE LIGNINGER. GJENNOMSNITTLIG NIVÅ

Hva er en andregradsligning?

Med andre ord, en andregradsligning er en ligning av formen, hvor - det ukjente, - noen tall, og.

Tallet kalles det høyeste eller første koeffisient kvadratisk ligning, - andre koeffisient, A - gratis medlem.

Hvorfor? For hvis ligningen umiddelbart blir lineær, fordi vil forsvinne.

I dette tilfellet kan og være lik null. I denne stolen kalles ligningen ufullstendig. Hvis alle vilkårene er på plass, det vil si at ligningen er komplett.

Løsninger på ulike typer kvadratiske ligninger

Metoder for å løse ufullstendige andregradsligninger:

La oss først se på metoder for å løse ufullstendige kvadratiske ligninger - de er enklere.

Vi kan skille mellom følgende typer ligninger:

I., i denne ligningen er koeffisienten og frileddet like.

II. , i denne ligningen er koeffisienten lik.

III. , i denne ligningen er frileddet lik.

La oss nå se på løsningen for hver av disse undertypene.

Åpenbart har denne ligningen alltid bare én rot:

Et kvadratert tall kan ikke være negativt, for når du multipliserer to negative eller to positive tall, vil resultatet alltid være et positivt tall. Derfor:

hvis, så har ligningen ingen løsninger;

hvis vi har to røtter

Det er ikke nødvendig å huske disse formlene. Det viktigste å huske er at det ikke kan være mindre.

Eksempler:

Løsninger:

Svar:

Glem aldri røtter med negativt fortegn!

Kvadraten til et tall kan ikke være negativ, noe som betyr at ligningen

ingen røtter.

For å kort skrive ned at et problem ikke har noen løsninger, bruker vi det tomme sett-ikonet.

Svar:

Så denne ligningen har to røtter: og.

Svar:

Vi tar den ut felles multiplikator utenfor parentes:

Produktet er lik null hvis minst en av faktorene er lik null. Dette betyr at ligningen har en løsning når:

Så denne andregradsligningen har to røtter: og.

Eksempel:

Løs ligningen.

Løsning:

La oss faktorisere venstre side av ligningen og finne røttene:

Svar:

Metoder for å løse komplette kvadratiske ligninger:

1. Diskriminerende

Å løse kvadratiske ligninger på denne måten er enkelt, det viktigste er å huske handlingssekvensen og et par formler. Husk at enhver annengradsligning kan løses ved hjelp av en diskriminant! Til og med ufullstendig.

La du merke til roten fra diskriminanten i formelen for røtter? Men diskriminanten kan være negativ. Hva å gjøre? Vi må være spesielt oppmerksomme på trinn 2. Diskriminanten forteller oss antall røtter til ligningen.

• Hvis, så har ligningen røtter:
• Hvis så ligningen har identiske røtter, men egentlig én rot:

  Slike røtter kalles dobbeltrøtter.

• Hvis, så trekkes ikke roten til diskriminanten ut. Dette indikerer at ligningen ikke har noen røtter.

Hvorfor er det mulig forskjellige mengder røtter? La oss gå til geometrisk sans kvadratisk ligning. Grafen til funksjonen er en parabel:

I et spesielt tilfelle, som er en andregradsligning, . Dette betyr at røttene til en kvadratisk ligning er skjæringspunktene med abscisseaksen (aksen). En parabel kan ikke krysse aksen i det hele tatt, eller kan krysse den ved ett (når parabelens toppunkt ligger på aksen) eller to punkter.

I tillegg er koeffisienten ansvarlig for retningen til grenene til parablen. Hvis, så er grenene til parablen rettet oppover, og hvis, så nedover.

Eksempler:

Løsninger:

Svar:

Svar: .

Svar:

Dette betyr at det ikke finnes noen løsninger.

Svar: .

2. Vietas teorem

Det er veldig enkelt å bruke Vietas teorem: du trenger bare å velge et tallpar hvis produkt er lik ligningens frie ledd, og summen er lik den andre koeffisienten tatt med motsatt fortegn.

Det er viktig å huske at Vietas teorem kun kan brukes i reduserte andregradsligninger ().

La oss se på noen eksempler:

Eksempel #1:

Løs ligningen.

Løsning:

Denne ligningen kan løses ved å bruke Vietas teorem fordi . Andre koeffisienter: ; .

Summen av røttene til ligningen er:

Og produktet er lik:

La oss velge par med tall hvis produkt er likt og sjekke om summen deres er lik:

• Og. Beløpet er lik;
• Og. Beløpet er lik;
• Og. Beløpet er likt.

og er løsningen på systemet:

Dermed og er røttene til ligningen vår.

Svar: ; .

Eksempel #2:

Løsning:

La oss velge tallpar som gir i produktet, og så sjekke om summen deres er lik:

og: de gir totalt.

og: de gir totalt. For å få det er det nok å bare endre tegnene på de antatte røttene: og tross alt produktet.

Svar:

Eksempel #3:

Løsning:

Frileddet til ligningen er negativ, og derfor er produktet av røttene et negativt tall. Dette er bare mulig hvis en av røttene er negativ og den andre er positiv. Derfor er summen av røttene lik forskjellene på modulene deres.

La oss velge par med tall som gir produktet, og hvis forskjell er lik:

og: deres forskjell er lik - passer ikke;

og: - ikke egnet;

og: - ikke egnet;

og: - egnet. Alt som gjenstår er å huske at en av røttene er negativ. Siden summen deres må være lik, må roten med den mindre modulen være negativ: . Vi sjekker:

Svar:

Eksempel #4:

Løs ligningen.

Løsning:

Ligningen er gitt, som betyr:

Frileddet er negativt, og derfor er produktet av røttene negativt. Og dette er bare mulig når en rot av ligningen er negativ og den andre er positiv.

La oss velge par med tall hvis produkt er likt, og deretter bestemme hvilke røtter som skal ha et negativt fortegn:

Åpenbart er bare røttene og egnet for den første tilstanden:

Svar:

Eksempel #5:

Løs ligningen.

Løsning:

Ligningen er gitt, som betyr:

Summen av røttene er negativ, noe som betyr at minst én av røttene er negativ. Men siden deres produkt er positivt, betyr det at begge røttene har et minustegn.

La oss velge par med tall hvis produkt er lik:

Åpenbart er røttene tallene og.

Svar:

Enig, det er veldig praktisk å komme opp med røtter muntlig, i stedet for å regne denne ekle diskriminanten. Prøv å bruke Vietas teorem så ofte som mulig.

Men Vietas teorem er nødvendig for å lette og fremskynde å finne røttene. For at du skal dra nytte av å bruke den, må du bringe handlingene til automatikk. Og for dette, løs fem flere eksempler. Men ikke juks: du kan ikke bruke en diskriminant! Bare Vietas teorem:

Løsninger på oppgaver for selvstendig arbeid:

Oppgave 1. ((x)^(2))-8x+12=0

I følge Vietas teorem:

Som vanlig starter vi utvalget med stykket:

Ikke egnet fordi mengden;

: beløpet er akkurat det du trenger.

Svar: ; .

Oppgave 2.

Og igjen vår favoritt Vieta-setning: summen må være lik, og produktet må være lik.

Men siden det må være ikke, men, vi endrer tegnene til røttene: og (totalt).

Svar: ; .

Oppgave 3.

Hmm... Hvor er det?

Du må flytte alle termene til én del:

Summen av røttene er lik produktet.

Ok, stopp! Ligningen er ikke gitt. Men Vietas teorem er kun anvendelig i de gitte ligningene. Så først må du gi en ligning. Hvis du ikke kan lede, gi opp denne ideen og løs den på en annen måte (for eksempel gjennom en diskriminant). La meg minne deg på at å gi en kvadratisk ligning betyr å gjøre den ledende koeffisienten lik:

Flott. Da er summen av røttene lik og produktet.

Her er det like enkelt som å avskalle pærer å velge: det er tross alt et primtall (beklager tautologien).

Svar: ; .

Oppgave 4.

Det gratis medlemmet er negativt. Hva er spesielt med dette? Og faktum er at røttene vil ha forskjellige tegn. Og nå, under utvalget, sjekker vi ikke summen av røttene, men forskjellen i modulene deres: denne forskjellen er lik, men et produkt.

Så røttene er lik og, men en av dem er minus. Vietas teorem forteller oss at summen av røttene er lik den andre koeffisienten med motsatt fortegn, altså. Dette betyr at den mindre roten vil ha minus: og siden.

Svar: ; .

Oppgave 5.

Hva bør du gjøre først? Det stemmer, gi ligningen:

Igjen: vi velger faktorene til tallet, og forskjellen deres skal være lik:

Røttene er lik og, men en av dem er minus. Hvilken? Summen deres skal være lik, noe som betyr at minus vil ha en større rot.

Svar: ; .

La meg oppsummere:

1. Vietas teorem brukes bare i de andregradsligningene som er gitt.
2. Ved å bruke Vietas teorem kan du finne røttene ved seleksjon, muntlig.
3. Hvis ligningen ikke er gitt eller ingen ligning er funnet passende par multiplikatorer av fribegrepet, som betyr at det ikke er hele røtter, og du må løse det på en annen måte (for eksempel gjennom en diskriminant).

3. Metode for å velge en komplett firkant

Hvis alle ledd som inneholder det ukjente er representert i form av termer fra forkortede multiplikasjonsformler - kvadratet av summen eller differansen - så etter å ha erstattet variabler, kan ligningen presenteres i form av en ufullstendig kvadratisk ligning av typen.

For eksempel:

Eksempel 1:

Løs ligningen:.

Løsning:

Svar:

Eksempel 2:

Løs ligningen:.

Løsning:

Svar:

I generelt syn transformasjonen vil se slik ut:

Dette innebærer: .

Minner deg ikke om noe? Dette er en diskriminerende ting! Det var akkurat slik vi fikk diskriminantformelen.

KVADRATISKE LIGNINGER. KORT OM HOVEDTINGENE

Kvadratisk ligning- dette er en likning av formen, der - det ukjente, - koeffisientene til kvadratisk likning, - frileddet.

Fullfør andregradsligningen- en ligning der koeffisientene ikke er lik null.

Redusert andregradsligning- en ligning der koeffisienten, det vil si: .

Ufullstendig andregradsligning- en ligning der koeffisienten og eller frileddet c er lik null:

• hvis koeffisienten, ser ligningen slik ut: ,
• hvis det er et fritt ledd, har ligningen formen: ,
• hvis og, ser ligningen slik ut: .

1. Algoritme for å løse ufullstendige andregradsligninger

1.1. En ufullstendig andregradsligning av formen, hvor:

1) La oss uttrykke det ukjente: ,

2) Sjekk tegnet til uttrykket:

• hvis, så har ligningen ingen løsninger,
• hvis, så har ligningen to røtter.

1.2. En ufullstendig andregradsligning av formen, hvor:

1) La oss ta den felles faktoren ut av parentes: ,

2) Produktet er lik null hvis minst en av faktorene er lik null. Derfor har ligningen to røtter:

1.3. En ufullstendig andregradsligning av formen, der:

Denne ligningen har alltid bare én rot: .

2. Algoritme for å løse komplette andregradsligninger av formen hvor

2.1. Løsning ved hjelp av diskriminant

1) La oss bringe ligningen til standardform: ,

2) La oss beregne diskriminanten ved å bruke formelen: , som indikerer antall røtter til ligningen:

3) Finn røttene til ligningen:

• hvis, så har ligningen røtter, som finnes av formelen:
• hvis, så har ligningen en rot, som finnes av formelen:
• hvis, så har ligningen ingen røtter.

2.2. Løsning ved hjelp av Vietas teorem

Summen av røttene til den reduserte andregradsligningen (ligningen av formen hvor) er lik, og produktet av røttene er lik, dvs. , A.

2.3. Løsning ved å velge en komplett firkant

Videoopplæring 2: Løse kvadratiske ligninger

Foredrag: Kvadratiske ligninger

Ligningen

Ligningen– dette er en slags likhet i uttrykkene som det er en variabel av.

Løs ligningen- betyr å finne et tall i stedet for en variabel som vil bringe det til korrekt likhet.

En ligning kan ha én løsning, flere eller ingen i det hele tatt.

For å løse en ligning, bør den forenkles så mye som mulig til skjemaet:

Lineær: a*x = b;

Torget: a*x 2 + b*x + c = 0.

Det vil si at eventuelle ligninger må konverteres til standardform før de løses.

Enhver ligning kan løses på to måter: analytisk og grafisk.

På grafen anses løsningen til ligningen å være punktene der grafen skjærer OX-aksen.

Kvadratiske ligninger

En ligning kan kalles kvadratisk hvis den, forenklet, har formen:

a*x 2 + b*x + c = 0.

Hvori a, b, c er koeffisienter av ligningen som avviker fra null. EN "X"- roten av ligningen. Det antas at en kvadratisk ligning har to røtter eller kanskje ikke har en løsning i det hele tatt. De resulterende røttene kan være de samme.

"EN"- koeffisienten som står foran kvadratroten.

"b"- står foran det ukjente i første grad.

"Med" er ligningens frie ledd.

Hvis vi for eksempel har en ligning av formen:

2x 2 -5x+3=0

I den er "2" koeffisienten til det ledende leddet i ligningen, "-5" er den andre koeffisienten, og "3" er det frie leddet.

Løse en andregradsligning

Det er et stort utvalg måter å løse en kvadratisk ligning på. Men i et skolematematikkkurs studeres løsningen ved å bruke Vietas teorem, i tillegg til å bruke en diskriminant.

Diskriminerende løsning:

Når man løser med denne metoden det er nødvendig å beregne diskriminanten ved å bruke formelen:

Hvis du under beregninger finner at diskriminanten mindre enn null, betyr dette at denne ligningen ikke har noen løsninger.

Hvis diskriminanten er null, har ligningen to identiske løsninger. I dette tilfellet kan polynomet kollapses ved å bruke den forkortede multiplikasjonsformelen til kvadratet av summen eller differansen. Løs det så som en lineær ligning. Eller bruk formelen:

Hvis diskriminanten er større enn null, må du bruke følgende metode:

Vietas teorem

Hvis ligningen er gitt, det vil si at koeffisienten til det ledende leddet er lik én, kan du bruke Vietas teorem.

Så la oss anta at ligningen er:

Røttene til ligningen finnes som følger:

Ufullstendig andregradsligning

Det er flere alternativer for å oppnå en ufullstendig kvadratisk ligning, hvis form avhenger av tilstedeværelsen av koeffisienter.

1. Hvis den andre og tredje koeffisienten er null (b = 0, c = 0), så vil den andregradsligningen se slik ut:

Denne ligningen vil ha en unik løsning. Likheten vil bare være sann hvis løsningen på ligningen er null.

Andregradsligningsproblemer studeres også i skolepensum og på universiteter. De betyr ligninger av formen a*x^2 + b*x + c = 0, hvor x- variabel, a, b, c - konstanter; en<>0 . Oppgaven er å finne røttene til ligningen.

Geometrisk betydning av kvadratisk ligning

Grafen til en funksjon som er representert ved en andregradsligning er en parabel. Løsningene (røttene) til en kvadratisk ligning er skjæringspunktene mellom parabelen og abscissen (x)-aksen. Det følger at det er tre mulige tilfeller:
1) parablen har ingen skjæringspunkter med abscisseaksen. Det betyr at den er i det øvre planet med greiner opp eller bunnen med greiner ned. I slike tilfeller har kvadratisk ligning ingen reelle røtter (den har to komplekse røtter).

2) parablen har ett skjæringspunkt med okseaksen. Et slikt punkt kalles parabelens toppunkt, og andregradsligningen ved det får sitt minimum eller maksimal verdi. I dette tilfellet har kvadratisk ligning én reell rot (eller to identiske røtter).

3) Det siste tilfellet er mer interessant i praksis - det er to skjæringspunkter for parabelen med abscisseaksen. Dette betyr at det er to reelle røtter til ligningen.

Basert på analysen av koeffisientene til potensene til variablene, kan interessante konklusjoner trekkes om plasseringen av parabelen.

1) Hvis koeffisienten a er større enn null, er parabelens grener rettet oppover; hvis den er negativ, er parabelens grener rettet nedover.

2) Hvis koeffisienten b er større enn null, så ligger toppunktet til parablen i venstre halvplan hvis den tar negativ betydning- så til høyre.

Utledning av formelen for å løse en andregradsligning

La oss overføre konstanten fra andregradsligningen

for likhetstegnet får vi uttrykket

Multipliser begge sider med 4a

Å komme til venstre perfekt firkant legg til b^2 på begge sider og utfør transformasjonen

Herfra finner vi

Formel for diskriminanten og røttene til en kvadratisk ligning

Diskriminanten er verdien av det radikale uttrykket. Hvis det er positivt, så har ligningen to reelle røtter, beregnet med formelen Når diskriminanten er null, har andregradsligningen én løsning (to sammenfallende røtter), som enkelt kan fås fra formelen ovenfor for D=0. Når diskriminanten er negativ, har ligningen ingen reelle røtter. Imidlertid finnes løsninger på den kvadratiske ligningen i det komplekse planet, og verdien deres beregnes ved hjelp av formelen

Vietas teorem

La oss vurdere to røtter av en andregradsligning og konstruere en andregradsligning på grunnlag av disse Vietas teorem følger enkelt av notasjonen: hvis vi har en annengradsligning av formen da er summen av røttene lik koeffisienten p tatt med motsatt fortegn, og produktet av røttene til ligningen er lik det frie leddet q. Formelrepresentasjonen av ovenstående vil se ut som Hvis konstanten a i en klassisk ligning ikke er null, må du dele hele ligningen med den, og deretter bruke Vietas teorem.

Factoring kvadratisk ligningsplan

La oppgaven settes: faktor en andregradsligning. For å gjøre dette løser vi først ligningen (finn røttene). Deretter erstatter vi de funnet røttene i ekspansjonsformelen for den kvadratiske ligningen. Dette vil løse problemet.

Andregradsligningsproblemer

Oppgave 1. Finn røttene til en andregradsligning

x^2-26x+120=0 .

Løsning: Skriv ned koeffisientene og bytt dem inn i diskriminantformelen

Roten av gitt verdi er lik 14, er det lett å finne med en kalkulator, eller huske med hyppig bruk, men for enkelhets skyld vil jeg på slutten av artikkelen gi deg en liste over kvadrater med tall som ofte kan oppstå i slike problemer.
Vi erstatter den funnet verdien i rotformelen

og vi får

Oppgave 2. Løs ligningen

2x 2 +x-3=0.

Løsning: Vi har en fullstendig andregradsligning, skriver ut koeffisientene og finner diskriminanten


Ved å bruke kjente formler finner vi røttene til andregradsligningen

Oppgave 3. Løs ligningen

9x 2 -12x+4=0.

Løsning: Vi har en fullstendig andregradsligning. Bestemme diskriminanten

Vi har et tilfelle der røttene faller sammen. Finn verdiene til røttene ved å bruke formelen

Oppgave 4. Løs ligningen

x^2+x-6=0 .

Løsning: I tilfeller der det er små koeffisienter for x, er det tilrådelig å bruke Vietas teorem. Ved dens tilstand får vi to ligninger

Fra den andre betingelsen finner vi at produktet må være lik -6. Dette betyr at en av røttene er negativ. Vi har følgende mulige løsningspar (-3;2), (3;-2) . Når vi tar i betraktning den første betingelsen, avviser vi det andre paret med løsninger.
Røttene til ligningen er like

Oppgave 5. Finn lengdene på sidene til et rektangel hvis omkretsen er 18 cm og arealet er 77 cm 2.

Løsning: Halve omkretsen til et rektangel er lik summen av dets tilstøtende sider. La oss betegne x som den større siden, så er 18-x den mindre siden. Arealet av rektangelet er lik produktet av disse lengdene:
x(18-x)=77;
eller
x 2 -18x+77=0.
La oss finne diskriminanten til ligningen

Beregne røttene til ligningen

Hvis x=11, At 18'er=7 , det motsatte er også sant (hvis x=7, så 21'er=9).

Oppgave 6. Faktor den andregradsligningen 10x 2 -11x+3=0.

Løsning: La oss beregne røttene til ligningen, for å gjøre dette finner vi diskriminanten

Vi erstatter den funnet verdien i rotformelen og beregner

Vi bruker formelen for å dekomponere en andregradsligning med røtter

Ved å åpne parentesene får vi en identitet.

Andregradsligning med parameter

Eksempel 1. Ved hvilke parameterverdier A , har ligningen (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 én rot?

Løsning: Ved direkte substitusjon av verdien a=3 ser vi at den ikke har noen løsning. Deretter vil vi bruke det faktum at med en null diskriminant har ligningen én rot av multiplisitet 2. La oss skrive ut diskriminanten

La oss forenkle det og likestille det til null

Vi har fått en andregradsligning med hensyn til parameteren a, hvis løsning lett kan oppnås ved å bruke Vietas teorem. Summen av røttene er 7, og produktet deres er 12. Ved enkelt søk slår vi fast at tallene 3,4 vil være røttene til ligningen. Siden vi allerede avviste løsningen a=3 i begynnelsen av beregningene, vil den eneste riktige være - a=4. For a=4 har ligningen altså én rot.

Eksempel 2. Ved hvilke parameterverdier A , ligningen a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 har mer enn én rot?

Løsning: La oss først vurdere entallspunktene, de vil være verdiene a=0 og a=-3. Når a=0, vil ligningen forenkles til formen 6x-9=0; x=3/2 og det vil være én rot. For a= -3 får vi identiteten 0=0.
La oss beregne diskriminanten

og finn verdien av a der den er positiv

Fra den første betingelsen får vi a>3. For det andre finner vi diskriminanten og røttene til ligningen


La oss definere intervallene hvor funksjonen tar positive verdier. Ved å erstatte punktet a=0 får vi 3>0 . Så utenfor intervallet (-3;1/3) er funksjonen negativ. Ikke glem poenget a=0, som bør utelukkes fordi den opprinnelige ligningen har én rot i seg.
Som et resultat får vi to intervaller som tilfredsstiller betingelsene for problemet

Det vil være mange lignende oppgaver i praksis, prøv å finne ut av oppgavene selv og ikke glem å ta hensyn til forholdene som er gjensidig utelukkende. Studer godt formlene for å løse andregradsligninger; de er ofte nødvendige i beregninger i ulike oppgaver og vitenskaper.

Kopyevskaya landlige ungdomsskole

10 måter å løse kvadratiske ligninger på

Leder: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

matematikklærer

landsbyen Kopevo, 2007

1. Historie om utviklingen av andregradsligninger

1.1 Kvadratiske ligninger i det gamle Babylon

1.2 Hvordan Diophantus komponerte og løste andregradsligninger

1.3 Kvadratiske ligninger i India

1.4 Kvadratiske ligninger av al-Khorezmi

1.5 Kvadratiske ligninger i Europa XIII - XVII århundrer

1.6 Om Vietas teorem

2. Metoder for å løse andregradsligninger

Konklusjon

Litteratur

1. Historie om utviklingen av andregradsligninger

1.1 Kvadratiske ligninger i det gamle Babylon

Behovet for å løse ligninger ikke bare av første, men også av andre grad i antikken var forårsaket av behovet for å løse problemer knyttet til å finne områder tomter og med jordarbeider av militær karakter, samt med utviklingen av astronomi og matematikk selv. Kvadratiske ligninger kunne løses rundt 2000 f.Kr. e. babylonere.

Ved å bruke moderne algebraisk notasjon kan vi si at i deres kileskrifttekster er det, i tillegg til ufullstendige, slike for eksempel komplette kvadratiske ligninger:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Regelen for å løse disse ligningene, som er angitt i de babylonske tekstene, er i hovedsak sammenfallende med den moderne, men det er ikke kjent hvordan babylonerne kom frem til denne regelen. Nesten alle kileskriftstekster som er funnet så langt gir kun problemer med løsninger lagt opp i form av oppskrifter, uten indikasjon på hvordan de ble funnet.

På tross av høy level utvikling av algebra i Babylon, mangler kileskrifttekstene begrepet et negativt tall og generelle metoder løse andregradsligninger.

1.2 Hvordan Diophantus komponerte og løste andregradsligninger.

Diophantus' Aritmetikk inneholder ikke en systematisk presentasjon av algebra, men den inneholder en systematisk rekke problemer, ledsaget av forklaringer og løst ved å konstruere ligninger av ulike grader.

Når du komponerer ligninger, velger Diophantus dyktig ukjente for å forenkle løsningen.

Her er for eksempel en av oppgavene hans.

Oppgave 11."Finn to tall, vel vitende om at summen deres er 20 og produktet deres er 96"

Diophantus begrunner som følger: fra betingelsene for problemet følger det at de nødvendige tallene ikke er like, siden hvis de var like, ville deres produkt ikke være lik 96, men til 100. Dermed vil en av dem være mer enn halvparten av summen deres, dvs. 10 + x, den andre er mindre, dvs. 10-tallet. Forskjellen mellom dem 2x .

Derav ligningen:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Herfra x = 2. Ett av de nødvendige tallene er lik 12 , annet 8 . Løsning x = -2 for Diophantus eksisterer ikke, siden gresk matematikk bare kjente positive tall.

Hvis vi løser dette problemet ved å velge et av de nødvendige tallene som det ukjente, vil vi komme til en løsning på ligningen

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Det er klart at ved å velge halvforskjellen til de nødvendige tallene som det ukjente, forenkler Diophantus løsningen; han klarer å redusere problemet til å løse en ufullstendig andregradsligning (1).

1.3 Kvadratiske ligninger i India

Problemer med kvadratiske ligninger finnes allerede i den astronomiske avhandlingen "Aryabhattiam", kompilert i 499 av den indiske matematikeren og astronomen Aryabhatta. En annen indisk vitenskapsmann, Brahmagupta (7. århundre), skisserte generell regel løsninger av kvadratiske ligninger redusert til en enkelt kanonisk form:

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

I ligning (1), koeffisientene, unntatt EN, kan også være negativ. Brahmaguptas styre er i hovedsak det samme som vårt.

I Det gamle India Offentlige konkurranser om å løse vanskelige problemer var vanlig. En av de gamle indiske bøkene sier følgende om slike konkurranser: «Som solen formørker stjernene med sin glans, så lærd mann overskygge en annens herlighet i populære forsamlinger ved å foreslå og løse algebraiske problemer.» Problemer ble ofte presentert i poetisk form.

Dette er et av problemene til den berømte indiske matematikeren på 1100-tallet. Bhaskars.

Oppgave 13.

"En flokk med sprø aper og tolv langs vinrankene ...

Etter å ha spist hadde myndighetene det gøy. De begynte å hoppe, henge...

Det er dem på torget, del 8. Hvor mange aper var det?

Jeg koste meg i lysningen. Fortell meg, i denne pakken?

Bhaskaras løsning indikerer at han visste at røttene til kvadratiske ligninger er toverdier (fig. 3).

Ligningen som tilsvarer oppgave 13 er:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara skriver under dekke:

x 2 - 64x = -768

og for å fullføre venstre side av denne ligningen til kvadrat, legger du til begge sider 32 2 , så får du:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Kvadratiske ligninger i al - Khorezmi

I den algebraiske avhandlingen til al-Khorezmi er det gitt en klassifisering av lineære og kvadratiske ligninger. Forfatteren teller 6 typer ligninger, og uttrykker dem som følger:

1) «Kvadrater er lik røtter», dvs. akse 2 + c = b X.

2) «Kvadrater er lik tall», dvs. øks 2 = c.

3) «Røttene er lik tallet», dvs. ah = s.

4) «Kvadrater og tall er lik røtter», dvs. akse 2 + c = b X.

5) «Kvadrater og røtter er lik tall», dvs. ah 2+ bx = s.

6) «Røtter og tall er lik kvadrater», dvs. bx + c = akse 2.

For al-Khorezmi, som unngikk forbruk negative tall, blir leddene til hver av disse ligningene lagt til, ikke trukket fra. I dette tilfellet er det åpenbart ikke tatt hensyn til ligninger som ikke har positive løsninger. Forfatteren angir metoder for å løse disse ligningene ved å bruke teknikkene til al-jabr og al-muqabala. Hans avgjørelser er selvsagt ikke helt sammenfallende med våre. For ikke å nevne at det er rent retorisk, bør det for eksempel bemerkes at når man løser en ufullstendig andregradsligning av den første typen

al-Khorezmi, som alle matematikere før 1600-tallet, tar ikke hensyn til nullløsningen, sannsynligvis fordi det i spesifikke praktiske problemer ikke spiller noen rolle. Når du løser komplette kvadratiske ligninger, angir al-Khorezmi reglene for å løse dem ved å bruke spesielle numeriske eksempler, og deretter geometriske bevis.

Oppgave 14.«Kvadraten og tallet 21 er lik 10 røtter. Finn roten" (antyder roten av ligningen x 2 + 21 = 10x).

Forfatterens løsning er omtrent slik: del antall røtter i to, du får 5, gang 5 med seg selv, trekk 21 fra produktet, det som gjenstår er 4. Ta roten fra 4, du får 2. Trekk fra 2 fra 5 , får du 3, dette vil være ønsket rot. Eller legg til 2 til 5, som gir 7, dette er også en rot.

Avhandlingen om al-Khorezmi er den første boken som har kommet ned til oss, som systematisk setter opp klassifiseringen av kvadratiske ligninger og gir formler for løsningen deres.

1.5 Kvadratiske ligninger i Europa XIII - XVII bb

Formler for å løse kvadratiske ligninger på linje med al-Khwarizmi i Europa ble først satt frem i Abacus-boken, skrevet i 1202 av den italienske matematikeren Leonardo Fibonacci. Dette omfangsrike arbeidet, som gjenspeiler påvirkningen av matematikk, både islamske land og Antikkens Hellas, kjennetegnes ved både fullstendighet og klarhet i presentasjonen. Forfatteren utviklet uavhengig noen nye algebraiske eksempler løse problemer og var den første i Europa som innførte negative tall. Boken hans bidro til spredningen av algebraisk kunnskap ikke bare i Italia, men også i Tyskland, Frankrike og andre europeiske land. Mange problemer fra Abacus-boken ble brukt i nesten alle europeiske lærebøker på 1500- og 1600-tallet. og delvis XVIII.

Den generelle regelen for å løse kvadratiske ligninger redusert til en enkelt kanonisk form:

x 2 + bx = c,

for alle mulige kombinasjoner av koeffisienttegn b , Med ble formulert i Europa først i 1544 av M. Stiefel.

Avledningen av formelen for å løse en kvadratisk ligning i generell form er tilgjengelig fra Viète, men Viète gjenkjente bare positive røtter. Italienske matematikere Tartaglia, Cardano, Bombelli var blant de første på 1500-tallet. De tar hensyn, i tillegg til det positive, og negative røtter. Først på 1600-tallet. Takket være arbeidet til Girard, Descartes, Newton og andre forskere, får metoden for å løse kvadratiske ligninger en moderne form.

1.6 Om Vietas teorem

Teoremet som uttrykker forholdet mellom koeffisientene til en kvadratisk ligning og dens røtter, oppkalt etter Vieta, ble formulert av ham for første gang i 1591 som følger: "Hvis B + D, ganget med EN - EN 2 , er lik BD, Det EN er lik I og likeverdig D ».

For å forstå Vieta, bør vi huske det EN, som enhver vokalbokstav, betydde det ukjente (vår X), vokaler I, D- koeffisienter for det ukjente. På språket til moderne algebra betyr Vieta-formuleringen ovenfor: hvis det finnes

(et + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Uttrykke forholdet mellom røttene og koeffisientene til ligningene generelle formler skrevet ved hjelp av symboler, etablerte Viet enhetlighet i metodene for å løse ligninger. Men symbolikken til Viet er fortsatt langt fra moderne utseende. Han gjenkjente ikke negative tall, og derfor vurderte han, når han løste ligninger, bare tilfeller der alle røttene var positive.

2. Metoder for å løse andregradsligninger

Kvadratiske ligninger er grunnlaget som det majestetiske byggverket til algebra hviler på. Kvadratiske ligninger er funnet bred applikasjon ved løsning av trigonometriske, eksponentielle, logaritmiske, irrasjonelle og transcendentale ligninger og ulikheter. Vi vet alle hvordan vi løser andregradsligninger fra skolen (8. klasse) til eksamen.