Како да нацртате фракциона линеарна функција. Дробна линеарна функција на часови по математика со учител

Почетна > Литература

Општински образовна институција

„Просечно сеопфатно училиштебр. 24"

Апстрактна работа заснована на проблем

за алгебра и принципи на анализа

Графикони на дробни рационални функции

Ученици од 11-то одделение А Наталија Сергеевна Товчегречко работен надзорник Валентина Василиевна Паршева наставник по математика, професор по високо образование категорија на квалификации

Северодвинск

Содржина 3Вовед 4Главен дел. Графикони на дробно-рационални функции 6 Заклучок 17 Литература 18

Вовед

Зацртувањето на графиконите на функциите е еден од најинтересните темиво училишната математика. Еден од најголемите математичари на нашето време, Израел Мојсеевич Гелфанд, напиша: „Процесот на конструирање графикони е начин на трансформирање на формулите и описите во геометриски слики. Овој график е средство за гледање на формули и функции и за гледање како тие функции се менуваат. На пример, ако е напишано y=x 2, тогаш веднаш гледате парабола; ако y=x 2 -4, гледате парабола спуштена за четири единици; ако y=4-x 2, тогаш ја гледате претходната парабола свртена надолу. Оваа способност да се види и формулата и нејзината геометриска интерпретација одеднаш е важна не само за изучување математика, туку и за други предмети. Тоа е вештина што останува со вас доживотно, како способноста да возите велосипед, да пишувате или да возите автомобил“. На часовите по математика градиме главно наједноставни графикони - графикони на елементарни функции. Дури во 11-то одделение научиле да конструираат посложени функции користејќи изводи. Кога читате книги:

НА. Вирченко, И.И. Љашко, К.И. Швецов. Директориум. Графикони на функции. Киев „Наукова Думка“ 1979 година В.С. Крамор. Повторете и систематизирајте училишен курсалгебра и почетоците на анализата. Москва „Просветителство“ 1990 година Ју.Н. Макаричев, Н.Г. Миндјук. Алгебра - 8 одделение. Дополнителни поглавја за училишниот учебник. Москва „Просветителство“, 1998 година И.М. Гелфанд, Е.Г. Глаголева, Е.Е. Шнол. Функции и графикони (основни техники). Издавачка куќа MCNMO, Москва 2004 година С.М. Николски. М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. Алгебра и почетоци на анализа: учебник за 11 одделение.
Видов дека графиконите на сложените функции можат да се конструираат без користење на деривати, т.е. на елементарни начини. Затоа, ја избрав темата на мојот есеј: „Графици на фракциони рационални функции“.

Цел на работата: да се проучат соодветните теоретски материјали, да се идентификува алгоритам за конструирање графикони на фракционо-линеарни и фракционо-рационални функции. Цели: 1. да ги формулира поимите за дробно-линеарни и фракционо-рационални функции врз основа на теоретски материјал од оваа тема; 2. најдете методи за конструирање графикони на дробно-линеарни и фракционо-рационални функции.

Главен дел. Графикони на дробни рационални функции

1. Дробно - линеарна функција и нејзиниот график

Веќе се запознавме со функцијата од формата y=k/x, каде k≠0, нејзините својства и графикон. Ајде да обрнеме внимание на една карактеристика на оваа функција. Функција y=k/x на множеството позитивни бројкиима својство дека со неограничено зголемување на вредностите на аргументот (кога x се стреми кон плус бесконечност), вредностите на функциите, додека остануваат позитивни, се стремат кон нула. При спуштање позитивни вредностиаргумент (кога x се стреми кон нула), вредностите на функцијата се зголемуваат без ограничување (y има тенденција кон плус бесконечност). Слична слика е забележана во комплетот негативни броеви. На графиконот (сл. 1), ова својство се изразува во фактот што точките на хиперболата, додека се оддалечуваат до бесконечност (надесно или лево, нагоре или надолу) од потеклото на координатите, неодредено се приближуваат до правиот линија: оската x, кога │x│ се стреми кон плус бесконечност, или до y-оската кога │x│ се стреми кон нула. Оваа линија се нарекува асимптоти на кривата.

Ориз. 1

Хиперболата y=k/x има две асимптоти: x-оската и y-оската. Концептот на асимптоти игра важна улогакога се конструираат графикони на многу функции. Користејќи ги трансформациите на графиконите на функции кои ни се познати, можеме да ја преместиме хиперболата y=k/x во координатна рамнинадесно или лево, горе или долу. Како резултат на тоа, ќе добиеме нови графикони на функции. Пример 1.Нека y=6/x. Да ја поместиме оваа хипербола надесно за 1,5 единици, а потоа да го поместиме добиениот график за 3,5 единици нагоре. Со оваа трансформација ќе се поместат и асимптотите на хиперболата y=6/x: оската x ќе оди во права линија y=3,5, оската y во права линија y=1,5 (сл. 2). Функцијата чиј график го нацртавме може да се специфицира со формулата

.

Да го претставиме изразот од десната страна на оваа формула како дропка:

Тоа значи дека на Слика 2 е прикажан график на функцијата дадена со формулата

.

Оваа дропка има броител и именител кои се линеарни биноми во однос на x. Таквите функции се нарекуваат дробни линеарни функции.

Во принцип, функција дефинирана со формула на формата
, Каде
x е променлива, a,б, в, г– дадени броеви, со c≠0 и
п.н.е- реклама≠0 се нарекува фракциона линеарна функција.Забележете дека барањето во дефиницијата дека c≠0 и
bc-ad≠0, значајно. Кога c=0 и d≠0 или bc-ad=0 добиваме линеарна функција. Навистина, ако c=0 и d≠0, тогаш

.

Ако bc-ad=0, c≠0, изразувајќи го b од оваа еднаквост преку a, c и d и заменувајќи го во формулата, добиваме:

Значи, во првиот случај добивме линеарна функција општ поглед
, во вториот случај – константа
. Сега да покажеме како да нацртаме линеарна фракциона функција ако е дадена со формула на формата
Пример 2.Ајде да ја нацртаме функцијата
, т.е. да го претставиме во форма
: го избираме целиот дел од дропката, делејќи го броителот со именителот, добиваме:

Значи,
. Гледаме дека графикот на оваа функција може да се добие од графикот на функцијата y=5/x користејќи две последователни поместувања: поместување на хиперболата y=5/x надесно за 3 единици, а потоа поместување на добиената хипербола
нагоре за 2 единици Со овие поместувања ќе се поместат и асимптотите на хиперболата y = 5/x: оската x 2 единици нагоре, а оската y 3 единици надесно. За да конструираме график, цртаме асимптоти во координатната рамнина со точки: права y=2 и права x=3. Бидејќи хиперболата се состои од две гранки, за да ја конструираме секоја од нив ќе составиме две табели: една за x<3, а другую для x>3 (т.е., првата е лево од точката на пресек на асимптотите, а втората е десно од неа):

Со означување на точките во координатната рамнина чии координати се означени во првата табела и поврзувајќи ги со мазна линија, добиваме една гранка на хиперболата. Слично (со користење на втората табела) ја добиваме втората гранка на хиперболата. Графикот на функции е прикажан на слика 3.

Ми се допаѓа секоја дропка
може да се напише на сличен начин, истакнувајќи го целиот негов дел. Следствено, графиците на сите дробни линеарни функции се хиперболи, поместени на различни начини паралелно со координатните оски и се протегаат по оската Oy.

Пример 3.

Ајде да ја нацртаме функцијата
.Бидејќи знаеме дека графикот е хипербола, доволно е да ги најдеме правите кон кои се приближуваат неговите гранки (асимптоти) и уште неколку точки. Ајде прво да ја најдеме вертикалната асимптота. Функцијата не е дефинирана каде што 2x+2=0, т.е. на x=-1. Според тоа, вертикалната асимптота е права линија x = -1. За да ја пронајдете хоризонталната асимптота, треба да погледнете на што се приближуваат вредностите на функцијата кога аргументот се зголемува (во апсолутна вредност), вторите членови во броителот и именителот на фракцијата
релативно мал. Затоа

.

Според тоа, хоризонтална асимптота е правата y=3/2. Да ги одредиме пресечните точки на нашата хипербола со координатните оски. На x=0 имаме y=5/2. Функцијата е еднаква на нула кога 3x+5=0, т.е. при x = -5/3. Откако ги означивме точките (-5/3;0) и (0;5/2) на цртежот и исцртувајќи ги пронајдените хоризонтални и вертикални асимптоти, ќе конструираме график (сл. 4) .

Генерално, за да ја пронајдете хоризонталната асимптота, треба да го поделите броителот со именителот, потоа y=3/2+1/(x+1), y=3/2 е хоризонталната асимптота.

2. Дробна рационална функција

Размислете за фракционата рационална функција

,

Во кои броителот и именителот се полиноми од n-то и мти степен. Дропката нека е правилна дропка (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и при том единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:Если:

Каде што k 1 ... k s се корените на полиномот Q (x), кои имаат, соодветно, множители m 1 ... m s, а триномите одговараат на паровите на конјугација комплексни корени Q (x) мноштво m 1 ... m t од дропка од формата

Се јави елементарен рационални дропки првиот, вториот, третиот и четвртиот тип, соодветно. Еве A, B, C, k - реални броеви; m и m - природни броеви, m, m>1; трином со реални коефициенти x 2 +px+q има имагинарни корени.Очигледно графикот на дробно-рационална функција може да се добие како збир од графикони на елементарни дропки. График на функција

Добиваме од графикот на функцијата 1/x m (m~1, 2, ...) користејќи паралелно преведување долж оската на апсцисата со │k│ скала единици надесно. График на функција на формата

Лесно е да се конструира ако изберете во именителот совршен квадрат, а потоа извршете го соодветното формирање на графикот на функцијата 1/x 2. Графикување на функција

се сведува на конструирање на производ од графикони од две функции:

y= Bx+ ВИ

Коментар. Графикување на функција

Каде а д-б в 0 ,
,

каде n - природен број, може да се изврши од општа шемаистражување на функција и цртање график во некои конкретни примериМожете успешно да конструирате график со извршување на соодветни трансформации на графикони; Најдобар начиндајте методи на виша математика. Пример 1.Графиконирајте ја функцијата

.

Откако го изолиравме целиот дел, имаме

.

Дропка
Да го претставиме како збир од елементарни дропки:

.

Ајде да изградиме графикони на функции:

По додавањето на овие графикони, добиваме график на дадената функција:

На сликите 6, 7, 8 се претставени примери за конструирање на графикони на функции
И
. Пример 2.Графикување на функција
:

(1);
(2);
(3); (4)

Пример 3.Исцртување на графикот на функција
:

(1);
(2);
(3); (4)

Заклучок

При изведување на апстрактна работа: - ги разјасни нејзините поими за фракционо-линеарни и фракционо-рационални функции: Дефиниција 1. Дробна линеарна функцијае функција од формата , каде што x е променлива, a, b, c и d се дадени броеви, со c≠0 и bc-ad≠0. Дефиниција 2.Дробната рационална функција е функција на формата

Каде што н

Создаде алгоритам за исцртување графикони на овие функции;

Стекнато искуство во зацртување функции како што се:

;

Научив да работам со дополнителна литература и материјали, да избирам научни информации; - стекнав искуство во изведување графички работи на компјутер; - Научив како да пишувам апстрактна работа базирана на проблем.

Прибелешка. Во пресрет на 21 век, бевме бомбардирани со бескраен тек на разговори и шпекулации за автопатот за информации и за претстојната ера на технологијата.

Во пресрет на 21 век, бевме бомбардирани со бескраен тек на разговори и шпекулации за автопатот за информации и за претстојната ера на технологијата.

Изборните предмети се една од облиците на организирање образовни, когнитивни и воспитно-истражувачки активности на средношколците

Документ

Оваа збирка е петти број подготвен од тимот на Московската градска педагошка гимназија-лабораторија бр. 1505 со поддршка на…….

Математика и искуство

Книга

Во трудот се прави обид за голема споредба на различните пристапи кон односот меѓу математиката и искуството, кои се развиле главно во рамките на априоризмот и емпиризмот.

секира +б
Дробната линеарна функција е функција на формата y = --- ,
cx +г

Каде x- променлива, а,б,в,г– некои бројки и в ≠ 0, реклама -п.н.е ≠ 0.

Својства на фракциона линеарна функција:

Графикот на линеарна фракциона функција е хипербола, која може да се добие од хиперболата y = k/x со помош на паралелни преводи по координатните оски. За да го направите ова, формулата на фракционата линеарна функција мора да биде претставена во следнава форма:

к
y = n + ---
x–m

Каде n- бројот на единици со кои хиперболата се поместува надесно или лево, м– бројот на единици за кои хиперболата се движи нагоре или надолу. Во овој случај, асимптотите на хиперболата се префрлаат на прави линии x = m, y = n.

Асимптота е права линија до која точките на кривата се приближуваат додека се оддалечуваат до бесконечноста (видете ја сликата подолу).

Што се однесува до паралелните трансфери, видете ги претходните делови.

Пример 1.Да ги најдеме асимптотите на хиперболата и да ја нацртаме функцијата:

x + 8
y = ---
x – 2

Решение:

к
Да ја претставиме дропката како n + ---
x–m

За ова x+ 8 пишуваме во следнава форма: x – 2 + 10 (т.е. 8 е претставена како –2 + 10).

x+ 8 x – 2 + 10 1(x – 2) + 10 10
--- = ----- = ------ = 1 + ---
x – 2 x – 2 x – 2 x – 2

Зошто изразот ја добил оваа форма? Одговорот е едноставен: направете го собирањето (сведувајќи ги двата члена на заеднички именител), и ќе се вратите на претходниот израз. Тоа е, ова е резултат на трансформирање на даден израз.

Значи, ги добивме сите потребни вредности:

k = 10, m = 2, n = 1.

Така, ги најдовме асимптотите на нашата хипербола (врз основа на фактот дека x = m, y = n):

Односно, една асимптота на хиперболата оди паралелно со оската yна растојание од 2 единици десно од него, а втората асимптота оди паралелно со оската xна растојание од 1 единица над него.

Ајде да изградиме график на оваа функција. За да го направите ова, ќе го направиме следново:

1) во координатната рамнина со точкаста линија нацртајте ги асимптотите – правата x = 2 и правата y = 1.

2) бидејќи хиперболата се состои од две гранки, тогаш за да ги конструираме овие гранки ќе составиме две табели: една за x<2, другую для x>2.

Прво, да ги избереме вредностите на x за првата опција (x<2). Если x = –3, то:

10
y = 1 + --- = 1 – 2 = –1
–3 – 2

Избираме произволно други вредности x(на пример -2, -1, 0 и 1). Пресметајте ги соодветните вредности y. Резултатите од сите добиени пресметки се внесуваат во табелата:

Сега да создадеме табела за опцијата x>2:

Во оваа лекција ќе ја разгледаме фракционата линеарна функција, ќе решаваме проблеми користејќи ја фракционата линеарна функција, модул, параметар.

Тема: Повторување

Лекција: Дробна линеарна функција

1. Поим и график на линеарна дробна функција

Дефиниција:

Функција на формата:

На пример:

Да докажеме дека графикот на оваа линеарна фракциона функција е хипербола.

Ајде да ги извадиме двете од загради во броителот и да добиеме:

Имаме x и во броителот и во именителот. Сега се трансформираме така што изразот се појавува во броителот:

Сега да го намалиме членот на дропката по член:

Очигледно, графикот на оваа функција е хипербола.

Можеме да предложиме втор метод на докажување, имено, да го поделиме броителот со именителот во колона:

Добив:

2. Скцицирање график на линеарна фракциона функција

Важно е да може лесно да се конструира график на линеарна фракциона функција, особено да се најде центарот на симетрија на хиперболата. Да го решиме проблемот.

Пример 1 - скицирај график на функција:

Ние веќе ја конвертиравме оваа функција и добивме:

За да го конструираме овој график, нема да ги поместиме оските или самата хипербола. Ние користиме стандарден метод за конструирање на графикони на функции, користејќи присуство на интервали со постојан знак.

Ние дејствуваме според алгоритмот. Прво, да ја испитаме дадената функција.

Така, имаме три интервали на константен знак: на крајната десница () функцијата има знак плус, потоа знаците се менуваат, бидејќи сите корени го имаат првиот степен. Значи, на интервал функцијата е негативна, на интервал функцијата е позитивна.

Конструираме скица на графиконот во близина на корените и точките на прекин на ОДЗ. Имаме: бидејќи во една точка знакот на функцијата се менува од плус во минус, кривата е прво над оската, потоа поминува низ нула и потоа се наоѓа под оската x. Кога именителот на дропка е практично еднаков на нула, тоа значи дека кога вредноста на аргументот се стреми кон три, вредноста на дропката се стреми кон бесконечност. Во овој случај, кога аргументот се приближува до тројката лево, функцијата е негативна и се стреми кон минус бесконечност, десно функцијата е позитивна и остава плус бесконечност.

Сега градиме скица на графикот на функцијата во близина на точки на бесконечност, односно кога аргументот се стреми кон плус или минус бесконечност. Во овој случај, постојаните термини може да се занемарат. Ние имаме:

Така, имаме хоризонтална асимптота и вертикална, центарот на хиперболата е точката (3;2). Да илустрираме:

Ориз. 1. График на хипербола на пример 1

3. Дробна линеарна функција со модул, нејзиниот график

Проблемите со фракциона линеарна функција може да се комплицираат со присуство на модул или параметар. За да изградите, на пример, график на функцијата, мора да го следите следниов алгоритам:

Ориз. 2. Илустрација за алгоритмот

Добиениот график има гранки кои се над оската x и под x-оската.

1. Применете го наведениот модул. Во овој случај, делови од графиконот лоцирани над оската x остануваат непроменети, а оние што се наоѓаат под оската се огледуваат во однос на оската x. Добиваме:

Ориз. 3. Илустрација за алгоритмот

Пример 2 - нацртајте функција:

Ориз. 4. График на функции на пример 2

4. Решение на линеарна дробна равенка со параметар

Размислете за следнава задача - конструирај график на функцијата. За да го направите ова, мора да го следите следниов алгоритам:

1. Графиконирајте ја субмодуларната функција

Да претпоставиме дека го добиваме следниот график:

Ориз. 5. Илустрација за алгоритмот

1. Применете го наведениот модул. За да разберете како да го направите ова, ајде да го прошириме модулот.

Така, за вредностите на функциите со вредности на не-негативни аргументи, нема да се појават промени. Во однос на втората равенка, знаеме дека се добива со тоа што симетрично се пресликува околу y-оската. имаме график на функцијата:

Ориз. 6. Илустрација за алгоритмот

Пример 3 - нацртајте функција:

Според алгоритмот, прво треба да изградите график на субмодуларната функција, ние веќе ја изградивме (види Слика 1)

Ориз. 7. График на функција на пример 3

Пример 4 - најдете го бројот на корените на равенката со параметар:

Потсетете се дека решавањето на равенката со параметар значи поминување низ сите вредности на параметарот и означување на одговорот за секоја од нив. Постапуваме според методологијата. Прво, градиме график на функцијата, тоа веќе го направивме во претходниот пример (види Слика 7). Следно, треба да го сецирате графикот со семејство на линии за различни а, да ги пронајдете пресечните точки и да го запишете одговорот.

Гледајќи го графикот, го запишуваме одговорот: кога и равенката има две решенија; кога равенката има едно решение; кога равенката нема решенија.

Во оваа лекција ќе ја разгледаме фракционата линеарна функција, ќе решаваме проблеми користејќи ја фракционата линеарна функција, модул, параметар.

Тема: Повторување

Лекција: Дробна линеарна функција

Дефиниција:

Функција на формата:

На пример:

Да докажеме дека графикот на оваа линеарна фракциона функција е хипербола.

Ајде да ги извадиме двете од загради во броителот и да добиеме:

Имаме x и во броителот и во именителот. Сега се трансформираме така што изразот се појавува во броителот:

Сега да го намалиме членот на дропката по член:

Очигледно, графикот на оваа функција е хипербола.

Можеме да предложиме втор метод на докажување, имено, да го поделиме броителот со именителот во колона:

Добив:

Важно е да може лесно да се конструира график на линеарна фракциона функција, особено да се најде центарот на симетрија на хиперболата. Да го решиме проблемот.

Пример 1 - скицирај график на функција:

Ние веќе ја конвертиравме оваа функција и добивме:

За да го конструираме овој график, нема да ги поместиме оските или самата хипербола. Ние користиме стандарден метод за конструирање на графикони на функции, користејќи присуство на интервали со постојан знак.

Ние дејствуваме според алгоритмот. Прво, да ја испитаме дадената функција.

Така, имаме три интервали на константен знак: на крајната десница () функцијата има знак плус, потоа знаците се менуваат, бидејќи сите корени го имаат првиот степен. Значи, на интервал функцијата е негативна, на интервал функцијата е позитивна.

Конструираме скица на графиконот во близина на корените и точките на прекин на ОДЗ. Имаме: бидејќи во една точка знакот на функцијата се менува од плус во минус, кривата е прво над оската, потоа поминува низ нула и потоа се наоѓа под оската x. Кога именителот на дропка е практично еднаков на нула, тоа значи дека кога вредноста на аргументот се стреми кон три, вредноста на дропката се стреми кон бесконечност. Во овој случај, кога аргументот се приближува до тројката лево, функцијата е негативна и се стреми кон минус бесконечност, десно функцијата е позитивна и остава плус бесконечност.

Сега конструираме скица на графикот на функцијата во близина на точки на бесконечност, т.е. кога аргументот се стреми кон плус или минус бесконечност. Во овој случај, постојаните термини може да се занемарат. Ние имаме:

Така, имаме хоризонтална асимптота и вертикална, центарот на хиперболата е точката (3;2). Да илустрираме:

Ориз. 1. График на хипербола на пример 1

Проблемите со фракциона линеарна функција може да се комплицираат со присуство на модул или параметар. За да изградите, на пример, график на функцијата, мора да го следите следниов алгоритам:

Ориз. 2. Илустрација за алгоритмот

Добиениот график има гранки кои се над оската x и под x-оската.

1. Применете го наведениот модул. Во овој случај, делови од графиконот лоцирани над оската x остануваат непроменети, а оние што се наоѓаат под оската се огледуваат во однос на оската x. Добиваме:

Ориз. 3. Илустрација за алгоритмот

Пример 2 - нацртајте функција:

Ориз. 4. График на функции на пример 2

Размислете за следнава задача - конструирај график на функцијата. За да го направите ова, мора да го следите следниов алгоритам:

1. Графиконирајте ја субмодуларната функција

Да претпоставиме дека го добиваме следниот график:

Ориз. 5. Илустрација за алгоритмот

1. Применете го наведениот модул. За да разберете како да го направите ова, ајде да го прошириме модулот.

Така, за вредностите на функциите со вредности на не-негативни аргументи, нема да се појават промени. Во однос на втората равенка, знаеме дека се добива со тоа што симетрично се пресликува околу y-оската. имаме график на функцијата:

Ориз. 6. Илустрација за алгоритмот

Пример 3 - нацртајте функција:

Според алгоритмот, прво треба да изградите график на субмодуларната функција, ние веќе ја изградивме (види Слика 1)

Ориз. 7. График на функција на пример 3

Пример 4 - најдете го бројот на корените на равенката со параметар:

Потсетете се дека решавањето на равенката со параметар значи поминување низ сите вредности на параметарот и означување на одговорот за секоја од нив. Постапуваме според методологијата. Прво, градиме график на функцијата, тоа веќе го направивме во претходниот пример (види Слика 7). Следно, треба да го сецирате графикот со семејство на линии за различни а, да ги пронајдете пресечните точки и да го запишете одговорот.

Гледајќи го графикот, го запишуваме одговорот: кога и равенката има две решенија; кога равенката има едно решение; кога равенката нема решенија.

Еве ги коефициентите за Xа слободните членови во броителот и именителот се дадени реални броеви. Графикот на линеарна фракциона функција во општ случај е хипербола.

Наједноставната фракциона линеарна функција y = -ти-

штрајкови обратна пропорционална врска; хиперболата што ја претставува е добро позната од средношколските курсеви (сл. 5.5).

Ориз. 5.5

Пример. 5.3

Нацртај график на линеарна фракциона функција:

• 1. Бидејќи оваа дропка нема смисла кога x = 3, Тоа домен на функцијата Xсе состои од два бесконечни интервали:
• 3) и (3; +°°).

2. Со цел да се проучи однесувањето на функцијата на границата на доменот на дефиниција (т.е. кога X-»3 и на X-> ±°°), корисно е да се трансформира овој израз во збир од два члена како што следува:

Бидејќи првиот член е константен, однесувањето на функцијата на границата всушност се одредува со вториот, променлив член. Откако го проучувале процесот на неговата промена, кога X-> 3 и X->±°°, ги изведуваме следните заклучоци во врска со дадената функција:

• а) за x->3 десно(т.е. за *>3) вредноста на функцијата се зголемува без ограничување: на-> +°°: на x->3 лево(т.е. при x y - Така, саканата хипербола се приближува до права линија без ограничување со равенката x = 3 (долу левоИ горе десно)а со тоа оваа права линија е вертикална асимптотахипербола;
• б) кога x ->±°° вториот член се намалува без ограничување, па вредноста на функцијата се приближува до првиот, константен член без ограничување, т.е. да вреднува y = 2. Во овој случај, графикот на функцијата се приближува без ограничување (долу лево и горе десно) на правата линија дадена со равенката y = 2; така што оваа линија е хоризонтална асимптотахипербола.

Коментар.Информациите добиени во овој дел се најважни за карактеризирање на однесувањето на графикот на функцијата во оддалечениот дел од рамнината (фигуративно кажано, во бесконечност).

• 3. Претпоставувајќи l = 0, наоѓаме y = ~.Затоа, саканиот хи-

перболата ја пресекува оската ОУво точката M x = (0;-^).

• 4. Функција нула ( на= 0) ќе биде кога X= -2; затоа, оваа хипербола ја пресекува оската Ово точката М 2 (-2; 0).
• 5. Дропката е позитивна ако броителот и именителот имаат ист знак, а негативна ако имаат различни знаци. Решавајќи ги соодветните системи на неравенки, откриваме дека функцијата има два позитивни интервали: (-°°; -2) и (3; +°°) и еден негативен интервал: (-2; 3).
• 6. Претставувањето на функцијата како збир од два члена (види точка 2) го прави прилично лесно откривањето на два интервали на намалување: (-°°; 3) и (3; +°°).
• 7. Очигледно, оваа функција нема екстреми.
• 8. Поставете Y од вредностите на оваа функција: (-°°; 2) и (2; +°°).
• 9. Исто така, нема парни, непарни или периодичности. Собраните информации се доволни за шематски

нацртајте хипербола графичкиодразувајќи ги својствата на оваа функција (сл. 5.6).

Ориз. 5.6

Се нарекуваат функциите што се дискутирани до овој момент алгебарски.Ајде сега да продолжиме да размислуваме трансценденталенфункции.