В Индии математика зародилась примерно тогда же, когда и в Египте, – пять с лишним тысяч лет назад. К началу нашего летоисчисления индийцы уже были замечательными математиками. Индийские ученые сделали одно из важнейших в математике открытий. Они изобрели позиционную систему счисления – способ записи и чтения чисел. На языке хинди«сунья» значит «пустое место». Арабские математики перевели это слово на свой язык. Вместо «сунья» они стали говорить «сифр», а это уже знакомое нам слово.Слово «цифра» по наследству от арабов досталось и нам.
Мы знаем, что так называемые арабские цифры были привнесены в Европу в 13 веке арабами, и получили распространение во 2-й половине 15 века. К арабам эти цифры в свою очередь попали из Индии, где они и зародились. Сохранились начертания индийских прародителей знаков. ЭВОЛЮЦИЯ ИНДИЙСКИХ ЦИФР
Теория Леонида Грачёва До нас дошли образцы древних, так сказать, факсимильных цифровых арабских знаков. Напоминают они скорее некие крючки, причём неодинакового размера и, конечно далёкие от тех идеальных форм которыми они представляются сейчас. Теперь попытаемся сделать такой шаг: - Возьмите два кусочка проволоки - один длиной 2- 3 см, а другой в 1,5 раза короче. Красиво, но слишком умозрительно, надуманно, как бы искусственно, но нам не хватает ещё чего - то, а именно – доказательства, почему были взяты именно, дуги, почему одна короче, другая длинней. Сделаем попытку разобраться в этом!
В I тысячелетии н. э. индийские
учёные подняли античную
математику на новую, более
высокую ступень. Они изобрели
привычную нам десятичную
позиционную систему записи чисел,
предложили символы для 10 цифр,
заложили основы десятичной
арифметики, комбинаторики,
разнообразных численных методов,
в том числе тригонометрических
расчётов.
текстов, содержащих математические сведения, выделяется
серия религиозно-философских книг Шульба-сутры. Эти
сутры описывают построение жертвенных алтарей. Самые
старые редакции этих книг относятся к VI веку до н. э.,
позднее (примерно до III века до н. э.) они постоянно
дополнялись. Уже в этих древних манускриптах содержатся
богатые математические сведения, по своему уровню не
уступающие вавилонским.Индийская нумерация (способ записи чисел)
изначально была изысканной. В санскрите были
средства для именования чисел до 10^53. Для цифр
сначала использовалась сиро-финикийская
система, а с VI века до н. э. - написание «брахми»,
с отдельными знаками для цифр 1-9. Несколько
видоизменившись, эти значки стали
современными цифрами, которые мы
называем арабскими, а сами арабы - индийскими.Индийская нумерация
Нумерация(numeratio, от numero-считаю)это древнеиндийский способ записи чиселОколо 500 г. н. э. неизвестные нам индийские
учёные изобрели десятичную позиционную
систему записи чисел. В новой системе
выполнение арифметических действий оказалось
неизмеримо проще, чем в старых, с неуклюжими
буквенными кодами, как у греков,
или шестидесятеричных, как у вавилонян.
В VII веке сведения об этом замечательном
изобретении дошли до христианского епископа
Сирии Севера Себохта, который писал:
Я не стану касаться науки индийцев… их системы
счисления, превосходящей все описания. Я хочу
лишь сказать, что счёт производится с помощью
девяти знаков.Очень скоро потребовалось введение нового
числа - нуля. Учёные расходятся во мнениях,
откуда в Индию пришла эта идея - от греков,
из Китая или индийцы изобрели этот важный
символ самостоятельно. Первый код нуля
обнаружен в записи от 876 г. н. э., он имеет вид
привычного нам кружочка.
Изображение нуля
IX векVII век
Записанная
древнекхмерскими
цифрами дата «605
год эры Шака» (683
год): древнейшее
изображение нуля
(Самбоур, Камбоджа)В Античности дроби уже писали знакомым
нам образом: одно число над другим. Однако
было одно существенное отличие. Числитель
располагался под знаменателем. Впервые так
писать дроби начали в древней Индии.Индийцы использовали счётные доски,
приспособленные к позиционной записи. Они
разработали полные алгоритмы всех
арифметических операций, включая
извлечение квадратных и кубических корней.
Сам наш термин «корень» появился из-за того,
что индийское слово «мула» имело два
значения: основание и корень (растения);
арабские переводчики ошибочно выбрали
второе значение, и в таком виде оно попало в
латинские переводы. Возможно, аналогичная
история произошла со словом «синус». Для
контроля вычислений применялось сравнение
по модулю 9.Счетная доска приспособленная к
позиционной записи чиселК V-VI векам относятся
труды Ариабхаты,
выдающегося
индийского математика
и астронома. В его труде
«Ариабхатиам»
встречается множество
решений
вычислительных задач.
Вычислил
приблизительное
значение числа π
π=62832/20000
Приблизительно 3.1416
Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми-математик использовавший в своём трактате знание индийской десятичной системы.
Мухаммад ибн Муса альХорезми-математикиспользовавший в своём
трактате знание
индийской десятичной
системы.В VII веке работал другой
известный индийский математик
и астроном, Брахмагупта.
Начиная с Брахмагупты,
индийские математики свободно
обращаются с отрицательными
числами, трактуя их как долг.
Предположительно, эта идея
пришла из Китая. При решении
уравнений, однако,
отрицательные результаты
неизменно отвергали.
Брахмагупта, как и Ариабхата,
систематически
применял непрерывные дроби,
теория которых отсутствовала у
греков.Индийские математики продолжили развитие
математической символики, хотя пошли по собственному
пути. Сократив соответствующие санскритские термины до
одного слога, они использовали их как символы
неизвестных, их степеней и свободных членов уравнений.
Например, умножение обозначалось знаком гу (от
слова гунита, умноженный). Вычитание указывалось точкой
над вычитаемым или символом «плюс» правее его. Если
неизвестных было несколько, им для определённости
присваивали условные цвета. Квадратный
корень обозначался слогом «му», сокращением
от мула (корень). Для именования степеней
использовались сокращения терминов «варга» (квадрат) и
«гхава» (куб):В VII-VIII веках индийские математические
труды переводятся на арабский. Десятичная
система проникает в страны ислама, а через
них, со временем - и в Европу.В XI веке происходит захват и разорение
мусульманами Северной Индии. Научная жизнь на
длительный период угасает. Из значительных
фигур этого периода можно выделить Бхаскару,
автора астрономо-математического трактата
«Сиддханта-широмани». Бхаскара дал
решение уравнения Пелля и ряда
других диофантовых уравнений, продвинул
теорию непрерывных дробей и сферическую
тригонометрию.
x2 - 2y2 = 1
Содержание История цифр Римские цифры Цифры Майя Цифра Ноль Индийские цифры Системы счисления Позиционная система счисления Не позиционная система Шестнадцатеричная система Перевод из одной системы в другую Использование чисел Транслятор систем счисления Сложение чисел неограниченной длины Выводы
История цифр. Цифры система знаков («буквы») для записи чисел («слов») (числовые знаки). Слово «цифра» без уточнения обычно означает один из следующих десяти («алфавит») знаков: (т. н. «арабские цифры»). Сочетания этих цифр порождают дву-(и более) значные числа. Существуют также много других вариантов («алфавитов»): Римские цифры(I V X L C D M) Шестнадцатеричные цифры(A B C D E F) Цифры майя (от 0 до 19) в некоторых языках, например, в древнегреческом, в иврите, в церковнославянском, существует система записи чисел буквами.
Римские цифры Цифры, использовавшиеся древними римлянами в своей не позиционной системе счисления. Натуральные числа записываются при помощи повторения этих цифр. При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются (принцип сложения), если же меньшая перед большей, то меньшая вычитается из большей (принцип вычитания). Последнее правило применяется только во избежание четырёхкратного повторения одной и той же цифры. Римские цифры появились около 500 лет до нашей эры у этрусков.
Для закрепления в памяти буквенных обозначений цифр в порядке убывания существует мнемоническое правило: Мы Dарим Сочные Lимоны, Хватит Vсем Iх. Mы Dаем Cоветы Lишь Xорошо Vоспитанным Iндивидам Соответственно M, D, C, L, X, V, I ЧислоРимский символ 1I 5V 10X 50L 100C 500D 1000M
Цифры Майя. Позиционная запись, основанная в двадцатеричной системе счисления (по основанию 20), использовалась цивилизацией Майя в доколумбовой Месоамерике. Цифры майя составлялись из трёх элементов: нуля (знак ракушки), единицы (точка) и пятёрки(горизонтальная черта). Например, 19 писалось как четыре точки в горизонтальном ряду над тремя горизонтальными линиями
Числа свыше 19 писались вертикально снизу вверх по степеням 20. Например: 32 писалось как (1)(12) = 1× как (1)(1)(9) = 1× × как (12)(0)(5) = 12× × Для записи цифр от 1 до 19 иногда также использовались изображения божеств. Такие цифры использовались крайне редко, сохранившись лишь на нескольких монументальных стелах. Третий разряд (четырёхсотки) Второй разряд (двадцатки) Первый разряд (единицы)
Цифра Ноль Календарь Майя требовал использования нуля для обозначения пустого разряда. Первая дошедшая до нас дата с нулём (на стеле 2 в Чиапа-де Корсо, Чиапас) датирована 36 годом до н. э. В календаре подробное изображение трёх колонок на стеле 1 в Ла-Мохарра. Левая дата, то есть 156 год н. э. В «долгом счёте» календаря майя была использована разновидность 20-ричной системы счисления, в которой второй разряд мог содержать только цифры от 0 до 17, после чего к третьему разряду добавлялась единица. Таким образом, единица третьего разряда означала не 400, а 18×20 = 360, что близко к числу дней в солнечном году.
Индийские цифры Из истории известно, что в науке индийское происхождение так называемых арабских цифр было признано лишь в XIX веке. Первым учёным, высказавшим эту, для того времени новую, мысль, был русский востоковед Георг Яковлевич Кер (). Кер с 1731 года служил в Москве переводчиком коллегии иностранных дел. Нет фото
Использование чисел На монетах индийские цифры впервые появляются в 976 году в Испании, где имелись непосредственные связи с арабами. Наиболее ранняя русская монета с индийскими цифрами относится к 1654 году. Славянские цифры в последний раз появляются на медных монетах чеканки 1718 года.
Системы счисления Система счисления символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков. Система счисления: даёт представления множества чисел (целых или вещественных) даёт каждому числу уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление) отражает алгебраическую и арифметическую структуру чисел. Системы счисления подразделяются на позиционные, непозиционные и смешанные
Позиционные системы счисления В позиционных системах счисления один и тот же числовой знак(цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места (разряда), где он расположен. Изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается шумерам и вавилонянам; развита была такая нумерация индусами и имела неоценимые последствия в истории человеческой цивилизации. К числу таких систем относится современная десятичная система счисления, возникновение которой связано со счётом на пальцах. В средневековой Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших её у мусульман.
Непозиционные системы счисления В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе. При этом система может накладывать ограничения на положение цифр, например, чтобы они были расположены в порядке убывания. К таким системам относится римская система записи чисел.
Шестнадцатеричная система счисления Шестнадцатеричная система счисления (шестнадцатеричные числа) позиционная система счисления по целочисленному основанию 16. Обычно в качестве шестнадцатеричных цифр используются десятичные цифры от 0 до 9 и латинские буквы от A до F для обозначения цифр от до 15 10, то есть (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F). Широко используется в низкоуровневом программировании, поскольку в современных компьютерах минимальной единицей памяти является 8-битный байт, значения которого удобно записывать двумя шестнадцатеричными цифрами. Такое использование началось с системы IBM/360, до этого времени использовали восьмеричную систему.IBM/360
Перевод чисел из одной системы счисления в другую Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания шестнадцатеричной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах шестнадцатеричного числа. Например: число 5A3 16 5A3 16 = 3· · ·16²= 3·1+10·16+5·256 = Для перевода многозначного двоичного числа в шестнадцатеричную систему нужно разбить его на тетрады справа налево и заменить каждую тетраду соответствующей шестнадцатеричной цифрой. Например: = = 5A3 16
В языках программирования В разных языках программирования для записи шестнадцатеричных чисел используют различный синтаксис: В АДА и VHDL такие числа указывают так: «16#5A3#». В Си и языках схожего синтаксиса, например, в Java, используют префикс «0x». В некоторых Ассемблерах используют букву «h», которую ставят после числа. При этом, если число начинается не с десятичной цифры, то для отличия от имён идентификаторов впереди ставится «0» (ноль): «0FFh» () Паскаль и некоторые версии Бейсика используют префикс «$». Некоторые иные платформы, использовали запись #5A3, обычно выровненную до одного или двух байт: #05A3. Другие версии Бейсика используют для указания шестнадцатеричных цифр сочетание «&h». В Unix-подобных операционных системах непечатные символы при выводе/вводе кодируются как 0xCC, где CC шестнадцатеричный код символа
Транслятор систем счисления Рассмотрим перевод чисел из десятичной системы в шестнадцатеричную и обратно. Для демонстрации перевода чисел была написана программа на языке Visual Basic. Для перевода из одной системы счисления в другую необходимо ввести число в соответствующее поле и нажать на расположенную рядом командную кнопку. Результат перевода будет выведен в другое поле.
Сложение чисел неограниченной длины В процессорах компьютеров возможно проведение арифметических операциях для чисел ограниченной длины. При необходимости арифметические операции с числами произвольной длины могут быть осуществлены с помощью специальной программы. Для демонстрации решения была написана программа на языке Visual Basic суммирования чисел неограниченной длины. Введите требуемые числа и нажмите кнопку «+». Результат будет в третьем поле.
Выводы Особыми видами письменных знаков могут быть названы цифры Цифры представляют собой исторические логограммы, служащие для краткого обозначения чисел Для записи информации о количестве объектов используются числа, состоящие из цифр Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные системы счисления. Двоичная система используется для кодирования информации в компьютере Шестнадцатеричная система – это компактная запись двоичных чисел Цифровая система кодирования используется в языках программирования
Потом индийские цифры немного видоизменили арабы. И с тех пор этими цифрами пользуется весь мир. Написание арабских цифр состояло из отрезков прямых линий, где количество углов соответствовало величине знака. Выглядели они приблизительно так: Название «арабские цифры» - дань исторической роли арабской культуры в математической науке.
Слайд 16 из презентации «История цифр» . Размер архива с презентацией 2812 КБ.Математика 1 класс
краткое содержание других презентаций«История цифр» - ? – 1. Так выглядели древние китайские цифры. Многие тысячи лет назад наши далекие предки жили небольшими племенами. А как дальше? Первобытные люди не знали счета. Сначала считали на пальцах. История цифр. Римляне вместо цифр использовали всего 7 букв. А это египетские цифры от 1 до 10.
«Урок математики в 1 кл» - М.Моро «Математика» с.63, №1, 1-я строка. №3. Репродуктивный, частично-поисковый. Приложение №1. Общая дидактическая цель. Тип урока. Приложение №4.
«Математика 1 класс Число 4» - 6. Классная работа. -2. Тема урока: «Вычитание числа 4.». 5. -1. ? 17 декабря. +1. Какие фигуры пропущены? Математика 1 класс. +2.
«1 класс Объём» - 10 – 12 кружек. 40 вёдер. Сравните объём двух банок. Математика 1 класс. Литр. Тут затеи и задачи, Игры, шутки - все для вас! Ведро. 1л. Пожелаю вам удачи! Меры объёма. Долгожданный дан звонок, Начинается урок. За работу, первый класс! 5. В одну банку входит 5 стаканов воды, а в другую - 2 бутылки.
«Число 3» - Кто выше всех? Саша. Тема урока: Число и цифра 3. Состав числа 3. Жили – были дед да баба. Учитель: Бахтигариева В.М. - Назови самый короткий месяц в году? Среда. - Сережа выше Саши, Саша выше Пети. Перед волком не дрожал, От медведя убежал, А лисице на зубок Всё же я попался… Катился Колобок катился, докатился до ручья Измени фигуру. Петя. "Математическая сказка о Колобке". Посчитайте и вы!
«Килограмм» - Учебник №1, с. 78. Масса. Презентация к уроку составлена на основе заданий, расположенных в учебнике. Советы учителю. Тема урока: «Величина. Математика. Некоторые задания можно выполнять интерактивно. «Моя математика» 1 класс. Килограмм». Урок 78. Например, продолжить ряд, сравнить или вставить пропущенные числа. Автор презентации Татузова Анна Васильевна учитель школы № 1702 г. Москвы. П. -.
Загрузка...
