Lineær avhengighet og lineær uavhengighet av vektorer.
Grunnlag for vektorer. Affint koordinatsystem

Det står en vogn med sjokolade i auditoriet, og hver besøkende i dag vil få et søtt par - analytisk geometri med lineær algebra. Denne artikkelen vil berøre to seksjoner av høyere matematikk på en gang, og vi vil se hvordan de eksisterer sammen i ett omslag. Ta en pause, spis en Twix! ...fan, for en haug med tull. Selv om jeg ikke scorer, til slutt bør du ha en positiv holdning til å studere.

Lineær avhengighet av vektorer, lineær vektoruavhengighet, basis av vektorer og andre termer har ikke bare en geometrisk tolkning, men fremfor alt en algebraisk betydning. Selve konseptet "vektor" fra lineær algebras synspunkt er ikke alltid den "vanlige" vektoren som vi kan skildre på et plan eller i rommet. Du trenger ikke se langt etter bevis, prøv å tegne en vektor av femdimensjonalt rom . Eller værvektoren, som jeg nettopp dro til Gismeteo for: henholdsvis temperatur og atmosfærisk trykk. Eksemplet er selvfølgelig feil med tanke på egenskapene til vektorrommet, men likevel er det ingen som forbyr å formalisere disse parameterne som en vektor. Høstens pust...

Nei, jeg skal ikke kjede deg med teori, lineære vektorrom, oppgaven er å forstå definisjoner og teoremer. De nye begrepene (lineær avhengighet, uavhengighet, lineær kombinasjon, basis, etc.) gjelder for alle vektorer fra et algebraisk synspunkt, men geometriske eksempler vil bli gitt. Dermed er alt enkelt, tilgjengelig og oversiktlig. I tillegg til problemer med analytisk geometri, vil vi også vurdere noen typiske algebraproblemer. For å mestre materialet, er det tilrådelig å gjøre deg kjent med leksjonene Vektorer for dummies Og Hvordan beregne determinanten?

Lineær avhengighet og uavhengighet av planvektorer.
Plangrunnlag og affint koordinatsystem

La oss vurdere planen til datamaskinpulten din (bare et bord, nattbord, gulv, tak, hva du måtte ønske). Oppgaven vil bestå av følgende handlinger:

1) Velg flybasis. Grovt sett har en bordplate en lengde og en bredde, så det er intuitivt at det kreves to vektorer for å konstruere grunnlaget. En vektor er tydeligvis ikke nok, tre vektorer er for mye.

2) Basert på valgt grunnlag sette koordinatsystem(koordinatrutenett) for å tildele koordinater til alle objekter på tabellen.

Ikke bli overrasket, først vil forklaringene være på fingrene. Dessuten på din. Vennligst plasser venstre pekefinger på kanten av bordplaten slik at han ser på skjermen. Dette vil være en vektor. Plasser nå høyre lillefinger på kanten av bordet på samme måte - slik at den er rettet mot LCD-skjermen. Dette vil være en vektor. Smil, du ser bra ut! Hva kan vi si om vektorer? Datavektorer kollineær, som betyr lineær uttrykt gjennom hverandre:
, vel, eller omvendt: , hvor er et tall forskjellig fra null.

Du kan se et bilde av denne handlingen i klassen. Vektorer for dummies, hvor jeg forklarte regelen for å multiplisere en vektor med et tall.

Vil fingrene sette grunnlaget på planet til datamaskinpulten? Åpenbart ikke. Kollineære vektorer reiser frem og tilbake på tvers alene retning, og et plan har lengde og bredde.

Slike vektorer kalles lineært avhengig.

Henvisning: Ordene "lineær", "lineært" angir det faktum at i matematiske ligninger og uttrykk er det ingen kvadrater, terninger, andre potenser, logaritmer, sinus, etc. Det er bare lineære (1. grads) uttrykk og avhengigheter.

To planvektorer lineært avhengig hvis og bare hvis de er kollineære.

Kryss fingrene på bordet slik at det er en annen vinkel mellom dem enn 0 eller 180 grader. To planvektorerlineær Ikke avhengig hvis og bare hvis de ikke er kollineære. Så grunnlaget er oppnådd. Det er ingen grunn til å være flau over at grunnlaget viste seg å være "skjevt" med ikke-vinkelrette vektorer av forskjellig lengde. Svært snart vil vi se at ikke bare en vinkel på 90 grader er egnet for konstruksjonen, og ikke bare enhetsvektorer av lik lengde

Noen plan vektor den eneste måten utvides i henhold til grunnlaget:
, hvor er reelle tall. Tallene kalles vektorkoordinater på dette grunnlaget.

Det sies det også vektorpresentert som lineær kombinasjon basisvektorer. Det vil si at uttrykket heter vektor nedbrytningpå grunnlag eller lineær kombinasjon basisvektorer.

For eksempel kan vi si at vektoren er dekomponert langs en ortonormal basis av planet, eller vi kan si at den er representert som en lineær kombinasjon av vektorer.

La oss formulere definisjon av grunnlag formelt: Grunnlaget for flyet kalles et par lineært uavhengige (ikke-kollineære) vektorer, , hvori noen en plan vektor er en lineær kombinasjon av basisvektorer.

Et vesentlig poeng med definisjonen er det faktum at vektorene er tatt i en bestemt rekkefølge. Baser – dette er to helt forskjellige baser! Som de sier, du kan ikke erstatte lillefingeren på venstre hånd i stedet for lillefingeren på høyre hånd.

Vi har funnet ut grunnlaget, men det er ikke nok å sette et koordinatrutenett og tildele koordinater til hvert element på datamaskinpulten din. Hvorfor er det ikke nok? Vektorene er frie og vandrer gjennom hele flyet. Så hvordan tildeler du koordinater til de små skitne flekkene på bordet som er igjen fra en vill helg? Det trengs et utgangspunkt. Og et slikt landemerke er et punkt kjent for alle - opprinnelsen til koordinatene. La oss forstå koordinatsystemet:

Jeg begynner med "skole"-systemet. Allerede i introduksjonstimen Vektorer for dummies Jeg fremhevet noen forskjeller mellom det rektangulære koordinatsystemet og det ortonormale grunnlaget. Her er standardbildet:

Når de snakker om rektangulært koordinatsystem, da mener de oftest origo, koordinatakser og skala langs aksene. Prøv å skrive "rektangulært koordinatsystem" i en søkemotor, og du vil se at mange kilder vil fortelle deg om koordinatakser kjent fra 5.-6. klasse og hvordan du plotter punkter på et fly.

På den annen side ser det ut til at et rektangulært koordinatsystem kan defineres fullstendig ut fra et ortonormalt grunnlag. Og det er nesten sant. Ordlyden er som følger:

opprinnelse, Og ortonormal grunnlaget er lagt Kartesisk rektangulært plan koordinatsystem . Det vil si det rektangulære koordinatsystemet helt sikkert er definert av et enkelt punkt og to enheter ortogonale vektorer. Det er derfor du ser tegningen som jeg ga ovenfor - i geometriske oppgaver er både vektorer og koordinatakser ofte (men ikke alltid) tegnet.

Jeg tror alle forstår det ved å bruke et punkt (opprinnelse) og en ortonormal basis HVERT PUNKT på flyet og ENHVER VEKTOR på flyet koordinater kan tildeles. Billedlig talt, "alt på et fly kan nummereres."

Kreves koordinatvektorer for å være enhet? Nei, de kan ha en vilkårlig lengde som ikke er null. Tenk på et punkt og to ortogonale vektorer med vilkårlig lengde som ikke er null:

Et slikt grunnlag kalles ortogonal. Opprinnelsen til koordinater med vektorer er definert av et koordinatgitter, og ethvert punkt på planet, enhver vektor har sine koordinater på en gitt basis. For eksempel eller. Den åpenbare ulempen er at koordinatvektorene generelt har andre lengder enn enhet. Hvis lengdene er lik enhet, oppnås det vanlige ortonormale grunnlaget.

! Merk : i den ortogonale basis, så vel som under i de affine basene av plan og rom, anses enheter langs aksene BETINGET. For eksempel inneholder en enhet langs x-aksen 4 cm, og en enhet langs ordinataksen inneholder 2 cm. Denne informasjonen er nok til om nødvendig å konvertere "ikke-standard" koordinater til "våre vanlige centimeter".

Og det andre spørsmålet, som faktisk allerede er besvart, er om vinkelen mellom basisvektorene må være lik 90 grader? Nei! Som definisjonen sier, må basisvektorene være bare ikke-kollineær. Følgelig kan vinkelen være alt unntatt 0 og 180 grader.

Et punkt på flyet ringte opprinnelse, Og ikke-kollineær vektorer, , sett affint plan koordinatsystem :

Noen ganger kalles et slikt koordinatsystem skrå system. Som eksempler viser tegningen punkter og vektorer:

Som du forstår, er det affine koordinatsystemet enda mindre praktisk; formlene for lengdene til vektorer og segmenter, som vi diskuterte i den andre delen av leksjonen, fungerer ikke i det Vektorer for dummies, mange deilige formler relatert til skalært produkt av vektorer. Men reglene for å legge til vektorer og multiplisere en vektor med et tall, formler for å dele et segment i denne relasjonen, samt noen andre typer problemer som vi snart vil vurdere er gyldige.

Og konklusjonen er at det mest praktiske spesialtilfellet av et affint koordinatsystem er det kartesiske rektangulære systemet. Det er derfor du oftest må se henne, min kjære. ...Men alt i dette livet er relativt - det er mange situasjoner der en skrå vinkel (eller en annen, for eksempel, polar) koordinatsystem. Og humanoider kan like slike systemer =)

La oss gå videre til den praktiske delen. Alle problemer i denne leksjonen er gyldige både for det rektangulære koordinatsystemet og for det generelle affine tilfellet. Det er ikke noe komplisert her; alt materialet er tilgjengelig selv for et skolebarn.

Hvordan bestemme kollinearitet til planvektorer?

Typisk ting. For to plan vektorer var kollineære, er det nødvendig og tilstrekkelig at deres tilsvarende koordinater er proporsjonale I hovedsak er dette en koordinat-for-koordinat-detaljering av det åpenbare forholdet.

Eksempel 1

a) Sjekk om vektorene er kollineære .
b) Danner vektorene et grunnlag? ?

Løsning:
a) La oss finne ut om det er for vektorer proporsjonalitetskoeffisient, slik at likhetene er oppfylt:

Jeg vil definitivt fortelle deg om den "foppish" versjonen av å bruke denne regelen, som fungerer ganske bra i praksis. Tanken er å umiddelbart gjøre opp andelen og se om den er riktig:

La oss lage en proporsjon fra forholdet mellom de tilsvarende koordinatene til vektorene:

La oss forkorte:
, dermed er de tilsvarende koordinatene proporsjonale, derfor,

Forholdet kan gjøres omvendt; dette er et tilsvarende alternativ:

For selvtest kan du bruke det faktum at kollineære vektorer er lineært uttrykt gjennom hverandre. I dette tilfellet finner likestillingene sted . Gyldigheten deres kan enkelt verifiseres gjennom elementære operasjoner med vektorer:

b) To plane vektorer danner grunnlag hvis de ikke er kollineære (lineært uavhengige). Vi undersøker vektorer for kollinearitet . La oss lage et system:

Fra den første ligningen følger det at , fra den andre ligningen følger det at , som betyr systemet er inkonsekvent(ingen løsninger). Dermed er de tilsvarende koordinatene til vektorene ikke proporsjonale.

Konklusjon: vektorene er lineært uavhengige og danner en basis.

En forenklet versjon av løsningen ser slik ut:

La oss lage en proporsjon fra de tilsvarende koordinatene til vektorene :
, som betyr at disse vektorene er lineært uavhengige og danner en basis.

Vanligvis blir ikke dette alternativet avvist av anmeldere, men det oppstår et problem i tilfeller der noen koordinater er lik null. Som dette: . Eller slik: . Eller slik: . Hvordan jobbe gjennom proporsjoner her? (du kan faktisk ikke dele med null). Det er av denne grunn at jeg kalte den forenklede løsningen "foppish".

Svar: a), b) form.

Et lite kreativt eksempel på din egen løsning:

Eksempel 2

På hvilken verdi av parameteren er vektorene vil de være kollineære?

I prøveløsningen finnes parameteren gjennom proporsjonen.

Det er en elegant algebraisk måte å sjekke vektorer for kollinearitet. La oss systematisere kunnskapen vår og legge den til som det femte punktet:

For to plane vektorer er følgende utsagn ekvivalente:

2) vektorene danner en basis;
3) vektorene er ikke kollineære;

+ 5) determinanten sammensatt av koordinatene til disse vektorene er ikke null.

Henholdsvis følgende motsatte utsagn er likeverdige:
1) vektorer er lineært avhengige;
2) vektorer danner ikke grunnlag;
3) vektorene er kollineære;
4) vektorer kan uttrykkes lineært gjennom hverandre;
+ 5) determinanten sammensatt av koordinatene til disse vektorene er lik null.

Jeg håper virkelig at du allerede nå forstår alle begrepene og utsagnene du har møtt.

La oss se nærmere på det nye, femte punktet: to plane vektorer er kollineære hvis og bare hvis determinanten sammensatt av koordinatene til de gitte vektorene er lik null:. For å bruke denne funksjonen må du selvfølgelig kunne finne determinanter.

La oss bestemme Eksempel 1 på den andre måten:

a) La oss beregne determinanten som består av koordinatene til vektorene :
, som betyr at disse vektorene er kollineære.

b) To plane vektorer danner grunnlag hvis de ikke er kollineære (lineært uavhengige). La oss beregne determinanten som består av vektorkoordinater :
, som betyr at vektorene er lineært uavhengige og danner en basis.

Svar: a), b) form.

Det ser mye mer kompakt og penere ut enn en løsning med proporsjoner.

Ved hjelp av materialet som vurderes, er det mulig å etablere ikke bare kollineariteten til vektorer, men også å bevise parallelliteten til segmenter og rette linjer. La oss vurdere et par problemer med spesifikke geometriske former.

Eksempel 3

Toppunktene til en firkant er gitt. Bevis at en firkant er et parallellogram.

Bevis: Det er ikke nødvendig å lage en tegning i oppgaven, siden løsningen vil være rent analytisk. La oss huske definisjonen av et parallellogram:
Parallelogram En firkant hvis motsatte sider er parallelle i par kalles.

Derfor er det nødvendig å bevise:
1) parallellitet av motsatte sider og;
2) parallellitet av motsatte sider og.

Vi beviser:

1) Finn vektorene:

2) Finn vektorene:

Resultatet er samme vektor ("i henhold til skolen" - like vektorer). Kolinearitet er ganske åpenbar, men det er bedre å formalisere beslutningen tydelig, med avtale. La oss beregne determinanten som består av vektorkoordinater:
, som betyr at disse vektorene er kollineære, og .

Konklusjon: De motsatte sidene av en firkant er parallelle, noe som betyr at det er et parallellogram per definisjon. Q.E.D.

Flere gode og annerledes figurer:

Eksempel 4

Toppunktene til en firkant er gitt. Bevis at en firkant er en trapes.

For en mer streng formulering av beviset, er det selvfølgelig bedre å få definisjonen av en trapes, men det er nok å bare huske hvordan det ser ut.

Dette er en oppgave du må løse på egenhånd. Full løsning på slutten av timen.

Og nå er det på tide å sakte bevege seg fra flyet til verdensrommet:

Hvordan bestemme kollinearitet av romvektorer?

Regelen er veldig lik. For at to romvektorer skal være kollineære, er det nødvendig og tilstrekkelig at deres tilsvarende koordinater er proporsjonale.

Eksempel 5

Finn ut om følgende romvektorer er kollineære:

A) ;
b)
V)

Løsning:
a) La oss sjekke om det er en proporsjonalitetskoeffisient for de tilsvarende koordinatene til vektorene:

Systemet har ingen løsning, noe som betyr at vektorene ikke er kollineære.

"Forenklet" formaliseres ved å sjekke andelen. I dette tilfellet:
– de tilsvarende koordinatene er ikke proporsjonale, noe som betyr at vektorene ikke er kollineære.

Svar: vektorene er ikke kollineære.

b-c) Dette er punkter for selvstendig avgjørelse. Prøv det på to måter.

Det er en metode for å sjekke romlige vektorer for kollinearitet gjennom en tredjeordens determinant; denne metoden er dekket i artikkelen Vektorprodukt av vektorer.

I likhet med plantilfellet kan de betraktede verktøyene brukes til å studere parallelliteten til romlige segmenter og rette linjer.

Velkommen til den andre delen:

Lineær avhengighet og uavhengighet av vektorer i tredimensjonalt rom.
Romlig basis og affint koordinatsystem

Mange av mønstrene vi undersøkte på flyet vil være gyldige for verdensrommet. Jeg prøvde å minimere teorinotatene, siden brorparten av informasjonen allerede er tygget. Jeg anbefaler deg imidlertid å lese den innledende delen nøye, da nye termer og begreper vil dukke opp.

Nå, i stedet for planen til datapulten, utforsker vi det tredimensjonale rommet. Først, la oss lage grunnlaget. Noen er nå innendørs, noen er utendørs, men vi kan uansett ikke unnslippe tre dimensjoner: bredde, lengde og høyde. Derfor, for å konstruere en basis, vil det være nødvendig med tre romlige vektorer. En eller to vektorer er ikke nok, den fjerde er overflødig.

Og igjen varmer vi opp på fingrene. Vennligst løft hånden opp og spre den i forskjellige retninger tommel, peker og langfinger. Dette vil være vektorer, de ser i forskjellige retninger, har forskjellig lengde og har forskjellige vinkler seg imellom. Gratulerer, grunnlaget for tredimensjonalt rom er klart! Det er forresten ingen grunn til å demonstrere dette for lærere, uansett hvor hardt du vrir på fingrene, men det er ingen flukt fra definisjoner =)

La oss deretter stille oss selv et viktig spørsmål: danner noen tre vektorer en basis for tredimensjonalt rom? Trykk tre fingre fast på toppen av datamaskinpulten. Hva skjedde? Tre vektorer er plassert i samme plan, og grovt sett har vi mistet en av dimensjonene - høyden. Slike vektorer er koplanar og det er ganske åpenbart at grunnlaget for tredimensjonalt rom ikke er skapt.

Det skal bemerkes at koplanare vektorer ikke trenger å ligge i samme plan, de kan være i parallelle plan (bare ikke gjør dette med fingrene, bare Salvador Dali gjorde dette =)).

Definisjon: vektorer kalles koplanar, hvis det er et plan som de er parallelle med. Det er logisk å legge til her at hvis et slikt plan ikke eksisterer, så vil ikke vektorene være koplanære.

Tre koplanare vektorer er alltid lineært avhengige, det vil si at de uttrykkes lineært gjennom hverandre. For enkelhets skyld, la oss igjen forestille oss at de ligger i samme plan. For det første er vektorer ikke bare koplanære, de kan også være kollineære, deretter kan enhver vektor uttrykkes gjennom hvilken som helst vektor. I det andre tilfellet, hvis for eksempel vektorene ikke er kollineære, blir den tredje vektoren uttrykt gjennom dem på en unik måte: (og hvorfor er lett å gjette ut fra materialene i forrige avsnitt).

Det motsatte er også sant: tre ikke-koplanare vektorer er alltid lineært uavhengige, det vil si at de på ingen måte kommer til uttrykk gjennom hverandre. Og åpenbart er det bare slike vektorer som kan danne grunnlaget for tredimensjonalt rom.

Definisjon: Grunnlaget for tredimensjonalt rom kalles en trippel av lineært uavhengige (ikke-koplanare) vektorer, tatt i en bestemt rekkefølge, og hvilken som helst vektor av rom den eneste måten er dekomponert over en gitt basis, hvor er koordinatene til vektoren i denne basisen

La meg minne deg på at vi også kan si at vektoren er representert i formen lineær kombinasjon basisvektorer.

Konseptet med et koordinatsystem introduseres på nøyaktig samme måte som for plantilfellet; ett punkt og hvilke som helst tre lineært uavhengige vektorer er nok:

opprinnelse, Og ikke-coplanar vektorer, tatt i en bestemt rekkefølge, sett affint koordinatsystem av tredimensjonalt rom :

Selvfølgelig er koordinatnettet "skrå" og upraktisk, men likevel lar det konstruerte koordinatsystemet oss helt sikkert Bestem koordinatene til enhver vektor og koordinatene til ethvert punkt i rommet. I likhet med et fly, vil noen formler som jeg allerede har nevnt, ikke fungere i det affine koordinatsystemet i rommet.

Det mest kjente og praktiske spesialtilfellet av et affint koordinatsystem, som alle gjetter, er rektangulært romkoordinatsystem:

Et punkt i rommet kalt opprinnelse, Og ortonormal grunnlaget er lagt Kartesisk rektangulært romkoordinatsystem . Kjent bilde:

Før vi går videre til praktiske oppgaver, la oss igjen systematisere informasjonen:

For tre romvektorer er følgende utsagn ekvivalente:
1) vektorene er lineært uavhengige;
2) vektorene danner en basis;
3) vektorene er ikke koplanære;
4) vektorer kan ikke uttrykkes lineært gjennom hverandre;
5) determinanten, sammensatt av koordinatene til disse vektorene, er forskjellig fra null.

Jeg tror de motsatte utsagnene er forståelige.

Lineær avhengighet/uavhengighet av romvektorer kontrolleres tradisjonelt ved hjelp av en determinant (punkt 5). De resterende praktiske oppgavene vil være av utpreget algebraisk karakter. Det er på tide å henge opp geometripinnen og bruke baseballballtre av lineær algebra:

Tre vektorer av rom er koplanære hvis og bare hvis determinanten sammensatt av koordinatene til de gitte vektorene er lik null: .

Jeg vil gjerne trekke oppmerksomheten til en liten teknisk nyanse: koordinatene til vektorer kan skrives ikke bare i kolonner, men også i rader (verdien til determinanten vil ikke endre seg på grunn av dette - se egenskaper til determinanter). Men det er mye bedre i kolonner, siden det er mer fordelaktig for å løse noen praktiske problemer.

For de lesere som litt har glemt metodene for å beregne determinanter, eller kanskje har liten forståelse for dem i det hele tatt, anbefaler jeg en av mine eldste leksjoner: Hvordan beregne determinanten?

Eksempel 6

Sjekk om følgende vektorer danner grunnlaget for tredimensjonalt rom:

Løsning: Faktisk handler hele løsningen om å beregne determinanten.

a) La oss beregne determinanten som består av vektorkoordinater (determinanten vises i den første linjen):

, som betyr at vektorene er lineært uavhengige (ikke koplanære) og danner grunnlaget for tredimensjonalt rom.

Svar: disse vektorene danner et grunnlag

b) Dette er et punkt for selvstendig beslutning. Full løsning og svar på slutten av timen.

Det er også kreative oppgaver:

Eksempel 7

Ved hvilken verdi av parameteren vil vektorene være koplanære?

Løsning: Vektorer er koplanære hvis og bare hvis determinanten sammensatt av koordinatene til disse vektorene er lik null:

I hovedsak må du løse en ligning med en determinant. Vi svir ned på nuller som drager på jerboas - det er best å åpne determinanten i den andre linjen og umiddelbart bli kvitt minusene:

Vi utfører ytterligere forenklinger og reduserer saken til den enkleste lineære ligningen:

Svar: kl

Det er enkelt å sjekke her; for å gjøre dette må du erstatte den resulterende verdien i den opprinnelige determinanten og sørge for at , åpne den igjen.

Avslutningsvis vil vi vurdere et annet typisk problem, som er mer algebraisk i naturen og som tradisjonelt inngår i et lineært algebrakurs. Det er så vanlig at det fortjener sitt eget emne:

Bevis at 3 vektorer danner grunnlaget for tredimensjonalt rom
og finn koordinatene til den 4. vektoren i dette grunnlaget

Eksempel 8

Vektorer er gitt. Vis at vektorer danner grunnlag i tredimensjonalt rom og finn koordinatene til vektoren i dette grunnlaget.

Løsning: Først, la oss håndtere tilstanden. Ved betingelse er fire vektorer gitt, og som du kan se, har de allerede koordinater på et eller annet grunnlag. Hva dette grunnlaget er, er ikke av interesse for oss. Og følgende ting er av interesse: tre vektorer kan godt danne et nytt grunnlag. Og det første trinnet faller fullstendig sammen med løsningen i eksempel 6; det er nødvendig å sjekke om vektorene virkelig er lineært uavhengige:

La oss beregne determinanten som består av vektorkoordinater:

, som betyr at vektorene er lineært uavhengige og danner grunnlaget for tredimensjonalt rom.

! Viktig : vektorkoordinater Nødvendigvis skrive ned inn i kolonner determinant, ikke i strenger. Ellers vil det oppstå forvirring i den videre løsningsalgoritmen.

3.3. Lineær uavhengighet av vektorer. Basis.

Lineær kombinasjon vektorsystemer

kalt en vektor

hvor en 1, en 2, ..., en n - vilkårlige tall.

Hvis alle en i = 0, så kalles den lineære kombinasjonen triviell . I dette tilfellet, åpenbart

Definisjon 5.

Hvis for et system av vektorer det er en ikke-triviell lineær kombinasjon (minst én ai¹ 0) lik nullvektoren: da kalles systemet av vektorer lineær avhengig. Hvis likhet (1) er mulig bare i tilfelle når alle en i =0, da kalles systemet av vektorer lineær uavhengig .

Teorem 2 (Betingelser for lineær avhengighet).

Definisjon 6.

Fra teorem 3 det følger at hvis en basis er gitt i rommet, får vi ved å legge til en vilkårlig vektor til den et lineært avhengig system av vektorer. I samsvar med Teorem 2 (1) , kan en av dem (det kan vises at vektoren) representeres som en lineær kombinasjon av de andre:

.

Definisjon 7.

Tall er kalt koordinater vektorer i grunnlaget (betegnet

Hvis vektorene vurderes på planet, vil grunnlaget være et ordnet par av ikke-kollineære vektorer

og koordinatene til vektoren i dette grunnlaget er et tallpar:

Merknad 3. Det kan vises for et gitt grunnlag bestemmes koordinatene til vektoren unikt . Spesielt av dette følger det at hvis vektorene er like, så er deres tilsvarende koordinater like, og omvendt .

Således, hvis en basis er gitt i et rom, tilsvarer hver vektor i rommet en ordnet trippel av tall (koordinatene til vektoren i dette grunnlaget) og omvendt: hver trippel av tall tilsvarer en vektor.

På flyet etableres en lignende samsvar mellom vektorer og tallpar.

Teorem 4 (Lineære operasjoner gjennom vektorkoordinater).

Hvis på et eller annet grunnlag Og en er et vilkårlig tall, da i dette grunnlaget

Med andre ord:

Når en vektor multipliseres med et tall, multipliseres dens koordinater med dette tallet ;

når du legger til vektorer, blir deres tilsvarende koordinater lagt til .

Eksempel 1 . På noen grunnlag vektorenehar koordinater

Vis at vektorene danner et grunnlag og finn koordinatene til vektoren i dette grunnlaget.

Vektorer danner et grunnlag hvis de er ikke-koplanære, derfor (i samsvar med av teorem 3(2) ) er lineært uavhengige.

Per definisjon 5 dette betyr at likhet

bare mulig hvisx = y = z = 0.

Vektor konsept

Definisjon 1.Vektor kalt et rettet segment (eller, hva er det samme, et ordnet par med punkter).

Utpekt: ​​(punkt A er begynnelsen av vektoren), punkt B er slutten av vektoren) eller med en bokstav -.

Definisjon 2.Vektorlengde (modul) er avstanden mellom begynnelsen og slutten av vektoren. Lengden på vektoren er angitt med eller.

Definisjon 3.Null vektor En vektor kalles hvis begynnelse og slutt faller sammen. Utpeke:

Definisjon 4.Enhetsvektor er en vektor hvis lengde er lik én.

En enhetsvektor som har samme retning som en gitt vektor kalles enhetsvektoren til vektoren og betegnes med symbolet.

Definisjon 5. Vektorene kalles collineær, hvis de er plassert på samme rette linje eller på parallelle rette linjer. Nullvektoren betraktes som kollineær til enhver vektor.

Definisjon 6. Vektorene kalles lik, hvis de er collineære, har samme lengde og samme retning.

Lineære operasjoner på vektorer

Definisjon 7.Lineære operasjoner på vektorer kalles addisjon av vektorer og multiplikasjon av en vektor med et tall.

Definisjon 8.Summen av to vektorer er en vektor som går fra begynnelsen av vektoren til slutten av vektoren, forutsatt at vektoren er festet til enden av vektoren (trekantregel). Når det gjelder ikke-kollineære vektorer, i stedet for triangelregelen, er det mulig å bruke parallellogramregelen: hvis vektorene er satt til side fra et felles opphav og et parallellogram er bygget på dem, så er summen en vektor som sammenfaller med diagonalen til dette parallellogrammet som kommer fra en felles opprinnelse.

Definisjon 9.Forskjellen på to vektorer kalles en vektor som, når den legges til en vektor, danner en vektor. Hvis to vektorer er satt til side fra en felles opprinnelse, er forskjellen deres en vektor som fortsetter fra slutten av vektoren ("subtrahert") til slutten av vektoren ("redusert").

Definisjon 10. To kolineære vektorer av samme lengde rettet i motsatte retninger kalles motsatte. Vektoren motsatt av vektoren er angitt.

Produktet av en vektor og et tall er betegnet med α.

Noen egenskaper ved lineære operasjoner

7) ;

Teorem 1.(Om kollineære vektorer). Hvis u er to kollineære vektorer, og vektoren er ikke-null, så er det et unikt tall x slik at = x

Spesielt er en ikke-nullvektor og dens ort-koblet med likheten: =·.

De formulerte egenskapene til lineære operasjoner gjør det mulig å transformere uttrykk sammensatt av vektorer i henhold til de vanlige reglene for algebra: du kan åpne parenteser, ta med lignende termer, overføre noen termer til en annen del av likheten med motsatt fortegn, etc.

Eksempel 1.

Bevis likheter:

og finn ut hva deres geometriske betydning er.

Løsning. a) På venstre side av likheten, åpne parentesene, legg til lignende termer, og få en vektor på høyre side. La oss forklare denne likheten geometrisk. La to vektorer gis, sett dem til side fra den vanlige opprinnelsen og se på parallellogrammet og dets diagonaler, får vi:

§2 Lineær kombinasjon av vektorer

Vektorbasis på flyet og i verdensrommet.

Definisjon 1.Lineær kombinasjon av vektorer,,kalles summen av produktene til disse vektorene med noen tall,,:++.

Definisjon 2.Vektor basis i et gitt plan kalles et hvilket som helst par av ikke-kollineære vektorer i det planet.

Vektoren kalles den første basisvektoren, vektoren den andre.

Følgende teorem er sant.

Teorem 1. Hvis grunnlag ,– vektorbasis i et plan, så kan enhver vektor i dette planet representeres, og på en unik måte, i form av en lineær kombinasjon av basisvektorer: = x + y. (*)

Definisjon 3. Likhet(*) kalles , og tallene x og y – koordinater til vektoren i grunnlaget,(eller i forhold til grunnlaget,). Hvis det er klart på forhånd hvilket grunnlag vi snakker om, så skriv kort: = (x,y). Fra definisjonen av koordinatene til en vektor i forhold til grunnlaget følger det at like vektorer har respektive like koordinater.

To eller flere vektorer i rommet kalles coplanar, hvis de er parallelle med samme plan eller ligger i dette planet.

Definisjon 4.Vektor basis i rommet kalles alle tre vektorer , ,.

Vektoren kalles den første basisvektoren, den andre og den tredje.

Kommentar. 1. Tre vektorer = (), = () og = () danner grunnlaget for rommet hvis determinanten sammensatt av deres koordinater er ikke-null:

.

2. De grunnleggende prinsippene i teorien om determinanter og metoder for å beregne dem er omtalt i modul 1 "lineær algebra".

Teorem 2. La , , er en vektorbasis i rommet. Da kan enhver vektor i rommet representeres, og på en unik måte, som en lineær kombinasjon av basisvektorer , Og:

X+y+z. (**)

Definisjon 5. Likhet (**) kalles utvidelse av vektoren i henhold til grunnlaget,,, og tallene x, y, z er koordinatene (komponentene) til vektoren i basisen , ,.

Hvis det er klart på forhånd hvilket grunnlag vi snakker om, så skriv kort: = (x,y,z).

Definisjon 6. Basis , ,kalt ortonormal, hvis vektorer , , er vinkelrett i par og har lengdeenhet. I dette tilfellet brukes notasjonen ,,.

Handlinger på vektorer spesifisert av deres koordinater.

Teorem 3. La et vektorgrunnlag velges på planet , og i forhold til det, er vektorene gitt av deres koordinater: = (), = ().

Så =(),=( ), dvs. Når du legger til eller subtraherer vektorer, blir deres koordinater med samme navn lagt til eller subtrahert;= (·;), dvs. Når en vektor multipliseres med et tall, multipliseres dens koordinater med dette tallet.

Betingelse for kollinearitet av to vektorer

Teorem 4. En vektor er kollineær med en ikke-null vektor hvis og bare hvis koordinatene til vektoren er proporsjonale med de tilsvarende koordinatene til vektoren, dvs.

Lineære operasjoner på vektorer spesifisert av deres koordinater i rommet utføres på lignende måte.

Eksempel 1. La vektorer = (1;2;-1) ,= (3;2;1), = (1;0;1) gis i en eller annen vektorbasis , ,. Finn koordinatene til den lineære kombinasjonen 2+3-4.

Løsning. La oss introdusere notasjonen for den lineære kombinasjonen = 2+3+(-4).

Lineære kombinasjonskoeffisienter =2,=3,=-4. La oss skrive denne vektorlikheten i koordinatform = (x,y,z)=:

2

Det er åpenbart at hver koordinat av en lineær kombinasjon av vektorer er lik den samme lineære kombinasjonen av koordinater med samme navn, dvs.

x = 2·1+3·3+(-4)·1=7,

y = 2·2+3·2+(-4)·0=10,

z= 2·(-1)+3·1+(-4)·0=-3.

Vektorkoordinater i grunnlaget , ,vil være:

Svar:= {7,10,-3}.

Generelt (affint) kartesisk koordinatsystem

Definisjon 7. La O være et fast punkt, som vi vil kalle begynnelse.

Hvis M er et vilkårlig punkt, kalles vektoren radius vektor punkt M i forhold til begynnelsen, kort sagt radiusvektoren til punkt M.

Kartesiske (affine) koordinater på en linje

La det gis en rett linje i rommet l. La oss velge origo O som skal ligge på denne linjen. I tillegg velger vi på den rette linjen l en ikke-null vektor, som vi vil kalle grunnlaget.

Definisjon 8. La punktet M ligge på en linje. Siden vektorene er kollineære, da = x, hvor x er et visst tall. La oss ringe dette nummeret koordinere punkter M på en rett linje.

Opprinnelsen til O har positive eller negative koordinater, avhengig av om retningene til vektorene sammenfaller eller er motsatte. Den rette linjen som koordinatene er på vil bli kalt koordinataksen eller OX-aksen.

Innføringen av koordinater på en linje tilsvarer et enkelt tall x, og omvendt er det et enkelt punkt M som dette tallet er en koordinat for.

Kartesiske (affine) koordinater på flyet.

La oss velge to ikke-kollineære vektorer og på planet O, som danner en viss basis. Det er klart at lengdene på vektorer kan være forskjellige.

Definisjon 9. Sett med (0;;) punkt O og vektorbasis , kalt Kartesisk (affin) system på overflaten.

To linjer som går gjennom O og parallelt med vektorene, henholdsvis , kalles koordinatakser. Den første av dem kalles vanligvis abscisseaksen og er betegnet Ox, den andre er ordinataksen og betegnes Oy.

Vi vil alltid avbilde dem som liggende på de tilsvarende koordinataksene.

Definisjon 10.Punktkoordinater M på planet i forhold til det kartesiske (affine) koordinatsystemet (0;;) kalles koordinatene til radiusvektoren langs basis:

X+y, da vil tallene x og y være koordinatene til M i forhold til det kartesiske (affine) koordinatsystemet (0;;). x-koordinaten kalles abscisse punkt M, koordinat y- ordinere poeng M.

Så hvis et koordinatsystem er valgt, (0;;) på planet, så tilsvarer hvert punkt M i planet et enkelt punkt M på planet: dette punktet er slutten av vektoren

Innføringen av et koordinatsystem ligger til grunn for metoden for analytisk geometri, hvis essens er å kunne redusere ethvert geometrisk problem til problemer med aritmetikk eller algebra.

Definisjon 11.Vektorkoordinater på planet i forhold til det kartesiske koordinatsystemet (0;;) kalles koordinatene til denne vektoren i basisen.

For å finne koordinatene til vektoren, må du utvide den i henhold til grunnlaget:

X+y, hvor koeffisientene x,y og vil være koordinatene til vektoren i forhold til det kartesiske systemet (0;;).

Kartesisk (affin) koordinatsystem i rommet.

La et bestemt punkt O (begynnelsen) være fiksert i rommet og en vektorbasis velges

Definisjon 12. Samlingen (0;;;) kalles Kartesisk koordinatsystem i verdensrommet.

Definisjon 13. Tre linjer som går gjennom O og parallelt med vektorene, henholdsvis , ,, kalt koordinatakser og angir henholdsvis Oz, Oy, Oz. Vi vil alltid avbilde vektorer , , liggende på de tilsvarende aksene.

Definisjon 14.Punktkoordinater M i rommet i forhold til det kartesiske koordinatsystemet (0;;;) kalles koordinatene til radiusvektoren i dette systemet.

Med andre ord, koordinatene til punktet M er de tre tallene x, y, z, henholdsvis abscissen og ordinaten til punktet M; den tredje koordinaten z kalles applikasjonen til punktet M.

Innføringen av et kartesisk koordinatsystem i rommet lar oss etablere en en-til-en-korrespondanse mellom punktene M i rommet og ordnede tripletter av tallene x, y, z.

Definisjon 15.Vektorkoordinater i rommet i forhold til det kartesiske koordinatsystemet (0;;;), kalles koordinatene til denne vektoren i basis;;.

Eksempel 2.

Gitt tre påfølgende hjørner av et parallellogram A(-2;1),B(1;3),C(4;0). Finn dens fjerde koordinat D. Koordinatsystemet er affint.

Løsning.

Vektorene er like, noe som betyr at deres koordinater er like (koeffisienter for lineær kombinasjon):

= (3;2), =(4-x;-y); . Så D(1;-2).

Svar: D(1;-2).

Lineær avhengighet. Begrepet grunnlag

Definisjon 16. Vektorer kalles lineært avhengig, hvis det er tall,

Denne definisjonen av lineær avhengighet av vektorer er ekvivalent med dette: vektorer er lineært avhengige hvis en av dem kan representeres som en lineær kombinasjon av de andre (eller utvides over de andre).

Vektorer kalles lineært avhengige hvis likhet (***) er mulig i det eneste tilfellet når

Konseptet med lineær avhengighet spiller en stor rolle i lineær algebra. I vektoralgebra har lineær avhengighet en enkel geometrisk betydning.

Alle to kollineære vektorer er lineært avhengige, og omvendt er to ikke-kollineære vektorer lineært uavhengige.

Tre koplanare vektorer er lineært avhengige, og omvendt er tre ikke-koplanare vektorer lineært uavhengige.

Hver fjerde vektor er lineært avhengig.

Definisjon 17. Tre lineært uavhengige vektorer kalles grunnlaget for plass, de. enhver vektor kan representeres som noen.

Definisjon 18. To lineært uavhengige vektorer som ligger i et plan kalles grunnlaget for flyet, de. enhver vektor som ligger i dette planet kan representeres som en lineær kombinasjon av vektorer.

Oppgaver for selvstendig løsning.

vektorer finner koordinater i dette grunnlaget.

I denne artikkelen vil vi dekke:

• hva er kollineære vektorer;
• hva er betingelsene for kollinearitet av vektorer;
• hvilke egenskaper til kollineære vektorer finnes;
• hva er den lineære avhengigheten til kollineære vektorer.

Definisjon 1

Kollineære vektorer er vektorer som er parallelle med én linje eller ligger på én linje.

Eksempel 1

Betingelser for kollinearitet av vektorer

To vektorer er kollineære hvis noen av følgende forhold er sanne:

• tilstand 1 . Vektorene a og b er kollineære hvis det er et tall λ slik at a = λ b;
• tilstand 2 . Vektorene a og b er kollineære med like koordinatforhold:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• tilstand 3 . Vektorene a og b er kollineære forutsatt at kryssproduktet og nullvektoren er like:

a ∥ b ⇔ a, b = 0

Merknad 1

Tilstand 2 ikke aktuelt hvis en av vektorkoordinatene er null.

Notat 2

Tilstand 3 gjelder bare for de vektorene som er spesifisert i rommet.

Eksempler på problemer for å studere kollineariteten til vektorer

Eksempel 1

Vi undersøker vektorene a = (1; 3) og b = (2; 1) for kollinearitet.

Hvordan løse?

I dette tilfellet er det nødvendig å bruke den andre kollinearitetsbetingelsen. For gitte vektorer ser det slik ut:

Likheten er falsk. Fra dette kan vi konkludere med at vektorene a og b er ikke-kollineære.

Svar : a | | b

Eksempel 2

Hvilken verdi m av vektoren a = (1; 2) og b = (- 1; m) er nødvendig for at vektorene skal være kollineære?

Hvordan løse?

Ved å bruke den andre kollinearitetsbetingelsen, vil vektorer være kollineære hvis koordinatene deres er proporsjonale:

Dette viser at m = - 2.

Svar: m = -2.

Kriterier for lineær avhengighet og lineær uavhengighet av vektorsystemer

Teorem

Et system av vektorer i et vektorrom er lineært avhengig bare hvis en av vektorene i systemet kan uttrykkes i form av de gjenværende vektorene i dette systemet.

Bevis

La systemet e 1 , e 2 , . . . , e n er lineært avhengig. La oss skrive en lineær kombinasjon av dette systemet lik nullvektoren:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

der minst én av kombinasjonskoeffisientene ikke er lik null.

La a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n.

Vi deler begge sider av likheten med en koeffisient som ikke er null:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

La oss betegne:

A k - 1 a m , hvor m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

I dette tilfellet:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

eller ek = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 +. . . + (- β n) e n

Det følger at en av vektorene til systemet uttrykkes gjennom alle andre vektorer i systemet. Noe som måtte bevises (osv.).

Tilstrekkelighet

La en av vektorene være lineært uttrykt gjennom alle andre vektorer i systemet:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Vi flytter vektoren e k til høyre side av denne likheten:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Siden koeffisienten til vektoren e k er lik - 1 ≠ 0, får vi en ikke-triviell representasjon av null ved et system av vektorer e 1, e 2, . . . , e n , og dette betyr igjen at dette systemet av vektorer er lineært avhengig. Noe som måtte bevises (osv.).

Konsekvens:

• Et system av vektorer er lineært uavhengig når ingen av dets vektorer kan uttrykkes i form av alle andre vektorer i systemet.
• Et system av vektorer som inneholder en nullvektor eller to like vektorer er lineært avhengig.

Egenskaper til lineært avhengige vektorer

1. For 2- og 3-dimensjonale vektorer er følgende betingelse oppfylt: to lineært avhengige vektorer er kollineære. To kollineære vektorer er lineært avhengige.
2. For 3-dimensjonale vektorer er følgende betingelse oppfylt: tre lineært avhengige vektorer er koplanære. (3 koplanare vektorer er lineært avhengige).
3. For n-dimensjonale vektorer er følgende betingelse oppfylt: n + 1 vektorer er alltid lineært avhengige.

Eksempler på å løse problemer som involverer lineær avhengighet eller lineær uavhengighet av vektorer

Eksempel 3

La oss sjekke vektorene a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 for lineær uavhengighet.

Løsning. Vektorer er lineært avhengige fordi dimensjonen til vektorer er mindre enn antall vektorer.

Eksempel 4

La oss sjekke vektorene a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 for lineær uavhengighet.

Løsning. Vi finner verdiene til koeffisientene der den lineære kombinasjonen vil være lik nullvektoren:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Vi skriver vektorligningen i lineær form:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Vi løser dette systemet ved hjelp av Gauss-metoden:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

Fra den andre linjen trekker vi den første, fra den tredje - den første:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Fra den første linjen trekker vi den andre, til den tredje legger vi til den andre:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Av løsningen følger det at systemet har mange løsninger. Dette betyr at det er en ikke-null kombinasjon av verdier av slike tall x 1, x 2, x 3 der den lineære kombinasjonen av a, b, c er lik nullvektoren. Derfor er vektorene a, b, c lineært avhengig. ​​​​​​​

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

En lineær kombinasjon av vektorer fra kalles en vektor ved . Det er klart at en lineær kombinasjon av lineære kombinasjoner av vektorer igjen er en lineær kombinasjon av disse vektorene.

Et sett med vektorer kalles lineært uavhengig hvis likhet bare er mulig for . Hvis det finnes ikke-nuller og slik at de er lik - 0, kalles settet med vektorer lineært avhengige. Disse definisjonene sammenfaller med definisjonene gitt på side 108 som anvendt på strenger.

Proposisjon 1. Et sett med vektorer er lineært avhengig hvis og bare hvis en av vektorene er en lineær kombinasjon av de andre.

Proposisjon 2. Hvis et sett med vektorer er lineært uavhengig, og et sett er lineært avhengig, så er en vektor en lineær kombinasjon av vektorer

Proposisjon 3. Hvis vektorene er lineære kombinasjoner av vektorer, så er samlingen lineært avhengig.

Bevisene til disse setningene er ikke forskjellige fra bevisene til lignende setninger for strenger (s. 108-110).

Et sett med vektorer kalles generering hvis alle vektorene i rommet er lineære kombinasjoner av dem. Hvis det for et rom S eksisterer et endelig genereringssystem, kalles rommet endelig-dimensjonalt; ellers kalles det uendelig-dimensjonalt. I et endelig-dimensjonalt rom kan ikke vilkårlig store (i antall vektorer) lineært uavhengige samlinger av vektorer eksistere, fordi, i følge påstand 3, er enhver samling av vektorer som overstiger den genererende samlingen i antall vektorer lineært avhengig.

Rommet til matriser med faste størrelser, og spesielt rommet til rader med fast lengde, er endelig dimensjonale; matriser med en i én posisjon og nuller i resten kan tas som et genereringssystem.

Rommet til alle polynomene fra er allerede uendelig dimensjonalt, fordi settet med polynomer er lineært uavhengig for alle .

I det følgende vil vi vurdere endelig-dimensjonale rom.

Proposisjon 4. Ethvert minimalt (med tanke på antall vektorer) genererende sett med vektorer er lineært uavhengig.

Faktisk, la være den minimale genererende samlingen av vektorer. Hvis den er lineært avhengig, så er en av vektorene for eksempel en lineær kombinasjon av de andre, og hver lineær kombinasjon er en lineær kombinasjon av et mindre sett med vektorer som derved viser seg å generere.

Proposisjon 5. Enhver maksimal (i form av antall vektorer) lineært uavhengig samling av vektorer genererer.

Faktisk, la være en maksimal lineært uavhengig samling og u være en hvilken som helst vektor av plass. Da vil ikke settet være lineært uavhengig, og i kraft av påstand 2 er vektoren en lineær kombinasjon

Proposisjon 6. Ethvert lineært uavhengig generatorsett er minimalt blant generatorer og maksimalt blant lineært uavhengige.

Faktisk, la være et lineært uavhengig genererende sett med vektorer. Hvis det er et annet generasjonssett, så er de lineære kombinasjoner, og herfra konkluderer vi med at, fordi hvis det var da, i kraft av proposisjonen, ville det være et lineært avhengig sett. La nå være en lineært uavhengig samling. Vektorer er lineære kombinasjoner av vektorer, og derfor vil de i kraft av samme proposisjon utgjøre et lineært avhengig sett.

I påstandene 4, 5, 6 er således identiteten til tre konsepter etablert - et minimalt genererende sett med vektorer, et maksimalt lineært uavhengig sett med vektorer og et lineært uavhengig genereringssett.

Et sett med vektorer som tilfredsstiller disse betingelsene kalles grunnlaget for rommet, og antallet vektorer som utgjør grunnlaget kalles rommets dimensjon. Dimensjonen til rommet S er angitt med . Dermed er dimensjonen lik maksimalt antall lineært uavhengige vektorer (i fremtiden vil vi ofte si ordene "lineært uavhengige" og "lineært avhengige vektorer" i stedet for å si "vektorer som utgjør et lineært avhengig sett" og - hhv. for et lineært uavhengig sett) og minimum antall genererende vektorer.

Proposisjon 7. La være en lineært uavhengig samling av vektorer, og deres antall er mindre enn dimensjonen til rommet. Deretter kan en vektor legges til dem slik at mengden forblir lineært uavhengig.

Bevis. La oss vurdere mange lineære kombinasjoner. Det tømmer ikke hele plassen, fordi de ikke utgjør et genererende sett med vektorer. La oss ta en vektor som ikke er en lineær kombinasjon

Deretter er en lineært uavhengig samling, siden den ellers ville vært en lineær kombinasjon av vektorer i kraft av påstand 2.

Fra påstand 7 følger det at enhver lineært uavhengig samling av vektorer kan komplementeres til en basis.

Det samme forslaget og dets bevis indikerer arten av vilkårlighet i valget av grunnlag. Faktisk, hvis du tar en vilkårlig ikke-null vektor, kan du bygge den opp til en basis ved å ta den andre vektoren på noen måte, men ikke en lineær kombinasjon av den første, den tredje på noen måte, men ikke en lineær kombinasjon av de to første osv.

Man kan "gå ned" til grunnlaget med utgangspunkt i et vilkårlig generatorsett.

Proposisjon 8. Ethvert genererende sett med vektorer inneholder en basis.

Faktisk, la være et genererende sett med vektorer. Hvis den er lineært avhengig, er en av vektorene en lineær kombinasjon av de andre, og den kan ekskluderes fra generasjonssettet. Hvis de gjenværende vektorene er lineært avhengige, kan en annen vektor elimineres, og så videre, inntil et lineært uavhengig generasjonssett, dvs. en basis, gjenstår.