Hva betyr vektor? Vektorer for dummies. Handlinger med vektorer. Vektorkoordinater. De enkleste problemene med vektorer. Punktprodukt av vektorer

Standard definisjon: "En vektor er et rettet segment." Dette er vanligvis omfanget av en kandidats kunnskap om vektorer. Hvem trenger noen "retningsbestemte segmenter"?

Men egentlig, hva er vektorer og hva er de for?
Værmelding. "Vind nordvest, hastighet 18 meter per sekund." Enig, både vindretningen (hvor den blåser fra) og størrelsen (det vil si den absolutte verdien) av hastigheten har betydning.

Mengder som ikke har noen retning kalles skalar. Masse, arbeid, elektrisk ladning er ikke rettet noe sted. De er bare preget av en numerisk verdi - "hvor mange kilo" eller "hvor mange joule".

Fysiske størrelser som ikke bare har en absolutt verdi, men også en retning, kalles vektorstørrelser.

Hastighet, kraft, akselerasjon - vektorer. For dem er «hvor mye» viktig og «hvor» viktig. For eksempel er tyngdeakselerasjonen rettet mot jordens overflate, og verdien er 9,8 m/s 2. Impuls, elektrisk feltstyrke, magnetfeltinduksjon er også vektorstørrelser.

Du husker at fysiske mengder er angitt med bokstaver, latin eller gresk. Pilen over bokstaven indikerer at mengden er vektor:

Her er et annet eksempel.
En bil beveger seg fra A til B. Sluttresultatet er dens bevegelse fra punkt A til punkt B, det vil si bevegelse av en vektor .

Nå er det klart hvorfor en vektor er et rettet segment. Vær oppmerksom på at enden av vektoren er der pilen er. Vektorlengde kalles lengden på dette segmentet. Indikert med: eller

Til nå har vi jobbet med skalare størrelser, etter reglene for aritmetikk og elementær algebra. Vektorer er et nytt konsept. Dette er en annen klasse av matematiske objekter. De har sine egne regler.

En gang i tiden visste vi ikke engang noe om tall. Mitt bekjentskap med dem begynte på barneskolen. Det viste seg at tall kan sammenlignes med hverandre, adderes, trekkes fra, multipliseres og divideres. Vi lærte at det er et tall én og et tall null.
Nå er vi introdusert til vektorer.

Konseptene "mer" og "mindre" for vektorer eksisterer ikke - tross alt kan retningene deres være forskjellige. Bare vektorlengder kan sammenlignes.

Men det er et begrep om likhet for vektorer.
Lik vektorer som har samme lengde og samme retning kalles. Dette betyr at vektoren kan overføres parallelt med seg selv til et hvilket som helst punkt i planet.
Enkelt er en vektor med lengde 1. Null er en vektor hvis lengde er null, det vil si at begynnelsen faller sammen med slutten.

Det er mest praktisk å jobbe med vektorer i et rektangulært koordinatsystem - det samme som vi tegner funksjonsgrafer i. Hvert punkt i koordinatsystemet tilsvarer to tall - dets x- og y-koordinater, abscisse og ordinat.
Vektoren er også spesifisert av to koordinater:

Her er koordinatene til vektoren skrevet i parentes - i x og y.
De finnes ganske enkelt: koordinaten til slutten av vektoren minus koordinaten til begynnelsen.

Hvis vektorkoordinatene er gitt, blir lengden funnet av formelen

Vektor tillegg

Det er to måter å legge til vektorer på.

1 . Parallelogramregel. For å legge til vektorene og plasserer vi opprinnelsen til begge på samme punkt. Vi bygger opp til et parallellogram og fra samme punkt tegner vi en diagonal av parallellogrammet. Dette vil være summen av vektorene og .

Husker du fabelen om svanen, sjøkreps og gjedde? De prøvde veldig hardt, men de flyttet aldri vogna. Tross alt var vektorsummen av kreftene de påførte vogna lik null.

2. Den andre måten å legge til vektorer på er trekantregelen. La oss ta de samme vektorene og . Vi legger til begynnelsen av den andre til slutten av den første vektoren. La oss nå koble begynnelsen av den første og slutten av den andre. Dette er summen av vektorene og .

Ved å bruke samme regel kan du legge til flere vektorer. Vi arrangerer dem etter hverandre, og kobler deretter begynnelsen av den første til slutten av den siste.

Tenk deg at du går fra punkt A til punkt B, fra B til C, fra C til D, deretter til E og til F. Sluttresultatet av disse handlingene er bevegelse fra A til F.

Når du legger til vektorer, får vi:

Vektor subtraksjon

Vektoren er rettet motsatt av vektoren. Lengdene på vektorene og er like.

Nå er det klart hva vektorsubtraksjon er. Vektorforskjellen og er summen av vektoren og vektoren.

Multiplisere en vektor med et tall

Når en vektor multipliseres med tallet k, oppnås en vektor hvis lengde er k ganger forskjellig fra lengden . Det er codirectional med vektoren hvis k er større enn null, og motsatt hvis k er mindre enn null.

Punktprodukt av vektorer

Vektorer kan multipliseres ikke bare med tall, men også med hverandre.

Skalarproduktet av vektorer er produktet av lengdene til vektorene og cosinus til vinkelen mellom dem.

Vær oppmerksom på at vi multipliserte to vektorer, og resultatet ble en skalar, det vil si et tall. For eksempel, i fysikk er mekanisk arbeid lik skalarproduktet av to vektorer - kraft og forskyvning:

Hvis vektorene er vinkelrette, er deres skalarprodukt null.
Og dette er hvordan skalarproduktet uttrykkes gjennom koordinatene til vektorene og:

Fra formelen for skalarproduktet kan du finne vinkelen mellom vektorene:

Denne formelen er spesielt praktisk i stereometri. For eksempel, i oppgave 14 av Profile Unified State-eksamen i matematikk, må du finne vinkelen mellom kryssende linjer eller mellom en rett linje og et plan. Oppgave 14 løses ofte flere ganger raskere ved bruk av vektormetoden enn ved bruk av klassisk metode.

I læreplanen for skolematematikk undervises det kun i skalarproduktet av vektorer.
Det viser seg at det i tillegg til skalarproduktet også finnes et vektorprodukt, når resultatet av å multiplisere to vektorer er en vektor. Alle som tar Unified State-eksamen i fysikk vet hva Lorentz-styrken og Ampere-styrken er. Formlene for å finne disse kreftene inkluderer vektorprodukter.

Vektorer er et veldig nyttig matematisk verktøy. Du vil se dette i ditt første år.

VEKTOR
I fysikk og matematikk er en vektor en størrelse som er preget av sin numeriske verdi og retning. I fysikk er det mange viktige størrelser som er vektorer, for eksempel kraft, posisjon, hastighet, akselerasjon, dreiemoment, momentum, elektrisk og magnetisk feltstyrke. De kan kontrasteres med andre størrelser som masse, volum, trykk, temperatur og tetthet, som kan beskrives med et vanlig tall og kalles "skalarer". Vektornotasjon brukes når man arbeider med mengder som ikke kan spesifiseres fullstendig ved bruk av vanlige tall. For eksempel ønsker vi å beskrive posisjonen til et objekt i forhold til et punkt. Vi kan fortelle hvor mange kilometer en gjenstand er fra et punkt, men vi kan ikke helt bestemme plasseringen før vi vet retningen den befinner seg i. Dermed er plasseringen av et objekt preget av en numerisk verdi (avstand i kilometer) og retning. Grafisk er vektorer avbildet som rettede rette segmenter av en viss lengde, som i fig. 1. For eksempel, for å grafisk representere en kraft på fem kilo, må du tegne et rett linjesegment som er fem enheter langt i kraftens retning. Pilen indikerer at kraften virker fra A til B; hvis kraften virket fra B til A, ville vi skrevet eller For enkelhets skyld er vektorer vanligvis merket med store bokstaver (A, B, C, og så videre); vektorene A og -A har like numeriske verdier, men motsatt i retning. Den numeriske verdien til vektoren A kalles modulen eller lengden og er betegnet A eller |A|. Denne mengden er selvfølgelig en skalar. En vektor hvis begynnelse og slutt faller sammen kalles null og er betegnet med O.

To vektorer kalles like (eller frie) hvis deres størrelser og retninger faller sammen. I mekanikk og fysikk må denne definisjonen imidlertid brukes med forsiktighet, siden to like krefter påført forskjellige punkter på kroppen generelt vil føre til forskjellige resultater. I denne forbindelse er vektorer delt inn i "koblet" eller "glidende", som følger: Tilkoblede vektorer har faste brukspunkter. For eksempel indikerer en radiusvektor posisjonen til et punkt i forhold til en fast opprinnelse. Sammenkoblede vektorer anses som like hvis de ikke bare har samme moduler og retninger, men de har også et felles brukspunkt. Glidende vektorer er vektorer som er like med hverandre og plassert på samme rette linje.
Vektor tillegg. Ideen om vektoraddisjon kommer fra ideen om at vi kan finne en enkelt vektor som har samme effekt som to andre vektorer kombinert. Hvis vi, for å komme til et bestemt punkt, først må gå A kilometer i én retning og deretter B kilometer i den andre retningen, så kan vi nå vårt siste punkt ved å gå C kilometer i tredje retning (fig. 2). . Slik sett kan man si det

A + B = C.
Vektoren C kalles "resulterende vektor" til A og B, og er gitt ved konstruksjonen vist i figuren; et parallellogram er konstruert på vektorene A og B som sider, og C er en diagonal som forbinder begynnelsen av A og slutten av B. Fra fig. 2 er det klart at tilsetningen av vektorer er "kommutativ", dvs. A + B = B + A. På lignende måte kan du legge til flere vektorer, sekvensielt koble dem i en "kontinuerlig kjede", som vist i fig. 3 for tre vektorer D, E og F. Fra fig. 3 er det også klart at

(D + E) + F = D + (E + F), dvs. addisjon av vektorer er assosiativ. Et hvilket som helst antall vektorer kan summeres, og vektorene trenger ikke nødvendigvis å ligge i samme plan. Subtraksjon av vektorer er representert som addisjon med en negativ vektor. For eksempel, A - B = A + (-B), hvor, som definert tidligere, -B er en vektor lik B i størrelsesorden, men motsatt i retning. Denne addisjonsregelen kan nå brukes som et reelt kriterium for å sjekke om en mengde er en vektor eller ikke. Bevegelser er vanligvis underlagt betingelsene i denne regelen; det samme kan sies om hastigheter; kreftene summerer seg på samme måte som man kan se fra "krefttrekanten". Noen mengder som har både numeriske verdier og retninger overholder imidlertid ikke denne regelen, og kan derfor ikke betraktes som vektorer. Et eksempel er endelige rotasjoner.
Multiplisere en vektor med en skalar. Produktet mA eller Am, der m (m # 0) er en skalar og A er en vektor som ikke er null, er definert som en annen vektor som er m ganger lengre enn A og har samme retning som A hvis m er positiv, og det motsatte retning hvis m negativ, som vist i fig. 4, hvor m er henholdsvis 2 og -1/2. I tillegg er 1A = A, dvs. Når det multipliseres med 1, endres ikke vektoren. Mengden -1A er en vektor lik A i lengde, men motsatt i retning, vanligvis skrevet som -A. Hvis A er en nullvektor og/eller m = 0, så er mA en nullvektor. Multiplikasjon er distributiv, dvs.

Vi kan legge til et hvilket som helst antall vektorer, og rekkefølgen på leddene påvirker ikke resultatet. Det motsatte er også sant: enhver vektor kan dekomponeres i to eller flere "komponenter", dvs. inn i to eller flere vektorer, som, når de legges til, gir den opprinnelige vektoren som resultat. For eksempel, i fig. 2, A og B er komponenter av C. Mange matematiske operasjoner med vektorer forenkles hvis vektoren dekomponeres i tre komponenter langs tre innbyrdes vinkelrette retninger. La oss velge et høyrehendt kartesisk koordinatsystem med aksene Ox, Oy og Oz som vist i fig. 5. Med høyrehendt koordinatsystem mener vi at x-, y- og z-aksene er plassert slik henholdsvis tommel-, pekefinger- og langfinger på høyre hånd kan plasseres. Fra ett høyrehendt koordinatsystem er det alltid mulig å få et annet høyrehendt koordinatsystem ved passende rotasjon. I fig. 5, er dekomponeringen av vektor A i tre komponenter vist, og de summeres til vektor A, siden

Derfor,

Man kan også først legge til og få og så legge til. Projeksjonene av vektor A på de tre koordinataksene som er betegnet Axe, Ay og Az kalles "skalarkomponentene" til vektor A:

hvor a, b og g er vinklene mellom A og de tre koordinataksene. Nå introduserer vi tre vektorer med enhetslengde i, j og k (enhetsvektorer) som har samme retning som de tilsvarende aksene x, y og z. Så, hvis Axe multipliseres med i, er det resulterende produktet en vektor lik og

To vektorer er like hvis og bare hvis deres tilsvarende skalarkomponenter er like. Dermed er A = B hvis og bare hvis Ax = Bx, Ay = By, Az = Bz. To vektorer kan legges til ved å legge til komponentene deres:

I tillegg, ifølge Pythagoras teorem:

Lineære funksjoner. Uttrykket aA + bB, hvor a og b er skalarer, kalles en lineær funksjon av vektorene A og B. Det er en vektor i samme plan som A og B; hvis A og B ikke er parallelle, så når a og b endres, vil vektoren aA + bB bevege seg over hele planet (fig. 6). Hvis A, B og C ikke alle ligger i samme plan, beveger vektoren aA + bB + cC (a, b og c endres) seg gjennom hele rommet. Anta at A, B og C er enhetsvektorene til i, j og k. Vektor ai ligger på x-aksen; vektoren ai + bj kan bevege seg gjennom hele xy-planet; vektoren ai + bj + ck kan bevege seg gjennom hele rommet.

Man kunne velge fire innbyrdes perpendikulære vektorer i, j, k og l og definere den firedimensjonale vektoren som mengden A = Axi + Ayj + Azk + Awl
med lengde

og man kan fortsette til fem, seks eller et hvilket som helst antall dimensjoner. Selv om det er umulig å visuelt representere en slik vektor, oppstår ingen matematiske vanskeligheter her. En slik post er ofte nyttig; for eksempel er tilstanden til en partikkel i bevegelse beskrevet av en seksdimensjonal vektor P (x, y, z, px, py, pz), hvis komponenter er dens posisjon i rommet (x, y, z) og momentum (px, py, pz). Et slikt rom kalles "faserom"; hvis vi vurderer to partikler, så er faserommet 12-dimensjonalt, hvis det er tre, så 18-dimensjonalt, og så videre. Antall dimensjoner kan økes ubegrenset; Dessuten oppfører mengdene vi skal forholde oss til omtrent på samme måte som de vi vil vurdere i resten av denne artikkelen, nemlig tredimensjonale vektorer.
Multiplisere to vektorer. Regelen for å legge til vektorer ble utledet ved å studere oppførselen til mengder representert av vektorer. Det er ingen åpenbar grunn til at to vektorer ikke kunne multipliseres på en eller annen måte, men denne multiplikasjonen vil bare gi mening hvis den kan vises å være matematisk gyldig; i tillegg er det ønskelig at verket har en viss fysisk betydning. Det er to måter å multiplisere vektorer som oppfyller disse betingelsene. Resultatet av en av dem er en skalar, et slikt produkt kalles "punktproduktet" eller "indre produkt" av to vektorer og er skrevet AÇB eller (A, B). Resultatet av en annen multiplikasjon er en vektor kalt "kryssproduktet" eller "ytre produkt" og skrives A*B eller []. Punktprodukter har en fysisk betydning for én, to eller tre dimensjoner, mens kryssprodukter kun er definert for tre dimensjoner.
Dot produkter. Hvis, under påvirkning av en kraft F, punktet som det påføres beveger seg en avstand r, så er arbeidet som gjøres lik produktet av r og komponenten av F i retning av r. Denne komponenten er lik F cos bF, rc, hvor bF, rc er vinkelen mellom F og r, dvs. Utført arbeid = Fr cos bF, rs. Dette er et eksempel på den fysiske begrunnelsen av skalarproduktet definert for to vektorer A, B ved hjelp av formelen
A*B = AB cos bA, Bc.
Siden alle mengder på høyre side av ligningen er skalarer, så er A*B = B*A; derfor er skalar multiplikasjon kommutativ. Skalar multiplikasjon har også den distributive egenskapen: A*(B + C) = A*B + A*C. Hvis vektorene A og B er vinkelrette, så er cos bA, Bc null, og derfor er A*B = 0, selv om verken A eller B er null. Dette er grunnen til at vi ikke kan dele med en vektor. Anta at vi deler begge sider av ligningen A*B = A*C med A. Dette ville gi B = C, og hvis divisjon kunne gjøres, ville denne likheten være det eneste mulige resultatet. Men hvis vi omskriver ligningen A*B = A*C som A*(B - C) = 0 og husker at (B - C) er en vektor, så er det klart at (B - C) ikke nødvendigvis er null og derfor må B ikke være lik C. Disse motstridende resultatene viser at vektordeling ikke er mulig. Skalarproduktet gir en annen måte å skrive den numeriske verdien (modulen) til en vektor på: A*A = AA*cos 0° = A2;
Derfor

Det skalare produktet kan skrives på en annen måte. For å gjøre dette, husk at: A = Ax i + Ayj + Azk. Legg merke til det

Deretter,

Siden den siste ligningen inneholder x, y og z som abonnenter, ser det ut til at ligningen avhenger av det bestemte koordinatsystemet som er valgt. Dette er imidlertid ikke tilfelle, som det fremgår av definisjonen, som ikke er avhengig av de valgte koordinataksene.
Vektor fungerer. En vektor eller ytre produkt av vektorer er en vektor hvis modul er lik produktet av modulene deres med sinusen til vinkelen vinkelrett på de opprinnelige vektorene og sammen med dem utgjør en høyre trippel. Dette produktet introduseres lettest ved å vurdere forholdet mellom hastighet og vinkelhastighet. Den første er en vektor; vi skal nå vise at sistnevnte også kan tolkes som en vektor. Vinkelhastigheten til et roterende legeme bestemmes som følger: velg et hvilket som helst punkt på kroppen og tegn en vinkelrett fra dette punktet til rotasjonsaksen. Da er vinkelhastigheten til kroppen antallet radianer som denne linjen roterer med per tidsenhet. Hvis vinkelhastigheten er en vektor, må den ha en numerisk verdi og en retning. Den numeriske verdien er uttrykt i radianer per sekund, retningen kan velges langs rotasjonsaksen, den kan bestemmes ved å rette vektoren i retningen som høyre propell vil bevege seg når den roterer med kroppen. Tenk på rotasjonen av et legeme rundt en fast akse. Hvis vi installerer denne aksen inne i en ring, som igjen er festet til en akse satt inn i en annen ring, kan vi rotere kroppen inne i den første ringen med vinkelhastighet w1 og deretter få den indre ringen (og kroppen) til å rotere med vinkelhastigheten w2. Figur 7 forklarer poenget; sirkulære piler indikerer rotasjonsretningen. Denne kroppen er en solid kule med senter O og radius r.

Ris. 7. EN KULE MED SENTRUM O roterer med vinkelhastighet w1 inne i ringen BC, som igjen roterer inne i ringen DE med vinkelhastighet w2. Kulen roterer med en vinkelhastighet lik summen av vinkelhastighetene og alle punkter på den rette linjen POP" er i en tilstand av øyeblikkelig hvile.

La oss gi denne kroppen en bevegelse som er summen av to forskjellige vinkelhastigheter. Denne bevegelsen er ganske vanskelig å visualisere, men det er ganske åpenbart at kroppen ikke lenger roterer om en fast akse. Imidlertid kan vi fortsatt si at den roterer. For å vise dette, la oss velge et bestemt punkt P på overflaten av kroppen, som i det øyeblikket vi vurderer er plassert på en storsirkel som forbinder punktene der to akser skjærer overflaten av sfæren. La oss slippe perpendikulære fra P til aksen. Disse perpendikulære vil bli radiene PJ og PK til henholdsvis sirklene PQRS og PTUW. La oss tegne en rett linje POPў som går gjennom midten av sfæren. Nå beveger punktet P seg, i det aktuelle tidspunktet, samtidig langs sirkler som berører punktet P. Over et kort tidsintervall Dt beveger P seg en avstand

Denne avstanden er null if

I dette tilfellet er punktet P i en tilstand av øyeblikkelig hvile, og på samme måte er alle punkter på den rette linjen POP. Resten av sfæren vil være i bevegelse (sirklene som andre punkter beveger seg langs, berører ikke, men krysser hverandre). POPў er derfor øyeblikkelig rotasjonsakse for sfæren, akkurat som et hjul som ruller langs veien i hvert øyeblikk roterer rundt sitt laveste punkt. Hva er vinkelhastigheten til sfæren? La oss for enkelhets skyld velge punkt A hvor aksen w1 skjærer overflaten. I det tidsøyeblikket vi vurderer, beveger den seg i tid Dt med en avstand

I en sirkel med radius r sin w1. Per definisjon, vinkelhastighet

Fra denne formelen og relasjonen (1) får vi

Med andre ord, hvis du skriver ned en numerisk verdi og velger retningen til vinkelhastigheten som beskrevet ovenfor, så summerer disse størrelsene seg som vektorer og kan betraktes som sådan. Nå kan du legge inn kryssproduktet; Tenk på et legeme som roterer med vinkelhastighet w. La oss velge et hvilket som helst punkt P på kroppen og hvilken som helst opprinnelse O, som er plassert på rotasjonsaksen. La r være en vektor rettet fra O til P. Punkt P beveger seg i en sirkel med hastighet V = w r sin (w, r). Hastighetsvektoren V er tangent til sirkelen og peker i retningen vist i fig. 8.

Denne ligningen gir avhengigheten av hastigheten V til et punkt på kombinasjonen av to vektorer w og r. Vi bruker dette forholdet til å bestemme en ny type produkt og skriver: V = w * r. Siden resultatet av en slik multiplikasjon er en vektor, kalles dette produktet et vektorprodukt. For alle to vektorer A og B, hvis A * B = C, så er C = AB sin bA, Bc, og retningen til vektor C er slik at den er vinkelrett på planet som går gjennom A og B og peker i retningen som sammenfaller med bevegelsesretningen til høyreskruen hvis den er parallell med C og roterer fra A til B. Med andre ord kan vi si at A, B og C, ordnet i denne rekkefølgen, danner et høyrehendt sett med koordinatakser. Kryssproduktet er antikommutativt; vektoren B * A har samme modul som A * B, men er rettet i motsatt retning: A * B = -B * A. Dette produktet er distributivt, men ikke assosiativt; det kan bevises

La oss se hvordan vektorproduktet er skrevet når det gjelder komponenter og enhetsvektorer. Først av alt, for enhver vektor A, A * A = AA sin 0 = 0.
Derfor, i tilfelle av enhetsvektorer, i * i = j * j = k * k = 0 og i * j = k, j * k = i, k * i = j. Deretter,

Denne likheten kan også skrives som en determinant:

Hvis A * B = 0, er enten A eller B lik 0, eller A og B er kollineære. Således, som med punktproduktet, er deling med en vektor ikke mulig. Verdien A * B er lik arealet av et parallellogram med sidene A og B. Dette er lett å se, siden B sin bA, Bс er høyden og A er basen. Det er mange andre fysiske mengder som er kryssprodukter. Et av de viktigste kryssproduktene dukker opp i teorien om elektromagnetisme og kalles Pekevektoren P. Denne vektoren er gitt ved: P = E * H, hvor E og H er henholdsvis elektriske og magnetiske feltvektorer. Vektor P kan tenkes på som en gitt energistrøm i watt per kvadratmeter til enhver tid. La oss gi noen flere eksempler: kraftmomentet F (moment) i forhold til opprinnelsen til koordinatene som virker på et punkt hvis radiusvektor r er definert som r * F; en partikkel lokalisert ved punkt r, med masse m og hastighet V, har vinkelmomentum mr * V i forhold til origo; kraften som virker på en partikkel som bærer en elektrisk ladning q gjennom et magnetfelt B med en hastighet V er qV * B.
Trippel fungerer. Fra tre vektorer kan vi danne følgende trippelprodukter: vektor (A*B) * C; vektor (A * B) * C; skalar (A * B)*C. Den første typen er produktet av en vektor C og en skalar A*B; Vi har allerede snakket om slike arbeider. Den andre typen kalles dobbeltkryssproduktet; vektoren A * B er vinkelrett på planet der A og B ligger, og derfor er (A * B) * C en vektor som ligger i planet til A og B og vinkelrett på C. Derfor, generelt, (A * B) ) * C er ikke lik A * (B * C). Ved å skrive A, B og C i form av deres koordinater (komponenter) langs x-, y- og z-aksene og multiplisere, kan vi vise at A * (B * C) = B * (A*C) - C * (A) *B). Den tredje typen produkt, som oppstår i gitterberegninger i faststofffysikk, er numerisk lik volumet til et parallellepiped med kantene A, B, C. Siden (A * B)*C = A*(B * C), tegnene på skalar- og vektormultiplikasjoner kan være bytteplasser, og stykket skrives ofte som (A B C). Dette produktet er lik determinanten

Merk at (A B C) = 0 hvis alle tre vektorene ligger i samme plan eller hvis A = 0 eller (og) B = 0 eller (og) C = 0.
VEKTORDIFFERENSIERING
Anta at vektoren U er en funksjon av én skalarvariabel t. For eksempel kan U være radiusvektoren trukket fra origo til det bevegelige punktet, og t kan være tiden. La t endre seg med en liten mengde Dt, noe som vil føre til en endring i U med DU. Dette er vist i fig. 9. Forholdet DU/Dt er en vektor rettet i samme retning som DU. Vi kan definere den deriverte av U med hensyn til t as

forutsatt at en slik grense eksisterer. På den annen side kan vi representere U som summen av komponenter langs tre akser og skrive

Hvis U er radiusvektoren r, så er dr/dt hastigheten til punktet uttrykt som en funksjon av tiden. Å differensiere med hensyn til tid igjen, får vi akselerasjon. La oss anta at punktet beveger seg langs kurven vist i fig. 10. La oss være avstanden tilbakelagt av et punkt langs en kurve. I løpet av et lite tidsintervall Dt vil punktet reise en avstand Ds langs kurven; posisjonen til radiusvektoren vil endres til Dr. Derfor er Dr/Ds en vektor rettet som Dr. Lengre

Vector Dr - endring i radiusvektor.

er en enhetsvektor som tangerer kurven. Dette kan sees av det faktum at når punktet Q nærmer seg punktet P, nærmer PQ tangenten og Dr nærmer seg Ds. Formlene for å differensiere et produkt ligner på formlene for å differensiere produktet av skalarfunksjoner; siden kryssproduktet er antikommutativt, må imidlertid multiplikasjonsrekkefølgen bevares. Derfor,

Dermed ser vi at hvis en vektor er en funksjon av en skalarvariabel, så kan vi representere den deriverte på omtrent samme måte som i tilfellet med en skalarfunksjon.
Vektor- og skalarfelt. Gradient. I fysikk må man ofte forholde seg til vektor- eller skalarmengder som varierer fra punkt til punkt i en gitt region. Slike områder kalles "felt". For eksempel kan skalaren være temperatur eller trykk; vektoren kan være hastigheten til et fluid i bevegelse eller det elektrostatiske feltet til et ladningssystem. Hvis vi har valgt et bestemt koordinatsystem, tilsvarer et hvilket som helst punkt P (x, y, z) i et gitt område en viss radiusvektor r (= xi + yj + zk) og også verdien av vektormengden U (r ) eller skalar f (r) assosiert med det. La oss anta at U og f er unikt definert i domenet; de. Hvert punkt tilsvarer én og bare én U- eller f-verdi, selv om forskjellige punkter selvfølgelig kan ha forskjellige verdier. La oss si at vi ønsker å beskrive hastigheten som U og f endres med når vi beveger oss gjennom dette området. Enkle partielle deriverte, som dU/dx og df/dy, passer ikke oss, fordi de er avhengige av de spesifikt valgte koordinataksene. Det er imidlertid mulig å innføre en vektordifferensialoperator uavhengig av valg av koordinatakser; denne operatoren kalles en "gradient". La oss ta for oss et skalarfelt f. Først, som et eksempel, bør du vurdere et konturkart over en region i landet. I dette tilfellet er f høyden over havet; konturlinjer forbinder punkter med samme f-verdi. Når du beveger deg langs noen av disse linjene, endres ikke f; hvis du beveger deg vinkelrett på disse linjene, vil endringshastigheten til f være maksimal. Vi kan assosiere til hvert punkt en vektor som indikerer størrelsen og retningen til den maksimale endringen i hastighet f; et slikt kart og noen av disse vektorene er vist i fig. 11. Hvis vi gjør dette for hvert punkt i feltet, får vi et vektorfelt assosiert med et skalarfelt f. Dette er feltet til en vektor kalt "gradienten" f, som er skrevet som grad f eller Cf (symbolet C kalles også "nabla").

Ved tre dimensjoner blir konturlinjer overflater. Et lite skift Dr (= iDx + jDy + kDz) fører til en endring i f, som skrives som

der prikkene indikerer termer av høyere orden. Dette uttrykket kan skrives som et skalarprodukt

La oss dele høyre og venstre side av denne likheten med Ds, og la Ds ha en tendens til null; Deretter

hvor dr/ds er enhetsvektoren i den valgte retningen. Uttrykket i parentes er en vektor avhengig av det valgte punktet. Dermed har df/ds en maksimal verdi når dr/ds peker i samme retning, uttrykket i parentes er gradienten. Dermed,

- en vektor lik i størrelse og sammenfallende i retning med maksimal endringshastighet f i forhold til koordinatene. Gradienten f skrives ofte som

Dette betyr at operatør C eksisterer alene. I mange tilfeller oppfører den seg som en vektor og er faktisk en "vektordifferensialoperator" - en av de viktigste differensialoperatorene i fysikk. Til tross for at C inneholder enhetsvektorene i, j og k, avhenger ikke dens fysiske betydning av det valgte koordinatsystemet. Hva er forholdet mellom Cf og f? Først av alt, anta at f bestemmer potensialet på et hvilket som helst punkt. For enhver liten forskyvning Dr, vil verdien av f endres med

Hvis q er en mengde (for eksempel masse, ladning) flyttet av Dr, så er arbeidet utført når q flyttes med Dr.

Siden Dr er forskyvning, så er qСf kraft; -Cf er spenningen (kraften per enhetsmengde) assosiert med f. La for eksempel U være det elektrostatiske potensialet; da er E den elektriske feltstyrken, gitt av formelen E = -CU. La oss anta at U er skapt av en elektrisk punktladning av q coulombs plassert ved origo. Verdien av U i punktet P (x, y, z) med radiusvektor r er gitt av

Hvor e0 er den dielektriske konstanten til ledig plass. Derfor

hvorav det følger at E virker i retningen r og dens størrelse er lik q/(4pe0r3). Når vi kjenner skalarfeltet, kan vi bestemme vektorfeltet knyttet til det. Det motsatte er også mulig. Fra et synspunkt av matematisk prosessering er skalarfelt lettere å betjene enn vektorer, siden de er spesifisert av en enkelt koordinatfunksjon, mens et vektorfelt krever tre funksjoner som tilsvarer vektorkomponentene i tre retninger. Så spørsmålet oppstår: gitt et vektorfelt, kan vi skrive ned det tilhørende skalarfeltet?
Divergens og rotor. Vi så resultatet av at C virket på en skalarfunksjon. Hva skjer når C brukes på en vektor? Det er to muligheter: la U(x, y, z) være en vektor; så kan vi danne kryssproduktet og skalarproduktet som følger:

Det første av disse uttrykkene er en skalar kalt divergensen til U (betegnet divU); den andre er en vektor kalt rotoren U (betegnet rotU). Disse differensialfunksjonene, divergens og krølling, er mye brukt i matematisk fysikk. Tenk deg at U er en vektor og at den og dens første derivater er kontinuerlige i et område. La P være et punkt i dette området omgitt av en liten lukket overflate S som avgrenser volumet DV. La n være en enhetsvektor vinkelrett på denne overflaten ved hvert punkt (n endrer retning når den beveger seg rundt overflaten, men har alltid lengdeenhet); la n peke utover. La oss vise det

Her indikerer S at disse integralene er tatt over hele overflaten, da er et element av overflaten S. For enkelhets skyld vil vi velge den praktiske formen til S i form av et lite parallellepipedum (som vist i fig. 12) med sider Dx, Dy og Dz; punktet P er sentrum av parallellepipedet. La oss beregne integralet fra ligning (4) først over en side av parallellepipedet. For frontflaten n = i (enhetsvektoren er parallell med x-aksen); Da = DyDz. Bidraget til integralet fra frontflaten er lik

På motsatt side n = -i; dette ansiktet bidrar til integralet

Ved å bruke Taylors teorem får vi det totale bidraget fra de to ansiktene

Merk at DxDyDz = DV. På lignende måte kan du beregne bidraget fra de to andre ansiktsparene. Det totale integralet er lik

og hvis vi setter DV(r) 0, forsvinner termene av høyere orden. I følge formel (2) er uttrykket i parentes divU, som beviser likhet (4). Likestilling (5) kan bevises på samme måte. La oss bruke Fig. igjen. 12; da vil bidraget fra frontflaten til integralet være lik

Og ved å bruke Taylors teorem finner vi at det totale bidraget til integralet fra de to flatene har formen

de. dette er to ledd fra uttrykket for rotU i ligning (3). De fire andre terminene er oppnådd etter å ha tatt hensyn til bidragene fra de fire andre ansiktene. Hva betyr egentlig disse forholdstallene? La oss vurdere likhet (4). La oss anta at U er hastigheten (for en væske, for eksempel). Da er nНU da = Un da, hvor Un er normalkomponenten av vektoren U til overflaten. Derfor er Un da volumet av væske som strømmer gjennom da per tidsenhet, og er volumet av væske som strømmer gjennom S per tidsenhet. Derfor,

Ekspansjonshastigheten til et enhetsvolum rundt punkt P. Det er her divergens får navnet sitt; den viser hastigheten med hvilken fluidet ekspanderer ut av (dvs. divergerer fra) P. For å forklare den fysiske betydningen av rotoren U, betrakt en annen overflateintegral over et lite sylindrisk volum med høyde h som omgir punktet P; planparallelle overflater kan orienteres i hvilken som helst retning vi velger. La k være enhetsvektoren vinkelrett på hver overflate, og la arealet av hver overflate være DA; da er det totale volumet DV = hDA (fig. 13). La oss nå vurdere integralen

Integranden er det tidligere nevnte trippelskalarproduktet. Dette produktet vil være null på flate flater der k og n er parallelle. På en buet overflate

Der ds er elementet i kurven som vist i fig. 13. Ved å sammenligne disse likhetene med relasjon (5), får vi det

Vi antar fortsatt at U er hastigheten. Hva vil i dette tilfellet være den gjennomsnittlige vinkelhastigheten til væsken rundt k? Det er åpenbart det

hvis DA ikke er 0. Dette uttrykket er maksimalt når k og rotU peker i samme retning; dette betyr at rotU er en vektor lik to ganger vinkelhastigheten til væsken i punktet P. Hvis væsken roterer i forhold til P, så rotU #0, og U-vektorene vil rotere rundt P. Det er her navnet rotor kommer fra. Divergensteoremet (Ostrogradsky-Gauss-teoremet) er en generalisering av formel (4) for endelige volumer. Den sier at for noe volum V avgrenset av en lukket overflate S,

Og den er gyldig for alle kontinuerlige vektorfunksjoner U som har kontinuerlige førstederiverte overalt i V og på S. Vi vil ikke gi et bevis på denne teoremet her, men dens gyldighet kan forstås intuitivt ved å forestille seg volumet V delt inn i celler. Fluksen U gjennom en overflate som er felles for to celler, forsvinner, og bare celler plassert på grensen S vil bidra til overflateintegralet. Stokes' teorem er en generalisering av ligning (6) for endelige overflater. Det hevder hun

Innholdet i artikkelen

VEKTOR. I fysikk og matematikk er en vektor en størrelse som er preget av sin numeriske verdi og retning. I fysikk er det mange viktige størrelser som er vektorer, for eksempel kraft, posisjon, hastighet, akselerasjon, dreiemoment, momentum, elektrisk og magnetisk feltstyrke. De kan kontrasteres med andre størrelser som masse, volum, trykk, temperatur og tetthet, som kan beskrives med et vanlig tall, og kalles "skalarer".

Vektornotasjon brukes når man arbeider med mengder som ikke kan spesifiseres fullstendig ved bruk av vanlige tall. For eksempel ønsker vi å beskrive posisjonen til et objekt i forhold til et punkt. Vi kan fortelle hvor mange kilometer en gjenstand er fra et punkt, men vi kan ikke helt bestemme plasseringen før vi vet retningen den befinner seg i. Dermed er plasseringen av et objekt preget av en numerisk verdi (avstand i kilometer) og retning.

Grafisk er vektorer avbildet som rettede rette segmenter av en viss lengde, som i fig. 1. For eksempel, for å grafisk representere en kraft på fem kilo, må du tegne et rett linjesegment som er fem enheter langt i kraftens retning. Pilen indikerer at kraften virker fra EN Til B; hvis kraften virket fra B Til EN, så ville vi skrive eller . For enkelhets skyld er vektorer vanligvis merket med fete store bokstaver ( EN, B, C og så videre); vektorer EN Og - EN har like numeriske verdier, men motsatt i retning. Numerisk verdi av vektoren EN kalt modul eller lengde og er utpekt EN eller | EN|. Denne mengden er selvfølgelig en skalar. En vektor hvis begynnelse og slutt faller sammen kalles null og er betegnet O.

De to vektorene kalles lik(eller gratis), hvis deres moduler og retninger faller sammen. I mekanikk og fysikk må denne definisjonen imidlertid brukes med forsiktighet, siden to like krefter påført forskjellige punkter på kroppen generelt vil føre til forskjellige resultater. I denne forbindelse er vektorer delt inn i "koblet" eller "glidende", som følger:

Relaterte vektorer har faste søknadspunkter. For eksempel indikerer en radiusvektor posisjonen til et punkt i forhold til en fast opprinnelse. Sammenkoblede vektorer anses som like hvis de ikke bare har samme moduler og retninger, men de har også et felles brukspunkt.

Glidende vektorer Vektorer som er like hverandre og plassert på samme rette linje kalles.

Vektor tillegg.

Ideen om vektoraddisjon kommer fra ideen om at vi kan finne en enkelt vektor som har samme effekt som to andre vektorer kombinert. Hvis for å komme til et visst punkt, må vi gå først EN kilometer i én retning og deretter B kilometer i den andre retningen, så kunne vi nå vårt siste punkt ved å gå C kilometer i tredje retning (fig. 2). Slik sett kan man si det

EN + B = C.

Vektor C kalles "den resulterende vektoren" EN Og B, det er gitt av konstruksjonen vist på figuren; på vektorer EN Og B hvordan et parallellogram er bygget på sidene, og C– diagonal som forbinder begynnelsen EN og slutten I. Fra fig. 2 er det klart at tilsetningen av vektorer er "kommutativ", dvs.

EN + B = B + EN.

På lignende måte kan du legge til flere vektorer, sekvensielt koble dem i en "kontinuerlig kjede", som vist i fig. 3 for tre vektorer D, E Og F. Fra fig. 3 er det også klart at

(D + E) + F = D+ (E+ F),

de. addisjon av vektorer er assosiativ. Et hvilket som helst antall vektorer kan summeres, og vektorene trenger ikke nødvendigvis å ligge i samme plan. Subtraksjon av vektorer er representert som addisjon med en negativ vektor. For eksempel,

EN – B = EN + (–B),

hvor, som definert tidligere, – B– vektor lik I modul, men motsatt i retning.

Denne addisjonsregelen kan nå brukes som et reelt kriterium for å sjekke om en mengde er en vektor eller ikke. Bevegelser er vanligvis underlagt betingelsene i denne regelen; det samme kan sies om hastigheter; kreftene summerer seg på samme måte som man kan se fra "krefttrekanten". Noen mengder som har både numeriske verdier og retninger overholder imidlertid ikke denne regelen, og kan derfor ikke betraktes som vektorer. Et eksempel er endelige rotasjoner.

Multiplisere en vektor med en skalar.

Arbeid mEN eller ENm, Hvor m (m nr. 0) er en skalar, og EN– ikke-null vektor, definert som en annen vektor som er i m ganger lengre EN og har samme retning som EN, hvis nummer m positiv, og motsatt hvis m negativ, som vist i fig. 4, hvor m lik henholdsvis 2 og –1/2. I tillegg, 1 EN = EN, dvs. Når det multipliseres med 1, endres ikke vektoren. Verdi –1 EN– vektor lik EN i lengde, men motsatt i retning, vanligvis skrevet som - EN. Hvis EN– null vektor og/eller m= 0, da mEN– null vektor. Multiplikasjon er distributiv, dvs.

Mange matematiske operasjoner med vektorer forenkles hvis vektoren dekomponeres i tre komponenter langs tre innbyrdes vinkelrette retninger. La oss velge et høyrehendt kartesisk koordinatsystem med akser Okse, Oy Og Oz som vist i fig. 5. Med høyrehendt koordinatsystem mener vi at aksene x, y Og z plassert på samme måte som tommel-, pekefinger- og langfinger på høyre hånd kan plasseres henholdsvis. Fra ett høyrehendt koordinatsystem er det alltid mulig å få et annet høyrehendt koordinatsystem ved passende rotasjon. I fig. 5, vektordekomponering vist EN i tre komponenter og . De legger sammen til en vektor EN, fordi

Du kan også først legge til og hente, og deretter legge til.

Vektorprojeksjoner EN på tre utpekte koordinatakser A x, A y Og A z kalles "skalarkomponentene" til vektoren EN:

Hvor en, b Og g– vinkler mellom EN og tre koordinatakser. Nå introduserer vi tre vektorer med lengdeenhet Jeg, j Og k(orter) som har samme retning som de tilsvarende aksene x, y Og z. Så hvis A x multiplisere med Jeg, da er det resulterende produktet en vektor lik , og

To vektorer er like hvis og bare hvis deres tilsvarende skalarkomponenter er like. Dermed, EN= B da og bare når A x = B x, A y = B y, A z = B z.

To vektorer kan legges til ved å legge til komponentene deres:

I tillegg, ifølge Pythagoras teorem:

Lineære funksjoner.

Uttrykk enEN + bB, Hvor en Og b- skalarer, kalt lineær funksjon vektorer EN Og B. Dette er en vektor som ligger i samme plan som EN Og B; Hvis EN Og B ikke er parallelle, da ved endring en Og b vektor enEN + bB vil bevege seg gjennom hele planet (fig. 6). Hvis EN, B Og C ikke alle ligger i samme plan, da vektoren enEN + bB + cC (en, b Og c endring) beveger seg gjennom hele rommet. La oss late som det EN, B Og C– enhetsvektorer Jeg, j Og k. Vektor enJeg ligger på aksen x; vektor enJeg + bj kan bevege seg over hele flyet xy; vektor enJeg + bj+ ck kan bevege seg gjennom hele rommet.

Man kunne velge fire innbyrdes vinkelrette vektorer Jeg, j, k Og l og definere en firedimensjonal vektor som mengden

EN =A xJeg+ A yj+ Azk +A wl

Multiplisere to vektorer.

Regelen for å legge til vektorer ble utledet ved å studere oppførselen til mengder representert av vektorer. Det er ingen åpenbar grunn til at to vektorer ikke kunne multipliseres på en eller annen måte, men denne multiplikasjonen vil bare gi mening hvis den kan vises å være matematisk gyldig; i tillegg er det ønskelig at verket har en viss fysisk betydning.

Det er to måter å multiplisere vektorer som oppfyller disse betingelsene. Resultatet av en av dem er en skalar, et slikt produkt kalles "punktproduktet" eller "indre produkt" av to vektorer og er skrevet EN H B eller ( EN, B). Resultatet av en annen multiplikasjon er en vektor kalt "kryssproduktet" eller "ytre produkt" og skrives ENґ B eller [ EN, B]. Punktprodukter har en fysisk betydning for én, to eller tre dimensjoner, mens kryssprodukter kun er definert for tre dimensjoner.

Dot produkter.

Hvis under påvirkning av en eller annen kraft F punktet den påføres beveger seg et stykke på r, da er arbeidet som er utført lik produktet r og komponenter F i retningen r. Denne komponenten er lik F fordi b F, r s, hvor b F, r c – vinkel mellom F Og r, dvs.

Arbeid utført = Fr fordi b F, r Med .

Dette er et eksempel på den fysiske begrunnelsen for skalarproduktet definert for to vektorer EN, B gjennom formelen

AC B =AB fordi b EN, B Med .

Siden alle mengder på høyre side av ligningen er skalarer, altså

EN H B = B H EN;

derfor er skalar multiplikasjon kommutativ.

Skalar multiplikasjon har også den distributive egenskapen:

EN H ( B + MED) = EN H B + EN H MED.

Hvis vektorene EN Og B er vinkelrett, så cos b EN, B c er lik null, og derfor EN H B= 0, selv om ingen av dem EN,eller B er ikke lik null. Dette er grunnen til at vi ikke kan dele med en vektor. La oss si at vi deler begge sider av ligningen EN H B= EN H C på EN. Dette ville gi B= C, og hvis deling kunne utføres, ville denne likheten være det eneste mulige resultatet. Men hvis vi omskriver ligningen EN H B= EN H C som EN H ( B – C) = 0 og husk at ( B – C) er en vektor, så er det klart at ( B – C) er ikke nødvendigvis null og derfor B skal ikke være lik C. Disse motstridende resultatene indikerer at vektordeling ikke er mulig.

Det skalare produktet gir en annen måte å skrive den numeriske verdien (modulen) til en vektor på:

EN H EN =A.A.H cos 0° = EN 2 ;

Det skalare produktet kan skrives på en annen måte. For å gjøre dette, husk at:

EN =A xJeg+ A yj+ Azk.

Siden den siste ligningen inneholder x, y Og z som subscripts, ser ligningen ut til å avhenge av det bestemte koordinatsystemet som er valgt. Dette er imidlertid ikke tilfelle, som man kan se fra en definisjon som er uavhengig av de valgte koordinataksene.

Vektor fungerer.

En vektor eller ytre produkt av vektorer er en vektor hvis modul er lik produktet av modulene deres med sinusen til vinkelen vinkelrett på de opprinnelige vektorene og sammen med dem utgjør en høyre trippel. Dette produktet introduseres lettest ved å vurdere forholdet mellom hastighet og vinkelhastighet. Den første er en vektor; vi skal nå vise at sistnevnte også kan tolkes som en vektor.

Vinkelhastigheten til et roterende legeme bestemmes som følger: velg et hvilket som helst punkt på kroppen og tegn en vinkelrett fra dette punktet til rotasjonsaksen. Da er vinkelhastigheten til kroppen antallet radianer som denne linjen roterer med per tidsenhet.

Hvis vinkelhastighet er en vektor, må den ha en numerisk verdi og retning. Den numeriske verdien er uttrykt i radianer per sekund, retningen kan velges langs rotasjonsaksen, den kan bestemmes ved å rette vektoren i retningen som høyre propell vil bevege seg når den roterer med kroppen.

Tenk på rotasjonen av et legeme rundt en fast akse. Hvis vi installerer denne aksen inne i en ring, som igjen er festet til en akse satt inn i en annen ring, kan vi rotere kroppen inne i den første ringen med vinkelhastighet w 1 og få den indre ringen (og kroppen) til å rotere med vinkelhastighet w 2. Figur 7 forklarer essensen av saken; sirkulære piler indikerer rotasjonsretningen. Denne kroppen er en solid kule med et senter OM og radius r.

La oss gi denne kroppen en bevegelse som er summen av to forskjellige vinkelhastigheter. Denne bevegelsen er ganske vanskelig å visualisere, men det er ganske åpenbart at kroppen ikke lenger roterer om en fast akse. Imidlertid kan vi fortsatt si at den roterer. For å vise dette, la oss velge et punkt P på overflaten av kroppen, som i det øyeblikket vi vurderer er på en storsirkel som forbinder punktene der to akser skjærer overflaten av sfæren. La oss slippe perpendikulærene fra P på aksen. Disse perpendikulære vil bli radier PYSJAMAS. Og PK sirkler PQRS Og PTUW hhv. La oss lage en direkte POPў passerer gjennom midten av sfæren. Nå er poenget P, i det aktuelle tidspunktet beveger seg samtidig langs sirkler som berører punktet P. For et kort tidsintervall D t, P beveger seg et stykke

Denne avstanden er null if

I dette tilfellet, poenget P er i en tilstand av øyeblikkelig hvile, og på samme måte peker alle på en rett linje POPў. Resten av kulen vil være i bevegelse (sirklene som andre punkter beveger seg langs, berører ikke, men krysser hverandre). POPў er derfor den øyeblikkelige rotasjonsaksen til kulen, akkurat som et hjul som ruller langs veien i hvert øyeblikk roterer i forhold til sitt laveste punkt.

Hva er vinkelhastigheten til kulen? For enkelhets skyld, la oss velge et punkt EN, der aksen w 1 skjærer overflaten. I det øyeblikket vi vurderer, beveger den seg i tid D t til en avstand

i en sirkel med radius r synd w 1. Per definisjon, vinkelhastighet

Fra denne formelen og relasjonen (1) får vi

Med andre ord, hvis du skriver ned en numerisk verdi og velger retningen til vinkelhastigheten som beskrevet ovenfor, så summerer disse størrelsene seg som vektorer og kan betraktes som sådan.

Nå kan du legge inn kryssproduktet; vurdere et legeme som roterer med vinkelhastighet w. La oss velge hvilket som helst punkt P på kroppen og enhver opprinnelse OM, som er plassert på rotasjonsaksen. La r– vektor rettet fra OM Til P. Punktum P beveger seg i en sirkel i hastighet

V = w r synd( w, r).

Hastighetsvektor V er tangent til sirkelen og peker i retningen vist i fig. 8.

Denne ligningen gir hastighetsavhengigheten V poeng fra en kombinasjon av to vektorer w Og r. Vi bruker dette forholdet til å bestemme en ny type produkt og skriver:

V= wґ r.

Siden resultatet av en slik multiplikasjon er en vektor, kalles dette produktet et vektorprodukt. For alle to vektorer EN Og B, Hvis

ENґ B= C,

C = AB synd b EN, B med,

og vektorretning C slik at den er vinkelrett på planet som går gjennom EN Og B og peker i retningen som sammenfaller med bevegelsesretningen til den med urviseren roterende propellen, hvis den er parallell C og roterer fra EN Til B. Det kan vi med andre ord si EN, B Og C, arrangert i denne rekkefølgen, danner det høyre settet med koordinatakser. Kryssproduktet er antikommutativt; vektor B ґ EN har samme modul som EN ґ B, men rettet i motsatt retning:

EN ґ B = –B ґ EN.

Dette arbeidet er distributivt, men ikke assosiativt; det kan bevises

La oss se hvordan vektorproduktet er skrevet når det gjelder komponenter og enhetsvektorer. Først av alt, for enhver vektor EN,

EN ґ EN = A.A. sin 0 = 0.

Derfor, når det gjelder enhetsvektorer,

Jegґ Jeg=jґ j=kґ k=0

Jeg ґ j=k, jґ k =Jeg, kґ Jeg=j.

Denne likheten kan også skrives som en determinant:

Hvis EN ґ B = 0 , da heller EN eller B er lik 0 , eller EN Og B kollineær. Således, som med punktproduktet, er deling med en vektor ikke mulig. Omfanget EN ґ B lik arealet til et parallellogram med sider EN Og B. Det er lett å se fordi B synd b EN, B c – høyden og EN– fundament.

Det er mange andre fysiske mengder som er kryssprodukter. Et av de viktigste vektorproduktene dukker opp i teorien om elektromagnetisme og kalles Pekevektoren P. Denne vektoren er gitt som følger:

P = E ґ H,

Hvor E Og H er vektorene til henholdsvis elektriske og magnetiske felt. Vektor P kan betraktes som en gitt strøm av energi i watt per kvadratmeter til enhver tid. La oss gi noen flere eksempler: kraftmoment F(moment) i forhold til origo som virker på et punkt hvis radiusvektor r, er definert som r ґ F; partikkel plassert i et punkt r, masse m og hastighet V, har vinkelmomentum mr ґ V i forhold til opprinnelsen; kraft som virker på en partikkel som bærer en elektrisk ladning q gjennom et magnetfelt B med fart V, Det er qV ґ B.

Trippel fungerer.

Fra tre vektorer kan vi danne følgende trippelprodukter: vektor ( EN H B) ґ C; vektor ( ENґ B)ґ C; skalar ( ENґ B)H C.

Den første typen er produktet av en vektor C og skalar EN H B; Vi har allerede snakket om slike arbeider. Den andre typen kalles dobbeltkryssproduktet; vektor ENґ B vinkelrett på planet der de ligger EN Og B, og derfor ( ENґ B)ґ C– vektor som ligger i flyet EN Og B og vinkelrett C. Derfor, i det generelle tilfellet, ( ENґ B)ґ C № ENґ (Bґ C). Etter å ha skrevet ned EN, B Og C gjennom deres koordinater (komponenter) langs aksene x, y Og z og multiplisere, vi kan vise det ENґ (Bґ C) = Bґ (EN H C) – Сґ ( EN H B). Den tredje typen produkt, som oppstår i gitterberegninger i faststofffysikk, er numerisk lik volumet til et parallellepiped med kanter EN, B, C. Fordi ( ENґ B)H C = EN H ( Bґ C), kan skalar- og vektormultiplikasjonstegnet byttes ut, og produktet skrives ofte som ( A B C). Dette produktet er lik determinanten

Legg merke til det ( A B C) = 0 hvis alle tre vektorene ligger i samme plan eller hvis EN = 0 eller/og I = 0 eller/og MED = 0 .

VEKTORDIFFERENSIERING

La oss anta at vektoren U er en funksjon av én skalarvariabel t. For eksempel, U kan være en radiusvektor trukket fra origo til det bevegelige punktet, og t- tid. La t vil endre seg med en liten mengde D t, som vil føre til en endring U med verdien D U. Dette er vist i fig. 9. Forhold D U/D t– vektor rettet i samme retning som D U. Vi kan definere den deriverte U Av t, Hvordan

forutsatt at en slik grense eksisterer. På den annen side kan man tenke seg U som summen av komponentene langs tre akser og skriv

Hvis U– radiusvektor r, Det dr/dt– punkthastighet uttrykt som en funksjon av tid. Å differensiere med hensyn til tid igjen, får vi akselerasjon. La oss anta at punktet beveger seg langs kurven vist i fig. 10. La s– avstanden tilbakelagt av et punkt langs en kurve. Over en kort periode D t punktet vil reise en avstand D s langs kurven; posisjonen til radiusvektoren vil endres til D r. Derfor D r/D s– vektor rettet som D r. Lengre

er en enhetsvektor som tangerer kurven. Dette kan sees av det faktum at når punktet nærmer seg Q til punktet P, PQ nærmer seg tangent og D r nærmer seg D s.

Formlene for å differensiere et produkt ligner på formlene for å differensiere produktet av skalarfunksjoner; siden kryssproduktet er antikommutativt, må imidlertid multiplikasjonsrekkefølgen bevares. Derfor,

Dermed ser vi at hvis en vektor er en funksjon av en skalarvariabel, så kan vi representere den deriverte på omtrent samme måte som i tilfellet med en skalarfunksjon.

Vektor- og skalarfelt.

Gradient.

I fysikk må man ofte forholde seg til vektor- eller skalarmengder som varierer fra punkt til punkt i en gitt region. Slike områder kalles "felt". For eksempel kan skalaren være temperatur eller trykk; vektoren kan være hastigheten til et fluid i bevegelse eller det elektrostatiske feltet til et ladningssystem. Hvis vi har valgt et bestemt koordinatsystem, så når som helst P (x, y, z) i et gitt område tilsvarer en viss radiusvektor r (= xJeg + yj + zk) og også verdien av vektormengden U(r) eller skalar f(r) knyttet til det. La oss late som det U Og f er unikt definert i området; de. hvert punkt tilsvarer én og bare én verdi U eller f, selv om forskjellige punkter selvfølgelig kan ha ulik betydning. La oss si at vi ønsker å beskrive hastigheten som U Og f endres når du beveger deg rundt i dette området.

Enkle partielle derivater som f.eks ¶ U/¶x Og ¶f/¶y, vi er ikke fornøyd med dem fordi de er avhengige av de spesifikt valgte koordinataksene. Det er imidlertid mulig å innføre en vektordifferensialoperator uavhengig av valg av koordinatakser; denne operatoren kalles en "gradient".

La oss ta for oss et skalarfelt f. Først, som et eksempel, bør du vurdere et konturkart over en region i landet. I dette tilfellet f- høyde over havet; konturlinjer forbinder punkter med samme verdi f. Når du beveger deg langs noen av disse linjene f endres ikke; hvis du beveger deg vinkelrett på disse linjene, så er endringshastigheten f vil være maksimalt. Vi kan assosiere en vektor med hvert punkt som indikerer størrelsen og retningen til den maksimale endringen i hastighet f; et slikt kart og noen av disse vektorene er vist i fig. 11. Hvis vi gjør dette for hvert punkt i feltet, får vi et vektorfelt assosiert med et skalarfelt f. Dette er et vektorfelt kalt en "gradient" f, som er skrevet som grad f eller med f (symbolet C kalles også "nabla").

Ved tre dimensjoner blir konturlinjer overflater. Liten offset D r (= Jeg D x + j D y + k D z) fører til en endring f, som er skrevet som

der prikkene indikerer termer av høyere orden. Dette uttrykket kan skrives som et skalarprodukt

La oss dele høyre og venstre side av denne likheten med D s, og la D s har en tendens til null; Deretter

Hvor dr/ds - enhetsvektor i den valgte retningen. Uttrykket i parentes er en vektor avhengig av det valgte punktet. Dermed, df/ds har maksimal verdi når dr/ds peker i samme retning, er uttrykket i parentes gradienten. Dermed,

– en vektor som er lik i størrelse og sammenfaller i retning med maksimal endringshastighet f i forhold til koordinater. Gradient f ofte skrevet som

Dette betyr at operatør C eksisterer alene. I mange tilfeller oppfører den seg som en vektor, og er faktisk en "vektordifferensialoperator" - en av de viktigste differensialoperatorene i fysikk. Til tross for at C inneholder enhetsvektorer Jeg,j Og k, dens fysiske betydning avhenger ikke av det valgte koordinatsystemet.

Hva er forholdet mellom C f Og f? Først av alt, la oss anta det f bestemmer potensialet til enhver tid. For enhver liten forskyvning D r omfanget f vil endre til

Hvis q– mengde (for eksempel masse, ladning) flyttet til D r, deretter arbeidet gjort mens du flytter q

hvor det følger det E virker i retning r og verdien er lik q/(4pe 0r 3).

Når vi kjenner skalarfeltet, kan vi bestemme vektorfeltet knyttet til det. Det motsatte er også mulig. Fra et synspunkt av matematisk prosessering er skalarfelt lettere å betjene enn vektorer, siden de er spesifisert av en enkelt koordinatfunksjon, mens et vektorfelt krever tre funksjoner som tilsvarer vektorkomponentene i tre retninger. Så spørsmålet oppstår: gitt et vektorfelt, kan vi skrive ned det tilhørende skalarfeltet?

Divergens og rotor.

Vi så resultatet av at C virket på en skalarfunksjon. Hva skjer når C brukes på en vektor? Det er to muligheter: la U n a da D

hvis D EN® 0. Dette uttrykket er maksimalt når k og råtne U pek i samme retning; dette betyr råte U– vektor lik to ganger vinkelhastigheten til væsken i et punkt P. Hvis væsken roterer i forhold til P, så råtner U nr. 0, og vektorer U vil dreie seg om P. Det er her navnet rotor kom fra.

Divergensteorem (Ostrogradsky – Gauss teorem)

Divergensteoremet (Ostrogradsky–Gauss-teoremet) er en generalisering av formel (4) for endelige volumer. Det hevder hun for et visst volum V, begrenset av en lukket overflate S,

og er gyldig for alle kontinuerlige vektorfunksjoner U, med kontinuerlige førstederiverte overalt i V og på S. Vi vil ikke gi et bevis på denne teoremet her, men dens gyldighet kan forstås intuitivt ved å forestille seg volumet V delt inn i celler. Strømme U gjennom en overflate felles for to celler forsvinner, og bare celler plassert på grensen S vil bidra til overflateintegralen.

Stokes' teorem

er en generalisering av ligning (6) for endelige overflater. Det hevder hun

Hvor C– lukket kurve og S– enhver overflate avgrenset av denne kurven. U og dens første derivater må være kontinuerlige overalt S Og C.

Hva er vektor? Betydningen av ordet "vektor" i populære ordbøker og leksikon, eksempler på bruken av begrepet i hverdagen.

Vektor for konstruktiv spenning – Filosofisk ordbok

Et nødvendig element av konstruktiv spenning som bestemmer orientering, retning for reproduksjon, personlig kultur, personlighet, dens aktiviteter, fellesskap på alle stadier av den sosiale helheten; brigader, virksomheter, avdelinger, etc. reproduksjon av subkulturer tilsvarende fellesskap. V.K.S. er et nødvendig element i enhver dobbel opposisjon som en indikator på verdiorientering, innebygd i enhver reproduktiv aktivitet til faget. Dermed er det ikke bare en oppdeling av virkeligheten i godt og ondt, men også behovet for at subjektet streber etter det gode og unngår det onde. Dobbel opposisjon bærer i seg positiv og negativ, direkte og omvendt V.K. Ved å mestre de tilsvarende (sub)kulturene får individet dermed en viss orientering i kampen mot desorganisering. Hver av cellene i samfunnet er preget av en viss spesifikk orientering som er i motsetning til entropi og desorganisering. I denne forbindelse er det viktigste problemet i ethvert samfunn graden av sammenfall av vektorer på forskjellige samfunnsnivåer, graden av tilfeldighet av V.K.N. enkeltpersoner og organisasjoner, lag og bedrifter osv. Ethvert fellesskap kan fungere normalt hvis dets iboende V.K. sammenfaller med, avviker ikke vesentlig fra V.K.N. medlemmene gjenskaper folket. Ellers oppstår en sosiokulturell motsetning som gir opphav til desorganisering, som truer både veksten av innovasjoner over nyhetsnivået som er akseptabelt i en gitt subkultur, og en nedgang i sosial energi under den nedre terskelen.

Vector M. – Forklarende ordbok av Efremova

1. Et rett segment, preget av en numerisk verdi og en bestemt retning.

Forventet returvektor – Økonomisk ordbok

en vektor av tall som tilsvarer forventet avkastning for et gitt sett med verdipapirer.

Vektor av rangeringer – Sosiologisk ordbok

– vektorstatistikk konstruert fra en tilfeldig vektor av observasjoner X = (X1, ... ,Xn) (se vektor), hvis komponenter er oppnådd som følger. Hvis alle Xt er forskjellige, vil komponentene til V.r. er naturlige tall fra 1 til n: i stedet for hver Xi er det et tall som uttrykker antallet slike komponenter i vektoren Xi, hvis verdi er mindre enn verdien av Xi. Med andre ord, i stedet for den største Xi er det tallet n, i stedet for den nest største (i synkende rekkefølge) - (n-1), osv. I stedet for den minste er det 1. Hvis sikkert X. er lik hverandre, så V.r. er konstruert som følger: den største X tildeles rang n, den nest største tildeles rang (n-1), osv. inntil, etter tildeling av rang (n-k), lik Xi blir påtruffet. La disse være Xkl,...,Xkl. Vi tildeler en rangering til hver av dem. Den nest største Xkl 1 tildeler vi en rangering n-(til l 1), hvis den ikke er lik noen annen komponent av X, og rangeringen til Yu.N. Tolstov

State Vector –

samme som bølgefunksjon.

Vektorkardiografi – Psykologisk ordbok

(vektorkardiografi) - se Elektrokardiografi.

Vektorkardiografi – Psykologisk leksikon

Vektorkardiografi – Medisinsk ordbok

se Elektrokardiografi.

Vectormeter – Stor encyklopedisk ordbok

(fra vektor og...måler) - en enhet for måling av strømmer, spenninger og faser av vekselstrøm.

Vectormeter M. – Forklarende ordbok av Efremova

1. Et elektrisk instrument for måling av spenning eller styrke og fase av vekselstrøm.

Vektordiagram – Stor encyklopedisk ordbok

grafisk representasjon av verdiene til fysiske mengder som endres i henhold til en harmonisk lov, og relasjonene mellom dem i form av vektorer. Brukes i beregninger innen elektroteknikk, akustikk, optikk m.m.

Vektorpsykologi – Sosiologisk ordbok

Se FELTTEORI.

Vektorpsykologi – Psykologisk ordbok

Se omtalen av Lewins teori i artikkelen vektor(1).

Vektorpsykologi – Psykologisk leksikon

Vektorberegning – Stor encyklopedisk ordbok

gren av matematikk der operasjoner med supervektorer studeres. inkluderer vektoralgebra og vektoranalyse. Reglene for vektoralgebra gjenspeiler egenskapene til handlinger ved supervektormengder. For eksempel er summen av vektorene a og b en vektor som går fra begynnelsen av vektor a til slutten av vektor b, forutsatt at begynnelsen av vektor b brukes på slutten av vektor a; denne regelen er relatert til regelen for addisjon av krefter eller hastigheter (se Parallelogram av krefter). I vektorregning etableres to typer vektormultiplikasjon (se Punktprodukt, Vektorprodukt). Hvis i, j, k er tre innbyrdes perpendikulære enhetsvektorer i rommet, så kan enhver vektor a representeres unikt i formen a=a1i+a2j+a3k. Tallene a1, a2, a3 kalles komponenter (koordinater) til vektor a. Vektoranalyse er basert på operasjonene med differensiering og integrasjon av vektorfunksjoner.

Vektorfelt – Stor encyklopedisk ordbok

et område i hvert punkt P hvor en vektor a(P) er spesifisert. Mange fysiske fenomener og prosesser fører til konseptet med et vektorfelt (for eksempel danner hastighetsvektorene til partikler av et fluid i bevegelse i hvert øyeblikk av tiden et vektorfelt).

Vektorprodukt – Stor encyklopedisk ordbok

vektor a til vektor b - vektor p = VEKTORROM - et matematisk konsept som generaliserer konseptet med settet av alle vektorer i et 3-dimensjonalt rom til tilfellet med et vilkårlig antall dimensjoner.

Vektortilnærming til psykoterapi – Psykologisk ordbok

(vektortilnærming til psykoterapi) V. p. p. postulerer at hele variasjonen av terapier i hovedsak er fordelt langs 6 hovedlinjer. vektorer, eller modaliteter, som indikerer vekstretningen. Velger en av mange terapeutiske metoder, hovedsakelig På disse vektorene kan den eklektisk orienterte terapeuten oppnå svært effektiv balansert terapeutisk integrasjon, samt få frihet til å uttrykke sine personlige preferanser og talenter. Nedenfor er klassifiseringen. terapimetoder basert på disse vektorene. 1. Rasjonell vektor, preget av innsikt, utvidelse av bevissthet og læring: a) psykoan; b) rasjonell-emotiv terapi; c) transaksjonsanalyse; d) atferdsterapi. 2. Nevromuskulær vektor, preget av muskelspenninger, muskelavslapping og bevegelse, ledsaget av endringer i pust og frigjøring av følelser: a) Reichian terapi; b) bioenergi; c) rolling; d) Alexanders metode; e) Feldenkrais-metoden; e) danseterapi. 3. Interpersonlig vektor, preget av relasjoner mellom mennesker: a) grupper av møter; b) psykodrama; c) felles familieterapi; d) Gestaltterapi. 4. Fantasyvektor, preget av intrapersonlig opplevelse når ekstern stimulering er slått av: a) hypnoterapi; b) psykosyntese; c) guidede dagdrømmer. 5. Transpersonlig vektor, preget av transcendens av den lukkede bevissthetstilstanden til individet: a) åndelig helbredelse; b) parapsykologiske fenomener; c) Jungiansk psykologi; d) meditasjon. 6. Biokjemisk vektor, karakterisert ved kjemiske endringer i kroppen som har intern eller ekstern opprinnelse: a) ortomolekylær terapi; b) karbogen; c) kostholdsprosedyrer og øvelser; d) psykedelisk og psykolytisk medikamentterapi; e) beroligende midler, sentralstimulerende midler og beroligende midler. Se også Innovative psychotherapies, Methods of psychotherapy av P. Bindrim

Endelig fikk jeg tak i dette enorme og etterlengtede emnet. analytisk geometri. Først litt om denne delen av høyere matematikk... Nå husker du sikkert et skolegeometrikurs med mange teoremer, deres bevis, tegninger osv. Hva du skal skjule, et uelsket og ofte uklart emne for en betydelig andel av elevene. Analytisk geometri kan merkelig nok virke mer interessant og tilgjengelig. Hva betyr adjektivet "analytisk"? To klisjéaktige matematiske fraser dukker umiddelbart opp: "grafisk løsningsmetode" og "analytisk løsningsmetode." Grafisk metode, selvfølgelig, er forbundet med konstruksjon av grafer og tegninger. Analytisk eller metode innebærer å løse problemer hovedsakelig gjennom algebraiske operasjoner. I denne forbindelse er algoritmen for å løse nesten alle problemer med analytisk geometri enkel og gjennomsiktig; ofte er det nok å bruke de nødvendige formlene nøye - og svaret er klart! Nei, selvfølgelig vil vi ikke være i stand til å gjøre dette uten tegninger i det hele tatt, og i tillegg, for en bedre forståelse av materialet, vil jeg prøve å sitere dem utover nødvendighet.

Det nyåpnede kurset med leksjoner om geometri later ikke til å være teoretisk komplett, det er fokusert på å løse praktiske problemer. Jeg vil i mine forelesninger ta med kun det som fra mitt ståsted er viktig i praksis. Hvis du trenger mer fullstendig hjelp til en underseksjon, anbefaler jeg følgende ganske tilgjengelig litteratur:

1) En ting som, uten spøk, flere generasjoner er kjent med: Skolebok i geometri, forfattere - L.S. Atanasyan og Company. Denne skolegarderobshengeren har allerede gått gjennom 20 (!) opptrykk, som selvfølgelig ikke er grensen.

2) Geometri i 2 bind. Forfattere L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Dette er litteratur for videregående, du trenger første bind. Sjeldne oppgaver kan falle ut av synet mitt, og opplæringen vil være til uvurderlig hjelp.

Begge bøkene kan lastes ned gratis online. I tillegg kan du bruke mitt arkiv med ferdige løsninger, som finnes på siden Last ned eksempler i høyere matematikk.

Blant verktøyene foreslår jeg igjen min egen utvikling - Software pakke i analytisk geometri, noe som i stor grad vil forenkle livet og spare mye tid.

Det forutsettes at leseren er kjent med grunnleggende geometriske begreper og figurer: punkt, linje, plan, trekant, parallellogram, parallellepiped, terning, etc. Det er tilrådelig å huske noen teoremer, i det minste Pythagoras teorem, hei til repeatere)

Og nå vil vi vurdere sekvensielt: konseptet med en vektor, handlinger med vektorer, vektorkoordinater. Jeg anbefaler å lese videre den viktigste artikkelen Punktprodukt av vektorer, og også Vektor og blandet produkt av vektorer. En lokal oppgave - Inndeling av et segment i så henseende - vil heller ikke være overflødig. Basert på informasjonen ovenfor, kan du mestre ligning av en linje i et plan Med enkleste eksempler på løsninger, som vil tillate lære å løse geometriproblemer. Følgende artikler er også nyttige: Ligning av et plan i rommet, Ligninger av en linje i rommet, Grunnleggende problemer på en rett linje og et plan, andre deler av analytisk geometri. Naturligvis vil standardoppgaver bli vurdert underveis.

Vektor konsept. Gratis vektor

La oss først gjenta skoledefinisjonen av en vektor. Vektor kalt regissert et segment der begynnelsen og slutten er indikert:

I dette tilfellet er begynnelsen av segmentet punktet, slutten av segmentet er punktet. Selve vektoren er betegnet med . Retning er viktig, hvis du flytter pilen til den andre enden av segmentet, får du en vektor, og dette er det allerede helt annen vektor. Det er praktisk å identifisere konseptet med en vektor med bevegelsen til en fysisk kropp: du må være enig, å gå inn dørene til et institutt eller forlate dørene til et institutt er helt andre ting.

Det er praktisk å vurdere individuelle punkter på et fly eller rom som den såkalte null vektor. For en slik vektor faller slutten og begynnelsen sammen.

!!! Merk: Her og videre kan du anta at vektorene ligger i samme plan eller du kan anta at de befinner seg i rommet - essensen av materialet som presenteres er gyldig for både planet og rommet.

Betegnelser: Mange la umiddelbart merke til pinnen uten en pil i betegnelsen og sa, det er også en pil øverst! Riktignok kan du skrive det med en pil: , men det er også mulig oppføringen som jeg vil bruke i fremtiden. Hvorfor? Tilsynelatende utviklet denne vanen seg av praktiske årsaker; skytterne mine på skolen og universitetet viste seg å være for ulik størrelse og raggete. I pedagogisk litteratur, noen ganger bryr de seg ikke med kileskrift i det hele tatt, men fremhever bokstavene i fet skrift: , og antyder dermed at dette er en vektor.

Det var stilistikk, og nå om måter å skrive vektorer på:

1) Vektorer kan skrives med to store latinske bokstaver:
og så videre. I dette tilfellet den første bokstaven Nødvendigvis angir startpunktet til vektoren, og den andre bokstaven angir endepunktet til vektoren.

2) Vektorer er også skrevet med små latinske bokstaver:
Spesielt kan vektoren vår redesignes for korthets skyld med en liten latinsk bokstav.

Lengde eller modul en vektor som ikke er null kalles lengden på segmentet. Lengden på nullvektoren er null. Logisk.

Lengden på vektoren er indikert med modultegnet: ,

Vi vil lære å finne lengden på en vektor (eller vi vil gjenta den, avhengig av hvem) litt senere.

Dette var grunnleggende informasjon om vektorer, kjent for alle skoleelever. I analytisk geometri, den såkalte gratis vektor.

For å si det enkelt - vektoren kan plottes fra et hvilket som helst punkt:

Vi er vant til å kalle slike vektorer like (definisjonen av like vektorer vil bli gitt nedenfor), men fra et rent matematisk synspunkt er de SAMME VEKTOR eller gratis vektor. Hvorfor gratis? Fordi i løpet av å løse problemer, kan du "feste" denne eller den vektoren til et hvilket som helst punkt på planet eller rommet du trenger. Dette er en veldig kul funksjon! Se for deg en vektor med vilkårlig lengde og retning - den kan "klones" et uendelig antall ganger, og når som helst i rommet, faktisk eksisterer den OVERALT. Det er et slikt studentord som sier: Hver foreleser bryr seg om vektoren. Tross alt er det ikke bare et vittig rim, alt er matematisk riktig - vektoren kan også festes der. Men ikke skynd deg å glede deg, det er studentene selv som ofte lider =)

Så, gratis vektor- Dette en haug med identiske regisserte segmenter. Skoledefinisjonen av en vektor, gitt i begynnelsen av avsnittet: "Et rettet segment kalles en vektor ..." innebærer spesifikk et rettet segment hentet fra et gitt sett, som er knyttet til et spesifikt punkt i planet eller rommet.

Det skal bemerkes at fra et fysikksynspunkt er konseptet med en fri vektor generelt feil, og vektorens anvendelsespunkt betyr noe. Faktisk, et direkte slag av samme kraft på nesen eller pannen, nok til å utvikle mitt dumme eksempel, medfører forskjellige konsekvenser. Derimot, ufri vektorer finnes også i løpet av vyshmat (ikke gå dit :)).

Handlinger med vektorer. Kollinearitet av vektorer

Et skolegeometrikurs dekker en rekke handlinger og regler med vektorer: addisjon etter trekantregelen, addisjon etter parallellogramregelen, vektordifferanseregel, multiplikasjon av en vektor med et tall, skalarprodukt av vektorer osv. Som et utgangspunkt, la oss gjenta to regler som er spesielt relevante for å løse problemer med analytisk geometri.

Regelen for å legge til vektorer ved hjelp av trekantregelen

Vurder to vilkårlige ikke-null vektorer og:

Du må finne summen av disse vektorene. På grunn av det faktum at alle vektorer anses som frie, vil vi sette vektoren til side fra slutt vektor:

Summen av vektorer er vektoren. For en bedre forståelse av regelen, er det tilrådelig å legge en fysisk mening inn i den: la noen kropp bevege seg langs vektoren, og deretter langs vektoren. Da er summen av vektorer vektoren til den resulterende banen med begynnelsen ved avgangspunktet og slutten ved ankomstpunktet. En lignende regel er formulert for summen av et hvilket som helst antall vektorer. Som de sier, kan kroppen gå sin vei veldig magert langs en sikksakk, eller kanskje på autopilot - langs den resulterende vektoren av summen.

Forresten, hvis vektoren er utsatt fra startet vektor, så får vi ekvivalenten parallellogramregel tillegg av vektorer.

Først om kollinearitet av vektorer. De to vektorene kalles kollineær, hvis de ligger på samme linje eller på parallelle linjer. Grovt sett snakker vi om parallelle vektorer. Men i forhold til dem brukes alltid adjektivet "collinear".

Se for deg to kollineære vektorer. Hvis pilene til disse vektorene er rettet i samme retning, kalles slike vektorer co-regissert. Hvis pilene peker i forskjellige retninger, vil vektorene være det motsatte retninger.

Betegnelser: kollinearitet av vektorer skrives med det vanlige parallellitetssymbolet: , mens detaljering er mulig: (vektorer er co-directed) eller (vektorer er motsatt rettet).

Arbeidet en ikke-null vektor på et tall er en vektor hvis lengde er lik , og vektorene og er co-rettet mot og motsatt rettet mot.

Regelen for å multiplisere en vektor med et tall er lettere å forstå ved hjelp av et bilde:

La oss se på det mer detaljert:

1 retning. Hvis multiplikatoren er negativ, så vektoren endrer retning til det motsatte.

2) Lengde. Hvis multiplikatoren er inneholdt i eller , så lengden på vektoren avtar. Så lengden på vektoren er halvparten av lengden på vektoren. Hvis modulen til multiplikatoren er større enn én, så lengden på vektoren øker i tide.

3) Vær oppmerksom på at alle vektorer er kollineære, mens en vektor uttrykkes gjennom en annen, for eksempel . Det motsatte er også sant: hvis en vektor kan uttrykkes gjennom en annen, så er slike vektorer nødvendigvis kollineære. Dermed: hvis vi multipliserer en vektor med et tall, får vi kollineær(i forhold til originalen) vektor.

4) Vektorene er co-dirigert. Vektorer og er også co-regissert. Enhver vektor i den første gruppen er motsatt rettet med hensyn til enhver vektor i den andre gruppen.

Hvilke vektorer er like?

To vektorer er like hvis de er i samme retning og har samme lengde. Merk at kodireksjonalitet innebærer kollinearitet av vektorer. Definisjonen ville være unøyaktig (overflødig) hvis vi sa: "To vektorer er like hvis de er kollineære, kodireksjonelle og har samme lengde."

Fra synspunktet til konseptet med en fri vektor, er like vektorer den samme vektoren, som diskutert i forrige avsnitt.

Vektorkoordinater på flyet og i verdensrommet

Det første punktet er å vurdere vektorer på planet. La oss skildre et kartesisk rektangulært koordinatsystem og plotte det fra opprinnelsen til koordinatene enkelt vektorer og:

Vektorer og ortogonal. Ortogonal = vinkelrett. Jeg anbefaler at du sakte venne deg til begrepene: i stedet for parallellitet og perpendikularitet bruker vi ordene hhv. kolinearitet Og ortogonalitet.

Betegnelse: Ortogonaliteten til vektorer skrives med det vanlige perpendikularitetssymbolet, for eksempel: .

Vektorene som vurderes kalles koordinatvektorer eller orts. Disse vektorene dannes basis på overflaten. Hva grunnlaget er tror jeg er intuitivt klart for mange, mer detaljert informasjon finner du i artikkelen Lineær (ikke) avhengighet av vektorer. Grunnlag for vektorer Med enkle ord definerer grunnlaget og opprinnelsen til koordinatene hele systemet - dette er et slags grunnlag som et fullt og rikt geometrisk liv koker på.

Noen ganger kalles det konstruerte grunnlaget ortonormal basis av planet: "orto" - fordi koordinatvektorene er ortogonale, betyr adjektivet "normalisert" enhet, dvs. lengdene på basisvektorene er lik én.

Betegnelse: grunnlaget er vanligvis skrevet i parentes, innenfor hvilke i streng rekkefølge basisvektorer er listet opp, for eksempel: . Koordinatvektorer det er forbudt omorganisere.

Noen plan vektor den eneste måten uttrykt som:
, Hvor - tall som kalles vektorkoordinater på dette grunnlaget. Og selve uttrykket kalt vektor nedbrytningpå grunnlag .

Middag servert:

La oss starte med den første bokstaven i alfabetet: . Tegningen viser tydelig at når en vektor dekomponeres til en basis, brukes de som nettopp er diskutert:
1) regelen for å multiplisere en vektor med et tall: og ;
2) addisjon av vektorer etter trekantregelen: .

Plot nå vektoren mentalt fra et hvilket som helst annet punkt på flyet. Det er ganske åpenbart at hans forfall vil «følge ham nådeløst». Her er det, vektorens frihet - vektoren "bærer alt med seg selv." Denne egenskapen er selvfølgelig sann for enhver vektor. Det er morsomt at selve basisvektorene (gratis) ikke trenger å være plottet fra origo, den ene kan for eksempel tegnes nederst til venstre og den andre øverst til høyre, og ingenting vil endre seg! Det er sant at du ikke trenger å gjøre dette, siden læreren også vil vise originalitet og trekke deg en "kreditt" på et uventet sted.

Vektorer illustrerer nøyaktig regelen for å multiplisere en vektor med et tall, vektoren er samdireksjonell med grunnvektoren, vektoren er rettet motsatt av grunnvektoren. For disse vektorene er en av koordinatene lik null; du kan omhyggelig skrive det slik:

Og basisvektorene er forresten slik: (faktisk uttrykkes de gjennom seg selv).

Og endelig: , . Forresten, hva er vektorsubtraksjon, og hvorfor snakket jeg ikke om subtraksjonsregelen? Et sted i lineær algebra, jeg husker ikke hvor, la jeg merke til at subtraksjon er et spesielt tilfelle av addisjon. Dermed kan utvidelsene til vektorene "de" og "e" lett skrives som en sum: , . Omorganiser begrepene og se på tegningen hvor godt den gode gamle addisjonen av vektorer etter trekantregelen fungerer i disse situasjonene.

Den vurderte dekomponeringen av skjemaet noen ganger kalt vektordekomponering i ort-systemet(dvs. i et system av enhetsvektorer). Men dette er ikke den eneste måten å skrive en vektor på; følgende alternativ er vanlig:

Eller med likhetstegn:

Selve basisvektorene er skrevet som følger: og

Det vil si at koordinatene til vektoren er angitt i parentes. I praktiske oppgaver brukes alle tre notasjonsalternativene.

Jeg tvilte på om jeg skulle snakke, men jeg sier det likevel: vektorkoordinater kan ikke omorganiseres. Strengt på første plass vi skriver ned koordinaten som tilsvarer enhetsvektoren, strengt tatt på andreplass vi skriver ned koordinaten som tilsvarer enhetsvektoren. Faktisk, og er to forskjellige vektorer.

Vi fant ut koordinatene på flyet. La oss nå se på vektorer i tredimensjonalt rom, nesten alt er likt her! Det vil bare legge til en koordinat til. Det er vanskelig å lage tredimensjonale tegninger, så jeg vil begrense meg til én vektor, som jeg for enkelhets skyld setter til side fra opprinnelsen:

Noen 3D romvektor den eneste måten ekspandere over ortonormal basis:
, hvor er koordinatene til vektoren (tallet) i dette grunnlaget.

Eksempel fra bildet: . La oss se hvordan vektorreglene fungerer her. Først multipliserer du vektoren med et tall: (rød pil), (grønn pil) og (bringebærpil). For det andre, her er et eksempel på å legge til flere, i dette tilfellet tre, vektorer: . Sumvektoren begynner ved det opprinnelige utgangspunktet (begynnelsen av vektoren) og slutter ved det endelige ankomstpunktet (enden av vektoren).

Alle vektorer av tredimensjonalt rom er naturligvis også frie; prøv å mentalt sette vektoren til side fra et hvilket som helst annet punkt, og du vil forstå at dens nedbrytning "vil forbli med den."

I likhet med den flate saken, i tillegg til å skrive versjoner med braketter er mye brukt: enten .

Hvis en (eller to) koordinatvektorer mangler i utvidelsen, settes nuller i stedet. Eksempler:
vektor (omhyggelig ) - la oss skrive ;
vektor (omhyggelig ) - la oss skrive ;
vektor (omhyggelig ) - la oss skrive .

Basisvektorene er skrevet som følger:

Dette er kanskje all den minimale teoretiske kunnskapen som er nødvendig for å løse problemer med analytisk geometri. Det kan være mange begreper og definisjoner, så jeg anbefaler at tekanner leser og forstår denne informasjonen på nytt. Og det vil være nyttig for enhver leser å referere til den grunnleggende leksjonen fra tid til annen for å bedre assimilere materialet. Kollinearitet, ortogonalitet, ortonormal basis, vektornedbrytning - disse og andre konsepter vil ofte bli brukt i fremtiden. Jeg bemerker at materialene på nettstedet ikke er nok til å bestå den teoretiske testen eller kollokviet om geometri, siden jeg nøye krypterer alle teoremer (og uten bevis) - til skade for den vitenskapelige presentasjonsstilen, men et pluss for din forståelse av emnet. For å motta detaljert teoretisk informasjon, vennligst bøy deg for professor Atanasyan.

Og vi går videre til den praktiske delen:

De enkleste problemene med analytisk geometri.
Handlinger med vektorer i koordinater

Det er sterkt tilrådelig å lære hvordan du løser oppgavene som vil bli vurdert helautomatisk, og formlene huske, du trenger ikke engang å huske det med vilje, de vil huske det selv =) Dette er veldig viktig, siden andre problemer med analytisk geometri er basert på de enkleste elementære eksemplene, og det vil være irriterende å bruke ekstra tid på å spise bønder . Det er ikke nødvendig å feste de øverste knappene på skjorten, mange ting er kjent for deg fra skolen.

Presentasjonen av materialet vil følge et parallelt forløp – både for flyet og for rommet. Av den grunn at alle formlene... vil du se selv.

Hvordan finne en vektor fra to punkter?

Hvis to punkter på planet og er gitt, har vektoren følgende koordinater:

Hvis to punkter i rommet og er gitt, har vektoren følgende koordinater:

Det er, fra koordinatene til enden av vektoren du må trekke fra de tilsvarende koordinatene begynnelsen av vektoren.

Trening: For de samme punktene, skriv ned formlene for å finne koordinatene til vektoren. Formler på slutten av leksjonen.

Eksempel 1

Gitt to punkter av flyet og . Finn vektorkoordinater

Løsning: i henhold til den tilsvarende formelen:

Alternativt kan følgende oppføring brukes:

Esteter avgjør dette:

Personlig er jeg vant til den første versjonen av innspillingen.

Svar:

I henhold til betingelsen var det ikke nødvendig å konstruere en tegning (som er typisk for problemer med analytisk geometri), men for å avklare noen punkter for dummies, vil jeg ikke være lat:

Du må definitivt forstå forskjellen mellom punktkoordinater og vektorkoordinater:

Punktkoordinater– dette er vanlige koordinater i et rektangulært koordinatsystem. Jeg tror alle vet hvordan man plotter punkter på et koordinatplan fra 5.-6. klasse. Hvert punkt har en streng plass på flyet, og de kan ikke flyttes hvor som helst.

Koordinatene til vektoren– dette er dens utvidelse i henhold til grunnlaget, i dette tilfellet. Enhver vektor er gratis, så om nødvendig kan vi enkelt flytte den bort fra et annet punkt i planet. Det er interessant at for vektorer trenger du ikke å bygge akser eller et rektangulært koordinatsystem i det hele tatt; du trenger bare en basis, i dette tilfellet en ortonormal basis av planet.

Registreringene av koordinater til punkter og koordinater til vektorer ser ut til å være like: , og betydningen av koordinater absolutt annerledes, og du bør være godt klar over denne forskjellen. Denne forskjellen gjelder selvfølgelig også plass.

Mine damer og herrer, la oss fylle hendene våre:

Eksempel 2

a) Poeng og gis. Finn vektorer og .
b) Poeng gis Og . Finn vektorer og .
c) Poeng og gis. Finn vektorer og .
d) Poeng gis. Finn vektorer .

Kanskje det er nok. Dette er eksempler for deg å bestemme selv, prøv å ikke forsømme dem, det vil lønne seg ;-). Det er ikke nødvendig å lage tegninger. Løsninger og svar på slutten av leksjonen.

Hva er viktig når man løser analytiske geometriproblemer? Det er viktig å være EKSTREMT FORSIKTIG for å unngå å gjøre den mesterlige feilen "to pluss to er lik null". Jeg beklager med en gang hvis jeg har gjort en feil et sted =)

Hvordan finne lengden på et segment?

Lengden, som allerede nevnt, er indikert med modultegnet.

Hvis to punkter på planet er gitt og , kan lengden på segmentet beregnes ved hjelp av formelen

Hvis to punkter i rommet og er gitt, kan lengden på segmentet beregnes ved hjelp av formelen

Merk: Formlene forblir korrekte hvis de tilsvarende koordinatene byttes: og , men det første alternativet er mer standard

Eksempel 3

Løsning: i henhold til den tilsvarende formelen:

Svar:

For klarhetens skyld vil jeg lage en tegning

Linjestykke - dette er ikke en vektor, og du kan selvfølgelig ikke flytte den hvor som helst. I tillegg, hvis du tegner i målestokk: 1 enhet. = 1 cm (to notatbokceller), så kan det resulterende svaret kontrolleres med en vanlig linjal ved direkte å måle lengden på segmentet.

Ja, løsningen er kort, men det er et par viktigere punkter i den som jeg ønsker å avklare:

For det første setter vi i svaret dimensjonen: "enheter". Tilstanden sier ikke HVA det er, millimeter, centimeter, meter eller kilometer. Derfor vil en matematisk korrekt løsning være den generelle formuleringen: "enheter" - forkortet som "enheter."

For det andre, la oss gjenta skolemateriellet, som ikke bare er nyttig for oppgaven som vurderes:

Følg med på viktig teknikk – fjerne multiplikatoren fra under roten. Som et resultat av beregningene har vi et resultat og god matematisk stil innebærer å fjerne faktoren fra under roten (hvis mulig). Mer detaljert ser prosessen slik ut: . Å la svaret være slik det er, ville selvsagt ikke være en feil – men det ville absolutt være en mangel og et tungtveiende argument for å krangle fra lærerens side.

Her er andre vanlige tilfeller:

Ofte produserer roten et ganske stort antall, for eksempel . Hva skal man gjøre i slike tilfeller? Ved hjelp av kalkulatoren sjekker vi om tallet er delelig med 4: . Ja, det var helt delt, slik: . Eller kanskje tallet kan deles på 4 igjen? . Dermed: . Det siste sifferet i tallet er oddetall, så å dele med 4 for tredje gang vil åpenbart ikke fungere. La oss prøve å dele på ni: . Som et resultat:
Klar.

Konklusjon: hvis vi under roten får et tall som ikke kan trekkes ut som en helhet, så prøver vi å fjerne faktoren fra under roten - ved hjelp av en kalkulator sjekker vi om tallet er delelig med: 4, 9, 16, 25, 36, 49 osv.

Når du løser ulike problemer, støter du ofte på røtter; prøv alltid å trekke ut faktorer fra under roten for å unngå lavere karakter og unødvendige problemer med å ferdigstille løsninger basert på lærerens kommentarer.

La oss også gjenta kvadratrøtter og andre krefter:

Reglene for å operere med potenser i generell form finner du i en skolealgebra-lærebok, men jeg tror fra eksemplene som er gitt, er alt eller nesten alt allerede klart.

Oppgave for uavhengig løsning med et segment i rommet:

Eksempel 4

Poeng og gis. Finn lengden på segmentet.

Løsningen og svaret er på slutten av leksjonen.

Hvordan finne lengden på en vektor?

Hvis en planvektor er gitt, beregnes lengden ved hjelp av formelen.

Hvis en romvektor er gitt, beregnes lengden ved hjelp av formelen .

Populær

Hvor mange galakser i universet er kjent for det moderne mennesket?

« Hvordan ser andre stjerner ut fra utsiden?Vi har allerede sagt, men hvordan ville en utenforstående observatør se vårt solsystem og vår solstjerne? Ved å dømme etter... »

Solsystemet - verden vi lever i Plasseringen av galaksen vår i universet

« Den første eksoplaneten - en planet som ligger utenfor solsystemet og kretser rundt en annen stjerne i galaksen vår - ble oppdaget av astronomer rundt 20... »

Hvordan vi bygget fremtiden til Russland

« I flere tiår nå har psykologer vært vedvarende interessert i to tenkemåter: den som utløser portrettet av en sint kvinne, og... »