Grad og dens egenskaper. The Comprehensive Guide (2019). Kraft med rasjonell eksponent

MBOU "Sidorskaya"

omfattende skole»

Utvikling av en skisseplan åpen leksjon

i algebra i 11. klasse om temaet:

Forberedt og utført

matte lærer

Iskhakova E.F.

Oversikt over en åpen leksjon i algebra i 11. klasse.

Emne : "Grad med rasjonell indikator».

Leksjonstype : Lære nytt stoff

Leksjonens mål:

Introduser studentene til begrepet en grad med en rasjonell eksponent og dens grunnleggende egenskaper, basert på tidligere studert materiale (grad med en heltallseksponent).

Utvikle beregningsevner og evnen til å konvertere og sammenligne tall med rasjonelle eksponenter.

Å utvikle matematisk kompetanse og matematisk interesse hos elevene.

Utstyr : Oppgavekort, studentpresentasjon etter grad med heltallsindikator, lærerpresentasjon etter grad med rasjonell indikator, bærbar PC, multimediaprojektor, lerret.

I løpet av timene:

Organisering av tid.

Sjekke mestringen av det dekkede emnet ved hjelp av individuelle oppgavekort.

Oppgave nr. 1.

=2;

B) =x + 5;

Løs systemet irrasjonelle ligninger: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

Oppgave nr. 2.

Løs den irrasjonelle ligningen: = - 3;

B) = x - 2;

Løs systemet med irrasjonelle ligninger: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

Kommuniser emnet og målene for leksjonen.

Temaet for leksjonen vår i dag er " Kraft med rasjonell eksponent».

Forklaring av nytt materiale ved bruk av eksempel på tidligere studert materiale.

Du er allerede kjent med konseptet med en grad med en heltallseksponent. Hvem vil hjelpe meg å huske dem?

Repetisjon ved bruk av presentasjon " Grad med en heltallseksponent».

For alle tall a, b og alle heltall m og n er likhetene gyldige:

a m * a n = a m+n;

a m: a n = a m-n (a ≠ 0);

(a m) n = a mn;

(a b) n =a n * b n;

(a/b) n = a n/b n (b ≠ 0);

a1 =a; a 0 = 1(a ≠ 0)

I dag skal vi generalisere begrepet makt til et tall og gi mening til uttrykk som har en brøkeksponent. La oss introdusere definisjon grader med en rasjonell eksponent (Presentasjon "Grad med en rasjonell eksponent"):

Kraften til en > 0 med rasjonell eksponent r = , Hvor m er et heltall, og n – naturlig ( n > 1), ringte nummeret m .

Så per definisjon får vi det = m .

La oss prøve å bruke denne definisjonen når du fullfører en oppgave.

EKSEMPEL nr. 1

Jeg presenterer uttrykket som en rot av et tall:

EN) B) I) .

La oss nå prøve å bruke denne definisjonen omvendt

II Uttrykk uttrykket som en potens med en rasjonell eksponent:

EN) 2 B) I) 5 .

Potensen 0 er definert bare for positive eksponenter.

0 r= 0 for noen r> 0.

Ved hjelp av denne definisjonen, Hus du vil fullføre #428 og #429.

La oss nå vise at med definisjonen av en grad med en rasjonell eksponent formulert ovenfor, er de grunnleggende egenskapene til grader bevart, som er sanne for alle eksponenter.

For enhver rasjonelle tall r og s og alle positive a og b, likhetene er sanne:

1 0 . en r en s =a r+s ;

EKSEMPEL: *

20. a r: a s = a r-s;

EKSEMPEL: :

3 0 . (a r ) s = a rs ;

EKSEMPEL: ( -2/3

4 0 . ( ab) r = en r b r ; 5 0 . ( = .

EKSEMPEL: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

EKSEMPEL på bruk av flere egenskaper samtidig: * : .

Kroppsøvingsminutt.

Vi la pennene på pulten, rettet opp ryggen, og nå strekker vi oss fremover, vi vil ta på brettet. Nå har vi hevet den og lent oss til høyre, venstre, fremover, bakover. Du viste meg hendene dine, vis meg nå hvordan fingrene dine kan danse.

Arbeider med materialet

La oss merke ytterligere to egenskaper til potenser med rasjonelle eksponenter:

6 0 . La r er et rasjonelt tall og 0< a < b . Тогда

en r < b r på r> 0,

en r < b r på r< 0.

7 0 . For alle rasjonelle tallr Og s fra ulikhet r> s følger det

en r>a r for en > 1,

en r < а r på 0< а < 1.

EKSEMPEL: Sammenlign tallene:

OG ; 2 300 og 3 200 .

Leksjonssammendrag:

I dag i leksjonen husket vi egenskapene til en grad med en heltallseksponent, lærte definisjonen og de grunnleggende egenskapene til en grad med en rasjonell eksponent, og undersøkte bruken av dette teoretiske materialet i praksis når vi utfører øvelser. Jeg vil gjerne gjøre oppmerksom på at emnet "Eksponent med en rasjonell eksponent" er obligatorisk i Unified State Exam-oppgaver. Under forberedelse hjemmelekser ( nr. 428 og nr. 429

Videoleksjonen "Eksponent med en rasjonell eksponent" inneholder en visuell undervisningsmateriellå gi en leksjon om dette emnet. Videoleksjonen inneholder informasjon om konseptet med en grad med en rasjonell eksponent, egenskaper ved slike grader, samt eksempler som beskriver bruken av utdanningsmateriell for å løse praktiske problemer. Hensikten med denne videoleksjonen er å tydelig og tydelig presentere undervisningsmateriellet, lette utviklingen og memorering av elevene, og utvikle evnen til å løse problemer ved å bruke de lærte konseptene.

De viktigste fordelene med videoleksjonen er muligheten til å visuelt utføre transformasjoner og beregninger, muligheten til å bruke animasjonseffekter for å forbedre læringseffektiviteten. Stemmeakkompagnement hjelper til med å utvikle korrekt matematisk tale, og gjør det også mulig å erstatte lærerens forklaring, og frigjør ham til å utføre individuelt arbeid.

Videoleksjonen begynner med å introdusere emnet. Koble sammen studier nytt emne med tidligere studert materiale, foreslås det å huske at n √a ellers er merket med a 1/n for naturlig n og positiv a. Denne n-rotrepresentasjonen vises på skjermen. Deretter foreslår vi å vurdere hva uttrykket a m/n betyr, der a er et positivt tall og m/n er en brøk. Definisjonen av en grad med en rasjonell eksponent som m/n = n √a m er gitt, uthevet i rammen. Det bemerkes at n kan være et naturlig tall, og m kan være et heltall.

Etter å ha definert en grad med en rasjonell eksponent, avsløres dens betydning gjennom eksempler: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. Det vises også et eksempel hvor en potens representert med en desimal konverteres til vanlig brøkdel representeres som en rot: (1/7) 1,7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 og eksempel med negativ verdi grader: 3 -1/8 = 8 √3 -1.

Det særegne ved det spesielle tilfellet når bunnen av graden er null er angitt separat. Det bemerkes at denne graden gir mening bare med en positiv brøkeksponent. I dette tilfellet er verdien null: 0 m/n =0.

Et annet trekk ved en grad med en rasjonell eksponent er bemerket - at en grad med en brøkeksponent ikke kan betraktes med en brøkeksponent. Eksempler på feil notering av grader er gitt: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

Neste i videoleksjonen diskuterer vi egenskapene til en grad med en rasjonell eksponent. Det bemerkes at egenskapene til en grad med heltallseksponent også vil være gyldige for en grad med rasjonell eksponent. Det foreslås å tilbakekalle listen over eiendommer som også er gyldige i dette tilfellet:

1. Når du multipliserer potenser med på samme grunnlag deres indikatorer summerer opp: a p a q =a p+q.
2. Delingen av grader med samme grunntall reduseres til en grad med en gitt grunntall og forskjellen i eksponentene: a p:a q =a p-q.
3. Hvis vi hever graden til en viss potens, så ender vi opp med en grad med en gitt base og produktet av eksponenter: (a p) q =a pq.

Alle disse egenskapene er gyldige for potenser med rasjonelle eksponenter p, q og positiv base a>0. Gradtransformasjoner når du åpner parentes forblir også sanne:

1. (ab) p =a p b p - heve til en viss potens med en rasjonell eksponent produktet av to tall reduseres til produktet av tall, som hver heves til en gitt potens.
2. (a/b) p =a p /b p - å heve en brøk til en potens med en rasjonell eksponent reduseres til en brøk hvis teller og nevner er hevet til en gitt potens.

Videoopplæringen diskuterer løsningseksempler som bruker de vurderte egenskapene til potenser med en rasjonell eksponent. Det første eksemplet ber deg finne verdien til et uttrykk som inneholder variablene x i en brøkpotens: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Til tross for kompleksiteten til uttrykket, kan det løses ganske enkelt ved å bruke egenskapene til potenser. Å løse problemet begynner med å forenkle uttrykket, som bruker regelen om å heve en potens med en rasjonell eksponent til en potens, samt å multiplisere potenser med samme grunntall. Etter å ha erstattet den gitte verdien x=8 i det forenklede uttrykket x 1/3 +48, ​​er det enkelt å oppnå verdien - 50.

I det andre eksemplet må du redusere en brøk hvis teller og nevner inneholder potenser med en rasjonell eksponent. Ved å bruke gradens egenskaper trekker vi ut faktoren x 1/3 fra differansen, som deretter reduseres i teller og nevner, og ved hjelp av formelen for kvadratforskjellen faktoriseres telleren, noe som gir ytterligere reduksjoner av identiske faktorer i teller og nevner. Resultatet av slike transformasjoner er den korte brøken x 1/4 +3.

Videoleksjonen «Eksponent med en rasjonell eksponent» kan brukes i stedet for at læreren forklarer et nytt leksjonsemne. Også denne håndboken inneholder nok full informasjon Til selvstudium student. Materialet kan også være nyttig for fjernundervisning.

Kraft med rasjonell eksponent

Khasyanova T.G.,

matematikklærer

Det presenterte materialet vil være nyttig for matematikklærere når de studerer emnet "Eksponent med en rasjonell eksponent."

Hensikten med det presenterte materialet: å avsløre min erfaring med å gjennomføre en leksjon om emnet "Eksponent med en rasjonell eksponent" arbeidsprogram disiplin "matematikk".

Metodikken for å gjennomføre leksjonen tilsvarer dens type - en leksjon i å studere og i utgangspunktet konsolidere ny kunnskap. Grunnleggende kunnskaper og ferdigheter ble oppdatert på grunnlag av tidligere opparbeidet erfaring; primær memorering, konsolidering og anvendelse av ny informasjon. Konsolideringen og anvendelsen av nytt materiale skjedde i form av å løse problemer som jeg testet av varierende kompleksitet, noe som gir positivt resultat mestre temaet.

I begynnelsen av timen satte jeg følgende mål for elevene: pedagogisk, utviklende, pedagogisk. I løpet av timen brukte jeg ulike måter aktiviteter: frontal, individuell, par, uavhengig, test. Oppgavene var differensierte og gjorde det mulig å identifisere, på hvert trinn i timen, graden av kunnskapstilegnelse. Volumet og kompleksiteten til oppgavene samsvarer aldersegenskaper studenter. Fra min erfaring - hjemmelekser, i likhet med problemene som er løst i klasserommet, lar deg konsolidere den ervervede kunnskapen og ferdighetene på en pålitelig måte. På slutten av timen ble det refleksjon og arbeidet til enkeltelever ble vurdert.

Målene ble nådd. Studentene studerte konseptet og egenskapene til en grad med en rasjonell eksponent, og lærte å bruke disse egenskapene når de skulle løse praktiske problemer. Bak selvstendig arbeid Karakterer vil bli annonsert ved neste leksjon.

Jeg tror at metodikken jeg bruker for undervisning i matematikk kan brukes av matematikklærere.

Leksjonsemne: Makt med rasjonell eksponent

Hensikten med leksjonen:

Identifisere nivået på studentenes mestring av et kompleks av kunnskap og ferdigheter, og på grunnlag av det bruke visse løsninger for å forbedre utdanningsprosessen.

Leksjonens mål:

Pedagogisk:å danne ny kunnskap blant studenter om grunnleggende konsepter, regler, lover for å bestemme grader med en rasjonell indikator, evnen til uavhengig å anvende kunnskap i standardforhold, i modifiserte og ikke-standardiserte forhold;

utvikle: tenke logisk og realisere kreative evner;

heve: utvikle interesse for matematikk, fylle på ordforråd med nye termer, få Ytterligere informasjon om verden rundt oss. Dyrk tålmodighet, utholdenhet og evnen til å overvinne vanskeligheter.

Organisering av tid

Oppdatering av referansekunnskap

Når du multipliserer potenser med de samme grunnene, legges eksponentene til, men grunntallet forblir det samme:

For eksempel,

2. Når du deler grader med de samme basene, trekkes eksponentene til gradene fra, men grunntallet forblir det samme:

For eksempel,

3. Når du hever en grad til en potens, multipliseres eksponentene, men grunntallet forblir det samme:

For eksempel,

4. Graden av produktet er lik produktet av gradene av faktorene:

For eksempel,

5. Graden av kvotienten er lik kvotienten av gradene av utbytte og divisor:

For eksempel,

Øvelser med løsninger

Finn betydningen av uttrykket:

Løsning:

I dette tilfellet kan ingen av egenskapene til en grad med en naturlig eksponent brukes eksplisitt, siden alle grader har ulike årsaker. La oss skrive noen krefter i en annen form:

(graden av produktet er lik produktet av gradene av faktorene);

(når man multipliserer potenser med de samme grunnene, adderes eksponentene, men grunntallet forblir det samme; når man hever en grad til en potens, multipliseres eksponentene, men grunntallet forblir det samme).

Da får vi:

I i dette eksemplet De fire første egenskapene for grad med naturlig eksponent ble brukt.

Aritmetisk kvadratrot
er et ikke-negativt tall hvis kvadrat er liken,
. På
- uttrykk
ikke definert, fordi det er ikke noe slikt ekte nummer, hvis kvadrat er lik et negativt tallen.

Matematisk diktat(8-10 min.)

Alternativ

II. Alternativ

1.Finn verdien av uttrykket

EN)

b)

1.Finn verdien av uttrykket

EN)

b)

2.Beregn

EN)

b)

I)

2.Beregn

EN)

b)

V)

Selv test(på jakkeslaget):

Svarmatrise:

№ alternativ/oppgave

Oppgave 1

Oppgave 2

valg 1

a) 2

b) 2

a) 0,5

b)

V)

Alternativ 2

a) 1,5

b)

EN)

b)

klokken 4

II Dannelse av ny kunnskap

La oss vurdere hvilken betydning uttrykket har, hvor - positivt tall – et brøktall og m-heltall, n-naturlig (n›1)

Definisjon: potens av a›0 med rasjonell eksponentr = , m-hel, n-naturlig ( n›1) nummeret blir oppringt.

Så:

For eksempel:

Merknader:

1. For ethvert positivt a og ethvert rasjonelt r-tall positivt.

2. Når
rasjonell kraft til et tallenikke bestemt.

Uttrykk som
gir ikke mening.

3.Hvis et positivt brøktall er
.

Hvis brøkdel negativt tall altså -gir ikke mening.

For eksempel: - gir ikke mening.

La oss vurdere egenskapene til en grad med en rasjonell eksponent.

La a >0, b>0; r, s - alle rasjonelle tall. Da har en grad med en hvilken som helst rasjonell eksponent følgende egenskaper:

1.
2.
3.
4.
5.

III. Konsolidering. Dannelse av nye ferdigheter og evner.

Oppgavekort fungerer i små grupper i form av en prøve.

I denne artikkelen vil vi finne ut hva det er grad av. Her vil vi gi definisjoner av kraften til et tall, mens vi vil vurdere i detalj alle mulige eksponenter, starter med den naturlige eksponenten og slutter med den irrasjonelle. I materialet finner du mange eksempler på grader, som dekker alle finesser som oppstår.

Sidenavigering.

Potens med naturlig eksponent, kvadrat av et tall, kube av et tall

La oss begynne med . Når vi ser fremover, la oss si at definisjonen av potensen til et tall a med naturlig eksponent n er gitt for a, som vi vil kalle gradsgrunnlag, og n, som vi vil kalle eksponent. Vi legger også merke til at en grad med en naturlig eksponent bestemmes gjennom et produkt, så for å forstå materialet nedenfor må du ha forståelse for å multiplisere tall.

Definisjon.

Potens for et tall med naturlig eksponent n er et uttrykk for formen a n, hvis verdi er lik produktet av n faktorer, som hver er lik a, det vil si .
Spesielt er potensen til et tall a med eksponent 1 tallet a selv, det vil si a 1 =a.

Det er verdt å nevne med en gang om reglene for lesing av grader. Den universelle måten å lese notasjonen a n på er: "a til kraften til n". I noen tilfeller er følgende alternativer også akseptable: "a til n-te potens" og "n-te potens av a". For eksempel, la oss ta potensen 8 12, dette er "åtte til tolv potens", eller "åtte til tolvte potens", eller "tolvte potens av åtte".

Den andre potensen av et tall, så vel som den tredje potensen av et tall, har sine egne navn. Andre potens av et tall kalles kvadrat tallet 7 2 leses for eksempel som «sju kvadrat» eller «kvadraten av tallet sju». Den tredje potensen av et tall kalles kuberte tall 5 3 kan for eksempel leses som "fem terninger", eller du kan si "kube av tallet 5".

Det er på tide å ta med eksempler på grader med naturlige eksponenter. La oss starte med graden 5 7, her er 5 basisen til graden, og 7 er eksponenten. La oss gi et annet eksempel: 4,32 er basen, og naturlig tall 9 – eksponent (4,32) 9 .

Vær oppmerksom på at i det siste eksemplet er grunnen til potensen 4.32 skrevet i parentes: for å unngå avvik, vil vi sette i parentes alle potensene som er forskjellige fra naturlige tall. Som et eksempel gir vi følgende grader med naturlige eksponenter , deres base er ikke naturlige tall, så de er skrevet i parentes. Vel, for fullstendig klarhet vil vi på dette tidspunktet vise forskjellen i postene på formen (−2) 3 og −2 3. Uttrykket (−2) 3 er en potens på −2 med en naturlig eksponent på 3, og uttrykket −2 3 (det kan skrives som −(2 3) ) tilsvarer tallet, verdien av potensen 2 3 .

Legg merke til at det er en notasjon for potensen til et tall a med en eksponent n av formen a^n. Dessuten, hvis n er et naturlig tall med flere verdier, er eksponenten tatt i parentes. For eksempel er 4^9 en annen notasjon for potensen 4 9 . Og her er noen flere eksempler på å skrive grader ved å bruke symbolet «^»: 14^(21) , (−2,1)^(155) . I det følgende vil vi først og fremst bruke gradsnotasjon av formen a n .

Et av problemene omvendt til å heve til en potens med en naturlig eksponent er problemet med å finne grunnlaget for potensen ved å kjent verdi grad og kjent indikator. Denne oppgaven fører til.

Det er kjent at settet med rasjonelle tall består av heltall og brøker, og hvert brøktall kan representeres som positivt eller negativt vanlig brøk. Vi definerte en grad med en heltallseksponent i forrige avsnitt, derfor, for å fullføre definisjonen av en grad med en rasjonell eksponent, må vi gi mening til graden av tallet a med en brøkeksponent m/n, der m er et heltall og n er et naturlig tall. La oss gjøre det.

La oss vurdere en grad med en brøkeksponent av formen . For at makt-til-makt-egenskapen skal forbli gyldig, må likheten holde . Hvis vi tar hensyn til den resulterende likheten og hvordan vi bestemte , så er det logisk å akseptere det forutsatt at for gitt m, n og a gir uttrykket mening.

Det er enkelt å sjekke at for alle egenskapene til en grad med en heltallseksponent er gyldig (dette ble gjort i avsnittet egenskapene til en grad med en rasjonell eksponent).

Resonnementet ovenfor lar oss gjøre følgende konklusjon: hvis gitt m, n og a uttrykket gir mening, så kalles potensen til a med en brøkeksponent m/n den n-te roten av a i potensen av m.

Dette utsagnet bringer oss nær definisjonen av en grad med en brøkeksponent. Det gjenstår bare å beskrive ved hvilke m, n og a uttrykket gir mening. Avhengig av begrensningene på m, n og a, er det to hovedtilnærminger.

Den enkleste måten er å legge en begrensning på a ved å ta a≥0 for positiv m og a>0 for negativ m (siden for m≤0 er graden 0 av m ikke definert). Da får vi følgende definisjon av en grad med brøkeksponent.

Definisjon.

Grad positivt tall a med brøkeksponent m/n, der m er et heltall og n er et naturlig tall, kalles den n-te roten av tallet a i potens av m, det vil si .

Brøkkraften til null bestemmes også med det eneste forbeholdet at indikatoren må være positiv.

Definisjon.

Nullpotens med positiv brøkeksponent m/n, hvor m er et positivt heltall og n er et naturlig tall, er definert som .
Når graden ikke er bestemt, det vil si graden av tallet null med en negativ brøkeksponent gir ikke mening.

Det skal bemerkes at med denne definisjonen av en grad med en brøkeksponent, er det ett forbehold: for noen negative a og noen m og n gir uttrykket mening, og vi forkastet disse tilfellene ved å introdusere betingelsen a≥0. For eksempel gir oppføringene mening eller , og definisjonen gitt ovenfor tvinger oss til å si at potenser med en brøkeksponent av formen ikke fornuftig, siden basen ikke skal være negativ.

En annen tilnærming til å bestemme en grad med en brøkeksponent m/n er å vurdere partalls- og oddetallseksponenter for roten separat. Denne tilnærmingen krever en tilleggsbetingelse: potensen til tallet a, hvis eksponent er , anses å være potensen til tallet a, hvis eksponent er den tilsvarende irreduserbare brøken (vi vil forklare viktigheten av denne tilstanden nedenfor ). Det vil si at hvis m/n er en irreduserbar brøk, så erstattes for et hvilket som helst naturlig tall k graden først med .

For jevn n og positiv m gir uttrykket mening for enhver ikke-negativ a (jevn rot av negativt tall gir ikke mening), for negativ m må tallet a fortsatt være forskjellig fra null (ellers blir det divisjon med null). Og for oddetall n og positiv m kan tallet a være et hvilket som helst (roten av en oddetall er definert for et hvilket som helst reelt tall), og for negativt m må tallet a være forskjellig fra null (slik at det ikke er divisjon med null).

Resonnementet ovenfor fører oss til denne definisjonen av en grad med en brøkeksponent.

Definisjon.

La m/n være en irreduserbar brøk, m et heltall og n et naturlig tall. For enhver reduserbar brøk erstattes graden med . Potensen til et tall med en irreduserbar brøkeksponent m/n er for



La oss forklare hvorfor en grad med en reduserbar brøkeksponent først erstattes med en grad med en irreduserbar eksponent. Hvis vi ganske enkelt definerte graden som , og ikke tok forbehold om irreduserbarheten til brøken m/n, så ville vi stå overfor situasjoner som ligner på følgende: siden 6/10 = 3/5, så må likheten holde. , Men , A .

Fra heltallseksponenter av tallet a antyder overgangen til rasjonelle eksponenter seg selv. Nedenfor vil vi definere en grad med en rasjonell eksponent, og vi vil gjøre dette på en slik måte at alle egenskapene til en grad med en heltallseksponent bevares. Dette er nødvendig fordi heltall er en del av de rasjonelle tallene.

Det er kjent at settet med rasjonelle tall består av heltall og brøker, og hver brøk kan representeres som en positiv eller negativ ordinær brøk. Vi definerte en grad med en heltallseksponent i forrige avsnitt, derfor, for å fullføre definisjonen av en grad med en rasjonell eksponent, må vi gi mening til graden av tallet en med en brøkindikator m/n, Hvor m er et heltall, og n- naturlig. La oss gjøre det.

La oss vurdere en grad med en brøkeksponent av formen . For at makt-til-makt-egenskapen skal forbli gyldig, må likheten holde . Hvis vi tar hensyn til den resulterende likheten og hvordan vi bestemte den n-te roten av graden, er det logisk å akseptere, forutsatt at gitt den gitte m, n Og en uttrykket gir mening.

Det er enkelt å sjekke at for alle egenskapene til en grad med en heltallseksponent er gyldig (dette ble gjort i avsnittet egenskapene til en grad med en rasjonell eksponent).

Resonnementet ovenfor lar oss gjøre følgende konklusjon: hvis gitt data m, n Og en uttrykket gir mening, så kraften til tallet en med en brøkindikator m/n kalt roten n grad av en til en grad m.

Dette utsagnet bringer oss nær definisjonen av en grad med en brøkeksponent. Det gjenstår bare å beskrive hva m, n Og en uttrykket gir mening. Avhengig av restriksjonene som er pålagt m, n Og en Det er to hovedtilnærminger.

1. Den enkleste måten er å pålegge en begrensning på en, etter å ha akseptert a≥0 for positivt m Og a>0 for negativt m(siden når m≤0 grad 0 m ikke bestemt). Da får vi følgende definisjon av en grad med brøkeksponent.

Definisjon.

Potensen til et positivt tall en med en brøkindikator m/n , Hvor m- hele, og n– et naturlig tall, kalt en rot n-te av tallet en til en grad m, det er, .

Brøkkraften til null bestemmes også med det eneste forbeholdet at indikatoren må være positiv.

Definisjon.

Nullpotens med positiv brøkeksponent m/n , Hvor m er et positivt heltall, og n– naturlig tall, definert som .
Når graden ikke er bestemt, det vil si graden av tallet null med en negativ brøkeksponent gir ikke mening.

Det skal bemerkes at med denne definisjonen av en grad med en brøkeksponent, er det ett forbehold: for noen negative en og noe m Og n uttrykket gir mening, men vi forkastet disse tilfellene ved å introdusere tilstanden a≥0. For eksempel gir oppføringene mening eller , og definisjonen gitt ovenfor tvinger oss til å si at potenser med en brøkeksponent av formen ikke fornuftig, siden basen ikke skal være negativ.

2. En annen tilnærming til å bestemme graden med en brøkeksponent m/n består i å vurdere partalls- og oddetallseksponenter for roten separat. Denne tilnærmingen krever en tilleggsbetingelse: kraften til tallet en, hvis eksponent er en reduserbar ordinær brøk, regnes som en potens av tallet en, hvis indikator er den tilsvarende irreduserbare brøkdelen (viktigheten av denne tilstanden vil bli forklart nedenfor). Det vil si hvis m/n er en irreduserbar brøk, da for et hvilket som helst naturlig tall k grad er foreløpig erstattet av .

Til og med n og positiv m uttrykket gir mening for alle ikke-negative en(en jevn rot av et negativt tall har ingen betydning), for negativ m Antall en må fortsatt være forskjellig fra null (ellers blir det divisjon med null). Og for oddetall n og positiv m Antall en kan være hvilken som helst (en oddetall er definert for et hvilket som helst reelt tall), og for negativ m Antall en må være ikke-null (slik at det ikke blir divisjon med null).

Resonnementet ovenfor fører oss til denne definisjonen av en grad med en brøkeksponent.

Definisjon.

La m/n- irreduserbar fraksjon, m- hele, og n- naturlig tall. For enhver reduserbar brøk erstattes graden med . Grad av en med en irreduserbar brøkeksponent m/n- det er for

o et hvilket som helst reelt tall en, helt positivt m og merkelig naturlig n, For eksempel, ;

o ethvert reelt tall som ikke er null en, negativt heltall m og rart n, For eksempel, ;

o ethvert ikke-negativt tall en, helt positivt m Til og med n, For eksempel, ;

o noe positivt en, negativt heltall m Til og med n, For eksempel, ;

o i andre tilfeller bestemmes ikke graden med en brøkindikator, da for eksempel gradene ikke er definert .a tillegger vi ingen mening til oppføringen; vi definerer potensen til tallet null for positive brøkeksponenter m/n Hvordan , for negative brøkeksponenter er potensen til tallet null ikke bestemt.

Avslutningsvis av dette avsnittet, la oss ta hensyn til det faktum at brøkeksponenten kan skrives i formen desimal eller et blandet nummer, for eksempel, . For å beregne verdiene til uttrykk av denne typen, må du skrive eksponenten i form av en vanlig brøk, og deretter bruke definisjonen av eksponenten med en brøkeksponent. For eksemplene ovenfor har vi Og