Hjelpekvalifisering. Matriserepresentasjon av et system av lineære ligninger. Matrisedeterminant

1.1. Systemer på to lineære ligninger og andreordens determinanter

Tenk på et system med to lineære ligninger med to ukjente:

Odds med ukjente Og har to indekser: den første indikerer ligningstallet, den andre – variabeltallet.

Cramers regel: Løsningen til systemet finner du ved å dele hjelpedeterminantene med hoveddeterminanten til systemet

,

Merknad 1. Bruk av Cramers regel er mulig hvis determinanten for systemet ikke lik null.

Notat 2. Cramers formler er generalisert til systemer av høyere orden.

Eksempel 1. Løs systemet:
.

Løsning.

;
;

;

Undersøkelse:

Konklusjon: Systemet er løst riktig:
.

1.2. Systemer med tre lineære ligninger og tredjeordens determinanter

Tenk på et system med tre lineære ligninger med tre ukjente:

En determinant som består av koeffisienter for ukjente kalles systemdeterminant eller hoveddeterminant:

.

Hvis
da har systemet en unik løsning, som bestemmes av Cramers formler:

hvor er determinantene
– kalles hjelpemidler og hentes fra determinanten ved å erstatte dens første, andre eller tredje kolonne med en kolonne med ledige medlemmer av systemet.

Eksempel 2. Løs systemet
.

La oss danne hoved- og hjelpedeterminantene:

Det gjenstår å vurdere reglene for beregning av tredjeordens determinanter. Det er tre av dem: regelen for å legge til kolonner, Sarrus-regelen, regelen for nedbrytning.

a) Regelen for å legge til de to første kolonnene til hoveddeterminanten:

Beregningen utføres som følger: produktene til elementene i hoveddiagonalen og paralleller til den følger tegnet deres; med det motsatte tegnet tas produktene til elementene i sekundærdiagonalen og paralleller til den.

b) Sarrus regel:

Med tegnet deres tar de produktene av elementene i hoveddiagonalen og langs paralleller til det, og det manglende tredje elementet er tatt fra motsatt hjørne. Med det motsatte tegnet, ta produktene av elementene i den sekundære diagonalen og langs parallellene til det, er det tredje elementet tatt fra motsatt hjørne.

c) Regel for dekomponering etter elementer i en rad eller kolonne:

Hvis
, Deretter .

Algebraisk komplement er en lavere ordens determinant oppnådd ved å krysse ut den tilsvarende raden og kolonnen og ta hensyn til tegnet
, Hvor - linjenummer, – kolonnenummer.

For eksempel,

,
,
etc.

Ved å bruke denne regelen beregner vi hjelpedeterminantene Og , utvide dem i henhold til elementene i den første raden.

Etter å ha beregnet alle determinantene, finner vi variablene ved å bruke Cramers regel:

Undersøkelse:

Konklusjon: systemet er løst riktig: .

Grunnleggende egenskaper til determinanter

Det må huskes at determinanten er Antall, funnet i henhold til noen regler. Beregningen kan forenkles hvis vi bruker grunnleggende egenskaper som er gyldige for determinanter av enhver rekkefølge.

Eiendom 1. Verdien av determinanten vil ikke endres hvis alle radene erstattes av kolonner som tilsvarer antall og omvendt.

Operasjonen med å erstatte rader med kolonner kalles transponering. Fra denne egenskapen følger det at ethvert utsagn som er sant for radene i determinanten også vil være sant for kolonnene.

Eiendom 2. Hvis to rader (kolonner) i determinanten byttes, vil fortegnet til determinanten endres til det motsatte.

Eiendom 3. Hvis alle elementene i en rad i en determinant er lik 0, er determinanten lik 0.

Eiendom 4. Hvis elementene i determinantstrengen multipliseres (deltes) med et eller annet tall , så vil verdien av determinanten øke (minske) i en gang.

Hvis elementene i en rad har en felles faktor, kan den tas ut av determinanttegnet.

Eiendom 5. Hvis en determinant har to like eller proporsjonale rader, er en slik determinant lik 0.

Eiendom 6. Hvis elementene i en rad i en determinant er summen av to ledd, er determinanten lik summen av de to determinantene.

Eiendom 7. Verdien av determinanten vil ikke endres hvis elementene i en rad legges til elementene i en annen rad, multiplisert med samme tall.

I denne determinanten ble først den tredje raden lagt til den andre raden, multiplisert med 2, deretter ble den andre trukket fra den tredje kolonnen, hvoretter den andre raden ble lagt til den første og tredje, som et resultat fikk vi mange nuller og forenklet beregningen.

Elementær transformasjoner determinanten kalles dens forenkling ved bruk av de spesifiserte egenskapene.

Eksempel 1. Beregn determinant

Direkte beregning etter en av reglene omtalt ovenfor fører til tungvinte beregninger. Derfor er det tilrådelig å bruke egenskapene:

a) fra linje 1, trekk den andre, multiplisert med 2;

b) Trekk fra linje II den tredje, multiplisert med 3.

Som et resultat får vi:

La oss utvide denne determinanten til elementene i den første kolonnen, som bare inneholder ett element som ikke er null.

.

Systemer og determinanter av høyere orden

system lineære ligninger med ukjente kan skrives som følger:

For dette tilfellet er det også mulig å komponere hoved- og hjelpedeterminantene, og bestemme de ukjente ved hjelp av Cramers regel. Problemet er at høyere ordens determinanter bare kan beregnes ved å senke rekkefølgen og redusere dem til tredjeordens determinanter. Dette kan gjøres ved direkte dekomponering til elementer av rader eller kolonner, samt ved bruk av foreløpige elementære transformasjoner og videre dekomponering.

Eksempel 4. Beregn fjerde ordens determinant

Løsning vi kan finne det på to måter:

a) ved direkte ekspansjon inn i elementene i den første raden:

b) gjennom foreløpige transformasjoner og ytterligere dekomponering

	a) fra linje I trekker du fra III
	b) legg til linje II til IV

Eksempel 5. Beregn determinanten av femte orden, og få nuller i den tredje raden ved å bruke den fjerde kolonnen

fra den første linjen trekker vi den andre, fra den tredje trekker vi den andre, fra den fjerde trekker vi den andre multiplisert med 2.

trekk den tredje fra den andre kolonnen:

trekk den tredje fra den andre linjen:

Eksempel 6. Løs systemet:

Løsning. La oss komponere en determinant av systemet og ved å bruke egenskapene til determinanter beregne den:

(fra den første raden trekker vi den tredje, og deretter i den resulterende tredjeordens determinanten fra den tredje kolonnen trekker vi den første, multiplisert med 2). Avgjørende faktor
, derfor er Cramers formler anvendelige.

La oss beregne de gjenværende determinantene:

Den fjerde kolonnen ble multiplisert med 2 og trukket fra resten

Den fjerde kolonnen ble trukket fra den første, og deretter, multiplisert med 2, trukket fra den andre og tredje kolonnen.

.

Her utførte vi de samme transformasjonene som for
.

.

Når du finner den første kolonnen ble multiplisert med 2 og trukket fra resten.

I følge Cramers regel har vi:

Etter å ha erstattet de funnet verdiene i ligningene, er vi overbevist om at løsningen til systemet er riktig.

2. MATRISKER OG BRUK AV DERES

I LØSNING AV SYSTEMER AV LINEÆRE LIGNINGER

Forelesning 1.1.Numeriske matriser og operasjoner på dem.

Sammendrag:Stedet for lineær algebra og analytisk geometri i naturvitenskap. Rollen til innenlandske forskere i utviklingen av disse vitenskapene. Konseptet med en matrise. Operasjoner på matriser og deres egenskaper.

En talltabell i formen kalles rektangulær matrise dimensjoner. Matriser er merket med store latinske bokstaver A, B, C, ...Tallene som utgjør tabellen kalles elementer matriser. Hvert element har to indekser og , som indikerer henholdsvis radnummer () og kolonnenummer () som elementet er plassert i. Følgende matrisenotasjon brukes.

De to matrisene kalles lik , hvis de har samme dimensjon (dvs. samme antall rader og kolonner) og hvis tallene på de tilsvarende stedene i disse matrisene er like.

Hvis antall rader i en matrise er lik antall kolonner, kalles matrisen torget . I en kvadratisk matrise kalles antall rader (eller kolonner) rekkefølgen til matrisen. Spesielt er en førsteordens kvadratisk matrise ganske enkelt ekte nummer. Følgelig sier de det vektor linje er en matrise av dimensjon , og kolonnevektor har dimensjon.

Elementene som ligger på hoveddiagonalen til en kvadratisk matrise (som går fra øvre venstre til nedre høyre hjørne) kalles diagonal .

En kvadratisk matrise hvis elementer som ikke er på hoveddiagonalen alle er 0, kalles diagonal .

En diagonal matrise hvis diagonale elementer er alle 1 og alle off-diagonale elementer er 0 kalles enkelt og er betegnet med eller , hvor n er rekkefølgen.

Grunnleggende operasjoner på matriser er å legge til matriser og multiplisere en matrise med et tall.

Arbeidet matriser EN tall er en matrise med samme dimensjon som matrisen EN, hvert element multipliseres med dette tallet.

For eksempel: ; .

Egenskaper for operasjonen med å multiplisere en matrise med et tall:

1.l(m EN )=(lm) EN (assosiativitet)

2.l( EN +I )= l EN +l I (distributivitet med hensyn til matriseaddisjon)

3. (l+m) EN =)=l EN +m EN (fordeling ved addisjon av tall)

Lineær kombinasjon av matriser EN Og I av samme størrelse kalles et uttrykk for formen: a EN +b I , hvor a,b er vilkårlige tall

Summatrise Og I (denne handlingen gjelder bare for matriser med samme dimensjon) kalles en matrise MED av samme dimensjon, hvis elementer er lik summen av de tilsvarende matriseelementene EN Og I .

Egenskaper for matriseaddisjon:

1)EN +I =I +EN (kommutativitet)

2)(EN +I )+MED =EN +(I +MED )=EN +I +MED (assosiativitet)

Differansematrise Og I (denne handlingen gjelder bare for matriser med samme dimensjon) kalles en matrise C med samme dimensjon, hvis elementer er lik forskjellen mellom de tilsvarende matriseelementene EN Og I .

Transponer. Hvis elementene i hver rad i en dimensjonsmatrise er skrevet i samme rekkefølge i kolonnene i den nye matrisen, og kolonnenummeret er lik radnummeret, kalles den nye matrisen transponert med hensyn til og er angitt. Dimensjonen er Overgangen fra til kalles transponering. Det er også klart at. ,

Matrisemultiplikasjon. Operasjonen av matrisemultiplikasjon er bare mulig hvis antall kolonner i den første faktoren er lik antall rader i den andre. Som et resultat av multiplikasjon får vi en matrise hvis antall rader sammenfaller med antall rader i den første faktoren, og antall kolonner med antall kolonner i den andre:

Regel for matrisemultiplikasjon: for å få et element i raden og kolonnen i produktet av to matriser, må du multiplisere elementene i raden i den første matrisen med elementene i kolonnen i den andre matrisen og legge til de resulterende produktene. I matematisk sjargong sier de noen ganger: du må multiplisere den th raden i matrisen med den th kolonnen i matrisen. Det er klart at raden i den første og kolonnen i den andre matrisen må inneholde samme antall elementer.

I motsetning til disse operasjonene, er operasjonen av matrise-matrise multiplikasjon vanskeligere å definere. La det gis to matriser EN Og I , og antall kolonner i den første av dem er lik antall rader i den andre: for eksempel matrisen EN har dimensjon , og matrisen I - dimensjon. Hvis

, , deretter matrisen av dimensjoner

, hvor (i=1,…,m;j=1,…,k)

kalt matriseproduktet EN til matrisen I og er utpekt AB .

Egenskaper forn:

1. (AB)C=A(BC)=ABC (assosiativitet)

2. (A+B)C=AC+BC (fordeling)

3. A(B+C)=AB+A (fordeling)

4. Matrisemultiplikasjon er ikke-kommutativ: AB ikke lik VA ., hvis lik, kalles disse matrisene kommutative.

Elementære transformasjoner over matriser:

1. Bytt to rader (kolonner)

2. Multiplisere en rad (kolonne) med et annet tall enn null

3. Legge til elementene i en rad (kolonne) elementene i en annen rad (kolonne), multiplisert med et hvilket som helst tall

Forelesning 1.2.Determinanter med reelle koeffisienter. Finne den inverse matrisen.

Sammendrag:Determinanter og deres egenskaper. Metoder for beregning av determinanter med reelle koeffisienter. Finne den inverse matrisen for tredjeordens matriser.

Konseptet med en determinant introduseres bare for en kvadratisk matrise. Avgjørende faktor - Dette Antall, som finnes etter veldefinerte regler og er betegnet med eller det EN .

Avgjørende faktor matriser andre bestilling er slik: eller

Tredje ordens determinant nummeret heter:

.

For å huske denne tungvinte formelen, er det "trekantregelen":

Du kan også beregne ved hjelp av en annen metode - metoden for dekomponering etter rad eller kolonne. La oss introdusere noen definisjoner:

Liten kvadratisk matrise EN kalles matrisens determinant EN , som oppnås ved å krysse ut rad og kolonne: for eksempel for mindre - .

Algebraisk komplement element av determinanten kalles dens minor, tatt med sitt eget fortegn hvis summen av tallene i raden og kolonnen der elementet er plassert er partall, og med motsatt fortegn hvis summen av tallene er oddetall: .

Deretter: Tredje ordens determinant lik summen produkter av elementer i en hvilken som helst kolonne (rad) ved deres algebraiske komplementer.

PR: La oss beregne determinanten: ved å utvide den til elementene i den første raden.

Egenskaper til determinanter:

1. Determinanten er lik 0 hvis den inneholder to like rader (kolonner) eller en nullrad (kolonne).

2. Determinanten endrer fortegn når to rader (kolonner) omorganiseres.

3.Total multiplikator på rad (i en kolonne) kan tas ut som et determinanttegn.

4. Determinanten endres ikke hvis en annen rad (en annen kolonne) multiplisert med et vilkårlig tall legges til en rad (kolonne).

5. Determinanten endres ikke når matrisen transponeres.

6. Determinanten for identitetsmatrisen er 1:

7. Determinanten til produktet av matriser er lik produktet av determinanter

invers matrise.

Den kvadratiske matrisen kalles ikke-degenerert, hvis determinanten er forskjellig fra null.

Hvis, når du multipliserer kvadratmatriser EN Og I i hvilken som helst rekkefølge identitetsmatrisen er oppnådd ( AB=BA=E ), deretter matrisen I kalles matrisens inverse av matrisen EN og er betegnet med , dvs. .

Teorem.Hver ikke-singular matrise har en invers.

Algoritme for å finne den inverse matrisen:

Invers matrise. En kvadratisk matrise sies å være ikke-singular hvis determinanten er ikke-null. Ellers kalles det degenerert .

Inversen til en matrise er merket med . Hvis den inverse matrisen eksisterer, er den unik og

Hvor er tillegget (foreningen), sammensatt av algebraiske tillegg j:

Da er determinanten til den inverse matrisen relatert til determinanten til denne matrisen ved følgende relasjon: . Faktisk, , hvorav denne likestillingen følger.

Egenskaper til en invers matrise:

1. , hvor er ikke-singulære kvadratiske matriser av samme rekkefølge.

3. .

4.

Forelesning 1.3.Løse systemer av lineære ligninger ved hjelp av Cramer-metoden, Gauss-metoder og matriseregning.

Sammendrag:Cramers metode og Gauss metode for å løse systemer av lineære algebraiske ligninger. Matrisemetode for å løse ligningssystemer. Matriserangering. Kronecker-Capelli teorem. Grunnleggende system av løsninger. Homogene og heterogene systemer.

System av ligninger følgende type:

(*) , hvor , ‑ koeffisienter, ‑ variabler, kalles system av lineære ligninger.Å løse et system av lineære ligninger betyr å indikere alle løsninger av systemet, dvs. slike sett med verdier av variabler som gjør likningene til systemet til identiteter. Systemet med lineære ligninger kalles.

KOSTROMA-BRANCH AV MILITÆRE UNIVERSITET FOR RCB-BESKYTTELSE

Avdeling for automatisering av troppskontroll

Kun for lærere

"Jeg godkjenner"

Avdelingsleder nr. 9

Oberst YAKOVLEV A.B.

"____"______________ 2004

Førsteamanuensis A.I. SMIRNOVA

"KVALIFIKASJONER.

LØSNING AV SYSTEMER AV LINEÆRE LIGNINGER"

FOREDRAG nr. 2 / 1

Behandlet på avdelingsmøte nr. 9

"____"__________ 2004

Protokoll nr.__________

Kostroma, 2004.

Introduksjon

1. Andre og tredje ordens determinanter.

2. Egenskaper til determinanter. Dekomponeringsteorem.

3. Cramers teorem.

Konklusjon

Litteratur

1. V.E. Schneider et al. Kort kurs Høyere matematikk, bind I, kap. 2, første ledd.

2. V.S. Shchipachev, Høyere matematikk, kapittel 10, avsnitt 2.

INTRODUKSJON

Forelesningen diskuterer determinanter for andre og tredje orden og deres egenskaper. Og også Cramers teorem, som lar deg løse systemer med lineære ligninger ved å bruke determinanter. Determinanter brukes også senere i emnet "Vektoralgebra" ved beregning av vektorproduktet til vektorer.

1. studiespørsmål BESTEMMELSER FOR ANDRE OG TREDJE

REKKEFØLGE

Tenk på en tabell med fire tall i skjemaet

Tallene i tabellen er angitt med en bokstav med to indekser. Den første indeksen angir radnummeret, den andre kolonnenummeret.

DEFINISJON 1. Andre ordens determinant kalt uttrykk snill :

(1)

Tall EN 11, …, EN 22 kalles elementer av determinanten.

Diagonal dannet av elementer EN 11 ; EN 22 kalles den viktigste, og diagonalen dannet av elementene EN 12 ; EN 21 - side ved side.

Dermed andreordens determinant lik forskjellen produkter av elementene i hoved- og sekundærdiagonalene.

Merk at svaret er et tall.

EKSEMPLER. Regne ut:

Tenk nå på en tabell med ni tall, skrevet i tre rader og tre kolonner:

DEFINISJON 2. Tredje ordens determinant kalt et uttrykk for formen :

Elementer EN 11; EN 22 ; EN 33 – danner hoveddiagonalen.

Tall EN 13; EN 22 ; EN 31 – danner en sidediagonal.

La oss skildre skjematisk hvordan pluss- og minusbegrepene dannes:

" + " " – "

Plusset inkluderer: produktet av elementene på hoveddiagonalen, de resterende to leddene er produktet av elementene som er plassert ved hjørnene til trekanter med baser parallelle med hoveddiagonalen.

Minusleddene er dannet i henhold til samme skjema med hensyn til den sekundære diagonalen.

Denne regelen for å beregne tredjeordens determinanten kalles

Regel T reugolnikov.

EKSEMPLER. Regn ut med trekantregelen:

KOMMENTAR. Determinanter kalles også determinanter.

2. studiespørsmål EGENSKAPER TIL BESTEMMELSER.

EKSPANSJONSTEOREM

Eiendom 1. Verdien til determinanten vil ikke endres hvis radene byttes med de tilsvarende kolonnene.

.

Ved å avsløre begge determinantene er vi overbevist om gyldigheten av likheten.

Egenskap 1 etablerer likheten mellom radene og kolonnene til determinanten. Derfor vil vi formulere alle ytterligere egenskaper til determinanten for både rader og kolonner.

Eiendom 2. Når du omorganiserer to rader (eller kolonner), endrer determinanten fortegnet til det motsatte, og beholder sin absolutte verdi .

.

Eiendom 3. Fellesfaktor for radelementer (eller kolonne)kan tas ut som et determinant tegn.

.

Eiendom 4. Hvis determinanten har to identiske rader (eller kolonner), er den lik null.

Denne egenskapen kan bevises ved direkte verifisering, eller du kan bruke egenskap 2.

La oss betegne determinanten med D. Når to like første og andre rader omorganiseres, vil den ikke endre seg, men ifølge den andre egenskapen må den skifte fortegn, dvs.

D = - DÞ 2 D = 0 ÞD = 0.

Eiendom 5. Hvis alle elementene i en streng (eller kolonne)er lik null, så er determinanten lik null.

Denne eiendommen kan betraktes som spesielt tilfelle eiendommer 3 kl

Eiendom 6. Hvis elementene i to linjer (eller kolonner)determinantene er proporsjonale, da er determinanten lik null.

.

Kan bevises ved direkte verifisering eller ved bruk av egenskap 3 og 4.

Eiendom 7. Verdien av determinanten vil ikke endres hvis de tilsvarende elementene i en annen rad (eller kolonne) legges til elementene i en rad (eller kolonne), multiplisert med samme tall.

.

Bevist ved direkte verifisering.

Bruken av disse egenskapene kan i noen tilfeller lette prosessen med å beregne determinanter, spesielt av tredje orden.

For det følgende trenger vi begrepene moll og algebraisk komplement. La oss vurdere disse konseptene for å definere den tredje orden.

DEFINISJON 3. Liten av et gitt element av en tredjeordens determinant kalles en andreordens determinant hentet fra et gitt element ved å krysse ut raden og kolonnen i skjæringspunktet som det gitte elementet står.

Element mindre EN Jeg j betegnet med M Jeg j. Så for elementet EN 11 mindre

Det oppnås ved å krysse ut den første raden og den første kolonnen i tredjeordens determinant.

DEFINISJON 4. Algebraisk komplement av elementet til determinanten de kaller det moll multiplisert med (-1)k , Hvor k - summen av rad- og kolonnenumrene i skjæringspunktet for dette elementet.

Algebraisk komplement til et element EN Jeg j betegnet med EN Jeg j .

Dermed, EN Jeg j =

.

La oss skrive ned de algebraiske tilleggene for elementene EN 11 og EN 12.

. .

Det er nyttig å huske regelen: det algebraiske komplementet til et element i en determinant er lik dens fortegnsmoll Plus, hvis summen av rad- og kolonnenumrene der elementet vises er til og med, og med et skilt minus, hvis dette beløpet merkelig .

Når man løser problemer i høyere matematikk, oppstår behovet veldig ofte beregne determinanten til en matrise. Determinanten til en matrise vises i lineær algebra, analytisk geometri, matematisk analyse og andre grener av høyere matematikk. Dermed er det rett og slett umulig å klare seg uten ferdighetene til å løse determinanter. For selvtesting kan du også laste ned en determinantkalkulator gratis; den vil ikke lære deg hvordan du løser determinanter av seg selv, men det er veldig praktisk, siden det alltid er fordelaktig å vite det riktige svaret på forhånd!

Jeg vil ikke gi en streng matematisk definisjon av determinanten, og generelt vil jeg prøve å minimere matematisk terminologi; dette vil ikke gjøre det enklere for de fleste lesere. Formålet med denne artikkelen er å lære deg hvordan du løser andre, tredje og fjerde ordens determinanter. Alt materialet presenteres i en enkel og tilgjengelig form, og til og med en full (tom) tekanne i høyere matematikk, etter å ha studert materialet nøye, vil kunne løse determinantene riktig.

I praksis kan du oftest finne en andreordens determinant, for eksempel: og en tredjeordens determinant, for eksempel: .

Fjerde ordens determinant Det er heller ikke en antikvitet, og vi kommer til det på slutten av leksjonen.

Jeg håper alle forstår følgende: Tallene inne i determinanten lever av seg selv, og det er ikke snakk om noen subtraksjon! Tall kan ikke byttes!

(Spesielt er det mulig å utføre parvise permutasjoner av rader eller kolonner av determinanten ved å endre fortegnet, men ofte er dette ikke nødvendig - se neste leksjon Egenskaper til determinanten og reduksjon av rekkefølgen)

Så hvis noen determinant er gitt, da Vi rører ikke noe inni den!

Betegnelser: Hvis gitt en matrise , så er dens determinant betegnet . Også svært ofte er determinanten angitt latinsk bokstav eller gresk.

1)Hva vil det si å løse (finne, avsløre) en determinant?Å beregne determinanten betyr å FINN TALLET. Spørsmålstegnet i eksemplene ovenfor er helt vanlige tall.

2) Nå gjenstår det å finne ut HVORDAN finne dette nummeret? For å gjøre dette må du bruke visse regler, formler og algoritmer, som vil bli diskutert nå.

La oss starte med determinanten "to" med "to":

DETTE MÅ HUSKES, i hvert fall mens du studerer høyere matematikk ved et universitet.

La oss se på et eksempel med en gang:

Klar. Det viktigste er IKKE Å BLI FORVIRRET I TEGNENE.

Determinant for en tre-til-tre-matrise kan åpnes på 8 måter, 2 av dem er enkle og 6 er normale.

La oss starte med to enkle måter

I likhet med to-til-to-determinanten, kan tre-til-tre-determinanten utvides ved å bruke formelen:

Formelen er lang og det er lett å gjøre feil på grunn av uforsiktighet. Hvordan unngå irriterende feil? For dette formålet ble en andre metode for å beregne determinanten oppfunnet, som faktisk sammenfaller med den første. Det kalles Sarrus-metoden eller "parallelle strips"-metoden.
Bunnlinjen er at til høyre for determinanten, tilordner du den første og andre kolonnen og tegner forsiktig linjer med en blyant:

Multiplikatorer plassert på de "røde" diagonalene er inkludert i formelen med et "pluss"-tegn.
Multiplikatorer plassert på de "blå" diagonalene er inkludert i formelen med et minustegn:

Eksempel:

Sammenlign de to løsningene. Det er lett å se at dette er det SAMME, bare i det andre tilfellet er formelfaktorene litt omorganisert, og viktigst av alt er sannsynligheten for å gjøre en feil mye mindre.

La oss nå se på de seks normale måtene å beregne determinanten på

Hvorfor normalt? For i de aller fleste tilfeller må kvalifiseringer avsløres på denne måten.

Som du la merke til, har tre-av-tre-determinanten tre kolonner og tre rader.
Du kan løse determinanten ved å åpne den etter hvilken som helst rad eller kolonne.
Dermed er det 6 metoder, i alle tilfeller bruker samme type algoritme.

Determinanten til matrisen er lik summen av produktene til elementene i raden (kolonnen) med de tilsvarende algebraiske komplementene. Skummelt? Alt er mye enklere; vi vil bruke en ikke-vitenskapelig, men forståelig tilnærming, tilgjengelig selv for en person langt fra matematikk.

I neste eksempel vil vi utvide determinanten på første linje.
Til dette trenger vi en matrise med tegn: . Det er lett å legge merke til at skiltene er ordnet i et rutemønster.

Merk følgende! Tegnmatrisen er min egen oppfinnelse. Dette konseptet ikke vitenskapelig, den trenger ikke brukes i den endelige utformingen av oppgaver, den hjelper deg bare med å forstå algoritmen for å beregne determinanten.

Jeg skal gi den komplette løsningen først. Vi tar vår eksperimentelle determinant igjen og utfører beregningene:

OG hovedspørsmålet: HVORDAN få dette fra "tre av tre"-determinanten:
?

Så, "tre av tre"-determinanten kommer ned til å løse tre små determinanter, eller som de også kalles, MINOROV. Jeg anbefaler å huske begrepet, spesielt siden det er minneverdig: liten – liten.

Når metoden for dekomponering av determinanten er valgt på første linje, det er åpenbart at alt dreier seg om henne:

Elementer vises vanligvis fra venstre til høyre (eller topp til bunn hvis en kolonne ble valgt)

La oss gå, først tar vi for oss det første elementet i linjen, det vil si med en:

1) Fra matrisen av tegn skriver vi ut det tilsvarende tegnet:

2) Så skriver vi selve elementet:

3) Kryss MENTALT ut raden og kolonnen der det første elementet vises:

De resterende fire tallene danner "to og to" determinanten, som kalles LITEN av et gitt element (enhet).

La oss gå videre til det andre elementet i linjen.

4) Fra matrisen av tegn skriver vi ut det tilsvarende tegnet:

5) Skriv så det andre elementet:

6) MENTALT kryss ut raden og kolonnen der det andre elementet vises:

Vel, det tredje elementet i den første linjen. Ingen originalitet:

7) Fra matrisen av tegn skriver vi ut det tilsvarende tegnet:

8) Skriv ned det tredje elementet:

9) MENTALT kryss ut raden og kolonnen som inneholder det tredje elementet:

Vi skriver de resterende fire tallene i en liten determinant.

De resterende handlingene byr ikke på noen vanskeligheter, siden vi allerede vet hvordan man teller to-og-to-determinantene. IKKE BLI FORVIRRET I TEGNENE!

På samme måte kan determinanten utvides over en hvilken som helst rad eller inn i hvilken som helst kolonne. Naturligvis er svaret det samme i alle seks tilfellene.

Fire-av-fire-determinanten kan beregnes ved hjelp av samme algoritme.
I dette tilfellet vil matrisen vår av tegn øke:

I det følgende eksemplet har jeg utvidet determinanten ifølge fjerde kolonne:

Hvordan det skjedde, prøv å finne ut av det selv. Tilleggsinformasjon Kommer senere. Hvis noen vil løse determinanten til slutten, er det riktige svaret: 18. For praksis er det bedre å løse determinanten med en annen kolonne eller annen rad.

Å øve, avdekke, gjøre beregninger er veldig bra og nyttig. Men hvor mye tid vil du bruke på den store kvalifiseringen? Finnes det ikke en raskere og mer pålitelig måte? Jeg foreslår at du gjør deg kjent med effektive metoder beregne determinanter i den andre leksjonen - Egenskaper til determinanten. Redusere rekkefølgen til determinanten.

VÆR FORSIKTIG!