\(5x+xy\) kan representeres som \(x(5+y)\). Dette er faktisk identiske uttrykk, vi kan bekrefte dette hvis vi åpner parentesene: \(x(5+y)=x \cdot 5+x \cdot y=5x+xy\). Som du kan se, får vi det originale uttrykket. Dette betyr at \(5x+xy\) faktisk er lik \(x(5+y)\). Forresten, dette er en pålitelig måte å sjekke riktigheten av de vanlige faktorene - åpne den resulterende braketten og sammenlign resultatet med det opprinnelige uttrykket.
Hovedregelen for bracketing:
For eksempel, i uttrykket \(3ab+5bc-abc\) kan bare \(b\) tas ut av parentesen, fordi det er den eneste som er til stede i alle tre ledd. Prosessen med å ta vanlige faktorer ut av parentes er vist i diagrammet nedenfor:
Bracketing regler
I matematikk er det vanlig å ta ut alle vanlige faktorer på en gang.
Eksempel:\(3xy-3xz=3x(y-z)\)
Vær oppmerksom på at her kan vi utvide slik: \(3(xy-xz)\) eller slik: \(x(3y-3z)\). Dette vil imidlertid være ufullstendige dekomponeringer. Både C og X må tas ut.
Noen ganger er de vanlige medlemmene ikke umiddelbart synlige.
Eksempel:\(10x-15y=2·5·x-3·5·y=5(2x-3y)\)
I dette tilfellet var det vanlige begrepet (fem) skjult. Etter å ha utvidet \(10\) som \(2\) multiplisert med \(5\), og \(15\) som \(3\) multiplisert med \(5\) - trakk vi de fem inn i Guds lys”, hvoretter de lett kunne ta den ut av braketten.
Hvis en monomial fjernes fullstendig, forblir man fra den.
Eksempel: \(5xy+axy-x=x(5y+ay-1)\)
Vi setter \(x\) ut av parentes, og den tredje monomialen består bare av x. Hvorfor forblir man fra det? For hvis et uttrykk multipliseres med én, vil det ikke endre seg. Det vil si at den samme \(x\) kan representeres som \(1\cdot x\). Da har vi følgende kjede av transformasjoner:
\(5xy+axy-\)\(x\) \(=5xy+axy-\)\(1 \cdot x\) \(=\)\(x\) \((5y+ay-\)\ (1\) \()\)
Dessuten er dette den eneste Den riktige måten fjerning, for hvis vi ikke forlater en, vil vi ikke gå tilbake til det opprinnelige uttrykket når vi åpner parentesene. Faktisk, hvis vi gjør ekstraksjonen på denne måten \(5xy+axy-x=x(5y+ay)\), vil vi når utvidet få \(x(5y+ay)=5xy+axy\). Det tredje medlemmet mangler. Det betyr at en slik påstand er feil.
Du kan plassere et minustegn utenfor parentesen, og fortegnene til begrepene i parentesen er reversert.
Eksempel:\(x-y=-(-x+y)=-(y-x)\)
I hovedsak setter vi ut "minus en", som kan "velges" foran hvilken som helst monomial, selv om det ikke var noen minus foran den. Vi bruker her det faktum at man kan skrives som \((-1) \cdot (-1)\). Her er det samme eksempelet, beskrevet i detalj:
\(x-y=\)
\(=1·x+(-1)·y=\)
\(=(-1)·(-1)·x+(-1)·y=\)
\(=(-1)·((-1)·x+y)=\)
\(=-(-x+y)=\)
\(-(y-x)\)
En parentes kan også være en felles faktor.
Eksempel:\(3m(n-5)+2(n-5)=(n-5)(3m+2)\)
Vi støter oftest på denne situasjonen (fjerning av parenteser fra parenteser) ved faktorisering ved bruk av grupperingsmetoden eller
Denne artikkelen forklarer hvordan finne den laveste fellesnevneren Og hvordan redusere brøker til en fellesnevner. Først gis definisjonene av fellesnevner for brøker og minste fellesnevner, og det vises hvordan man finner fellesnevneren for brøker. Nedenfor er en regel for å redusere brøker til en fellesnevner, og eksempler på anvendelse av denne regelen vurderes. Avslutningsvis eksempler på å bringe tre og mer brøker til en fellesnevner.
Sidenavigering.
Hva kalles å redusere brøker til en fellesnevner?
Nå kan vi si hva det er å redusere brøker til en fellesnevner. Redusere brøker til en fellesnevner– Dette er multiplikasjonen av tellerne og nevnerne til gitte brøker med slike tilleggsfaktorer at resultatet blir brøker med de samme nevnerne.
Fellesnevner, definisjon, eksempler
Nå er det på tide å definere fellesnevneren for brøker.
Med andre ord er fellesnevneren for et visst sett med vanlige brøker en hvilken som helst naturlig tall, som er delelig med alle nevnerne av disse brøkene.
Av den oppgitte definisjonen følger det at et gitt sett med brøker har uendelig mange fellesnevnere, siden det er et uendelig antall felles multipler av alle nevnerne i det opprinnelige brøksettet.
Ved å bestemme fellesnevneren for brøker kan du finne fellesnevnerne til gitte brøker. La, for eksempel, gitt brøkene 1/4 og 5/6, deres nevnere er henholdsvis 4 og 6. Positive felles multiplum av tallene 4 og 6 er tallene 12, 24, 36, 48, ... Hvilke som helst av disse tallene er en fellesnevner for brøkene 1/4 og 5/6.
For å konsolidere materialet, vurder løsningen til følgende eksempel.
Eksempel.
Kan brøkene 2/3, 23/6 og 7/12 reduseres til en fellesnevner på 150?
Løsning.
For å svare på spørsmålet må vi finne ut om tallet 150 er et felles multiplum av nevnerne 3, 6 og 12. For å gjøre dette, la oss sjekke om 150 er delelig med hvert av disse tallene (se om nødvendig reglene og eksemplene for å dele naturlige tall, samt reglene og eksemplene på å dele naturlige tall med en rest): 150:3=50 , 150:6=25, 150: 12=12 (resterende 6) .
Så, 150 er ikke jevnt delelig med 12, derfor er ikke 150 et felles multiplum av 3, 6 og 12. Derfor kan ikke tallet 150 være fellesnevneren for de opprinnelige brøkene.
Svar:
Det er forbudt.
Laveste fellesnevner, hvordan finner jeg den?
I settet med tall som er fellesnevnere for gitte brøker, er det et minste naturlig tall, som kalles minste fellesnevner. La oss formulere definisjonen av den laveste fellesnevneren for disse brøkene.
Definisjon.
Laveste fellesnevner er det minste antallet av alle fellesnevnerne til disse brøkene.
Det gjenstår å håndtere spørsmålet om hvordan man finner den minste felles divisor.
Siden er den minst positive felles deleren av et gitt sett med tall, representerer LCM for nevnerne til de gitte brøkene den minste fellesnevneren av de gitte brøkene.
Å finne den laveste fellesnevneren av brøker kommer derfor ned til nevnerne til disse brøkene. La oss se på løsningen på eksempelet.
Eksempel.
Finn den laveste fellesnevneren for brøkene 3/10 og 277/28.
Løsning.
Nevnerne til disse brøkene er 10 og 28. Den ønskede laveste fellesnevneren finnes som LCM for tallene 10 og 28. I vårt tilfelle er det enkelt: siden 10=2·5, og 28=2·2·7, så LCM(15, 28)=2·2·5·7=140.
Svar:
140 .
Hvordan redusere brøker til en fellesnevner? Regler, eksempler, løsninger
Som oftest vanlige brøker føre til laveste fellesnevner. Vi skal nå skrive ned en regel som forklarer hvordan man reduserer brøker til laveste fellesnevner.
Regel for å redusere brøker til laveste fellesnevner består av tre trinn:
- Finn først den laveste fellesnevneren for brøkene.
- For det andre beregnes en tilleggsfaktor for hver brøk ved å dele den laveste fellesnevneren med nevneren til hver brøk.
- For det tredje multipliseres telleren og nevneren for hver brøk med dens tilleggsfaktor.
La oss bruke den angitte regelen for å løse følgende eksempel.
Eksempel.
Reduser brøkene 5/14 og 7/18 til deres laveste fellesnevner.
Løsning.
La oss utføre alle trinnene i algoritmen for å redusere brøker til laveste fellesnevner.
Først finner vi den minste fellesnevneren, som er lik det minste felles multiplumet av tallene 14 og 18. Siden 14=2·7 og 18=2·3·3, så LCM(14, 18)=2·3·3·7=126.
Nå beregner vi tilleggsfaktorer ved hjelp av hvilke brøkene 5/14 og 7/18 vil reduseres til nevneren 126. For brøken 5/14 er tilleggsfaktoren 126:14=9, og for brøken 7/18 er tilleggsfaktoren 126:18=7.
Det gjenstår å multiplisere tellerne og nevnerne til brøkene 5/14 og 7/18 med tilleggsfaktorene 9 og 7, henholdsvis. Vi har og 
.
Så, reduksjon av brøkene 5/14 og 7/18 til laveste fellesnevner er fullført. De resulterende fraksjoner var 45/126 og 49/126.
Nevneren til den aritmetiske brøken a / b er tallet b, som viser størrelsen på brøkene av en enhet som brøken er sammensatt av. Nevneren til en algebraisk brøk A / B er det algebraiske uttrykket B. For å utføre aritmetiske operasjoner med brøker må de reduseres til laveste fellesnevner.
Du vil trenge
- For å jobbe med algebraiske brøker og finne den laveste fellesnevneren, må du vite hvordan du faktoriserer polynomer.
Bruksanvisning
La oss vurdere å redusere to aritmetiske brøker n/m og s/t til den minste fellesnevneren, der n, m, s, t er heltall. Det er klart at disse to brøkene kan reduseres til en hvilken som helst nevner som er delelig med m og t. Men de prøver å lede til laveste fellesnevner. Det er lik det minste felles multiplum av nevnerne m og t av de gitte brøkene. Det minste multiplumet (LMK) av et tall er det minste som er delelig med alle gitte tall samtidig. De. i vårt tilfelle må vi finne det minste felles multiplum av tallene m og t. Angitt som LCM (m, t). Deretter multipliseres brøkene med de tilsvarende: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t).
La oss finne den laveste fellesnevneren av tre brøker: 4/5, 7/8, 11/14. La oss først utvide nevnerne 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Deretter beregner du LCM (5, 8, 14) ved å multiplisere alle tallene inkludert i minst én av utvidelsene. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Merk at hvis en faktor oppstår i utvidelsen av flere tall (faktor 2 i utvidelsen av nevnerne 8 og 14), så tar vi faktoren til i større grad (2^3 i vårt tilfelle).
Så den generelle mottas. Det er lik 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Her får vi tallene som vi må gange brøkene med de tilsvarende nevnerne for å bringe dem til laveste fellesnevner. Vi får 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.
Reduksjon til laveste fellesnevner algebraiske brøker utført i analogi med aritmetikk. For klarhet, la oss se på problemet ved å bruke et eksempel. La to brøker (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) og (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1) gis. La oss faktorisere begge nevnerne. Merk at nevneren til den første brøken er perfekt firkant: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. Til
Jeg ønsket opprinnelig å inkludere fellesnevnerteknikker i delen Legge til og trekke fra brøker. Men det viste seg å være så mye informasjon, og dens betydning er så stor (tross alt har ikke bare numeriske brøker fellesnevnere), at det er bedre å studere dette problemet separat.
Så la oss si at vi har to brøker med forskjellige nevnere. Og vi vil sørge for at nevnerne blir de samme. Den grunnleggende egenskapen til en brøk kommer til unnsetning, som, la meg minne deg, høres slik ut:
En brøk vil ikke endres hvis dens teller og nevner multipliseres med samme tall annet enn null.
Hvis du velger faktorene riktig, vil altså nevnerne til brøkene bli like - denne prosessen kalles reduksjon til en fellesnevner. Og de nødvendige tallene, "utjevner" nevnerne, kalles tilleggsfaktorer.
Hvorfor må vi redusere brøker til en fellesnevner? Her er bare noen få grunner:
- Addere og subtrahere brøker med forskjellige nevnere. Det er ingen annen måte å utføre denne operasjonen på;
- Sammenligning av brøker. Noen ganger forenkler reduksjon til en fellesnevner denne oppgaven i stor grad;
- Løse problemer som involverer brøker og prosenter. Prosentandeler er i hovedsak vanlige uttrykk som inneholder brøker.
Det er mange måter å finne tall på som, når de multipliseres med dem, vil gjøre nevnerne til brøker like. Vi vil vurdere bare tre av dem - i rekkefølge med økende kompleksitet og, på en måte, effektivitet.
Multiplikasjon på kryss og tvers
Den enkleste og mest pålitelige metoden, som garantert vil utjevne nevnerne. Vi vil handle "på en hodestups måte": vi multipliserer den første brøken med nevneren til den andre brøken, og den andre med nevneren til den første. Som et resultat vil nevnerne til begge brøkene bli lik produktet av de opprinnelige nevnerne. Ta en titt:
Som tilleggsfaktorer, vurder nevnerne til nærliggende brøker. Vi får:
Ja, så enkelt er det. Hvis du akkurat har begynt å studere brøker, er det bedre å jobbe med denne metoden - på denne måten vil du sikre deg mot mange feil og garantert få resultatet.
Den eneste ulempen denne metoden- du må telle mye, fordi nevnerne multipliseres "tvers igjennom", og resultatet kan bli veldig store tall. Dette er prisen å betale for pålitelighet.
Felles divisormetode
Denne teknikken bidrar til å redusere beregningene betydelig, men den brukes dessverre ganske sjelden. Metoden er som følger:
- Før du går rett frem (dvs. bruker kryss-tvers-metoden), ta en titt på nevnerne. Kanskje er en av dem (den som er større) delt inn i den andre.
- Tallet som følger av denne delingen vil være en tilleggsfaktor for brøken med en mindre nevner.
- I dette tilfellet trenger ikke en brøk med stor nevner å multipliseres med noe i det hele tatt - det er her besparelsene ligger. Samtidig reduseres sannsynligheten for feil kraftig.
Oppgave. Finn betydningen av uttrykkene:
Merk at 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Siden den ene nevneren i begge tilfeller er delt uten en rest med den andre, bruker vi metoden for fellesfaktorer. Vi har:
Merk at den andre brøken ikke ble multiplisert med noe i det hele tatt. Faktisk halverer vi beregningsmengden!
Forresten, jeg tok ikke brøkene i dette eksemplet ved en tilfeldighet. Hvis du er interessert, prøv å telle dem ved å bruke kryss-tvers-metoden. Etter reduksjon vil svarene være de samme, men det blir mye mer arbeid.
Dette er kraften til felles divisormetoden, men igjen, den kan bare brukes når en av nevnerne er delelig med den andre uten en rest. Noe som skjer ganske sjelden.
Minst vanlige multiple metode
Når vi reduserer brøker til en fellesnevner, prøver vi i hovedsak å finne et tall som er delelig med hver av nevnerne. Så bringer vi nevnerne til begge brøkene til dette tallet.
Det er mange slike tall, og det minste av dem vil ikke nødvendigvis være lik det direkte produktet av nevnerne til de opprinnelige brøkene, slik det antas i "kryss-kryss"-metoden.
For eksempel, for nevnerne 8 og 12, er tallet 24 ganske passende, siden 24: 8 = 3; 24:12 = 2. Dette tallet er mye mindre enn produktet 8 · 12 = 96.
Det minste tallet som er delelig med hver av nevnerne kalles deres minste felles multiplum (LCM).
Notasjon: Det minste felles multiplum av a og b er betegnet med LCM(a ; b) . For eksempel, LCM(16, 24) = 48 ; LCM(8; 12) = 24 .
Klarer du å finne et slikt tall, vil den totale mengden beregninger være minimal. Se på eksemplene:
Oppgave. Finn betydningen av uttrykkene:
Merk at 234 = 117 2; 351 = 117 3. Faktor 2 og 3 er coprime (har ingen felles faktorer annet enn 1), og faktor 117 er vanlig. Derfor LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.
Likeledes, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktor 3 og 4 er coprime, og faktor 5 er vanlig. Derfor LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.
La oss nå bringe brøkene til fellesnevnere:
Legg merke til hvor nyttig det var å faktorisere de opprinnelige nevnerne:
- Etter å ha oppdaget identiske faktorer, kom vi umiddelbart frem til det minste felles multiplum, som generelt sett er et ikke-trivielt problem;
- Fra den resulterende utvidelsen kan du finne ut hvilke faktorer som "mangler" i hver brøk. For eksempel, 234 · 3 = 702, derfor er tilleggsfaktoren 3 for den første brøken.
For å forstå hvor stor forskjell den minste felles multiple-metoden utgjør, prøv å beregne de samme eksemplene ved å bruke kryss-tvers-metoden. Selvfølgelig uten kalkulator. Jeg tror at kommentarer etter dette vil være unødvendige.
Ikke tro at det ikke vil være så komplekse brøker i de virkelige eksemplene. De møtes hele tiden, og oppgavene ovenfor er ikke grensen!
Det eneste problemet er hvordan du finner denne NOC. Noen ganger kan alt bli funnet på noen få sekunder, bokstavelig talt "med øyet", men generelt er dette en kompleks beregningsoppgave som krever separat vurdering. Det skal vi ikke berøre her.
I denne leksjonen vil vi lære om reglene for bracketing felles multiplikator, la oss lære å finne den i ulike eksempler og uttrykk. La oss snakke om hvordan enkel operasjon, ved å plassere fellesfaktoren utenfor parentes kan du forenkle beregningene. Vi vil konsolidere den tilegnete kunnskapen og ferdighetene ved å se på eksempler på ulike kompleksiteter.
Hva er en felles faktor, hvorfor lete etter den og til hvilket formål er den tatt ut av parentes? La oss svare på disse spørsmålene ved å se på et enkelt eksempel.
La oss løse ligningen. Venstre side ligningen er et polynom som består av lignende ledd. Bokstavdelen er felles for disse begrepene, noe som betyr at den vil være den felles faktoren. La oss sette det utenfor parentes:
I dette tilfellet hjalp å ta den felles faktoren ut av parenteser oss med å konvertere polynomet til et monom. Dermed var vi i stand til å forenkle polynomet og dets transformasjon hjalp oss med å løse ligningen.
I det betraktede eksemplet var fellesfaktoren åpenbar, men ville det være så lett å finne den i et vilkårlig polynom?
La oss finne betydningen av uttrykket: .
I i dette eksempletå plassere fellesfaktoren utenfor parentes forenklet beregningen betydelig.
La oss løse et eksempel til. La oss bevise delbarhet i uttrykk.
Det resulterende uttrykket er delelig med , som kreves for å bli bevist. Nok en gang, ved å ta den felles faktoren tillot vi å løse problemet.
La oss løse et eksempel til. La oss bevise at uttrykket er delelig med for et hvilket som helst naturlig tall: 
.
Uttrykket er produktet av to tilstøtende naturlige tall. Ett av de to tallene vil definitivt være partall, noe som betyr at uttrykket vil være delelig med .
Vi har ordnet det ulike eksempler, men de brukte samme løsningsmetode: de tok fellesfaktoren ut av parentes. Vi ser at denne enkle operasjonen i stor grad forenkler beregningene. Det var lett å finne en felles faktor for disse spesielle tilfellene, men hva skal man gjøre i generell sak, for et vilkårlig polynom?
Husk at et polynom er en sum av monomer.
Tenk på polynomet 
. Dette polynomet er summen av to monomer. Et monomial er produktet av et tall, en koeffisient og en bokstavdel. Således, i vårt polynom, er hvert monom representert av produktet av et tall og potenser, produktet av faktorer. Faktorene kan være de samme for alle monomialer. Det er disse faktorene som må bestemmes og tas ut av braketten. Først finner vi den felles faktoren for koeffisientene, som er heltall.
Det var lett å finne den felles faktoren, men la oss definere gcd for koeffisientene: 
.
La oss se på et annet eksempel: .
La oss finne , som vil tillate oss å bestemme den felles faktoren for dette uttrykket: .
Vi har utledet en regel for heltallskoeffisienter. Du må finne deres gcd og ta den ut av braketten. La oss konsolidere denne regelen ved å løse ett eksempel til.
Vi har sett på regelen for å tilordne en felles faktor for heltallskoeffisienter, la oss gå videre til bokstavdelen. Først ser vi etter de bokstavene som er inkludert i alle monomialer, og deretter bestemmer vi den høyeste graden av bokstaven som er inkludert i alle monomialer: .
I dette eksemplet var det bare én vanlig bokstavvariabel, men det kan være flere, som i følgende eksempel:
La oss komplisere eksemplet ved å øke antall monomialer:
Etter å ha tatt ut fellesfaktoren, konverterte vi den algebraiske summen til et produkt.
Vi så på subtraksjonsreglene for heltallskoeffisienter og bokstavvariabler hver for seg, men som oftest må du bruke dem sammen for å løse eksempelet. La oss se på et eksempel:
Noen ganger kan det være vanskelig å bestemme hvilket uttrykk som er igjen i parentes, la oss se på et enkelt triks som lar deg raskt løse dette problemet.
Fellesfaktoren kan også være ønsket verdi:
Den felles faktoren kan ikke bare være et tall eller et monomial, men også et hvilket som helst uttrykk, for eksempel i den følgende ligningen.
Laster inn...
