Hvordan sammenligne brøker med samme teller. Sammenligning av brøker: regler, eksempler, løsninger

I Hverdagen Vi må ofte sammenligne brøkmengder. Oftest forårsaker dette ingen vanskeligheter. Faktisk forstår alle at et halvt eple er større enn en fjerdedel. Men når det gjelder å skrive det ned som et matematisk uttrykk, kan det bli forvirrende. Ved å bruke følgende matematiske regler kan du enkelt løse dette problemet.

Hvordan sammenligne brøker med samme nevnere

Slike fraksjoner er mest praktiske å sammenligne. I dette tilfellet, bruk regelen:

Av to brøker med samme nevnere, men forskjellige tellere, er den største den med telleren som er større, og den minste er den med telleren mindre.

Sammenlign for eksempel brøkene 3/8 og 5/8. Nevnerne i dette eksemplet er like, så vi bruker denne regelen. 3<5 и 3/8 меньше, чем 5/8.

Faktisk, hvis du skjærer to pizzaer i 8 skiver, er 3/8 av en skive alltid mindre enn 5/8.

Sammenligning av brøker med like tellere og ulikt nevnere

I dette tilfellet sammenlignes størrelsene på nevneraksjene. Regelen som skal brukes er:

Hvis to brøker har like tellere, er brøken hvis nevner er mindre større.

Sammenlign for eksempel brøkene 3/4 og 3/8. I dette eksemplet er tellerne like, noe som betyr at vi bruker den andre regelen. Brøken 3/4 har en mindre nevner enn brøken 3/8. Derfor 3/4>3/8

Faktisk, hvis du spiser 3 skiver pizza delt i 4 deler, vil du bli mer mett enn hvis du spiste 3 skiver pizza delt i 8 deler.

Sammenligning av brøker med forskjellige tellere og nevnere

La oss bruke den tredje regelen:

Sammenligning av brøker med ulike nevnere bør føre til sammenligning av brøker med samme nevner. For å gjøre dette må du redusere brøkene til en fellesnevner og bruke den første regelen.

For eksempel må du sammenligne brøker og . For å bestemme den største brøken reduserer vi disse to brøkene til en fellesnevner:

• La oss nå finne den andre tilleggsfaktoren: 6:3=2. Vi skriver det over den andre brøken:

I denne leksjonen skal vi lære å sammenligne brøker med hverandre. Dette er en veldig nyttig ferdighet som er nødvendig for å løse en hel klasse med mer komplekse problemer.

Først, la meg minne deg om definisjonen av likhet av brøker:

Brøkene a /b og c /d sies å være like hvis ad = bc.

1. 5/8 = 15/24, siden 5 24 = 8 15 = 120;
2. 3/2 = 27/18, siden 3 18 = 2 27 = 54.

I alle andre tilfeller er brøkene ulik, og ett av følgende utsagn er sant for dem:

1. Fraksjonen a/b er større enn brøkdelen c/d;
2. Fraksjonen a /b er mindre enn brøkdelen c /d.

Brøken a /b sies å være større enn brøkdelen c /d hvis a /b − c /d > 0.

En brøk x /y sies å være mindre enn en brøk s /t hvis x /y − s /t< 0.

Betegnelse:

Dermed kommer det å sammenligne brøker ned til å trekke dem fra. Spørsmål: hvordan ikke bli forvirret med notasjonene "mer enn" (>) og "mindre enn" (<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:

1. Den utstrakte delen av jackdaw peker alltid mot det større tallet;
2. Den skarpe nesen til en jackdaw peker alltid på et lavere tall.

Ofte i problemer der du trenger å sammenligne tall, plasseres et "∨"-tegn mellom dem. Dette er en daw med nesen ned, som ser ut til å antyde: det største av tallene er ennå ikke bestemt.

Oppgave. Sammenlign tall:

Følg definisjonen, trekk brøkene fra hverandre:

I hver sammenligning ble vi pålagt å redusere brøker til en fellesnevner. Nærmere bestemt, ved å bruke på kryss og tvers-metoden og finne det minste felles multiplum. Jeg fokuserte bevisst ikke på disse punktene, men hvis noe ikke er klart, ta en titt på leksjonen "Legge til og trekke fra brøker" - det er veldig enkelt.

Sammenligning av desimaler

Når det gjelder desimalbrøker, er alt mye enklere. Det er ikke nødvendig å trekke fra noe her - bare sammenlign sifrene. Det er en god idé å huske hva den vesentlige delen av et tall er. For de som har glemt det, foreslår jeg at du gjentar leksjonen "Multipisere og dele desimaler" - dette vil også ta bare et par minutter.

En positiv desimal X er større enn en positiv desimal Y hvis den inneholder en desimal slik at:

1. Sifferet på dette stedet i brøk X er større enn det tilsvarende sifferet i brøk Y;
2. Alle sifre høyere enn dette for brøkene X og Y er like.

1. 12.25 > 12.16. De to første sifrene er like (12 = 12), og det tredje er større (2 > 1);
2. 0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).

Med andre ord går vi gjennom desimalene en etter en og ser etter forskjellen. Hvori høyere tall en stor brøkdel tilsvarer også.

Denne definisjonen krever imidlertid avklaring. For eksempel hvordan registrere og sammenligne sifre med desimal tegn? Husk: et hvilket som helst tall skrevet i desimalform kan ha et hvilket som helst antall nuller til venstre. Her er et par flere eksempler:

1. 0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (vi snakker om om seniorrangeringen).
2. 2300,5 > 0,0025, fordi 0,0025 = 0000,0025 - tre nuller ble lagt til til venstre. Nå kan du se at forskjellen begynner med det første sifferet: 2 > 0.

Selvfølgelig, i de gitte eksemplene med nuller var det en åpenbar overkill, men poenget er akkurat dette: fyll ut de manglende bitene til venstre, og sammenlign.

Oppgave. Sammenlign brøker:

1. 0,029 ∨ 0,007;
2. 14,045 ∨ 15,5;
3. 0,00003 ∨ 0,0000099;
4. 1700,1 ∨ 0,99501.

Per definisjon har vi:

1. 0,029 > 0,007. De to første sifrene faller sammen (00 = 00), deretter begynner forskjellen (2 > 0);
2. 14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
3. 0,00003 > 0,0000099. Her må du nøye telle nullene. De første 5 sifrene i begge brøkene er null, men i den første brøken er det 3, og i den andre - 0. Åpenbart, 3 > 0;
4. 1700,1 > 0,99501. La oss omskrive den andre brøken til 0000,99501, og legge til 3 nuller til venstre. Nå er alt åpenbart: 1 > 0 - forskjellen oppdages i det første sifferet.

Dessverre, den gitte sammenligningsordningen desimaler ikke universell. Denne metoden kan bare sammenlignes positive tall. I det generelle tilfellet er driftsalgoritmen som følger:

1. En positiv brøk er alltid større enn en negativ brøk;
2. To positive fraksjoner sammenlignes ved bruk av algoritmen ovenfor;
3. To negative brøker sammenlignes på samme måte, men på slutten er ulikhetstegnet snudd.

Vel, ikke dårlig? La oss nå se på spesifikke eksempler- og alt vil bli klart.

Oppgave. Sammenlign brøker:

1. 0,0027 ∨ 0,0072;
2. −0,192 ∨ −0,39;
3. 0,15 ∨ −11,3;
4. 19,032 ∨ 0,0919295;
5. −750 ∨ −1,45.

1. 0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
2. −0,192 > −0,39. Brøker er negative, 2. siffer er forskjellig. 1< 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
3. 0,15 > −11,3. Positivt tall alltid mer negativ;
4. 19,032 > 0,091. Det er nok å omskrive den andre brøken i formen 00.091 for å se at forskjellen oppstår allerede i 1. siffer;
5. −750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 >001.45. Forskjellen er i den første kategorien.

Av to brøker med samme nevner er den med den største telleren større, og den med den minste telleren er mindre.. Faktisk viser nevneren hvor mange deler en hel verdi ble delt inn i, og telleren viser hvor mange slike deler som ble tatt.

Det viser seg at vi delte hver hel sirkel med samme tall 5 , men de tok forskjellige mengder deler: de tok mer - en større brøkdel og det viste seg.

Av to brøker med samme tellere, er den med den minste nevneren større, og den med den største nevneren er mindre. Vel, faktisk, hvis vi deler en sirkel inn i 8 deler, og den andre på 5 deler og ta en del fra hver av sirklene. Hvilken del blir større?

Selvfølgelig, fra en sirkel delt på 5 deler! Tenk deg nå at de ikke delte sirkler, men kaker. Hvilket stykke foretrekker du, eller rettere sagt, hvilken del: en femtedel eller en åttende?

For å sammenligne brøker med forskjellige tellere og forskjellige nevnere, må du redusere brøkene til deres laveste fellesnevner og deretter sammenligne brøker med de samme nevnerne.

Eksempler. Sammenlign vanlige brøker:

La oss redusere disse brøkene til deres laveste fellesnevner. NOZ(4 ; 6)=12. Vi finner tilleggsfaktorer for hver av brøkene. For 1. brøk en tilleggsfaktor 3 (12: 4=3 ). For 2. brøk en tilleggsfaktor 2 (12: 6=2 ). Nå sammenligner vi tellerne til de to resulterende brøkene med de samme nevnerne. Siden telleren til den første brøken er mindre enn telleren til den andre brøken ( 9<10) , så er den første brøken i seg selv mindre enn den andre brøken.

La oss fortsette å studere brøker. I dag skal vi snakke om deres sammenligning. Temaet er interessant og nyttig. Det vil tillate en nybegynner å føle seg som en vitenskapsmann i en hvit frakk.

Essensen av å sammenligne brøker er å finne ut hvilken av to brøker som er større eller mindre.

For å svare på spørsmålet hvilken av to brøker som er større eller mindre, bruk for eksempel mer (>) eller mindre (<).

Matematikere har allerede tatt seg av ferdige regler som lar dem umiddelbart svare på spørsmålet om hvilken brøkdel som er større og hvilken som er mindre. Disse reglene kan trygt brukes.

Vi vil se på alle disse reglene og prøve å finne ut hvorfor dette skjer.

Leksjonens innhold

Sammenligning av brøker med samme nevnere

Brøkene som må sammenlignes er forskjellige. Det beste tilfellet er når brøkene har samme nevnere, men forskjellige tellere. I dette tilfellet gjelder følgende regel:

Av to brøker med samme nevner er brøken med den største telleren større. Og følgelig vil brøkdelen med den mindre telleren være mindre.

La oss for eksempel sammenligne brøker og svare på hvilken av disse brøkene som er størst. Nevnerne er de samme, men tellerne er forskjellige. Brøken har en større teller enn brøken. Dette betyr at brøkdelen er større enn . Så vi svarer. Du må svare ved å bruke mer-ikonet (>)

Dette eksemplet kan lett forstås hvis vi husker om pizza, som er delt inn i fire deler. Det er flere pizzaer enn pizzaer:

Alle vil være enige om at den første pizzaen er større enn den andre.

Sammenligning av brøker med samme tellere

Det neste tilfellet vi kan komme inn på er når tellerne til brøkene er like, men nevnerne er forskjellige. For slike tilfeller er følgende regel gitt:

Av to brøker med samme tellere, er brøken med den minste nevneren større. Og følgelig er brøken hvis nevner er større mindre.

La oss for eksempel sammenligne brøkene og . Disse brøkene har de samme tellerne. En brøk har en mindre nevner enn en brøk. Dette betyr at brøken er større enn brøken. Så vi svarer:

Dette eksemplet kan lett forstås hvis vi husker om pizza, som er delt inn i tre og fire deler. Det er flere pizzaer enn pizzaer:

Alle vil være enige om at den første pizzaen er større enn den andre.

Sammenligning av brøker med forskjellige tellere og forskjellige nevnere

Det hender ofte at man må sammenligne brøker med ulike tellere og ulike nevnere.

Sammenlign for eksempel brøker og . For å svare på spørsmålet hvilken av disse brøkene som er større eller mindre, må du bringe dem til samme (felles)nevner. Da kan du enkelt bestemme hvilken brøk som er større eller mindre.

La oss bringe brøkene til samme (felles)nevner. La oss finne LCM for nevnerne til begge brøkene. LCM av nevnerne til brøkene, og dette er tallet 6.

Nå finner vi tilleggsfaktorer for hver brøk. La oss dele LCM med nevneren til den første brøken. LCM er tallet 6, og nevneren til den første brøken er tallet 2. Del 6 med 2, vi får en tilleggsfaktor på 3. Vi skriver den over den første brøken:

La oss nå finne den andre tilleggsfaktoren. Del LCM med nevneren til den andre brøken. LCM er tallet 6, og nevneren til den andre brøken er tallet 3. Del 6 med 3, vi får en tilleggsfaktor på 2. Vi skriver den over den andre brøken:

La oss multiplisere brøkene med tilleggsfaktorene deres:

Vi kom frem til at brøker som hadde forskjellige nevner ble til brøker som hadde samme nevner. Og vi vet allerede hvordan man sammenligner slike brøker. Av to brøker med samme nevner, er brøken med den største telleren større:

Regelen er regelen, og vi skal prøve å finne ut hvorfor den er mer enn . For å gjøre dette, velg hele delen i brøken. Det er ikke nødvendig å markere noe i brøken, siden brøken allerede er riktig.

Etter å ha isolert heltallsdelen i brøken får vi følgende uttrykk:

Nå kan du lett forstå hvorfor mer enn . La oss tegne disse brøkene som pizza:

2 hele pizzaer og pizzaer, mer enn pizzaer.

Subtraksjon av blandede tall. Vanskelige saker.

Når du trekker fra blandede tall, kan du noen ganger oppdage at ting ikke går så glatt som du ønsker. Det hender ofte at når man løser et eksempel, er ikke svaret det det skal være.

Når du trekker fra tall, må minuenden være større enn subtrahenden. Bare i dette tilfellet vil et normalt svar bli mottatt.

For eksempel, 10−8=2

10 - dekrementerbar

8 - subtrahend

2 - forskjell

Minuend 10 er større enn subtrahend 8, så vi får det normale svaret 2.

La oss nå se hva som skjer hvis minuenden er mindre enn subtrahenden. Eksempel 5−7=−2

5—reduserbar

7 - subtrahend

−2 — forskjell

I dette tilfellet går vi utover grensene for tallene vi er vant til og befinner oss i en verden av negative tall, der det er for tidlig for oss å gå, og til og med farlig. Å jobbe med negative tall, trenger vi passende matematisk opplæring, som vi ennå ikke har fått.

Hvis du, når du løser subtraksjonseksempler, finner ut at minuend er mindre enn subtrahend, kan du hoppe over et slikt eksempel for nå. Det er tillatt å jobbe med negative tall først etter å ha studert dem.

Situasjonen er den samme med brøker. Minuenden må være større enn subtrahenden. Bare i dette tilfellet vil det være mulig å få et normalt svar. Og for å forstå om brøken som reduseres er større enn brøken som trekkes fra, må du kunne sammenligne disse brøkene.

La oss for eksempel løse eksempelet.

Dette er et eksempel på subtraksjon. For å løse det, må du sjekke om brøken som reduseres er større enn brøken som trekkes fra. mer enn

slik at vi trygt kan gå tilbake til eksemplet og løse det:

La oss nå løse dette eksemplet

Vi sjekker om brøken som reduseres er større enn brøken som trekkes fra. Vi finner at det er mindre:

I dette tilfellet er det lurere å stoppe og ikke fortsette videre beregning. La oss gå tilbake til dette eksemplet når vi studerer negative tall.

Det er også lurt å sjekke blandede tall før subtraksjon. La oss for eksempel finne verdien av uttrykket .

Først, la oss sjekke om det blandede tallet som utvinnes er større enn det blandede tallet som trekkes fra. For å gjøre dette konverterer vi blandede tall til uekte brøker:

Vi mottok brøker med ulike tellere og ulike nevnere. For å sammenligne slike brøker må du bringe dem til samme (felles)nevner. Vi vil ikke beskrive i detalj hvordan du gjør dette. Hvis du har problemer, sørg for å gjenta.

Etter å ha redusert brøkene til samme nevner, får vi følgende uttrykk:

Nå må du sammenligne brøker og . Dette er brøker med samme nevnere. Av to brøker med samme nevner er brøken med den største telleren større.

Brøken har en større teller enn brøken. Dette betyr at brøken er større enn brøken.

Dette betyr at minuenden er større enn subtrahenden

Dette betyr at vi kan gå tilbake til vårt eksempel og trygt løse det:

Eksempel 3. Finn verdien av et uttrykk

La oss sjekke om minuenden er større enn subtrahenden.

La oss konvertere blandede tall til uekte brøker:

Vi mottok brøker med ulike tellere og ulike nevnere. La oss redusere disse brøkene til samme (felles)nevner.