Производствена функция и избор на оптимален производствен размер. Други видове производствени функции

Той характеризира връзката между количеството използвани ресурси () и максимално възможния обем продукция, който може да бъде постигнат, при условие че всички налични ресурси се използват по най -рационалния начин.

Производствената функция има следните свойства:

1. Има ограничение за увеличаването на производството, което може да бъде постигнато чрез увеличаване на един ресурс и постоянството на други ресурси. Ако например в селското стопанство увеличаваме количеството труд с постоянни количества капитал и земя, тогава рано или късно идва моментът, когато продукцията спира да расте.

2. Ресурсите се допълват взаимно, но в определени граници тяхната взаимозаменяемост е възможна и без намаляване на продукцията. Ръчният труд например може да бъде заменен с използването на повече машини и обратно.

3. Колкото по -дълъг е периодът от време, толкова повече ресурси могат да бъдат преразгледани. В това отношение има мигновени, кратки и дълги периоди. Незабавен период -периодът, в който всички ресурси са фиксирани. Кратък период- периодът, в който е фиксиран поне един ресурс. Дълъг период -периодът, когато всички ресурси са променливи.

Обикновено в микроикономиката се анализира двуфакторна производствена функция, отразяваща зависимостта на продукцията (q) от количеството труд () и използвания капитал (). Припомнете си, че капиталът означава средствата за производство, т.е. броя на машините и оборудването, използвани в производството и измерени в машинни часове (тема 2, точка 2.2). От своя страна количеството труд се измерва в човекочасове.

Обикновено въпросната производствена функция изглежда така:

A, α, β - зададени параметри. Параметър НОКоефициентът на общата производителност на производствените фактори. Той отразява въздействието на технологичния прогрес върху производството: ако производителят въведе модерни технологии, стойността НОсе увеличава, т.е. производството се увеличава със същите количества труд и капитал. Параметри α и β Коефициентите на еластичността на продукцията са съответно по отношение на капитала и труда. С други думи, те показват с какъв процент се променя продукцията, когато капиталът (трудът) се промени с един процент. Тези коефициенти са положителни, но по -малко от един. Последното означава, че с увеличаване на труда с постоянен капитал (или капитал с постоянен труд) с един процент, производството се увеличава в по -малка степен.

Построяване на изокванта

Дадената производствена функция предполага, че производителят може да замени труда с капитан, а капитала с труд, оставяйки продукцията непроменена. Например в селското стопанство на развитите страни трудът е силно механизиран, т.е. има много машини (капитал) на работник. Обратно, в развиващите се страни същият обем на производството се постига чрез голямо количество труд с малко капитал. Това ви позволява да изградите изокванта (фиг. 8.1).

Изокуанта(еднаква продуктова линия) отразява всички комбинации от два производствени фактора (труд и капитал), при които продукцията остава непроменена. На фиг. 8.1 до изоквантата е съответното освобождаване. По този начин продукцията е постижима с използването на труд и капитал или с използването на труд и капитана.

Ориз. 8.1. Изокуанта

Възможни са и други комбинации от количеството труд и капитал, необходими за постигане на дадена продукция.

Всички комбинации от ресурси, съответстващи на дадена изокванта, отразяват технически ефективнипроизводствени методи. Начин на производство Ае технически ефективен в сравнение с метода IN, ако изисква използването на поне един ресурс в по -малко количество, а всички останали не са в големи количества в сравнение с метода IN... Съответно методът INе технически неефективно в сравнение с НО.Технически неефективните производствени методи не се използват от рационалните предприемачи и не са част от производствената функция.

От горното следва, че изоквантата не може да има положителен наклон, както е показано на фиг. 8.2.

Пунктираната линия представлява всички технически неефективни производствени методи. По -специално, в сравнение с метода НОначин INза да се гарантира същата продукция () изисква същото количество капитал, но повече труд. Следователно е очевидно, че начинът Бне е рационално и не може да се вземе предвид.

Въз основа на изоквантата е възможно да се определи пределната норма на техническо заместване.

Пределен процент на техническо заместване на фактор Y с фактор X (MRTS XY)Това е размерът на фактор (например капитал), който може да бъде изоставен, когато факторът (например труд) се увеличи с 1 единица, така че продукцията да не се промени (оставаме на същата изокванта).

Ориз. 8.2. Технически ефективно и неефективно производство

Следователно пределната норма на техническо заместване на капитала с труд се изчислява по формулата

С безкрайно малки промени Lи Ктя е

По този начин ограничаващата скорост на техническо заместване е производната на изоквантовата функция в дадена точка. Геометрично това е наклонът на изоквантата (Фигура 8.3).

Ориз. 8.3. Максимална степен на техническа подмяна

Когато се движите отгоре надолу по изтоквантата, пределната скорост на техническо заместване намалява през цялото време, както се вижда от намаляващия наклон на изоквантата.

Ако производителят увеличава както труда, така и капитала, то това му позволява да постигне по -голяма продукция, т.е. отидете на по -висока изокванта (q 2). Изоквантата, разположена вдясно и над предишната, съответства на по -голям обем на освобождаване. Наборът от изокванти се формира изоквантова карта(фиг. 8.4).

Ориз. 8.4. Изоквантна карта

Специални случаи на изокванти

Припомнете си, че дадените съответстват на производствената функция на формата. Но има и други производствени функции. Нека разгледаме случая, когато има перфектна заменяемост на производствените фактори. Да предположим например, че квалифицирани и неквалифицирани товарачи могат да се използват в складова работа, а производителността на квалифициран товарач в нпъти по -висока от неквалифицираната. Това означава, че можем да заменим произволен брой квалифицирани хамали с неквалифицирани в съотношението ндо един. Обратно, възможно е да се заменят N неквалифицирани хамали с един квалифициран.

В този случай производствената функция има формата: където е броят на квалифицираните работници, е броят на неквалифицираните работници, нои б- постоянни параметри, отразяващи съответно производителността на един квалифициран и един неквалифициран работник. Съотношението на коефициентите aи б- максималната скорост на техническа подмяна на неквалифицирани товарачи с квалифицирани. То е постоянно и равно н: MRTSxy= a / b = N.

Нека например квалифициран товарач да може да обработи 3 тона товар за единица време (това ще бъде коефициентът a в производствената функция), а неквалифициран - само 1 тон (коефициент b). Това означава, че работодателят може да откаже трима неквалифицирани товарачи, като допълнително наеме един квалифициран товарач, така че продукцията (общото тегло на преработения товар) да остане същата.

Изоквантата в този случай е линейна (фиг. 8.5).

Ориз. 8.5. Изоквантен с перфектна заменяемост на фактори

Тангенсът на ъгъла на наклон на изоквантата е равен на пределната скорост на техническа подмяна на неквалифицирани товарачи с квалифицирани.

Друга производствена функция е функцията Leontief. Той предполага твърдо взаимно допълване на производствените фактори. Това означава, че факторите могат да се използват само в строго определена пропорция, чието нарушение е технологично невъзможно. Например, въздушен полет може да се изпълнява нормално с поне един самолет и петима членове на екипажа. В същото време е невъзможно да се увеличат часовете на самолета (капитал), като същевременно се намалят човекочасовете (труд) и обратно, и да се запази продукцията непроменена. Изтоквантите в този случай имат формата на прави ъгли, т.е. пределните нива на техническа подмяна са равни на нула (фиг. 8.6). В същото време е възможно да се увеличи продукцията (броят на полетите), увеличавайки както труда, така и капитала в еднаква пропорция. Графично това означава преход към по -висок изоквант.

Ориз. 8.6. Изокванти в случай на твърдо взаимно допълване на производствените фактори

Аналитично такава производствена функция изглежда така: q =min (aK; bL), където нои б- постоянни коефициенти, отразяващи съответно производителността на капитала и труда. Съотношението на тези съотношения определя съотношението на използването на капитала и труда.

В нашия пример за полет производствената функция изглежда така: q = min (1K; 0.2L)... Въпросът е, че капиталовата производителност тук е един полет на самолет, а производителността на труда е един полет за пет души или 0,2 полета на човек. Ако авиокомпанията има флот от 10 самолета и 40 летателни служители, максималната му мощност ще бъде: q = min (1 x 8; 0,2 x 40) = 8 полета. В същото време два самолета ще бъдат на празен ход на земята поради липса на персонал.

И накрая, нека да разгледаме производствената функция, която предполага съществуването на ограничен брой производствени технологии за производството на дадено количество продукти. Всеки от тях съответства на определено състояние на труда и капитала. В резултат на това имаме редица референтни точки в пространството "трудов капитал", свързвайки които, получаваме счупена изокванта (фиг. 8.7).

Ориз. 8.7. Счупени изокванти в присъствието на ограничен брой производствени методи

Фигурата показва, че продукцията в обем q 1 могат да бъдат получени с четири комбинации от труд и капитал, съответстващи на точките A, B, Cи д. Възможни са и междинни комбинации, които са постижими, когато предприятието използва две технологии заедно, за да получи определена съвкупна продукция. Както винаги, увеличавайки количеството труд и капитал, преминаваме към по -висока изокванта.

В условията на съвременното общество никой човек не може да консумира само това, което сам произвежда. Всеки индивид действа на пазара в две роли: като потребител и като производител. Без постоянен производство на стокиняма да има консумация. На добре познатия въпрос "Какво да произвеждам?" потребителите на пазара отговарят, като „гласуват“ със съдържанието на портфейла си за стоките, от които наистина се нуждаят. На въпроса "Как да направя?" трябва да отговори на тези фирми, които произвеждат стоки на пазара.

В икономиката има два вида стоки: потребителски стоки и производствени фактори (ресурси) - това са стоки, необходими за организиране на производствения процес

Неокласическата теория традиционно приписва капитала, земята и труда на факторите на производство.

През 70 -те години на XIX век Алфред Маршал идентифицира четвъртия фактор на производството - организацията. Освен това Джоузеф Шумпетер нарича този фактор предприемачество.

По този начин, производството е процес на комбиниране на фактори като капитал, труд, земя и предприемачество, за да се получат нови стоки и услуги, от които се нуждаят потребителите.

За организацията на производствения процес необходимите производствени фактори трябва да присъстват в определено количество.

Зависимостта на максималния обем на произвеждания продукт от разходите за използваните фактори се нарича производствена функция:

където Q е максималният обем на продукт, който може да бъде произведен с дадена технология и определени производствени фактори; К - капиталови разходи; L - разходи за труд; M е цената на суровините, материалите.

За съвкупния анализ и прогнозиране се използва производствена функция, наречена функция Cobb-Douglas:

Q = k K L M,

където Q е максималният обем на продукта за дадените производствени фактори; K, L, M - съответно, разходите за капитал, труд, материали; k - коефициент на пропорционалност или скала; , , , - показатели за еластичността на обема на производството, съответно по отношение на капитала, труда и материалите, или коефициентите на растеж Q, дължащи се на 1% от растежа на съответния фактор:

+ + = 1

Въпреки че за производството на определен продукт е необходима комбинация от различни фактори, производствената функция има редица общи свойства:

производствените фактори се допълват. Това означава, че този производствен процес е възможен само с набор от определени фактори. Липсата на един от изброените фактори ще направи невъзможно производството на планирания продукт.

има известна взаимозаменяемост на факторите. В производствения процес един фактор може да бъде заменен в определена пропорция с друг. Взаимозаменяемостта не означава, че всеки фактор може да бъде напълно изключен от производствения процес.

Обичайно е да се разглеждат 2 вида производствена функция: с един променлив фактор и с два променливи фактора.

а) производство с един променлив фактор;

Да предположим, че в най -общия си вид производствена функция с един променлив фактор е:

където y е const, x е стойността на променливия фактор.

За да се отрази влиянието на променлив фактор върху производството, се въвеждат понятията за общ (общ), среден и пределен продукт.

Обобщен продукт (TP) - това е количеството икономическо благо, произведено с помощта на някаква сума на променлива.Това общо количество произведен продукт се променя с увеличаване на използването на променливия фактор.

Среден продукт (AP) (средна ефективност на ресурса)е съотношението на общия продукт към количеството променлив фактор, използван в производството:

Ограничете продукта (Депутат) (ограничаване на ефективността на ресурсите) обикновено се определя като увеличението на общия продукт, получено в резултат на безкрайно малко увеличение на размера на използвания променлив фактор:

Графиката показва връзката между MP, AP и TP.

Общият продукт (Q) с увеличаване на използването на променлив фактор (x) в производството ще се увеличи, но този ръст има определени граници в рамките на дадена технология. На първия етап от производството (ОА) увеличаването на разходите за труд допринася за все по -пълно използване на капитала: пределната и общата производителност на труда нараства. Това се отразява в растежа на пределния и средния продукт, докато MP> AR. В точка А "пределният продукт достига своя максимум. На втория етап (АВ) стойността на пределния продукт намалява и в точка В" тя става равна на средния продукт (MP = AP). Ако на първия етап (0A) общият продукт расте по-бавно от използваното количество на променливия фактор, то на втория етап (AB) общият продукт расте по-бързо от използваното количество на променливия фактор (Фигура 5-1а) . В третия етап на производство (BV) MP< АР, в результате чего совокупный продукт растет медленнее затрат переменного фактора и, наконец, наступает четвертая стадия (пос­ле точки В), когда MP < 0. В результате прирост переменного фак­тора х приводит к уменьшению выпуска совокупной продукции. В этом и заключается закон убывающей предельной производительности. Той твърди, че с увеличаване на използването на производствен фактор (с останалата част непроменено), рано или късно се достига точка, в която допълнителното използване на променлив фактор води до намаляване на относителните и по -нататъшните абсолютни обеми на продукцията.

б) производство с два променливи фактора.

Да предположим, че в най -общия си вид производствена функция с два променливи фактора е:

където x и y са стойностите на променливия фактор.

Като правило се вземат предвид 2 едновременно и взаимно допълващи се и взаимозаменяеми фактора: труд и капитал.

Тази функция може да бъде представена графично с помощта изокванти :

Изоквантата или еднаква продуктова крива отразява всички възможни комбинации от два фактора, които могат да бъдат използвани за производството на даден обем продукт.

С увеличаване на обема на използваните променливи фактори става възможно производството на по -голям обем продукти. Изоквантата, отразяваща производството на по -голям обем от продукта, ще бъде разположена вдясно и над предишната изокванта.

Броят на използваните фактори x и y може непрекъснато да се променя и максималната мощност на продукта съответно ще намалее или се увеличи. Следователно може да има набор от изокванти, съответстващи на различни обеми произведени продукти, които се образуват изоквантова карта.

Изоквантите са подобни на кривите на безразличие с единствената разлика, че отразяват ситуацията не в сферата на потреблението, а в сферата на производството. Тоест, изоквантите имат свойства, близки до кривите на безразличие.

Отрицателният наклон на изоквантите се обяснява с факта, че увеличаването на използването на един фактор при определен обем продукция на продукта винаги ще бъде придружено от намаляване на размера на друг фактор.

Както кривите на безразличие, разположени на различни разстояния от произхода, характеризират различните нива на полезност за потребителя, така и изоквантите предоставят информация за различни нива на добивите на продукти.

Проблемът за заместването на един фактор с друг може да бъде решен чрез изчисляване на пределната норма на технологично заместване (MRTS xy или MRTS LK).

Пределната норма на технологично заместване се измерва чрез съотношението на промяната на фактора y към промяната на фактора x. Тъй като заместването на фактори се извършва в обратна връзка, математическият израз на индикатора MRTS x, y се приема със знак минус:

MRTS x, y = или MRTS LK =

Ако вземем която и да е точка от изоквантата, например точка А и начертаем към нея тангенса KM, тогава допирателната на ъгъла ще ни даде стойността на MRTS x, y:

Може да се отбележи, че в горната част на изоквантата ъгълът ще бъде достатъчно голям, което показва, че са необходими значителни промени във фактора y, за да се промени фактор х по едно. Следователно в тази част на кривата стойността на MRTS x, y ще бъде голяма.

Докато се придвижваме надолу по изоквантата, стойността на пределната норма на технологично заместване постепенно ще намалява. Това означава, че за да се увеличи коефициентът x с едно, е необходимо леко намаляване на коефициента y.

В реалните производствени процеси има два изключителни случая в изоквантовата конфигурация:

Това е ситуация, в която два променливи фактора са идеално взаимозаменяеми.С пълно заместване на производствените фактори MRTS x, y = const. Подобна ситуация може да се представи с възможност за пълна автоматизация на производството. Тогава, в точка А, целият производствен процес ще се състои от капиталови разходи. В точка Б всички машини ще бъдат заменени от работещи ръце, а в точки В и D капиталът и трудът ще се допълват взаимно.

В ситуация с твърдо взаимно допълване на факторите, пределната норма на технологично заместване ще бъде равна на 0 (MRTS x, y = 0). Ако вземем модерен таксиметров парк с постоянен брой автомобили (y 1), който изисква определен брой шофьори (x 1), тогава можем да кажем, че броят на обслужените пътници през деня няма да се увеличи, ако увеличим брой драйвери до x 2, x 3, ... xn. Обемът на произвеждания продукт ще се увеличи от Q 1 до Q 2 само ако броят на употребяваните автомобили в таксиметровия парк и броят на шофьорите се увеличат.

Всеки производител, който купува фактори за организиране на производството, има определени ограничения във фондовете.

Да предположим, че трудът (фактор х) и капиталът (фактор у) действат като променливи фактори. Те имат определени цени, които остават постоянни за периода на анализ (P x, P y - const).

Производителят може да закупи необходимите фактори в определена комбинация, която не надхвърля бюджетните му възможности. Тогава разходите му за придобиване на фактор х ще бъдат P x x, съответно фактор y - P y y. Общата цена (C) ще бъде:

C = P x X + P y Y или
.

За труда и капитала:

или

Извиква се графичното представяне на функцията на разходите (C) изокостални (преки равни разходи, т.е. това са всички комбинации от ресурси, чието използване води до едни и същи разходи, изразходвани за производство).Тази права линия е изградена по две точки по същия начин като бюджетната линия (в равновесието на потребителя).

Наклонът на тази линия се определя от:

С увеличаване на средствата за придобиване на променливи фактори, тоест с намаляване на бюджетните ограничения, линията на изокост ще се измести надясно и нагоре:

C 1 = P x X 1 + P y Y 1.

Графично изокостите изглеждат същите като бюджетната линия на потребителя. При постоянни цени изокотите са прави, успоредни линии с отрицателен наклон. Колкото повече бюджетни възможности на производителя, толкова по -далеч от произхода е изокостът.

В случай на намаляване на цената на фактора x, изокоста графиката ще се движи по абсцисата от точка x 1 до x 2 в съответствие с увеличаването на използването на този фактор в производствения процес (фиг. А).

И в случай на увеличение на цената на фактор y, производителят ще може да привлече по -малко количество от този фактор в производството. Графикът на изокоста по ординатата ще се премести от точка y 1 до y 2.

С производствените възможности (изокванти) и бюджетните ограничения на производителя (изокости) може да се определи равновесие. За да направим това, ще комбинираме изоквантовата карта с изокоста. Тази изокванта, по отношение на която изокостът ще заеме позицията на допирателна, ще определи най -големия обем на производството, предвид бюджетните възможности. Точката на контакт на изоквантата с изокоста ще бъде точката на най -рационалното поведение на производителя.

При анализа на изоквантата установихме, че нейният наклон във всяка точка се определя от ъгъла на наклона на тангентата или скоростта на технологично заместване:

MRTS x, y =

Изокост в точка Е съвпада с допирателната. Наклонът на изокостата, както определихме по -рано, е равен на наклона ... Въз основа на това е възможно да се определи точката на равновесие на потребителя като равенство на съотношението между цените на производствените фактори и промените в тези фактори.

или

Намалявайки това равенство до показателите за пределния продукт на променливия фактор на производството, в случая това е MP x и MP y, получаваме:

или

Това е равновесието на производителя или правилото за най -ниска цена.

За труда и капитала равновесието на производителя ще изглежда така:

Да предположим, че цените на ресурсите остават непроменени, докато бюджетът на производителя непрекъснато расте. Свързвайки точките на пресичане на изокванти с изокости, получаваме линията OS - "път на развитие" (подобна на линията на стандарта на живот в теорията на потребителското поведение). Тази линия показва темповете на растеж на съотношението между факторите в процеса на разширяване на производството. На фигурата например трудът в хода на развитието на производството се използва в по -голяма степен от капитала. Формата на кривата "път на развитие" зависи, първо, от формата на изоквантите и, второ, от цените на ресурсите (съотношението между които определя наклона на изокостата). Линията "път на развитие" може да бъде права линия или крива, започваща от началото.

Ако разстоянията между изоквантите намаляват, това показва, че има нарастваща икономия от мащаба, тоест увеличаване на производството се постига с относително спестяване на ресурси. И фирмата трябва да увеличи обема на производството, тъй като това води до относително спестяване на наличните ресурси.

Ако разстоянията между изоквантите се увеличат, това показва намаляване на икономиите от мащаба. Намаляващата икономия от мащаба показва, че минималният ефективен размер на предприятието вече е достигнат и по-нататъшното увеличаване на производството е непрактично.

Когато увеличаването на производството изисква пропорционално увеличаване на ресурсите, се говори за постоянни икономии от мащаба.

По този начин анализът на продукцията с помощта на изокванти позволява да се определи техническата ефективност на производството. Пресичането на изокванти с изокост позволява да се определи не само технологичната, но и икономическата ефективност, т.е. да се избере технология (спестяваща труд или капитал, енергоспестяваща или материална и т.н.), която позволява да се осигури максимална продукция със средствата на разположение на производителя да организира производството.

Производството е основната сфера на дейност на компанията. Фирмите използват производствени фактори, които също се наричат ​​входни (входни) фактори на производството.

Производствената функция е връзката между набор от производствени фактори и максимално възможния обем на продукт, произведен с помощта на даден набор от фактори.

Производствената функция може да бъде представена от много изокванти, свързани с различни нива на производство. Този вид функция, когато се установи изрична зависимост на обема на производството от наличността или потреблението на ресурси, се нарича изходна функция.

По -специално, изходните функции са широко използвани в селското стопанство, където се използват за изследване на влиянието върху добива на такива фактори като например различни видове и състав на торове, методи за обработка на почвата. Наред с подобни производствени функции се използват и функциите на обратната производствена себестойност. Те характеризират зависимостта на разходите за ресурси от обема на продукцията (строго погледнато, те са обратни само на PF със взаимозаменяеми ресурси). Конкретни случаи на PF могат да се разглеждат като функция на разходите (връзката между обема на производството и производствените разходи), инвестиционната функция: зависимостта на необходимите капиталови инвестиции от производствения капацитет на бъдещото предприятие.

Съществува голямо разнообразие от алгебрични изрази, които могат да се използват за представяне на производствени функции. Най -простият модел е специален случай на общия модел за анализ на производството. Ако само един вид дейност е на разположение на фирмата, тогава производствената функция може да бъде представена с правоъгълни изокванти с постоянна възвръщаемост на мащаба. Няма възможност за промяна на съотношението на производствените фактори и еластичността на заместването със сигурност е нула. Това е високоспециализирана производствена функция, но нейната простота обяснява широкото й използване в много модели.

Математически производствените функции могат да бъдат представени в различни форми - от толкова прости като линейната зависимост на производствения резултат от един изследван фактор, до много сложни системи от уравнения, включително повтарящи се отношения, които свързват състоянията на обекта, който се изследва при различни периоди от време.

Производствената функция е графично представена от семейство изокванти. Колкото по -далеч от началото на координатите се намира изоквантата, толкова по -голям обем на производството отразява. За разлика от кривата на безразличие, всяка изокванта характеризира количествено определен обем продукция.

Фигура 2 _ Изокванти, съответстващи на различни обеми на производство

На фиг. 1 показва три изокванти, съответстващи на производствен обем от 200, 300 и 400 единици. Можем да кажем, че за освобождаването на 300 единици продукция са необходими K 1 единици капитал и L 1 единици труд или K 2 единици капитал и L 2 единици труд, или всяка друга комбинация от тях от множеството, което е представен от изоквантата Y 2 = 300.

В общия случай в множеството X на допустимите множества производствени фактори се разграничава подмножество X c, наречено изокванта на производствената функция, която се характеризира с факта, че за всеки вектор равенството

По този начин, за всички набори ресурси, съответстващи на изоквантата, обемите на продукцията са равни. По същество изокванта е описание на възможността за обмен на фактори в производствения процес на продукти, осигуряващ постоянен обем на производството. В тази връзка се оказва възможно да се определи коефициентът на обмен на ресурси, като се използва диференциалното отношение по всяка изокванта

Следователно коефициентът на еквивалентно заместване на двойка фактори j и k е равен на:

Полученото съотношение показва, че ако производствените ресурси се заменят в съотношение, равно на съотношението на нарастващата производителност, тогава количеството произведени продукти остава непроменено. Трябва да се каже, че познаването на производствената функция дава възможност да се характеризира мащаба на възможността за взаимно заменяне на ресурсите по ефективни технологични начини. За постигането на тази цел се използва коефициентът на еластичност на заместването на ресурсите за продукти

която се изчислява по протежение на изоквантата при постоянно ниво на разходите за други производствени фактори. Стойността sjk е характеристика на относителната промяна в коефициента на обмен на ресурси при промяна на съотношението между тях. Ако съотношението на взаимозаменяеми ресурси се промени с sjk процент, тогава коефициентът на взаимозаменяемост sjk се променя с един процент. В случай на линейна производствена функция коефициентът на обмен остава непроменен за всяко съотношение на използваните ресурси и следователно може да се приеме, че еластичността s jk = 1. Съответно, големите стойности на sjk показват, че е възможна по -голяма свобода при замяна на производствените фактори по протежение на изоквантата и в същото време основните характеристики на производствената функция (производителност, обменен курс) ще се променят много малко.

За производствените функции по степен на закон за всяка двойка взаимозаменяеми ресурси, равенството s jk = 1 е вярно.

Представянето на ефективен технологичен набор, използващ скаларна производствена функция, се оказва недостатъчно в случаите, когато е невъзможно да се направи с един -единствен индикатор, описващ работата на дадено производствено съоръжение, но е необходимо да се използват няколко (М) показателя за изхода ( Фигура 3).

Фигура 3 _ Различни случаи на изоквантно поведение

При тези условия може да се използва функцията за производство на вектор

Важна концепция за ограничаващата (диференциална) производителност се въвежда от релацията

Всички други основни характеристики на скаларните TF допускат подобно обобщение.

Подобно на кривите на безразличие, изоквантите също попадат в различни типове.

За линейна производствена функция на формата

където Y е обемът на производството; Параметри A, b 1, b 2; K, L капиталови и трудови разходи и пълното заместване на един ресурс с друг изоквант ще имат линейна форма (Фигура 4, а).

За експоненциалната производствена функция

Тогава изтоквантите ще имат формата на криви (Фигура 4, б).

Ако изоквантата отразява само един технологичен начин на производство на даден продукт, тогава трудът и капиталът се комбинират в единствената възможна комбинация (Фигура 4, в).

г) Счупени изокванти

Фигура 4 - Различни варианти на изокванти

Такива изокванти понякога се наричат ​​изокванти от типа на Леонтиев на името на американския икономист В.В. Леонтиев, който постави този тип изокванта в основата на метода за въвеждане / извеждане, който разработи.

Прекъснатата линия на изоквантата предполага наличието на ограничен брой технологии F (Фигура 4, г).

Изокванти на такава конфигурация се използват в линейното програмиране за обосноваване на теорията за оптимално разпределение на ресурсите. Счупените изокванти най -реалистично представят технологичните възможности на много производствени съоръжения. В икономическата теория обаче традиционно се използват изоквантови криви, които се получават от прекъснати линии съответно с увеличаване на броя на технологиите и увеличаване на прекъсванията.

Най-широко разпространени са мултипликативните форми на представяне на производствените функции. Тяхната особеност е следната: ако един от факторите е равен на нула, резултатът изчезва. Лесно е да се види, че това реално отразява факта, че в повечето случаи всички анализирани първични ресурси участват в производството и без нито един от тях производството е невъзможно. В най -общата си форма (нарича се канонична), тази функция се записва по следния начин:

Тук коефициентът А пред знака за умножение взема предвид измерението, той зависи от избраната мерна единица на разходите и продукцията. Факторите от първи до n -ти могат да имат различно съдържание в зависимост от това какви фактори влияят върху общия резултат (изход). Например, в PF, който се използва за изучаване на икономиката като цяло, е възможно да се вземе обемът на крайния продукт като показател за производителност, а кофакторите са броят на заетото население x1, сумата от фиксираните и оборотни активи x2 и площта на използваната земя x3. Във функцията Коб-Дъглас има само два фактора, с помощта на които е направен опит за оценка на връзката на фактори като труда и капитала с нарастването на националния доход на САЩ през 20-те и 30-те години на миналия век. XX век:

N = A Lb Kv,

където N е националният доход; L и K са обемите на труда и капитала, приложени съответно (за повече подробности вижте; функция Cobb-Douglas).

Коефициентите на мощност (параметри) на мултипликативната степенна производствена функция показват дела в процентното увеличение на крайния продукт, който всеки от факторите допринася (или с колко процента продуктът ще се увеличи, ако се увеличат разходите за съответния ресурс) с един процент); те са коефициенти на еластичност на производството по отношение на разходите за съответния ресурс. Ако сумата от коефициентите е 1, това означава хомогенност на функцията: тя се увеличава пропорционално на увеличаването на размера на ресурсите. Но такива случаи са възможни и когато сумата от параметрите е по -голяма или по -малка от единица; това показва, че увеличаването на разходите води до непропорционален или непропорционален растеж на производството - икономии от мащаба.

В динамичната версия се използват различни форми на производствена функция. Например, в случая с 2 фактора: Y (t) = A (t) Lb (t) Kv (t), където коефициентът A (t) обикновено се увеличава с времето, отразявайки общия растеж на ефективността на производствените фактори в динамика.

Като се вземе логаритъмът и след това се диференцира определената функция по отношение на t, може да се получи връзката между темповете на растеж на крайния продукт (национален доход) и растежа на производствените фактори (темповете на растеж на променливите обикновено се описват тук като процент).

По -нататъшното „динамизиране“ на PF може да се състои в използването на променливи коефициенти на еластичност.

Описаните от PF взаимоотношения са от статистически характер, тоест те се появяват само средно, в голяма маса от наблюдения, тъй като в действителност не само анализираните фактори, но и много неизчислени такива, влияят върху производствения резултат. В допълнение, използваните показатели както за разходите, така и за резултатите са неизбежно продукт на сложна агрегация (например обобщен показател за разходите за труд в макроикономическа функция включва разходите за труд с различна производителност, интензивност, квалификация и т.н.).

Специален проблем е отчитането на фактора на техническия прогрес в макроикономическата ПФ (за повече подробности вижте статията „Научно -технически прогрес“). С помощта на PF се изследва и еквивалентната взаимозаменяемост на производствените фактори (вж. Еластичност на заместването на ресурсите), която може да бъде непроменена или променлива (т.е. в зависимост от количеството ресурси). Съответно функциите са разделени на два типа: с постоянна еластичност на заместването (CES - постоянна еластичност на заместването) и с променлива (VES - променлива еластичност на заместването) (виж по -долу).

На практика се използват три основни метода за определяне на параметрите на макроикономическите ФП: въз основа на обработка на времеви редове, на база данни за структурните елементи на агрегатите и на разпределението на националния доход. Последният метод се нарича дистрибутивен.

При конструирането на производствена функция е необходимо да се отървете от явленията на мултиколинеарност на параметрите и автокорелация - в противен случай грубите грешки са неизбежни.

Ето някои важни производствени функции.

Линейна производствена функция:

P = a1x1 + ... + anxn,

където a1, ..., an са прогнозните параметри на модела: тук факторите на производство са заменими във всякакви пропорции.

CES функция:

P = A [(1 -b) K -b + bL -b] -c / b,

в този случай еластичността на заместване на ресурса не зависи нито от K, нито от L и следователно е постоянна:

От тук идва името на функцията.

Функцията CES, подобно на функцията Cobb-Douglas, се основава на предположението, че пределната норма на заместване на използваните ресурси постоянно намалява. Междувременно еластичността на заместването на капитала с труд и, обратно, труд с капитал във функцията на Коб-Дъглас, равна на единица, тук може да приеме различни стойности, които не са равни на единица, въпреки че е постоянна. И накрая, за разлика от функцията Cobb-Douglas, логаритъмът на функцията CES не я довежда до линейна форма, което ни принуждава да използваме по-сложни методи за нелинеен регресионен анализ за оценка на параметрите.

Производствената функция винаги е специфична, т.е. предназначени за тази технология. Новата технология е нова продуктивна функция. Производствената функция определя минималния размер на разходите, необходими за производството на даден обем продукт.

Производствените функции, независимо какъв вид производство изразяват, имат следните общи свойства:

• 1) Увеличението на производството поради увеличаване на разходите само за един ресурс има ограничение (не можете да наемете много работници в една стая - не всеки ще има места).
• 2) Производствените фактори могат да бъдат допълващи се (работници и инструменти) и взаимозаменяеми (автоматизация на производството).

В най -общия си вид производствената функция изглежда така:

къде е обемът на емисията;

K- капитал (оборудване);

М - суровини, материали;

Т - технология;

N - предприемаческа способност.

Най-простият е двуфакторният модел на производствената функция на Коб-Дъглас, който разкрива връзката между труда (L) и капитала (K).

Тези фактори са взаимозаменяеми и допълващи се. Още през 1928 г. американски учени - икономистът П. Дъглас и математикът К. Коб - създадоха макроикономически модел, който дава възможност да се оцени приносът на различни фактори на производството за увеличаване на производството или националния доход. Тази функция изглежда така:

където А е производственият коефициент, показващ пропорционалността на всички функции и се променя при промяна на основната технология (след 30-40 години);

K, L- капитал и труд;

b, c - коефициентите на еластичност на обема на производството по отношение на капитала и разходите за труд.

Ако b = 0,25, тогава увеличението на капиталовите разходи с 1% увеличава обема на производството с 0,25%.

Въз основа на анализа на коефициентите на еластичност в производствената функция на Cobb-Douglas е възможно да се разграничат:

1) пропорционално увеличаване на производствената функция, когато

2) непропорционално - увеличаване

3) намаляващ

Помислете за кратък период на дейност на фирмата, в който от двата фактора трудът е променливата. В такава ситуация фирмата може да увеличи производството, като използва повече трудови ресурси (Фигура 5).

Фигура 5_ Динамика и връзка на общите средни и пределни продукти

Фигура 5 показва графика на производствената функция на Cobb -Douglas с една изобразена променлива - кривата TPn.

Функцията Cobb-Douglas е имала дълъг и успешен живот без сериозни съперници, но наскоро беше силно съперничена от новата функция Arrow, Chenery, Minchas и Solow, която за кратко ще наречем SMAC. (Браун и Де Кани също разработиха тази функция независимо.) Основната разлика на функцията SMAC е, че се въвежда константата на еластичността на заместването y, която е различна от единица (както при функцията Cobb-Douglas) и нула: както в модела вход-изход.

Разнообразието от пазарни и технологични условия, което се наблюдава в съвременните икономики, подсказва, че е невъзможно да се изпълнят основните изисквания за разумна агрегация, с изключение, може би, на отделни фирми в една и съща индустрия или ограничени сектори на икономиката.

Така в икономическите и математическите модели на производство всяка технология може да бъде представена графично с точка, чиито координати отразяват минимално необходимите разходи за ресурси K и L за производството на даден обем продукция. Много такива точки образуват линия с равно освобождаване или изокванта. Тоест производствената функция е графично представена от семейство изокванти. Колкото по -далеч от началото на координатите се намира изоквантата, толкова по -голям обем на производството отразява. За разлика от кривата на безразличие, всяка изокванта характеризира количествено определен обем продукция. Обикновено в микроикономиката се анализира двуфакторна производствена функция, отразяваща зависимостта на продукцията от количеството на труда и използвания капитал.

Зависимостта на количеството произведена стока от съответните производствени фактори, с които се произвежда. Нека разгледаме тази концепция по -подробно.

Производствената функция винаги има специфична форма, тъй като е предназначена за конкретна технология. Въвеждането на нови технологични разработки води до промяна или създаване на нов тип зависимост.

Тази функция се използва за намиране на оптималния (минимален) размер на разходите, необходими за производството на определено количество стоки. Всички производствени функции, независимо от това какво изразяват, се характеризират със следните общи свойства:

Ръстът в обема на произведените стоки, дължащи се само на един фактор (ресурс), има ограничение (само определен брой работници могат нормално да работят в една стая, тъй като броят на местата е ограничен от площта);

Производствените фактори могат да бъдат взаимозаменяеми и допълващи се (работници и инструменти).

В най -общия си вид производствената функция изглежда така:

Q = f (K, L, M, T, N), в тази формула

Q е обемът на произведените стоки;

К - оборудване (капитал);

M е цената на материалите и суровините;

Т - използвани технологии;

N - предприемаческа способност.

Видове производствени функции

Има много видове тази зависимост, които отчитат влиянието на един или няколко от най -важните фактори. Най-известни обаче са два основни типа производствена функция: двуфакторният модел от формата Q = f (L; K) и функцията на Коб-Дъглас.

Двуфакторен модел Q = f (L; K)

Този модел разглежда зависимостта на обема на производството (Q) от (L) и капитала (L). Групата на изоквантите често се използва за анализ на този модел. Изокванта е крива, която свързва всички възможни точки на комбинации, които позволяват освобождаването на определен обем стоки. Оста X обикновено се обозначава като вложен труд, а оста Y е капитал. На една и съща графика са изчертани няколко изокванти, всяка от които съответства на определен обем на производство, използвайки специфична технология. Резултатът е карта на изокванти с различни количества произведени стоки. Това ще бъде производствената функция на това предприятие.

Следните общи свойства са характерни за изоквантите:

Вдлъбната и низходяща форма на изоквантата е свързана с факта, че намаляването на използването на капитала при стабилен обем на произведените стоки води до увеличаване на разходите за труд;

Вдлъбнатата форма на изоквантовата крива зависи от максимално допустимата норма на технологично заместване (размера на капитала, който може да замени 1 допълнителна единица труд).

Функция Коб-Дъглас

Тази производствена функция, кръстена на двама американски откриватели, където общата продукция Y зависи от ресурсите, използвани в производствения процес, например труд L и капитал К. Формулата му е:

където α и b са константи (α> 0 и b> 0);

K и L са капитал и труд съответно.

Ако сумата от константи α и b е равна на единица, тогава се счита, че такава функция има константа на производство. Ако параметрите K и L се умножат по който и да е коефициент, тогава Y също трябва да се умножи по същия фактор.

Моделът Cobb-Douglas може да се приложи към всяка конкретна фирма. В този случай α е делът на общите разходи за капитал, а β е делът за труд. Моделите на Cobb-Douglas също могат да съдържат повече от две променливи. Например, ако N е, тогава производствената функция приема формата Y = AKαLβNγ, където γ е константа (γ> 0) и α + β + γ = 1.

Производствена функция

Връзката между входовете и крайния изход се описва от производствената функция. Това е отправна точка в микроикономическите изчисления на компанията, позволява ви да намерите най -добрия вариант за използване на производствените възможности.

Производствена функцияпоказва възможната максимална мощност (Q) за определена комбинация от производствени фактори и избраната технология.

Всяка производствена технология има своя специфична функция. В най -общата си форма е написано:

където Q е обемът на производството,

К - капитал

М - природни ресурси

Ориз. 1 Производствена функция

Производствената функция се характеризира с определени Имоти :

Има ограничение за нарастването на производството, което може да бъде постигнато чрез увеличаване на използването на един фактор, при условие че другите фактори на производството не се променят. Този имот е кръстен законът за намаляваща производителност на производствен фактор ... Работи в краткосрочен план.

Съществува известна допълняемост на производствените фактори, но без намаляване на производството е възможна и определена взаимозаменяемост на тези фактори.

Промените в използването на производствени фактори са по -еластични за дълъг период от време, отколкото за кратък период.

Производствената функция може да се разглежда като еднофакторна и многофакторна. Едномерното предполага, че при равни други условия се променя само производственият фактор. Многофакторното включва промяна във всички производствени фактори.

За краткосрочния период се използва еднофакторен, а за дългосрочния-многофакторен.

Краткосрочен – това е период, през който поне един фактор остава непроменен.

Дългосрочен – това е периодът от време, през който всички производствени фактори се променят.

При анализ на производството се използват концепции като общ продукт (TP) - обемът на стоките и услугите, произведени за определен период от време.

Среден продукт (AR) характеризира количеството продукция на единица от използвания производствен фактор. Характеризира производителността на производствения фактор и се изчислява по формулата:

Ограничителен продукт (MP) - допълнително производство, произведено от допълнителна единица от производствен фактор. MP характеризира производителността на допълнително наета единица от производствен фактор.

Таблица 1 - Резултати от производството в краткосрочен план

Капиталови разходи (K)	Вложен труд (L)	Обем на производство (TR)	Среден продукт на труда (AR)	Пределен продукт на труда (MP)

Анализът на данните в таблица 1 разкрива редица модели на поведение общ, среден и пределен продукт. В точката на максимум на общия продукт (TP) пределният продукт (MP) е равен на 0. Ако с увеличаване на обема на труда, използван в производството, пределният продукт на труда е по -голям от средния, тогава стойността на средния продукт нараства и това показва, че съотношението труд към капитал далеч не е оптимално и част от оборудването не се използва поради липса на работна ръка. Ако с увеличаване на обема на труда пределният продукт на труда е по -малък от средния продукт, тогава средният продукт на труда ще намалее.

Законът за заместване на производствените фактори.

Равновесно положение на фирмата

Един и същ максимален обем на производство на една фирма може да бъде постигнат чрез различна комбинация от производствени фактори. Това се дължи на способността на един ресурс да бъде изтласкан от друг, без да се засягат резултатите от производството. Тази способност се нарича взаимозаменяемост на производствените фактори.

Така че, ако обемът на трудовия ресурс се увеличи, използването на капитала може да намалее. В този случай прибягваме до трудоемка производствена опция. Ако, напротив, обемът на използвания капитал се увеличава и трудът се измества, тогава говорим за капиталоемка версия на производството. Например, виното може да се произвежда по трудоемък ръчен начин или по капиталоемък начин, като се използват машини за пресоване на грозде.

Технология на производствофирмите са начин за свързване на производствените фактори към производството на продукти, основани на определено ниво на знания. С развитието на технологията фирмата е в състояние да получи една и съща или повече продукция със същия набор от производствени фактори.

Количественото съотношение на взаимозаменяеми фактори дава възможност за оценка на коефициент, наречен пределна технологична норма на заместване (MRTS).

Пределен процент на технологично заместванетрудовият капитал е сумата, с която можете да намалите капитала чрез използването на допълнителна единица труд, без да променяте обема на продукцията. Математически това може да се изрази по следния начин:

MRTS LK = - dK / dL = - ΔK / ΔL

където ΔK - промяна в размера на използвания капитал;

ΔLпромяна в разходите за труд на единица продукция.

Помислете за възможността за изчисляване на производствената функция и замяна на производствени фактори за хипотетична фирма Х.

Да предположим, че дадена фирма може да промени обема на производствените фактори, труда и капитала от 1 до 5 единици. Промените в обемите на продукцията, свързани с това, могат да бъдат представени под формата на таблица, която се нарича "Производствена решетка" (Таблица 2).

таблица 2

Производствена мрежа на компаниятаNS

Капиталови разходи	Разходи за труд

За всяка комбинация от основните фактори, ние сме определили максимално възможната продукция, тоест стойността на производствената функция. Нека обърнем внимание на факта, че, да речем, продукция от 75 единици се постига с четири различни комбинации от труд и капитал, обем от 90 единици с три комбинации, 100 с две и т.н.

Чрез графично нанасяне на производствената решетка получаваме криви, които са друга версия на модела на производствената функция, предварително фиксирана под формата на алгебрична формула. За да направим това, ще свържем точките, които съответстват на комбинациите от труд и капитал, което ви позволява да получите същия обем продукция (фиг. 1).

К

Ориз. 1. Карта на изоквантите.

Създаденият графичен модел се нарича изоквант. Набор от изтокванти - карта на изтокванти.

Така, изоквантене крива, всяка точка от която съответства на комбинации от производствени фактори, които осигуряват определен максимален обем от продукцията на фирмата.

За да получим същия обем продукция, можем да комбинираме фактори, движейки се в търсене на опции по изоквантата. Движението нагоре по изоквантата означава, че фирмата дава предпочитание на капиталоемкото производство, увеличавайки броя на металорежещите машини, мощността на електродвигателите, броя на компютрите и др. Движението надолу отразява предпочитанията на фирмата за трудоемко производство .

Изборът на фирма в полза на трудоемка или капиталоемка версия на производствения процес зависи от условията на предприемачеството: общата сума на паричния капитал, която фирмата притежава, съотношението на цените за производствените фактори, факторната производителност , и така нататък.

Ако д - паричен капитал; R К - цена на капитала; R L - цената на труда, броят на факторите, които една фирма може да придобие, като изцяло харчи в паричен капитал, ДА СЕ -размер на капитала, L- количеството труд ще се определя по формулата:

D = P К K + P L L

Това е уравнението на права линия, всички точки на която съответстват на пълното използване на паричния капитал на фирмата. Тази крива се нарича изокостили бюджетен ред.

К

А

Ориз. 2. Равновесие на производителя.

На фиг. 2 комбинирахме линията на бюджетните ограничения на фирмата, isocostu (AB)с карта на изтокванти, т.е. набор от алтернативи на производствената функция (Q 1, Q 2, Q 3), за да се покаже равновесната точка на производителя (Д).

Баланс на производителя- това е позицията на фирмата, която се характеризира с пълното използване на паричния капитал и в същото време постигането на максимално възможния обем продукция за дадено количество ресурси.

В точката Eизокванта и изокост имат един и същ ъгъл на наклон, чиято стойност се определя от индикатора за ограничаващата скорост на технологично заместване (MRTS).

Динамика на индикатора MRTS (тя се увеличава при движение нагоре по изоквантата) показва, че има граници за заместване на фактори, свързани с факта, че ефективността на използване на производствените фактори е ограничена. Колкото повече труд се използва за изтласкване на капитала от производствения процес, толкова по -ниска е производителността на труда. По същия начин заместването на все повече капитал с труд намалява възвръщаемостта на последния.

Производството изисква балансирана комбинация от двата производствени фактора, за да ги използва най -добре. Предприемаческата фирма е готова да замени един фактор с друг, при условие че има печалба или поне равенство между загубите и печалбите в производителността.

Но на пазара на фактори е важно да се вземат предвид не само тяхното представяне, но и цените им.

Най -доброто използване на паричния капитал на фирмата или равновесното положение на производителя се подчинява на следния критерий: равновесното положение на производителя се постига, когато пределната норма на технологично заместване на производствените фактори е равна на съотношението на цените за тях фактори. Алгебрично това може да се изрази по следния начин:

- P L / P К = - dK / dL = MRTS

където P L , P К - цени на труда и капитала; dK, dL - промени в размера на капитала и труда; MTRS - пределен процент на технологично заместване.

Анализът на технологичните аспекти на производството на фирма за максимизиране на печалбата представлява интерес само от гледна точка на постигане на най-добрите крайни резултати, тоест продукта. В края на краищата инвестициите в ресурси за един предприемач са само разходи, които трябва да бъдат поети, за да се получи продукт, който се продава на пазара и генерира доход. Разходите трябва да се преценят спрямо резултатите. Следователно показателите за резултата или продукта придобиват особено значение.