Delbarhetskriterier for naturlige tall.
Tall som er delelig med 2 uten en rest kallestil og med .
Tall som ikke er jevnt delbare med 2 kallesmerkelig .
Test for delbarhet med 2
Hvis et naturlig tall slutter med et partall, er dette tallet delelig med 2 uten en rest, og hvis et tall slutter med et oddetall, er ikke dette tallet jevnt delelig med 2.
For eksempel tallene 60 , 30 8 , 8 4 er delelig med 2 uten rest, og tallene er 51 , 8 5 , 16 7 er ikke delelig med 2 uten en rest.
Test for delbarhet med 3
Hvis summen av sifrene i et tall er delelig med 3, så er tallet delelig med 3; Hvis summen av sifrene i et tall ikke er delelig med 3, er tallet ikke delelig med 3.
La oss for eksempel finne ut om tallet 2772825 er delelig med 3. For å gjøre dette, la oss beregne summen av sifrene til dette tallet: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - delelig med 3. Dette betyr at tallet 2772825 er delelig med 3.
Delbarhetstest med 5
Hvis posten av et naturlig tall ender med sifferet 0 eller 5, så er dette tallet delelig med 5 uten en rest. Hvis posten av et tall ender med et annet siffer, er tallet ikke delelig med 5 uten en rest.
For eksempel tallene 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 er delelig med 5 uten rest, og tallene er 17 , 37 8 , 9 1 ikke del.
Delbarhetstest med 9
Hvis summen av sifrene i et tall er delelig med 9, så er tallet delelig med 9; Hvis summen av sifrene i et tall ikke er delelig med 9, er tallet ikke delelig med 9.
La oss for eksempel finne ut om tallet 5402070 er delelig med 9. For å gjøre dette, la oss beregne summen av sifrene til dette tallet: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - ikke delelig med 9 . Dette betyr at tallet 5402070 ikke er delelig med 9.
Delbarhetstest med 10
Hvis et naturlig tall slutter med sifferet 0, er dette tallet delelig med 10 uten en rest. Hvis et naturlig tall slutter med et annet siffer, er det ikke jevnt delelig med 10.
For eksempel tallene 40 , 17 0 , 1409 0 er delelig med 10 uten rest, og tallene 17 , 9 3 , 1430 7 - ikke del.
Regelen for å finne den største felles divisor (GCD).
For å finne den største felles divisor av flere naturlige tall, må du:
2) fra faktorene som er inkludert i utvidelsen av et av disse tallene, kryss ut de som ikke er inkludert i utvidelsen av andre tall;
3) finn produktet av de resterende faktorene.
Eksempel. La oss finne GCD (48;36). La oss bruke regelen.
1. La oss faktorisere tallene 48 og 36 til primfaktorer.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
36 = 2 · 2 · 3 · 3
2. Fra faktorene som inngår i utvidelsen av tallet 48, sletter vi de som ikke er inkludert i utvidelsen av tallet 36.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
De resterende faktorene er 2, 2 og 3.
3. Multipliser de resterende faktorene og få 12. Dette tallet er den største felles divisor av tallene 48 og 36.
GCD (48;36) = 2· 2 · 3 = 12.
Regelen for å finne det minste felles multiplum (LCM).
For å finne det minste felles multiplum av flere naturlige tall, må du:
1) faktor dem inn i prime faktorer;
2) skriv ned faktorene som er inkludert i utvidelsen av ett av tallene;
3) legg til de manglende faktorene fra utvidelsene av de gjenværende tallene;
4) finn produktet av de resulterende faktorene.
Eksempel. La oss finne LOC (75;60). La oss bruke regelen.
1. La oss faktorisere tallene 75 og 60 inn i primfaktorer.
75 = 3 · 5 · 5
60 = 2 · 2 · 3 · 3
2. La oss skrive ned faktorene som er inkludert i utvidelsen av tallet 75: 3, 5, 5.
LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · …
3. Legg til dem de manglende faktorene fra utvidelsen av tallet 60, dvs. 2, 2.
LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2
4. Finn produktet av de resulterende faktorene
LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.
Det minste felles multiplum av to tall er direkte relatert til den største felles divisor av disse tallene. Dette forbindelse mellom GCD og NOC bestemmes av følgende teorem.
Teorem.
Det minste felles multiplum av to positive heltall a og b er lik produktet av a og b delt på den største felles divisor av a og b, dvs. LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).
Bevis.
La M er et multiplum av tallene a og b. Det vil si at M er delelig med a, og ved definisjonen av delbarhet er det et heltall k slik at likheten M=a·k er sann. Men M er også delelig med b, da er a·k delelig med b.
La oss betegne gcd(a, b) som d. Da kan vi skrive likhetene a=a 1 ·d og b=b 1 ·d, og a 1 =a:d og b 1 =b:d vil være relativt primtall. Følgelig kan betingelsen oppnådd i forrige avsnitt om at a · k er delelig med b omformuleres som følger: a 1 · d · k er delt med b 1 · d , og dette, på grunn av delebarhetsegenskaper, er ekvivalent med betingelsen at a 1 · k er delelig med b 1 .
Du må også skrive ned to viktige konsekvenser fra teoremet som vurderes.
Fellesmultiplene til to tall er de samme som multiplene av deres minste felles multiplum.
Dette er faktisk tilfelle, siden ethvert felles multiplum av M av tallene a og b bestemmes av likheten M=LMK(a, b)·t for en heltallsverdi t.
Det minste felles multiplum av positive primtall a og b er lik deres produkt.
Begrunnelsen for dette faktum er ganske åpenbar. Siden a og b er relativt primtall, så er gcd(a, b)=1, derfor, GCD(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.
Minste felles multiplum av tre eller flere tall
Å finne det minste felles multiplumet av tre eller flere tall kan reduseres til sekvensielt å finne LCM for to tall. Hvordan dette gjøres er angitt i følgende teorem: a 1 , a 2 , …, a k faller sammen med fellesmultiplene til tallene m k-1 og a k , derfor sammenfaller med fellesmultiplene til tallet m k . Og siden det minste positive multiplum av tallet m k er tallet m k selv, så er det minste felles multiplum av tallene a 1, a 2, ..., a k m k.
Bibliografi.
- Vilenkin N.Ya. og andre Matematikk. 6. klasse: lærebok for allmennutdanningsinstitusjoner.
- Vinogradov I.M. Grunnleggende om tallteori.
- Mikhelovich Sh.H. Tallteori.
- Kulikov L.Ya. m.fl. Oppgavesamling i algebra og tallteori: Lærebok for elever i fysikk og matematikk. spesialiteter ved pedagogiske institutter.
Matematiske uttrykk og problemer krever mye tilleggskunnskap. NOC er en av de viktigste, spesielt ofte brukt i Emnet studeres på videregående skole, og det er ikke spesielt vanskelig å forstå materiale; en person som er kjent med potenser og multiplikasjonstabellen vil ikke ha problemer med å identifisere de nødvendige tallene og oppdage resultat.
Definisjon
Et felles multiplum er et tall som kan deles helt inn i to tall samtidig (a og b). Oftest oppnås dette tallet ved å multiplisere de opprinnelige tallene a og b. Tallet må være delelig med begge tallene samtidig, uten avvik.
NOC er det korte navnet som ble brukt for betegnelsen, samlet fra de første bokstavene.
Måter å få et nummer på
Metoden for å multiplisere tall er ikke alltid egnet for å finne LCM, den er mye bedre egnet for enkle ensifrede eller tosifrede tall. Det er vanlig å dele inn i faktorer; jo større antall, jo flere faktorer vil det være.
Eksempel #1
For det enkleste eksempelet bruker skoler vanligvis primtall, enkelt- eller tosifrede tall. For eksempel må du løse følgende oppgave, finne det minste felles multiplum av tallene 7 og 3, løsningen er ganske enkel, bare multipliser dem. Som et resultat er det et tall 21, det er rett og slett ikke noe mindre tall.
Eksempel nr. 2
Den andre versjonen av oppgaven er mye vanskeligere. Tallene 300 og 1260 er gitt, det er obligatorisk å finne LOC. For å løse problemet, antas følgende handlinger:
Dekomponering av det første og andre tallet til enkle faktorer. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Den første etappen er fullført.
Den andre fasen innebærer å jobbe med allerede innhentede data. Hvert av tallene som mottas må være med på å beregne sluttresultatet. For hver faktor er det største antallet forekomster hentet fra de opprinnelige tallene. LCM er et generelt tall, så faktorene til tallene må gjentas i det, hver enkelt, også de som er til stede i ett eksemplar. Begge de første tallene inneholder tallene 2, 3 og 5, i forskjellige potenser; 7 er kun til stede i ett tilfelle.
For å beregne det endelige resultatet, må du ta hvert tall i den største av potensene representert i ligningen. Alt som gjenstår er å multiplisere og få svaret; hvis den er fylt ut riktig, passer oppgaven i to trinn uten forklaring:
1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.
2) NOC = 6300.
Det er hele problemet, hvis du prøver å beregne det nødvendige tallet ved multiplikasjon, vil svaret definitivt ikke være riktig, siden 300 * 1260 = 378 000.
Undersøkelse:
6300 / 300 = 21 - riktig;
6300 / 1260 = 5 - riktig.
Riktigheten av det oppnådde resultatet bestemmes ved å sjekke - dividere LCM med begge de opprinnelige tallene; hvis tallet er et heltall i begge tilfeller, er svaret riktig.
Hva betyr NOC i matematikk?
Som du vet er det ikke en eneste ubrukelig funksjon i matematikk, denne er intet unntak. Det vanligste formålet med dette tallet er å redusere brøker til en fellesnevner. Det som vanligvis studeres i 5-6 klasse på ungdomsskolen. Det er også i tillegg en felles divisor for alle multipler, hvis slike forhold er tilstede i problemet. Et slikt uttrykk kan finne et multiplum ikke bare av to tall, men også av et mye større tall - tre, fem, og så videre. Jo flere tall, jo flere handlinger i oppgaven, men kompleksiteten øker ikke.
For eksempel, gitt tallene 250, 600 og 1500, må du finne deres vanlige LCM:
1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - dette eksemplet beskriver faktorisering i detalj, uten reduksjon.
2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;
3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;
For å komponere et uttrykk er det nødvendig å nevne alle faktorene, i dette tilfellet er 2, 5, 3 gitt - for alle disse tallene er det nødvendig å bestemme maksimalgraden.
Oppmerksomhet: alle faktorer må bringes til et punkt for fullstendig forenkling, hvis mulig, dekomponert til enkeltsifrede nivå.
Undersøkelse:
1) 3000 / 250 = 12 - riktig;
2) 3000 / 600 = 5 - sant;
3) 3000 / 1500 = 2 - riktig.
Denne metoden krever ingen triks eller geninivåevner, alt er enkelt og tydelig.
Annen vei
I matematikk henger mange ting sammen, mange ting kan løses på to eller flere måter, det samme gjelder å finne det minste felles multiplum, LCM. Følgende metode kan brukes ved enkle tosifrede og ensifrede tall. En tabell er kompilert der multiplikatoren legges inn vertikalt, multiplikatoren horisontalt, og produktet er indikert i de kryssende cellene i kolonnen. Du kan reflektere tabellen ved å bruke en linje, ta et tall og skrive ned resultatene av å multiplisere dette tallet med heltall, fra 1 til uendelig, noen ganger er 3-5 poeng nok, det andre og påfølgende tallene gjennomgår den samme beregningsprosessen. Alt skjer til et felles multiplum er funnet.
Gitt tallene 30, 35, 42, må du finne LCM som forbinder alle tallene:
1) Multipler på 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 osv.
2) Multipler av 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 osv.
3) Multipler av 42: 84, 126, 168, 210, 252 osv.
Det er merkbart at alle tallene er ganske forskjellige, det eneste vanlige tallet blant dem er 210, så det blir NOC. Blant prosessene som er involvert i denne beregningen er det også en største felles divisor, som beregnes etter lignende prinsipper og ofte støtes på i naboproblemer. Forskjellen er liten, men ganske betydelig, LCM innebærer å beregne tallet som er delt på alle gitte startverdier, og GCD innebærer å beregne den største verdien som de opprinnelige tallene deles med.
Lancinova Aisa
Nedlasting:
Forhåndsvisning:
For å bruke forhåndsvisninger av presentasjoner, opprett en Google-konto og logg på den: https://accounts.google.com
Lysbildetekster:
Problemer med GCD og LCM av tall Arbeidet til en elev i 6. klasse ved MCOU "Kamyshovskaya ungdomsskole" Lantsinova Aisa Veileder Zoya Erdnigoryaevna Goryaeva, matematikklærer s. Kamyshevo, 2013
Et eksempel på å finne gcd for tallene 50, 75 og 325. 1) La oss faktorisere tallene 50, 75 og 325 til primfaktorer. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 2) Fra faktorene som er inkludert i utvidelsen av ett av disse tallene, krysser vi ut de som ikke er inkludert i utvidelsen av de andre . 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 3) Finn produktet av de resterende faktorene 5 ∙ 5 = 25 Svar: GCD (50, 75 og 2525) Den største tall som Når tallene a og b deles uten rest, kalles den største felles divisor av disse tallene den største felles divisor av disse tallene.
Et eksempel på å finne LCM for tallene 72, 99 og 117. 1) La oss faktorisere tallene 72, 99 og 117 til primfaktorer. 72 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 99 = 3 ∙ 3 117 = 3 ∙ 3 ∙ 13 2) Skriv ned faktorene som er inkludert i utvidelsen av et av tallene 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 og legg til de manglende faktorene til de resterende tallene. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) Finn produktet av de resulterende faktorene. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 Svar: LCM (72, 99 og 117) = 10296 Det minste felles multiplum av naturlige tall a og b er det minste naturlige tallet som er et multiplum av a og b.
Kartongarket har form som et rektangel, hvor lengden er 48 cm og bredden er 40 cm. Dette arket må kuttes i like firkanter uten avfall. Hva er de største rutene som kan hentes fra dette regnearket og hvor mange? Løsning: 1) S = a ∙ b – arealet av rektangelet. S= 48 ∙ 40 = 1960 cm². – område av papp. 2) a – side av ruten 48: a – antall ruter som kan legges langs pappens lengde. 40: a – antall ruter som kan legges på tvers av pappens bredde. 3) GCD (40 og 48) = 8 (cm) – siden av firkanten. 4) S = a² – areal på én kvadrat. S = 8² = 64 (cm²) – arealet av en kvadrat. 5) 1960: 64 = 30 (antall ruter). Svar: 30 ruter med en side på 8 cm hver. GCD-problemer
Peisen i rommet skal flislegges i form av en firkant. Hvor mange fliser trengs for en peis som måler 195 ͯ 156 cm og hva er de største flisstørrelsene? Løsning: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (cm²) – S for peisoverflaten. 2) GCD (195 og 156) = 39 (cm) – side av flisen. 3) S = a² = 39² = 1521 (cm²) – areal på 1 flis. 4) 30420: = 20 (stk). Svar: 20 fliser som måler 39 ͯ 39 (cm). GCD-problemer
En hagetomt som måler 54 ͯ 48 m rundt omkretsen må inngjerdes, for å gjøre dette må betongsøyler plasseres med jevne mellomrom. Hvor mange stolper må medbringes til stedet, og i hvilken maksimal avstand fra hverandre skal stolpene plasseres? Løsning: 1) P = 2(a + b) – omkretsen av stedet. P = 2(54 + 48) = 204 m. 2) GCD (54 og 48) = 6 (m) – avstanden mellom pilarene. 3) 204: 6 = 34 (søyler). Svar: 34 søyler, i en avstand på 6 m. GCD-problemer
Buketter ble samlet inn fra 210 burgunder, 126 hvite og 294 røde roser, hvor hver bukett inneholdt like mange roser av samme farge. Hva er det største antallet buketter laget av disse rosene, og hvor mange roser av hver farge er det i en bukett? Løsning: 1) GCD (210, 126 og 294) = 42 (buketter). 2) 210: 42 = 5 (burgunderroser). 3) 126: 42 = 3 (hvite roser). 4) 294: 42 = 7 (røde roser). Svar: 42 buketter: 5 burgunder, 3 hvite, 7 røde roser i hver bukett. GCD-problemer
Tanya og Masha kjøpte like mange postsett. Tanya betalte 90 rubler, og Masha betalte 5 rubler. mer. Hvor mye koster ett sett? Hvor mange sett kjøpte hver person? Løsning: 1) 90 + 5 = 95 (gni.) Masha betalte. 2) GCD (90 og 95) = 5 (gnidning) – pris på 1 sett. 3) 980: 5 = 18 (sett) – kjøpt av Tanya. 4) 95: 5 = 19 (sett) – kjøpt av Masha. Svar: 5 rubler, 18 sett, 19 sett. GCD-problemer
Tre turistbåtturer starter i havnebyen, den første varer i 15 dager, den andre – 20 og den tredje – 12 dager. Etter å ha kommet tilbake til havnen la skipene av gårde igjen samme dag. I dag forlot skip havnen på alle tre rutene. Om hvor mange dager skal de seile sammen igjen for første gang? Hvor mange turer vil hvert skip gjøre? Løsning: 1) NOC (15,20 og 12) = 60 (dager) – møtetid. 2) 60: 15 = 4 (reiser) – 1 skip. 3) 60: 20 = 3 (reiser) – 2 skip. 4) 60: 12 = 5 (flyreiser) – 3 skip. Svar: 60 dager, 4 flyvninger, 3 flyvninger, 5 flyvninger. NOC oppgaver
Masha kjøpte egg til bjørnen i butikken. På vei til skogen skjønte hun at antall egg er delelig med 2,3,5,10 og 15. Hvor mange egg kjøpte Masha? Løsning: LOC (2;3;5;10;15) = 30 (egg) Svar: Masha kjøpte 30 egg. NOC oppgaver
Det er påkrevd å lage en boks med firkantet bunn for å få plass til bokser som måler 16 ͯ 20 cm Hva er den korteste lengden på siden av den firkantede bunnen for å passe boksene tett inn i boksen? Løsning: 1) LCM (16 og 20) = 80 (bokser). 2) S = a ∙ b – areal på 1 boks. S = 16 ∙ 20 = 320 (cm²) – bunnareal av 1 boks. 3) 320 ∙ 80 = 25600 (cm²) – arealet av kvadratbunnen. 4) S = a² = a ∙ a 25600 = 160 ∙ 160 – dimensjoner på boksen. Svar: 160 cm er siden av den firkantede bunnen. NOC oppgaver
Langs veien fra punkt K er det strømstolper hver 45. m. De bestemte seg for å erstatte disse stolpene med andre, og plassere dem i en avstand på 60 m fra hverandre. Hvor mange søyler var det og hvor mange vil det være? Løsning: 1) LCM (45 og 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 – det var søyler. 3) 180: 60 = 3 – ble søyler. Svar: 4 søyler, 3 søyler. NOC oppgaver
Hvor mange soldater marsjerer på paradeplassen hvis de marsjerer i formasjon av 12 personer i en linje og skifter til en kolonne med 18 personer i en linje? Løsning: 1) NOC (12 og 18) = 36 (personer) - marsjerende. Svar: 36 personer. NOC oppgaver
La oss begynne å studere det minste felles multiplum av to eller flere tall. I denne delen skal vi definere begrepet, vurdere teoremet som etablerer sammenhengen mellom minste felles multiplum og største felles divisor, og gi eksempler på å løse problemer.
Felles multipler – definisjon, eksempler
I dette emnet vil vi bare være interessert i felles multipler av heltall annet enn null.
Definisjon 1
Felles multiplum av heltall er et heltall som er et multiplum av alle gitte tall. Faktisk er det et hvilket som helst heltall som kan deles på hvilke som helst av de gitte tallene.
Definisjonen av felles multipler refererer til to, tre eller flere heltall.
Eksempel 1
I henhold til definisjonen gitt ovenfor, er de felles multiplene av tallet 12 3 og 2. Dessuten vil tallet 12 være et felles multiplum av tallene 2, 3 og 4. Tallene 12 og -12 er felles multiplum av tallene ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.
Samtidig vil felles multiplum av tallene 2 og 3 være tallene 12, 6, − 24, 72, 468, − 100,010,004 og en hel rekke andre.
Hvis vi tar tall som er delbare med det første tallet i et par og ikke delelige med det andre, så vil ikke slike tall være felles multipler. Så for tallene 2 og 3 vil ikke tallene 16, − 27, 5009, 27001 være felles multipler.
0 er et felles multiplum av ethvert sett med heltall annet enn null.
Hvis vi husker egenskapen til delbarhet med hensyn til motsatte tall, viser det seg at et heltall k vil være et felles multiplum av disse tallene, akkurat som tallet - k. Dette betyr at felles divisorer kan være enten positive eller negative.
Er det mulig å finne LCM for alle tall?
Felles multiplum kan finnes for ethvert heltall.
Eksempel 2
Anta at vi er gitt k heltall a 1 , a 2 , … , a k. Tallet vi får når vi multipliserer tall a 1 · a 2 · … · a k i henhold til egenskapen delbarhet, vil den bli delt inn i hver av faktorene som var inkludert i det opprinnelige produktet. Dette betyr at produktet av tall a 1 , a 2 , … , a k er det minste felles multiplum av disse tallene.
Hvor mange felles multipler kan disse heltallene ha?
En gruppe heltall kan ha et stort antall felles multipler. Faktisk er antallet deres uendelig.
Eksempel 3
Anta at vi har et tall k. Da vil produktet av tallene k · z, der z er et heltall, være et felles multiplum av tallene k og z. Gitt at antallet tall er uendelig, er antallet felles multipler uendelig.
Least Common Multiple (LCM) – Definisjon, notasjon og eksempler
Husk konseptet med det minste tallet fra et gitt sett med tall, som vi diskuterte i avsnittet "Sammenligning av heltall." Med dette konseptet i betraktning, formulerer vi definisjonen av minste felles multiplum, som har størst praktisk betydning blant alle felles multipler.
Definisjon 2
Minste felles multiplum av gitte heltall er det minste positive felles multiplum av disse tallene.
Et minste felles multiplum finnes for et hvilket som helst antall gitte tall. Den mest brukte forkortelsen for konseptet i referanselitteratur er NOC. Kort notasjon for minste felles multiplum av tall a 1 , a 2 , … , a k vil ha formen LOC (a 1 , a 2 , … , a k).
Eksempel 4
Minste felles multiplum av 6 og 7 er 42. De. LCM(6; 7) = 42. Minste felles multiplum av de fire tallene 2, 12, 15 og 3 er 60. En kort notasjon vil se ut som LCM (- 2, 12, 15, 3) = 60.
Det minste felles multiplum er ikke åpenbart for alle grupper av gitte tall. Ofte må det beregnes.
Forholdet mellom NOC og GCD
Den minste felles multiplum og den største felles divisor er relatert. Forholdet mellom begreper fastsettes av teoremet.
Teorem 1
Det minste felles multiplum av to positive heltall a og b er lik produktet av a og b delt på den største felles divisor av a og b, det vil si LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b ).
Bevis 1
Anta at vi har et tall M, som er et multiplum av tallene a og b. Hvis tallet M er delelig med a, finnes det også et heltall z , hvor likheten er sann M = a k. I følge definisjonen av delbarhet, hvis M er delelig med b, så da a · k delt på b.
Hvis vi introduserer en ny notasjon for gcd (a, b) som d, så kan vi bruke likestillingene a = a 1 d og b = b 1 · d. I dette tilfellet vil begge likhetene være relativt primtall.
Det har vi allerede etablert ovenfor a · k delt på b. Nå kan denne tilstanden skrives som følger:
a 1 d k delt på b 1 d, som tilsvarer tilstanden en 1 k delt på b 1 i henhold til egenskapene til delbarhet.
I henhold til egenskapen til coprimtall, if en 1 Og b 1– coprimtall, en 1 ikke delelig med b 1 til tross for at en 1 k delt på b 1, Det b 1 må deles k.
I dette tilfellet vil det være hensiktsmessig å anta at det er et tall t, for hvilket k = b 1 t, og siden b 1 = b: d, Det k = b: d t.
Nå i stedet for k la oss erstatte til likestilling M = a k uttrykk for formen b:d t. Dette gjør at vi kan oppnå likestilling M = a b: d t. På t = 1 vi kan få det minst positive felles multiplum av a og b , lik a b:d, forutsatt at tallene a og b positivt.
Så vi beviste at LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).
Ved å etablere en forbindelse mellom LCM og GCD kan du finne det minste felles multiplum gjennom den største felles divisor av to eller flere gitte tall.
Definisjon 3
Teoremet har to viktige konsekvenser:
- multipler av det minste felles multiplum av to tall er det samme som felles multiplum av disse to tallene;
- det minste felles multiplum av positive primtall a og b er lik deres produkt.
Det er ikke vanskelig å underbygge disse to fakta. Ethvert felles multiplum av M av tallene a og b er definert av likheten M = LCM (a, b) · t for en heltallsverdi t. Siden a og b er relativt primtall, er gcd (a, b) = 1, derfor gcd (a, b) = a · b: gcd (a, b) = a · b: 1 = a · b.
Minste felles multiplum av tre eller flere tall
For å finne det minste felles multiplum av flere tall, er det nødvendig å finne LCM for to tall sekvensielt.
Teorem 2
La oss late som det a 1 , a 2 , … , a k er noen positive heltall. For å beregne LCM m k disse tallene må vi beregne sekvensielt m 2 = LCM(a 1, a 2), m 3 = INGEN C(m 2 , a 3 ), … , m k = INGEN C(m k-1, a k).
Bevis 2
Den første konsekvensen fra det første teoremet som diskuteres i dette emnet vil hjelpe oss med å bevise gyldigheten til det andre teoremet. Begrunnelsen er basert på følgende algoritme:
- felles multiplum av tall en 1 Og en 2 sammenfaller med multipler av deres LCM, faktisk sammenfaller de med multipler av tallet m 2;
- felles multiplum av tall en 1, en 2 Og en 3 m 2 Og en 3 m 3;
- felles multiplum av tall a 1 , a 2 , … , a k faller sammen med felles multiplum av tall m k - 1 Og en k, derfor sammenfaller med multipler av tallet m k;
- på grunn av at det minste positive multiplum av tallet m k er selve tallet m k, deretter det minste felles multiplum av tallene a 1 , a 2 , … , a k er m k.
Slik beviste vi teoremet.
Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter
Laster inn...
