- 02.12.2015
Temperatursensoren for kjøleren (viften) begynner å fungere når temperaturen stiger til innstilt verdi og slår seg av når den synker. Strøm tilføres kjøleren gjennom et relé (12V, 200 Ohm). Temperatursensoren er en termistor med negativ temperaturkoeffisient. Operasjonsforsterkeren LM311 brukes som komparator. Når temperaturen øker, synker termistorens motstand, og følgelig faller spenningen med ...
- 06.04.2015
K1182GG3R mikrokrets er en integrert krets av en høyspent halvbro selvoscillator. Den er produsert ved hjelp av en unik bipolar teknologi utviklet for en klasse IC-er orientert for bruk i AC-nettverk opp til 240V. IC konverterer likespenning (spesielt likerettet nettspenning) til en høyfrekvent spenning på 30-50 kHz og tillater opprettelse av galvanisk isolerte sekundære strømforsyninger på opptil 12 W. Elementklassifiseringer for inngangsspenning 220V...
- 14.07.2015
Som du vet, er spenningen til kjøretøyets innebygde nettverk i området fra 12 til 14,4V, noe som pålegger en begrensning på kraften til AF-forsterkerne som brukes. For å øke utgangseffekten til forsterkeren, er det nødvendig å bruke en spenningsomformer. TDA1562Q-brikken lar deg enkelt løse dette problemet. Utgangseffekten til forsterkeren på TDA1562Q er 18 W (14,4 V Rн = 4 Ohm), med økende effekt går forsterkeren inn i ...
- 23.09.2014
Maskinen arbeider med 7 lyspærer og skaper effekten av en lyslinje, som først gradvis vokser fra det sentrale lyspunktet, og deretter går ut gradvis fra midten til kantene. Maskinen styrer 15W 220V lyspærer. Kretsen består av en multivibrator som stiller inn pulseringsperiodisiteten, tre forsinkelseslinjer og fire utgangstyristorer. Frekvensen av gjentakelse av pulsasjoner avhenger av...
Første nivå
Grad og dens egenskaper. The Comprehensive Guide (2019)
Hvorfor trengs grader? Hvor trenger du dem? Hvorfor bør du ta deg tid til å studere dem?
For å lære alt om grader, hva de trengs til og hvordan du kan bruke kunnskapen din i hverdagen, les denne artikkelen.
Og selvfølgelig vil kunnskap om grader bringe deg nærmere å bestå Unified State-eksamenen eller Unified State-eksamenen og komme inn på drømmeuniversitetet.
La oss gå... (La oss gå!)
Viktig notat! Hvis du ser gobbledygook i stedet for formler, tøm hurtigbufferen. For å gjøre dette, trykk CTRL+F5 (på Windows) eller Cmd+R (på Mac).
FØRSTE NIVÅ
Eksponentiering er en matematisk operasjon akkurat som addisjon, subtraksjon, multiplikasjon eller divisjon.
Nå skal jeg forklare alt på menneskelig språk ved å bruke veldig enkle eksempler. Vær forsiktig. Eksemplene er elementære, men forklarer viktige ting.
La oss starte med tillegg.
Det er ingenting å forklare her. Du vet allerede alt: vi er åtte. Alle har to flasker cola. Hvor mye cola er det? Det stemmer - 16 flasker.
Nå multiplikasjon.
Det samme eksempelet med cola kan skrives annerledes: . Matematikere er utspekulerte og late mennesker. De legger først merke til noen mønstre, og finner deretter ut en måte å "telle" dem raskere. I vårt tilfelle la de merke til at hver av de åtte personene hadde like mange colaflasker og kom opp med en teknikk kalt multiplikasjon. Enig, det anses som enklere og raskere enn.
Så for å telle raskere, enklere og uten feil, trenger du bare å huske gangetabell. Selvfølgelig kan du gjøre alt langsommere, vanskeligere og med feil! Men…
Her er multiplikasjonstabellen. Gjenta.
Og en annen, vakrere en:
Hvilke andre smarte telletriks har late matematikere funnet på? Ikke sant - heve et tall til en makt.
Å heve et tall til en makt
Hvis du trenger å multiplisere et tall med seg selv fem ganger, så sier matematikere at du må heve det tallet til femte potens. For eksempel, . Matematikere husker at to til femte potens er... Og de løser slike problemer i hodet - raskere, enklere og uten feil.
Alt du trenger å gjøre er husk hva som er uthevet i farger i tabellen over tallkrefter. Tro meg, dette vil gjøre livet ditt mye enklere.
Forresten, hvorfor kalles det andre grad? torget tall, og den tredje - kube? Hva betyr det? Veldig godt spørsmål. Nå vil du ha både firkanter og terninger.
Eksempel #1 fra det virkelige liv
La oss starte med kvadratet eller andre potens av tallet.
Se for deg et kvadratisk basseng som måler én meter ganger én meter. Bassenget er på din dacha. Det er varmt og jeg har veldig lyst til å svømme. Men... bassenget har ingen bunn! Du må dekke bunnen av bassenget med fliser. Hvor mange fliser trenger du? For å bestemme dette, må du kjenne til bunnområdet av bassenget.
Du kan ganske enkelt regne ut ved å vise fingeren at bunnen av bassenget består av meter for meter terninger. Hvis du har fliser en meter ganger en meter, trenger du brikker. Det er enkelt... Men hvor har du sett slike fliser? Flisen vil mest sannsynlig være cm for cm. Og så vil du bli torturert ved å «telle med fingeren». Da må du multiplisere. Så på den ene siden av bunnen av bassenget vil vi montere fliser (stykker) og på den andre også fliser. Multipliser med og du får fliser ().
La du merke til at for å bestemme arealet av bassengbunnen multipliserte vi det samme tallet med seg selv? Hva betyr det? Siden vi multipliserer det samme tallet, kan vi bruke "eksponentieringsteknikken". (Selvfølgelig, når du bare har to tall, må du fortsatt multiplisere dem eller heve dem til en potens. Men hvis du har mange av dem, er det mye lettere å heve dem til en potens, og det er også færre feil i beregningene For Unified State-eksamenen er dette veldig viktig).
Så, tretti til andre potens vil være (). Eller vi kan si at tretti kvadrat vil være. Med andre ord, andre potens av et tall kan alltid representeres som et kvadrat. Og omvendt, hvis du ser en firkant, er det ALLTID andre potens av et tall. Et kvadrat er et bilde av andre potens av et tall.
Eksempel #2 fra det virkelige liv
Her er en oppgave for deg: tell hvor mange ruter det er på sjakkbrettet ved å bruke kvadratet av tallet... På den ene siden av cellene og på den andre også. For å beregne antallet deres må du gange åtte med åtte eller... hvis du legger merke til at et sjakkbrett er en firkant med en side, kan du kvadrat åtte. Du vil få celler. () Så?
Eksempel #3 fra det virkelige liv
Nå er kuben eller tredje potens av et tall. Det samme bassenget. Men nå må du finne ut hvor mye vann som må helles i dette bassenget. Du må beregne volumet. (Volumer og væsker måles forresten i kubikkmeter. Uventet, ikke sant?) Tegn et basseng: bunnen er en meter stor og en meter dyp, og prøv å telle hvor mange kuber som måler en meter på en meter vil passer inn i bassenget ditt.
Bare pek fingeren og tell! En, to, tre, fire ... tjueto, tjuetre ... Hvor mange fikk du? Ikke tapt? Er det vanskelig å telle med fingeren? Så det! Ta et eksempel fra matematikere. De er late, så de la merke til at for å beregne volumet til bassenget, må du multiplisere lengden, bredden og høyden med hverandre. I vårt tilfelle vil volumet til bassenget være lik kuber... Lettere, ikke sant?
Tenk deg nå hvor late og utspekulerte matematikere er hvis de forenklet dette også. Vi reduserte alt til én handling. De la merke til at lengden, bredden og høyden er like og at samme tall multipliseres med seg selv... Hva betyr dette? Dette betyr at du kan dra nytte av graden. Så det du en gang telte med fingeren, gjør de i én handling: tre terninger er lik. Det er skrevet slik:.
Alt som gjenstår er husk tabellen over grader. Med mindre du selvfølgelig er like lat og utspekulert som matematikere. Hvis du liker å jobbe hardt og gjøre feil, kan du fortsette å telle med fingeren.
Vel, for å endelig overbevise deg om at grader ble oppfunnet av sluttere og utspekulerte mennesker for å løse sine livsproblemer, og ikke for å skape problemer for deg, her er et par eksempler til fra livet.
Eksempel #4 fra det virkelige liv
Du har en million rubler. Ved begynnelsen av hvert år, for hver million du tjener, tjener du en million til. Det vil si at hver million du har dobles i begynnelsen av hvert år. Hvor mye penger vil du ha om år? Hvis du sitter nå og «teller med fingeren», så er du en veldig hardtarbeidende person og... dum. Men mest sannsynlig gir du svar om et par sekunder, for du er smart! Så, i det første året - to multiplisert med to... i det andre året - hva skjedde, med to til, i det tredje året... Stopp! Du la merke til at tallet multipliseres med seg selv ganger. Så to til femte potens er en million! Tenk deg nå at du har en konkurranse og den som kan telle raskest vil få disse millionene... Det er verdt å huske tallenes krefter, synes du ikke?
Eksempel #5 fra det virkelige liv
Du har en million. I begynnelsen av hvert år, for hver million du tjener, tjener du to til. Flott er det ikke? Hver million tredobles. Hvor mye penger vil du ha i løpet av et år? La oss telle. Det første året - multipliser med, deretter resultatet med et annet ... Det er allerede kjedelig, fordi du allerede har forstått alt: tre ganges med seg selv ganger. Så til fjerde potens er det lik en million. Du må bare huske at tre til fjerde potens er eller.
Nå vet du at ved å heve et tall til en makt vil du gjøre livet ditt mye enklere. La oss se nærmere på hva du kan gjøre med grader og hva du trenger å vite om dem.
Termer og begreper... for ikke å bli forvirret
Så la oss først definere konseptene. Hva tror du, hva er en eksponent? Det er veldig enkelt - det er tallet som er "øverst" av potensen til tallet. Ikke vitenskapelig, men tydelig og lett å huske...
Vel, på samme tid, hva et slikt gradsgrunnlag? Enda enklere - dette er nummeret som er plassert under, ved basen.
Her er en tegning for godt mål.
Vel, i generelle termer, for å generalisere og huske bedre... En grad med en base " " og en eksponent " " leses som "til den grad" og skrives som følger:
Potensen til et tall med naturlig eksponent
Du har sikkert allerede gjettet: fordi eksponenten er et naturlig tall. Ja, men hva er det naturlig tall? Elementært! Naturlige tall er de tallene som brukes til å telle når objekter listes opp: en, to, tre... Når vi teller objekter, sier vi ikke: «minus fem», «minus seks», «minus sju». Vi sier heller ikke: «en tredjedel» eller «null komma fem». Dette er ikke naturlige tall. Hvilke tall tror du dette er?
Tall som "minus fem", "minus seks", "minus syv" refererer til hele tall. Generelt inkluderer heltall alle naturlige tall, tall motsatt naturlige tall (det vil si tatt med et minustegn) og tall. Null er lett å forstå - det er når det ikke er noe. Hva betyr negative ("minus") tall? Men de ble først og fremst oppfunnet for å indikere gjeld: hvis du har en saldo på telefonen i rubler, betyr dette at du skylder operatøren rubler.
Alle brøker er rasjonelle tall. Hvordan oppsto de, tror du? Veldig enkelt. For flere tusen år siden oppdaget våre forfedre at de manglet naturlige tall for å måle lengde, vekt, areal osv. Og de kom på rasjonelle tall... Interessant, ikke sant?
Det finnes også irrasjonelle tall. Hva er disse tallene? Kort sagt, det er en uendelig desimalbrøk. For eksempel, hvis du deler omkretsen av en sirkel på diameteren, får du et irrasjonelt tall.
Sammendrag:
La oss definere konseptet med en grad hvis eksponent er et naturlig tall (dvs. heltall og positivt).
- Ethvert tall i første potens er lik seg selv:
- Å kvadrere et tall betyr å multiplisere det med seg selv:
- Å kube et tall betyr å multiplisere det med seg selv tre ganger:
Definisjon.Å heve et tall til en naturlig potens betyr å multiplisere tallet med seg selv ganger:
.
Egenskaper til grader
Hvor kom disse egenskapene fra? Jeg skal vise deg nå.
La oss se: hva er det Og ?
A-priory:
Hvor mange multiplikatorer er det totalt?
Det er veldig enkelt: vi la til multiplikatorer til faktorene, og resultatet er multiplikatorer.
Men per definisjon er dette en potens av et tall med en eksponent, det vil si: , som er det som måtte bevises.
Eksempel: Forenkle uttrykket.
Løsning:
Eksempel: Forenkle uttrykket.
Løsning: Det er viktig å merke seg at i vår regel Nødvendigvis det må være de samme grunnene!
Derfor kombinerer vi kreftene med basen, men det forblir en egen faktor:
bare for produktet av makter!
Du kan ikke under noen omstendigheter skrive det.
2. det er det potensen til et tall
Akkurat som med den forrige egenskapen, la oss gå til definisjonen av grad:
Det viser seg at uttrykket multipliseres med seg selv ganger, det vil si, i henhold til definisjonen, er dette den tredje potensen til tallet:
I hovedsak kan dette kalles "å ta indikatoren ut av parentes." Men du kan aldri gjøre dette totalt:
La oss huske de forkortede multiplikasjonsformlene: hvor mange ganger ønsket vi å skrive?
Men dette er tross alt ikke sant.
Kraft med negativ base
Frem til dette punktet har vi bare diskutert hva eksponenten skal være.
Men hva skal ligge til grunn?
I kraft av naturlig indikator grunnlaget kan være hvilket som helst tall. Faktisk kan vi multiplisere alle tall med hverandre, enten de er positive, negative eller partall.
La oss tenke på hvilke tegn ("" eller "") som vil ha grader av positive og negative tall?
For eksempel, er tallet positivt eller negativt? EN? ? Med den første er alt klart: uansett hvor mange positive tall vi multipliserer med hverandre, vil resultatet være positivt.
Men de negative er litt mer interessante. Vi husker den enkle regelen fra 6. klasse: "minus for minus gir et pluss." Det vil si eller. Men hvis vi multipliserer med, fungerer det.
Bestem selv hvilket tegn følgende uttrykk vil ha:
| 1) | 2) | 3) |
| 4) | 5) | 6) |
Klarte du deg?
Her er svarene: I de fire første eksemplene håper jeg alt er klart? Vi ser ganske enkelt på basen og eksponenten og bruker den passende regelen.
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
I eksempel 5) er ikke alt så skummelt som det ser ut til: tross alt spiller det ingen rolle hva basen er lik - graden er jevn, noe som betyr at resultatet alltid vil være positivt.
Vel, bortsett fra når basen er null. Grunnlaget er ikke likt, er det? Åpenbart ikke, siden (fordi).
Eksempel 6) er ikke lenger så enkelt!
6 eksempler å øve på
Analyse av løsningen 6 eksempler
Hvis vi ignorerer åttende potens, hva ser vi her? La oss huske programmet for 7. klasse. Så, husker du? Dette er formelen for forkortet multiplikasjon, nemlig forskjellen på kvadrater! Vi får:
La oss se nøye på nevneren. Det ser mye ut som en av tellerfaktorene, men hva er galt? Rekkefølgen på vilkårene er feil. Hvis de ble omvendt, kan regelen gjelde.
Men hvordan gjøre det? Det viser seg at det er veldig enkelt: den jevne graden av nevneren hjelper oss her.
På magisk vis endret begrepene plass. Dette "fenomenet" gjelder alle uttrykk i jevn grad: vi kan enkelt endre tegnene i parentes.
Men det er viktig å huske: alle tegn endres samtidig!
La oss gå tilbake til eksemplet:
Og igjen formelen:
Hel vi kaller de naturlige tallene, deres motsetninger (det vil si tatt med tegnet " ") og tallet.
positivt heltall, og det er ikke forskjellig fra naturlig, så ser alt ut akkurat som i forrige seksjon.
La oss nå se på nye saker. La oss starte med en indikator lik.
Ethvert tall i null potens er lik en:
Som alltid, la oss spørre oss selv: hvorfor er det slik?
La oss vurdere en viss grad med en base. Ta for eksempel og multipliser med:
Så vi multipliserte tallet med, og vi fikk det samme som det var - . Hvilket tall skal du gange med slik at ingenting endres? Det stemmer, på. Midler.
Vi kan gjøre det samme med et vilkårlig tall:
La oss gjenta regelen:
Ethvert tall i null potens er lik en.
Men det finnes unntak fra mange regler. Og her er det også der - dette er et tall (som en base).
På den ene siden må det være lik i hvilken som helst grad - uansett hvor mye du multipliserer null med seg selv, vil du fortsatt få null, dette er klart. Men på den annen side, som et hvilket som helst tall til null potens, må det være likt. Så hvor mye av dette er sant? Matematikerne bestemte seg for ikke å involvere seg og nektet å heve null til null potens. Det vil si at nå kan vi ikke bare dele med null, men også heve den til null potens.
La oss gå videre. I tillegg til naturlige tall og tall inkluderer heltall også negative tall. For å forstå hva en negativ potens er, la oss gjøre som forrige gang: multiplisere et normalt tall med det samme tallet til en negativ potens:
Herfra er det enkelt å uttrykke hva du leter etter:
La oss nå utvide den resulterende regelen til en vilkårlig grad:
Så la oss formulere en regel:
Et tall med negativ potens er det gjensidige av samme tall med positiv potens. Men samtidig Basen kan ikke være null:(fordi du ikke kan dele med).
La oss oppsummere:
I. Uttrykket er ikke definert i saken. Hvis da.
II. Ethvert tall i nullpotens er lik én: .
III. Et tall som ikke er lik null til en negativ potens er inversen av det samme tallet til en positiv potens: .
Oppgaver for selvstendig løsning:
Vel, som vanlig, eksempler på uavhengige løsninger:
Analyse av problemer for uavhengig løsning:
Jeg vet, jeg vet, tallene er skumle, men på Unified State-eksamenen må du være forberedt på hva som helst! Løs disse eksemplene eller analyser løsningene deres hvis du ikke kunne løse dem, og du vil lære å takle dem enkelt i eksamen!
La oss fortsette å utvide rekkevidden av tall "egnet" som eksponent.
La oss nå vurdere rasjonelle tall. Hvilke tall kalles rasjonelle?
Svar: alt som kan representeres som en brøk, hvor og er heltall, og.
For å forstå hva det er "brøkdel grad", tenk på brøken:
La oss heve begge sider av ligningen til en potens:
La oss nå huske regelen om "grad til grad":
Hvilket tall må heves til en makt for å få?
Denne formuleringen er definisjonen av roten til th grad.
La meg minne deg på: roten av th potens av et tall () er et tall som, når det heves til en potens, er lik.
Det vil si at roten til th potens er den omvendte operasjonen av å heve til en potens: .
Det viser seg at. Selvfølgelig kan dette spesielle tilfellet utvides: .
Nå legger vi til telleren: hva er det? Svaret er enkelt å få ved å bruke makt-til-makt-regelen:
Men kan basen være et hvilket som helst tall? Tross alt kan ikke roten trekkes ut fra alle tall.
Ingen!
La oss huske regelen: ethvert tall hevet til en partall er et positivt tall. Det vil si at det er umulig å trekke ut jevne røtter fra negative tall!
Dette betyr at slike tall ikke kan heves til en brøkpotens med en jevn nevner, det vil si at uttrykket ikke gir mening.
Hva med uttrykket?
Men her oppstår et problem.
Tallet kan representeres i form av andre, reduserbare brøker, for eksempel, eller.
Og det viser seg at det eksisterer, men ikke eksisterer, men dette er bare to forskjellige poster med samme nummer.
Eller et annet eksempel: en gang, så kan du skrive det ned. Men hvis vi skriver ned indikatoren annerledes, vil vi igjen få problemer: (det vil si at vi fikk et helt annet resultat!).
For å unngå slike paradokser, vurderer vi bare positiv baseeksponent med brøkeksponent.
Så hvis:
- - naturlig tall;
- - heltall;
Eksempler:
Rasjonelle eksponenter er veldig nyttige for å transformere uttrykk med røtter, for eksempel:
5 eksempler å øve på
Analyse av 5 eksempler for trening
Vel, nå kommer den vanskeligste delen. Nå skal vi finne ut av det grad med irrasjonell eksponent.
Alle reglene og egenskapene til grader her er nøyaktig de samme som for en grad med en rasjonell eksponent, med unntak
Tross alt, per definisjon, er irrasjonelle tall tall som ikke kan representeres som en brøk, hvor og er heltall (det vil si at irrasjonelle tall er alle reelle tall unntatt rasjonelle).
Når vi studerer grader med naturlige, heltalls og rasjonelle eksponenter, skapte vi hver gang et bestemt "bilde", "analogi" eller beskrivelse i mer kjente termer.
For eksempel er en grad med en naturlig eksponent et tall multiplisert med seg selv flere ganger;
...tall til null potens- dette er, som det var, et tall multiplisert med seg selv en gang, det vil si at de ennå ikke har begynt å multiplisere det, noe som betyr at selve tallet ikke en gang har dukket opp ennå - derfor er resultatet bare et visst "tomt tall" , nemlig et tall;
...negativ heltallsgrad- det er som om en "omvendt prosess" hadde skjedd, det vil si at tallet ikke ble multiplisert med seg selv, men delt.
Forresten, i vitenskapen brukes ofte en grad med en kompleks eksponent, det vil si at eksponenten ikke engang er et reelt tall.
Men på skolen tenker vi ikke på slike vanskeligheter; du vil ha muligheten til å forstå disse nye konseptene ved instituttet.
HVOR ER VI SIKRE AT DU GÅR! (hvis du lærer å løse slike eksempler :))
For eksempel:
Bestem selv:
Analyse av løsninger:
1. La oss starte med den vanlige regelen for å heve en makt til en makt:
Se nå på indikatoren. Minner han deg ikke om noe? La oss huske formelen for forkortet multiplikasjon av forskjellen av kvadrater:
I dette tilfellet,
Det viser seg at:
Svar: .
2. Vi reduserer brøker i eksponenter til samme form: enten begge desimaler eller begge ordinære. Vi får for eksempel:
Svar: 16
3. Ikke noe spesielt, vi bruker de vanlige egenskapene til grader:
AVANSERT NIVÅ
Fastsettelse av grad
En grad er et uttrykk for formen: , hvor:
- — grad base;
- - eksponent.
Grad med naturlig indikator (n = 1, 2, 3,...)
Å heve et tall til den naturlige potensen n betyr å multiplisere tallet med seg selv ganger:
Grad med en heltallseksponent (0, ±1, ±2,...)
Hvis eksponenten er positivt heltall Antall:
Konstruksjon til null grad:
Uttrykket er ubestemt, fordi på den ene siden, i hvilken som helst grad er dette, og på den annen side, et hvilket som helst tall i den th grad er dette.
Hvis eksponenten er negativt heltall Antall:
(fordi du ikke kan dele med).
Nok en gang om nuller: uttrykket er ikke definert i kasus. Hvis da.
Eksempler:
Kraft med rasjonell eksponent
- - naturlig tall;
- - heltall;
Eksempler:
Egenskaper til grader
For å gjøre det lettere å løse problemer, la oss prøve å forstå: hvor kom disse egenskapene fra? La oss bevise dem.
La oss se: hva er og?
A-priory:
Så på høyre side av dette uttrykket får vi følgende produkt:
Men per definisjon er det en potens av et tall med en eksponent, det vil si:
Q.E.D.
Eksempel : Forenkle uttrykket.
Løsning : .
Eksempel : Forenkle uttrykket.
Løsning : Det er viktig å merke seg at i vår regel Nødvendigvis det må være de samme grunnene. Derfor kombinerer vi kreftene med basen, men det forblir en egen faktor:
En annen viktig merknad: denne regelen - bare for produkt av makter!
Du kan ikke under noen omstendigheter skrive det.
Akkurat som med den forrige egenskapen, la oss gå til definisjonen av grad:
La oss omgruppere dette arbeidet slik:
Det viser seg at uttrykket multipliseres med seg selv ganger, det vil si, i henhold til definisjonen, er dette den tredje potensen til tallet:
I hovedsak kan dette kalles "å ta indikatoren ut av parentes." Men du kan aldri gjøre dette totalt: !
La oss huske de forkortede multiplikasjonsformlene: hvor mange ganger ønsket vi å skrive? Men dette er tross alt ikke sant.
Kraft med negativ base.
Til nå har vi bare diskutert hvordan det skal være indeks grader. Men hva skal ligge til grunn? I kraft av naturlig indikator grunnlaget kan være hvilket som helst tall .
Faktisk kan vi multiplisere alle tall med hverandre, enten de er positive, negative eller partall. La oss tenke på hvilke tegn ("" eller "") som vil ha grader av positive og negative tall?
For eksempel, er tallet positivt eller negativt? EN? ?
Med den første er alt klart: uansett hvor mange positive tall vi multipliserer med hverandre, vil resultatet være positivt.
Men de negative er litt mer interessante. Vi husker den enkle regelen fra 6. klasse: "minus for minus gir et pluss." Det vil si eller. Men hvis vi ganger med (), får vi - .
Og så videre i det uendelige: for hver påfølgende multiplikasjon vil tegnet endres. Følgende enkle regler kan formuleres:
- til og med grad, - antall positivt.
- Negativt tall hevet til merkelig grad, - antall negativ.
- Et positivt tall i en hvilken som helst grad er et positivt tall.
- Null til enhver potens er lik null.
Bestem selv hvilket tegn følgende uttrykk vil ha:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
Klarte du deg? Her er svarene:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
I de fire første eksemplene håper jeg at alt er klart? Vi ser ganske enkelt på basen og eksponenten og bruker den passende regelen.
I eksempel 5) er ikke alt så skummelt som det ser ut til: tross alt spiller det ingen rolle hva basen er lik - graden er jevn, noe som betyr at resultatet alltid vil være positivt. Vel, bortsett fra når basen er null. Grunnlaget er ikke likt, er det? Åpenbart ikke, siden (fordi).
Eksempel 6) er ikke lenger så enkelt. Her må du finne ut hva som er mindre: eller? Hvis vi husker det, blir det klart det, som betyr at basen er mindre enn null. Det vil si at vi bruker regel 2: resultatet blir negativt.
Og igjen bruker vi definisjonen av grad:
Alt er som vanlig - vi skriver ned definisjonen av grader og deler dem på hverandre, deler dem i par og får:
Før vi ser på den siste regelen, la oss løse noen eksempler.
Regn ut uttrykkene:
Løsninger :
Hvis vi ignorerer åttende potens, hva ser vi her? La oss huske programmet for 7. klasse. Så, husker du? Dette er formelen for forkortet multiplikasjon, nemlig forskjellen på kvadrater!
Vi får:
La oss se nøye på nevneren. Det ser mye ut som en av tellerfaktorene, men hva er galt? Rekkefølgen på vilkårene er feil. Hvis de ble reversert, kan regel 3 gjelde. Men hvordan? Det viser seg at det er veldig enkelt: den jevne graden av nevneren hjelper oss her.
Hvis du ganger det med, endres ingenting, ikke sant? Men nå blir det slik:
På magisk vis endret begrepene plass. Dette "fenomenet" gjelder alle uttrykk i jevn grad: vi kan enkelt endre tegnene i parentes. Men det er viktig å huske: Alle tegn endres samtidig! Du kan ikke erstatte den med ved å endre bare én ulempe vi ikke liker!
La oss gå tilbake til eksemplet:
Og igjen formelen:
Så nå siste regel:
Hvordan skal vi bevise det? Selvfølgelig, som vanlig: la oss utvide begrepet grad og forenkle det:
Vel, la oss nå åpne parentesene. Hvor mange bokstaver er det totalt? ganger med multiplikatorer - hva minner dette deg om? Dette er ikke annet enn en definisjon av en operasjon multiplikasjon: Det var bare multiplikatorer der. Det vil si at dette per definisjon er en potens av et tall med en eksponent:
Eksempel:
Grad med irrasjonell eksponent
I tillegg til informasjon om grader for gjennomsnittsnivået vil vi analysere graden med en irrasjonell eksponent. Alle reglene og egenskapene til grader her er nøyaktig de samme som for en grad med en rasjonell eksponent, med unntak - tross alt, per definisjon, er irrasjonelle tall tall som ikke kan representeres som en brøk, hvor og er heltall (det vil si , irrasjonelle tall er alle reelle tall unntatt rasjonelle tall).
Når vi studerer grader med naturlige, heltalls og rasjonelle eksponenter, skapte vi hver gang et bestemt "bilde", "analogi" eller beskrivelse i mer kjente termer. For eksempel er en grad med en naturlig eksponent et tall multiplisert med seg selv flere ganger; et tall til null potens er så å si et tall multiplisert med seg selv en gang, det vil si at de ennå ikke har begynt å multiplisere det, noe som betyr at selve tallet ikke en gang har dukket opp enda - derfor er resultatet bare et visst "blankt nummer", nemlig et tall; en grad med en negativ heltallseksponent - det er som om en "omvendt prosess" hadde skjedd, det vil si at tallet ikke ble multiplisert med seg selv, men delt.
Det er ekstremt vanskelig å forestille seg en grad med en irrasjonell eksponent (akkurat som det er vanskelig å forestille seg et 4-dimensjonalt rom). Det er snarere et rent matematisk objekt som matematikere skapte for å utvide gradsbegrepet til hele tallrommet.
Forresten, i vitenskapen brukes ofte en grad med en kompleks eksponent, det vil si at eksponenten ikke engang er et reelt tall. Men på skolen tenker vi ikke på slike vanskeligheter; du vil ha muligheten til å forstå disse nye konseptene ved instituttet.
Så hva gjør vi hvis vi ser en irrasjonell eksponent? Vi prøver så godt vi kan å bli kvitt det! :)
For eksempel:
Bestem selv:
| 1) | 2) | 3) |
Svar:
- La oss huske formelen for forskjellen på kvadrater. Svar: .
- Vi reduserer brøkene til samme form: enten begge desimaler eller begge vanlige. Vi får for eksempel: .
- Ikke noe spesielt, vi bruker de vanlige egenskapene til grader:
SAMMENDRAG AV SEKSJONEN OG GRUNNLEGGENDE FORMLER
Grad kalt et uttrykk for formen: , hvor:
Grad med en heltallseksponent
en grad hvis eksponent er et naturlig tall (dvs. heltall og positivt).
Kraft med rasjonell eksponent
grad, hvis eksponent er negative tall og brøktall.
Grad med irrasjonell eksponent
en grad hvis eksponent er en uendelig desimalbrøk eller rot.
Egenskaper til grader
Funksjoner av grader.
- Negativt tall hevet til til og med grad, - antall positivt.
- Negativt tall hevet til merkelig grad, - antall negativ.
- Et positivt tall i en hvilken som helst grad er et positivt tall.
- Null er lik enhver potens.
- Ethvert tall i null potens er lik.
NÅ HAR DU ORDET...
Hvordan liker du artikkelen? Skriv nedenfor i kommentarfeltet om du likte det eller ikke.
Fortell oss om din erfaring med gradsegenskaper.
Kanskje du har spørsmål. Eller forslag.
Skriv i kommentarfeltet.
Og lykke til med eksamen!
Blant de ulike uttrykkene som vurderes i algebra, inntar summer av monomialer en viktig plass. Her er eksempler på slike uttrykk:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)
Summen av monomer kalles et polynom. Termene i et polynom kalles termer for polynomet. Monomialer er også klassifisert som polynomer, og vurderer et monomial for å være et polynom som består av ett medlem.
For eksempel et polynom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
kan forenkles.
La oss representere alle termer i form av monomialer av standardformen:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)
La oss presentere lignende termer i det resulterende polynomet:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Resultatet er et polynom, der alle termer er monomer av standardformen, og blant dem er det ingen lignende. Slike polynomer kalles polynomer av standardform.
Bak grad av polynom av en standardform ta den høyeste av kreftene til medlemmene. Dermed har binomialet \(12a^2b - 7b\) tredje grad, og trinomialet \(2b^2 -7b + 6\) har den andre.
Vanligvis er vilkårene for standardformpolynomer som inneholder én variabel ordnet i synkende rekkefølge av eksponenter. For eksempel:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)
Summen av flere polynomer kan transformeres (forenkles) til et polynom av standardform.
Noen ganger må termene til et polynom deles inn i grupper, og omslutter hver gruppe i parentes. Siden omsluttende parenteser er den omvendte transformasjonen av åpningsparenteser, er det lett å formulere regler for åpning av parentes:
Hvis et "+"-tegn er plassert foran parentesene, skrives begrepene i parentes med de samme tegnene.
Hvis et "-"-tegn er plassert foran parentesene, skrives begrepene i parentesene med motsatte tegn.
Transformasjon (forenkling) av produktet av et monomial og et polynom
Ved å bruke den fordelende egenskapen til multiplikasjon kan du transformere (forenkle) produktet av et monom og et polynom til et polynom. For eksempel:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Produktet av et monomer og et polynom er identisk lik summen av produktene til dette monomet og hvert av leddene til polynomet.
Dette resultatet er vanligvis formulert som en regel.
For å multiplisere et monomer med et polynom, må du multiplisere det monomet med hver av termene i polynomet.
Vi har allerede brukt denne regelen flere ganger for å multiplisere med en sum.
Produkt av polynomer. Transformasjon (forenkling) av produktet av to polynomer
Generelt er produktet av to polynom identisk lik summen av produktet av hvert ledd i ett polynom og hvert ledd i det andre.
Vanligvis brukes følgende regel.
For å multiplisere et polynom med et polynom, må du multiplisere hvert ledd i ett polynom med hvert ledd i det andre og legge til de resulterende produktene.
Forkortede multiplikasjonsformler. Sum kvadrater, forskjeller og forskjell av kvadrater
Du må håndtere noen uttrykk i algebraiske transformasjoner oftere enn andre. De kanskje vanligste uttrykkene er \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) og \(a^2 - b^2 \), dvs. kvadratet av summen, kvadratet av forskjellen og forskjellen på kvadrater. Du la merke til at navnene på disse uttrykkene ser ut til å være ufullstendige, for eksempel er \((a + b)^2 \) selvfølgelig ikke bare kvadratet av summen, men kvadratet av summen av a og b . Kvadraten av summen av a og b forekommer imidlertid ikke så ofte; som regel, i stedet for bokstavene a og b, inneholder den forskjellige, noen ganger ganske komplekse, uttrykk.
Uttrykkene \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) kan enkelt konverteres (forenkles) til polynomer av standardformen; faktisk har du allerede møtt denne oppgaven når du multipliserer polynomer:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Det er nyttig å huske de resulterende identitetene og bruke dem uten mellomliggende beregninger. Korte verbale formuleringer hjelper dette.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kvadratet av summen er lik summen av kvadratene og dobbeltproduktet.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kvadratet av forskjellen er lik summen av kvadrater uten det doble produktet.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - forskjellen av kvadrater er lik produktet av forskjellen og summen.
Disse tre identitetene gjør at man kan erstatte de venstre delene med de høyre delene i transformasjoner og omvendt - høyre delene med de venstre. Det vanskeligste er å se de tilsvarende uttrykkene og forstå hvordan variablene a og b erstattes i dem. La oss se på flere eksempler på bruk av forkortede multiplikasjonsformler.
Vi fant ut hva en potens av et tall faktisk er. Nå må vi forstå hvordan vi beregner det riktig, dvs. heve tall til makter. I dette materialet vil vi analysere de grunnleggende reglene for beregning av grader i tilfelle av heltalls-, naturlige, brøk-, rasjonelle og irrasjonelle eksponenter. Alle definisjoner vil bli illustrert med eksempler.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Konseptet med eksponentiering
La oss starte med å formulere grunnleggende definisjoner.
Definisjon 1
Eksponentiering- dette er beregningen av verdien av kraften til et visst tall.
Det vil si at ordene "beregne verdien av en makt" og "å heve til en makt" betyr det samme. Så hvis problemet sier "Høy tallet 0, 5 til femte potens", bør dette forstås som "beregn verdien av potensen (0, 5) 5.
Nå presenterer vi de grunnleggende reglene som må følges når du gjør slike beregninger.
La oss huske hva potensen til et tall med en naturlig eksponent er. For en potens med grunntall a og eksponent n vil dette være produktet av det n-te antall faktorer, som hver er lik a. Dette kan skrives slik:
For å beregne verdien av en grad, må du utføre en multiplikasjonshandling, det vil si multiplisere basene til graden det angitte antallet ganger. Selve konseptet med en grad med en naturlig eksponent er basert på evnen til raskt å multiplisere. La oss gi eksempler.
Eksempel 1
Tilstand: heve - 2 til styrke 4.
Løsning
Ved å bruke definisjonen ovenfor skriver vi: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . Deretter trenger vi bare å følge disse trinnene og få 16.
La oss ta et mer komplisert eksempel.
Eksempel 2
Regn ut verdien 3 2 7 2
Løsning
Denne oppføringen kan skrives om til 3 2 7 · 3 2 7 . Tidligere har vi sett på hvordan man korrekt multipliserer de blandede tallene nevnt i betingelsen.
La oss utføre disse trinnene og få svaret: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49
Hvis problemet indikerer behovet for å heve irrasjonelle tall til en naturlig potens, må vi først runde av basene deres til sifferet som vil tillate oss å få et svar med den nødvendige nøyaktigheten. La oss se på et eksempel.
Eksempel 3
Utfør kvadratet av π.
Løsning
Først, la oss runde det av til hundredeler. Så π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Hvis π ≈ 3. 14159, da får vi et mer nøyaktig resultat: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.
Merk at behovet for å beregne potenser av irrasjonelle tall oppstår relativt sjelden i praksis. Vi kan da skrive svaret som potensen (ln 6) 3 selv, eller omregne om mulig: 5 7 = 125 5 .
Separat skal det angis hva den første potensen av et tall er. Her kan du ganske enkelt huske at ethvert tall hevet til første potens forblir seg selv:
Dette fremgår tydelig av opptaket 
.
Det avhenger ikke av graden.
Eksempel 4
Så, (− 9) 1 = − 9, og 7 3 hevet til første potens vil forbli lik 7 3.
For enkelhets skyld vil vi undersøke tre tilfeller separat: hvis eksponenten er et positivt heltall, om det er null og om det er et negativt heltall.
I det første tilfellet er dette det samme som å heve til en naturlig potens: tross alt tilhører positive heltall settet med naturlige tall. Vi har allerede snakket ovenfor om hvordan man jobber med slike grader.
La oss nå se hvordan du kan heve til nullstyrken. For et annet grunnlag enn null gir denne beregningen alltid 1. Vi har tidligere forklart at 0. potens av a kan defineres for ethvert reelt tall som ikke er lik 0, og a 0 = 1.
Eksempel 5
5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1
0 0 - ikke definert.
Vi sitter igjen med bare tilfellet av en grad med en heltalls negativ eksponent. Vi har allerede diskutert at slike grader kan skrives som en brøk 1 a z, der a er et hvilket som helst tall, og z er et negativt heltall. Vi ser at nevneren til denne brøken ikke er noe mer enn en vanlig potens med en positiv heltallseksponent, og vi har allerede lært hvordan vi beregner den. La oss gi eksempler på oppgaver.
Eksempel 6
Hev 3 til makten - 2.
Løsning
Ved å bruke definisjonen ovenfor skriver vi: 2 - 3 = 1 2 3
La oss regne ut nevneren til denne brøken og få 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8.
Da er svaret: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8
Eksempel 7
Øk 1,43 til -2-styrken.
Løsning
La oss omformulere: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2
Vi regner ut kvadratet i nevneren: 1,43·1,43. Desimaler kan multipliseres på denne måten: 
Som et resultat fikk vi (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449. Alt vi trenger å gjøre er å skrive dette resultatet i form av en vanlig brøk, som vi må gange det med 10 tusen (se materialet om å konvertere brøker).
Svar: (1, 43) - 2 = 10000 20449
Et spesielt tilfelle er å heve et tall til minus første potens. Verdien av denne graden er lik den gjensidige av den opprinnelige verdien av basen: a - 1 = 1 a 1 = 1 a.
Eksempel 8
Eksempel: 3 − 1 = 1 / 3
9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .
Hvordan heve et tall til en brøkpotens
For å utføre en slik operasjon, må vi huske den grunnleggende definisjonen av en grad med en brøkeksponent: a m n = a m n for enhver positiv a, heltall m og naturlig n.
Definisjon 2
Dermed må beregningen av en brøkpotens utføres i to trinn: heve til en heltallspotens og finne roten til n-te potens.
Vi har likheten a m n = a m n , som, tatt i betraktning røttenes egenskaper, vanligvis brukes til å løse problemer i formen a m n = a n m . Dette betyr at hvis vi hever et tall a til en brøkpotens m / n, så tar vi først den n-te roten av a, så hever vi resultatet til en potens med en heltallseksponent m.
La oss illustrere med et eksempel.
Eksempel 9
Regn ut 8-2 3.
Løsning
Metode 1: I følge grunndefinisjonen kan vi representere dette som: 8 - 2 3 = 8 - 2 3
La oss nå beregne graden under roten og trekke ut den tredje roten fra resultatet: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4
Metode 2. Transformer den grunnleggende likheten: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2
Etter dette trekker vi ut roten 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 og kvadrerer resultatet: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4
Vi ser at løsningene er identiske. Du kan bruke den som du vil.
Det er tilfeller der graden har en indikator uttrykt som et blandet tall eller en desimalbrøk. For å forenkle beregningene er det bedre å erstatte den med en vanlig brøk og beregne som angitt ovenfor.
Eksempel 10
Hev 44, 89 til styrken 2, 5.
Løsning
La oss transformere verdien av indikatoren til en vanlig brøk - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.
Nå utfører vi i rekkefølge alle handlingene som er angitt ovenfor: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 01007 1 = 01007 1 501, 25107
Svar: 13 501, 25107.
Hvis telleren og nevneren til en brøkeksponent inneholder store tall, er det en ganske vanskelig jobb å beregne slike eksponenter med rasjonelle eksponenter. Det krever vanligvis datateknologi.
La oss dvele separat ved potenser med nullbase og brøkeksponent. Et uttrykk på formen 0 m n kan gis følgende betydning: hvis m n > 0, så 0 m n = 0 m n = 0; hvis m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .
Hvordan heve et tall til en irrasjonell makt
Behovet for å beregne verdien av en potens hvis eksponent er et irrasjonelt tall oppstår ikke så ofte. I praksis er oppgaven vanligvis begrenset til å beregne en omtrentlig verdi (opptil et visst antall desimaler). Dette beregnes vanligvis på en datamaskin på grunn av kompleksiteten til slike beregninger, så vi vil ikke dvele ved dette i detalj, vi vil bare indikere hovedbestemmelsene.
Hvis vi trenger å beregne verdien av en potens a med en irrasjonell eksponent a, tar vi desimaltilnærmingen til eksponenten og teller fra den. Resultatet vil være et omtrentlig svar. Jo mer nøyaktig desimaltilnærmingen er, jo mer nøyaktig er svaret. La oss vise med et eksempel:
Eksempel 11
Beregn den omtrentlige verdien av 21, 174367....
Løsning
La oss begrense oss til desimaltilnærmingen a n = 1, 17. La oss utføre beregninger ved å bruke dette tallet: 2 1, 17 ≈ 2, 250116. Hvis vi for eksempel tar tilnærmingen a n = 1, 1743, vil svaret være litt mer nøyaktig: 2 1, 174367. . . ≈ 2 1, 1743 ≈ 2, 256833.
Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter
Eksponentiering er en operasjon som er nært knyttet til multiplikasjon; denne operasjonen er resultatet av gjentatte ganger multiplisere et tall med seg selv. La oss representere det med formelen: a1 * a2 * … * an = an.
For eksempel, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .
Generelt brukes eksponentiering ofte i ulike formler innen matematikk og fysikk. Denne funksjonen har et mer vitenskapelig formål enn de fire viktigste: Addisjon, Subtraksjon, Multiplikasjon, Divisjon.
Å heve et tall til en makt
Å heve et tall til en potens er ikke en komplisert operasjon. Det er relatert til multiplikasjon på en lignende måte som forholdet mellom multiplikasjon og addisjon. Notasjonen an er en kort notasjon av det n-te antallet tall "a" multiplisert med hverandre.
Vurder eksponentiering ved å bruke de enkleste eksemplene, gå videre til komplekse.
For eksempel, 42. 42 = 4 * 4 = 16. Fire kvadrater (til andre potens) er lik seksten. Hvis du ikke forstår multiplikasjon 4 * 4, så les vår artikkel om multiplikasjon.
La oss se på et annet eksempel: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Fem terninger (til tredje potens) er lik hundre og tjuefem.
Et annet eksempel: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Ni terninger tilsvarer syv hundre og tjueni.
Eksponentieringsformler
For å heve til en potens på riktig måte, må du huske og kjenne formlene gitt nedenfor. Det er ikke noe ekstra naturlig i dette, det viktigste er å forstå essensen og da vil de ikke bare bli husket, men vil også virke enkle.
Å heve en monomial til en makt
Hva er et monomial? Dette er et produkt av tall og variabler i en hvilken som helst mengde. For eksempel er to en monomial. Og denne artikkelen handler nettopp om å heve slike monomialer til makter.
Ved å bruke formlene for eksponentiering vil det ikke være vanskelig å beregne eksponentieringen til en monomial.
For eksempel, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Hvis du hever en monomial til en potens, så heves hver komponent av monomial til en potens.
Ved å heve en variabel som allerede har en potens til en potens, multipliseres potensene. For eksempel, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;
Heve til en negativ makt
En negativ potens er den gjensidige av et tall. Hva er det gjensidige tallet? Den gjensidige av ethvert tall X er 1/X. Det vil si X-1=1/X. Dette er essensen av den negative graden.
Tenk på eksemplet (3Y)^-3:
(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).
Hvorfor det? Siden det er minus i graden, overfører vi ganske enkelt dette uttrykket til nevneren, og hever det så til tredje potens. Enkelt er det ikke?
Heve til en brøkdel
La oss starte med å se på problemet med et spesifikt eksempel. 43/2. Hva betyr grad 3/2? 3 – teller, betyr å heve et tall (i dette tilfellet 4) til en kube. Tallet 2 er nevneren; det er ekstraksjonen av den andre roten av et tall (i dette tilfellet 4).
Da får vi kvadratroten av 43 = 2^3 = 8. Svar: 8.
Så, nevneren til en brøkpotens kan være enten 3 eller 4 og opp til uendelig et hvilket som helst tall, og dette tallet bestemmer graden av kvadratroten tatt fra et gitt tall. Selvsagt kan ikke nevneren være null.
Å heve en rot til en makt
Hvis roten heves til en grad lik graden av selve roten, så vil svaret være et radikalt uttrykk. For eksempel, (√x)2 = x. Og så i alle fall er graden av roten og graden av heving av roten like.
Hvis (√x)^4. Deretter (√x)^4=x^2. For å sjekke løsningen konverterer vi uttrykket til et uttrykk med brøkpotens. Siden roten er kvadratisk, er nevneren 2. Og hvis roten heves til fjerde potens, så er telleren 4. Vi får 4/2=2. Svar: x = 2.
I alle fall er det beste alternativet å konvertere uttrykket til et uttrykk med brøkstyrke. Hvis brøken ikke kansellerer, så er dette svaret, forutsatt at roten til det gitte tallet ikke er isolert.
Heve et komplekst tall til makten
Hva er et komplekst tall? Et komplekst tall er et uttrykk som har formelen a + b * i; a, b er reelle tall. i er et tall som gir tallet -1 når det er kvadratisk.
La oss se på et eksempel. (2 + 3i)^2.
(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.
Meld deg på kurset "Fremskynde hoderegning, IKKE hoderegning" for å lære hvordan du raskt og riktig kan addere, subtrahere, multiplisere, dividere, kvadrattall og til og med trekke ut røtter. På 30 dager lærer du hvordan du bruker enkle triks for å forenkle aritmetiske operasjoner. Hver leksjon inneholder nye teknikker, klare eksempler og nyttige oppgaver.
Eksponentiering på nett
Ved å bruke kalkulatoren vår kan du beregne økningen av et tall til en potens:
Eksponentiering 7. klasse
Skoleelever begynner å øke til en makt først i syvende klasse.
Eksponentiering er en operasjon som er nært knyttet til multiplikasjon; denne operasjonen er resultatet av gjentatte ganger multiplisere et tall med seg selv. La oss representere det med formelen: a1 * a2 * … * an=an.
For eksempel, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.
Eksempler på løsning:
Eksponentieringspresentasjon
Presentasjon om maktheving, designet for sjuendeklassinger. Presentasjonen kan oppklare noen uklare punkter, men disse punktene vil trolig ikke bli oppklart takket være vår artikkel.
Bunnlinjen
Vi har kun sett på toppen av isfjellet, for å forstå matematikk bedre – meld deg på kurset vårt: Akselererende hoderegning – IKKE hoderegning.
Fra kurset vil du ikke bare lære dusinvis av teknikker for forenklet og rask multiplikasjon, addisjon, multiplikasjon, divisjon og beregning av prosenter, men du vil også øve på dem i spesielle oppgaver og pedagogiske spill! Mentalregning krever også mye oppmerksomhet og konsentrasjon, som trenes aktivt når man løser interessante problemer.
Laster inn...
