Одржувањето на вашата приватност е важно за нас. Поради оваа причина, развивме Политика за приватност која опишува како ги користиме и складираме вашите информации. Ве молиме прегледајте ги нашите практики за приватност и кажете ни ако имате какви било прашања.
Собирање и користење на лични информации
Личните информации се однесуваат на податоци што може да се користат за идентификација одредена личностили врска со него.
Може да биде побарано од вас да ги дадете вашите лични податоци во секое време кога ќе не контактирате.
Подолу се дадени неколку примери за типовите на лични информации што можеме да ги собираме и како можеме да ги користиме тие информации.
Кои лични податоци ги собираме:
- Кога поднесувате апликација на страницата, може да собереме различни информации, вклучувајќи го вашето име, телефонски број, адреса Е-поштаитн.
Како ги користиме вашите лични податоци:
- Собрани од нас лични податоцини овозможува да ве контактираме и да ве информираме за уникатни понуди, промоции и други настани и претстојни настани.
- Од време на време, може да ги користиме вашите лични податоци за да испраќаме важни известувања и комуникации.
- Може да користиме и лични информации за внатрешни цели како што се ревизија, анализа на податоци и различни студиисо цел да ги подобриме услугите што ги нудиме и да ви дадеме препораки во врска со нашите услуги.
- Ако учествувате во наградно извлекување, натпревар или слична промоција, ние може да ги користиме информациите што ги давате за администрирање на такви програми.
Откривање на информации на трети страни
Ние не ги откриваме информациите добиени од вас на трети страни.
Исклучоци:
- Доколку е потребно - во согласност со закон, судска постапка, правни постапки и/или врз основа на јавни барања или барања од владини агенциина територијата на Руската Федерација - обелоденете ги вашите лични податоци. Ние, исто така, може да откриеме информации за вас ако утврдиме дека таквото откривање е неопходно или соодветно за безбедност, спроведување на законот или други цели од јавна важност.
- Во случај на реорганизација, спојување или продажба, можеме да ги пренесеме личните информации што ги собираме на соодветната трета страна наследник.
Заштита на лични информации
Преземаме мерки на претпазливост - вклучувајќи административни, технички и физички - за да ги заштитиме вашите лични информации од губење, кражба и злоупотреба, како и од неовластен пристап, откривање, менување и уништување.
Почитување на вашата приватност на ниво на компанија
За да се осигураме дека вашите лични информации се безбедни, ние ги пренесуваме стандардите за приватност и безбедност на нашите вработени и строго ги спроведуваме практиките за приватност.
Некои ученици навистина не ги сакаат равенките и проблемите во кои се појавува коренскиот знак. Но, решавањето на пример од корен не е толку тешко, важно е да се знае од која страна да се пристапи кон проблемот. Самата икона, која укажува на извлекување на коренот, се нарекува радикал. Како да се решат корените? Да се извлече квадратен корен од број значи да се избере број кој, кога ќе се квадрира, ќе ја даде истата вредност под радикалниот знак.
Значи, како да се решат квадратните корени
Одлучи квадратни коренине е тешко. На пример, треба да откриете кој е коренот на 16. За да го решите овој едноставен пример, треба да запомните колку е квадрат 2 - 2 2, потоа 3 2 и на крајот 4 2. Дури сега ќе видиме дека резултатот (16) одговара на барањето. Односно, за да го извлечеме коренот, моравме да избереме можни вредности. Излегува дека не постои точен и докажан алгоритам за решавање на корените. За да ја олеснат работата на „решителот“, математичарите препорачуваат да се запаметат (точно напамет, како табела за множење) вредностите на квадратите со броеви до дваесет. Тогаш ќе биде можно лесно да се извлече коренот на броевите што се повеќе од сто. И, напротив, можете веднаш да видите дека коренот не може да се извлече од овој број, односно одговорот нема да биде цел број.
Сфативме како да решиме квадратни корени. Сега да откриеме кои квадратни корени немаат решение. На пример, негативни броеви. Овде е јасно дека ако два негативни броевимножи - одговорот ќе биде со знак плус. Еве што треба да знаете: Коренот може да се извлече од кој било број (освен негативен, како што е споменато погоре). Одговорот може едноставно да испадне дека е децимална дропка. Односно, содржи одреден број цифри по децималната точка. На пример, коренот на два има вредност 1,41421 и ова не се сите броеви по децималната точка. Таквите вредности се заокружуваат за да се олеснат пресметките, понекогаш до второто децимално место, понекогаш до третото или четвртото место. Дополнително, често се практикува бројот да се остави под коренот како одговор доколку изгледа добро и компактно. На крајот на краиштата, веќе е јасно што значи тоа.
Како да се решат равенките со корени?
За да ги решите равенките со корени, треба да користите еден од методите што не сме измислени од нас. На пример, квадратете ги двете страни на таквата равенка. На пример:
Корен на X+3=5
Да ги квадрираме левата и десната страна на равенката:
Сега можете да видите како да ја решите оваа равенка. Прво, ајде да дознаеме на што е еднакво X 2 (и е еднакво на 16), а потоа да го земеме коренот од него. Одговор: 4. Меѓутоа, овде вреди да се каже дека оваа равенка всушност има две решенија, два корени: 4 и -4. На крајот на краиштата, -4 на квадрат исто така дава 16.
Покрај овој метод, понекогаш е попривлечно и поудобно да се замени променливата што е под коренот со друга променлива за да се ослободиме од овој корен.
Y = корен од X.
Последователно, откако ја решивме равенката, се враќаме на замената и ги завршуваме пресметките со коренот.
Тоа е, добиваме X = Y 2. И ова ќе биде решението.
Треба да се каже дека има уште неколку техники за решавање равенки со корени.
Како да се решат корените во моќта?
Радикал, кој нема моќ во својата основа, значи дека треба да го земете квадратниот корен на израз или број, односно квадратната моќност обратно. Тоа е едноставно и јасно. На пример: корен од 9 = 3, (и 3 2 = 9), корен од 16 = 4 (4 2 = 16) и сè во истиот дух. Но, што значи ако коренот има диплома? Ова значи дека е неопходно, повторно, да се изврши дејството спротивно на неговото подигнување на оваа моќ. На пример, треба да ја дознаете вредноста на коренот на коцката 27.
За да го направите ова, треба да изберете број кој, кога ќе се коцка, ќе даде 27. Ова е 3 (3*3*3=27).
корен 3 од 27 = 3
Слични дејства треба да се извршат ако степенот на коренот е 4, 5. Само во овој случај потребно е да се избере број кој, кога ќе се подигне на моќност nќе ја даде вредноста под коренот n-ти степен.
Овде мора да се каже дека степените на корените и степените на радикалните изрази можат да се намалат. Сепак, според правилата. Ако бројот или променливата под коренот има степен кој е повеќекратен од степенот на коренот, тие можат да се намалат. На пример:
корен 3 од X 6 = X 2
Овие правила за справување со корените и моќите се едноставни, треба јасно да ги знаете, а потоа пресметката ќе биде едноставна. Сфативме како да ги решиме корените до одреден степен, сега продолжуваме понатаму.
Како да се реши коренот под коренот?
Овој страшен израз е корен по корен и на прв поглед не може да се реши. Но, за правилно да ја пресметате вредноста на таков израз, треба да ги знаете својствата на корените. Во овој случај, само треба да замените два корени со еден. За да го направите ова, степените на овие радикали треба едноставно да се помножат. На пример:
корен 3 од коренот 729 = (корен 3 * корен 2) од 729
Односно, овде го помноживме коренот на коцката со квадратен корен. Како резултат, го добивме шестиот корен:
корен 6 од 729 = 3
Други слични корени под коренот треба да се решат на ист начин.
Имајќи ги предвид сите предложени примери, лесно е да се согласиме дека решавањето на корените не е толку тешка задача. Се разбира, кога станува збор за едноставна, банална аритметика, понекогаш е полесно да се користи познат калкулатор. Сепак, пред да направите пресметки, треба да направите се што е можно за да ја поедноставите задачата за себе, намалувајќи го бројот и сложеноста на аритметичките пресметки колку што е можно повеќе. Тогаш решението ќе стане едноставно и што е најважно, интересно.
Откако ќе го проучиме концептот на еднаквости, имено еден од нивните типови - нумерички еднаквости, можеме да преминеме на друг важен поглед– равенки. Во рамките на овој материјал ќе објасниме што е равенка и нејзиниот корен, ќе ги формулираме основните дефиниции и ќе дадеме разни примериравенки и наоѓање на нивните корени.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Поим за равенка
Обично концептот на равенка се изучува на самиот почеток училишен курсалгебра. Тогаш тоа е дефинирано вака:
Дефиниција 1
Равенканаречена еднаквост со непознат број што треба да се најде.
Вообичаено е непознатите да се назначуваат како мали со латински букви, на пример, t, r, m итн., но најчесто се користат x, y, z. Со други зборови, равенката се определува според формата на нејзиното снимање, односно еднаквоста ќе биде равенка само кога ќе се сведе на одредена форма - таа мора да содржи буква, вредноста што мора да се најде.
Да дадеме неколку примери на наједноставните равенки. Тоа може да бидат еднаквости од формата x = 5, y = 6, итн., како и оние кои вклучуваат аритметички операции, на пример, x + 7 = 38, z − 4 = 2, 8 t = 4, 6: x = 3.
Откако ќе се научи концептот на загради, се појавува концептот на равенки со загради. Тие вклучуваат 7 · (x − 1) = 19, x + 6 · (x + 6 · (x − 8)) = 3, итн. Буквата што треба да се најде може да се појави повеќе од еднаш, но неколку пати, како , на пример, во равенката x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 . Исто така, непознатите можат да се лоцираат не само лево, туку и десно или во двата дела во исто време, на пример, x (8 + 1) − 7 = 8, 3 − 3 = z + 3 или 8 x − 9 = 2 (x + 17) .
Понатаму, откако учениците ќе се запознаат со концептот на цели броеви, реални, рационални, природни броеви, како и логаритми, корени и моќи, се појавуваат нови равенки кои ги вклучуваат сите овие објекти. Посветивме посебна статија на примери на такви изрази.
Во наставната програма за VII одделение за прв пат се појавува концептот на променливи. Ова се букви кои можат да ги земат различни значења(За повеќе информации, видете ја статијата за нумерички, буквални и променливи изрази). Врз основа на овој концепт, можеме да ја редефинираме равенката:
Дефиниција 2
Равенкатае еднаквост што вклучува променлива чија вредност треба да се пресмета.
Односно, на пример, изразот x + 3 = 6 x + 7 е равенка со променливата x, а 3 y − 1 + y = 0 е равенка со променливата y.
Една равенка може да има повеќе од една променлива, но две или повеќе. Тие се нарекуваат, соодветно, равенки со две, три променливи итн. Да ја запишеме дефиницијата:
Дефиниција 3
Равенките со две (три, четири или повеќе) променливи се равенки кои вклучуваат соодветен број на непознати.
На пример, еднаквост од формата 3, 7 · x + 0, 6 = 1 е равенка со една променлива x, а x − z = 5 е равенка со две променливи x и z. Пример за равенка со три променливи би бил x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26.
Корен на равенката
Кога зборуваме за равенка, веднаш се наметнува потребата да се дефинира концептот на нејзиниот корен. Ајде да се обидеме да објасниме што значи тоа.
Пример 1
Ни е дадена одредена равенка која вклучува една променлива. Ако замениме број за непознатата буква, равенката станува нумеричка еднаквост - точно или неточно. Значи, ако во равенката a + 1 = 5 ја замениме буквата со бројот 2, тогаш еднаквоста ќе стане неточна, а ако 4, тогаш точната еднаквост ќе биде 4 + 1 = 5.
Повеќе нè интересираат токму оние вредности со кои променливата ќе се претвори во вистинска еднаквост. Тие се нарекуваат корени или решенија. Ајде да ја запишеме дефиницијата.
Дефиниција 4
Корен на равенкатаТие ја нарекуваат вредноста на променливата што ја претвора дадената равенка во вистинска еднаквост.
Коренот може да се нарече и решение, или обратно - двата од овие концепти значат исто.
Пример 2
Да земеме пример за да ја разјасниме оваа дефиниција. Погоре ја дадовме равенката a + 1 = 5. Според дефиницијата, коренот во овој случај ќе биде 4, бидејќи кога ќе се замени наместо буква ја дава точната нумеричка еднаквост, а два нема да бидат решение, бидејќи одговара на неточната еднаквост 2 + 1 = 5.
Колку корени може да има една равенка? Дали секоја равенка има корен? Ајде да одговориме на овие прашања.
Постојат и равенки кои немаат единствен корен. Еден пример би бил 0 x = 5. Можеме да замениме бесконечен број на различни броеви во него, но ниту еден од нив нема да го претвори во вистинска еднаквост, бидејќи множењето со 0 секогаш дава 0.
Постојат и равенки кои имаат неколку корени. Тие можат да бидат или конечни или бесконечни голем број накорени.
Пример 3
Значи, во равенката x − 2 = 4 има само еден корен - шест, во x 2 = 9 два корени - три и минус три, во x · (x − 1) · (x − 2) = 0 три корени - нула, еден и два, во равенката x=x има бесконечно многу корени.
Сега да објасниме како правилно да ги напишеме корените на равенката. Ако ги нема, тогаш пишуваме: „равенката нема корени“. Во овој случај, можете да го означите и знакот на празното множество ∅. Ако има корени, тогаш ги пишуваме одделени со запирки или ги означуваме како елементи на множество, затворајќи ги во кадрави загради. Значи, ако некоја равенка има три корени - 2, 1 и 5, тогаш пишуваме - 2, 1, 5 или (- 2, 1, 5).
Дозволено е да се пишуваат корени во форма на едноставни еднаквости. Значи, ако непознатата во равенката е означена со буквата y, а корените се 2 и 7, тогаш пишуваме y = 2 и y = 7. Понекогаш претплатите се додаваат на буквите, на пример, x 1 = 3, x 2 = 5. На овој начин укажуваме на броевите на корените. Ако равенката има бесконечен број решенија, тогаш одговорот го запишуваме како нумерички интервал или користиме општо прифатена нотација: множеството природни броеви се означува N, цели броеви - Z, реални броеви - R. Да речеме, ако треба да напишеме дека решението на равенката ќе биде кој било цел број, тогаш запишуваме дека x ∈ Z, а ако некој реален број од еден до девет, тогаш y ∈ 1, 9.
Кога равенката има два, три корени или повеќе, тогаш, по правило, не зборуваме за корени, туку за решенија на равенката. Да ја формулираме дефиницијата за решение на равенка со неколку променливи.
Дефиниција 5
Решението на равенка со две, три или повеќе променливи е две, три или повеќе вредности на променливите што ја претвораат дадената равенка во правилна нумеричка еднаквост.
Да ја објасниме дефиницијата со примери.
Пример 4
Да речеме дека го имаме изразот x + y = 7, што е равенка со две променливи. Ајде да замениме еден наместо првиот, а два наместо вториот. Ќе добиеме неточна еднаквост, што значи дека овој пар вредности нема да биде решение дадена равенка. Ако ги земеме парот 3 и 4, тогаш еднаквоста станува вистинита, што значи дека најдовме решение.
Таквите равенки исто така може да немаат корени или бесконечен број од нив. Ако треба да запишеме две, три, четири или повеќе вредности, тогаш ги запишуваме одделени со запирки во загради. Тоа е, во примерот погоре, одговорот ќе изгледа како (3, 4).
Во пракса, најчесто треба да се справите со равенки кои содржат една променлива. Алгоритмот за нивно решавање детално ќе го разгледаме во написот посветен на решавање равенки.
Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter
Додека учат алгебра, учениците се соочуваат со многу видови равенки. Меѓу оние кои се наједноставни се линеарните, кои содржат една непозната. Ако променливата во математичкиот израз е подигната на одредена моќност, тогаш равенката се нарекува квадратна, кубна, двоквадратна итн. Овие изрази може да содржат рационални броеви. Но, постојат и ирационални равенки. Тие се разликуваат од другите по присуството на функција каде што непознатото е под радикалниот знак (односно, чисто надворешно, променливата овде може да се види напишана под квадратниот корен). Решавањето на ирационални равенки има свое карактеристики. При пресметување на вредноста на променливата за да се добие точниот одговор, тие мора да се земат предвид.
„Неискажливо со зборови“
Не е тајна дека античките математичари работеле главно рационални броеви. Тие вклучуваат, како што е познато, цели броеви изразени преку обични и децимални периодични дропки, претставници на дадена заедница. Сепак, научниците од Блискиот и Блискиот Исток, како и од Индија, развивајќи тригонометрија, астрономија и алгебра, исто така научија да решаваат ирационални равенки. На пример, Грците знаеле слични количини, но ставајќи ги во вербална форма, го користеле концептот „алогос“, што значи „неискажливо“. Нешто подоцна, Европејците, имитирајќи ги, таквите броеви ги нарекоа „глуви“. Тие се разликуваат од сите други по тоа што можат да бидат претставени само во форма на бесконечна непериодична дропка, чиј конечен нумерички израз е едноставно невозможно да се добие. Затоа, почесто таквите претставници на царството на броеви се пишуваат во форма на броеви и знаци како некој израз кој се наоѓа под коренот на вториот или повисок степен.
Врз основа на горенаведеното, да се обидеме да дефинираме ирационална равенка. Таквите изрази содржат таканаречени „неискажливи броеви“, напишани со знакот од квадратен корен. Тие можат да претставуваат секакви прилично сложени опции, но во нивните во наједноставна формаТие изгледаат како на фотографијата подолу.
Кога почнувате да решавате ирационални равенки, пред сè, потребно е да се пресмета опсегот на дозволените вредности на променливата.
Дали изразот има смисла?
Потребата за проверка на добиените вредности произлегува од својствата.Како што е познато, таков израз е прифатлив и има какво било значење само под одредени услови. Во случај на корени со парни степени, сите радикални изрази мора да бидат позитивни или еднакви на нула. Доколку овој услов не е исполнет, тогаш презентираната математичка нотација не може да се смета за значајна.
Ајде да дадеме конкретен пример за тоа како се решаваат ирационални равенки (на сликата подолу).
Во овој случај, очигледно е дека наведените услови не можат да бидат задоволени за ниту една вредност прифатена од саканата вредност, бидејќи излегува дека 11 ≤ x ≤ 4. Ова значи дека само Ø може да биде решение.
Начин на анализа
Од горенаведеното, станува јасно како да се решат некои видови ирационални равенки. Еве на ефективен начинможе да биде едноставна анализа.
Дозволете ни да дадеме голем број примери кои повторно јасно ќе го покажат ова (на сликата подолу).
Во првиот случај, по внимателно испитување на изразот, веднаш излегува дека е крајно јасно дека не може да биде вистина. Навистина, на левата страна на еднаквоста треба да ја добиеме позитивен број, што не може да биде еднакво на -1.
Во вториот случај, збирот на два позитивни изрази може да се смета за еднаков на нула само кога x - 3 = 0 и x + 3 = 0 во исто време. И ова е повторно невозможно. А тоа значи дека одговорот повторно треба да биде напишан Ø.
Третиот пример е многу сличен на оној што веќе беше дискутиран претходно. Навистина, овде условите на ODZ бараат да се задоволи следната апсурдна неравенка: 5 ≤ x ≤ 2. И таквата равенка на ист начин не може да има разумни решенија.
Неограничено зумирање
Природата на ирационалното најјасно и најцелосно може да се објасни и да се знае само преку бескрајна серија на бројки децимална. И конкретно, светол примереден од членовите на ова семејство е πi. Не е без причина што оваа математичка константа е позната уште од античко време, која се користи за пресметување на обемот и плоштината на кругот. Но, меѓу Европејците првпат беше спроведена од Англичанецот Вилијам Џонс и Швајцарецот Леонард Ојлер.
Оваа константа се појавува на следниов начин. Ако споредиме кругови со различен обем, тогаш односот на нивните должини и дијаметри е нужно еднаков на истиот број. Ова е пи. Ако го изразиме преку заедничка дропка, тогаш добиваме приближно 22/7. Ова прв го направил големиот Архимед, чиј портрет е прикажан на сликата погоре. Ете зошто сличен бројго доби своето име. Но, ова не е експлицитна, туку приближна вредност на можеби најневеројатните бројки. Брилијантен научник ја нашол саканата вредност со точност од 0,02, но, всушност, оваа константа нема вистинско значење, туку е изразена како 3,1415926535... Станува збор за бескрајна серија од броеви, кои неодредено се приближуваат до некоја митска вредност.
Квадратирање
Но, да се вратиме на ирационалните равенки. За да го пронајдат непознатото, во овој случај тие многу често прибегнуваат кон едноставен метод: квадрат двете страни на постоечката еднаквост. Овој метод обично дава добри резултати. Но, треба да се земе предвид подмолноста на ирационалните величини. Сите корени добиени како резултат на ова мора да се проверат, бидејќи можеби не се соодветни.
Но, ајде да продолжиме да ги разгледуваме примерите и да се обидеме да ги најдеме променливите користејќи го новопредложениот метод.
Воопшто не е тешко, користејќи ја теоремата на Виета, да ги најдеме саканите вредности на количините откако, како резултат на одредени операции, формиравме квадратна равенка. Овде излегува дека меѓу корените ќе има 2 и -19. Меѓутоа, кога проверувате, заменувајќи ги добиените вредности во оригиналниот израз, можете да бидете сигурни дека ниту еден од овие корени не е соодветен. Ова е честа појава во ирационални равенки. Тоа значи дека нашата дилема повторно нема решенија, а одговорот треба да означува празен сет.
Покомплексни примери
Во некои случаи, неопходно е да се квадрираат двете страни на изразот не еднаш, туку неколку пати. Ајде да погледнеме примери каде тоа е потребно. Тие може да се видат подолу.
Откако ги добивте корените, не заборавајте да ги проверите, бидејќи може да се појават дополнителни. Треба да се објасни зошто е тоа можно. При примена на овој метод, равенката е донекаде рационализирана. Но, ослободувајќи се од корените што не ги сакаме, кои не спречуваат да вршиме аритметички операции, се чини дека го прошируваме постоечкиот опсег на значења, кој е полн (како што може да се разбере) со последици. Предвидувајќи го ова, вршиме проверка. Во овој случај, постои можност да се уверите дека е соодветен само еден од корените: x = 0.
Системи
Што треба да правиме во случаи кога треба да решаваме системи на ирационални равенки, а немаме една, туку две непознати? Овде постапуваме на ист начин како и во обичните случаи, но земајќи ги предвид горенаведените својства на овие математички изрази. И во секоја нова задача, се разбира, треба да користите креативен пристап. Но, повторно, подобро е да размислите сè конкретен примерпретставени подолу. Овде не само што треба да ги најдете променливите x и y, туку и да го наведете нивниот збир во одговорот. Значи, постои систем кој содржи ирационални количини (види слика подолу).
Како што можете да видите, таквата задача не претставува ништо натприродно тешко. Само треба да бидете паметни и да сфатите што лева странаПрвата равенка е квадратот на збирот. Слични задачи има и во обединетиот државен испит.
Ирационално во математиката
Секој пат, потребата да се создадат нови типови на броеви се појави кај човештвото кога немаше доволно „простор“ за да реши некои равенки. Ирационалните броеви не се исклучок. Како што сведочат фактите од историјата, големите мудреци првпат обрнале внимание на ова уште пред нашата ера, во VII век. Ова го направил математичар од Индија познат како Манава. Тој јасно разбра дека е невозможно да се извлече корен од некои природни броеви. На пример, тие вклучуваат 2; 17 или 61, како и многу други.
Еден од Питагорејците, мислител по име Хипас, дошол до истиот заклучок обидувајќи се да направи пресметки користејќи нумерички изрази на страните на пентаграмот. Откривање на математички елементи кои не можат да се изразат дигитални вредностиа немаат својства обични броеви, толку многу ги налутил колегите што бил фрлен на бродот во морето. Факт е дека другите Питагорејци сметаа дека неговото размислување е бунт против законите на универзумот.
Знак на радикалот: еволуција
Коренскиот знак за изразување на нумеричката вредност на „глувите“ броеви не започна веднаш да се користи при решавање на ирационални неравенки и равенки. Европските, особено италијанските, математичари првпат почнаа да размислуваат за радикалот околу 13 век. Во исто време, тие дојдоа до идеја да го користат латинскиот R за ознака. Но, германските математичари постапуваа поинаку во нивните дела. Повеќе им се допаднала буквата V. Во Германија набрзо се проширила ознаката V(2), V(3), која била наменета да го изрази квадратниот корен од 2, 3 итн. Подоцна, Холанѓаните интервенираа и го модифицираа знакот на радикалот. И Рене Декарт ја заврши еволуцијата, доведувајќи го знакот квадратен корен до модерно совршенство.
Ослободување од ирационалното
Ирационалните равенки и неравенки може да вклучуваат променлива не само под знакот на квадратен корен. Може да биде од кој било степен. Највообичаен начин да се ослободите од него е да ги подигнете двете страни на равенката до соодветната моќност. Ова е главната акција што помага во операциите со ирационалното. Дејствијата во парните случаи не се особено различни од оние за кои веќе разговаравме претходно. Овде мора да се земат предвид условите за негативноста на радикалниот израз, а на крајот од решението потребно е да се филтрираат надворешните вредности на променливите на ист начин како што беше прикажано во веќе разгледаните примери. .
Меѓу дополнителните трансформации кои помагаат да се најде точниот одговор, често се користи множење на изразот со неговиот конјугат, а исто така често е неопходно да се воведе нова променлива, што го олеснува решението. Во некои случаи, препорачливо е да се користат графикони за да се најде вредноста на непознатите.
Секоја нова акција во математиката веднаш ја генерира својата спротивност. Некогаш, старите Грци откриле дека квадратно парче земја долга 2 метри и широка 2 метри ќе има површина од 2*2 = 4 квадратни метри(во натамошниот текст ќе се означува со m^2). Сега, напротив, ако некој Грк знаел дека неговата парцела е квадратна и има површина од 4 m^2, како би знаел колкава е должината и ширината на неговата парцела? Беше воведена операција која беше обратна од операцијата на квадрат и стана позната како екстракција на квадратен корен. Луѓето почнаа да разбираат дека 2 квадрат (2^2) е еднакво на 4. Спротивно на тоа, квадратниот корен од 4 (во натамошниот текст √(4)) ќе биде еднаков на два. Моделите станаа посложени, а записите кои ги опишуваат процесите со корени исто така станаа покомплексни. Прашањето се појави многу пати: како да се реши равенка со корен.
Нека одредена вредност x, кога еднаш ќе се помножи со себе, даде 9. Ова може да се запише како x*x=9. Или преку степен: x^2=9. За да го пронајдете x, треба да го земете коренот на 9, што до одреден степен е веќе равенка со радикал: x=√(9) . Коренот може да се извади орално или со помош на калкулатор. Следно, треба да го разгледаме инверзниот проблем. Одредена величина, кога ќе се земе квадратниот корен од неа, ја дава вредноста 7. Ако ова го запишеме во форма на ирационална равенка, ќе добиеме: √(x) = 7. За да се реши овој проблем, потребно е да се квадрати двете страни на изразот. Имајќи предвид дека √(x) *√(x) =x, излегува x = 49. Коренот е веднаш готов во чиста форма. Следно, треба да погледнеме посложени примери на равенки со корени.
Дозволете ни да одземеме 5 од одредена количина, а потоа да го подигнеме изразот на моќност од 1/2. Како резултат на тоа, беше добиен бројот 3. Сега овој услов мора да се запише како равенка: √(x-5) =3. Следно, треба да го помножите секој дел од равенката сам по себе: x-5 = 3. По подигнувањето на втората моќност, изразот беше ослободен од радикали. Сега е време да се реши наједноставното линеарна равенка, поместување на петката на десната страна и менување на нејзиниот знак. x = 5+3. x = 8. За жал, не сите животни процеси можат да се опишат со толку едноставни равенки. Многу често можете да најдете изрази со неколку радикали, понекогаш степенот на коренот може да биде поголем од вториот. Не постои единствен алгоритам за решение за таквите идентитети. Вреди да се бара посебен пристап кон секоја равенка. Даден е пример во кој равенката со коренот има трет степен.
Коренот на коцката ќе биде означен со 3√. Најдете го волуменот на контејнер во форма на коцка со страна од 5 метри. Нека волуменот е x m^3. Тогаш коцканиот корен на волуменот ќе биде еднаква на странакоцка и еднаква на пет метри. Добиената равенка е: 3√(x) =5. За да го решите, треба да ги подигнете двата дела до третата моќност, x = 125. Одговор: 125 кубни метри. Подолу е пример за равенка со збир на корени. √(x) +√(x-1) =5. Прво треба да ги квадрите двата дела. За да го направите ова, вреди да се потсетиме на скратената формула за множење за квадратот на збирот: (a+b) ^2=a^2+2*ab+b^2. Применувајќи го ова на равенката, добиваме: x + 2*√(x) *√(x-1) + x-1 = 25. Следно, корените се оставаат на левата страна, а се друго се пренесува надесно : 2*√(x) *√ (x-1) = 26 - 2x. Удобно е да се поделат двете страни на изразот со 2: √((x) (x-1)) = 13 - x. Се добива поедноставна ирационална равенка.
Следно, двете страни треба повторно да се квадратат: x*(x-1) = 169 - 26x + x^2. Потребно е да се отворат заградите и да се донесат слични термини: x^2 - x = 169 - 26x + x^2. Вториот степен исчезнува, па оттука 25x = 169. x = 169/25 = 6,6. Со проверка, замена на добиениот корен во оригиналната равенка: √(6.6) +√(6.6-1) = 2.6 + √(5.6) = 2.6 + 2.4 = 5, можете да добиете задоволителен одговор. Исто така, многу е важно да се разбере дека изразот со корен од парен степен не може да биде негативен. Навистина, со множење на кој било број сам по себе парен број пати, невозможно е да се добие вредноста помалку од нула. Затоа, равенките како што се √(x^2+7x-11) = -3 може безбедно да не се решат, но да се напишат дека равенката нема корени. Како што споменавме погоре, решавањето равенки со радикали може да има различни форми.
Едноставен пример на равенка каде што е неопходно да се менуваат променливите. √(y) - 5*4√(y) +6 = 0, каде што 4√(y) е четвртиот корен од y. Предложената замена изгледа вака: x = 4√(y) . Откако ќе го направиме ова, добиваме: x^2 - 5x + 6 = 0. Се добива добиената квадратна равенка. Неговата дискриминација: 25 - 4*6 = 25 - 24 = 1. Првиот корен x1 ќе биде еднаков на (5 + √1) /2 = 6/2 = 3. Вториот корен x2 = (5 - √1) / 2 = 4/ 2 = 2. Можете исто така да ги најдете корените користејќи заклучок од теоремата на Виета. Корените се пронајдени, треба да се изврши обратна замена. 4√(y) = 3, па оттука y1 = 1,6. Исто така 4√(y) = 2, земајќи го 4-тиот корен излегува дека y2 = 1,9. Вредностите се пресметуваат со помош на калкулатор. Но, вие не треба да ги правите, оставајќи го одговорот во форма на радикали.
Се вчитува...
