Komplekse tall

Innbilt Og komplekse tall. Abscisse og ordinat

komplekst tall. Konjuger komplekse tall.

Operasjoner med komplekse tall. Geometrisk

representasjon av komplekse tall. Kompleks fly.

Modul og argument for et komplekst tall. Trigonometrisk

kompleks tallform. Operasjoner med kompleks

tall i trigonometrisk form. Moivres formel.

Grunnleggende informasjon om innbilt Og komplekse tall er gitt i avsnittet "imaginære og komplekse tall". Behovet for disse tallene av en ny type oppsto ved løsning av andregradsligninger for tilfelletD< 0 (здесь D– diskriminerende kvadratisk ligning). I lang tid disse tallene ble ikke funnet fysisk applikasjon, som er grunnen til at de ble kalt "imaginære" tall. Imidlertid er de nå veldig mye brukt i ulike felt av fysikk.

og teknologi: elektroteknikk, hydro- og aerodynamikk, elastisitetsteori, etc.

Komplekse tall er skrevet i formen:a+bi. Her en Og b – reelle tall , A Jeg – imaginær enhet, dvs. e. Jeg 2 = –1. Antall en kalt abscisse,en b – ordinatkomplekst talla + bi.To komplekse talla+bi Og a–bi er kalt konjugerer komplekse tall.

Hovedavtaler:

1. Reelt tallENkan også skrives i skjemaetkomplekst tall:a+ 0 Jeg eller en – 0 Jeg. Registrerer for eksempel 5 + 0Jeg og 5-0 Jegbetyr samme tall 5 .

2. Kompleks tall 0 + bikalt rent innbilt Antall. Ta oppbibetyr det samme som 0 + bi.

3. To komplekse talla+bi Ogc + dianses like hvisa = c Og b = d. Ellers komplekse tall er ikke like.

Addisjon. Summen av komplekse talla+bi Og c + dikalles et komplekst tall (a+c ) + (b+d ) Jeg.Dermed, når du legger til komplekse tall, deres abscisse og ordinater legges til separat.

Denne definisjonen tilsvarer reglene for operasjoner med vanlige polynomer.

Subtraksjon. Forskjellen mellom to komplekse talla+bi(minsket) og c + di(subtrahend) kalles et komplekst tall (a–c ) + (b–d ) Jeg.

Dermed, Når du trekker fra to komplekse tall, trekkes abscissene og ordinatene deres separat.

Multiplikasjon. Produkt av komplekse talla+bi Og c + di kalles et komplekst tall:

(ac–bd ) + (annonse+bc ) Jeg.Denne definisjonen følger av to krav:

1) tall a+bi Og c + dimå multipliseres som algebraisk binomialer,

2) nummer Jeghar hovedegenskapen:Jeg 2 = – 1.

EKSEMPEL ( a+ bi )(a–bi) = a 2 +b 2 . Derfor, arbeid

to konjugerte komplekse tall er lik det reelle

et positivt tall.

Inndeling. Del et komplekst talla+bi (delelig) med en annenc + di(deler) - betyr å finne det tredje tallete + f i(chat), som når multiplisert med en divisorc + di, resulterer i utbyttea + bi.

Hvis divisor ikke er null, er divisjon alltid mulig.

EKSEMPEL Finn (8+Jeg ) : (2 – 3 Jeg) .

Løsning. La oss omskrive dette forholdet som en brøk:

Multipliser telleren og nevneren med 2 + 3Jeg

OG Etter å ha utført alle transformasjonene får vi:

Geometrisk representasjon av komplekse tall. Reelle tall er representert med punkter på tallinjen:

Her er poenget ENbetyr tallet –3, prikkB– nummer 2, og O- null. I kontrast er komplekse tall representert med prikker på koordinatplan. Til dette formålet velger vi rektangulære (kartesiske) koordinater med samme skala på begge akser. Deretter det komplekse talleta+bi vil bli representert med en prikk P med abscisse a og ordinat b (se bilde). Dette koordinatsystemet kalles komplekst plan .

Modul komplekst tall er lengden på vektorenOP, som representerer et komplekst tall på koordinaten ( omfattende) fly. Modulus til et komplekst talla+bi betegnet | a+bi| eller brev r

Go) tall.

2. Algebraisk representasjonsform av komplekse tall

Komplekst tall eller kompleks, er et tall som består av to tall (deler) – ekte og imaginære.

Ekte kalles enhver positiv eller et negativt tall, for eksempel + 5, - 28, osv. La oss betegne et reelt tall med bokstaven "L".

Innbilt er et tall lik produktet av et reelt tall og Kvadratrot fra en negativ enhet, for eksempel 8, - 20, etc.

En negativ enhet kalles innbilt og er merket med bokstaven "yot":

La oss angi det reelle tallet i det imaginære tallet med bokstaven "M".

Da kan det imaginære tallet skrives slik: j M. I dette tilfellet kan det komplekse tallet A skrives slik:

A = L + j M (2).

Denne formen for å skrive et komplekst tall (kompleks), som er algebraisk sum virkelige og imaginære deler kalles algebraisk.

Eksempel 1. Representer i algebraisk form et kompleks hvis reelle del er 6 og hvis imaginære del er 15.

Løsning. A = 6 +j 15.

I tillegg til den algebraiske formen, kan et komplekst tall representeres av tre til:

1. grafikk;

2. trigonometrisk;

3. veiledende.

En slik variasjon av former er dramatisk forenkler beregninger sinusformede størrelser og deres grafiske representasjon.

La oss se på det grafiske, trigonometriske og eksponent etter tur.

nye former for å representere komplekse tall.

Grafisk form for å representere komplekse tall

For grafisk representasjon av komplekse tall, direkte

karbonkoordinatsystem. I et vanlig (skole) koordinatsystem er positive eller negative verdier plottet langs "x" (abscisse) og "y" (ordinat) aksene. ekte tall.

I koordinatsystemet vedtatt i den symbolske metoden, langs "x"-aksen

reelle tall er plottet i form av segmenter, og imaginære tall er plottet langs "y"-aksen

Ris. 1. Koordinatsystem for grafisk representasjon av komplekse tall

Derfor kalles x-aksen aksen for reelle størrelser, eller kort sagt, ekte akser.

Ordinataksen kalles aksen for imaginære størrelser eller innbilt akser.

Selve planet (dvs. planet til tegningen), som komplekse tall eller mengder er avbildet på, kalles omfattende flat.

I dette planet er det komplekse tallet A = L + j M representert av vektoren A

(Fig. 2), hvis projeksjon på den reelle aksen er lik dens reelle del Re A = A" = L, og projeksjonen på den imaginære aksen er lik den imaginære delen Im A = A" = M.

(Re - from the English real - real, real, real, Im - from the English imaginary - unreal, imaginary).

Ris. 2. Grafisk fremstilling av et komplekst tall

I dette tilfellet kan tallet A skrives som følger

A = A" + A" = Re A + j Im A (3).

Ved å bruke en grafisk representasjon av tallet A i det komplekse planet, introduserer vi nye definisjoner og får noen viktige sammenhenger:

1. lengden til vektor A kalles modul vektor og er betegnet med |A|.

I følge Pythagoras teorem

|A| = (4) .

2. vinkel α dannet av vektor A og reell positiv halv-

aksen kalles argument vektor A og bestemmes gjennom sin tangent:

tg α = A" / A" = Im A / Re A (5).

Altså for en grafisk representasjon av et komplekst tall

A = A" + A" i form av en vektor du trenger:

1. finn modulen til vektoren |A| i henhold til formel (4);

2. finn argumentet til vektoren tan α ved hjelp av formel (5);

3. finn vinkelen α fra relasjonen α = bue tan α;

4. i koordinatsystemet j (x) tegne et hjelpeapparat

rett linje og på den, på en bestemt skala, plott et segment lik den absolutte verdien av vektoren |A|.

Eksempel 2. Presenter det komplekse tallet A = 3 + j 4 i grafisk form.

Komplekse tall og
koordinere
flyet

Den geometriske modellen av settet R av reelle tall er talllinjen. Ethvert reelt tall tilsvarer et enkelt punkt

på
talllinje og et hvilket som helst punkt på linjen
bare én matcher
ekte nummer!

Ved å legge til en dimensjon til til tallinjen som tilsvarer settet av alle reelle tall - linjen som inneholder settet med rene tall

Ved å legge til nummerlinjen som tilsvarer settet
alle reelle tall enda en dimensjon -
en rett linje som inneholder et sett med rent imaginære tall –
får vi et koordinatplan der hver
det komplekse tallet a+bi kan assosieres
punkt (a; b) i koordinatplanet.
i=0+1i tilsvarer punkt (0;1)
2+3i tilsvarer punkt (2;3)
-i-4 tilsvarer punkt (-4;-1)
5=5+1i tilsvarer melankoli (5;0)

Geometrisk betydning av konjugasjonsoperasjonen

! Parringsoperasjonen er aksial
symmetri om abscisseaksen.
!! Konjugert til hverandre
komplekse tall er like langt fra
opprinnelse.
!!! Vektorer som viser
konjugerte tall, skråstilt til aksen
abscisse i samme vinkel, men
plassert på motsatte sider av
denne aksen.

Bilde av reelle tall

Bilde av komplekse tall

Algebraisk
vei
Bilder:
Komplekst tall
a+bi er avbildet
plan punkt
med koordinater
(a;b)

Eksempler på fremstilling av komplekse tall på koordinatplanet

(Vi er interesserte
komplekse tall
z=x+yi , for hvilket
x=-4. Dette er ligningen
rett,
parallell akse
ordinere)
på
X= - 4
Gyldig
delen er -4
0
X

Tegn på koordinatplanet settet med alle komplekse tall som:

Fantasifull del
er jevn
entydig
naturlig
Antall
(Vi er interesserte
komplekse tall
z=x+yi, for hvilket
y=2,4,6,8.
Geometrisk bilde
består av fire
rett, parallell
x-aksen)
på
8
6
4
2
0
X

Å spesifisere et komplekst tall tilsvarer å spesifisere to reelle tall a, b - de reelle og imaginære delene av et gitt komplekst tall. Men et ordnet tallpar er avbildet på kartesisk rektangulært system koordinater ved et punkt med koordinater. Dermed kan dette punktet tjene som et bilde for det komplekse tallet z: det etableres en en-til-en korrespondanse mellom komplekse tall og punkter i koordinatplanet. Når du bruker koordinatplanet til å avbilde komplekse tall, kalles okseaksen vanligvis den reelle aksen (siden den reelle delen av tallet tas som abscissen til punktet), og Oy-aksen er den imaginære aksen (siden den imaginære delen). av tallet tas som ordinaten til punktet). Det komplekse tallet z representert av punktet (a, b) kalles affikset til dette punktet. I dette tilfellet er reelle tall representert av punkter som ligger på den reelle aksen, og alle rent imaginære tall (for a = 0) er representert av punkter som ligger på den imaginære aksen. Tallet null er representert ved punktet O.

I fig. 8 bilder av tall er konstruert.

To komplekse konjugerte tall er representert ved punkter symmetriske om okseaksen (punkter i fig. 8).

Ofte assosiert med et komplekst tall er ikke bare punktet M, som representerer dette tallet, men også vektoren OM (se avsnitt 93), som fører fra O til M; Representasjonen av et tall som en vektor er praktisk fra synspunktet til den geometriske tolkningen av handlingen av addisjon og subtraksjon av komplekse tall.

I fig. 9, a er det vist at vektoren som representerer summen av komplekse tall er oppnådd som diagonalen til et parallellogram konstruert på vektorer som representerer leddene.

Denne regelen for å legge til vektorer er kjent som parallellogramregelen (for eksempel for å legge til krefter eller hastigheter i et fysikkkurs). Subtraksjon kan reduseres til addisjon med motsatt vektor (fig. 9, b).

Som kjent (punkt 8), kan posisjonen til et punkt på planet også spesifiseres ved dets polare koordinater. Dermed vil det komplekse tallet - punktets affiks også bestemmes av oppgaven Fra Fig. 10 er det klart at samtidig er modulen til et komplekst tall: den polare radiusen til punktet som representerer tallet er lik modulen til dette tallet.

Den polare vinkelen til et punkt M kalles argumentet til tallet representert av dette punktet. Argumentet til et komplekst tall (som den polare vinkelen til et punkt) er ikke definert tvetydig; hvis er en av verdiene, er alle verdiene uttrykt av formelen

Alle verdiene av argumentet er samlet med symbolet.

Så ethvert komplekst tall kan assosieres med et par reelle tall: modulen og argumentet til det gitte tallet, og argumentet bestemmes tvetydig. Tvert imot, det tilsvarer den gitte modulen og argumentet entall, med den gitte modulen og argumentet. Tallet null har spesielle egenskaper: dets modul er null, og ingen spesifikk verdi er tilordnet argumentet.

For å oppnå entydighet i definisjonen av argumentet til et komplekst tall, kan man bli enige om å kalle en av verdiene til argumentet den viktigste. Det er angitt med symbolet. Vanligvis er hovedverdien av argumentet valgt til å være en verdi som tilfredsstiller ulikhetene

(i andre tilfeller ulikheter).

La oss også ta hensyn til verdiene til argumentet om reelle og rent imaginære tall:

De reelle og imaginære delene av et komplekst tall (som de kartesiske koordinatene til et punkt) uttrykkes gjennom dets modul og argument (polare koordinater til punktet) ved hjelp av formler (8.3):

og et komplekst tall kan skrives i følgende trigonometriske form.