Берілген фигураның параллелограмм екенін анықтау үшін бірқатар белгілер бар. Параллелограммның негізгі үш ерекшелігін қарастырайық.
Параллелограммның 1 белгісі
Егер төртбұрышта екі қабырғасы тең және параллель болса, онда бұл төртбұрыш параллелограмм болады.
Дәлел:
ABCD төртбұрышын қарастырыңыз. АВ және СД қабырғалары параллель болсын. AB = CD болсын. Онда диагональды BD сызайық. Ол бұл төртбұрышты екі тең үшбұрышқа бөледі: ABD және CBD.
Бұл үшбұрыштар екі жағынан бір-біріне тең және олардың арасындағы бұрыш (BD-ортақ жағы, шарты бойынша AB = CD, бұрыш 1 = бұрыш2 AB және CD параллель түзулерінің бөлінген ВД бұрышындағы қиылысу бұрыштары ретінде). сондықтан бұрыш3 = бұрыш4.
Және бұл бұрыштар BD сектантының BC және AD түзулерінің қиылысында көлденең болады. Бұдан шығатыны, б.э.д. мен AD бір -біріне параллель. Бізде ABCD төртбұрышында қарама -қарсы жақтары жұп параллель, сондықтан ABCD төртбұрышы параллелограмм болып табылады.
Параллелограммның 2 белгісі
Егер төртбұрышта қарама -қарсы жақтары жұптық тең болса, онда бұл төртбұрыш параллелограмм болады.
Дәлел:
ABCD төртбұрышын қарастырыңыз. Онда диагональды BD сызайық. Ол бұл төртбұрышты екі тең үшбұрышқа бөледі: ABD және CBD.
Бұл екі үшбұрыш үш жағынан бір -біріне тең болады (BD - ортақ жағы, шарты бойынша AB = CD және BC = AD). Бұдан бұрыш1 = бұрыш2 деген қорытынды жасауға болады. Бұдан шығатыны, АВ CD -ге параллель. Ал AB = CD мен AB CD -ге параллель болғандықтан, параллелограммның бірінші белгісі бойынша ABCD төртбұрышы параллелограмм болады.
Параллелограммның 3 белгісі
Егер төртбұрышта диагональдар қиылысса және қиылысу нүктесі екіге бөлінсе, онда бұл төртбұрыш параллелограмм болады.
ABCD төртбұрышын қарастырыңыз. Онда О нүктесінде қиылысатын және осы нүктеге жартысына бөлінетін екі AC және BD диагональдарын салайық.
Үшбұрыштардың теңдігінің бірінші белгісі бойынша AOB және COD үшбұрыштары бір -біріне тең болады. (AO = OC, BO = OD шарты бойынша, AOB бұрышы = COD бұрышы тік бұрыштар ретінде.) Демек, AB = CD және бұрыш1 = бұрыш 2. 1 және 2 бұрыштардың теңдігінен біз AB CD -ге параллель екенін білеміз. Сонда бізде ABCD төртбұрышында AB қабырғалары CD -ге тең және параллель, ал параллелограммның бірінші белгісі бойынша ABCD төртбұрышы параллелограмм болады.
1. Параллелограммның анықтамасы.
Егер біз параллель түзулердің жұбын басқа параллель түзулермен қиылысатын болсақ, онда қарама -қарсы жақтары жұптық параллель болатын төртбұрышты аламыз.
ABDC және EFNM төртбұрыштарында (224 -сурет) BD || AC және AB || CD;
ЕФ || МН және ЕМ || ФН.
Қарама -қарсы қабырғалары параллель болатын төртбұрыш параллелограмм деп аталады.
2. Параллелограммның қасиеттері.
Теорема. Параллелограммның диагоналы оны тең екі үшбұрышқа бөледі.
АБД параллелограмы болсын (225 -сурет), онда АВ || CD және айнымалы ток || BD.
Диагональ оны тең екі үшбұрышқа бөлетінін дәлелдеу қажет.
АБДС параллелограммында СБ диагоналін салайық. \ (\ Delta \) CAB = \ (\ Delta \) СDВ екенін дәлелдейік.
СВ жағы бұл үшбұрыштар үшін ортақ; ∠ABC = ∠BCD, AB және CD параллель және бөлінген CB бар ішкі көлденең бұрыштар ретінде; ∠ACB = ∠СВD, сонымен қатар параллель АС және ВД және бөлінген СВ ішкі қиылысу бұрыштары.
Демек \ (\ Delta \) CAB = \ (\ Delta \) CDB.
Дәл осылай AD диагоналі параллелограммды ACD және ABD екі тең үшбұрышына бөлетінін дәлелдеуге болады.
Салдары:
1 . Параллелограммның қарама -қарсы бұрыштары бір -біріне тең.
∠А = ∠D, бұл CAB және СDВ үшбұрыштарының теңдігінен туындайды.
Сол сияқты, ∠С = ∠В.
2. Параллелограммның қарама -қарсы жақтары бір -біріне тең.
AB = CD және AC = BD, өйткені бұл тең үшбұрыштардың қабырғалары және қарама -қарсы тең бұрыштарға жатады.
Теорема 2. Параллелограммның диагональдары олардың қиылысу нүктесінде екі есе азаяды.
BC және AD - ABDC параллелограммының диагональдары болсын (226 -сурет). AO = OD және CO = OB екенін дәлелдейік.
Ол үшін бір -біріне қарама -қарсы үшбұрыштарды салыстырыңыз, мысалы \ (\ Delta \) AOB және \ (\ Delta \) COD.
Бұл AB = CD үшбұрыштарында параллелограммның қарама -қарсы қабырғалары ретінде;
∠1 = ∠2, АВ және СД параллель және бөлектенген АД бар көлденең ішкі бұрыштар ретінде;
∠3 = ∠4 дәл осы себептен, өйткені АВ || CD және CB - олардың кепілі.
Бұдан \ (\ Delta \) AOB = \ (\ Delta \) COD шығады. Ал тең бұрыштарға қарама -қарсы тең үшбұрыштарда тең қабырғалар болады. Демек, AO = OD және CO = OB.
Теорема 3. Параллелограммның бір жағына іргелес жатқан бұрыштардың қосындысы 180 °.
ABCD параллелограммында айнымалы токтың диагоналін салыңыз және ABC және ADC екі үшбұрышын алыңыз.
Үшбұрыштар тең, өйткені ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 (параллель түзулері бар қиылысу бұрыштары) және айнымалы ток жағы ортақ.
\ (\ Delta \) ABC = \ (\ Delta \) ADC теңдігінен AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D шығады.
Бір жаққа іргелес бұрыштардың қосындысы, мысалы А және D бұрыштары, параллель түзулермен бір жақты 180 ° тең.
Параллелограмм - қарама -қарсы жақтары параллель төртбұрыш. Келесі суретте ABCD параллелограмы көрсетілген. Оның АВ жағы CD жағына параллель, ал ВС жағы AD жағына параллель.
Сіз болжағандай, параллелограмм - дөңес төртбұрыш. Параллелограммның негізгі қасиеттерін қарастырайық.
Параллелограммның қасиеттері
1. Параллелограммда қарама -қарсы бұрыштар мен қарама -қарсы қабырғалар тең. Бұл қасиетті дәлелдейік - келесі суретте көрсетілген параллелограммды қарастырайық.
BD диагоналы оны екі тең үшбұрышқа бөледі: ABD және CBD. Олар BD жағында және оған іргелес екі бұрышта тең, өйткені бұрыштар сәйкесінше BC және AD және AB және CD параллель түзулерінің BD кесіндісінде көлденең орналасқан. Сондықтан AB = CD және
BC = AD. Ал 1, 2, 3 және 4 бұрыштардың теңдігінен A бұрышы = бұрыш1 + бұрыш3 = бұрыш2 + бұрыш4 = С бұрышы шығады.
2. Параллелограммның диагональдары қиылысу нүктесімен екі есе азаяды. О нүктесі ABCD параллелограммының AC және BD диагональдарының қиылысу нүктесі болсын.
Содан кейін AOB үшбұрышы мен COD үшбұрышы бір -біріне тең, бүйір бойымен және екі іргелес бұрышта. (AB = CD, себебі бұл параллелограммның қарама -қарсы жақтары. Ал бұрыш 1 = бұрыш2 және бұрыш3 = бұрыш 4 - сәйкесінше АС және ВД сектанттары бар АВ және СД түзулерінің қиылысында көлденең орналасқан бұрыштар.) Бұдан AO = OC және OB = OD, және бұл дәлелдеу үшін қажет болды.
Барлық негізгі қасиеттер келесі үш суретте көрсетілген.
Параллелограмм - қарама -қарсы жақтары жұппен параллель болатын төртбұрыш. Параллелограммның ауданы оның негізінің (а) биіктігіне (h) көбейтіндісіне тең. Сондай -ақ, оның ауданын екі жағынан, бір бұрышынан және диагональдарынан табуға болады.
Параллелограммның қасиеттері
1. Қарама -қарсы жақтары бірдей.
Бірінші қадам \ (AC \) диагоналін салу. Екі үшбұрыш алынды: \ (ABC \) және \ (ADC \).
\ (ABCD \) параллелограмм болғандықтан, келесілер дұрыс:
\ (AD || BC \ Rightarrow \ бұрыш 1 = \ бұрыш 2 \)көлденең жатқан сияқты.
\ (AB || CD \ Rightarrow \ angle3 = \ 4 бұрыш \)көлденең жатқан сияқты.
Сондықтан (екінші критерий бойынша: u \ (AC \) ортақ).
Және, демек, \ (\ ABC үшбұрышы = \ ADC үшбұрышы \), содан кейін \ (AB = CD \) және \ (AD = BC \).
2. Қарама -қарсы бұрыштар бірдей.
Дәлелдерге сәйкес қасиеттері 1Біз мұны білеміз \ (\ бұрыш 1 = \ бұрыш 2, \ бұрыш 3 = \ бұрыш 4 \)... Осылайша, қарама -қарсы бұрыштардың қосындысы: \ (\ бұрыш 1 + \ бұрыш 3 = \ бұрыш 2 + \ бұрыш 4 \)... Осыны ескере отырып \ (\ ABC үшбұрышы = \ ADC үшбұрышы \)біз \ (\ бұрышы A = \ бұрышы C \), \ (\ бұрышы В = \ бұрышы D \) аламыз.
3. Диагональдар қиылысу нүктесі арқылы екіге бөлінеді.
Бойынша мүлік 1қарама -қарсы жақтары бірдей екенін білеміз: \ (AB = CD \). Тағы да қиылысатын тең бұрыштарды белгілеңіз.
Осылайша, мұны байқауға болады \ (\ AOB үшбұрышы = \ COD үшбұрышы \)үшбұрыштардың теңдігінің екінші критерийі бойынша (екі бұрышы мен олардың арасындағы қабырғасы). Яғни, \ (BO = OD \) (қарама -қарсы бұрыштар \ (\ бұрыш 2 \) мен \ (\ бұрыш 1 \)) және \ (AO = OC \) (қарама -қарсы бұрыштар \ (\ бұрыш 3 \) және \ ( \ бұрышы 4 \) сәйкесінше).
Параллелограмм белгілері
Егер сіздің тапсырмаңызда бір ғана функция болса, онда бұл сурет параллелограмм болып табылады және сіз бұл фигураның барлық қасиеттерін қолдана аласыз.
Есте сақтауды жақсарту үшін параллелограмм белгісі келесі сұраққа жауап беретінін байқаймыз - «қалай білуге болады?»... Яғни, берілген фигура параллелограмм екенін қалай білуге болады.
1. Параллелограмм - екі қабырғасы тең және параллель болатын төртбұрыш.
\ (AB = CD \); \ (AB || CD \ Rightarrow ABCD \)- параллелограмм.
Жақынырақ қарастырайық. Неге \ (AD || BC \)?
\ (\ ABC үшбұрышы = \ ADC үшбұрышы \)қосулы мүлік 1: \ (AB = CD \), \ (\ бұрышы 1 = \ бұрышы 2 \) параллель \ (AB \) мен \ (CD \) және секант \ (AC \) қиылысқан түрінде.
Бірақ егер \ (\ ABC үшбұрышы = \ ADC үшбұрышы \), онда \ (\ бұрышы 3 = \ бұрышы 4 \) (қарама -қарсы \ (AD || BC \) (\ (\ бұрышы 3 \) және \ (\ бұрышы 4 \) - көлденеңінен де тең).
Бірінші белгі дұрыс.
2. Параллелограмм - қарама -қарсы қабырғалары тең болатын төртбұрыш.
\ (AB = CD \), \ (AD = BC \ Rightarrow ABCD \) - параллелограмм.
Бұл мүмкіндікті қарастырыңыз. \ (AC \) диагоналін қайтадан сызыңыз.
Бойынша мүлік 1\ (\ ABC үшбұрышы = \ ACD үшбұрышы \).
Бұдан шығады: \ (\ бұрышы 1 = \ бұрышы 2 \ Оң жақ стрелка AD || BC \)және \ (\ бұрышы 3 = \ бұрышы 4 \ Оң жақ көрсеткі AB || CD \), яғни \ (ABCD \) - параллелограмм.
Екінші белгі дұрыс.
3. Параллелограмм - қарама -қарсы бұрыштары тең болатын төртбұрыш.
\ (\ бұрышы A = \ бұрышы C \), \ (\ бұрышы B = \ бұрышы D \ оң жақ көрсеткі ABCD \)- параллелограмм.
\ (2 \ альфа + 2 \ бета = 360 ^ (\ цикл) \)(өйткені \ (\ бұрышы A = \ бұрышы С \), \ (\ бұрышы В = \ бұрышы D \) шарт бойынша).
Бұл шығады, \ (\ альфа + \ бета = 180 ^ (\ цикл) \)... Бірақ \ (\ альфа \) және \ (\ бета \) бөлгішпен \ (AB \) ішкі біржақты.
Параллелограмм - қарама -қарсы жақтары параллель төртбұрыш. Бұл анықтама жеткілікті, өйткені параллелограммның қалған қасиеттері одан шығады және теоремалар түрінде дәлелденеді.
Параллелограммның негізгі қасиеттері:
- параллелограмм - дөңес төртбұрыш;
- параллелограммның қарама -қарсы жақтары жұппен тең;
- параллелограмм үшін қарама -қарсы бұрыштар жұппен тең;
- параллелограммның диагональдары қиылысу нүктесімен екі есе азаяды.
Параллелограмм - дөңес төртбұрыш
Біріншіден, біз бұл теореманы дәлелдейміз параллелограмм - дөңес төртбұрыш... Көпбұрыш дөңес, егер оның қай жағы түзу сызыққа созылса, полигонның барлық басқа жақтары осы түзудің бір жағында болады.
ABCD параллелограмы берілсін, онда АВ CD үшін қарама -қарсы жақ, ал ВС AD үшін қарама -қарсы жақ. Содан кейін параллелограммның анықтамасынан АВ || шығады CD, BC || AD.
Параллель түзулердің ортақ нүктелері жоқ, олар қиылыспайды. Бұл CD АВ бір жағында орналасқанын білдіреді. ВС сегменті АВ кесіндісінің В нүктесін CD кесіндісінің С нүктесімен, ал АД сегменті басқа АВ және СД нүктелерін қосатындықтан, ВС және АД сегменттері АВ түзуінің сол жағында CD орналасқан. Осылайша, барлық үш жақ - CD, BC, AD - АВ бір жағында жатыр.
Сол сияқты, параллелограммның басқа жақтарына қатысты қалған үш қабырғасы сол жақта жататыны дәлелденді.
Қарама -қарсы қабырғалар мен бұрыштар тең
Параллелограммның қасиеттерінің бірі - бұл параллелограммда қарама -қарсы қабырғалары мен қарама -қарсы бұрыштары жұпқа тең... Мысалы, егер параллелограммға ABCD берілсе, онда оның AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D болады. Бұл теорема келесі түрде дәлелденді.
Параллелограмм - бұл төртбұрыш. Бұл оның екі диагоналы бар екенін білдіреді. Параллелограмм дөңес төртбұрыш болғандықтан, олардың кез келгені оны екі үшбұрышқа бөледі. ABCD параллелограммында АС диагоналін салу арқылы алынған ABC және ADC үшбұрыштарын қарастырайық.
Бұл үшбұрыштардың ортақ бір жағы бар - айнымалы ток. BCA бұрышы BC және AD параллельді тік сияқты CAD бұрышына тең. AB және CD параллель болғанда BAC және ACD бұрыштары тік бұрыштармен тең. Сондықтан cornersABC = ∆ADC екі бұрышта және олардың арасындағы жағы.
Бұл үшбұрыштарда АВ жағы CD жағына сәйкес келеді, ал ВС жағы AD -ге сәйкес келеді. Сондықтан AB = CD және BC = AD.
В бұрышы D бұрышына сәйкес келеді, яғни ∠B = ∠D. Параллелограммның А бұрышы екі бұрыштың қосындысы - ACBAC және ∠CAD. C бұрышы ∠BCA мен ∠ACD -ге тең. Бұрыштар жұбы бір -біріне тең болғандықтан, онда ∠A = ∠C.
Осылайша, параллелограммда қарама -қарсы қабырғалары мен бұрыштары тең екендігі дәлелденді.
Диагональдар екі есе азаяды
Параллелограмм дөңес төртбұрыш болғандықтан, оның екі диагоналы бар және олар қиылысады. ABCD параллелограмы берілсін, оның AC және BD диагональдары Е нүктесінде қиылысады. Олар жасаған ABE және CDE үшбұрыштарын қарастырайық.
Бұл үшбұрыштардың AB және CD қабырғалары параллелограммның қарама -қарсы қабырғаларына тең. ABE бұрышы CDE бұрышына тең, өйткені олар AB мен CD параллель түзулерінде орналасқан. Дәл сол себепті, ∠BAE = ∠DCE. Демек, ∆ABE = ∆CDE екі бұрышта және олардың арасындағы жағы.
Сондай -ақ, AEB және CED бұрыштары тік, сондықтан олар бір -біріне тең екенін байқауға болады.
ABE және CDE үшбұрыштары бір -біріне тең болғандықтан, олардың барлық сәйкес элементтері тең. Бірінші үшбұрыштың AE жағы екіншісінің CE жағына сәйкес келеді, бұл AE = CE дегенді білдіреді. Сол сияқты BE = DE. Тең сызықты сегменттердің әрбір жұбы параллелограммның диагоналін құрайды. Осылайша, бұл дәлелденді параллелограммның диагональдары қиылысу нүктесімен екі есе азаяды.
Жүктелуде ...
