Првата извонредна граница. Извонредни граници. Примери на решенија

Најдете прекрасни границиТешко е не само за многу студенти од прва и втора година кои ја изучуваат теоријата на граници, туку и за некои наставници.

Формула за првата извонредна граница

Последици од првата извонредна граница да го напишеме во формули
1. 2. 3. 4. Но сами по себе општи формулиизвонредните граници никому не му помагаат на испит или тест. Поентата е дека вистинските задачи се конструирани така што сепак треба да дојдете до формулите напишани погоре. И мнозинството студенти кои пропуштаат часови, го учат овој курс во отсуство или имаат наставници кои самите не секогаш разбираат што објаснуваат, не можат да ги пресметаат најелементарните примери до забележителни граници. Од формулите на првата забележителна граница гледаме дека со нивна помош е можно да се проучуваат неодредености од типот нула поделена со нула за изрази со тригонометриски функции. Прво да разгледаме голем број примери на првата извонредна граница, а потоа да ја проучиме втората извонредна граница.

Пример 1. Најдете ја границата на функцијата sin(7*x)/(5*x)
Решение: Како што можете да видите, функцијата под лимитот е блиску до првата забележителна граница, но границата на самата функција дефинитивно не е еднаква на една. Во овој вид на задачи за лимити, треба да се избере во именителот променлива со истиот коефициент што се содржи во променливата под синусот. Во овој случај, подели и множи со 7

За некои таквите детали ќе изгледаат непотребни, но за повеќето студенти кои имаат потешкотии со ограничувањата, тоа ќе им помогне подобро да ги разберат правилата и да го совладаат теоретскиот материјал.
Исто така, ако постои инверзна форма на функција, ова е и првата прекрасна граница. И сето тоа затоа што прекрасната граница е еднаква на една

Истото правило важи и за последиците од првата извонредна граница. Затоа, ако ве прашаат: „Која е првата извонредна граница? Без двоумење треба да одговорите дека е единица.

Пример 2. Најдете ја границата на функцијата sin(6x)/tan(11x)
Решение: За да го разбереме конечниот резултат, да ја напишеме функцијата во форма

За да ги примените правилата на извонредната граница, множете се и делете со фактори

Следно, ја запишуваме границата на производ на функции преку производот на граници

Без сложени формули, ја најдовме границата на чашката тригонометриски функции. За асимилација едноставни формулиобидете се да дојдете до и да ја пронајдете границата на 2 и 4, формулата за последица 1 од прекрасната граница. Ќе разгледаме посложени проблеми.

Пример 3: Пресметајте ја границата (1-cos(x))/x^2
Решение: При проверка со замена добиваме неизвесност 0/0. Многу луѓе не знаат како да го намалат таков пример на една извонредна граница. Тука треба да користите тригонометриска формула

Во овој случај, границата ќе се трансформира во јасна форма

Успеавме да ја намалиме функцијата на квадрат од извонредна граница.

Пример 4. Најдете ја границата
Решение: При замена, ја добиваме познатата карактеристика 0/0. Сепак, променливата се стреми кон Pi наместо нула. Затоа, за да ја примениме првата забележителна граница, ќе извршиме таква промена во променливата x така што новата променлива оди на нула. За да го направите ова, именителот го означуваме како нова променлива Pi-x=y

Така, користејќи ја тригонометриската формула дадена во претходната задача, примерот е намален на 1 забележителна граница.

Пример 5: Пресметајте го лимитот
Решение: Отпрвин не е јасно како да се поедностават границите. Но, бидејќи има пример, тогаш мора да има одговор. Фактот дека променливата оди до единство дава, при замена, карактеристика на формата нула помножена со бесконечност, така што тангентата мора да се замени со помош на формулата

По ова ја добиваме потребната несигурност 0/0. Следно, вршиме промена на променливите во границата и ја користиме периодичноста на котангенсот

Најнови заменидозволете ни да го искористиме заклучокот 1 од извонредната граница.

Втората извонредна граница е еднаква на експоненцијалната

Ова е класика што не е секогаш лесно да се достигне при проблеми со реални ограничувања.
Во пресметките ќе ви требаат границите се последици од втората извонредна граница:
1. 2. 3. 4.
Благодарение на втората извонредна граница и нејзините последици, можно е да се истражат неизвесностите како нула поделена со нула, еден до моќта на бесконечноста и бесконечност поделена со бесконечност, па дури и до ист степен

Да почнеме со едноставни примери.

Пример 6. Најдете ја границата на функцијата
Решение: Директната примена на второто извонредно ограничување нема да работи. Прво, треба да го трансформирате експонентот така што да изгледа како обратно од поимот во загради

Ова е техника на намалување на 2-та извонредна граница и, во суштина, изведување на втората формула за последица на границата.

Пример 7. Најдете ја границата на функцијата
Решение: Имаме задачи за формула 3 од заклучокот 2 на прекрасна граница. Со замена на нула се добива сингуларитет на формата 0/0. За да ја подигнеме границата на правило, го вртиме именителот така што променливата го има истиот коефициент како во логаритамот

Исто така е лесно да се разбере и да се изврши на испитот. Тешкотиите на учениците во пресметувањето на границите започнуваат со следните проблеми.

Пример 8. Пресметајте ја границата на функцијата[(x+7)/(x-3)]^(x-2)
Решение: Имаме сингуларитет од тип 1 до моќта на бесконечноста. Ако не ми верувате, можете да ја замените бесконечноста за „Х“ насекаде и да се уверите во тоа. За да конструираме правило, го делиме броителот со именителот во загради; за да го направиме ова, прво ги извршуваме манипулациите

Ајде да го замениме изразот во граница и да го претвориме во 2 прекрасни ограничувања

Границата е еднаква на експоненцијалната моќност од 10. Константите кои се термини со променлива, и во загради и во степен, не воведуваат никакво „време“ - ова треба да се запомни. И ако вашите наставници ве прашаат: „Зошто не го претворате индикаторот? (За овој пример во x-3), тогаш кажете дека „Кога променливата се стреми кон бесконечност, тогаш дури и додадете 100 на неа или одземете 1000, и границата ќе остане иста како што беше!“
Постои втор начин да се пресметаат границите од овој тип. Ќе зборуваме за тоа во следната задача.

Пример 9. Најдете ја границата
Решение: Сега да ја извадиме променливата во броителот и именителот и да претвориме една карактеристика во друга. За да ја добиеме конечната вредност, ја користиме формулата за последица 2 од извонредната граница

Пример 10. Најдете ја границата на функцијата
Решение: Не секој може да ја најде дадената граница. За да ја подигнете границата на 2, замислете дека sin (3x) е променлива и треба да го свртите експонентот

Следно, го запишуваме индикаторот како моќност на моќност


Средните аргументи се опишани во загради. Како резултат на користењето на првата и втората извонредна граница, ја добивме експоненцијалната во коцка.

Пример 11. Пресметајте ја границата на функцијата sin(2*x)/ln(3*x+1)
Решение: Имаме неизвесност на формата 0/0. Покрај тоа, гледаме дека функцијата треба да се конвертира за да ги користи двете прекрасни граници. Да ги извршиме претходните математички трансформации

Понатаму, без тешкотии, границата ќе ја земе вредноста

Вака ќе се чувствувате слободни на задачи, тестови, модули ако научите брзо да запишувате функции и да ги намалите на првата или втората прекрасна граница. Ако ви е тешко да ги запаметите дадените методи за наоѓање граници, тогаш секогаш можете да нарачате тестдо нашите граници.
За да го направите ова, пополнете го формуларот, обезбедете податоци и прикачете датотека со примери. Им помогнавме на многу студенти - можеме да ви помогнеме и вам!

Првата извонредна граница често се користи за пресметување на граници кои содржат синус, лак, тангента, арктангента и добиените неодредености на нула поделена со нула.

Формула

Формулата за првата извонредна граница е: $$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin\alpha)(\alpha) = 1 $$

Забележуваме дека за $ \alpha\to 0 $ добиваме $ \sin\alpha \до 0 $, така што имаме нули во броителот и именителот. Така, формулата на првата извонредна граница е потребна за да се откријат неизвесностите $ \frac(0)(0) $.

За да се примени формулата, мора да се исполнат два услови:

1. Изразите содржани во синусот и именителот на дропката се исти
2. Изразите во синус и именителот на дропка имаат тенденција на нула

Внимание! $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(2x^2+1))(2x^2+1) \neq 1 $ Иако изразите под синусот и во именителот се исти, сепак $ 2x ^2+1 = 1 $, на $ x\ до 0 $. Вториот услов не е исполнет, затоа формулата НЕ МОЖЕТЕ да ја примените!

Последици

Сосема ретко во задачите можете да видите чиста прва прекрасна граница, во која веднаш би можеле да го запишете одговорот. Во пракса, сè изгледа малку покомплицирано, но за такви случаи ќе биде корисно да се знаат последиците од првата извонредна граница. Благодарение на нив, можете брзо да ги пресметате потребните граници.

$$ \lim_(\алфа\до 0) \frac(\алфа)(\sin\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\алфа\до 0) \frac(\sin(a\alpha))(\sin(b\alpha)) = \frac(a)(b) $$

$$ \lim_(\алфа\до 0) \frac(tg\алфа)(\алфа) = 1 $$

$$ \lim_(\алфа\до 0) \frac(\arcsin\алфа)(\алфа) = 1 $$

$$ \lim_(\алфа\до 0) \frac(arctg\алфа)(\алфа) = 1 $$

Примери на решенија

Ајде да ја разгледаме првата извонредна граница, примери на нејзиното решение за пресметување граници што содржат тригонометриски функции и неизвесност $ \bigg[\frac(0)(0)\bigg] $

Пример 1

Пресметајте $ \lim_(x\до 0) \frac(\sin2x)(4x) $

Решение

Да ја погледнеме границата и да забележиме дека содржи синус. Следно, ги заменуваме $ x = 0 $ во броителот и именителот и ја добиваме неизвесноста нула поделена со нула: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \frac(0)(0 ) $$ Веќе два знака дека треба да примениме прекрасна граница, но има мала нијанса: не можеме веднаш да ја примениме формулата, бидејќи изразот под синусниот знак се разликува од изразот во именителот. И ние треба тие да бидат еднакви. Затоа, со помош елементарни трансформацииброител ќе го претвориме во $2x$. За да го направите ова, ќе ги извадиме двете од именителот на дропката како посебен фактор. Изгледа вака: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2\cdot 2x) = $$ $$ = \frac(1)(2) \lim_(x\до 0) \frac(\sin2x)(2x) = \frac(1)(2)\cdot 1 = \frac(1)(2) $$ Ве молиме забележете дека на крајот $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = 1 $ е добиен според формулата. Ако не можете да го решите вашиот проблем, тогаш испратете го кај нас. Ние ќе обезбедиме детално решение. Ќе можете да го видите напредокот на пресметката и да добиете информации. Ова ќе ви помогне да ја добиете вашата оценка од вашиот наставник навремено!

Одговори

$$ \lim_(x\до 0) \frac(\sin2x)(4x) =\frac(1)(2) $$

Пример 2

Најдете $ \lim_(x\до 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) $

Решение

Како и секогаш, прво треба да го знаете типот на неизвесност. Ако е нула поделена со нула, тогаш обрнуваме внимание на присуството на синус: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = \frac(0) (0) = $$ Оваа несигурност ни овозможува да ја користиме формулата на првата забележителна граница, но изразот од именителот не е еднаков на аргументот на синусот? Затоа, формулата не може да се примени „главно“. Неопходно е да се помножи и подели дропот со аргументот на синусот: $$ = \lim_(x\до 0) \frac((x^3+2x)\sin(x^3+2x))((2x -x^4)(x ^3+2x)) = $$ Сега ги запишуваме својствата на границите: $$ = \lim_(x\до 0) \frac((x^3+2x))(2x -x^4)\cdot \lim_(x \to 0) \frac(\sin(x^3+2x))((x^3+2x)) = $$ Втората граница точно одговара на формулата и е еднаква до еден: $$ = \lim_(x\до 0 ) \frac(x^3+2x)(2x-x^4)\cdot 1 = \lim_(x\до 0) \frac(x^3+2x )(2x-x^4) = $$ Заменете повторно $ x = 0 $ во дропка и ја добиваме неизвесноста $ \frac(0)(0) $. За да го елиминирате, доволно е да извадите $ x $ од заградите и да го намалите за: $$ = \lim_(x\ до 0) \frac(x(x^2+2))(x(2-x^ 3)) = \ lim_(x\до 0) \frac(x^2+2)(2-x^3) = $$ $$ = \frac(0^2 + 2)(2 - 0^3) = \frac(2)(2) = 1 $$

Одговори

$$ \lim_(x\до 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = 1 $$

Пример 4

Пресметајте $ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) $

Решение

Да ја започнеме пресметката со замената $ x=0 $. Како резултат на тоа, ја добиваме неизвесноста $ \frac(0)(0) $. Границата содржи синус и тангента, што навестува можен развој на ситуацијата користејќи ја формулата на првата забележителна граница. Ајде да ги трансформираме броителот и именителот на дропката во формула и последица: $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) = \frac(0)(0) = \lim_(x\to0) \frac(\frac(\sin2x)(2x)\cdot 2x )(\frac(tg3x)(3x)\cdot 3x) = $$ Сега гледаме дека во броителот и именителот има изрази кои одговараат на формулата и последиците. Синусниот аргумент и аргументот тангента се исти за соодветните именители $$ = \lim_(x\to0) \frac(1\cdot 2x)(1\cdot 3x) = \frac(2)(3) $$

Одговори

$$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg2x) = \frac(2)(3) $$

Написот: „Првата извонредна граница, примери на решенија“ зборуваше за случаи во кои е препорачливо да се користи оваа формула и нејзините последици.

Постојат неколку извонредни граници, но најпознати се првата и втората извонредна граница. Извонредната работа за овие граници е тоа што тие ги имаат широка применаа со нивна помош може да се најдат и други граници кои се среќаваат во многубројните проблеми. Ова е она што ќе го направиме во практичниот дел. оваа лекција. За да се решат проблемите со нивно намалување на првата или втората извонредна граница, нема потреба да се откриваат несигурностите содржани во нив, бидејќи вредностите на овие граници одамна се заклучени од големи математичари.

Првата прекрасна границасе нарекува граница на односот на синусот на бесконечно мал лак на истиот лак, изразена во радијанска мерка:

Ајде да продолжиме кон решавање на проблемите на првата извонредна граница. Забелешка: ако има тригонометриска функција под знакот за граница, тоа е речиси сигурен знакдека овој израз може да се доведе до неговата прва извонредна граница.

Пример 1.Најдете ја границата.

Решение. Наместо тоа, замена xнула води до неизвесност:

.

Именителот е синус, затоа изразот може да се доведе до првата забележителна граница. Да ја започнеме трансформацијата:

.

Именителот е синус од три X, но броителот има само еден X, што значи дека треба да добиете три X во броителот. За што? Да се ​​воведе 3 x = аи добијте го изразот.

И доаѓаме до варијација на првата извонредна граница:

затоа што не е важно која буква (променлива) во оваа формула стои наместо X.

Го множиме X со три и веднаш делиме:

.

Во согласност со првата забележителна граница, го заменуваме фракциониот израз:

Сега конечно можеме да го решиме овој лимит:

.

Пример 2.Најдете ја границата.

Решение. Директната замена повторно води до неизвесност „нула поделена со нула“:

.

За да се добие првата забележителна граница, потребно е x под синусниот знак во броителот и само x во именителот да имаат ист коефициент. Нека овој коефициент е еднаков на 2. За да го направите ова, замислете го тековниот коефициент за x како подолу, извршувајќи операции со дропки, добиваме:

.

Пример 3.Најдете ја границата.

Решение. При замена, повторно ја добиваме неизвесноста „нула поделена со нула“:

.

Веројатно веќе разбирате дека од оригиналниот израз можете да ја добиете првата прекрасна граница помножена со првата прекрасна граница. За да го направите ова, квадратите на x во броителот и синусот во именителот ги разложуваме на идентични фактори, а за да ги добиеме истите коефициенти за x и синусот, го делиме x во броителот со 3 и веднаш се множиме со 3. Добиваме:

.

Пример 4.Најдете ја границата.

Решение. Уште еднаш ја добиваме неизвесноста „нула поделена со нула“:

.

Можеме да го добиеме односот на првите две извонредни граници. И броителот и именителот ги делиме со x. Потоа, така што коефициентите за синусите и ксовите се совпаѓаат, го множиме горниот x со 2 и веднаш го делиме со 2, а долниот x го множиме со 3 и веднаш го делиме со 3. Добиваме:

Пример 5.Најдете ја границата.

Решение. И повторно неизвесноста на „нула поделена со нула“:

Од тригонометријата се сеќаваме дека тангентата е односот на синус и косинус, а косинус од нула е еднаков на еден. Ги извршуваме трансформациите и добиваме:

.

Пример 6.Најдете ја границата.

Решение. Тригонометриската функција под знакот на граница повторно сугерира употреба на првата извонредна граница. Го претставуваме како однос на синус и косинус.

Од горната статија можете да дознаете која е границата и со што се јаде - ова е МНОГУ важно. Зошто? Можеби нема да разберете што се детерминанти и успешно да ги решите, можеби воопшто да не разберете што е извод и да ги најдете со „А“. Но, ако не разбирате што е ограничување, тогаш ќе биде тешко да се решаваат практични задачи. Исто така, би било добра идеја да се запознаете со примероците на решенија и моите препораки за дизајн. Сите информации се претставени во едноставна и достапна форма.

И за целите на оваа лекција ќе ни требаат следниве наставни материјали: Прекрасни границиИ Тригонометриски формули. Тие можат да се најдат на страницата. Најдобро е да ги испечатите прирачниците - тоа е многу поудобно, а освен тоа, често ќе треба да се повикувате на нив офлајн.

Што е толку посебно за извонредните граници? Извонредната работа за овие граници е што тие ги докажаа најголемите умови на познатите математичари, а благодарните потомци не мора да страдаат од страшни граници со куп тригонометриски функции, логаритми, моќи. Односно, при наоѓање на границите ќе користиме готови резултати кои се докажани теоретски.

Постојат неколку прекрасни граници, но во пракса, во 95% од случаите, вонредните студенти имаат две прекрасни граници: Првата прекрасна граница, Втора прекрасна граница. Треба да се напомене дека ова се историски утврдени имиња и кога, на пример, зборуваат за „првата извонредна граница“, тие подразбираат со ова многу специфична работа, а не некоја случајна граница земена од таванот.

Првата прекрасна граница

Размислете за следнава граница: (наместо мајчината буква „тој“ ќе ја користам грчко писмо„алфа“, ова е попогодно од гледна точка на презентирање материјал).

Според нашето правило за наоѓање граници (види статија Граници. Примери на решенија) се обидуваме да ја замениме нулата во функцијата: во броителот добиваме нула (синус на нула е нула), а во именителот, очигледно, има и нула. Така, се соочуваме со неизвесност на формата, која, за среќа, нема потреба да се обелоденува. Знам математичка анализа, се докажува дека:

Овој математички факт се нарекува Првата прекрасна граница. Нема да дадам аналитички доказ за лимитот, но еве го: геометриско значењеќе го разгледаме на час за бесконечно мали функции.

Често во практични задачи функциите може да се подредат поинаку, тоа не менува ништо:

- истата прва прекрасна граница.

Но, не можете сами да ги преуредите броителот и именителот! Ако е дадена граница во формата, тогаш таа мора да се реши во истата форма, без да се преуреди ништо.

Во пракса, не само променлива, туку и елементарна функција или сложена функција може да дејствува како параметар. Единствено важно е дека има тенденција на нула.

Примери:
, , ,

Еве , , , , и сè е добро - првата прекрасна граница е применлива.

Но, следниот запис е ерес:

Зошто? Бидејќи полиномот не се стреми кон нула, тој се стреми кон пет.

Патем, брзо прашање: која е границата? ? Одговорот може да се најде на крајот од лекцијата.

Во пракса, не е сè така мазно; скоро никогаш на студентот не му се нуди да реши бесплатен лимит и да добие лесен пропуст. Хммм... Ги пишувам овие редови и ми падна на ум една многу важна мисла - на крајот на краиштата, подобро е да се сеќавате на „бесплатни“ математички дефиниции и формули напамет, ова може да обезбеди непроценлива помош при тестот, кога прашањето ќе да се одлучи помеѓу „два“ и „три“, а наставникот одлучува да му постави на ученикот едноставно прашање или да понуди да реши наједноставен пример(„можеби тој (и) сè уште знае што?!“).

Ајде да продолжиме да размислуваме практични примери:

Пример 1

Најдете ја границата

Ако забележиме синус во границата, тогаш тоа веднаш треба да не наведе да размислиме за можноста за примена на првата забележителна граница.

Прво, се обидуваме да го замениме 0 во изразот под знакот за граница (ова го правиме ментално или во нацрт):

Значи имаме неизвесност за формата задолжително наведетепри донесување одлука. Изразот под знакот за граница е сличен на првата прекрасна граница, но тоа не е токму тоа, тој е под синус, туку во именителот.

Во такви случаи, треба сами да ја организираме првата извонредна граница, користејќи вештачка техника. Линијата на расудување може да биде како што следува: „под синусот што го имаме , што значи дека треба да го внесеме и именителот“.
И ова е направено многу едноставно:

Односно, именителот во овој случај вештачки се множи со 7 и се дели со истите седум. Сега нашата снимка доби позната форма.
Кога задачата е изготвена рачно, препорачливо е да се означи првата извонредна граница со едноставен молив:

Што се случи? Всушност, нашиот заокружен израз се претвори во единица и исчезна во делото:

Сега останува само да се ослободиме од трикатната фракција:

Кој го заборавил поедноставувањето на дропките на повеќе нивоа, ве молиме освежете го материјалот во референтната книга Жешки формули за училишен курс по математика .

Подготвени. Конечниот одговор:

Ако не сакате да користите ознаки со молив, тогаш решението може да се напише вака:

“

Да ја искористиме првата прекрасна граница

“

Пример 2

Најдете ја границата

Повторно гледаме дропка и синус во границата. Ајде да се обидеме да ја замениме нулата со броителот и именителот:

Навистина, имаме неизвесност и затоа треба да се обидеме да ја организираме првата прекрасна граница. На лекцијата Граници. Примери на решенијаго разгледавме правилото дека кога имаме несигурност треба да ги факторизираме броителот и именителот. Овде е истото, ние ќе ги претставиме степените како производ (множители):

Слично на претходниот пример, цртаме молив околу извонредните граници (тука има две од нив) и укажуваме дека тие се склони кон единство:

Всушност, одговорот е подготвен:

Во следните примери, нема да правам уметност во Paint, мислам како правилно да нацртам решение во тетратка - веќе разбирате.

Пример 3

Најдете ја границата

Ја заменуваме нулата во изразот под знакот за граница:

Добиена е неизвесност што треба да се открие. Ако има тангента во границата, тогаш таа речиси секогаш се претвора во синус и косинус користејќи ја добро познатата тригонометриска формула (патем, тие го прават приближно истото со котангента, види Сл. методолошки материјал Топла тригонометриски формулиНа страницата Математички формули, табели и референтни материјали).

Во овој случај:

Косинусот од нула е еднаков на еден и лесно е да се ослободите од него (не заборавајте да означите дека се стреми кон еден):

Така, ако во границата косинусот е МНОЖЕВНИК, тогаш, грубо кажано, треба да се претвори во единица, која исчезнува во производот.

Овде сè излезе поедноставно, без никакви множење и делење. Првата извонредна граница исто така се претвора во една и исчезнува во производот:

Како резултат на тоа, се добива бесконечност, и тоа се случува.

Пример 4

Најдете ја границата

Ајде да се обидеме да ја замениме нулата со броителот и именителот:

Неизвесноста се добива (косинус од нула, како што се сеќаваме, е еднаков на еден)

Ја користиме тригонометриската формула. Забележете! Поради некоја причина, ограничувањата за користење на оваа формула се многу чести.

Дозволете ни да ги преместиме константните фактори надвор од иконата за ограничување:

Ајде да го организираме првиот прекрасен лимит:

Овде имаме само една извонредна граница, која се претвора во една и исчезнува во производот:

Ајде да се ослободиме од трикатната структура:

Границата е всушност решена, укажуваме дека преостанатиот синус се стреми кон нула:

Пример 5

Најдете ја границата

Овој пример е покомплициран, обидете се сами да го сфатите:

Некои ограничувања може да се намалат на првата извонредна граница со промена на променлива, можете да прочитате за ова малку подоцна во статијата Методи за решавање на лимити.

Втора прекрасна граница

Во теоријата на математичката анализа е докажано дека:

Овој фактсе нарекува втора прекрасна граница.

Референца: е ирационален број.

Параметарот може да биде не само променлива, туку и сложена функција. Единствено важно е дека се стреми кон бесконечност.

Пример 6

Најдете ја границата

Кога изразот под знакот за граница е во степен, ова е првиот знак дека треба да се обидете да ја примените втората прекрасна граница.

Но, прво, како и секогаш, се обидуваме да замениме бескрајно голем бројво изразувањето на кој принцип се прави тоа, дискутирано на часот Граници. Примери на решенија.

Лесно е да се забележи дека кога основата на степенот е , а експонентот е , односно, постои несигурност на формата:

Оваа неизвесност е прецизно откриена со помош на втората извонредна граница. Но, како што често се случува, втората прекрасна граница не лежи на сребрен послужавник и треба вештачки да се организира. Може да се резонира на следниов начин: во во овој примерпараметар, што значи дека во индикаторот исто така треба да организираме . За да го направите ова, ја подигнуваме основата на моќ, и за да не се промени изразот, ја подигнуваме на моќ:

Кога задачата е завршена со рака, означуваме со молив:

Скоро се е готово, страшната диплома се претвори во убаво писмо:

Во овој случај, ја преместуваме самата икона за ограничување на индикаторот:

Пример 7

Најдете ја границата

Внимание! Овој тип на ограничување се случува многу често, ве молиме проучете го овој пример многу внимателно.

Ајде да се обидеме да замениме бесконечно голем број во изразот под знакот за граница:

Резултатот е неизвесност. Но, втората извонредна граница се однесува на несигурноста на формата. Што да се прави? Треба да ја конвертираме основата на степенот. Расудуваме вака: во именителот имаме , што значи дека и во броителот треба да се организираме.