Å løse likninger i matematikk har en spesiell plass. Denne prosessen er innledet av mange timer med å studere teori, der studenten lærer hvordan man løser ligninger, bestemmer deres type og bringer ferdighetene til å fullføre automatisering. Det er imidlertid ikke alltid fornuftig å søke etter røtter, siden de rett og slett ikke eksisterer. Det finnes spesielle teknikker for å finne røtter. I denne artikkelen vil vi analysere hovedfunksjonene, deres definisjonsdomener, samt tilfeller der røttene mangler.

Hvilken ligning har ingen røtter?

En ligning har ingen røtter hvis det ikke er noen reelle argumenter x som ligningen er identisk sann for. For en ikke-spesialist ser denne formuleringen, som de fleste matematiske teoremer og formler, veldig vag og abstrakt ut, men dette er i teorien. I praksis blir alt ekstremt enkelt. For eksempel: ligningen 0 * x = -53 har ingen løsning, siden det ikke er noe tall x hvis produkt med null ville gitt noe annet enn null.

Nå skal vi se på de mest grunnleggende ligningstypene.

1. Lineær ligning

En ligning kalles lineær hvis høyre og venstre side er representert i skjemaet lineære funksjoner: ax + b = cx + d eller i generalisert form kx + b = 0. Der a, b, c, d er kjente tall, og x er en ukjent størrelse. Hvilken ligning har ingen røtter? Eksempler på lineære ligninger er presentert i illustrasjonen nedenfor.

I utgangspunktet løses lineære ligninger ved ganske enkelt å overføre talldelen til en del og innholdet av x til en annen. Resultatet er en ligning av formen mx = n, hvor m og n er tall, og x er en ukjent. For å finne x, del bare begge sider med m. Da er x = n/m. De fleste lineære ligninger har bare én rot, men det er tilfeller når det enten er uendelig mange røtter eller ingen røtter i det hele tatt. Når m = 0 og n = 0, har ligningen formen 0 * x = 0. Løsningen på en slik ligning vil være absolutt et hvilket som helst tall.

Men hvilken ligning har ingen røtter?

For m = 0 og n = 0, har ligningen ingen røtter i settet med reelle tall. 0 * x = -1; 0 * x = 200 - disse ligningene har ingen røtter.

2. Andregradsligning

En andregradsligning er en ligning av formen ax 2 + bx + c = 0 for a = 0. Den vanligste løsningen er gjennom diskriminanten. Formelen for å finne diskriminanten til en kvadratisk ligning er: D = b 2 - 4 * a * c. Deretter er det to røtter x 1,2 = (-b ± √D) / 2 * a.

For D > 0 har ligningen to røtter, for D = 0 har den en rot. Men hvilken annengradsligning har ingen røtter? Den enkleste måten å observere antall røtter til en kvadratisk ligning er ved å tegne grafen for funksjonen, som er en parabel. For a > 0 er grenene rettet oppover, for a< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

Du kan også visuelt bestemme antall røtter uten å beregne diskriminanten. For å gjøre dette må du finne toppunktet til parabelen og bestemme i hvilken retning grenene er rettet. X-koordinaten til toppunktet kan bestemmes ved hjelp av formelen: x 0 = -b / 2a. I dette tilfellet blir y-koordinaten til toppunktet funnet ved ganske enkelt å erstatte x 0-verdien i den opprinnelige ligningen.

Andregradsligningen x 2 - 8x + 72 = 0 har ingen røtter, siden den har en negativ diskriminant D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224. Dette betyr at parablen ikke berører x-aksen og funksjonen tar aldri verdien 0, derfor har ligningen ingen reelle røtter.

3. Trigonometriske ligninger

Trigonometriske funksjoner betraktes på en trigonometrisk sirkel, men kan også representeres i et kartesisk koordinatsystem. I denne artikkelen vil vi se på to hovedpunkter trigonometriske funksjoner og deres ligninger: sinx og cosx. Siden disse funksjonene danner en trigonometrisk sirkel med radius 1, |sinx| og |cosx| kan ikke være større enn 1. Så hvilken sinx-ligning har ingen røtter? Tenk på grafen til sinx-funksjonen vist på bildet nedenfor.

Vi ser at funksjonen er symmetrisk og har en repetisjonsperiode på 2pi. Basert på dette kan vi si det maksimal verdi denne funksjonen kan være 1, og minimum er -1. For eksempel vil ikke uttrykket cosx = 5 ha røtter, siden dens absolutte verdi er større enn én.

Dette er det enkleste eksemplet på trigonometriske ligninger. Faktisk kan det ta mange sider å løse dem, og på slutten innser du at du brukte feil formel og må begynne på nytt. Noen ganger, selv om du finner røttene riktig, kan du glemme å ta hensyn til begrensningene på OD, og ​​det er grunnen til at en ekstra rot eller intervall vises i svaret, og hele svaret blir til en feil. Følg derfor strengt alle begrensningene, fordi ikke alle røtter passer inn i oppgavens omfang.

4. Ligningssystemer

Et ligningssystem er et sett med ligninger forbundet med krøllete eller firkantede parenteser. De krøllede parentesene indikerer at alle ligningene kjøres sammen. Det vil si at hvis minst en av ligningene ikke har røtter eller motsier en annen, har hele systemet ingen løsning. Firkantede parenteser indikerer ordet "eller". Dette betyr at hvis minst en av systemets ligninger har en løsning, så har hele systemet en løsning.

Svaret til systemet c er settet av alle røttene til de individuelle ligningene. Og systemer med krøllete seler har bare felles røtter. Ligningssystemer kan inneholde helt forskjellige funksjoner, så en slik kompleksitet lar oss ikke umiddelbart si hvilken ligning som ikke har røtter.

Finnes i oppgavebøker og lærebøker forskjellige typer ligninger: de som har røtter og de som ikke har det. Først av alt, hvis du ikke finner røttene, ikke tenk at de ikke er der i det hele tatt. Kanskje du har gjort en feil et sted, så må du bare dobbeltsjekke avgjørelsen din nøye.

Vi så på de mest grunnleggende ligningene og typene deres. Nå kan du se hvilken ligning som ikke har røtter. I de fleste tilfeller er dette ikke vanskelig å gjøre. Å oppnå suksess med å løse ligninger krever bare oppmerksomhet og konsentrasjon. Øv mer, det vil hjelpe deg å navigere i materialet mye bedre og raskere.

Så ligningen har ingen røtter hvis:

• V lineær ligning mx = n verdi m = 0 og n = 0;
• i en andregradsligning, hvis diskriminanten mindre enn null;
• V trigonometrisk ligning av formen cosx = m / sinx = n, hvis |m| > 0, |n| > 0;
• i et likningssystem med krøllede parenteser hvis minst en likning ikke har røtter, og med firkantede parenteser hvis alle likninger ikke har røtter.

Formens ligning

Uttrykk D= b 2 - 4 ac kalt diskriminerende kvadratisk ligning. HvisD = 0, så har ligningen én reell rot; hvis D> 0, så har ligningen to reelle røtter.
I tilfelle D = 0 , sies det noen ganger at en andregradsligning har to identiske røtter.
Bruke notasjonen D= b 2 - 4 ac, kan vi omskrive formel (2) i skjemaet

Hvis b= 2k, så har formel (2) formen:

Hvor k= b / 2 .
Sistnevnte formel er spesielt praktisk i tilfeller hvor b / 2 - et heltall, dvs. koeffisient b- partall.
Eksempel 1: Løs ligningen 2 x 2 - 5 x + 2 = 0 . Her a = 2, b = -5, c = 2. Vi har D= b 2 - 4 ac = (-5) 2- 4*2*2 = 9 . Fordi D > 0 , så har ligningen to røtter. La oss finne dem ved hjelp av formel (2)

Så x 1 =(5 + 3) / 4 = 2, x 2 =(5 - 3) / 4 = 1 / 2 ,
det er x 1 = 2 Og x 2 = 1 / 2 - røttene til en gitt ligning.
Eksempel 2: Løs ligningen 2 x 2 - 3 x + 5 = 0 . Her a = 2, b = -3, c = 5. Finne diskriminanten D= b 2 - 4 ac = (-3) 2- 4*2*5 = -31 . Fordi D 0 , så har ligningen ingen reelle røtter.

Ufullstendige andregradsligninger. Hvis i en andregradsligning øks 2 +bx+c =0 andre koeffisient b eller gratis medlem c er lik null, kalles andregradsligningen ufullstendig. Ufullstendige ligninger er isolert fordi for å finne røttene deres trenger du ikke å bruke formelen for røttene til en kvadratisk ligning - det er lettere å løse ligningen ved å faktorisere venstre side.
Eksempel 1: løse ligningen 2 x 2 - 5 x = 0 .
Vi har x(2 x - 5) = 0 . Så heller x = 0 , eller 2 x - 5 = 0 , det er x = 2.5 . Så ligningen har to røtter: 0 Og 2.5
Eksempel 2: løse ligningen 3 x 2 - 27 = 0 .
Vi har 3 x 2 = 27 . Derfor er røttene til denne ligningen 3 Og -3 .

Vietas teorem. Hvis den reduserte andregradsligningen x 2 +px+q =0 har reelle røtter, så er summen deres lik - s, og produktet er likt q, det er

x 1 + x 2 = -p,
x 1 x 2 = q

(summen av røttene til den ovennevnte kvadratiske ligningen er lik den andre koeffisienten tatt med motsatt fortegn, og produktet av røttene er lik frileddet).

Første nivå

Kvadratiske ligninger. Omfattende guide (2019)

I begrepet "kvadratisk ligning" er nøkkelordet "kvadratisk." Dette betyr at ligningen nødvendigvis må inneholde en variabel (den samme x) i annen, og det skal ikke være x-er til den tredje (eller større) potensen.

Løsningen av mange ligninger handler om å løse nøyaktig andregradsligninger.

La oss lære å bestemme at dette er en andregradsligning og ikke en annen ligning.

Eksempel 1.

La oss kvitte oss med nevneren og gange hvert ledd i ligningen med

La oss flytte alt til venstre side og ordne leddene i synkende rekkefølge av potenser av x

Nå kan vi med sikkerhet si det gitt ligning er firkantet!

Eksempel 2.

Multipliser venstre og høyre side med:

Denne ligningen, selv om den opprinnelig var i den, er ikke kvadratisk!

Eksempel 3.

La oss gange alt med:

Skummelt? Den fjerde og andre graden... Men hvis vi gjør en erstatning, vil vi se at vi har en enkel andregradsligning:

Eksempel 4.

Det ser ut til å være der, men la oss se nærmere. La oss flytte alt til venstre side:

Se, det er redusert - og nå er det en enkel lineær ligning!

Prøv nå å bestemme selv hvilke av følgende ligninger som er kvadratiske og hvilke som ikke er det:

Eksempler:

Svar:

1. torget;
2. torget;
3. ikke firkantet;
4. ikke firkantet;
5. ikke firkantet;
6. torget;
7. ikke firkantet;
8. torget.

Matematikere deler konvensjonelt alle kvadratiske ligninger inn i følgende typer:

• Fullfør andregradsligninger- ligninger der koeffisientene og, samt frileddet c, ikke er lik null (som i eksempelet). I tillegg er det blant komplette andregradsligninger gitt- dette er ligninger der koeffisienten (ligningen fra eksempel en ikke bare er fullstendig, men også redusert!)

• Ufullstendige andregradsligninger- ligninger der koeffisienten og eller frileddet c er lik null:

  De er ufullstendige fordi de mangler et element. Men ligningen må alltid inneholde x i annen!!! Ellers vil det ikke lenger være en andregradsligning, men en annen ligning.

Hvorfor kom de med en slik inndeling? Det ser ut til at det er et X i kvadrat, og det er greit. Denne inndelingen bestemmes av løsningsmetodene. La oss se på hver av dem mer detaljert.

Løse ufullstendige andregradsligninger

La oss først fokusere på å løse ufullstendige kvadratiske ligninger - de er mye enklere!

Det finnes typer ufullstendige kvadratiske ligninger:

1. , i denne ligningen er koeffisienten lik.
2. , i denne ligningen er frileddet lik.
3. , i denne ligningen er koeffisienten og frileddet like.

1. jeg. Fordi vi vet hvordan vi skal trekke ut Kvadratrot, så la oss uttrykke fra denne ligningen

Uttrykket kan enten være negativt eller positivt. Et tall i annen kan ikke være negativt, for når du multipliserer to negative eller to positive tall, vil resultatet alltid være positivt tall, så: hvis, så har ligningen ingen løsninger.

Og hvis, så får vi to røtter. Det er ikke nødvendig å huske disse formlene. Det viktigste er at du må vite og alltid huske at det ikke kan være mindre.

La oss prøve å løse noen eksempler.

Eksempel 5:

Løs ligningen

Nå gjenstår det bare å trekke ut roten fra venstre og høyre side. Tross alt, husker du hvordan du trekker ut røtter?

Svar:

Glem aldri røtter med negativt fortegn!!!

Eksempel 6:

Løs ligningen

Svar:

Eksempel 7:

Løs ligningen

Åh! Kvadraten til et tall kan ikke være negativ, noe som betyr at ligningen

ingen røtter!

For slike ligninger som ikke har røtter, kom matematikere opp med et spesielt ikon - (tomt sett). Og svaret kan skrives slik:

Svar:

Dermed har denne kvadratiske ligningen to røtter. Det er ingen begrensninger her, siden vi ikke hentet ut roten.
Eksempel 8:

Løs ligningen

La oss ta den felles faktoren ut av parentes:

Dermed,

Denne ligningen har to røtter.

Svar:

Den enkleste typen ufullstendige kvadratiske ligninger (selv om de alle er enkle, ikke sant?). Åpenbart har denne ligningen alltid bare én rot:

Vi vil avstå fra eksempler her.

Løse komplette andregradsligninger

Vi minner om at en komplett kvadratisk ligning er en ligning av formen ligning der

Å løse komplette andregradsligninger er litt vanskeligere (bare litt) enn disse.

Huske, Enhver kvadratisk ligning kan løses ved hjelp av en diskriminant! Til og med ufullstendig.

De andre metodene vil hjelpe deg å gjøre det raskere, men hvis du har problemer med kvadratiske ligninger, må du først mestre løsningen ved å bruke diskriminanten.

1. Løse andregradsligninger ved hjelp av en diskriminant.

Å løse kvadratiske ligninger ved hjelp av denne metoden er veldig enkelt; det viktigste er å huske rekkefølgen av handlinger og et par formler.

Hvis, så har ligningen en rot. Du må være spesielt oppmerksom på trinnet. Diskriminant () forteller oss antall røtter til ligningen.

• Hvis, vil formelen i trinnet reduseres til. Dermed vil ligningen kun ha en rot.
• Hvis, så vil vi ikke være i stand til å trekke ut roten til diskriminanten på trinnet. Dette indikerer at ligningen ikke har noen røtter.

La oss gå tilbake til ligningene våre og se på noen eksempler.

Eksempel 9:

Løs ligningen

Trinn 1 vi hopper over.

Steg 2.

Vi finner diskriminanten:

Dette betyr at ligningen har to røtter.

Trinn 3.

Svar:

Eksempel 10:

Løs ligningen

Ligningen er presentert i standardform, så Trinn 1 vi hopper over.

Steg 2.

Vi finner diskriminanten:

Dette betyr at ligningen har én rot.

Svar:

Eksempel 11:

Løs ligningen

Ligningen er presentert i standardform, så Trinn 1 vi hopper over.

Steg 2.

Vi finner diskriminanten:

Dette betyr at vi ikke vil være i stand til å trekke ut roten til diskriminanten. Det er ingen røtter til ligningen.

Nå vet vi hvordan vi skal skrive ned slike svar riktig.

Svar: ingen røtter

2. Løse andregradsligninger ved hjelp av Vietas teorem.

Hvis du husker, er det en type ligning som kalles redusert (når koeffisienten a er lik):

Slike ligninger er veldig enkle å løse ved å bruke Vietas teorem:

Summen av røtter gitt andregradsligningen er lik, og produktet av røttene er lik.

Eksempel 12:

Løs ligningen

Denne ligningen kan løses ved å bruke Vietas teorem fordi .

Summen av røttene til ligningen er lik, dvs. vi får den første ligningen:

Og produktet er lik:

La oss komponere og løse systemet:

• Og. Beløpet er lik;
• Og. Beløpet er lik;
• Og. Beløpet er likt.

og er løsningen på systemet:

Svar: ; .

Eksempel 13:

Løs ligningen

Svar:

Eksempel 14:

Løs ligningen

Ligningen er gitt, som betyr:

Svar:

KVADRATISKE LIGNINGER. GJENNOMSNITTLIG NIVÅ

Hva er en andregradsligning?

Med andre ord, en andregradsligning er en ligning av formen, hvor - det ukjente, - noen tall, og.

Tallet kalles det høyeste eller første koeffisient kvadratisk ligning, - andre koeffisient, A - gratis medlem.

Hvorfor? For hvis ligningen umiddelbart blir lineær, fordi vil forsvinne.

I dette tilfellet kan og være lik null. I denne stolen kalles ligningen ufullstendig. Hvis alle vilkårene er på plass, det vil si at ligningen er komplett.

Løsninger på ulike typer kvadratiske ligninger

Metoder for å løse ufullstendige andregradsligninger:

La oss først se på metoder for å løse ufullstendige kvadratiske ligninger - de er enklere.

Vi kan skille mellom følgende typer ligninger:

I., i denne ligningen er koeffisienten og frileddet like.

II. , i denne ligningen er koeffisienten lik.

III. , i denne ligningen er frileddet lik.

La oss nå se på løsningen for hver av disse undertypene.

Åpenbart har denne ligningen alltid bare én rot:

Et kvadratert tall kan ikke være negativt, for når du multipliserer to negative eller to positive tall, vil resultatet alltid være et positivt tall. Derfor:

hvis, så har ligningen ingen løsninger;

hvis vi har to røtter

Det er ikke nødvendig å huske disse formlene. Det viktigste å huske er at det ikke kan være mindre.

Eksempler:

Løsninger:

Svar:

Glem aldri røtter med negativt fortegn!

Kvadraten til et tall kan ikke være negativ, noe som betyr at ligningen

ingen røtter.

For å kort skrive ned at et problem ikke har noen løsninger, bruker vi det tomme sett-ikonet.

Svar:

Så denne ligningen har to røtter: og.

Svar:

Vi tar den ut felles multiplikator utenfor parentesene:

Produktet er lik null hvis minst en av faktorene er lik null. Dette betyr at ligningen har en løsning når:

Så denne andregradsligningen har to røtter: og.

Eksempel:

Løs ligningen.

Løsning:

La oss faktorisere venstre side av ligningen og finne røttene:

Svar:

Metoder for å løse komplette kvadratiske ligninger:

1. Diskriminerende

Å løse kvadratiske ligninger på denne måten er enkelt, det viktigste er å huske handlingssekvensen og et par formler. Husk at enhver annengradsligning kan løses ved hjelp av en diskriminant! Til og med ufullstendig.

La du merke til roten fra diskriminanten i formelen for røtter? Men diskriminanten kan være negativ. Hva å gjøre? Vi må være spesielt oppmerksomme på trinn 2. Diskriminanten forteller oss antall røtter til ligningen.

• Hvis, så har ligningen røtter:
• Hvis, så har ligningen de samme røttene, og faktisk en rot:

  Slike røtter kalles dobbeltrøtter.

• Hvis, så trekkes ikke roten til diskriminanten ut. Dette indikerer at ligningen ikke har noen røtter.

Hvorfor er det mulig forskjellige mengder røtter? La oss gå til geometrisk sans kvadratisk ligning. Grafen til funksjonen er en parabel:

I et spesielt tilfelle, som er en andregradsligning, . Dette betyr at røttene til en kvadratisk ligning er skjæringspunktene med abscisseaksen (aksen). En parabel kan ikke krysse aksen i det hele tatt, eller kan krysse den ved ett (når parabelens toppunkt ligger på aksen) eller to punkter.

I tillegg er koeffisienten ansvarlig for retningen til grenene til parablen. Hvis, så er grenene til parablen rettet oppover, og hvis, så nedover.

Eksempler:

Løsninger:

Svar:

Svar: .

Svar:

Dette betyr at det ikke finnes noen løsninger.

Svar: .

2. Vietas teorem

Det er veldig enkelt å bruke Vietas teorem: du trenger bare å velge et tallpar hvis produkt er lik ligningens frie ledd, og summen er lik den andre koeffisienten tatt med motsatt fortegn.

Det er viktig å huske at Vietas teorem kun kan brukes i reduserte andregradsligninger ().

La oss se på noen eksempler:

Eksempel #1:

Løs ligningen.

Løsning:

Denne ligningen kan løses ved å bruke Vietas teorem fordi . Andre koeffisienter: ; .

Summen av røttene til ligningen er:

Og produktet er lik:

La oss velge par med tall hvis produkt er likt og sjekke om summen deres er lik:

• Og. Beløpet er lik;
• Og. Beløpet er lik;
• Og. Beløpet er likt.

og er løsningen på systemet:

Dermed og er røttene til ligningen vår.

Svar: ; .

Eksempel #2:

Løsning:

La oss velge tallpar som gir i produktet, og så sjekke om summen deres er lik:

og: de gir totalt.

og: de gir totalt. For å få det er det nok å bare endre tegnene på de antatte røttene: og tross alt produktet.

Svar:

Eksempel #3:

Løsning:

Frileddet til ligningen er negativ, og derfor er produktet av røttene et negativt tall. Dette er bare mulig hvis en av røttene er negativ og den andre er positiv. Derfor er summen av røttene lik forskjellene på modulene deres.

La oss velge par med tall som gir produktet, og hvis forskjell er lik:

og: deres forskjell er lik - passer ikke;

og: - ikke egnet;

og: - ikke egnet;

og: - egnet. Alt som gjenstår er å huske at en av røttene er negativ. Siden summen deres må være lik, må roten med den mindre modulen være negativ: . Vi sjekker:

Svar:

Eksempel #4:

Løs ligningen.

Løsning:

Ligningen er gitt, som betyr:

Frileddet er negativt, og derfor er produktet av røttene negativt. Og dette er bare mulig når en rot av ligningen er negativ og den andre er positiv.

La oss velge par med tall hvis produkt er likt, og deretter bestemme hvilke røtter som skal ha et negativt fortegn:

Åpenbart er bare røttene og egnet for den første tilstanden:

Svar:

Eksempel #5:

Løs ligningen.

Løsning:

Ligningen er gitt, som betyr:

Summen av røttene er negativ, noe som betyr at minst én av røttene er negativ. Men siden deres produkt er positivt, betyr det at begge røttene har et minustegn.

La oss velge par med tall hvis produkt er lik:

Åpenbart er røttene tallene og.

Svar:

Enig, det er veldig praktisk å komme opp med røtter muntlig, i stedet for å regne denne ekle diskriminanten. Prøv å bruke Vietas teorem så ofte som mulig.

Men Vietas teorem er nødvendig for å lette og fremskynde å finne røttene. For at du skal dra nytte av å bruke den, må du bringe handlingene til automatikk. Og for dette, løs fem flere eksempler. Men ikke juks: du kan ikke bruke en diskriminant! Bare Vietas teorem:

Løsninger på oppgaver for selvstendig arbeid:

Oppgave 1. ((x)^(2))-8x+12=0

I følge Vietas teorem:

Som vanlig starter vi utvalget med stykket:

Ikke egnet fordi mengden;

: beløpet er akkurat det du trenger.

Svar: ; .

Oppgave 2.

Og igjen vår favoritt Vieta-setning: summen må være lik, og produktet må være lik.

Men siden det må være ikke, men, vi endrer tegnene til røttene: og (totalt).

Svar: ; .

Oppgave 3.

Hmm... Hvor er det?

Du må flytte alle termene til én del:

Summen av røttene er lik produktet.

Ok, stopp! Ligningen er ikke gitt. Men Vietas teorem er kun anvendelig i de gitte ligningene. Så først må du gi en ligning. Hvis du ikke kan lede, gi opp denne ideen og løs på en annen måte (for eksempel gjennom en diskriminant). La meg minne deg på at å gi en kvadratisk ligning betyr å gjøre den ledende koeffisienten lik:

Flott. Da er summen av røttene lik og produktet.

Her er det like enkelt som å avskalle pærer å velge: det er tross alt et primtall (beklager tautologien).

Svar: ; .

Oppgave 4.

Det gratis medlemmet er negativt. Hva er spesielt med dette? Og faktum er at røttene vil ha forskjellige tegn. Og nå, under utvalget, sjekker vi ikke summen av røttene, men forskjellen i modulene deres: denne forskjellen er lik, men et produkt.

Så røttene er lik og, men en av dem er minus. Vietas teorem forteller oss at summen av røttene er lik den andre koeffisienten med motsatt fortegn, altså. Dette betyr at den mindre roten vil ha minus: og siden.

Svar: ; .

Oppgave 5.

Hva bør du gjøre først? Det stemmer, gi ligningen:

Igjen: vi velger faktorene til tallet, og forskjellen deres skal være lik:

Røttene er lik og, men en av dem er minus. Hvilken? Summen deres skal være lik, noe som betyr at minus vil ha en større rot.

Svar: ; .

La meg oppsummere:

1. Vietas teorem brukes bare i de andregradsligningene som er gitt.
2. Ved å bruke Vietas teorem kan du finne røttene ved seleksjon, muntlig.
3. Hvis ligningen ikke er gitt eller ingen ligning er funnet passende par multiplikatorer av fribegrepet, som betyr at det ikke er hele røtter, og du må løse det på en annen måte (for eksempel gjennom en diskriminant).

3. Metode for å velge en komplett firkant

Hvis alle ledd som inneholder det ukjente er representert i form av termer fra forkortede multiplikasjonsformler - kvadratet av summen eller differansen - så etter å ha erstattet variabler, kan ligningen presenteres i form av en ufullstendig kvadratisk ligning av typen.

For eksempel:

Eksempel 1:

Løs ligningen:.

Løsning:

Svar:

Eksempel 2:

Løs ligningen:.

Løsning:

Svar:

I generelt syn transformasjonen vil se slik ut:

Dette innebærer: .

Minner deg ikke om noe? Dette er en diskriminerende ting! Det var akkurat slik vi fikk diskriminantformelen.

KVADRATISKE LIGNINGER. KORT OM DE VIKTIGSTE TINGENE

Kvadratisk ligning- dette er en likning av formen, der - det ukjente, - koeffisientene til kvadratisk likning, - frileddet.

Fullfør andregradsligningen- en ligning der koeffisientene ikke er lik null.

Redusert andregradsligning- en ligning der koeffisienten, det vil si: .

Ufullstendig andregradsligning- en ligning der koeffisienten og eller frileddet c er lik null:

• hvis koeffisienten, ser ligningen slik ut: ,
• hvis det er et fritt ledd, har ligningen formen: ,
• hvis og, ser ligningen slik ut: .

1. Algoritme for å løse ufullstendige andregradsligninger

1.1. En ufullstendig andregradsligning av formen, hvor:

1) La oss uttrykke det ukjente: ,

2) Sjekk tegnet til uttrykket:

• hvis, så har ligningen ingen løsninger,
• hvis, så har ligningen to røtter.

1.2. En ufullstendig andregradsligning av formen, hvor:

1) La oss ta den felles faktoren ut av parentes: ,

2) Produktet er lik null hvis minst en av faktorene er lik null. Derfor har ligningen to røtter:

1.3. En ufullstendig andregradsligning av formen, der:

Denne ligningen har alltid bare én rot: .

2. Algoritme for å løse komplette andregradsligninger av formen hvor

2.1. Løsning ved hjelp av diskriminant

1) La oss redusere ligningen til standard visning: ,

2) La oss beregne diskriminanten ved å bruke formelen: , som indikerer antall røtter til ligningen:

3) Finn røttene til ligningen:

• hvis, så har ligningen røtter, som finnes av formelen:
• hvis, så har ligningen en rot, som finnes av formelen:
• hvis, så har ligningen ingen røtter.

2.2. Løsning ved hjelp av Vietas teorem

Summen av røttene til den reduserte andregradsligningen (ligningen av formen hvor) er lik, og produktet av røttene er lik, dvs. , A.

2.3. Løsning ved å velge en komplett firkant

Med dette matteprogram Du kan løse andregradsligningen.

Programmet gir ikke bare svaret på problemet, men viser også løsningsprosessen på to måter:
- ved å bruke en diskriminant
- ved å bruke Vietas teorem (hvis mulig).

Dessuten vises svaret som nøyaktig, ikke omtrentlig.
For eksempel, for ligningen \(81x^2-16x-1=0\) vises svaret i følgende form:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ og ikke slik: \(x_1 = 0,247; \quad x_2 = -0,05\)

Dette programmet kan være nyttig for elever på videregående skole ungdomsskoler som forberedelse til tester og eksamener, når du tester kunnskap før Unified State Exam, for foreldre å kontrollere løsningen av mange problemer i matematikk og algebra. Eller kanskje det er for dyrt for deg å ansette en veileder eller kjøpe nye lærebøker? Eller vil du bare få det gjort så raskt som mulig? hjemmelekser i matematikk eller algebra? I dette tilfellet kan du også bruke våre programmer med detaljerte løsninger.

På denne måten kan du gjennomføre din egen trening og/eller trening. yngre brødre eller søstre, mens utdanningsnivået i feltet problemer som løses øker.

Hvis du ikke er kjent med reglene for å legge inn et kvadratisk polynom, anbefaler vi at du gjør deg kjent med dem.

Regler for å legge inn et kvadratisk polynom

Enhver latinsk bokstav kan fungere som en variabel.
For eksempel: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc.

Tall kan legges inn som hele eller brøktall.
Dessuten, brøktall kan angis ikke bare som en desimal, men også som en vanlig brøk.

Regler for inntasting av desimalbrøker.
I desimalbrøker kan brøkdelen skilles fra hele delen med enten punktum eller komma.
For eksempel kan du gå inn desimaler slik: 2,5x - 3,5x^2

Regler for inntasting av vanlige brøker.
Bare et helt tall kan fungere som teller, nevner og heltallsdel av en brøk.

Nevneren kan ikke være negativ.

Når du legger inn en numerisk brøk, skilles telleren fra nevneren med et divisjonstegn: /
Hele delen atskilt fra brøken med et og-tegnet: &
Inngang: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Resultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Når du legger inn et uttrykk du kan bruke parenteser. I dette tilfellet, når du løser en kvadratisk ligning, blir det introduserte uttrykket først forenklet.
For eksempel: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Bestemme seg for

Det ble oppdaget at noen skript som er nødvendige for å løse dette problemet, ikke ble lastet, og at programmet kanskje ikke fungerer.
Du kan ha AdBlock aktivert.
I dette tilfellet, deaktiver den og oppdater siden.

JavaScript er deaktivert i nettleseren din.
For at løsningen skal vises, må du aktivere JavaScript.
Her er instruksjoner for hvordan du aktiverer JavaScript i nettleseren din.

Fordi Det er mange mennesker som er villige til å løse problemet, forespørselen din har blitt satt i kø.
Om noen sekunder vil løsningen vises nedenfor.
Vennligst vent sek...

Hvis du oppdaget en feil i løsningen, så kan du skrive om dette i tilbakemeldingsskjemaet.
Ikke glem angi hvilken oppgave du bestemmer hva skriv inn i feltene.

Våre spill, puslespill, emulatorer:

Litt teori.

Kvadratisk ligning og dens røtter. Ufullstendige andregradsligninger

Hver av ligningene
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
ser ut som
\(ax^2+bx+c=0, \)
hvor x er en variabel, a, b og c er tall.
I den første ligningen a = -1, b = 6 og c = 1,4, i den andre a = 8, b = -7 og c = 0, i den tredje a = 1, b = 0 og c = 4/9. Slike ligninger kalles andregradsligninger.

Definisjon.
Kvadratisk ligning kalles en ligning av formen ax 2 +bx+c=0, der x er en variabel, a, b og c er noen tall, og \(a \neq 0 \).

Tallene a, b og c er koeffisientene til andregradsligningen. Tallet a kalles den første koeffisienten, tallet b er den andre koeffisienten, og tallet c er frileddet.

I hver av likningene på formen ax 2 +bx+c=0, hvor \(a\neq 0\), er den største potensen til variabelen x en kvadrat. Derav navnet: andregradsligning.

Merk at en kvadratisk ligning også kalles en ligning av andre grad, siden venstre side er et polynom av andre grad.

En annengradsligning der koeffisienten til x 2 er lik 1 kalles gitt andregradsligning. For eksempel er de gitte kvadratiske ligningene ligningene
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Hvis i en andregradsligning ax 2 +bx+c=0 er minst én av koeffisientene b eller c lik null, kalles en slik ligning ufullstendig andregradsligning. Dermed er ligningene -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 ufullstendige andregradsligninger. I den første av dem er b=0, i den andre c=0, i den tredje b=0 og c=0.

Det er tre typer ufullstendige kvadratiske ligninger:
1) ax 2 +c=0, hvor \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, hvor \(b \neq 0 \);
3) akse 2 =0.

La oss vurdere å løse ligninger for hver av disse typene.

For å løse en ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 +c=0 for \(c \neq 0 \), flytter du dens friledd til høyre side og deler begge sider av ligningen med a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Høyrepil x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Siden \(c \neq 0 \), deretter \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Hvis \(-\frac(c)(a)>0\), så har ligningen to røtter.

Hvis \(-\frac(c)(a) Å løse en ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 +bx=0 med \(b \neq 0 \) faktor dens venstre side og få ligningen
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (matrise)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)

Dette betyr at en ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 +bx=0 for \(b \neq 0 \) alltid har to røtter.

En ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 =0 tilsvarer ligningen x 2 =0 og har derfor en enkelt rot 0.

Formel for røttene til en kvadratisk ligning

La oss nå vurdere hvordan vi løser kvadratiske ligninger der både koeffisientene til de ukjente og frileddet ikke er null.

La oss løse den andregradsligningen i generell form, og som et resultat får vi formelen for røttene. Denne formelen kan deretter brukes til å løse enhver kvadratisk ligning.

Løs den andregradsligningen ax 2 +bx+c=0

Ved å dele begge sider med a, får vi den ekvivalente reduserte andregradsligningen
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

La oss transformere denne ligningen ved å velge kvadratet til binomialet:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\venstre(\frac(b)(2a)\høyre)^2- \venstre(\frac(b)(2a)\høyre)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Høyrepil \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\venstre(\frac(b)(2a)\høyre)^2 = \venstre(\frac(b)(2a)\høyre)^ 2 - \frac(c)(a) \Høyrepil \) \(\venstre(x+\frac(b)(2a)\høyre)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Høyrepil \venstre(x+\frac(b)(2a)\høyre)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Høyrepil \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Høyrepil x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Høyrepil \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Det radikale uttrykket kalles diskriminant av en andregradsligning ax 2 +bx+c=0 ("diskriminerende" på latin - diskriminator). Det er betegnet med bokstaven D, dvs.
\(D = b^2-4ac\)

Nå, ved å bruke diskriminantnotasjonen, omskriver vi formelen for røttene til den kvadratiske ligningen:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), hvor \(D= b^2-4ac \)

Det er åpenbart at:
1) Hvis D>0, så har andregradsligningen to røtter.
2) Hvis D=0, så har den andregradsligningen én rot \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Hvis D Altså, avhengig av verdien av diskriminanten, kan en andregradsligning ha to røtter (for D > 0), en rot (for D = 0) eller ha ingen røtter (for D Når du løser en andregradsligning ved å bruke denne formel, er det tilrådelig å gjøre følgende:
1) beregne diskriminanten og sammenligne den med null;
2) hvis diskriminanten er positiv eller lik null, bruk rotformelen; hvis diskriminanten er negativ, skriv ned at det ikke er noen røtter.

Vietas teorem

Den gitte andregradsligningen ax 2 -7x+10=0 har røttene 2 og 5. Summen av røttene er 7, og produktet er 10. Vi ser at summen av røttene er lik den andre koeffisienten tatt med det motsatte tegn, og produktet av røttene er lik frileddet. Enhver redusert kvadratisk ligning som har røtter har denne egenskapen.

Summen av røttene til den ovennevnte kvadratiske ligningen er lik den andre koeffisienten tatt med motsatt fortegn, og produktet av røttene er lik frileddet.

De. Vietas teorem sier at røttene x 1 og x 2 av den reduserte kvadratiske ligningen x 2 +px+q=0 har egenskapen:
\(\venstre\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

Kvadratisk ligning - lett å løse! *Heretter referert til som "KU". Venner, det ser ut til at det ikke kan være noe enklere i matematikk enn å løse en slik ligning. Men noe fortalte meg at mange har problemer med ham. Jeg bestemte meg for å se hvor mange on-demand-visninger Yandex gir ut per måned. Her er hva som skjedde, se:

Hva betyr det? Dette betyr at rundt 70 000 personer per måned søker etter denne informasjonen, hva har denne sommeren med det å gjøre, og hva som vil skje blant skoleår— det kommer dobbelt så mange forespørsler. Dette er ikke overraskende, fordi de gutta og jentene som ble uteksaminert fra skolen for lenge siden og forbereder seg til Unified State Exam, leter etter denne informasjonen, og skolebarn prøver også å friske opp hukommelsen.

Til tross for at det er mange sider som forteller deg hvordan du løser denne ligningen, bestemte jeg meg for å også bidra og publisere materialet. For det første vil jeg gjerne denne forespørselen og besøkende kom til nettstedet mitt; for det andre, i andre artikler, når emnet "KU" kommer opp, vil jeg gi en lenke til denne artikkelen; for det tredje vil jeg fortelle deg litt mer om løsningen hans enn det som vanligvis står på andre nettsteder. La oss komme i gang! Innholdet i artikkelen:

En kvadratisk ligning er en ligning av formen:

hvor koeffisientene a,bog c er vilkårlige tall, med a≠0.

I skolekurs materiale er gitt inn følgende skjema– ligningene er delt inn i tre klasser:

1. De har to røtter.

2. *Ha bare én rot.

3. De har ingen røtter. Det er spesielt verdt å merke seg her at de ikke har ekte røtter

Hvordan beregnes røtter? Bare!

Vi beregner diskriminanten. Under dette "forferdelige" ordet ligger en veldig enkel formel:

Rotformlene er som følger:

*Du må kunne disse formlene utenat.

Du kan umiddelbart skrive ned og løse:

Eksempel:

1. Hvis D > 0, så har ligningen to røtter.

2. Hvis D = 0, så har ligningen én rot.

3. Hvis D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

La oss se på ligningen:

Av i denne anledning, når diskriminanten er null, sier skolekurset at resultatet er én rot, her er det lik ni. Alt er riktig, det er slik, men...

Denne ideen er noe feil. Faktisk er det to røtter. Ja, ja, ikke bli overrasket, du får to like røtter, og for å være matematisk presis, så bør svaret skrive to røtter:

x 1 = 3 x 2 = 3

Men det er så - liten retrett. På skolen kan du skrive det ned og si at det er én rot.

Nå neste eksempel:

Som vi vet, roten til negativt tall er ikke trukket ut, så det er ingen løsning i dette tilfellet.

Det er hele beslutningsprosessen.

Kvadratisk funksjon.

Dette viser hvordan løsningen ser ut geometrisk. Dette er ekstremt viktig å forstå (i fremtiden, i en av artiklene vil vi analysere i detalj løsningen på den kvadratiske ulikheten).

Dette er en funksjon av skjemaet:

hvor x og y er variabler

a, b, c – gitte tall, med a ≠ 0

Grafen er en parabel:

Det vil si at det viser seg at ved å løse en andregradsligning med "y" lik null, finner vi skjæringspunktene til parabelen med x-aksen. Det kan være to av disse punktene (diskriminanten er positiv), ett (diskriminanten er null) og ingen (diskriminanten er negativ). Detaljer om kvadratisk funksjon Du kan se artikkel av Inna Feldman.

La oss se på eksempler:

Eksempel 1: Løs 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Svar: x 1 = 8 x 2 = –12

*Det var mulig å umiddelbart dele venstre og høyre side av ligningen med 2, det vil si forenkle den. Beregningene blir lettere.

Eksempel 2: Bestemme seg for x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Vi fant at x 1 = 11 og x 2 = 11

Det er lov å skrive x = 11 i svaret.

Svar: x = 11

Eksempel 3: Bestemme seg for x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminanten er negativ, det er ingen løsning i reelle tall.

Svar: ingen løsning

Diskriminanten er negativ. Det finnes en løsning!

Her vil vi snakke om å løse ligningen i tilfellet når en negativ diskriminant oppnås. Vet du noe om komplekse tall? Jeg vil ikke gå i detalj her om hvorfor og hvor de oppsto og hva deres spesifikke rolle og nødvendighet i matematikk er; dette er et emne for en stor egen artikkel.

Konseptet med et komplekst tall.

Litt teori.

Et komplekst tall z er et tall av formen

z = a + bi

hvor a og b er reelle tall, i er den såkalte imaginære enheten.

a+bi – dette er et ENKEL NUMMER, ikke et tillegg.

Den imaginære enheten er lik roten av minus én:

Tenk nå på ligningen:

Vi får to konjugerte røtter.

Ufullstendig andregradsligning.

La oss vurdere spesielle tilfeller, dette er når koeffisienten "b" eller "c" er lik null (eller begge er lik null). De kan løses enkelt uten diskriminering.

Tilfelle 1. Koeffisient b = 0.

Ligningen blir:

La oss konvertere:

Eksempel:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Tilfelle 2. Koeffisient c = 0.

Ligningen blir:

La oss transformere og faktorisere:

*Produktet er lik null når minst én av faktorene er lik null.

Eksempel:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 eller x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Tilfelle 3. Koeffisientene b = 0 og c = 0.

Her er det klart at løsningen på ligningen alltid vil være x = 0.

Nyttige egenskaper og mønstre av koeffisienter.

Det er egenskaper som lar deg løse likninger med store koeffisienter.

ENx 2 + bx+ c=0 likestilling holder

en + b+ c = 0, At

- hvis for koeffisientene til ligningen ENx 2 + bx+ c=0 likestilling holder

en+ c =b, At

Disse egenskapene hjelper til med å løse en bestemt type ligning.

Eksempel 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Summen av oddsen er 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, som betyr

Eksempel 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Likestilling holder en+ c =b, Midler

Regulariteter av koeffisienter.

1. Hvis i ligningen ax 2 + bx + c = 0 er koeffisienten "b" lik (a 2 +1), og koeffisienten "c" er numerisk lik koeffisienten "a", så er røttene like

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Eksempel. Tenk på ligningen 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Hvis i ligningen ax 2 – bx + c = 0 er koeffisienten "b" lik (a 2 +1), og koeffisienten "c" er numerisk lik koeffisienten "a", så er røttene like

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Eksempel. Tenk på ligningen 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Hvis i lign. ax 2 + bx – c = 0 koeffisient "b" er lik (a 2 – 1), og koeffisient "c" er numerisk lik koeffisienten "a", da er røttene like

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Eksempel. Tenk på ligningen 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Hvis i ligningen ax 2 – bx – c = 0 er koeffisienten “b” lik (a 2 – 1), og koeffisienten c er numerisk lik koeffisienten “a”, så er røttene like

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Eksempel. Tenk på ligningen 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Vietas teorem.

Vietas teorem er oppkalt etter den berømte franske matematikeren Francois Vieta. Ved å bruke Vietas teorem kan vi uttrykke summen og produktet av røttene til en vilkårlig KU i form av koeffisientene.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Totalt gir tallet 14 bare 5 og 9. Dette er røttene. Med en viss ferdighet, ved å bruke det presenterte teoremet, kan du løse mange andregradsligninger muntlig umiddelbart.

Vietas teorem, i tillegg. Det er praktisk ved at etter å ha løst en kvadratisk ligning på vanlig måte (gjennom en diskriminant), kan de resulterende røttene kontrolleres. Jeg anbefaler å gjøre dette alltid.

TRANSPORTMETODE

Med denne metoden multipliseres koeffisienten "a" med frileddet, som om den ble "kastet" til den, og det er derfor den kalles "overføringsmetode". Denne metoden brukes når røttene til ligningen lett kan finnes ved å bruke Vietas teorem og, viktigst av alt, når diskriminanten er et eksakt kvadrat.

Hvis EN± b+c≠ 0, så brukes overføringsteknikken, for eksempel:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Ved å bruke Vietas teorem i ligning (2), er det lett å bestemme at x 1 = 10 x 2 = 1

De resulterende røttene til ligningen må deles på 2 (siden de to ble "kastet" fra x 2), får vi

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Hva er begrunnelsen? Se hva som skjer.

Diskriminantene til ligningene (1) og (2) er like:

Hvis du ser på røttene til ligningene, får du bare forskjellige nevnere, og resultatet avhenger nøyaktig av koeffisienten til x 2:

Den andre (modifiserte) har røtter som er 2 ganger større.

Derfor deler vi resultatet på 2.

*Hvis vi ruller de tre på nytt, deler vi resultatet med 3 osv.

Svar: x 1 = 5 x 2 = 0,5

Sq. ur-ie og Unified State Examination.

Jeg skal fortelle deg kort om viktigheten - DU MÅ KUNNE AVGJØRE raskt og uten å tenke, du må kunne formlene for røtter og diskriminanter utenat. Mange av problemene inkludert i Unified State Examination-oppgavene koker ned til å løse en kvadratisk ligning (inkludert geometriske).

Noe verdt å merke seg!

1. Formen for å skrive en ligning kan være "implisitt". For eksempel er følgende oppføring mulig:

15+ 9x 2 - 45x = 0 eller 15x+42+9x 2 - 45x=0 eller 15 -5x+10x 2 = 0.

Du må ta det til et standardskjema (for ikke å bli forvirret når du løser).

2. Husk at x er en ukjent størrelse og den kan betegnes med en hvilken som helst annen bokstav - t, q, p, h og andre.