Если развитие трудовых процессов и появление собственности заставили человека изобрести числа и их названия, то дальнейший рост экономических потребностей у людей вел их по пути все большего и большего расширения и углубления понятия о числе. Особенно значительные сдвиги в этом смысле произошли, когда возникли государства с более или менее сложным государственным аппаратом, потребовавшим учета имущества и создание налоговой системы, и когда товарообмен перешел в стадию развития торговли с применением денежной системы. С одной стороны, это повлекло за собой зарождение письменной нумерации, а с другой - стали развиваться счетные операции, т.е. появились действия над числами.
Своего рода запись чисел производилась еще в те отдаленные эпохи жизни человечества: все эти узелки, зарубки, нанизанные на шнур раковины, являлись ни чем иным, как зародышем записанного числа. Далее стали обозначать число 1 - одной черточкой, 2 - двумя, 3 - тремя и т.д.
Развитие числовой записи всегда сопутствовало общему подъёму культурного уровня народов, а потому, протекало наиболее интенсивно в тех странах, которые быстро шли по пути развития государственности.
Среди народов земного шара в наиболее благоприятных условиях для развития их экономической и политической жизни были такие, которые обитали на стыке трех материков: Европы, Африки и Азии, а также народы занимавшие территории полуострова Индостан и современного Китая. Природные условия в этих местах были на редкость разнообразны. Это разнообразие и крайняя дифференцированность наблюдались в развитии производительных сил и соответственно общественного быта.
Государства расположенные на этих территориях, явились первыми в истории человечества государствами, где мы находим зародыш современных наук и математики в частности.
Нумерация государств Древнего Востока и Рима.
Древневавилонское государство располагалось в той части Месопотамии где наиболее сближаются русла рек Тигра и Евфрата. Главный город этого государства - Вавилон находился на берегу Евфрата.
Расцвет вавилонского государства относится ко второй половине XVIII в. до н.э. Продукты сельского хозяйства (зерно, фрукты, скот) являлись предметами вывоза в соседние страны. Торговле благоприятствовало центральное положение Вавилона на берегу судоходных рек. Расцвет торговли повлек за собой развитие денежной системы мер. В Вавилоне была создана система мер аналогичная нашей метрической, только в основе её лежало не число 10, а число 60. Полностью эта система выдерживалась у вавилонян для измерения времени и углов, и мы унаследовали от них деление часа и градуса на 60 минут, а минуты на 60 секунд.
Исследователи по-разному объясняют появление у вавилонян шестидесятеричной системы счисления. Скорее всего здесь учитывалось основание 60, которое кратно 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60, что значительно облегчает всякие расчеты.
Числовая запись у вавилонян возникла в весьма отдаленную эпоху. Предполагают, что вавилоняне заимствовали её у народов, которые жили на территории Вавилонского государства еще до его сформирования. Эта запись, подобно вавилонской письменности, производилась на глиняных табличках путем выдавливания на них треугольных клиньев, причем орудием для записи служил трехгранный брусок. Такого рода клинопись состояла главным образом из трех положений клинка: вертикального острием вниз, горизонтального острием влево и горизонтального острием вправо. При этом знак Ў означал единицу, 3 - десяток. При помощи этих знаков, применяя еще метод сложения, можно было выражать и многозначные числа. Например, знак ЎЎЎ изображал 5, знак 33ЎЎЎ - число 23 и т.д. ЎЎ
Зарождение египетской культуры относится к периоду времени за 4000 лет до н.э. Предполагают, что в эту эпоху была создана и египетская письменность. Первоначально она носила иероглифический характер, т.е. каждое понятие изображалось в виде отдельного рисунка. Но постепенно иероглифические записи принимали несколько иную форму, именуемую иероглифической записью.
Таким же методом производилась и запись чисел. При иероглифической записи числа выражались уже в десятичной системе, причем существовали особые знаки для разрядных чисел: единиц, десятков, сотен и т.д. Единица изображались знаком |, десяток, сотня, тысяча, десять тысяч, сто тысяч, миллион, десять миллионов. При этом если единица какого-нибудь разряда содержалась в числе несколько раз, то она столько же раз повторялась в записи, т.е. соблюдался закон сложения. Например, число 5 выражалось так: . Число 122 имело вид: .
У египтян употреблялись только единичные дроби, т.е. такие которые выражают только одну долю в нашей записи имеют в числителе единицу (сакие дроби мы называем аликвотными ). Исключение составила дробь 2/3, для которой существовал особый знак: ; Ѕ тоже имела особый знак, а все остальные выражались при помощи символа «ро», который имел вид. Чтобы изобразить какую-нибудь дробь рисовали этот символ и под ним ставили число, представлявшее знаменатель. Например, одна седьмая записывалась так: .
Записи производились преимущественно красками на папирусе. Иногда же материалом для записи служили камень, дерево, кожа, холст. Текст вписывался в строки преимущественно справа налево и столбцами сверху вниз.
Начальные понятия математики, зародившиеся в Древнем Китае, послужили развитию математической культуры соседних народов, которые занимали территорию современной Кореи Индокитая и с особенности Японии.
В Китае рано начали накапливаться сведения математического характера и появилась запись чисел. При этом китайские иероглифические цифры были по записи еще сложнее египетских. (рис. в прил.).
Но, помимо этих иероглифических цифр, в Китае имели распространение и более простые цифровые знаки, употреблявшиеся при торговых операциях.
Выглядели они следующим образом: |=1; ||=2; |||=3; ||||=4; |||||=5; | =6; ||=7; |||=8;||||=9; 0=0. Запись чисел производилась столбцами сверху вниз. Большим преимуществом китайской записи чисел было введение в употребление нуля для выражения отсутствующих разрядов. Предполагают, что нуль заимствован из Индии в XII в.
Уже с давних времен в Китае вошел в употребление счетный прибор саун-пан, по конструкции напоминающий современные русские счеты (рис. в прил.). Главное его отличие от русских счетов в том, что наши счеты основаны на десятичной системе счисления, а в саун-пан смешанная пятеричная и двоичная система. В саун-пан каждая проволока делится на две части: в нижней её части нанизано 5 косточек, а в верхней - 2. Когда нижней части проволоки отсчитаны все пять косточек, то они заменяются одной в верхней части; где косточки в верхней части заменяются одной косточкой высшего разряда. счисление нумерация дробный рациональный
На заре человеческой культуры в развитии математики Китай шёл далеко впереди Вавилона и Египта.
Метод записи чисел у римлян, заимствован у древних этрусков - однго из племен Древней Италии. В этой записи сохранились следы пятеричной системы счисления, и числа выражались при помощи букв, а именно числа 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 обозначались собственно буквами I, V, X, L, C, D и M. Для более крупных чисел (10000, 100000, 1000000) существовали особые знаки. Для обозначения нуля знака не было. В записях они придерживались принципа сложения и вычитания: числа, написанные справа, прибавлялись, а числа написанные слева, вычитались от числа, написанного рядом с ним. Так, IX, XII, XC и CXXX означали соответственно 9, 12, 90 и 130. Римская запись чисел используется в наше время в тех случаях, когда надо записать какое-либо строго зафиксированное число, над которым не придется производить ни каких арифметических операций, например, дата постройки памятника или здания, век, глава в книге и т.п.
Вследствие затруднительности вычислений, римляне прибегали к помощи пальцевого счета или абака. (рис).
Этот абак представляет собой металлическую доску с желобками, вдоль которых могут передаваться жетоны. Продольных желобков девять, причем семь из них дают возможность отсчитывать единицы, десятки, сотни, тысячи, десятки тысяч, сотни тысяч и миллионы. Разряды единиц укрупняются при переходе от правых желобков к левым (как это возможно видеть на рисунке). Два же самых правых желобка дают возможность вести отсчет дробных долей. желобки для целых чисел разделяются на две части: в верхней помещен один жетон, а в нижней - четыре. Верхний жетон заменяет пять нижних. Второй желобок справа тоже разделен на две части и дает возможность отсчитывать двенадцатые доли, причем верхняя его часть содержит один жетон, а нижняя - пять. Самый правый желобок разделен на три части, из которых верхняя даёт отчет 24-х долей, средняя 48-х и нижняя - 72-х. На правом чертеже представлен отчет, равный 84 071+2|12+1|72.
Числа в Индии.
Особенно ценный вклад в арифметику внесен индийцами. В этом отношении математика обязана индийцам упорядочением числовой записи при помощи введения цифр для десятичной системы счисления и установления принципа поместного значения цифр. Кроме того, в Индии получило распространение употребление нуля для указания соответствующих разрядных единиц, что тоже сыграло большую роль в усовершенствовании числовых записей и облегчении операций над числами.
Цифровые знаки Индии не совпадают по очертаниям с современными цифрами, но все же имеют с ними в некоторых случаях большое сходство. Так, например, очень походили на современные цифры индийские знаки, изображавшие единицу, семерку и нуль. Остальные знаки в течение многих веков, отделяющих нас от времени их происхождения, сильно видоизменялись.
Введение нуля, цифр и принципа поместного их значения облегчило вычислительные операции над числами, а потому арифметические вычисления и получили в Индии значительное развитие. Главное преимущество введения индийцами методов записи чисел заключатся в том, что они значительно уменьшили количество цифр, применяли позиционную систему к десятичному счету и ввели в употребление знак нуля. В то время как у греков, евреев, сирийцев и т.д. для записи чисел употреблялось до 27 различных цифровых знаков, у индийцев число таких цифровых знаков снизилось до 10, включая и обозначение нуля. Что касается позиционной системы, её зачатки были еще у вавилонян, но там эта система применялась для шестидесятеричного счета, а индийцы ввели её для десятичного. Наконец, применение знака для нуля при позиционной системе дало большое преимущество перед записью чисел у вавилонян. Так, например, у вавилонян значок Ў мог обозначать и единицу и 1/60, и вообще любое число вида 60 n , а в записи у индийцев знак 1 мог обозначать только единицу, так как для обозначения десятка, сотни и так далее после единицы записывалось соответствующее число нулей.
Процесс записи чисел и проведение арифметических операций над ними делались индийцами на белой доске, засыпанной красным песком. Орудием для записи служила палочка. Таким образом, при записи на красной поверхности появлялись белые знаки, прочерченные палочкой.
Числа народов Средней Азии.
Начиная с VII в. в истории народов, входящих в состав государств Средней Азии и Ближнего Востока значительную роль начинает играть арабское государство. Из мелких арабских государств, целиком умещавшихся на Аравийском полуострове в VII-VIII вв., был создан арабский халифат - государство, занимающее огромную территорию. В его состав вошли, кроме основной территории арабов, Палестина, Сирия, Месопотамия, Персия, Закавказье, Средняя Азия, Северная Индия, Египет, Северная Африка и Пиренейский полуостров. Столицей халифата сначала был Дамаск, а затем в VIII в. вблизи бывшего Вавилона был построен новый город - Багдад, куда и была перенесена столица.
Так многие из представителей народов, вошедших в халифат, писали на арабском языке, то буржуазные историки неправильно включают работы ученых этих народов в число работ арабов.
Первым по времени крупным математиком был у народов входивших в состав халифата, мы назовем великого узбекского (хорезмийского) математика и астролога IX в. Мухаммеда бен Мусса аль-Хорезми (2-я половина VIII в. - между 830-840).
Сочинение аль-Хорезми по арифметике дошло до нашего времени только в переводе на латинский язык. Оно сыграло значительную роль в развитии европейской математики, так как именно в нем европейцы познакомились с индийскими методами записи чисел, то есть с системой индийских цифр, с употреблением нуля и с помесным значением цифр. Вследствие того, что сведения эти были получены европейцами из книги, автор которой жил в арабском государстве и писал на арабском языке, индийские цифры десятичной системы стали неправильно именоваться «арабскими цифрами».
Нумерация на Руси.
Восточно-славянские племена, древние предки русской, украинской и белоруской народностей начали формироваться около 2-3 т. лет до н.э. В VII и VIII вв. у славян появились первые города. Первыми большими городами Руси были Киев и Новгород.
В X в., в княжение Владимира Святославовича (?-1015), древнерусское государство (Киевская Русь) достигло наибольшего расцвета и могущества. По развитию культуры оно занимало одно из видных мест среди государств Европы. На Руси в эту эпоху параллельно с общим развитием культуры шло сравнительно быстрое распространение сведений из математики.
Правда, до нашего времени не сохранилось никаких памятников математической литературы, которые давали бы нам возможность судить о развитии математики на Руси в IX-X вв., но документы другого характера позволяют делать некоторые выводы в этом отношении. Первым русским памятником математического содержания до настоящего времени считается рукописное сочинение новгородского монаха Кирика, написанное им в 1136 г. и носящее заголовок «Критика диакона и доместика Новгородского Антониева монастыря учение имже ведати человеку числа всех лет».
В этом сочинении Кирик выявил себя весьма искусным счетчиком и великим числолюбцем. Основные задачи, которые разрешаются Кириком, хронологического порядка: вычисление времени, протекшего между каким-либо событием. При вычислениях Кирик пользовался той системой нумерации, которая называлась малым перечнем и выражалась следующими наименованиями: 10000 - тьма, 100 000 - легион, или неведий, 1 000 000 - леодр.
Кроме малого перечня, в Древней Руси существовал еще больший перечень, который давал возможность оперировать с очень большими числами. В системе перечня основные разрядные единицы имели те же наименования, что и в малом, но соотношения между этими единицами были иные, а именно:
Тысяча тысяч - тьма;
Тьма тем - легион, или певедий;
Легион легионов - леодр;
Леодр леодров - ворон;
10 воронов - колода.
В последнем из этих чисел, т.е. о колоде, говорилось: «И более сего несть человеческому уму разумевати».
Единицы, десятки и сотни изображались славянскими буквами с поставленным над ними знаком, называемым титло, для отличия цифр от букв. Тысячи изображались теми же буквами, но перед ними ставился знак Так, изображала единицу, - двадцать два, - шесть тысяч и т.д.
Тьма, легион и леодр изображались теми же буквами, но для отличия от единиц, десятков, сотен и тысяч они обводились кружками. Так, изображало три тьмы; - три легиона, а - три леодра.
К XVI в. относится изобретение замечательного счетного прибора, получившего впоследствии название «русские счеты» (рис). Как полагают, идея создания этого прибора принадлежит русским купцам Строгоновым. Дроби в Древней Руси назывались долями, позднее «ломанными числами». В старых руководствах находим следующие названия дробей на Руси:
Половина, полтина, - треть, - четь, - полтреть, - полчеть, - полполтреть, - полполчеть, - полполполтреть (малая треть), - полполполчеть, - пятина, - седьмина, - десятина.
Славянские нумерации употреблялись в России до XVI в., лишь в этом веке в нашу страну постепенно стала проникать десятичная позиционная система счисления. Она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I.
Послепечатная обработка - составная и важная часть всего полиграфического процесса. Именно она влияет на свойства и конечный вид полиграфических изделий. В типографии выполняются такие виды работ по послепечатной обработке как нумерация, перфорация, брошюровка навивкой, брошюровка на скрепку, склейка в блоки, ламинирование, кругление углов.
Нумерация
Под нумерацией понимают печать на экземплярах полиграфических изданий переменных данных, а именно присвоенных им изменяющихся номеров. Нумерация используется на уже готовых бланках. Нумерация облегчает потребителю поиск нужной информации, а в ряде случаев является обязательной процедурой, предусмотренной законодательно. Нумерация в типографиях осуществляется с помощью нумератора.
Нумерация применяется:
- Для навигации по тексту
- Для предотвращения фальсификации
- Для соблюдения требований законодательства
- Для контроля и учета соответствующих бланков.
Виды нумерации
Наиболее распространенные виды нумерации:
- Прямая сквозная нумерация. Каждому первому листу соответствует номер Х, следующему Х+1 и т.д.
- Обратная сквозная нумерация.
- Прямая или обратная нумерация с заданным шагом.
Виды нумерации могут использоваться по требованию заказчика, если это не нарушает требование соответствующих нормативно-правовых документов (лотерейные билеты, бланки строгой отчетности и т.д.)
Брошюровка навивкой
При такой брошюровке полиграфическое издание навивается на пружину произвольного диаметра и цвета, как правило, металлического. Чаще всего навивка на пружину применяется для изготовления календарей.
Ламинирование
При ламинации полиграфическая продукция покрывается специальной пленкой, что защищает его от механических повреждений и загрязнений, сохраняя привлекательный внешний вид. Мы готовы предложить Вам одно- и двустороннюю матовую и глянцевую ламинацию различной плотности.
Брошюровка, фальцовка, биговка
Брошюровка - технология, позволяющая соединять в тетрадь (брошюру) некоторое количество листов. Брошюровка, при которой листы скрепляются металлическими скрепками, называется брошюровкой на скобу.
Фальцовка (нем. Сгибать) - нанесение линии сгиба на тонкой и средней бумаге. В дальнейшем по линии сгиба проводится сгибание полиграфических изделий.
Биговка - нанесение на листы прямых линий, углубленно-выпуклых. В дальнейшем это облегчает изгиб изделий.
Кругление углов
Под круглением углов понимают придание углам листовых изделий малого формата округлой формы. Изготавливаются эти изделия из плотной бумаги или картона. Радиус кругления может составлять 10R, 6R, 3.5R.
Билет 19
Вопрос 1. Методика обучения устной и письменной нумерации чисел в пределах 1000.
I. Устная нумерация
Задачи:
1) Введение новой счётной единицы сотни;
2) Введение новых разрядных чисел;
3) Введение неразрядных трёхзначных чисел:
Путём присчитывания 1;
Путём образования из сотен, десятков и единиц;
4) Установление общего числа единиц какого-либо разряда во всём числе.
Введение новой счётной единицы сотни:
С помощью палочек или моделей разрядных единиц под руководством учителя дети повторяют известные разрядные единицы, а затем связывают по 10 десятков в пучок и слушают ее название – сотня. Далее ведётся счёт сотнями (1 сотня, 2 сотни… 10 сотен или тысяча). На доске появляется запись и рисунки разрядных единиц
1 ед 1 см
10 ед. = 1 дес. 10 см = 1 дм
10 дес. = 1 сот. 10 дм = 1 м
Далее полезно с детьми сопоставить единицы счёта – разрядные единицы с мерами длины и ввести ленту тысячи. В роли простой единицы на ленте выступает 1 см, в роли десятка – 1 дм, в роли сотни – 1 м. По ленте можно повторить счёт сотен и отметить на ленте сотни флажками или яркими ленточками.
Введение новых разрядных чисел (чисел третьего разряда – круглых сотен), их образование и название, знакомство с новыми числительными: сто, двести…девятьсот, тысяча.
Наглядность: модели разрядных единиц (большие квадраты) и лента 1000.
Введение неразрядных трёхзначных чисел:
а) Путём присчитывания по 1 к предыдущему, выход за 100: 100 и 1- 101..
б) Путем образования из сотен, десятков и единиц. Тут же выполняется обратная задача – разложить числа на разрядные слагаемые, выяснение десятичного состава числа.
Задачи:
1) Обозначение чисел цифрами в таблице разрядов. Выяснение поместного значения цифр;
2) Чтение и запись чисел, записанные вне таблицы;
3) Закрепление знаний нумерации.
1.Обозначение чисел цифрами в таблице разрядов. Обучение чтению чисел с помощью нумерационной таблицы. Наглядность: нумерационная таблица, вертикальные и горизонтальные счеты.
В результате наблюдений на этом этапе детей подводят к выводу, что сотни – единицы третьего разряда, пишется в числе на третьем месте, считая справа налево. Здесь же вводится понятие трёхзначного числа и что ноль обозначает отсутствие единиц какого-либо разряда.
2. Чтение трёхзначных чисел, записанных вне таблицы и их запись на основе знаний поместного значения цифр.
Виды упражнений:
1) Из данных чисел записать только те, в которых цифра 7 обозначает дес, ед, сот.
2) С помощью цифр 3, 0, 1 записать все трёхзначные числа (цифры в числе не повторяется)
3) Что обозначает цифра 0 в записях этих чисел?
3. Закрепление знаний нумерации:
а) В процессе изучения письменной нумерации продолжается работа по усвоению десятичного состава чисел. С этой целью теперь используются карточки с разрядными числами. (Наложением образуются числа и наоборот)
б) Ведётся также работа и по усвоению натурального следования, но теперь используют и письменные упр: запись предыдущего и последующего; прибавь 1, вычти 1; заполни промежуток – записать числа от … до …
в) Выявление наибольшего и наименьшего среди однозначных, двузначных и трёхзначные чисел.
Обратить снимание, что наименьшее записывается 1 и нулями, а наибольшее десятками.
г) При изучении нумерации дети учатся определять общее число единиц какого-либо разряда во всём числа, а не только в соответствующем разряде.
Наглядность: модели разрядных единиц.
В начальном курсе математики под нумерацией будем понимать совокупность приемов обозначения и наименования натуральных чисел.
Натуральные числа изучаются по концентрам. Концентр - это объединенная по общим признакам область рассматриваемых чисел. В начальном курсе выделяют следующие концентры: десяток, сотня (2 этапа - от 11 до 20; от 21 до 100); тысяча, многозначные числа.
Конечная цель изучения нумерации - усвоение ряда общих принципов, лежащих в основе десятичной системы счисления, устной и письменной нумерации, подведение учащихся к систематическим обобщениям, умение выделять и подчеркивать то общее, что обнаруживается в новой области чисел, и рассмотрение нового на основе и в сравнении с ранее изученным.
Основными образовательными задачами изучения нумерации можно назвать:
1. Сформировать систему знаний:
О натуральном числе и числе «0»;
О натуральной последовательности;
Об устной и письменной нумерации.
2. Ознакомить с вычислительными приемами, основанными на знании нумерации.
При изучении данной темы у учащихся должны быть сформированы следующие умения:
Обозначать число письменно;
Сравнивать любые числа разными способами;
Заменять число суммой разрядных слагаемых;
Дать характеристику любого числа.
Рассмотрим методику ознакомления с основными математическими понятиями, изучаемыми в данной теме.
Понятие натурального числа дается на эмпирическом уровне.
Число обозначается в порядке установления взаимно-однозначного соответствия между предметами данной совокупности и словами - числительными.
В начальной школе:
Число - это количественная характеристика класса эквивалентных множеств.
Число - это элемент упорядоченного множества, член натуральной последовательности.
При изучении действий число выступает как объект, над которым выполняется арифметическое действие.
У учащихся необходимо сформировать следующие знания и умения:
Выделить число из других понятий;
Правильно назвать число;
Знать способы образования числа (в результате счета; в результате измерения; в результате выполнения арифметических действий);
Знать способы обозначения чисел с помощью цифр; цифра - это знак для обозначения числа;
Знать различные функции числа (количественная функция, функция порядка, измерительная функция).
Число и цифра «0».
Нуль рассматриваем как количественную характеристику класса пустых множеств (2-2, 4-4), т.е. множества, не содержащего ни одного элемента.
Нуль рассматриваем как цифру, обозначающую на линейке начало измерения (отмеривания).
Нуль рассматриваем как компонент действий I и II ступени (5+0, 05).
4. Число нуль используется в том случае, если отсутствуют единицы какого-либо разряда (но не отсутствует разряд).
Например, в числе 300 отсутствуют единицы I и II разряда, т.е. единицы и десятки, обозначим число единиц и десятков нулями.
Натуральная последовательность чисел.
По традиционной программе натуральная последовательность вводится как ряд чисел, по которому ведется счет.
Свойства отрезка натурального ряда:
Натуральный ряд чисел начинается с единицы.
Каждое число имеет свое место. Каждое следующее число на единицу больше предыдущего; каждое предыдущее на единицу меньше последующего.
Все числа, стоящие до выделенного числа, меньше его; стоящие после - больше изученного числа.
Бесконечность натурального ряда чисел.
В натуральном ряду чисел учащиеся должны уметь выделить конечные последовательности: однозначных, двузначных, n-значных чисел.
9, 99, 999, 9999… - наибольшие однозначное, двузначное, трехзначное, четырехзначное, n-значное числа.
Почему? Если прибавим к каждому из них 1, то получим наименьшее число следующей последовательности.
10, 100, 1000, 10000 … - наименьшее двузначное, трехзначное, n-значное число, т.к. при вычитании из каждого единицы получим наибольшее число предыдущей последовательности.
Различают устную и письменную нумерацию.
Устная нумерация - совокупность правил, дающих возможность с помощью немногих слов составлять названия для многих чисел. В ходе изучения устной нумерации необходимо раскрыть правила счета, чтения, образования чисел; знать цифры от 0 до 9, слова-числительные - сорок, девяносто, сто, тысяча, миллион, миллиард. Правила счета:
Конечное число при счете относить ко всему множеству.
Правила образования названий и чтения чисел.
1. Названия чисел от 10 до 20 образуются с использованием названий, принятых для первых десяти чисел, но имеет свою особенность - при чтении сначала называется нижний разряд, затем остальные (один-на-дцать; две-на-дцать).
2. Остальные названия чисел образуются по принципу поразрядности; чтение чисел начинается с единиц высшего разряда.
3. При образовании и чтении многозначных чисел соблюдается принцип чтения по классам.
Письменная нумерация - это совокупность правил, дающих возможность с помощью немногих знаков обозначать любые числа.
В ходе изучения письменной нумерации вводится понятие «цифры».
Цифра - это знак для обозначения числа. Проводится целенаправленная систематическая работа по различению понятий «число» и «цифра».
Вводятся знаки (цифры) для обозначения первых девяти чисел. Запись всех остальных чисел выполняется с использованием тех же десяти цифр (от 0 до 9), но с помощью двух или более цифр, значение которых зависит от места, занимаемое цифрой в записи числа (т.е. поместное значение цифры или позиционный принцип записи чисел).
Устная и письменная нумерация чисел опирается на знание десятичной системы счисления. В математике системой счисления называют набор знаков, правил операций и порядка записи этих знаков при образовании числа. Различают два типа систем счисления:
Непозиционная система, которая характеризуется тем, что каждому знаку независимо от формы записи числа приписывается одно вполне определенное значение (например, римская нумерация).
Позиционная система (например, десятичная система счисления), которая характеризуется следующими свойствами:
Каждая цифра принимает различные значения в зависимости от ее положения в записи числа (позиционный принцип записи).
Каждая цифра в зависимости от ее положения называется разрядной единицей; разрядные единицы следующие: единицы, десятки, сотни и т.д.
10 единиц одного разряда составляют одну единицу следующего разряда, т.е. соотношение разрядных единиц равно десяти (10 ед. = 1 дес.; 10 дес. = 1 сот. и т.д.).
Начиная справа налево и подряд, каждые 3 разрядные единицы образуют разрядные классы (единиц, тысяч, миллионов и др.).
Прибавление к девяти единицам еще одной единицы данного разряда дает единицу следующего, более высшего (старшего) разряда.
Следует выделить основные понятия десятичной системы счисления:
Счетная единица - то, что берем за основу счета. Каждая следующая счетная единица больше предшествующей в 10 раз.
Разряд - место цифры в записи числа.
3. Единицы I, II, III разрядов и т.д. - единицы, стоящие на первом (единицы), втором (десятки), третьем (сотни) месте в записи числа, считая справа налево.
4. Разрядное число - число, состоящее из единиц одного разряда.
5. Неразрядное число - число, состоящее из единиц разных разрядов.
6. Класс - объединение по определенным признакам единиц трех разрядов. Каждая единица следующего класса больше предшествующей в тысячу раз. (Так, первая единица класса единиц меньше в 1000 раз первой единицы класса тысяч и т.д.)
Порядок изучения нумерации можно отразить в таблице:
Методика изучения нумерации целых неотрицательных чисел предполагает возможность различных подходов.
В методике начального обучения традиционно изучение нумерации по концентрам. Этот подход отражен в учебниках математики, разработанных Бантовой М.А., Бельтюковой Г.В. и др.
Постепенное расширение числовой области создает хорошие условия для формирования знаний, умений, навыков по нумерации: постепенно обогащаются знания о числах и способах их обозначения; усложняются практические действия с числами (образование, название, запись, сравнение, преобразование и др.).
Выделяются три основных этапа изучения нумерации: подготовительный, ознакомление с новым материалом, закрепление знаний и умений.
На подготовительном этапе необходимо сформировать у учащихся психологическую установку на изучение нумерации, активизировать их предшествующий опыт и имеющиеся знания, вызвать интерес к новым числам. С этой целью предлагается заранее включать упражнения на повторение основных вопросов нумерации чисел предыдущего концентра: соотношение изученных счетных единиц, десятичный состав чисел, натуральная последовательность, правила записи и способы сравнения чисел; приемы сложения и вычитания, основанные на знании нумерации. Также разработаны упражнения в счете предметов или в назывании чисел натуральной последовательности с выходом в новый концентр, это помогает учащимся понять, что существуют числа и за пределами изученного концентра и что они чем-то похожи на уже знакомые детям числа.
При ознакомлении с нумерацией упражнения помогают учащимся выделить существенные признаки формируемых понятий, овладеть способами изучаемых действий.
Проведен отбор вопросов и определен порядок изучения в каждом концентре:
сначала рассматривается образование счетной единицы, ведется счет предметов с помощью этой счетной единицы;
на основе счета вводятся новые разрядные числа, раскрывается их образование и названия;
на основе счета с помощью всех известных счетных единиц показывается образование и устное обозначение неразрядных чисел; их состав из разрядных;
включаются упражнения в счете предметов с использованием новых чисел; усваивается натуральная последовательность чисел;
на основе знания десятичного состава и поместного значения цифр раскрывается письменная нумерация чисел;
во всех концентрах наряду со счетом рассматривается измерение таких величин, как длина, масса, стоимость; единицы измерения этих величин и их соотношение изучаются в сопоставлении с соответствующими счетными единицами и помогают их усвоению, (например, 1 дм = 10 см; 1 р. = 100 к.; 1 кг = 1000 г и т.д.);
вводятся способы сравнения чисел на основе:
принципа образования натуральной последовательности;
установления взаимно-однозначного соответствия между элементами множеств;
знания разрядного состава чисел;
знания классового состава;
в каждом концентре вводятся вычислительные приемы, основанные на знании нумерации:
а) принципа образования натуральной последовательности вводятся случаи вида а + 1, где а - любое натуральное число;
б) разрядного состава чисел (упражнения в сложении разрядных чисел и обратные упражнения в замене неразрядных чисел суммой разрядных, а также в вычитании из неразрядных чисел отдельных, составляющих их разрядных чисел) например:
400+70+3=473; 506=500+6; 842-40=802;
842-800=42; 842-2=840.
При ознакомлении с нумерацией необходимо опираться на предметные действия учащихся. Для этого предлагается использовать различные средства обучения: счетный материал, на котором легко иллюстрировать десятичную группировку предметов при счете (палочки, пучки палочек, квадраты, полоски квадратов, треугольники с 10-ю кружками); наглядные пособия, формирующие представления о натуральной последовательности чисел (линейки, рулетки, ленты с выделенными сантиметрами, дециметрами, метрами); наглядные пособия, помогающие осознать позиционный принцип записи чисел (нумерационные таблицы разрядов и классов, абаки).
После введения проводится целенаправленная работа на закрепление знаний и отработку умений. Тренировочные упражнения сочетаются с упражнениями творческого характера.
Даются задания на анализ типичных ошибок, на сравнение, классификацию, обобщение, для характеристики любого числа. Схема (план) разбора чисел, начиная с однозначного, до многозначного будет постепенно расширяться, углубляться, обогащаться новым теоретическим материалом. На начальном этапе она может составляться на основе обобщения сформулированных ответов учащихся и включать следующие вопросы:
Чтение числа.
Место числа при счете.
Десятичный состав.
Запись числа с помощью цифр.
При изучении нумерации многозначных чисел схема разбора будет включать большее количество заданий.
Эта работа позволит обобщить и систематизировать знания учащихся по нумерации целых неотрицательных чисел.
Возможен другой подход к изучению нумерации чисел, который нашел отражение в программе и учебниках, разработанных Истоминой Н.Б.
В связи с тематическим построением курса в нем выделяются не концентры, а темы: «Однозначные числа», «Двузначные числа», «Трехзначные числа», «Четырехзначные числа», «Пятизначные и шестизначные числа», в процессе изучения которых у детей формируются сознательные навыки чтения и записи чисел.
Выделение тем, названия которых сориентированы на количество знаков в числе, способствует пониманию детьми различий между числом и цифрой.
На первом этапе в теме «Однозначные числа» у учащихся формируются представления о количественном и порядковом числе, навыки счета; они знакомятся с записью чисел и с отрезком натурального ряда однозначных чисел. Затем они усваивают смысл сложения и вычитания и состав однозначных чисел. Работа по усвоению нумерации начинается с осознания того, что двузначное число состоит из десятков и единиц.
Последующая работа, направленная на усвоение десятичной системы счисления и на формирование навыка читать и записывать двузначные числа, связана с установлением соответствия между предметной моделью числа и его символической записью. В качестве предметной модели десятка используется наглядное пособие в виде треугольника с 10-ю кружками.
Предлагаются задания:
На выявление признаков сходства и различия двузначных и трехзначных чисел;
На запись чисел определенными цифрами;
На сравнение чисел;
На выявление правила (закономерности) построения ряда чисел.
Перечисленные виды заданий используются и при изучении других тем.
Задание: Сравните упражнения в процессе выполнения, которых учащиеся усваивают устную и письменную нумерацию чисел в различных учебниках математики для начальных классов. Каковы особенности этих упражнений в каждом учебнике?
Клинообразная нумерация . Еще халдеи и вавилоняне имели письменные знаки для изображения чисел. Их нумерация носит название клинообразной и встречается на гробницах древних персидских царей.
Иероглифическая нумерация . Египтяне приписывают изобретение арифметики мифическому лицу Тоту (Фоту). Они имели десятичное счисление еще при Фра-Сезострисе. Египетская нумерация носит название иероглифической . Египтяне обозначали единицу, десяток, сотню и тысячу особыми знаками, иероглифами . Несколько единиц, десятков, сотен и тысяч изображались простым построение этих знаков.
Китайская нумерация . К числу древнейших нужно отнести также нумерацию китайскую . По уверению китайцев, они пользуются ею со времен Фуги, китайского императора, жившего за 300 лет до Р. Х. В этой нумерации первые девять чисел изображаются особыми знаками. Существовали также знаки для обозначения 10, 100, 1000. Большие числа писались колоннами сверху вниз.
Финикийская нумерация . Наконец, к древнейшим нужно отнести еще нумерацию финикийскую . Финикияне, сравнительно с египтянами, совершили реформу в нумерации в том смысле, что заменили иероглифы буквами своего алфавита. Этой нумерацией пользовались и евреи.
Финикияне и евреи изображали первые девять чисел и первые девять десятков 18 начальными буквами своего алфавита и писали большие числа от правой руки к левой.
В самом Египте была оставлена иероглифическая нумерация и введены сначала иератическая, а потом для всеобщего употребления демотические письмена (за 600 л. до Р. Х.). В иератической нумерации три первых числа сходны с настоящими цифрами.
Греческая, римская и церковно-славянская нумерация . Греки переняли у финикиян систему изображать числа буквами. Некоторые утверждают, что до тех пор они изображали числа теми самыми знаками, которые известны под именем римской нумерации, и что римская нумерация есть, таким образом, древняя греческая. Церковно-славянская есть не что иное, как греческая, выраженная только славянскими буквами.
Римляне при изображении чисел пользовались следующими знаками:
1 – I, 5 – V, 10 – X, 50 – L, 100 – C, 500 – D, 1000 – M.
При изображении остальных чисел они руководствовались следующим правилом:
Если меньшая цифра следует за большей, она увеличивает числ ан свою величину; если же меньшая цифра предшествует большей, она уменьшает число на свою величину.
Сообразно с этим правилом, они следующим образом изображали числа:
1 – I, 2 – II, 3 – III, 4 – IV, 5 – V, 6 – VI, 7 – VII, 8 – VIII, 9 – IX, 10 – X, 11 – XI, 12 – XII, 13 – XIII, 14 – XIV, 15 – XV, 16 – XVI, 17 – XVII, 18 – XVIII, 19 – XIX, 20 – XX, … 27 – XXVII, … 40 – XL, 60 – LX, 90 – XC, 100 – C, 110 – CX, 150 – CL, 400 – CD, 600 – DC, 900 – CM, 1100 – MC.
Числа, состоящие из нескольких тысяч, писались, как пишутся числа до тысячи, с тою только разницей, что после числа тысяч внизу с правой стороны приписывалась буква m (mille - тысяча). Таким образом, 505197 = DV m CXCVII.
В славянском и греческом счислении обозначались особыми буквами первые девять чисел, девять десятков и девять сотен.
В славянском счислении ставят на буквой титло (¯ ), для обозначения того, что буква изображает число.
В нижеследующей таблицы приведены параллельно греческая и славянская нумерации:
Для обозначения тысяч перед числом тысяч ставился в славянском счислении знак , а в греческом счислении к числу, обозначавшему тысячи, присоединялась снизу черточка.
Таким образом,
Происхождение и распространение десятичной нумерации
Хотя нельзя еще сделать окончательный вывод относительно изображения, введения и распространения по Европе десятичной системы нумерации, однако, литература дает многие весьма важные указания по этому вопросу. Некоторые называют эту систему арабской. Действительно, из истории видно, что десятичная система заимствована у арабов. Так, известно, что в начале XIII столетия тосканский купец Леонард познакомил своих соотечественников с приемами десятичной системы после своего путешествия по Сирии и Египту. Сарко-Боско, известный преподаватель математики в Париже (умер в 1256 г.), и Рожер Бекон своими сочинениями наиболее содействовали распространению этой системы по Европе. Они уже указывают, что десятичная нумерация заимствована арабами у индийцев. Из памятников арабской литературы достоверно известно, что Абу-Абдаллах-Магомет-Ибн-Муза, родом из Кораизма, в IX столетии долго путешествовал по Индии и познакомил после своего возвращения арабских ученых с индийской нумерацией. Арабские писатели Авицена Абен-Рагель и Альсефади также приписывают изобретение нумерации индийцам.
Письменные памятники санскрита, языка древней Индии, подтверждают указания арабских писателей.
Из сочинения Баскары, индийского писателя XII века, видно, что индийцам было известно за несколько столетий до Баскары изображение чисел десятью знаками, ибо в этом сочинении изложена связкая теория четырех арифметических действий и даже извлечение квадратных корней. Как Баскара, так и более древний писатель Брамегупта считают факт изобретения нумерации очень древним. У писателя еще более древнего Ариабгата мы встречаем решение многих замечательных математических вопросов.
Эти указания, кажется, делают мало вероятными уверения французского геометра Шаля, что десятичная система есть развитие римского способа пользоваться при вычислениях столиком для вычисления (Abacus) и что достаточно было одного введения нуля, чтобы получить настоящую десятичную систему.
Арифметика и логистика у греков . Греки называли арифметикой учение об общих свойствах чисел. Искусство же считать, или совокупность практических приемов при вычислении, греки называли логистикой .
Загрузка...
