Основната задача на теоријата на еластичност е да ја одреди напрегање-деформирачката состојба според дадените услови на оптоварување и прицврстување на телото.
Состојбата напрегање-деформација се одредува ако се најдат компонентите на тензорот на напрегање () и векторот на поместување, девет функции.
Основни равенки на теоријата на еластичност
За да ги најдете овие девет функции, треба да ги запишете основните равенки на теоријата на еластичност или:
Диференцијални каучи
каде се компонентите на тензорот на линеарниот дел од деформацијата на Коши;
Компоненти на дериватниот тензор на радијално поместување.
Равенки на диференцијална рамнотежа
каде се компонентите на тензорот на стрес; - проекција на телесната сила на j оската.
Хуковиот закон за линеарно еластично изотропно тело
каде се Lame константите; за изотропно тело. Еве нормални и напрегања на смолкнување; деформации и агли на смолкнување, соодветно.
Горенаведените равенки мора да ги задоволуваат зависностите на Сен-Венант
Во теоријата на еластичност, проблемот се решава ако се задоволени сите основни равенки.
Видови проблеми во теоријата на еластичност
Мора да се задоволат граничните услови на површината на телото и, во зависност од видот на граничните услови, се разликуваат три вида проблеми во теоријата на еластичност.
Прв тип. Силите се дадени на површината на телото. Гранични услови
Втор тип. Проблеми во кои поместувањето е наведено на површината на телото. Гранични услови
Трет тип. Мешани проблеми на теоријата на еластичност. Силите се специфицирани на дел од површината на телото, а поместувањето е специфицирано на дел од површината на телото. Гранични услови
Директни и инверзни проблеми на теоријата на еластичност
Проблемите во кои силите или поместувањата се наведени на површината на телото, а се бара да се најде состојбата на напрегање-деформација во телото и она што не е наведено на површината, се нарекуваат директни проблеми. Ако напрегањата, деформациите, поместувањата итн. се наведени внатре во телото, а треба да одредите што не е наведено внатре во телото, како и поместувања и напрегања на површината на телото (т.е. да ги пронајдете причините што предизвикале такво состојба напрегање-деформација)), тогаш ваквите проблеми се нарекуваат инверзни.
Равенки на теоријата на еластичност во поместувања (Лејм равенки)
За да ги одредиме равенките на теоријата на еластичност во поместувањата, пишуваме: равенки на диференцијална рамнотежа (18) Хуковиот закон за линеарно еластично изотропно тело (19)
Ако се земе предвид дека деформациите се изразуваат преку поместувања (17), пишуваме:
Исто така, треба да се потсети дека аголот на смолкнување е поврзан со поместувањата со следнава врска (17):
Заменувајќи го изразот (22) во првата равенка на еднаквости (19), ги добиваме нормалните напрегања
Забележете дека пишувањето itz во овој случај не подразбира сумирање над i.
Заменувајќи го изразот (23) во втората равенка на еднаквости (19), добиваме дека напрегањата на смолкнување
Да ги запишеме равенките за рамнотежа (18) во проширена форма за j = 1
Заменувајќи ги изразите за нормални (24) и тангенцијални (25) напрегања во равенката (26), добиваме
каде l е Lame константата, која се определува со изразот:
Да го замениме изразот (28) во равенката (27) и да напишеме,
каде што е определено со изразот (22), или во проширена форма
Ајде да го поделиме изразот (29) со G и да додадеме слични членови и да ја добиеме првата Lame равенка:
каде е Лапласовиот оператор (хармоничен оператор), кој е дефиниран како
Слично, можете да добиете:
Равенките (30) и (32) може да се напишат на следниов начин:
Равенките (33) или (30) и (32) се Ламе равенки. Ако волуменските сили се нула или константни, тогаш
Згора на тоа, ознаката во овој случај не подразбира сумирање над i. Еве
или, земајќи ги предвид (31)
Заменувајќи го (22) во (34) и извршувајќи трансформации, добиваме
и следствено
каде е функција која ја задоволува оваа еднаквост. Ако
затоа, f е хармонична функција. Ова значи дека волуметриската деформација е исто така хармонична функција.
Претпоставувајќи дека претходната претпоставка е вистинита, го земаме хармонискиот оператор од i-тата линија на равенката Ламе
Ако волуменските сили се нула или константни, тогаш компонентите на поместување се бихармонични функции.
Познати се различни форми на претставување бихармониски функции преку хармоници (што ги задоволуваат равенките на Ламе).
каде k = 1,2,3. Згора на тоа
Може да се покаже дека ваквото претставување на поместувањата преку хармонична функција ја претвора равенката Ламе (33) во идентитет. Тие често се нарекуваат услови Попкович-Гродски. Не се потребни четири хармонични функции, бидејќи φ0 може да се постави на нула.
ТЕОРИЈА НА ЕЛАСТИЧНОСТ– гранка на механиката на континуум која ги проучува поместувањата, деформациите и напрегањата на телата во мирување или во движење под влијание на оптоварувања. Целта на оваа теорија е да изведе математички равенки, чие решение ни овозможува да одговориме на следниве прашања: какви ќе бидат деформациите на ова конкретно тело ако на него се примени оптоварување со дадена големина на познати места? Каква ќе биде напнатоста во телото? Прашањето дали телото ќе се сруши или ќе ги издржи овие оптоварувања е тесно поврзано со теоријата на еластичност, но, строго кажано, не е во доменот на оваа теорија.
Бројот на можни примери е неограничен - од одредување на деформациите и напрегањата во гредата што лежи на потпорите и е оптоварена со сили, до пресметување на истите вредности во структурата на авион, брод, подморница, во тркало за превоз, во оклоп. кога е погоден од проектил, во планински венец при минување низ адит, во рамка на висококатница итн. Овде мора да се направи предупредување: структурите што се состојат од елементи со тенкоѕиди се пресметуваат со користење на поедноставени теории логички засновани на теоријата на еластичност; Овие теории вклучуваат: теорија на отпорност на материјали на оптоварување (познатиот „отпор на цврстина“), чија задача е главно да ги пресмета прачките и греди; структурна механика – пресметка на системи со прачки (на пример, мостови); и, конечно, теоријата на школки во суштина е независно и многу високо развиено поле на науката за деформациите и напрегањата, чиј предмет на истражување се најважните структурни елементи - тенкоѕидните школки - цилиндрични, конусни, сфероидни и кои имаат посложени форми. Затоа, во теоријата на еластичност, обично се разгледуваат тела чии суштински димензии не се разликуваат премногу. Така, се разгледува еластично тело со дадена форма, на кое дејствуваат познати сили.
Основните концепти на теоријата на еластичност се напрегањата кои делуваат на мали површини, кои можат ментално да се извлечат во телото преку дадена точка. М, деформации на мало соседство на точка Ми поместување на самата точка М. Поточно, воведени се тензори на напрегање ij, тензор со мала деформација e ijи вектор на поместување у јас.
Кратка ознака с ij, каде што индексите јас, јземете вредности 1, 2, 3 треба да се сфатат како матрица од формата:
Слично треба да се разбере и кратката нотација за тензорот e ij.
Ако физичка точка на телото Мпоради деформација зазеде нова позиција во вселената М', тогаш векторот на поместување е вектор со компоненти ( u x u y u z), или накратко, у јас. Во теоријата на мали деформации компонентите у јаси д јассе сметаат за мали количини (строго кажано, бесконечно мали). Компоненти на тензорот e ijи вектор u ijсе поврзани со формули на Коши, кои имаат форма:
Јасно е дека е xy= д yx, и, општо земено, д ij= д џи, така што тензорот на деформација е симетричен по дефиниција.
Ако еластичното тело е во рамнотежа под дејство на надворешни сили (т.е., брзините на сите негови точки се еднакви на нула), тогаш секој дел од телото што може ментално да се изолира од него е исто така во рамнотежа. Од телото се издвојува мал (строго кажано, бесконечно мал) правоаголен паралелепипед, чии рабови се паралелни со координатните рамнини на Декартовиот систем Оксиз(сл. 1).
Нека рабовите на паралелепипедот имаат должина dx, ди, џсоодветно (тука, како и обично dxима диференцијал xитн.). Според теоријата на стрес, компонентите на тензорот на стресот делуваат на лицата на паралелепипедот, кои се означени:
на работ ОАДГ:с xx, с xy, с xz
на работ OABC:с yx, с г.г, с yz
на работ ДАБЕ:с zx, с zy, с zz
во овој случај, компоненти со исти индекси (на пример s xx) дејствуваат нормално на лицето, и со различни индекси - во рамнината на локацијата.
На спротивните лица, вредностите на истите компоненти на тензорот на стрес се малку различни, тоа се должи на фактот дека тие се функции на координати и се менуваат од точка до точка (секогаш, освен во познатите наједноставни случаи) и малата промена е поврзана со малите димензии на паралелепипедот, така што можеме да претпоставиме дека ако на работ OABCсе применува напон s г.г, потоа на работ GDEFсе применува напон s г.г+дс г.г, и мала вредност од ds г.гтокму поради неговата мала, може да се одреди со помош на проширување на серијата Тејлор:
(Тука се користат делумни деривати, бидејќи компонентите на тензорот на стрес зависат од x, y, z).
Слично на тоа, напрегањата на сите лица може да се изразат преку s ijи дс ij. Следно, за да преминете од напрегања на сили, треба да ја помножите големината на стресот со областа на областа на која делува (на пример, s г.г+дс г.гмножете се со dx dz). Кога ќе се утврдат сите сили што дејствуваат на паралелепипедот, можно е, како што се прави во статиката, да се запише равенката на рамнотежата на телото, додека во сите равенки за главниот вектор ќе останат само членовите со изводи, бидејќи напрегањата самите се поништуваат едни со други, а факторите дх ди џсе намалуваат и како резултат на тоа
Слично на тоа, се добиваат равенки за рамнотежа, изразувајќи ја еднаквоста на нула на главниот момент на сите сили што дејствуваат на паралелепипедот, кои се сведени на формата:
Овие еднаквости значат дека тензорот на стрес е симетричен тензор. Така, за 6 непознати компоненти с ijима три рамнотежни равенки, т.е. равенките на статиката не се доволни за да се реши проблемот. Излезот е да се изразат напоните s ijпреку деформации д ijкористејќи ги равенките на Хуковиот закон, а потоа и деформацијата д ijизразуваат преку движења у јаскористејќи ги формулите на Коши и заменете го резултатот со равенките за рамнотежа. Ова произведува три диференцијални равенки за рамнотежа за три непознати функции u x u y u z, т.е. бројот на непознати е еднаков на бројот на равенки. Овие равенки се нарекуваат Ламеови равенки
масовните сили (тежина и сл.) не се земаат предвид
D – Лапласовиот оператор, т.е
Сега треба да поставите гранични услови на површината на телото;
Главните типови на овие состојби се како што следува:
1. На познат дел од површината на телото S 1 се наведени поместувања, т.е. векторот на поместување е еднаков на познатиот вектор со компоненти ( f x; ѓ y; ѓ z):
u x = ѓ(xyz)
u y= ѓ(xyz)
u z = ѓ(xyz)
(f x, f y, f z– познати координатни функции)
2. На останатиот дел од површината СНаведени се 2 површински сили. Тоа значи дека распределбата на напрегањето внатре во телото е таква што вредностите на напрегањето во непосредна близина на површината и во границата, на површината на секоја елементарна област, создаваат вектор на стрес еднаков на познатиот надворешен вектор на оптоварување со компоненти ( Fx ;Fy ; Fz) површинските сили. Математички се пишува вака: ако во точка Аповршина, единицата нормален вектор на оваа површина ги има компонентите n x, n y, n zтогаш во овој момент еднаквостите мора да бидат задоволени во однос на (непознатите) компоненти s ij:е ij, тогаш за три непознати добиваме шест равенки, односно преодреден систем. Овој систем ќе има решение само доколку се исполнат дополнителни услови во врска со е ij. Овие услови се равенки за компатибилност.
Овие равенки често се нарекуваат услови на континуитет, што имплицира дека тие обезбедуваат континуитет на телото по деформацијата. Овој израз е фигуративен, но непрецизен: овие услови обезбедуваат постоење на континуирано поле на поместувања ако ги земеме компонентите на деформациите (или напрегањата) како непознати. Неисполнувањето на овие услови не доведува до нарушување на континуитетот, туку до отсуство на решение за проблемот.
Така, теоријата на еластичност обезбедува диференцијални равенки и гранични услови кои овозможуваат да се формулираат проблеми со граничните вредности, чиешто решение дава целосни информации за распределбата на напрегањата, напрегањата и поместувањата во телата што се разгледуваат. Методите за решавање на ваквите проблеми се многу сложени и најдобри резултати се добиваат со комбинирање на аналитички методи со нумерички со помош на моќни компјутери.
Владимир Кузњецов
На создавањето на теоријата на еластичност и пластичност како независна гранка на механиката му претходела работата на научниците од 17 и 18 век.Уште на почетокот на 17 век. Г. Галилео (1564-1642) направи обид да ги реши проблемите со истегнување и свиткување на гредата. Тој беше еден од првите што се обиде да ги примени пресметките на градежните проблеми.
Теоријата на свиткување на тенки еластични шипки ја проучувале извонредни научници како E. Mariotte, J. Bernoulli Sr., S.O. Кулом, Л. Ојлер и формирањето на теоријата на еластичност како наука може да се поврзе со делата на Р. Ган, Т. Јунг, Џ.Л. Лагранж, С. Жермен.
Роберт Хук (1635-1703) ја поставил основата за механиката на еластичните тела со објавување во 1678 г. р. дело во кое го опишал законот за пропорционалност помеѓу оптоварувањето и затегнувачката деформација што го утврдил. Томас Јанг (1773-1829) на самиот почеток на 19 век. го воведе концептот на модул на еластичност при напнатост и компресија. Тој, исто така, воспостави разлика помеѓу деформација на истегнување или притисок и деформација на смолкнување. Во исто време датираат делата на Џозеф Луис Лагранж (1736-1813) и Софи Жермен (1776-1831). Тие најдоа решение за проблемот со свиткување и вибрации на еластичните плочи. Последователно, теоријата на плочи беше подобрена од S. Poisson и 781-1840) и L. Navier (1785-1836).
Значи, до крајот на 18 и почетокот на 19 век. беа поставени основите на јачината на материјалите и се создаде основа за појава на теоријата на еластичност. Брзиот развој на технологијата постави огромен број практични проблеми за математиката, што доведе до брз развој на теоријата. Еден од многуте важни проблеми беше проблемот со проучувањето на својствата на еластичните материјали. Решението на овој проблем овозможи подлабоко и целосно проучување на внатрешните сили и деформации што се појавуваат во еластичното тело под влијание на надворешни сили.
Датумот на потекло на математичката теорија на еластичност треба да се смета 1821 година, кога е објавена работата на Л. Навиер, во која биле формулирани основните равенки.
Големите математички тешкотии во решавањето проблеми во теоријата на еластичност го привлекоа вниманието на многу извонредни математичари од 19 век: Ламе, Клапејрон, Поасон итн. Теоријата на еластичност беше дополнително развиена во делата на францускиот математичар О. Коши ( 1789-1857), кој го воведе концептот на деформација и напон, а со тоа го поедностави изведувањето на општите равенки.
Во 1828 година, основниот апарат на математичката теорија на еластичност го нашол своето комплетирање во делата на француските научници и инженери Г. Ламе (1795-1870) и Б. Клапејрон (1799-1864), кои предавале во тоа време на Институтот. на железнички инженери во Санкт Петербург. Нивната заедничка работа обезбеди примена на општи равенки за решавање на практични проблеми.
Решението на многу проблеми во теоријата на еластичност стана возможно откако францускиот механичар B. Saint-Venant (1797-1886) го изнесе принципот што го носи неговото име и предложи ефикасен метод за решавање на проблемите во теоријата на еластичност. Неговата заслуга, според познатиот англиски научник А. Лав (1863-1940), лежи и во тоа што тој ги поврзал проблемите на торзија и свиткување на греди со општата теорија.
Ако француските математичари главно се занимаваа со општи проблеми на теоријата, тогаш руските научници дадоа голем придонес во развојот на науката за силата со решавање на многу итни практични проблеми. Од 1828 до 1860 година, извонредниот научник М. В. Остроградски (1801-1861) предавал математика и механика на техничките универзитети во Санкт Петербург. Неговото истражување за вибрациите што се појавуваат во еластична средина беше важно за развојот на теоријата на еластичност. Остроградски обучи галаксија од научници и инженери. Меѓу нив треба да се именува Д.И. Журавски (1821-1891), кој додека работел на изградбата на железницата Санкт Петербург-Москва, создал не само нови дизајни на мостови, туку и теорија за пресметување на мостовите фарми, а исто така извел формула за тангенцијални напрегања во греда за свиткување.
А. В. Гадолин (1828-1892) го применил Ламеовиот проблем за осносиметрична деформација на цевка со дебели ѕидови за проучување на напрегањата што се појавуваат во цевките од артилериски пиштоли, како еден од првите што ја применил теоријата на еластичност на специфичен инженерски проблем.
Меѓу другите проблеми решени на крајот на 19 век, вреди да се истакне работата на Кх. одредување на степенот на точност на приближни решенија.
Голема заслуга за развојот на науката за силата му припаѓа на V. L. Kirpichev (1845-1913). Тој успеа значително да поедностави различни методи за пресметување на статички неопределени структури. Тој беше првиот што го примени оптичкиот метод за експериментално определување на напони и го создаде методот на сличност.
Блиската врска со градежната практика, интегритетот и длабочината на анализата ја карактеризираат советската наука. И. Г. Бубнов (1872-1919) развил нов приближен метод за интегрирање на диференцијални равенки, брилијантно развиен од Б. Во моментов нашироко се користи варијацискиот метод Бубнов-Галеркин. Работите на овие научници во теоријата на свиткување на плочи се од големо значење. Продолжувајќи со истражувањето на Галеркин, П.Ф. доби нови важни резултати. Папкович (1887-1946).
Метод за решавање на рамнински проблем во теоријата на еластичност, заснован на примена на теоријата на функции на сложена променлива, беше предложен од Г.В. Колосов (1867-1936). Последователно, овој метод беше развиен и генерализиран од Н.И. Мусхелишвили (1891-1976). Голем број проблеми за стабилноста на прачките и плочите, вибрациите на прачките и дисковите и теоријата на удар и компресија на еластичните тела беа решени од А.Н. Диник (1876-1950). Од големо практично значење се делата на Л.С. Лајбензон (1879-1951) за стабилноста на еластичната рамнотежа на долгите искривени прачки, за стабилноста на сферични и цилиндрични школки. Од големо практично значење се главните дела на В.З. Власов (1906-1958) за општата теорија на тенкоѕидните просторни прачки, преклопени системи и школки.
Теоријата на пластичност има пократка историја. Првата математичка теорија за пластичност беше создадена од Сен-Венант во 70-тите години на 19 век. врз основа на експериментите на францускиот инженер Г. Треска. На почетокот на 20 век. R. Mises работеше на проблемите на пластичноста. Г. Генки, Л. Прандтл, Т. Карман. Од 30-тите години на 20 век, теоријата на пластичност го привлекува вниманието на голем круг на истакнати странски научници (А. Надаи, Р. Хил, В. Прагер, Ф. Хоџ, Д. Дракер итн.). Нашироко познати се трудовите за теоријата на пластичност на советските научници В.В. Соколовски, А.Ју. Ишлински, Г.А. Смирнова-Алјаева, Л.М.Качанова. Темелен придонес во создавањето на теоријата на деформација на пластичноста даде А.А. Иљушин. А.А. Гвоздев разви теорија за пресметување на плочи и школки врз основа на деструктивни оптоварувања.Оваа теорија успешно ја разви А.Р. Ржаницин.
Теоријата на лази како гранка на механиката на деформирачко тело е формирана релативно неодамна. Првите студии во оваа област датираат од 20-тите години на 20 век. Нивната општа природа се определува со фактот дека проблемот со лази беше од големо значење за енергетиката и инженерите беа принудени да бараат едноставни и брзо водење на целните методи за решавање на практични проблеми. Во создавањето на теоријата на лази, голема улога имаат оние автори кои дале значаен придонес во создавањето на модерната теорија на пластичност. оттука и заедништвото на многу идеи и пристапи. Кај нас првите трудови за механичката теорија на лази му припаднаа на Н.М. Белјаев (1943), К.Д. Миртов (1946), првите студии на Н.Н. Малинин, Ју.Н. датираат од крајот на 40-тите години. Работнова.
Истражувањата на полето на еластично-вискозните тела беа спроведени во делата на А.Ју. Ишлински, А.Н. Герасимова, А.Р. Ржаницина, Ју.Н. Работнова. Примената на оваа теорија на материјалите за стареење, првенствено бетонот, е дадена во делата на Н.Х. Харутјуњан, А.А. Гвоздева, Г.Н.Маслова. Голем број истражувања за лази на полимерни материјали се спроведени од истражувачки тимови предводени од А.А. Иљушина, А.К. Малмајстер, М.И. Розовски, Г.Н. Савина.
Советската држава посветува големо внимание на науката. Организацијата на истражувачки институти и учеството на големи тимови на научници во развојот на актуелни проблеми овозможија да се подигне советската наука на повисоко ниво.
Во краток преглед, не е можно подетално да се задржиме на работата на сите научници кои придонеле за развојот на теоријата на еластичност и пластичност. Оние кои сакаат детално да се запознаат со историјата на развојот на оваа наука можат да се повикаат на учебникот на Н.И. Безухов, каде е дадена детална анализа на главните фази во развојот на теоријата на еластичност и пластичност, како и опширна библиографија.
1.1.Основни хипотези, принципи и дефиниции
Теоријата на стрес како гранка на механиката на континуум се заснова на голем број хипотези, од кои главни треба да се наречат хипотези за континуитет и природна (позадинска) напонска состојба.
Според хипотезата за континуитет, сите тела се земаат како целосно континуирани и пред нанесувањето на оптоварување (пред деформација) и по неговото дејство. Во овој случај, секој волумен на телото останува цврст (континуиран), вклучувајќи го и елементарниот волумен, односно бескрајно малиот. Во овој поглед, деформациите на телото се сметаат за континуирани функции на координати кога материјалот на телото се деформира без да се формираат пукнатини или дисконтинуирани набори во него.
Хипотезата за природна стресна состојба претпоставува присуство на почетно (позадинско) ниво на напнатост во телото, обично земено како нула, а вистинските напрегања предизвикани од надворешно оптоварување се сметаат за зголемувања на стрес над природното ниво.
Заедно со горенаведените главни хипотези, во теоријата на стресот се усвоени и низа фундаментални принципи, меѓу кои, пред сè, неопходно е да се спомене обдарувањето на телата со идеална еластичност, сферична изотропија, совршена хомогеност и линеарна врска помеѓу напрегањата и деформациите.
Идеална еластичност е способноста на материјалите подложени на деформација да ја вратат својата првобитна форма (големина и волумен) по отстранувањето на надворешното оптоварување (надворешно влијание). Скоро сите карпи и повеќето градежни материјали имаат одреден степен на еластичност; овие материјали вклучуваат и течности и гасови.
Сферичната изотропија ги претпоставува истите својства на материјалите во сите правци на дејство на товарот; нејзиниот антипод е анизотропија, односно различноста на својствата во различни насоки (некои кристали, дрво, итн.). Во исто време, концептите на сферична изотропија и хомогеност не треба да се мешаат: на пример, хомогената структура на дрвото се карактеризира со анизотропија - разликата во јачината на дрвото долж и преку влакната. Еластичните, изотропните и хомогените материјали се карактеризираат со линеарна врска помеѓу напрегањата и напрегањата, опишана со Хуковиот закон, кој е дискутиран во соодветниот дел од учебникот.
Основниот принцип во теоријата на стрес (и деформација, меѓу другото) е принципот на локално дејство на самоурамнотежените надворешни оптоварувања - принципот Сен-Венант. Според овој принцип, избалансиран систем на сили што се применува на тело во која било точка (линија) предизвикува напрегање во материјалот што брзо се намалува со растојанието од местото каде што се нанесува товарот, на пример, според експоненцијален закон. Пример за такво дејство би било сечењето хартија со ножици, со што се деформира (сече) бесконечно мал дел од листот (линија), додека останатиот дел од листот хартија нема да се наруши, односно ќе дојде до локална деформација. Примената на принципот Saint-Venant помага да се поедностават математичките пресметки при решавање на проблемите за проценка на ДДВ со замена на дадено оптоварување кое е тешко математички да се опише со поедноставно, но еквивалентно.
Зборувајќи за предметот на проучување во теоријата на стрес, неопходно е да се даде дефиниција за самиот стрес, што се подразбира како мерка на внатрешните сили во телото, во одреден дел од него, распоредени по делот што се разгледува и спротивставување на надворешното оптоварување. Во овој случај, напрегањата што делуваат на попречната област и нормално на неа се нарекуваат нормални; соодветно, напрегањата паралелно со оваа област или допирањето ќе биде тангенцијално.
Разгледувањето на теоријата на стрес е поедноставено со воведување на следните претпоставки, кои практично не ја намалуваат точноста на добиените решенија:
Релативните издолжувања (скратувања), како и релативните поместувања (агли на смолкнување) се многу помали од единството;
Поместувањата на точките на телото при неговото деформирање се мали во споредба со линеарните димензии на телото;
Аглите на ротација на пресеците при виткање на телото се исто така многу мали во споредба со единството, а нивните квадрати се занемарливи во споредба со вредностите на релативните линеарни и аголни деформации.
ОСНОВИ НА ТЕОРИЈАТА НА ЕЛАСТИЧНОСТ
АКСИСИМЕТРИЧНИ ПРОБЛЕМИ НА ТЕОРИЈАТА НА ЕЛАСТИЧНОСТ
ОСНОВИ НА ТЕОРИЈАТА НА ЕЛАСТИЧНОСТ
Основни одредби, претпоставки и ознаки Равенки за рамнотежа за елементарен паралелепипед и елементарен тетраедар. Нормални и напрегања на смолкнување долж навалената платформа
Определување на главните напрегања и најголемите тангенцијални напрегања во точка. Напрегања долж октаедралните области Концепт на поместувања. Зависности помеѓу деформации и поместувања. Роднина
линеарна деформација во произволна насока.Равенки на компатибилност на деформации. Хуковиот закон за изотропно тело Рамнински проблем во правоаголни координати Рамнински проблем во поларните координати
Можни решенија за проблемите во теоријата на еластичност. Решенија на проблеми при поместувања и напрегања Присуство на температурно поле. Кратки заклучоци на делот ЕДНОСТАВНИ АКСИСИМЕТРИСКИ ПРОБЛЕМИ Равенки во цилиндрични координати Равенки во цилиндрични координати (продолжение)
Деформација на топчест сад со дебел ѕид Концентрирана сила што дејствува на рамнина
Посебни случаи на вчитување на еластичен полупростор: униформно оптоварување над површината на круг, оптоварување преку површина на круг над „хемисфера“, обратен проблем на притискање на апсолутно цврста топка во еластична полу- простор. Проблемот на еластичното пропаѓање на топчињата ЦЕВКИ СО ДЕБЕЛИ ЅИДИ
Генерални информации. Равенка на рамнотежа за елемент на цевка Проучување на напрегања под притисок на едно од кола. Услови на јакост при еластична деформација Напрегања во композитни цевки. Концептот на пресметување на повеќеслојни цевки Примери за пресметки
ПЛАЧКИ, МЕМБРАНИ Основни дефиниции и хипотези
Диференцијална равенка на крива средна површина на плоча во правоаголни координати Цилиндрично и сферично свиткување на плоча
Моменти на свиткување при осносиметрично свиткување на тркалезна плоча. Диференцијална равенка на крива средна површина на кружна плоча Гранични услови во кружни плочи. Најголеми напрегања и отклонувања. Услови на сила. Температурни напрегања во плочите
Одредување на силите во мембраните. Силите на синџирот и напрегањата. Приближно определување на отклонувања и напрегања во тркалезни мембрани Примери за пресметки Примери за пресметки (продолжение)
1.1 Основи, претпоставки и нотации
Теоријата на еластичност има за цел аналитички да ја проучува состојбата на напрегање-деформација на еластично тело. Решенијата добиени со користење на претпоставки за отпор може да се потврдат со помош на теоријата на еластичност
материјали, и се утврдени границите на применливост на овие решенија. Понекогаш делови од теоријата на еластичност, во кои, како и во јачината на материјалите, се разгледува прашањето за соодветноста на дел, но со користење на прилично сложен математички апарат (пресметка на плочи, школки, низи), се нарекуваат применетата теорија на еластичност.
Ова поглавје ги прикажува основните концепти на математичката линеарна теорија на еластичност. Примената на математиката при описот на физичките појави бара нивна шематизација. Во математичката теорија на еластичност, проблемите се решаваат со што е можно помалку претпоставки, што ги комплицира математичките техники што се користат за решението. Линеарната теорија на еластичност претпоставува постоење на линеарна врска помеѓу компонентите на напрегањето и напрегањето. За голем број материјали (гума, некои видови леано железо), таквата зависност не може да се прифати дури и при мали деформации: дијаграмот σ - ε во опсегот на еластичност има ист преглед и при товарење и при истовар, но во двата случаи тој е криволинеарен. При проучување на таквите материјали, неопходно е да се користат зависностите на нелинеарната теорија на еластичност.
ВО Математичката линеарна теорија на еластичност се заснова на следните претпоставки:
1. На континуитетот (континуитетот) на околината. Во овој случај, атомската структура на супстанцијата или присуствотосите празнини не се земаат предвид.
2. За природната состојба, врз основа на која не се зема предвид првичната напрегана (деформирана) состојба на телото што настанала пред примената на силите влијанија, односно се претпоставува дека во моментот на оптоварување на телото, деформациите и напрегањата во која било точка се еднакви на нула. Во присуство на почетни напрегања, оваа претпоставка ќе биде валидна само ако зависностите на линеарната теорија на еластичност може да се применат на добиените напрегања (збирот на почетните и оние што произлегуваат од влијанијата).
3. За хомогеноста, врз основа на која се претпоставува дека составот на телото е ист во сите точки. Ако во однос на металите оваа претпоставка не дава големи грешки, тогаш во однос на бетонот кога се разгледуваат малите волумени може да доведе до значителни грешки.
4. На сферична изотропија, врз основа на која се верува декаМеханичките својства на материјалот се исти во сите правци. Металните кристали го немаат ова својство, но за металот како целина, кој се состои од голем број мали кристали, можеме да претпоставиме дека оваа хипотеза е валидна. За материјали кои имаат различни механички својства во различни насоки, како што е ламинираната пластика, развиена е теорија на еластичност на ортотропните и анизотропните материјали.
5. На идеална еластичност, врз основа на која се претпоставува целосно исчезнување на деформацијата по отстранувањето на товарот. Како што е познато, преостанатата деформација се јавува кај реалните тела при секое оптоварување. Затоа претпоставката
6. На линеарниот однос помеѓу компонентите на деформациите инапони.
7. На малата деформација, врз основа на која се претпоставува дека релативните линеарни и аголни деформации се мали во споредба со единството. За материјали како што се гума или елементи како што се спирални пружини, развиена е теорија на големи еластични деформации.
Кога решаваме проблеми во теоријата на еластичност, ја користиме теоремата за единственоста на решението: ако дадената надворешна површина и волуметриските сили се во рамнотежа, тие одговараат на еден единствен систем на напрегања и поместувања.Предлогот за единственоста на решението е валиден само ако е валидна претпоставката за природната состојба на телото (во спротивно се можни бесконечен број решенија) и претпоставката за линеарна врска помеѓу деформациите и надворешните сили.
При решавање на проблеми во теоријата на еластичност, често се користи принципот Сен-Венант: Ако надворешните сили што се применуваат на мала површина на еластично тело се заменат со статички еквивалентен систем на сили што дејствуваат на истата област (имаат ист главен вектор и ист главен момент), тогаш оваа замена само ќе предизвика промена во локални деформации.
На места доволно оддалечени од местата каде што се применуваат надворешни оптоварувања, напрегањата зависат малку од начинот на нивната примена. Товарот, кој во текот на отпорот на материјалите беше шематски изразен врз основа на принципот Сен-Венан во форма на сила или концентриран момент, всушност претставува нормални и тангенцијални напрегања распоредени на еден или друг начин на одредена област. на површината на телото. Во овој случај, истата сила или пар сили може да одговараат на различни распределби на напрегањата. Врз основа на принципот Сен-Венант, можеме да претпоставиме дека промената на силите на дел од површината на телото нема речиси никакво влијание врз напрегањата во точките лоцирани на доволно големо растојание од местото каде што се применуваат овие сили (во споредба со линеарните димензии на оптоварениот дел).
Положбата на проучуваната област, избрана во телото (сл. 1), се определува со косинусите на насоката на нормалното N кон областа во избраниот систем на правоаголни координатни оски x, y и z.
Ако P е резултат на внатрешните сили кои дејствуваат долж елементарната област изолирана во точката A, тогаш вкупниот напрегање p N во оваа точка по површина со нормален N се дефинира како граница на односот во
следнава форма:
.
Векторот p N може да се разложи во просторот на три меѓусебно нормални компоненти.
2. На компонентите σ N , τ N s и τ N t во насоките нормални на локацијата (нормален стрес) и две меѓусебно нормални оски s и t (сл. 1, б) кои лежат во рамнината на локацијата (тангенцијална стресови). Според слика 1, б
Ако делот или областа на телото се паралелни со една од координатните рамнини, на пример y0z (сл. 2), тогаш нормалната на оваа област ќе биде третата координатна оска x и компонентите на напрегањето ќе бидат означени σ x, τ xy и τ xz.
Нормалниот напон е позитивен ако е затегнувач и негативен ако е компресивен. Знакот на напрегањето на смолкнување се одредува според следново правило: ако позитивно (затегнувачко) нормално напрегање по должината на локацијата дава позитивна проекција, тогаш тангенцијалната
напрегањето долж истата област се смета за позитивно под услов да дава и позитивна проекција на соодветната оска; ако нормалното напрегање на истегнување дава негативна проекција, тогаш позитивното напрегање на смолкнување треба да даде и негативна проекција на соодветната оска.
На сл. 3, на пример, сите компоненти на напрегањето што дејствуваат по лицата на елементарен паралелепипед што се совпаѓа со координатните рамнини се позитивни.
За да се одреди состојбата на напрегање во точка на еластично тело, потребно е да се знае вкупниот напон p N на три меѓусебно нормални области што минуваат низ оваа точка. Бидејќи секој вкупен напон може да се разложи на три компоненти, состојбата на напрегање ќе се одреди доколку се познати девет компоненти на напрегањето. Овие компоненти може да се напишат како матрица
,
наречена матрица на компоненти на тензор на напрегање во точка.
Секоја хоризонтална линија на матрицата содржи три компоненти на стрес кои делуваат на една област, бидејќи првите икони (името на нормалата) се исти. Секоја вертикална колона на тензорот содржи три напрегања паралелни на истата оска, бидејќи нивните втори икони (името на оската паралелна на која дејствува напрегањето) се исти.
1.2 Равенки за рамнотежа за елементарен паралелепипед
и елементарен тетраедар
Да избереме елементарен паралелепипед со димензии на рабовите dx, dy и dz во проучуваната точка A (со координати x, y и z) на напрегнато еластично тело со три меѓусебно нормални пара рамнини (сл. 2). По секоја од трите меѓусебно нормални лица соседни на точката А (најблиску до координатните рамнини), ќе дејствуваат три компоненти на напрегање - нормални и две тангенцијални. Претпоставуваме дека по должината на лицата до точката А тие се позитивни.
Кога се движите од лицето што минува низ точката А до паралелното лице, напрегањата се менуваат и добиваат зголемувања. На пример, ако долж лицето CAD што минува низ точката А, компонентите на напрегањето σ x = f 1 (x,y,z), τ xy =f 2 (x,y,z,), τ xz =f 3 (x , y,z,), тогаш по паралелното лице, поради зголемувањето на само една координата x при движење од едно лице на друго, ќе дејствува
компоненти на стрес Можно е да се одредат напрегањата на сите страни на елементарен паралелепипед, како што е прикажано на сл. 3.
Покрај напрегањата што се применуваат на лицата на елементарен паралелепипед, на него дејствуваат волуметриски сили: тежински сили, инерцијални сили. Да ги означиме проекциите на овие сили по единица волумен на координатните оски со X, Y и Z.
делувајќи на елементарен паралелепипед, потоа по намалувањето за производот dxdydz ја добиваме равенката
.
Откако составивме слични равенки за проекциите на силите на оските y и z, ќе напишеме три диференцијални равенки за рамнотежа на елементарен паралелепипед, добиени од Коши,
Кога димензиите на паралелепипедот се сведени на нула, тој се претвора во точка, а σ и τ ги претставуваат компонентите на напрегањето долж трите меѓусебно нормални области што минуваат низ точката А.
Ако го изедначиме со нула збирот на моментите на сите сили кои дејствуваат на елементарен паралелепипед во однос на оската x c паралелна на оската x и минуваат низ нејзиниот центар на гравитација, ќе ја добиеме равенката
или, земајќи го предвид фактот дека вториот и четвртиот член од равенката од повисок ред се мали во споредба со другите, по намалувањето за dxdydz
τ yz - τ zy = 0 или τ yz = τ zy.
Со составување слични равенки на моменти во однос на централните оски y c и z c, добиваме три равенки за законот за спарување на тангенцијални напрегања
τ xy = τ yx, τ yx = τ xy, τ zx = τ xz. (1.3)
Овој закон е формулиран на следниов начин:тангенцијалните напрегања кои дејствуваат по меѓусебно нормални области и насочени нормално на линијата на пресек на областите се еднакви по големина и идентични по знак.
Така, од деветте компоненти на стресот на матрицата на тензорот T σ, шест се еднакви во пар, а за да се одреди состојбата на стрес во една точка, доволно е да се најдат само следните шест компоненти на стрес:
.
Но, составените услови за рамнотежа ни дадоа само три равенки (1.2), од кои шест непознати не можат да се најдат. Така, директниот проблем за одредување на стресната состојба во точка е, во општиот случај, статички неодреден. За да се открие ова статичко неопределување, потребни се дополнителни геометриски и физички зависности.
Дозволете да сецираме елементарен паралелепипед во точката А со рамнина наклонета кон неговите лица; нека нормалното N на оваа рамнина има правец косинуси l, m и n. Добиената геометриска фигура (сл. 4) е пирамида со триаголна основа - елементарен тетраедар. Ќе претпоставиме дека точката А се совпаѓа со потеклото на координатите, а трите меѓусебно нормални лица на тетраедронот се совпаѓаат со координатните рамнини.
Ќе се разгледаат компонентите на стресот што делуваат долж овие лица на тетраедарот
позитивен. Тие се прикажани на сл. 4. Да ги означиме со , и проекциите на вкупниот напрегање p N кои делуваат по наклонетото лице на BCD тетраедарот на оските x, y и z. Да ја означиме областа на наклонетото лице BCD како dF. Тогаш површината на лицето АВС ќе биде dFп, површината на лицето ACD - dFl и лицето АДВ - dFт.
Ајде да создадеме рамнотежна равенка за тетраедар со проектирање на сите сили што дејствуваат долж неговите лица на оската x; проекцијата на телесната сила не е вклучена во проекциската равенка, па
бидејќи претставува количество од повисок ред на малиност во споредба со проекциите на површинските сили:
Откако ги составивме равенките за проекција на силите што дејствуваат на тетраедарот на оските y и z, добиваме уште две слични равенки. Како резултат на тоа, ќе имаме три равенки за рамнотежа за елементарен тетраедар
Дозволете ни да поделиме просторно тело со произволна форма со систем од меѓусебно нормални рамнини xOy, yOz и xOz (сл. 5) на голем број елементарни паралелепипеди. Во исто време, на површината на телото се формираат елементарни елементи.
тетраедари (кривилинеарните делови на површината, поради нивната мала, можат да се заменат со рамнини). Во овој случај, p N ќе го претставува оптоварувањето на површината, а равенките (1.4) ќе го поврзат ова оптоварување со напрегањата σ и τ во телото, т.е., тие ќе ги претставуваат граничните услови на проблемот на теоријата на еластичност. Условите определени со овие равенки се нарекуваат услови на површината.
Треба да се забележи дека во теоријата на еластичност, надворешните оптоварувања се претставени со нормални и тангенцијални напрегања кои се применуваат според некој закон на области кои се совпаѓаат со површината на телото.
1.3 Нормални напрегања и напрегања на смолкнување долж наклонетата падина
сајт
Да разгледаме елементарен тетраедар ABCD, чии три лица се паралелни на координатните рамнини, а нормалното N до четвртото лице прави агли со координатните оски, чии косинуси се еднакви на l, m и n (сл. 6 ). Ќе претпоставиме дека се дадени нормалните и тангентните компоненти на напрегањето кои делуваат по областите што лежат во координатните рамнини и ќе ги одредиме напрегањата на областа BCD. Ајде да избереме нов систем на правоаголни координатни оски x 1, y 1 и z 1, така што оската x 1 се совпаѓа со нормалната N,
Руски државен универзитет
нафта и гас именуван по. И.М.Губкина
Катедра за техничка механика
АПСТРАКТ
„Теорија на еластичност“
Завршил: Полјаков А. А.
Проверено од: Евдокимов А.П.
Москва 2011 година
теорија равенка на еластичност
1. Вовед
Теорија на состојба на стрес-деформација во точка од телото
2.1 Теорија на стрес
2 Теорија на деформација
3 Врска помеѓу напрегањето и деформацијата за еластични тела
Основни равенки на теоријата на еластичност. Видови проблеми во теоријата на еластичност
1 Основни равенки на теоријата на еластичност
2 Видови проблеми во теоријата на еластичност
4 Равенки на теоријата на еластичност во поместувања (Лејм равенки)
Варијацијални принципи на теоријата на еластичност
1 Принципот на можни движења (принцип на Лагранж)
2 Принципот на можни состојби (принципот на Кастиљано)
3 Врска помеѓу точното решение и решенијата добиени врз основа на принципите на Лагранж и Кастиљано
Список на користена литература
1. Вовед
Теориите за стрес и напор беа создадени од О. Коши. Тие се изложени во една работа претставена на Париската академија на науките во 1822 година, чие резиме е објавено во 1823 година и голем број последователни статии. О. Коши извел три рамнотежни равенки за елементарен тетраедар, го докажал законот за спарување на тангенцијални напрегања, ги вовел концептите на главни оски и главни напрегања и извел диференцијални равенки за рамнотежа (обично тие не се изведуваат во текот на јачината на материјалите) . Тој ја воведе и површината на нормалните напрегања (Cauchy quadric), на која се наоѓаат краевите на векторите на радиусот, чии насоки се совпаѓаат со насоката на нормалните кон областите, а вредноста е обратно пропорционална на квадратниот корен на апсолутната вредност на нормалното напрегање во оваа област, и се докажува дека оваа површина е површина од втор ред центрирана на почетокот. Можноста за трансформација на површината на нормалните напрегања на главните оски укажува на постоење во секоја точка од три меѓусебно главни нормални области.
Слична површина на тангенцијални напрегања воведе рускиот механичар Г.В. Колосов во 1933 година
Геометриска интерпретација на стресната состојба во вселената во форма на напонски елипсоид беше дадена од G. Lame и B. Clapeyron во нивните мемоари поднесени до Париската академија на науките во 1828 година и објавени во 1833 година.
К.
За општиот случај на нагласена состојба, многу јасна геометриска интерпретација на рамнина дала О. Море (т.н. Моровиот кружен дијаграм) во 1882 година. екстремитет на главните напрегања, положбата на областите во кои тангенцијалните напрегања се максимални и околу големините на овие максимални напрегања на смолкнување.
О. Коши даде дефиниција за деформации, ја изведе нивната зависност од поместувања во конкретниот случај на мали деформации (овие зависности, по правило, не се изведуваат во текот на јачината на материјалите), ги дефинираше концептите на главните напрегања и главни деформации , и се добиени зависностите на компонентите на напрегањето од деформационите компоненти, како за изотропното и анизотропното еластично тело. Во јачината на материјалите, обично се утврдуваат зависностите на компонентите на напрегањето од компонентите на стрес за изотропно тело. Тие се нарекуваат генерализиран закон на Хук, иако, се разбира, ова име е условно, бидејќи Р. Хук не го знаел концептот на напнатост.
Во овие зависности, Коши најпрво вовел две константи и ги запишал зависностите на стресот од деформација во форма
m, 
, 
Меѓутоа, подоцна О. Коши го прифатил концептот на L. Navier. Според него, еластичните тела се состојат од молекули, меѓу кои при деформирање настануваат сили кои дејствуваат во правците на прави линии што ги поврзуваат молекулите и се пропорционални на промената на растојанијата меѓу молекулите. Тогаш бројот на еластични константи за општ случај на анизотропно тело е 15, а за изотропно тело добиваме една еластична константа. До оваа хипотеза се придржувал С. Поасон, а првично Г. Ламе и Б. Клапејрон. Врз основа на него, Поасон утврдил дека коефициентот на попречна деформација е 1/4.
Д. Грин во 1839 година ја извел врската помеѓу напрегањата и напрегањата без да користи хипотеза за молекуларната структура на еластичните тела. Тој ги добил врз основа на принципот на зачувување на енергијата, воведувајќи го концептот на еластичен потенцијал и покажал дека при користење на линеарни зависности на шест компоненти на напрегање на шест компоненти на напрегање, од 36 коефициенти, 21 се независни, т.е. анизотропно тело, бројот на еластични константи е 21 За изотропно тело, бројот на еластични константи се намалува на две. Теоријата во која бројот на еластични константи за анизотропно тело е еднаков на 15, а за изотропно тело 1, понекогаш се нарекуваше „рариконстантна“ или „едноконстантна“, а теоријата во која бројот на еластични константи за анизотропно тело е еднакво на 21, а за изотропно тело 2 - „мултиконстантно“ .
Спорот меѓу поддржувачите на овие теории ги поттикна физичарите да спроведат експериментални истражувања.
G. Wertheim, врз основа на мерењата на внатрешните волумени на стаклените и металните цевки под аксијално напнатост, утврдил во 1848 година дека коефициентот на попречна деформација не е еднаков на 1/4. Тој сметаше дека е различно за различни материјали, но за многу материјали блиску до 1/3.
И ЈАС. Купфер, тестирајќи ги металните шипки во затегнатост и торзија во 1853 година, исто така откри дека односот на модулите во смолкнување и напнатост не одговара на вредноста на попречната деформација, еднаква на 1/4.
Во 1855 година, Ф. Нојман тестирал примероци од правоаголен пресек за свиткување и ги мери аглите на ротација на двете страни на гредата (пресекот добива трапезоидна форма). Како резултат на тоа, тој покажа дека коефициентот на попречно напрегање не е еднаков на 1/4. Г. Кирхоф, ученик на Ф. Нојман, дошол до истиот заклучок врз основа на тестовите извршени во 1859 година на комбинирано свиткување и торзија на тркалезни месингани прачки, вградени на едниот крај и натоварени на другиот со концентрирана сила, мерејќи аголот на вртење на шипката и аголот на вртење на пресекот .
Голема експериментална студија за коефициентите на попречна деформација за различни видови челик беше спроведена од еден од студентите на Г. Кирхоф, М.Ф. Окатов во 1865 - 1866 година Резултатите се претставени во неговата докторска дисертација.Тестовите на торзија и свиткување на тенки призми исечени од единечни кристали, како и тестови за компресибилноста на кристалите при подеднаква компресија беа извршени од В. Фојгт и опишани во неговите бројни статии, подоцна составени во книга објавена во 1910 година Тие ја потврдија исправноста на теоријата на мултиконстанта.
Продлабочено проучување на математичката структура на Хуковиот закон за анизотропни тела беше спроведено од механичарот и инженер Јан Рихлевски во 1984 година врз основа на концептот за еластична состојба што тој го воведе. Особено, тој покажа дека 21 еластична константа претставуваат шест вистински модули на вкочанетост, 12 дистрибутери на вкочанетост и три агли.
2. Теорија на состојба на напрегање-деформација на точка од телото
1 Теорија на стрес
Внатрешните фактори на сила што се појавуваат при оптоварување на еластично тело ја карактеризираат состојбата на одреден дел од телото, но не одговараат на прашањето која точка од пресекот е најоптоварена или, како што велат, опасната точка. Затоа, неопходно е да се воведе во предвид некоја дополнителна количина што ја карактеризира состојбата на телото во дадена точка.
Ако телото на кое се применуваат надворешни сили е во рамнотежа, тогаш силите на внатрешниот отпор се јавуваат во кој било дел од него. Дозволете да ја означиме со внатрешната сила што дејствува на елементарната област, а со нормалната на оваа област дотогаш количината
наречен вкупен напон.
Во општиот случај, вкупниот напон не се совпаѓа во насока со нормалата на елементарната област, така што е попогодно да се работи со неговите компоненти долж координатните оски -
Ако надворешната нормала се совпаѓа со која било координатна оска, на пример, со оската X, тогаш компонентите на напрегањето ќе ја добијат формата: компонентата излегува дека е нормална на пресекот и се нарекува нормален стрес, а компонентите ќе лежат во рамнина на пресекот и се нарекуваат тангенцијални напрегања.
За полесно да се разликуваат нормалните и тангенцијалните напрегања, обично се користат други ознаки: - нормално напрегање, - тангенцијално напрегање.
Да избереме од тело под дејство на надворешни сили бесконечно мал паралелепипед, чии рабови се паралелни со координатните рамнини, а рабовите имаат должина од . На секое лице на таков елементарен паралелепипед има три компоненти на напрегање паралелни со координатните оски. Севкупно, добиваме 18 компоненти на стрес на шест лица.
Нормалните напрегања се означуваат во форма, каде што индексот го означува нормалното на соодветното лице (т.е. може да има вредности). Тангенцијалните напрегања имаат форма; овде првиот индекс одговара на нормалата на областа на која делува овој напрегање на смолкнување, а вториот ја означува оската паралелна кон која е насочен ова напрегање (сл. 1).
Сл.1. Нормални и напрегања на смолкнување
За овие напони, усвоено е следново правило за знак. Нормалниот стрес се смета за позитивен во напнатоста, или, што е исто, кога се совпаѓа со насоката на надворешната нормала кон областа на која делува. Напрегањето на смолкнување се смета за позитивно ако, на површина чија нормала се совпаѓа со насоката на координатната оска паралелна со неа, е насочена кон позитивната координатна оска што одговара на ова напрегање.
Компонентите на стрес се функции на три координати. На пример, може да се означи нормалното напрегање во точка со координати
Во точка која е на бесконечно мало растојание од точката што се разгледува, напрегањето може да се прошири во серија на Тејлор со точност до бесконечно мали од прв ред:
За областите кои се паралелни на рамнината, се менува само координатата x и зголемувањата Затоа, на лицето на паралелепипедот што се совпаѓа со рамнината, нормалното напрегање ќе биде , а на паралелното лице, кое се наоѓа на бесконечно мало растојание, - Напрегањата на преостанатите паралелни страни на паралелепипедот се поврзани на сличен начин. Затоа, од 18 напонски компоненти, само девет се непознати.
Во теоријата на еластичноста е докажан законот за спарување на тангенцијални напрегања, според кој, на две меѓусебно нормални области, компонентите на тангенцијалните напрегања нормални на линијата на пресек на овие области се еднакви една со друга:
Еднаквостите (2) водат до фактот дека од деветте компоненти на стрес што ја карактеризираат напрегнатата состојба во точка на телото, остануваат само шест:
Може да се покаже дека стресот (3) не само што ја карактеризира стресната состојба на телото во дадена точка, туку ја дефинира уникатно. Комбинацијата на овие напрегања формира симетрична матрица, која се нарекува тензор на стрес:
(4)
Кога тензорот се множи со скаларна количина, се добива нов тензор, чиишто компоненти се пати поголеми од компонентите на оригиналниот тензор.
2 Теорија на деформација
Под влијание на надворешни оптоварувања, еластичното тело ја менува својата форма и се деформира. Во овој случај, точките на телото заземаат нова позиција. За да ја одредиме деформацијата на еластичното тело, ги споредуваме позициите на точките на телото пред и по нанесувањето на товарот.
Да ја разгледаме точката на истовареното тело и неговата нова положба по нанесувањето на товарот. Векторот се нарекува вектор на поместување на точки (сл. 2).
Сл.2. Вектор за движење на точка
Можни се два вида движења: движење на целото тело како единствена целина без деформација - таквите движења ги проучува теоретската механика како движења на апсолутно круто тело и движење поврзано со деформација на телото - таквите движења ги проучува теоријата. на еластичност.
Дозволете ни да ги означиме проекциите на векторот на поместување на точката на координатните оски со, соодветно. Тие се еднакви на разликата помеѓу соодветните координати на точките и:
и се функции на координатите:
Деформацијата на телото е предизвикана од разликите во движењата на неговите различни точки. Бесконечно мал паралелепипед со рабови исечени од еластично тело во близина на произволна точка, поради различни движења на неговите точки, се деформира на таков начин што должината на неговите рабови се менува и првично правите агли меѓу лицата се искривуваат.
Слика 3.3 покажува два рабови на овој паралелепипед: и должината на работ е еднаква на и должината на работ е
По деформацијата точките заземаат позиција.Во овој случај точката ќе добие поместување чии компоненти во рамнината на цртање се еднакви, а точка која се наоѓа на бесконечно мало растојание од точката ќе добие поместување, компонентите на што ќе се разликува од компонентите на поместувањето на точката за бесконечно мала количина поради промена на координатите
Сл.3. Линеарни и аголни деформации
Компонентите на движењето на точката ќе се разликуваат од компонентите на движењето на точката за бесконечно мала количина поради промена на координатата
Должина на проекцијата на реброто на оската по деформација:
Проекција на апсолутното издолжување на реброто на оската
Релативно издолжување долж оската
(6)
се нарекува линеарно напрегање во правец на оската.
Линеарни деформации по правците на оските и
(7)
Да ја разгледаме промената на аглите помеѓу рабовите на паралелепипедот (сл. 3). Тангента на аголот на ротација на реброто во рамнината
Поради малата деформација а, линеарната деформација може да се занемари поради нејзината маленост во однос на единството, а потоа
На сличен начин, можете да го одредите аголот на ротација на работ во истата рамнина:
Искривувањето на прав агол се нарекува аголна деформација и се дефинира како збир на аглите на ротација на ребрата и:
(8)
На ист начин, аголните деформации се одредуваат во две други координатни рамнини:
(9)
Формулите (6)-(9) даваат шест главни зависности за линеарни и аголни деформации на компонентите на поместување. Овие зависности се нарекуваат Коши равенки:
(10)
Во границата, кога должините на рабовите на паралелепипедот се стремат кон нула, односите на Коши ги одредуваат линеарните и аголните деформации во близина на точката.
Позитивните линеарни деформации одговараат на издолжувања, а негативните линеарни деформации одговараат на скратувања. Аголот на поместување се смета за позитивен кога аголот помеѓу позитивните насоки на соодветните координатни оски се намалува, а во спротивно е негативен.
Слично на тензорот на напрегање, деформираната состојба на телото во дадена точка е опишана со тензорот на напрегање
(11)
Како и тензорот на стрес, тензорот на напрегање е симетрична матрица која содржи девет компоненти, од кои шест се различни.
2.3 Врска помеѓу напрегањето и деформацијата за еластични тела
Односите помеѓу стресовите и напрегањата се од физичка природа. Ограничувајќи се на мали соеви, врската помеѓу стресот и напрегањето може да се смета за линеарна.
При тестирање на шипката за затегнување (механичкото тестирање на материјалите ќе се дискутира подетално во следниот дел), се воспоставува пропорционална врска помеѓу нормалното напрегање и линеарната деформација во една насока, што се нарекува Хуковиот закон:
каде што константата на еластичност се нарекува надолжен модул на еластичност.
Користејќи го истиот експериментален метод, беше воспоставена врска помеѓу линеарни деформации во надолжната и попречната насока:
каде е линеарната деформација во попречната насока, е втората еластична константа, наречена Поасонов сооднос.
Во механичките тестови за чисто смолкнување, беше воспоставена директно пропорционална врска помеѓу напрегањето на смолкнување и аголната деформација во рамнината на дејство на ова напрегање, што беше наречено Хуковиот закон при смолкнување:
каде што количеството е трета константа на еластичност и се нарекува модул на смолкнување. Меѓутоа, оваа еластична константа не е независна, бидејќи поврзани со првите две зависности
За да се утврди врската помеѓу деформациите и напрегањата, избираме бесконечно мал паралелепипед од телото (сл. 1) и го разгледуваме ефектот само на нормалните напрегања.Разликата во напрегањата на спротивните страни на паралелепипедот може да се занемари, бидејќи доведува до деформации од повисок ред на малечок.
Да го одредиме издолжувањето на реброто паралелно со напрегањето.Под дејство на овој напон, според Хуковиот закон (3.12), ќе дојде до релативно издолжување на реброто.
Напрегањето предизвикува слично издолжување во насока нормална на реброто
а во правец на работ - скратување што според (13) е
или, земајќи го предвид изразот на деформација
Слично се одредува релативното скратување на реброто под дејство на стрес
Врз основа на принципот на независност на дејството на силите, вкупното релативно издолжување на реброто може да се определи како збир на издолжувањата поради дејството на секое напрегање:
Слично на тоа, линеарни деформации може да се одредат во насоките на другите две оски:
Во согласност со Хуковиот закон во смолкнување (14), односот помеѓу аголните деформации и напрегањата на смолкнување може да се претстави независно за секоја од трите рамнини паралелни на координатните рамнини:
Така, добиени се шест формули кои ја изразуваат линеарната врска помеѓу компонентите на деформација и напрегање во изотропно еластично тело и се нарекуваат генерализиран Хуковиот закон:
(16)
3. Основни равенки на теоријата на еластичност. Видови проблеми во теоријата на еластичност
Основната задача на теоријата на еластичност е да ја одреди напрегање-деформирачката состојба според дадените услови на оптоварување и прицврстување на телото.
Состојбата напрегање-деформација се одредува доколку се најдат компонентите на тензорот (ите) на напрегање и векторот на поместување, девет функции.
3.1 Основни равенки на теоријата на еластичност
За да ги најдете овие девет функции, треба да ги запишете основните равенки на теоријата на еластичност или:
Диференцијални каучи
(17)
каде се компонентите на тензорот на линеарниот дел од деформацијата на Коши;
компоненти на тензорот на дериватот на поместување по радиусот.
Равенки на диференцијална рамнотежа
каде се компонентите на тензорот на стрес; - проекција на телесната сила на j оската.
Хуковиот закон за линеарно еластично изотропно тело
каде се Lame константите; за изотропно тело. Еве нормални и напрегања на смолкнување; деформации и агли на смолкнување, соодветно.
Горенаведените равенки мора да ги задоволуваат зависностите на Сен-Венант
Во теоријата на еластичност, проблемот се решава ако се задоволени сите основни равенки.
2 Видови проблеми во теоријата на еластичност
Мора да се задоволат граничните услови на површината на телото и, во зависност од видот на граничните услови, се разликуваат три вида проблеми во теоријата на еластичност.
Прв тип. Силите се дадени на површината на телото. Гранични услови
Втор тип. Проблеми во кои поместувањето е наведено на површината на телото. Гранични услови
Трет тип. Мешани проблеми на теоријата на еластичност. Силите се специфицирани на дел од површината на телото, а поместувањето е специфицирано на дел од површината на телото. Гранични услови
Проблемите во кои силите или поместувањата се наведени на површината на телото, а се бара да се најде состојбата на напрегање-деформација во телото и она што не е наведено на површината, се нарекуваат директни проблеми. Ако напрегањата, деформациите, поместувањата итн. се наведени внатре во телото, а треба да одредите што не е наведено внатре во телото, како и поместувања и напрегања на површината на телото (т.е. да ги пронајдете причините што предизвикале такво состојба напрегање-деформација)), тогаш ваквите проблеми се нарекуваат инверзни.
4 Равенки на теоријата на еластичност во поместувања (Лејм равенки)
За одредување на равенките на теоријата на еластичност во поместувањата пишуваме: равенки на диференцијална рамнотежа (18) 
Хуковиот закон за линеарно еластично изотропно тело (19)
Ако се земе предвид дека деформациите се изразуваат преку поместувања (17), пишуваме:
Исто така, треба да се потсети дека аголот на смолкнување е поврзан со поместувањата со следнава врска (17):
(23)
Заменувајќи го изразот (22) во првата равенка на еднаквости (19), ги добиваме нормалните напрегања
(24)
Забележете дека пишувањето itz во овој случај не подразбира сумирање над i.
Заменувајќи го изразот (23) во втората равенка на еднаквости (19), добиваме дека напрегањата на смолкнување
(25)
Да ги запишеме равенките за рамнотежа (18) во проширена форма за j = 1
(26)
Заменувајќи ги изразите за нормални (24) и тангенцијални (25) напрегања во равенката (26), добиваме
каде λ е Lame константа, која се определува со изразот:
Да го замениме изразот (28) во равенката (27) и да напишеме,
каде што е определено со изразот (22), или во проширена форма
Ајде да го поделиме изразот (29) со G и да додадеме слични членови и да ја добиеме првата Lame равенка:
(30)
каде е Лапласовиот оператор (хармоничен оператор), кој е дефиниран како
(31)
Слично, можете да добиете:
(32)
Равенките (30) и (32) може да се напишат на следниов начин:
(33)
Равенките (33) или (30) и (32) се Ламе равенки. Ако волуменските сили се нула или константни, тогаш
(34)
Згора на тоа, ознаката во овој случај не подразбира сумирање над i. Еве
Може да се покаже дека ваквото претставување на поместувањата преку хармонична функција ја претвора равенката Ламе (33) во идентитет. Тие често се нарекуваат услови Попкович-Гродски. Не се потребни четири хармонични функции, бидејќи φ0 може да се постави на нула.
4. Варијациони принципи на теоријата на еластичност.
1 Принципот на можни движења (принцип на Лагранж)
Принципот на Лагранж. За тело во рамнотежа, работата на надворешните и внатрешните сили при сите можни бесконечно мали зголемувања на поместувањето е нула.
Користејќи ја теоремата на Клапејрон, која за еластично деформирано тело со менување на поместувањето, го добиваме Лагранжовиот принцип
Во механиката на деформабилните тела, можни движења се оние што ги задоволуваат надворешните и внатрешните ограничувања наметнати на телото.
Надворешните врски се услови на прицврстување, внатрешните врски се услов на континуитет.
За да се задоволат внатрешните врски, неопходно е зголемувањата на поместувањето да бидат континуирани едновредни функции на координатите.
Во оваа форма, принципот на Лагранж важи за сите деформабилни тела.
За еластични тела беше откриено дека
(41)
Потоа (40), земајќи ја предвид (41), ќе се запише како
(42)
каде што W е специфичното сој, и
Овде U е варијацијата на вкупната потенцијална енергија на телото.
Да го замениме изразот (43) во (42), и бидејќи силите не варираат, го пишуваме тоа
(44)
Равенката (44) е варијациска равенка на Лагранж.
Ако силите се конзервативни, тогаш првите два интеграли ја претставуваат промената на потенцијалот на надворешните сили за време на преминот од недеформирана состојба во деформирана.
Потенцијал на надворешни сили
(45)
каде - можната работа на надворешните сили при преминот од недеформирана во деформирана состојба се пресметува под претпоставка дека надворешните сили остануваат непроменети. Вкупната енергија на системот
Потоа, земајќи ги предвид изразите (44) - (46), принципот Лагранж ќе биде напишан:
односно варијацијата на вкупната енергија на системот на рамнотежна положба на можни поместувања е нула. Изразот (47) е варијациска равенка на Лагранж во случај на дејство само на конзервативни сили.
Во стабилна положба на рамнотежа, вкупната енергија P е минимална,
Принципот на Лагранж е принципот на минимална енергија.
2 Принципот на можни состојби (принципот на Кастиљано)
Можни состојби ќе ги наречеме оние кои се во согласност со надворешните и внатрешните сили, односно оние кои ги задоволуваат равенките на рамнотежата.
Равенката (57) го пишува Принципот на Кастиљано. При евентуални промени во напрегнатата состојба на телото, варијацијата е еднаква на интегралот над оној дел од површината на телото на кој се специфицирани поместувања од производите на можни површински сили и поместувања.
3 Врска помеѓу точното решение и решенијата добиени врз основа на принципите на Лагранж и Кастиљано
Врз основа на принципот Лагранж, избирајќи некои функции, или множество од нив, и бидејќи множеството функции е ограничено, добиваме помал број на степени на слобода на системот, со што се намалуваат степените на слобода на дизајнот. Односно, во енергетска смисла, решението се покажува построго од точното.
Ако земеме интегрални карактеристики, тогаш приближното решение е построго интегрално.
При решавање на проблемот со оптоварување на едноставно поддржан зрак со попречна сила во средината на распонот (сл. 1), приближното решение ќе даде помало поместување под силата отколку со точното решение.
точно решение
Кога се решава истиот проблем користејќи го варијацискиот принцип на Кастиљано, бидејќи условот за континуитет не е задоволен, системот добива поголема слобода отколку во реалноста.
Точното решение лежи помеѓу овие два приближни методи (Лагранж и Кастиљано). Понекогаш разликата помеѓу добиените решенија е мала.
5. Список на користена литература
1. Александров А.В., Потапов В.Д. Основи на теоријата на еластичност и пластичност. 400 стр Виша школа 1990 г.
2. Веретимус Д.К. Основи на теоријата на еластичност Дел I. Теорија на напрегања Методолошки прирачник за предметот „Основи на теоријата на еластичност и пластичност“. 2005.-37s.
Веретимус Д.К. Основи на теоријата на еластичност Дел II.Теорија на деформации. Однос меѓу нагласени и деформирани состојби Методолошки прирачник за предметот „Основи на теоријата на еластичност и пластичност“, 2005.-53 стр.
Веретимус Д.К. Основи на теоријата на еластичност Дел III Основни равенки на теоријата на еластичност Видови проблеми во теоријата на еластичност Методолошки прирачник за предметот „Основи на теоријата на еластичност и пластичност“, 2005-45 стр.
Се вчитува...
