Uttrykk, ligninger og ligningssystemer
med komplekse tall
I dag i timen skal vi trene på typiske operasjoner med komplekse tall, og også beherske teknikken for å løse uttrykk, ligninger og ligningssystemer som inneholder disse tallene. Denne workshopen er en fortsettelse av leksjonen, og hvis du ikke er godt kjent med emnet, følg lenken ovenfor. Vel, for mer forberedte lesere foreslår jeg at du varmer opp med en gang:
Eksempel 1
Forenkle et uttrykk , Hvis . Representer resultatet i trigonometrisk form og plott det på det komplekse planet.
Løsning: så du må erstatte brøken med den "forferdelige" brøken, utføre forenklinger og konvertere resultatet komplekst tall V trigonometrisk form. Pluss en tegning.
Hva er den beste måten å formalisere avgjørelsen på? Det er mer lønnsomt å håndtere et "sofistikert" algebraisk uttrykk trinn for trinn. For det første blir oppmerksomheten mindre distrahert, og for det andre, hvis oppgaven ikke aksepteres, vil det være mye lettere å finne feilen.
1) La oss først forenkle telleren. La oss erstatte verdien i den, åpne parentesene og fikse frisyren:
...Ja, en slik Quasimodo kom fra komplekse tall...
La meg minne deg på at under transformasjonene brukes helt enkle ting - regelen om å multiplisere polynomer og likheten som allerede har blitt banal. Det viktigste er å være forsiktig og ikke bli forvirret av skiltene.
2) Nå kommer nevneren. Hvis da:
Legg merke til i hvilken uvanlig tolkning det brukes kvadratsumformel. Alternativt kan du utføre en omorganisering her underformel Resultatene vil naturligvis være de samme.
3) Og til slutt, hele uttrykket. Hvis da:
For å bli kvitt en brøk, multipliser telleren og nevneren med det konjugerte uttrykket til nevneren. Samtidig, for anvendelsesformål kvadratforskjellsformler må først (og allerede et must!) sett den negative reelle delen på 2. plass:
Og nå nøkkelregelen:
VI HAR INGEN HASTE! Det er bedre å spille det trygt og ta et ekstra skritt.
I uttrykk, ligninger og systemer med komplekse tall, formante verbale utregninger mer hektisk enn noen gang!
Det var en god reduksjon i det siste trinnet, og det er bare et flott tegn.
Merk : strengt tatt skjedde her delingen av et komplekst tall med det komplekse tallet 50 (husk det). Jeg har vært taus om denne nyansen til nå, og vi skal snakke om det litt senere.
La oss markere prestasjonen vår med brevet
La oss presentere resultatet oppnådd i trigonometrisk form. Generelt sett kan du her klare deg uten tegning, men siden det kreves, er det noe mer rasjonelt å gjøre det akkurat nå:
La oss beregne modulen til et komplekst tall:
Hvis du tegner på en skala på 1 enhet. = 1 cm (2 notatbokceller), så kan den oppnådde verdien enkelt kontrolleres med en vanlig linjal.
La oss finne et argument. Siden nummeret er plassert i 2. koordinatkvartal, så:
Vinkelen kan enkelt sjekkes med en gradskive. Dette er den utvilsomme fordelen med tegningen.
Dermed: – det nødvendige tallet i trigonometrisk form.
La oss sjekke:
, som var det som måtte verifiseres.
Det er praktisk å finne ukjente verdier for sinus og cosinus ved å bruke trigonometrisk tabell.
Svar:
Et lignende eksempel for en uavhengig løsning:
Eksempel 2
Forenkle et uttrykk , Hvor . Tegn det resulterende tallet på det komplekse planet og skriv det i eksponentiell form.
Prøv å ikke hoppe over veiledningene. De kan virke enkle, men uten trening er det ikke bare lett å "komme inn i en sølepytt", men veldig enkelt. Derfor "får vi hendene på det."
Ofte har et problem mer enn én løsning:
Eksempel 3
Beregn om,
Løsning: Først av alt, la oss ta hensyn til den opprinnelige tilstanden - ett tall er presentert i algebraisk, og det andre i trigonometrisk form, og til og med med grader. La oss umiddelbart omskrive det i en mer kjent form: .
I hvilken form skal beregningene utføres? Uttrykket innebærer åpenbart første multiplikasjon og ytterligere heving til 10. potens Moivres formel, som er formulert for den trigonometriske formen til et komplekst tall. Så det virker mer logisk å konvertere det første tallet. La oss finne modulen og argumentet:
Vi bruker regelen for å multiplisere komplekse tall i trigonometrisk form:
hvis da
Ved å gjøre brøken riktig, kommer vi til den konklusjon at vi kan "vri" 4 svinger (glad.):
Andre løsning er å konvertere det andre tallet til algebraisk form , utfør multiplikasjonen i algebraisk form, konverter resultatet til trigonometrisk form og bruk Moivres formel.
Som du kan se, er det en "ekstra" handling. De som ønsker kan følge med på beslutningen og sørge for at resultatene blir de samme.
Betingelsen sier ingenting om formen til det endelige komplekse tallet, så:
Svar:
Men "for skjønnhet" eller på forespørsel er resultatet ikke vanskelig å forestille seg i algebraisk form:
På egen hånd:
Eksempel 4
Forenkle et uttrykk
Her må vi huske handlinger med grader, selv om det ikke er én nyttig regel i håndboken, er den her: .
Og en viktig merknad til: eksemplet kan løses i to stiler. Det første alternativet er å jobbe med to tall og å ha det greit med brøker. Det andre alternativet er å representere hvert tall som kvotient av to tall: Og bli kvitt den fire-etasjers strukturen. Fra et formelt synspunkt spiller det ingen rolle hvordan du bestemmer deg, men det er en vesentlig forskjell! Tenk nøye gjennom:
er et komplekst tall;
er kvotienten av to komplekse tall ( og ), men avhengig av konteksten kan du også si dette: et tall representert som kvotienten av to komplekse tall.
En kort løsning og svar på slutten av timen.
Uttrykk er bra, men ligninger er bedre:
Ligninger med komplekse koeffisienter
Hvordan skiller de seg fra "vanlige" ligninger? Odds =)
I lys av kommentaren ovenfor, la oss starte med dette eksemplet:
Eksempel 5
Løs ligningen
Og en umiddelbar innledning "hot on the heels": i utgangspunktet høyre side av ligningen er posisjonert som kvotienten av to komplekse tall ( og 13), og derfor ville det være dårlig form å omskrive betingelsen med tallet (selv om dette ikke vil forårsake en feil). Denne forskjellen er forresten tydeligere synlig i brøken - hvis, relativt sett, så forstås denne verdien først og fremst som "full" kompleks rot av ligningen, og ikke som en divisor av et tall, og spesielt ikke som en del av et tall!
Løsning, i prinsippet, kan også gjøres trinnvis, men i dette tilfellet er spillet ikke verdt stearinlyset. Den første oppgaven er å forenkle alt som ikke inneholder den ukjente "z", noe som resulterer i at ligningen reduseres til formen:
Vi forenkler trygt mellombrøken:
Vi overfører resultatet til høyre side og finner forskjellen:
Merk
: og igjen gjør jeg oppmerksom på det meningsfulle punktet - her trakk vi ikke et tall fra et tall, men brakte brøkene til en fellesnevner! Det skal bemerkes at allerede i løpet av løsningen er det ikke forbudt å jobbe med tall: , men i eksemplet under vurdering er denne stilen mer skadelig enn nyttig =)
I henhold til proporsjonsregelen uttrykker vi "zet":
Nå kan du dividere og multiplisere med konjugatet igjen, men de mistenkelig like tallene i telleren og nevneren foreslår neste trekk:
Svar:
For å sjekke, la oss erstatte den resulterende verdien på venstre side av den opprinnelige ligningen og utføre forenklinger:
– høyre side av den opprinnelige ligningen er oppnådd, og dermed blir roten funnet riktig.
...Nå, nå... Jeg skal finne noe mer interessant for deg... her er det:
Eksempel 6
Løs ligningen
Denne ligningen reduseres til formen , som betyr at den er lineær. Jeg tror hintet er klart - go for it!
Selvfølgelig... hvordan kan du leve uten ham:
Kvadratisk ligning med komplekse koeffisienter
På timen Komplekse tall for dummies vi lærte at en kvadratisk ligning med reelle koeffisienter kan ha konjugerte komplekse røtter, hvoretter et logisk spørsmål dukker opp: hvorfor, faktisk, kan koeffisientene i seg selv ikke være komplekse? La meg formulere en generell sak:
Kvadratisk ligning med vilkårlige komplekse koeffisienter (1 eller 2 av disse eller alle tre kan spesielt være gyldige) Det har to og bare to kompleks rot (muligens en eller begge er gyldige). Samtidig røttene (både ekte og med ikke-null imaginær del) kan falle sammen (være multipler).
En andregradsligning med komplekse koeffisienter løses ved å bruke samme skjema som "skole" ligningen, med noen forskjeller i beregningsteknikken:
Eksempel 7
Finn røttene til en andregradsligning
Løsning: den imaginære enheten kommer først, og i prinsippet kan du bli kvitt den (multipliser begge sider med) Det er imidlertid ikke noe særlig behov for dette.
For enkelhets skyld skriver vi ut koeffisientene:
La oss ikke miste "minus" til et gratis medlem! ...Det er kanskje ikke klart for alle - jeg skriver om ligningen i standardform :
La oss beregne diskriminanten:
Og her er hovedhindringen:
Anvendelse av den generelle formelen for å trekke ut roten (se siste avsnitt i artikkelen Komplekse tall for dummies)
komplisert av alvorlige vanskeligheter knyttet til det radikale komplekse tallargumentet (se for deg selv). Men det er en annen, "algebraisk" måte! Vi vil se etter roten i skjemaet:
La oss kvadrater begge sider:
To komplekse tall er like hvis deres reelle og imaginære deler er like. Dermed får vi følgende system:
Systemet er lettere å løse ved å velge (en mer grundig måte er å uttrykke fra 2. ligning - bytt inn i 1., få og løs en biquadratisk ligning). Forutsatt at forfatteren av problemet ikke er et monster, legger vi frem hypotesen om at og er heltall. Fra den første ligningen følger det at "x" modulo mer enn "Y". I tillegg forteller det positive produktet oss at de ukjente er av samme fortegn. Basert på ovenstående, og med fokus på den andre ligningen, skriver vi ned alle parene som matcher den:
Det er åpenbart at den første ligningen til systemet er tilfredsstilt av de to siste parene, således:
En mellomsjekk ville ikke skade:
som var det som måtte sjekkes.
Du kan velge som en "fungerende" rot noen betydning. Det er klart at det er bedre å ta versjonen uten "ulemper":
Vi finner røttene, forresten ikke å glemme at:
Svar:
La oss sjekke om de funnet røttene tilfredsstiller ligningen :
1) La oss erstatte:
ekte likestilling.
2) La oss erstatte:
ekte likestilling.
Dermed ble løsningen funnet riktig.
Basert på problemet vi nettopp diskuterte:
Eksempel 8
Finn røttene til ligningen
Det skal bemerkes at kvadratroten av rent komplekst tall kan enkelt trekkes ut ved å bruke den generelle formelen , Hvor , så begge metodene er vist i prøven. Den andre nyttige bemerkningen gjelder det faktum at foreløpig ekstraksjon av roten til en konstant ikke forenkler løsningen i det hele tatt.
Nå kan du slappe av - i dette eksemplet slipper du unna med en liten skrekk :)
Eksempel 9
Løs ligningen og kontroller
Løsninger og svar på slutten av leksjonen.
Det siste avsnittet i artikkelen er viet
ligningssystem med komplekse tall
La oss slappe av og... ikke spenne oss =) La oss vurdere det enkleste tilfellet - et system med to lineære ligninger med to ukjente:
Eksempel 10
Løs ligningssystemet. Presenter svaret i algebraiske og eksponentielle former, skildre røttene i tegningen.
Løsning: selve tilstanden antyder at systemet har en unik løsning, det vil si at vi må finne to tall som tilfredsstiller til hver systemets ligning.
Systemet kan virkelig løses på en "barnslig" måte (uttrykke en variabel i form av en annen)
, men det er mye mer praktisk å bruke Cramers formler. La oss beregne hoveddeterminant systemer:
, som betyr at systemet har en unik løsning.
Jeg gjentar at det er bedre å ta deg god tid og skrive ut trinnene så detaljert som mulig:
Vi multipliserer telleren og nevneren med en tenkt enhet og får den første roten:
Like måte:
De tilsvarende høyresidene oppnås osv.
La oss lage tegningen:
La oss representere røttene i eksponentiell form. For å gjøre dette må du finne modulene og argumentene deres:
1) – arctangensen til "to" beregnes "dårlig", så vi lar det være slik:
Den elektroniske ligningsløsningstjenesten vil hjelpe deg med å løse enhver ligning. Ved å bruke nettstedet vårt vil du ikke bare motta svaret på ligningen, men også se en detaljert løsning, det vil si en trinnvis visning av prosessen med å oppnå resultatet. Vår tjeneste vil være nyttig for videregående skoleelever og deres foreldre. Studentene vil kunne forberede seg til tester og eksamener, teste kunnskapene sine, og foreldre vil kunne overvåke løsningen av matematiske ligninger av barna sine. Evne til å løse ligninger er et obligatorisk krav for skoleelever. Tjenesten vil hjelpe deg med å utdanne deg selv og forbedre kunnskapen din innen matematiske ligninger. Med dens hjelp kan du løse en hvilken som helst ligning: kvadratisk, kubisk, irrasjonell, trigonometrisk, etc. Fordelene med nettjenesten er uvurderlige, for i tillegg til riktig svar får du en detaljert løsning på hver ligning. Fordeler med å løse ligninger online. Du kan løse enhver ligning online på nettstedet vårt helt gratis. Tjenesten er helt automatisk, du trenger ikke å installere noe på datamaskinen din, du trenger bare å legge inn dataene og programmet vil gi deg en løsning. Eventuelle feil i beregninger eller skrivefeil er ekskludert. Hos oss er det veldig enkelt å løse enhver ligning på nettet, så pass på å bruke siden vår til å løse alle slags ligninger. Du trenger bare å legge inn dataene og beregningen vil bli fullført i løpet av sekunder. Programmet fungerer selvstendig, uten menneskelig innblanding, og du får et nøyaktig og detaljert svar. Løsning av ligningen i generell form. I en slik ligning er de variable koeffisientene og de ønskede røttene sammenkoblet. Den høyeste potensen til en variabel bestemmer rekkefølgen til en slik ligning. På bakgrunn av dette brukes ulike metoder og teoremer for likninger for å finne løsninger. Å løse ligninger av denne typen betyr å finne de nødvendige røttene i generell form. Vår tjeneste lar deg løse selv de mest komplekse algebraiske ligningene online. Du kan få både en generell løsning på ligningen og en spesiell løsning for de numeriske verdiene til koeffisientene du spesifiserer. For å løse en algebraisk ligning på nettstedet, er det nok å bare fylle ut to felt riktig: venstre og høyre side av den gitte ligningen. Algebraiske ligninger med variable koeffisienter har et uendelig antall løsninger, og ved å sette visse betingelser velges partielle fra løsningssettet. Kvadratisk ligning. Andregradsligningen har formen ax^2+bx+c=0 for a>0. Å løse andregradsligninger innebærer å finne verdiene av x som likheten ax^2+bx+c=0 holder. For å gjøre dette, finn diskriminantverdien ved å bruke formelen D=b^2-4ac. Hvis diskriminanten er mindre enn null, har ligningen ingen reelle røtter (røttene er fra feltet med komplekse tall), hvis den er lik null, har ligningen en reell rot, og hvis diskriminanten er større enn null , så har ligningen to reelle røtter, som finnes av formelen: D = -b+-sqrt/2a. For å løse en kvadratisk ligning på nett trenger du bare å angi koeffisientene til ligningen (heltall, brøker eller desimaler). Hvis det er subtraksjonstegn i en likning, må du sette et minustegn foran de tilsvarende leddene i likningen. Du kan løse en kvadratisk ligning online avhengig av parameteren, det vil si variablene i koeffisientene til ligningen. Vår nettjeneste for å finne generelle løsninger takler denne oppgaven godt. Lineære ligninger. For å løse lineære ligninger (eller ligningssystemer) brukes fire hovedmetoder i praksis. Vi vil beskrive hver metode i detalj. Substitusjonsmetode. Å løse likninger ved hjelp av substitusjonsmetoden krever å uttrykke en variabel i form av de andre. Etter dette blir uttrykket erstattet med andre likninger i systemet. Derav navnet på løsningsmetoden, det vil si i stedet for en variabel, erstattes uttrykket med de gjenværende variablene. I praksis krever metoden komplekse beregninger, selv om den er lett å forstå, så å løse en slik ligning på nett vil bidra til å spare tid og gjøre beregningene enklere. Du trenger bare å angi antall ukjente i ligningen og fylle inn dataene fra de lineære ligningene, så vil tjenesten gjøre beregningen. Gauss metode. Metoden er basert på de enkleste transformasjonene av systemet for å komme frem til et ekvivalent trekantsystem. Fra den bestemmes de ukjente en etter en. I praksis må du løse en slik ligning online med en detaljert beskrivelse, takket være den vil du ha en god forståelse av den Gaussiske metoden for å løse systemer av lineære ligninger. Skriv ned systemet med lineære ligninger i riktig format og ta hensyn til antall ukjente for å kunne løse systemet nøyaktig. Cramers metode. Denne metoden løser ligningssystemer i tilfeller der systemet har en unik løsning. Den viktigste matematiske handlingen her er beregningen av matrisedeterminanter. Løsning av ligninger ved hjelp av Cramer-metoden utføres online, du mottar resultatet umiddelbart med en fullstendig og detaljert beskrivelse. Det er nok bare å fylle systemet med koeffisienter og velge antall ukjente variabler. Matrisemetode. Denne metoden består av å samle koeffisientene til de ukjente i matrise A, de ukjente i kolonne X og de frie leddene i kolonne B. Dermed reduseres systemet med lineære ligninger til en matriseligning av formen AxX=B. Denne ligningen har en unik løsning bare hvis determinanten til matrise A er forskjellig fra null, ellers har systemet ingen løsninger, eller et uendelig antall løsninger. Å løse ligninger ved å bruke matrisemetoden innebærer å finne den inverse matrisen A.
Bruken av ligninger er utbredt i våre liv. De brukes i mange beregninger, konstruksjon av strukturer og til og med sport. Mennesket brukte ligninger i oldtiden, og siden har bruken bare økt. For klarhets skyld, la oss løse følgende problem:
Beregn \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] hvis \
Først av alt, la oss ta hensyn til det faktum at ett tall er presentert i algebraisk form, det andre i trigonometrisk form. Det må forenkles og bringes til følgende skjema
\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]
Uttrykket \ sier at vi først og fremst multipliserer og hever til 10. potens ved å bruke Moivre-formelen. Denne formelen er formulert for den trigonometriske formen til et komplekst tall. Vi får:
\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]
\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]
Etter reglene for å multiplisere komplekse tall i trigonometrisk form, gjør vi følgende:
I vårt tilfelle:
\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]
Ved å gjøre brøken \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] riktig, kommer vi til den konklusjon at vi kan "vri" 4 omdreininger \[(8\pi rad.): \]
\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3) ))\]
Svar: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]
Denne ligningen kan løses på en annen måte, som koker ned til å bringe det andre tallet til algebraisk form, deretter utføre multiplikasjonen i algebraisk form, konvertere resultatet til trigonometrisk form og bruke Moivres formel:
Hvor kan jeg løse et ligningssystem med komplekse tall på nettet?
Du kan løse ligningssystemet på vår nettside https://site. Den gratis online løseren lar deg løse online ligninger av enhver kompleksitet i løpet av sekunder. Alt du trenger å gjøre er å legge inn dataene dine i løseren. Du kan også se videoinstruksjoner og lære hvordan du løser ligningen på nettsiden vår. Og hvis du fortsatt har spørsmål, kan du stille dem i vår VKontakte-gruppe http://vk.com/pocketteacher. Bli med i gruppen vår, vi er alltid glade for å hjelpe deg.