Tenk på en kvadratisk matrise. La Δ = det A betegne dens determinant. Kvadrat B er (OM) for kvadrat A i samme rekkefølge hvis produktet A*B = B*A = E, der E er identitetsmatrisen av samme rekkefølge som A og B.
Et kvadrat A kalles ikke-degenerert, eller ikke-singular, hvis determinanten er ikke-null, og degenerert, eller spesiell, hvis Δ = 0.
Teorem. For at A skal ha sin inverse, er det nødvendig og tilstrekkelig at dens determinant er forskjellig fra null.
(OM) A, betegnet med A -1, så B = A -1 og beregnes med formelen
, (1)
hvor A i j er algebraiske komplementer av elementene a i j, Δ = detA.
Å beregne A -1 ved hjelp av formel (1) for matriser av høy orden er svært arbeidskrevende, så i praksis er det praktisk å finne A -1 ved å bruke metoden for elementære transformasjoner (ET). Enhver ikke-entall A kan reduseres til en enhet E ved hjelp av EP av bare kolonner (eller bare rader). Hvis EP-ene perfekt over matrisen A brukes i samme rekkefølge på enhet E, vil resultatet være A - 1. Det er praktisk å fremføre EP på A og E samtidig, og skrive begge side ved side gjennom linjen A|E. Hvis du trenger å finne A -1, bør du bare bruke rader eller bare kolonner under transformasjonsprosessen.
Finne inversen til en matrise ved å bruke algebraiske addisjoner
Eksempel 1. Til 
finn A -1.
Løsning. Først finner vi determinanten A 
Dette betyr at (OM) eksisterer, og vi kan finne det ved å bruke formelen: 
, der A i j (i,j=1,2,3) er algebraiske addisjoner av elementene a i j av den opprinnelige A.
Det algebraiske komplementet til et element a ij er determinanten eller minor av M ij . Det oppnås ved å krysse ut kolonne i og rad j. Deretter multipliseres moll med (-1) i+j , dvs. A ij =(-1) i+j M ij
hvor 
.
Finne den inverse matrisen ved hjelp av elementære transformasjoner
Eksempel 2. Bruk metoden for elementære transformasjoner, finn A -1 for: A= .
Løsning. Vi tildeler en enhet av samme rekkefølge til den originale A til høyre: 
. Ved å bruke elementære transformasjoner av kolonnene vil vi redusere den venstre "halvdelen" til enheten en, samtidig som vi utfører nøyaktig de samme transformasjonene på den høyre "halvdelen".
For å gjøre dette, bytt den første og andre kolonnen: 
~
. Til den tredje kolonnen legger vi til den første, og til den andre - den første, multiplisert med -2: 
. Fra den første kolonnen trekker vi den andre doblet, og fra den tredje - den andre multiplisert med 6; 
. La oss legge til den tredje kolonnen til den første og andre: 
. Multipliser den siste kolonnen med -1: 
. Den firkantede tabellen til høyre for den vertikale stolpen er inversen av A -1. Så, 
.
Å finne den inverse matrisen er en prosess som består av ganske enkle trinn. Men disse handlingene gjentas så ofte at prosessen viser seg å være ganske lang. Det viktigste er ikke å miste oppmerksomheten når du tar en beslutning.
Når du løser ved hjelp av den vanligste metoden - algebraiske tillegg - trenger du:
Når vi løser eksempler, vil vi analysere disse handlingene mer detaljert. I mellomtiden, la oss finne ut hva teorien om den inverse matrisen sier.
Til invers matrise Det er en relevant analogi med det inverse av et tall. For hvert tall en, ikke lik null, det er et slikt tall b at arbeidet en Og b tilsvarer en: ab= 1 . Antall b kalt invers av et tall b. For eksempel, for tallet 7 er gjensidigheten 1/7, siden 7*1/7=1.
Invers matrise , som må finnes for en gitt kvadratisk matrise EN, en slik matrise kalles
produktet som matrisene har EN til høyre er identitetsmatrisen, dvs.
. (1)
En identitetsmatrise er en diagonal matrise der alle diagonale elementer er lik en.
Finne den inverse matrisen- et problem som ofte løses på to måter:
- metoden for algebraiske addisjoner, der det, som nevnt i begynnelsen av leksjonen, er nødvendig å finne determinanter, minor og algebraiske addisjoner og transponere matriser;
- den gaussiske metoden for å eliminere ukjente, som krever å utføre elementære transformasjoner av matriser (legge til rader, multiplisere rader med samme tall, etc.).
For de som er spesielt nysgjerrige, finnes det andre metoder, for eksempel metoden for lineære transformasjoner. I denne leksjonen skal vi analysere de tre nevnte metodene og algoritmene for å finne den inverse matrisen ved hjelp av disse metodene.
Teorem.For hver ikke-entall (ikke-degenerert, ikke-entall) kvadratisk matrise, kan man finne en invers matrise, og bare én. For en spesiell (degenerert, entall) kvadratisk matrise eksisterer ikke den inverse matrisen.
Den kvadratiske matrisen kalles ikke spesielt(eller ikke-degenerert, ikke-entall), hvis determinanten ikke er null, og spesiell(eller degenerert, entall) hvis determinanten er null.
Inversen til en matrise kan bare finnes for en kvadratisk matrise. Naturligvis vil den inverse matrisen også være kvadratisk og av samme rekkefølge som den gitte matrisen. En matrise som en invers matrise kan bli funnet for, kalles en inverterbar matrise.
Finne den inverse matrisen ved å bruke den Gaussiske ukjente elimineringsmetoden
Det første trinnet for å finne inversen til en matrise ved å bruke den Gaussiske elimineringsmetoden er å tilordne til matrisen EN identitetsmatrise av samme rekkefølge, som skiller dem med en vertikal strek. Vi vil få en dobbel matrise. La oss multiplisere begge sider av denne matrisen med , så får vi
,
Algoritme for å finne den inverse matrisen ved bruk av Gaussisk ukjent eliminasjonsmetode
1. Til matrisen EN tilordne en identitetsmatrise av samme rekkefølge.
2. Transformer den resulterende doble matrisen slik at du på venstre side får en enhetsmatrise, deretter får du på høyre side, i stedet for identitetsmatrisen, automatisk en invers matrise. Matrise EN på venstre side omdannes til identitetsmatrisen ved elementære matrisetransformasjoner.
2. Hvis i ferd med matrisetransformasjon EN i identitetsmatrisen vil det bare være nuller i en hvilken som helst rad eller i hvilken som helst kolonne, da er determinanten til matrisen lik null, og følgelig matrisen EN vil være entall, og den har ikke en invers matrise. I dette tilfellet stopper videre bestemmelse av den inverse matrisen.
Eksempel 2. For matrise
finn den inverse matrisen.
og vi vil transformere den slik at vi på venstre side får en identitetsmatrise. Vi begynner transformasjonen.
Multipliser den første raden i venstre og høyre matrise med (-3) og legg den til den andre raden, og multipliser deretter den første raden med (-4) og legg den til den tredje raden, så får vi
.
For å sikre at det ikke er brøktall i påfølgende transformasjoner, la oss først lage en enhet i den andre raden på venstre side av den doble matrisen. For å gjøre dette, multipliser den andre linjen med 2 og trekk den tredje linjen fra den, så får vi
.
La oss legge til den første linjen med den andre, og deretter multiplisere den andre linjen med (-9) og legge den til med den tredje linjen. Så får vi
.
Del den tredje linjen med 8, da
.
Multipliser den tredje linjen med 2 og legg den til den andre linjen. Det viser seg:
.
La oss bytte den andre og tredje linjen, så får vi endelig:
.
Vi ser at på venstre side har vi identitetsmatrisen, derfor har vi på høyre side den inverse matrisen. Dermed:
.
Du kan kontrollere riktigheten av beregningene ved å multiplisere den opprinnelige matrisen med den funnet inverse matrisen:
Resultatet skal være en invers matrise.
Du kan sjekke løsningen ved hjelp av online kalkulator for å finne den inverse matrisen .
Eksempel 3. For matrise
finn den inverse matrisen.
Løsning. Kompilere en dobbel matrise
og vi vil forvandle det.
Vi multipliserer den første linjen med 3, og den andre med 2, og trekker fra den andre, og deretter multipliserer vi den første linjen med 5, og den tredje med 2 og trekker fra den tredje linjen, så får vi
La oss fortsette samtalen om handlinger med matriser. I løpet av studiet av denne forelesningen vil du nemlig lære hvordan du finner den inverse matrisen. Lære. Selv om matematikk er vanskelig.
Hva er en invers matrise? Her kan vi trekke en analogi med inverse tall: tenk for eksempel på det optimistiske tallet 5 og dets inverse tall. Produktet av disse tallene er lik én: . Alt er likt med matriser! Produktet av en matrise og dens inverse matrise er lik - identitetsmatrise, som er matriseanalogen til den numeriske enheten. Men først ting først - la oss først løse et viktig praktisk problem, nemlig å lære hvordan du finner denne svært omvendte matrisen.
Hva trenger du å vite og kunne gjøre for å finne den inverse matrisen? Du må kunne bestemme kvalifiseringer. Du må forstå hva det er matrise og kunne utføre noen handlinger med dem.
Det er to hovedmetoder for å finne den inverse matrisen:
ved bruk av algebraiske tillegg Og ved hjelp av elementære transformasjoner.
I dag skal vi studere den første, enklere metoden.
La oss starte med det mest forferdelige og uforståelige. La oss vurdere torget matrise. Den inverse matrisen kan bli funnet ved å bruke følgende formel:
Hvor er determinanten for matrisen, er den transponerte matrisen av algebraiske komplementer til de tilsvarende elementene i matrisen.
Konseptet med en invers matrise eksisterer bare for kvadratiske matriser, matriser "to og to", "tre av tre", osv.
Betegnelser: Som du kanskje allerede har lagt merke til, er den inverse matrisen merket med et hevet skrift
La oss starte med det enkleste tilfellet - en to-og-to-matrise. Oftest er selvfølgelig "tre og tre" nødvendig, men likevel anbefaler jeg på det sterkeste å studere en enklere oppgave for å forstå det generelle prinsippet for løsningen.
Eksempel:
Finn inversen til en matrise
La oss bestemme. Det er praktisk å bryte ned handlingssekvensen punkt for punkt.
1) Først finner vi determinanten til matrisen.
Hvis din forståelse av denne handlingen ikke er god, les materialet Hvordan beregne determinanten?
Viktig! Hvis determinanten til matrisen er lik NULL– invers matrise EKSISTERER IKKE.
I eksemplet under vurdering, viste det seg, , som betyr at alt er i orden.
2) Finn matrisen av mindreårige.
For å løse problemet vårt er det ikke nødvendig å vite hva en mindreårig er, men det anbefales å lese artikkelen Hvordan beregne determinanten.
Matrisen av mindreårige har samme dimensjoner som matrisen, det vil si i dette tilfellet.
Det eneste som gjenstår er å finne fire tall og sette dem i stedet for stjerner.
La oss gå tilbake til matrisen vår
La oss først se på elementet øverst til venstre:
Hvordan finne den liten?
Og dette gjøres slik: MENTALT kryss ut raden og kolonnen der dette elementet er plassert:
Det resterende tallet er mindre av dette elementet, som vi skriver i vår matrise over mindreårige:
Tenk på følgende matriseelement:
Kryss mentalt ut raden og kolonnen der dette elementet vises:
Det som gjenstår er minor av dette elementet, som vi skriver i matrisen vår:
På samme måte vurderer vi elementene i den andre raden og finner deres mindreårige:
Klar.
Det er enkelt. I matrisen av mindreårige trenger du ENDRE TEGN to tall:
Dette er tallene jeg ringte rundt!
– matrise av algebraiske addisjoner av de tilsvarende elementene i matrisen.
Og bare...
4) Finn den transponerte matrisen av algebraiske addisjoner.
– transponert matrise av algebraiske komplementer til de tilsvarende elementene i matrisen.
5) Svar.
La oss huske formelen vår
Alt er funnet!
Så den inverse matrisen er: 
Det er bedre å la svaret være som det er. INGEN BEHOV del hvert element i matrisen med 2, siden resultatet er brøktall. Denne nyansen diskuteres mer detaljert i samme artikkel. Handlinger med matriser.
Hvordan sjekke løsningen?
Du må utføre matrisemultiplikasjon eller
Undersøkelse: 
Mottatt allerede nevnt identitetsmatrise er en matrise med ener ved hoveddiagonal og nuller andre steder.
Dermed blir den inverse matrisen funnet riktig.
Hvis du gjennomfører handlingen, blir resultatet også en identitetsmatrise. Dette er et av de få tilfellene der matrisemultiplikasjon er kommutativ, flere detaljer finner du i artikkelen Egenskaper for operasjoner på matriser. Matriseuttrykk. Legg også merke til at under kontrollen blir konstanten (brøken) trukket frem og behandlet helt på slutten - etter matrisemultiplikasjonen. Dette er en standardteknikk.
La oss gå videre til en mer vanlig sak i praksis - tre-av-tre-matrisen:
Eksempel:
Finn inversen til en matrise 
Algoritmen er nøyaktig den samme som for tilfellet "to og to".
Vi finner den inverse matrisen ved å bruke formelen: , hvor er den transponerte matrisen av algebraiske komplementer til de tilsvarende elementene i matrisen.
1) Finn determinanten til matrisen.
Her avsløres determinanten på første linje.
Ikke glem det, noe som betyr at alt er bra - invers matrise eksisterer.
2) Finn matrisen av mindreårige.
Matrisen av mindreårige har en dimensjon på "tre ganger tre" 
, og vi må finne ni tall.
Jeg skal se på et par mindreårige i detalj:
Tenk på følgende matriseelement: 
MENTALT kryss ut raden og kolonnen der dette elementet er plassert: 
Vi skriver de resterende fire tallene i "to og to"-determinanten. 
Denne to-og-to determinanten og er minor av dette elementet. Det må beregnes: 
Det er det, den mindreårige er funnet, vi skriver det i vår matrise over mindreårige: 
Som du sikkert har gjettet, må du beregne ni to-og-to determinanter. Prosessen er selvfølgelig kjedelig, men saken er ikke den mest alvorlige, den kan bli verre.
Vel, for å konsolidere – finne en annen mindreårig på bildene: 
Prøv å beregne de resterende mindreårige selv.
Endelig resultat: 
– matrise av mindreårige av de tilsvarende elementene i matrisen.
At alle de mindreårige viste seg å være negative er en ren ulykke.
3) Finn matrisen av algebraiske addisjoner.
I matrisen av mindreårige er det nødvendig ENDRE TEGN strengt tatt for følgende elementer: 
I dette tilfellet:
Vi vurderer ikke å finne den inverse matrisen for en "fire ganger fire" matrise, siden en slik oppgave bare kan gis av en sadistisk lærer (for at studenten skal beregne en "fire ganger fire" determinant og 16 "tre ganger tre" determinanter ). I min praksis var det bare ett slikt tilfelle, og kunden av testen betalte ganske dyrt for plagene mine =).
I en rekke lærebøker og manualer kan du finne en litt annen tilnærming til å finne den inverse matrisen, men jeg anbefaler å bruke løsningsalgoritmen som er skissert ovenfor. Hvorfor? Fordi sannsynligheten for å bli forvirret i beregninger og tegn er mye mindre.
For enhver ikke-singular matrise A er det en unik matrise A -1 slik at
A*A -1 =A -1 *A = E,
hvor E er identitetsmatrisen av samme rekkefølge som A. Matrisen A -1 kalles den inverse av matrise A.
I tilfelle noen har glemt det, i identitetsmatrisen, bortsett fra diagonalen fylt med enere, er alle andre posisjoner fylt med nuller, et eksempel på en identitetsmatrise:
Finne den inverse matrisen ved hjelp av adjoint matrise-metoden
Den inverse matrisen er definert av formelen:
hvor A ij - elementer a ij.
De. For å beregne den inverse matrisen, må du beregne determinanten til denne matrisen. Finn deretter de algebraiske komplementene for alle elementene og komponer en ny matrise fra dem. Deretter må du transportere denne matrisen. Og del hvert element i den nye matrisen med determinanten til den opprinnelige matrisen.
La oss se på noen få eksempler.
Finn A -1 for en matrise
Løsning La oss finne A -1 ved å bruke adjoint matrise-metoden. Vi har det A = 2. La oss finne de algebraiske komplementene til elementene i matrise A. I dette tilfellet vil de algebraiske komplementene til matriseelementene være de tilsvarende elementene i selve matrisen, tatt med et tegn i samsvar med formelen
Vi har A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. Vi danner den adjunkte matrisen
Vi transporterer matrisen A*:
Vi finner den inverse matrisen ved å bruke formelen:
Vi får:
Bruk adjoint matrise-metoden, finn A -1 if
Løsning: Først og fremst beregner vi definisjonen av denne matrisen for å bekrefte eksistensen av den inverse matrisen. Vi har
Her la vi til elementene i den andre raden elementene i den tredje raden, tidligere multiplisert med (-1), og utvidet deretter determinanten for den andre raden. Siden definisjonen av denne matrisen ikke er null, eksisterer dens inverse matrise. For å konstruere den tilstøtende matrisen finner vi de algebraiske komplementene til elementene i denne matrisen. Vi har
I henhold til formelen
transportmatrise A*:
Deretter i henhold til formelen
Finne den inverse matrisen ved å bruke metoden for elementære transformasjoner
I tillegg til metoden for å finne den inverse matrisen, som følger av formelen (adjoint matrise-metoden), finnes det en metode for å finne den inverse matrisen, kalt metoden for elementære transformasjoner.
Elementære matrisetransformasjoner
Følgende transformasjoner kalles elementære matrisetransformasjoner:
1) omorganisering av rader (kolonner);
2) multiplisere en rad (kolonne) med et annet tall enn null;
3) legge til elementene i en rad (kolonne) de tilsvarende elementene i en annen rad (kolonne), tidligere multiplisert med et visst tall.
For å finne matrisen A -1, konstruerer vi en rektangulær matrise B = (A|E) av ordener (n; 2n), og tildeler til matrise A til høyre identitetsmatrisen E gjennom en delelinje:
La oss se på et eksempel.
Bruk metoden for elementære transformasjoner, finn A -1 if
Løsning. Vi danner matrise B:
La oss betegne radene i matrise B med α 1, α 2, α 3. La oss utføre følgende transformasjoner på radene i matrise B.
Den opprinnelige i henhold til formelen: A^-1 = A*/detA, hvor A* er den tilknyttede matrisen, detA er den opprinnelige matrisen. Den tilstøtende matrisen er en transponert matrise av tillegg til elementene i den opprinnelige matrisen.
Først av alt, finn determinanten til matrisen; den må være forskjellig fra null, siden determinanten senere vil bli brukt som en divisor. La for eksempel få en matrise av den tredje (bestående av tre rader og tre kolonner). Som du kan se, er determinanten til matrisen ikke lik null, så det er en invers matrise.
Finn komplementene til hvert element i matrisen A. Komplementet til A er determinanten til delmatrisen som er hentet fra originalen ved å slette i-te rad og j-te kolonne, og denne determinanten tas med et fortegn. Tegnet bestemmes ved å multiplisere determinanten med (-1) til i+j potens. Dermed vil for eksempel komplementet til A være determinanten som vurderes i figuren. Tegnet ble slik: (-1)^(2+1) = -1.
Som et resultat vil du få matrise tillegg, implementer det nå. Transponering er en operasjon som er symmetrisk om hoveddiagonalen til en matrise; kolonnene og radene byttes. Dermed har du funnet den tilstøtende matrisen A*.
Laster inn...
