Квадратна равенка - лесно се решава! *Во натамошниот текст „КУ“.Пријатели, се чини дека не може да има ништо поедноставно во математиката од решавање на таква равенка. Но, нешто ми кажа дека многу луѓе имаат проблеми со него. Решив да видам колку впечатоци на барање дава Yandex месечно. Еве што се случи, погледнете:

Што значи тоа? Тоа значи дека месечно бараат околу 70.000 луѓе оваа информација, каква врска има ова лето, и што ќе се случува меѓу учебната година— ќе има двојно повеќе барања. Ова не е изненадувачки, бидејќи оние момци и девојчиња кои одамна завршиле училиште и се подготвуваат за обединет државен испит, ги бараат овие информации, а учениците исто така се трудат да ја освежат својата меморија.

И покрај фактот дека има многу сајтови кои ви кажуваат како да ја решите оваа равенка, решив исто така да придонесам и да го објавам материјалот. Прво, би сакал ова барањеи посетителите дојдоа на мојата страница; второ, во други статии, кога ќе се појави темата „КУ“, ќе дадам линк до оваа статија; трето, ќе ви кажам малку повеќе за неговото решение отколку што обично се наведува на други сајтови. Ајде да почнеме!Содржината на статијата:

Квадратна равенка е равенка од формата:

каде што коефициентите a,ба c се произволни броеви, со a≠0.

ВО училишен курсматеријалот е даден во следната форма– равенките се поделени во три класи:

1. Имаат два корени.

2. *Имаат само еден корен.

3. Немаат корени. Овде особено вреди да се забележи дека тие немаат вистински корени

Како се пресметуваат корените? Само!

Ја пресметуваме дискриминаторната. Под овој „страшен“ збор се крие многу едноставна формула:

Формулите на коренот се како што следува:

*Треба да ги знаете овие формули напамет.

Можете веднаш да запишете и решите:

Пример:

1. Ако D > 0, тогаш равенката има два корени.

2. Ако D = 0, тогаш равенката има еден корен.

3. Ако Д< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Да ја погледнеме равенката:

Од страна на во оваа прилика, кога дискриминаторот е еднаков на нула, училишниот курс вели дека резултатот е еден корен, овде е еднаков на девет. Сè е точно, така е, но ...

Оваа идеја е донекаде неточна. Всушност, постојат два корени. Да, да, немојте да се чудите, добивате два еднакви корени, а за да бидеме математички прецизни, тогаш одговорот треба да напише два корени:

x 1 = 3 x 2 = 3

Но, тоа е така - мало повлекување. На училиште можете да го запишете и да кажете дека има еден корен.

Сега следниот пример:

Како што знаеме, коренот на негативен број не може да се земе, така што нема решение во овој случај.

Тоа е целиот процес на одлучување.

Квадратна функција.

Ова покажува како геометриски изгледа решението. Ова е исклучително важно да се разбере (во иднина, во една од написите детално ќе го анализираме решението на квадратната нееднаквост).

Ова е функција на формата:

каде што x и y се променливи

a, b, c – дадени броеви, со a ≠ 0

Графикот е парабола:

Односно, излегува дека со решавање на квадратна равенка со „y“ еднаква на нула, ги наоѓаме точките на пресек на параболата со оската x. Може да има две од овие точки (дискриминаторот е позитивен), еден (дискриминаторот е нула) и ниту еден (дискриминаторот е негативен). Детали за квадратна функција Можете да видитестатија од Инна Фелдман.

Ајде да погледнеме примери:

Пример 1: Реши 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Одговор: x 1 = 8 x 2 = –12

*Можно беше веднаш да се подели левата и десната страна на равенката со 2, односно да се поедностави. Пресметките ќе бидат полесни.

Пример 2: Одлучи x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Откривме дека x 1 = 11 и x 2 = 11

Дозволено е да се напише x = 11 во одговорот.

Одговор: x = 11

Пример 3: Одлучи x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Дискриминаторот е негативен, нема решение во реални бројки.

Одговор: нема решение

Дискриминаторот е негативен. Има решение!

Овде ќе зборуваме за решавање на равенката во случај кога ќе се добие негативна дискриминанта. Дали знаете нешто за сложени броеви? Овде нема да навлегувам во детали зошто и каде се појавија и која е нивната специфична улога и неопходност во математиката; ова е тема за голема посебна статија.

Концептот на комплексен број.

Малку теорија.

Комплексен број z е број на формата

z = a + bi

каде се а и б реални броеви, јас е таканаречената имагинарна единица.

а+би – ова е ЕДЕН БРОЈ, а не собирање.

Имагинарната единица е еднаква на коренот минус еден:

Сега разгледајте ја равенката:

Добиваме два конјугирани корени.

Нецелосна квадратна равенка.

Ајде да разгледаме посебни случаи, ова е кога коефициентот „б“ или „в“ е еднаков на нула (или и двата се еднакви на нула). Тие можат лесно да се решат без никакви дискриминатори.

Случај 1. Коефициент b = 0.

Равенката станува:

Ајде да се трансформираме:

Пример:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Случај 2. Коефициент c = 0.

Равенката станува:

Ајде да се трансформираме и факторизираме:

*Производот е еднаков на нула кога барем еден од факторите е еднаков на нула.

Пример:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 или x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Случај 3. Коефициенти b = 0 и c = 0.

Овде е јасно дека решението на равенката секогаш ќе биде x = 0.

Корисни својства и модели на коефициенти.

Постојат својства кои ви дозволуваат да решавате равенки со големи коефициенти.

Аx 2 + bx+ в=0 важи еднаквоста

а + б+ c = 0,Тоа

- ако за коефициентите на равенката Аx 2 + bx+ в=0 важи еднаквоста

а+ c =б, Тоа

Овие својства помагаат да се реши одреден тип равенки.

Пример 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Збирот на шансите е 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, што значи

Пример 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Еднаквоста држи а+ c =б, Средства

Правилности на коефициентите.

1. Ако во равенката ax 2 + bx + c = 0 коефициентот „b“ е еднаков на (a 2 +1), а коефициентот „c“ е нумерички еднаков на коефициентот „a“, тогаш неговите корени се еднакви

секира 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Пример. Размислете за равенката 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Ако во равенката ax 2 – bx + c = 0 коефициентот „b“ е еднаков на (a 2 +1), а коефициентот „c“ е нумерички еднаков на коефициентот „a“, тогаш неговите корени се еднакви

секира 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Пример. Размислете за равенката 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Ако во равенка. ax 2 + bx – c = 0 коефициент „b“ е еднакво на (а 2 – 1), и коефициент „в“ е нумерички еднаков на коефициентот „а“, тогаш неговите корени се еднакви

секира 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Пример. Размислете за равенката 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Ако во равенката ax 2 – bx – c = 0 коефициентот „b“ е еднаков на (a 2 – 1), а коефициентот c е нумерички еднаков на коефициентот „a“, тогаш неговите корени се еднакви

секира 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Пример. Размислете за равенката 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Теорема на Виета.

Теоремата на Виета е именувана по познатиот француски математичар Франсоа Виета. Користејќи ја теоремата на Виета, можеме да го изразиме збирот и производот на корените на произволно KU во однос на неговите коефициенти.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Вкупно, бројот 14 дава само 5 и 9. Ова се корените. Со одредена вештина, користејќи ја презентираната теорема, можете веднаш усно да решите многу квадратни равенки.

Дополнително, теоремата на Виета. Погодно е по тоа што по решавањето на квадратната равенка на вообичаен начин (преку дискриминатор), може да се проверат добиените корени. Препорачувам да го правите ова секогаш.

НАЧИН НА ПРЕВОЗ

Со овој метод, коефициентот „а“ се множи со слободниот член, како да е „фрлен“ кон него, поради што се нарекува метод на „трансфер“.Овој метод се користи кога корените на равенката може лесно да се најдат со помош на теоремата на Виета и што е најважно, кога дискриминаторот е точен квадрат.

Ако А± b+c≠ 0, тогаш се користи техниката на пренос, на пример:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Користејќи ја теоремата на Виета во равенката (2), лесно е да се одреди дека x 1 = 10 x 2 = 1

Добиените корени на равенката мора да се поделат со 2 (бидејќи двете беа „фрлени“ од x 2), добиваме

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Кое е образложението? Погледнете што се случува.

Дискриминаторите на равенките (1) и (2) се еднакви:

Ако ги погледнете корените на равенките, добивате само различни именители, а резултатот зависи токму од коефициентот x 2:

Вториот (модифициран) има корени кои се 2 пати поголеми.

Затоа, резултатот го делиме со 2.

*Ако ги превртиме трите, резултатот ќе го поделиме со 3 итн.

Одговор: x 1 = 5 x 2 = 0,5

Плоштад. ur-ie и унифициран државен испит.

Накратко ќе ви кажам за неговата важност - МОРА ДА СОМОЖИТЕ ДА ОДЛУЧИТЕ брзо и без размислување, треба напамет да ги знаете формулите на корените и дискриминаторите. Многу од проблемите вклучени во задачите на Обединетиот државен испит се сведуваат на решавање на квадратна равенка (вклучени и геометриски).

Нешто што вреди да се забележи!

1. Формата на пишување равенка може да биде „имплицитна“. На пример, можен е следниов запис:

15+ 9x 2 - 45x = 0 или 15x+42+9x 2 - 45x=0 или 15 -5x+10x 2 = 0.

Треба да го доведете до стандарден поглед(за да не се збуниме при одлучувањето).

2. Запомнете дека x е непозната големина и може да се означи со која било друга буква - t, q, p, h и други.

Прво ниво

Квадратни равенки. Сеопфатен водич (2019)

Во терминот „квадратна равенка“, клучниот збор е „квадратна“. Ова значи дека равенката нужно мора да содржи променлива (иста х) на квадрат и не треба да има xes до третата (или поголема) моќност.

Решението на многу равенки се сведува на решавање на квадратни равенки.

Ајде да научиме да утврдиме дека ова е квадратна равенка, а не некоја друга равенка.

Пример 1.

Ајде да се ослободиме од именителот и да го помножиме секој член од равенката со

Ајде да преместиме сè на лева странаи подредете ги поимите по опаѓачки редослед на силите на x

Сега можеме со сигурност да го кажеме тоа дадена равенкае квадрат!

Пример 2.

Помножете ја левата и десната страна со:

Оваа равенка, иако првично беше во неа, не е квадратна!

Пример 3.

Ајде да помножиме сè со:

Страшно? Четвртиот и вториот степен... Меѓутоа, ако направиме замена, ќе видиме дека имаме едноставна квадратна равенка:

Пример 4.

Се чини дека е таму, но ајде да погледнеме подетално. Ајде да преместиме сè на левата страна:

Гледате, се намали - и сега е едноставно линеарна равенка!

Сега обидете се сами да одредите кои од следните равенки се квадратни, а кои не се:

Примери:

Одговори:

1. квадрат;
2. квадрат;
3. не квадрат;
4. не квадрат;
5. не квадрат;
6. квадрат;
7. не квадрат;
8. квадрат.

Математичарите конвенционално ги делат сите квадратни равенки на следниве типови:

• Целосни квадратни равенки- равенки во кои коефициентите и, како и слободниот член c, не се еднакви на нула (како во примерот). Покрај тоа, меѓу целосните квадратни равенки постојат дадена- ова се равенки во кои коефициентот (равенката од примерот еден не само што е целосна, туку и намалена!)

• Нецелосни квадратни равенки- равенки во кои коефициентот и или слободниот член c се еднакви на нула:

  Тие се нецелосни бидејќи им недостасува некој елемент. Но, равенката секогаш мора да содржи x квадрат!!! Во спротивно веќе нема да биде квадратна равенка, туку некоја друга равенка.

Зошто дошле до ваква поделба? Се чини дека има X квадрат, и во ред. Оваа поделба се одредува со методите на решение. Ајде да го разгледаме секој од нив подетално.

Решавање на нецелосни квадратни равенки

Прво, да се фокусираме на решавање на нецелосни квадратни равенки - тие се многу поедноставни!

Постојат типови на нецелосни квадратни равенки:

1. , во оваа равенка коефициентот е еднаков.
2. , во оваа равенка слободниот член е еднаков на.
3. , во оваа равенка коефициентот и слободниот член се еднакви.

1. јас. Затоа што знаеме да извлечеме Квадратен корен, тогаш да се изразиме од оваа равенка

Изразот може да биде или негативен или позитивен. Бројот во квадрат не може да биде негативен, бидејќи кога се множат два негативни или два позитивни броја, резултатот секогаш ќе биде позитивен број, значи: ако, тогаш равенката нема решенија.

И ако, тогаш добиваме два корени. Нема потреба да ги меморирате овие формули. Главната работа е дека мора да знаете и секогаш да запомните дека не може да биде помалку.

Ајде да се обидеме да решиме неколку примери.

Пример 5:

Решете ја равенката

Сега останува само да се извлече коренот од левата и десната страна. На крајот на краиштата, се сеќавате како да извлечете корени?

Одговор:

Никогаш не заборавајте за корените со негативен знак!!!

Пример 6:

Решете ја равенката

Одговор:

Пример 7:

Решете ја равенката

О! Квадратот на број не може да биде негативен, што значи дека равенката

без корени!

За такви равенки кои немаат корени, математичарите излегоа со посебна икона - (празен сет). А одговорот може да се напише вака:

Одговор:

Така, оваа квадратна равенка има два корени. Овде нема ограничувања, бидејќи не го извадивме коренот.
Пример 8:

Решете ја равенката

Да го извадиме заедничкиот фактор од загради:

Така,

Оваа равенка има два корени.

Одговор:

Наједноставниот тип на нецелосни квадратни равенки (иако сите се едноставни, нели?). Очигледно, оваа равенка секогаш има само еден корен:

Овде ќе се откажеме од примери.

Решавање на целосни квадратни равенки

Потсетуваме дека целосна квадратна равенка е равенка на формата равенка каде

Решавањето на целосни квадратни равенки е малку потешко (само малку) од овие.

Запомнете, Секоја квадратна равенка може да се реши со помош на дискриминатор! Дури и нецелосни.

Останатите методи ќе ви помогнат да го направите тоа побрзо, но ако имате проблеми со квадратните равенки, прво совладајте го решението користејќи ја дискриминаторот.

1. Решавање на квадратни равенки со помош на дискриминант.

Решавањето на квадратните равенки со помош на овој метод е многу едноставно; главната работа е да се запамети низата на дејства и неколку формули.

Ако, тогаш равенката има корен.Треба да обрнете посебно внимание на чекорот. Дискриминантот () ни го кажува бројот на корените на равенката.

• Ако, тогаш формулата во чекорот ќе се сведе на. Така, равенката ќе има само корен.
• Ако, тогаш нема да можеме да го извлечеме коренот на дискриминаторот на чекорот. Ова покажува дека равенката нема корени.

Да се ​​вратиме на нашите равенки и да погледнеме неколку примери.

Пример 9:

Решете ја равенката

Чекор 1прескокнуваме.

Чекор 2.

Го наоѓаме дискриминаторот:

Ова значи дека равенката има два корени.

Чекор 3.

Одговор:

Пример 10:

Решете ја равенката

Равенката е претставена во стандардна форма, па Чекор 1прескокнуваме.

Чекор 2.

Го наоѓаме дискриминаторот:

Ова значи дека равенката има еден корен.

Одговор:

Пример 11:

Решете ја равенката

Равенката е претставена во стандардна форма, па Чекор 1прескокнуваме.

Чекор 2.

Го наоѓаме дискриминаторот:

Ова значи дека нема да можеме да го извлечеме коренот на дискриминаторот. Нема корени на равенката.

Сега знаеме како правилно да ги запишеме таквите одговори.

Одговор:без корени

2. Решавање на квадратни равенки со помош на теоремата на Виета.

Ако се сеќавате, постои еден вид равенка што се нарекува намалена (кога коефициентот a е еднаков на):

Ваквите равенки се многу лесно да се решат користејќи ја теоремата на Виета:

Збир на корени даденаквадратната равенка е еднаква, а производот на корените е еднаков.

Пример 12:

Решете ја равенката

Оваа равенка може да се реши со помош на теоремата на Виета бидејќи .

Збирот на корените на равенката е еднаков, т.е. ја добиваме првата равенка:

И производот е еднаков на:

Ајде да го составиме и решиме системот:

• И. Износот е еднаков на;
• И. Износот е еднаков на;
• И. Износот е еднаков.

и се решение за системот:

Одговор: ; .

Пример 13:

Решете ја равенката

Одговор:

Пример 14:

Решете ја равенката

Равенката е дадена, што значи:

Одговор:

КВАДРАТСКИ РАВЕНКИ. ПРОСЕЧНО НИВО

Што е квадратна равенка?

Со други зборови, квадратна равенка е равенка на формата, каде што - непознатото, - некои броеви и.

Бројот се нарекува највисок или првиот коефициентквадратна равенка, - втор коефициент, А - слободен член.

Зошто? Затоа што ако равенката веднаш стане линеарна, затоа што ќе исчезне.

Во овој случај, и може да биде еднаква на нула. Во овој стол равенката се нарекува нецелосна. Ако сите поими се на место, односно равенката е завршена.

Решенија на различни типови квадратни равенки

Методи за решавање на нецелосни квадратни равенки:

Прво, да ги погледнеме методите за решавање на нецелосни квадратни равенки - тие се поедноставни.

Можеме да ги разликуваме следниве видови равенки:

I., во оваа равенка коефициентот и слободниот член се еднакви.

II. , во оваа равенка коефициентот е еднаков.

III. , во оваа равенка слободниот член е еднаков на.

Сега да го погледнеме решението за секој од овие подтипови.

Очигледно, оваа равенка секогаш има само еден корен:

Квадратен број не може да биде негативен, бидејќи кога ќе помножите два негативни или два позитивни броја, резултатот секогаш ќе биде позитивен број. Затоа:

ако, тогаш равенката нема решенија;

ако имаме два корени

Нема потреба да ги меморирате овие формули. Главната работа што треба да се запамети е дека не може да биде помала.

Примери:

Решенија:

Одговор:

Никогаш не заборавајте за корените со негативен знак!

Квадратот на број не може да биде негативен, што значи дека равенката

без корени.

За накратко да запишеме дека проблемот нема решенија, ја користиме иконата за празно поставување.

Одговор:

Значи, оваа равенка има два корени: и.

Одговор:

Ќе го извадиме заеднички мултипликаторнадвор од заградите:

Производот е еднаков на нула ако барем еден од факторите е еднаков на нула. Ова значи дека равенката има решение кога:

Значи, оваа квадратна равенка има два корени: и.

Пример:

Решете ја равенката.

Решение:

Да ја пресметаме левата страна на равенката и да ги најдеме корените:

Одговор:

Методи за решавање на целосни квадратни равенки:

1. Дискриминаторски

Решавањето на квадратните равенки на овој начин е лесно, главната работа е да се запамети низата на дејства и неколку формули. Запомнете, секоја квадратна равенка може да се реши со помош на дискриминатор! Дури и нецелосни.

Дали го забележавте коренот од дискриминантот во формулата за корени? Но, дискриминаторот може да биде негативен. Што да се прави? Треба да обрнеме посебно внимание на чекор 2. Дискриминаторот ни го кажува бројот на корените на равенката.

• Ако, тогаш равенката има корени:
• Ако тогаш равенката има идентични корени, но во суштина еден корен:

  Таквите корени се нарекуваат двојни корени.

• Ако, тогаш коренот на дискриминантот не е извлечен. Ова покажува дека равенката нема корени.

Зошто е можно различни количиникорени? Да се ​​свртиме кон геометриска смислаквадратна равенка. Графикот на функцијата е парабола:

Во посебен случај, кој е квадратна равенка, . Ова значи дека корените на квадратната равенка се точките на пресек со оската на апсцисата (оската). Параболата може воопшто да не ја пресекува оската или може да ја пресече на една (кога темето на параболата лежи на оската) или две точки.

Покрај тоа, коефициентот е одговорен за насоката на гранките на параболата. Ако, тогаш гранките на параболата се насочени нагоре, а ако, тогаш надолу.

Примери:

Решенија:

Одговор:

Одговор:.

Одговор:

Ова значи дека нема решенија.

Одговор:.

2. Теорема на Виета

Многу е лесно да се користи теоремата на Виета: само треба да изберете пар броеви чиј производ е еднаков на слободниот член на равенката, а збирот е еднаков на вториот коефициент земен со спротивен знак.

Важно е да се запамети дека теоремата на Виета може да се примени само во намалени квадратни равенки ().

Ајде да погледнеме неколку примери:

Пример #1:

Решете ја равенката.

Решение:

Оваа равенка може да се реши со помош на теоремата на Виета бидејќи . Други коефициенти: ; .

Збирот на корените на равенката е:

И производот е еднаков на:

Ајде да избереме парови на броеви чиј производ е еднаков и да провериме дали нивниот збир е еднаков:

• И. Износот е еднаков на;
• И. Износот е еднаков на;
• И. Износот е еднаков.

и се решение за системот:

Така, и се корените на нашата равенка.

Одговор: ; .

Пример #2:

Решение:

Ајде да избереме парови на броеви што даваат во производот, а потоа да провериме дали нивниот збир е еднаков:

и: вкупно даваат.

и: вкупно даваат. За да се добие, доволно е едноставно да се сменат знаците на наводните корени: и, на крајот на краиштата, производот.

Одговор:

Пример #3:

Решение:

Слободниот член на равенката е негативен, и затоа производот на корените е негативен број. Ова е можно само ако еден од корените е негативен, а другиот е позитивен. Затоа збирот на корените е еднаков на разлики во нивните модули.

Дозволете ни да избереме парови на броеви кои даваат во производот, а чија разлика е еднаква на:

и: нивната разлика е еднаква - не одговара;

и: - не е соодветно;

и: - не е соодветно;

и: - погоден. Останува само да се запамети дека еден од корените е негативен. Бидејќи нивниот збир мора да биде еднаков, коренот со помал модул мора да биде негативен: . Проверуваме:

Одговор:

Пример #4:

Решете ја равенката.

Решение:

Равенката е дадена, што значи:

Слободниот член е негативен, и затоа производот на корените е негативен. И ова е можно само кога едниот корен од равенката е негативен, а другиот позитивен.

Ајде да избереме парови чиј производ е еднаков, а потоа да одредиме кои корени треба да имаат негативен знак:

Очигледно, само корените се погодни за првиот услов:

Одговор:

Пример #5:

Решете ја равенката.

Решение:

Равенката е дадена, што значи:

Збирот на корените е негативен, што значи дека барем еден од корените е негативен. Но, бидејќи нивниот производ е позитивен, тоа значи дека двата корени имаат знак минус.

Дозволете ни да избереме парови на броеви чиј производ е еднаков на:

Очигледно, корените се броевите и.

Одговор:

Се согласувам, многу е погодно да се дојде до корени усно, наместо да се брои овој гаден дискриминатор. Обидете се да ја користите теоремата на Виета што е можно почесто.

Но, теоремата на Виета е потребна за да се олесни и забрза пронаоѓањето на корените. За да имате корист од неговото користење, мора да ги доведете дејствата до автоматизам. И за ова, решете уште пет примери. Но, не изневерувајте: не можете да користите дискриминатор! Само теоремата на Виета:

Решенија за задачи за самостојна работа:

Задача 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Според теоремата на Виета:

Како и обично, изборот го започнуваме со парчето:

Не е погоден бидејќи износот;

: износот е токму она што ви треба.

Одговор: ; .

Задача 2.

И повторно нашата омилена теорема Виета: збирот мора да биде еднаков, а производот мора да биде еднаков.

Но бидејќи не смее, туку, ги менуваме знаците на корените: и (вкупно).

Одговор: ; .

Задача 3.

Хм... Каде е тоа?

Треба да ги преместите сите термини во еден дел:

Збирот на корените е еднаков на производот.

Добро, застани! Равенката не е дадена. Но, теоремата на Виета е применлива само во дадените равенки. Значи, прво треба да дадете равенка. Ако не можете да водите, откажете се од оваа идеја и решете ја на друг начин (на пример, преку дискриминатор). Дозволете ми да ве потсетам дека да се даде квадратна равенка значи да се направи водечки коефициент еднаков:

Одлично. Тогаш збирот на корените е еднаков на и производот.

Овде е лесно да се избере како лупење круши: на крајот на краиштата, тоа е прост број (извинете за тавтологијата).

Одговор: ; .

Задача 4.

Слободниот член е негативен. Што е посебно за ова? И факт е дека корените ќе имаат различни знаци. И сега, при изборот, не го проверуваме збирот на корените, туку разликата во нивните модули: оваа разлика е еднаква, но производ.

Значи, корените се еднакви на и, но еден од нив е минус. Теоремата на Виета ни кажува дека збирот на корените е еднаков на вториот коефициент со спротивен знак, т.е. Ова значи дека помалиот корен ќе има минус: и, бидејќи.

Одговор: ; .

Задача 5.

Што треба прво да направите? Така е, дајте ја равенката:

Повторно: ги избираме факторите на бројот, а нивната разлика треба да биде еднаква на:

Корените се еднакви на и, но еден од нив е минус. Кои? Нивниот збир треба да биде еднаков, што значи дека минусот ќе има поголем корен.

Одговор: ; .

Дозволете ми да резимирам:

1. Теоремата на Виета се користи само во дадените квадратни равенки.
2. Користејќи ја теоремата на Виета, можете да ги најдете корените со избор, усно.
3. Ако равенката не е дадена или не се најде равенка соодветен пармножители на слободниот термин, што значи дека нема цели корени и треба да го решите на друг начин (на пример, преку дискриминатор).

3. Метод за избор на целосен квадрат

Ако сите поими што ја содржат непознатата се претставени во форма на поими од скратените формули за множење - квадратот на збирот или разликата - тогаш по замена на променливите, равенката може да се претстави во форма на нецелосна квадратна равенка од типот.

На пример:

Пример 1:

Решете ја равенката: .

Решение:

Одговор:

Пример 2:

Решете ја равенката: .

Решение:

Одговор:

ВО општ погледтрансформацијата ќе изгледа вака:

Ова имплицира:.

Не те потсетува на ништо? Ова е дискриминаторска работа! Токму така ја добивме формулата за дискриминација.

КВАДРАТСКИ РАВЕНКИ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНИТЕ РАБОТИ

Квадратна равенка- ова е равенка на формата, каде што - непознатото, - коефициентите на квадратната равенка, - слободниот член.

Целосна квадратна равенка- равенка во која коефициентите не се еднакви на нула.

Намалена квадратна равенка- равенка во која коефициентот, односно: .

Нецелосна квадратна равенка- равенка во која коефициентот и или слободниот член c се еднакви на нула:

• ако коефициентот, равенката изгледа вака:
• ако има слободен член, равенката има форма: ,
• ако и, равенката изгледа вака: .

1. Алгоритам за решавање на нецелосни квадратни равенки

1.1. Нецелосна квадратна равенка на формата, каде што, :

1) Да го изразиме непознатото:

2) Проверете го знакот на изразот:

• ако, тогаш равенката нема решенија,
• ако, тогаш равенката има два корени.

1.2. Нецелосна квадратна равенка на формата, каде што, :

1) Да го извадиме заедничкиот фактор од загради: ,

2) Производот е еднаков на нула ако барем еден од факторите е еднаков на нула. Според тоа, равенката има два корени:

1.3. Нецелосна квадратна равенка на формата, каде што:

Оваа равенка секогаш има само еден корен: .

2. Алгоритам за решавање на целосни квадратни равенки од формата каде

2.1. Решение со помош на дискриминант

1) Да ја доведеме равенката во стандардна форма: ,

2) Да ја пресметаме дискриминаторот користејќи ја формулата: , која го означува бројот на корените на равенката:

3) Најдете ги корените на равенката:

• ако, тогаш равенката има корени, кои се наоѓаат со формулата:
• ако, тогаш равенката има корен, кој се наоѓа со формулата:
• ако, тогаш равенката нема корени.

2.2. Решение со помош на теоремата на Виета

Збирот на корените на намалената квадратна равенка (равенка на формата каде) е еднаков, а производот на корените е еднаков, т.е. , А.

2.3. Решение со методот на избор на целосен квадрат

Видео туторијал 2: Решавање на квадратни равенки

Предавање: Квадратни равенки

Равенката

Равенката- ова е еден вид еднаквост во чии изрази има променлива.

Решете ја равенката- значи наоѓање број наместо променлива што ќе го доведе во правилна еднаквост.

Равенката може да има едно решение, неколку или воопшто да нема.

За да се реши која било равенка, треба да се поедностави колку што е можно во формата:

Линеарно: a*x = b;

Плоштад: a*x 2 + b*x + c = 0.

Односно, сите равенки мора да се претворат во стандардна форма пред да се решат.

Секоја равенка може да се реши на два начина: аналитички и графички.

На графиконот како решение на равенката се сметаат точките во кои графикот ја пресекува оската OX.

Квадратни равенки

Равенката може да се нарече квадратна ако, кога е поедноставена, ја има формата:

a*x 2 + b*x + c = 0.

При што а, б, все коефициенти на равенката кои се разликуваат од нула. А "Х"- корен на равенката. Се верува дека квадратната равенка има два корени или можеби нема воопшто решение. Добиените корени може да бидат исти.

"А"- коефициентот што стои пред квадратниот корен.

"б"- стои пред непознатото во прв степен.

"Со"е слободен член на равенката.

Ако, на пример, имаме равенка од формата:

2x 2 -5x+3=0

Во него, „2“ е коефициентот на водечкиот член на равенката, „-5“ е вториот коефициент, а „3“ е слободен член.

Решавање на квадратна равенка

Има огромна разновидност на начини за решавање на квадратна равенка. Меѓутоа, во училишниот курс по математика, решението се изучува со помош на теоремата на Виета, како и со користење на дискриминант.

Дискриминантно решение:

При решавање со овој методпотребно е да се пресмета дискриминаторот користејќи ја формулата:

Доколку при пресметките откриете дека дискриминаторот помалку од нула, тоа значи дека оваа равенка нема решенија.

Ако дискриминаторот е нула, тогаш равенката има две идентични решенија. Во овој случај, полиномот може да се склопи со помош на скратената формула за множење во квадрат од збирот или разликата. Потоа решете го како линеарна равенка. Или користете ја формулата:

Ако дискриминаторот е поголем од нула, тогаш мора да го користите следниов метод:

Теорема на Виета

Ако е дадена равенката, односно коефициентот на водечкиот член е еднаков на еден, тогаш можете да го користите Теорема на Виета.

Значи, да претпоставиме дека равенката е:

Корените на равенката се наоѓаат на следниов начин:

Нецелосна квадратна равенка

Постојат неколку опции за добивање на нецелосна квадратна равенка, чија форма зависи од присуството на коефициенти.

1. Ако вториот и третиот коефициент се нула (b = 0, c = 0), тогаш квадратната равенка ќе изгледа вака:

Оваа равенка ќе има единствено решение. Равенството ќе биде точно само ако решението на равенката е нула.

Проблемите со квадратни равенки исто така се изучуваат во училишна наставна програмаи на универзитетите. Тие значат равенки од формата a*x^2 + b*x + c = 0, каде x-променлива, a, b, c – константи; а<>0 . Задачата е да се најдат корените на равенката.

Геометриско значење на квадратната равенка

Графикот на функција која е претставена со квадратна равенка е парабола. Решенијата (корените) на квадратна равенка се точките на пресек на параболата со оската на апсцисата (x). Следи дека постојат три можни случаи:
1) параболата нема точки на пресек со оската на апсцисата. Тоа значи дека е во горната рамнина со гранки нагоре или на дното со гранки надолу. Во такви случаи, квадратната равенка нема вистински корени (има два сложени корени).

2) параболата има една пресечна точка со оската Ox. Таквата точка се нарекува теме на параболата, а квадратната равенка на неа го добива својот минимум или максимална вредност. Во овој случај, квадратната равенка има еден реален корен (или два идентични корени).

3) Последниот случај е поинтересен во пракса - има две точки на пресек на параболата со оската на апсцисата. Ова значи дека има два реални корени на равенката.

Врз основа на анализата на коефициентите на моќите на променливите, може да се извлечат интересни заклучоци за поставеноста на параболата.

1) Ако коефициентот a е поголем од нула, тогаш гранките на параболата се насочени нагоре; ако е негативен, гранките на параболата се насочени надолу.

2) Ако коефициентот b е поголем од нула, тогаш темето на параболата лежи во левата полурамнина ако е потребно негативно значење- потоа десно.

Изведување на формулата за решавање на квадратна равенка

Да ја пренесеме константата од квадратната равенка

за знакот за еднаквост го добиваме изразот

Помножете ги двете страни со 4а

Да се ​​остави лево совршен квадратдодадете b^2 на двете страни и извршете ја трансформацијата

Од тука наоѓаме

Формула за дискриминација и корени на квадратна равенка

Дискриминантот е вредноста на радикалниот израз.Ако е позитивен, тогаш равенката има два реални корени, пресметани со формулата Кога дискриминантата е нула, квадратната равенка има едно решение (два совпаѓачки корени), што лесно може да се добие од горната формула за D=0. Кога дискриминантата е негативна, равенката нема вистински корени. Меѓутоа, решенијата на квадратната равенка се наоѓаат во сложената рамнина, а нивната вредност се пресметува со формулата

Теорема на Виета

Да разгледаме два корени на квадратна равенка и да изградиме квадратна равенка врз основа на нив.Самата теорема на Виета лесно произлегува од ознаката: ако имаме квадратна равенка на формата тогаш збирот на неговите корени е еднаков на коефициентот p земен со спротивен знак, а производот од корените на равенката е еднаков на слободниот член q. Формулското претставување на горенаведеното ќе изгледа како Ако во класичната равенка константата a е ненула, тогаш треба да ја поделите целата равенка со неа, а потоа да ја примените теоремата на Виета.

Распоред на квадратни равенки на факторинг

Нека е поставена задачата: факторинг квадратна равенка. За да го направите ова, прво ја решаваме равенката (најдете ги корените). Следно, пронајдените корени ги заменуваме во формулата за проширување на квадратната равенка.Ова ќе го реши проблемот.

Проблеми со квадратни равенки

Задача 1. Најдете ги корените на квадратната равенка

x^2-26x+120=0.

Решение: Запишете ги коефициентите и заменете ги во формулата за дискриминација

Корен на дадена вредносте еднакво на 14, лесно може да се најде со калкулатор или да се запамети со честа употреба, но за погодност, на крајот од статијата ќе ви дадам список со квадрати на броеви кои често може да се сретнат при вакви проблеми.
Пронајдената вредност ја заменуваме во коренската формула

и добиваме

Задача 2. Решете ја равенката

2x 2 +x-3=0.

Решение: Имаме целосна квадратна равенка, ги запишуваме коефициентите и ја наоѓаме дискриминантната


Користејќи познати формули ги наоѓаме корените на квадратната равенка

Задача 3. Решете ја равенката

9x 2 -12x+4=0.

Решение: Имаме целосна квадратна равенка. Одредување на дискриминатор

Добивме случај кога корените се совпаѓаат. Најдете ги вредностите на корените користејќи ја формулата

Задача 4. Решете ја равенката

x^2+x-6=0 .

Решение: Во случаи кога има мали коефициенти за x, препорачливо е да се примени теоремата на Виета. Според неговата состојба добиваме две равенки

Од вториот услов откриваме дека производот мора да биде еднаков на -6. Ова значи дека еден од корените е негативен. Го имаме следниот можен пар решенија (-3;2), (3;-2) . Земајќи го предвид првиот услов, го отфрламе вториот пар решенија.
Корените на равенката се еднакви

Задача 5. Најдете ги должините на страните на правоаголникот ако неговиот периметар е 18 cm, а неговата плоштина е 77 cm 2.

Решение: Половина од периметарот на правоаголникот е еднаква на збирот на неговите соседни страни. Да го означиме x како поголема страна, тогаш 18-x е нејзината помала страна. Површината на правоаголникот е еднаква на производот од овие должини:
x(18-x)=77;
или
x 2 -18x+77=0.
Да ја најдеме дискриминаторот на равенката

Пресметување на корените на равенката

Ако x=11,Тоа 18 = 7,точно е и спротивното (ако x=7, тогаш 21's=9).

Задача 6. Факторирајте ја квадратната равенка 10x 2 -11x+3=0.

Решение: Да ги пресметаме корените на равенката, за да го направиме ова, ја наоѓаме дискриминантната

Пронајдената вредност ја заменуваме во коренската формула и пресметуваме

Ја применуваме формулата за разложување на квадратна равенка по корени

Отворајќи ги заградите добиваме идентитет.

Квадратна равенка со параметар

Пример 1. При кои вредности на параметрите А ,дали равенката (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 има еден корен?

Решение: Со директна замена на вредноста a=3 гледаме дека нема решение. Следно, ќе го искористиме фактот дека со нулта дискриминанта равенката има еден корен од множина 2. Ајде да го отпишеме дискриминаторот

Да го поедноставиме и да го изедначиме со нула

Добивме квадратна равенка во однос на параметарот a, чиешто решение може лесно да се добие со помош на теоремата на Виета. Збирот на корените е 7, а нивниот производ е 12. Со едноставно пребарување утврдуваме дека броевите 3,4 ќе бидат корени на равенката. Бидејќи веќе го отфрливме решението a=3 на почетокот на пресметките, единственото точно ќе биде - a=4.Така, за a=4 равенката има еден корен.

Пример 2. При кои вредности на параметрите А ,равенката a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0има повеќе од еден корен?

Решение: Прво да ги разгледаме точките во еднина, тие ќе бидат вредностите a=0 и a=-3. Кога a=0, равенката ќе се поедностави во формата 6x-9=0; x=3/2 и ќе има еден корен. За a= -3 го добиваме идентитетот 0=0.
Да ја пресметаме дискриминаторката

и најдете ја вредноста на a на која е позитивна

Од првиот услов добиваме a>3. За втората, ги наоѓаме дискриминаторот и корените на равенката


Ајде да ги дефинираме интервалите каде што зафаќа функцијата позитивни вредности. Со замена на точката a=0 добиваме 3>0 . Значи, надвор од интервалот (-3;1/3) функцијата е негативна. Не заборавајте на поентата a=0,што треба да се исклучи бидејќи првобитната равенка има еден корен во неа.
Како резултат на тоа, добиваме два интервали кои ги задоволуваат условите на проблемот

Ќе има многу слични задачи во пракса, обидете се сами да ги сфатите задачите и не заборавајте да ги земете предвид условите кои меѓусебно се исклучуваат. Добро проучете ги формулите за решавање квадратни равенки; тие често се потребни во пресметките во различни проблеми и науки.

Селско средно училиште Копјевскаја

10 начини за решавање на квадратни равенки

Раководител: Патрикеева Галина Анатолиевна,

наставник по математика

село Копево, 2007 г

1. Историја на развојот на квадратните равенки

1.1 Квадратни равенки во антички Вавилон

1.2 Како Диофант составил и решавал квадратни равенки

1.3 Квадратни равенки во Индија

1.4 Квадратни равенки од Ал-Хорезми

1.5 Квадратни равенки во Европа XIII - XVII век

1.6 За теоремата на Виета

2. Методи за решавање на квадратни равенки

Заклучок

Литература

1. Историја на развојот на квадратните равенки

1.1 Квадратни равенки во антички Вавилон

Потребата за решавање равенки не само од прв, туку и од втор степен во античко време била предизвикана од потребата да се решат проблемите поврзани со наоѓање области земјишни парцелии со земјени работи од воен карактер, како и со самиот развој на астрономијата и математиката. Квадратни равенки можеле да се решат околу 2000 година п.н.е. д. Вавилонци.

Користејќи модерна алгебарска нотација, можеме да кажеме дека во нивните текстови со клинесто писмо, покрај нецелосните, има и такви, на пример, целосни квадратни равенки:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Правилото за решавање на овие равенки, утврдено во вавилонските текстови, во суштина се совпаѓа со модерното, но не е познато како Вавилонците дошле до ова правило. Речиси сите досега пронајдени текстови со клинесто писмо даваат само проблеми со решенија изложени во форма на рецепти, без индикации за тоа како се пронајдени.

И покрај високо ниворазвој на алгебрата во Вавилон, текстовите со клинесто писмо немаат концепт за негативен број и општи методирешавање на квадратни равенки.

1.2 Како Диофант составил и решавал квадратни равенки.

Аритметиката на Диофант не содржи систематско прикажување на алгебрата, но содржи систематска серија проблеми, придружени со објаснувања и решени со конструирање равенки од различни степени.

Кога составува равенки, Диофант вешто избира непознати за да го поедностави решението.

Еве, на пример, една од неговите задачи.

Задача 11.„Најдете два броја, знаејќи дека нивниот збир е 20, а нивниот производ е 96“

Диофант образложува вака: од условите на проблемот произлегува дека бараните броеви не се еднакви, бидејќи кога би биле еднакви, тогаш нивниот производ не би бил еднаков на 96, туку на 100. Така, еден од нив ќе биде повеќе од половина од нивниот збир, т.е. 10 + x, другото е помалку, т.е. 10-ти. Разликата меѓу нив 2x .

Оттука и равенката:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Од тука x = 2. Еден од потребните броеви е еднаков на 12 , друго 8 . Решение x = -2бидејќи Диофант не постои, бидејќи грчката математика знаела само позитивни броеви.

Ако го решиме овој проблем со избирање на еден од бараните броеви како непознат, тогаш ќе дојдеме до решение на равенката

y (20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Јасно е дека со избирање на полуразликата на потребните броеви како непозната, Диофант го поедноставува решението; тој успева да ја сведе задачата на решавање на нецелосна квадратна равенка (1).

1.3 Квадратни равенки во Индија

Проблемите со квадратните равенки се наоѓаат веќе во астрономскиот трактат „Аријабхатиам“, составен во 499 година од индискиот математичар и астроном Аријабхата. Друг индиски научник, Брамагупта (VII век), истакна општо правилорешенија на квадратни равенки сведени на една канонска форма:

ах 2 + б x = c, a > 0. (1)

Во равенката (1), коефициентите, освен А, може да биде и негативен. Правилото на Брамагупта во суштина е исто како и нашето.

ВО Античка ИндијаЈавните натпревари во решавање на тешки проблеми беа вообичаени. Една од старите индиски книги го вели следново за ваквите натпревари: „Како што сонцето ги затемнува ѕвездите со својот сјај, така учен човекзатемни ја славата на друг во народните собири со предлагање и решавање на алгебарски проблеми“. Проблемите честопати беа претставени во поетска форма.

Ова е еден од проблемите на познатиот индиски математичар од 12 век. Баскари.

Задача 13.

„Јато живописни мајмуни и дванаесет покрај виновата лоза...

Властите, јадејќи, се забавуваа. Почнаа да скокаат, да висат...

Ги има на плоштадот осми дел Колку мајмуни имаше?

Се забавував на чистината. Кажи ми, во овој пакет?

Решението на Бхаскара покажува дека тој знаел дека корените на квадратните равенки се со две вредности (сл. 3).

Равенката што одговара на задачата 13 е:

( x /8) 2 + 12 = x

Бхаскара пишува под маската:

x 2 - 64x = -768

и, за да се заврши левата страна од оваа равенка на квадрат, се додава на двете страни 32 2 , потоа добивате:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Квадратни равенки во ал - Хорезми

Во алгебарскиот трактат на Ал Хорезми е дадена класификација на линеарни и квадратни равенки. Авторот брои 6 типа равенки, изразувајќи ги на следниов начин:

1) „Квадратите се еднакви на корените“, т.е. секира 2 + в = б X.

2) „Квадратите се еднакви на броевите“, т.е. секира 2 = в.

3) „Корените се еднакви на бројот“, т.е. ах = с.

4) „Квадратите и броевите се еднакви на корените“, т.е. секира 2 + в = б X.

5) „Квадратите и корените се еднакви на броевите“, т.е. ах 2 + bx = s.

6) „Корените и броевите се еднакви на квадрати“, т.е. bx + c = секира 2 .

За Ал Хорезми, кој избегнуваше консумација негативни броеви, членовите на секоја од овие равенки се додавања, а не одземања. Во овој случај, равенките кои немаат позитивни решенија очигледно не се земаат предвид. Авторот поставува методи за решавање на овие равенки користејќи ги техниките на ал-џабр и ал-мукабала. Неговите одлуки, се разбира, не се совпаѓаат целосно со нашите. Да не зборуваме дека е чисто реторичко, треба да се истакне, на пример, дека при решавање на нецелосна квадратна равенка од прв тип

Ал Хорезми, како и сите математичари пред 17 век, не го зема предвид нултото решение, веројатно затоа што во конкретни практични проблеми тоа не е важно. Кога решава целосни квадратни равенки, Ал-Хорезми ги поставува правилата за нивно решавање користејќи одредени нумерички примери, а потоа и геометриски докази.

Задача 14.„Квадратот и бројот 21 се еднакви на 10 корени. Најдете го коренот" (имплицира коренот на равенката x 2 + 21 = 10x).

Решението на авторот оди отприлика вака: поделете го бројот на корените на половина, добивате 5, помножете 5 сам по себе, одземете 21 од производот, она што останува е 4. Земете го коренот од 4, добивате 2. Одземете 2 од 5 , добивате 3, ова ќе биде саканиот корен. Или додадете 2 до 5, што дава 7, ова е исто така корен.

Расправата на Ал-Хорезми е првата книга што дошла до нас, која систематски ја поставува класификацијата на квадратните равенки и дава формули за нивно решавање.

1.5 Квадратни равенки во Европа XIII - XVII бб

Формулите за решавање на квадратни равенки по линиите на Ал-Хаваризми во Европа за првпат биле изнесени во Книгата на Абакус, напишана во 1202 година од италијанскиот математичар Леонардо Фибоначи. Ова обемно дело, кое го одразува влијанието на математиката, како на исламските земји така и Античка Грција, се одликува и со комплетноста и по јасноста на презентацијата. Авторот самостојно развил некои нови алгебарски примерирешавајќи проблеми и прв во Европа воведе негативни бројки. Неговата книга придонесе за ширење на алгебарското знаење не само во Италија, туку и во Германија, Франција и други европски земји. Многу проблеми од Книгата на Абакус се користени во речиси сите европски учебници од 16 - 17 век. а делумно XVIII.

Општо правило за решавање на квадратни равенки сведено на една канонска форма:

x 2 + bx = в,

за сите можни комбинации на знаци на коефициент б , Собеше формулиран во Европа дури во 1544 година од М. Штифел.

Изведувањето на формулата за решавање на квадратна равенка во општа форма е достапна од Vieth, но Vieth препозна само позитивни корени. Италијанските математичари Тартаља, Кардано, Бомбели биле меѓу првите во 16 век. Тие ги земаат предвид, покрај позитивните, и негативни корени. Само во 17 век. Благодарение на работата на Жирар, Декарт, Њутн и други научници, методот на решавање квадратни равенки добива современа форма.

1.6 За теоремата на Виета

Теоремата што ја изразува врската помеѓу коефициентите на квадратната равенка и нејзините корени, именувана по Виета, беше формулирана од него за прв пат во 1591 година на следниов начин: „Ако Б + Д, помножено со А - А 2 , еднакви БД, Тоа Аеднакви ВОи еднакви Д ».

За да го разбереме Виета, треба да го запомниме тоа А, како и секоја самогласна буква, значеше непознато (наше X), самогласки ВО, Д- коефициенти за непознатото. На јазикот на модерната алгебра, горната формулација Виета значи: ако има

(а + б )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + б ) x + a б = 0,

x 1 = a, x 2 = б .

Изразување на односот помеѓу корените и коефициентите на равенките општи формулинапишано со помош на симболи, Виет воспоставил униформност во методите за решавање равенки. Сепак, симболиката на Виет е сè уште далеку од модерен изглед. Тој не препознаваше негативни броеви и затоа, кога решаваше равенки, ги разгледуваше само случаите кога сите корени беа позитивни.

2. Методи за решавање на квадратни равенки

Квадратните равенки се темелот на кој почива величественото здание на алгебрата. Пронајдени се квадратни равенки широка применапри решавање на тригонометриски, експоненцијални, логаритамски, ирационални и трансцендентални равенки и неравенки. Сите знаеме како да решаваме квадратни равенки од училиште (8-мо одделение) до матура.