Vi fortsetter å studere temaet " løse ligninger" Vi har allerede blitt kjent med lineære ligninger og går videre til å bli kjent med andregradsligninger.

Først skal vi se på hva en andregradsligning er og hvordan den skrives inn generelt syn, og gi relaterte definisjoner. Etter dette vil vi bruke eksempler for å undersøke i detalj hvordan ufullstendige andregradsligninger løses. Deretter, la oss gå videre til å løse komplette ligninger, få rotformelen og bli kjent med diskriminanten kvadratisk ligning og vurdere løsninger på typiske eksempler. Til slutt, la oss spore forbindelsene mellom røttene og koeffisientene.

Sidenavigering.

Hva er en andregradsligning? Typene deres

Først må du forstå hva en kvadratisk ligning er. Derfor er det logisk å starte en samtale om andregradsligninger med definisjonen av en andregradsligning, samt relaterte definisjoner. Etter dette kan du vurdere hovedtypene kvadratiske ligninger: reduserte og ureduserte, samt komplette og ufullstendige ligninger.

Definisjon og eksempler på andregradsligninger

Definisjon.

Kvadratisk ligning er en formlikning a x 2 +b x+c=0, hvor x er en variabel, a, b og c er noen tall, og a er ikke-null.

La oss si med en gang at andregradsligninger ofte kalles andregradsligninger. Dette skyldes det faktum at andregradsligningen er algebraisk ligning andre grad.

Den angitte definisjonen lar oss gi eksempler på andregradsligninger. Så 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, osv. Dette er andregradsligninger.

Definisjon.

Tall a, b og c kalles koeffisientene til den kvadratiske ligningen a·x 2 +b·x+c=0, og koeffisienten a kalles den første, eller den høyeste, eller koeffisienten til x 2, b er den andre koeffisienten, eller koeffisienten til x, og c er frileddet .

La oss for eksempel ta en andregradsligning av formen 5 x 2 −2 x −3=0, her er den ledende koeffisienten 5, den andre koeffisienten er lik −2, og frileddet er lik −3. Legg merke til at når koeffisientene b og/eller c er negative, som i eksemplet nettopp gitt, da kortform skrive en andregradsligning av formen 5 x 2 −2 x−3=0, og ikke 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0.

Det er verdt å merke seg at når koeffisientene a og/eller b er lik 1 eller −1, så er de vanligvis ikke eksplisitt tilstede i den andregradsligningen, noe som skyldes særegenhetene ved å skrive slike. For eksempel, i den andregradsligningen y 2 −y+3=0 er den ledende koeffisienten én, og koeffisienten til y er lik −1.

Reduserte og ureduserte kvadratiske ligninger

Avhengig av verdien av den ledende koeffisienten, skilles reduserte og ikke-reduserte kvadratiske ligninger. La oss gi de tilsvarende definisjonene.

Definisjon.

En annengradsligning der den ledende koeffisienten er 1 kalles gitt andregradsligning. Ellers er andregradsligningen urørt.

I følge denne definisjonen, andregradsligninger x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0, osv. – gitt, i hver av dem er den første koeffisienten lik én. A 5 x 2 −x−1=0, osv. - ureduserte kvadratiske ligninger, deres ledende koeffisienter er forskjellige fra 1.

Fra enhver ikke-redusert kvadratisk ligning, ved å dele begge sider med den ledende koeffisienten, kan du gå til den reduserte. Denne handlingen er en ekvivalent transformasjon, det vil si at den reduserte andregradsligningen oppnådd på denne måten har samme røtter som den opprinnelige, ikke-reduserte andregradsligningen, eller har ingen røtter.

La oss se på et eksempel på hvordan overgangen fra en ikke-redusert andregradsligning til en redusert utføres.

Eksempel.

Fra ligningen 3 x 2 +12 x−7=0, gå til den tilsvarende reduserte andregradsligningen.

Løsning.

Vi trenger bare å dele begge sider av den opprinnelige ligningen med ledende koeffisient 3, den er ikke-null, så vi kan utføre denne handlingen. Vi har (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, som er det samme, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, og deretter (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, hvorfra . Slik fikk vi den reduserte andregradsligningen, som tilsvarer den opprinnelige.

Svar:

Fullstendige og ufullstendige andregradsligninger

Definisjonen av en andregradsligning inneholder betingelsen a≠0. Denne betingelsen er nødvendig for at ligningen a x 2 + b x + c = 0 er kvadratisk, siden når a = 0 blir den faktisk en lineær ligning av formen b x + c = 0.

Når det gjelder koeffisientene b og c, kan de være lik null, både hver for seg og sammen. I disse tilfellene kalles andregradsligningen ufullstendig.

Definisjon.

Andregradsligningen a x 2 +b x+c=0 kalles ufullstendig, hvis minst én av koeffisientene b, c er lik null.

I sin tur

Definisjon.

Fullfør andregradsligningen er en ligning der alle koeffisienter er forskjellige fra null.

Slike navn ble ikke gitt ved en tilfeldighet. Dette vil fremgå av de følgende diskusjonene.

Hvis koeffisienten b er null, har den andregradsligningen formen a·x 2 +0·x+c=0, og den er ekvivalent med ligningen a·x 2 +c=0. Hvis c=0, det vil si at andregradsligningen har formen a·x 2 +b·x+0=0, så kan den skrives om til a·x 2 +b·x=0. Og med b=0 og c=0 får vi andregradsligningen a·x 2 =0. De resulterende ligningene skiller seg fra den komplette kvadratiske ligningen ved at venstresiden deres ikke inneholder verken et ledd med variabelen x, eller et fritt ledd, eller begge deler. Derav navnet deres - ufullstendige kvadratiske ligninger.

Så likningene x 2 +x+1=0 og −2 x 2 −5 x+0,2=0 er eksempler på komplette andregradsligninger, og x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 er ufullstendige andregradsligninger.

Løse ufullstendige andregradsligninger

Av informasjonen i forrige avsnitt følger det at det er tre typer ufullstendige andregradsligninger:

• a·x 2 =0, koeffisientene b=0 og c=0 tilsvarer det;
• a x2 +c=0 når b=0;
• og a·x2 +b·x=0 når c=0.

La oss undersøke i rekkefølge hvordan ufullstendige kvadratiske ligninger av hver av disse typene løses.

a x 2 = 0

La oss starte med å løse ufullstendige andregradsligninger der koeffisientene b og c er lik null, det vil si med likninger av formen a x 2 =0. Ligningen a·x 2 =0 er ekvivalent med ligningen x 2 =0, som er hentet fra originalen ved å dele begge deler med et tall a som ikke er null. Det er klart at roten av ligningen x 2 =0 er null, siden 0 2 =0. Denne ligningen har ingen andre røtter, noe som forklares av det faktum at for ethvert ikke-null tall p gjelder ulikheten p 2 >0, noe som betyr at for p≠0 blir likheten p 2 =0 aldri oppnådd.

Så den ufullstendige andregradsligningen a·x 2 =0 har en enkelt rot x=0.

Som et eksempel gir vi løsningen til den ufullstendige andregradsligningen −4 x 2 =0. Den tilsvarer ligningen x 2 =0, dens eneste rot er x=0, derfor har den opprinnelige ligningen en enkelt rot null.

En kort løsning i dette tilfellet kan skrives som følger:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0.

a x 2 + c=0

La oss nå se på hvordan ufullstendige andregradsligninger løses der koeffisienten b er null og c≠0, det vil si likninger av formen a x 2 +c=0. Vi vet at å flytte et ledd fra den ene siden av ligningen til den andre med motsatt fortegn, i tillegg til å dele begge sider av ligningen med et tall som ikke er null, gir en ekvivalent ligning. Derfor kan vi utføre følgende ekvivalente transformasjoner av den ufullstendige andregradsligningen a x 2 +c=0:

• flytt c til høyre side, som gir ligningen a x 2 =−c,
• og dele begge sider med a, får vi .

Den resulterende ligningen lar oss trekke konklusjoner om røttene. Avhengig av verdiene til a og c, kan verdien av uttrykket være negativ (for eksempel hvis a=1 og c=2, da) eller positiv (for eksempel hvis a=−2 og c=6, da ), er det ikke null , siden c≠0. La oss se på sakene separat.

Hvis , så har ligningen ingen røtter. Dette utsagnet følger av det faktum at kvadratet av et hvilket som helst tall er et ikke-negativt tall. Det følger av dette at når , så for et hvilket som helst tall p kan ikke likheten være sann.

Hvis , så er situasjonen med røttene til ligningen annerledes. I dette tilfellet, hvis vi husker om , så blir roten av ligningen umiddelbart åpenbar; det er tallet, siden . Det er lett å gjette at tallet også er roten til ligningen, faktisk. Denne ligningen har ingen andre røtter, som kan vises for eksempel ved selvmotsigelse. La oss gjøre det.

La oss betegne røttene til ligningen som nettopp ble annonsert som x 1 og −x 1 . Anta at ligningen har en rot til x 2, forskjellig fra de angitte røttene x 1 og −x 1. Det er kjent at å erstatte dens røtter i en likning i stedet for x, gjør likningen til en riktig numerisk likhet. For x 1 og −x 1 har vi , og for x 2 har vi . Egenskapene til numeriske likheter lar oss utføre termin-for-term subtraksjon av korrekte numeriske likheter, så subtrahering av de tilsvarende delene av likhetene gir x 1 2 −x 2 2 =0. Egenskapene til operasjoner med tall tillater oss å omskrive den resulterende likheten som (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Vi vet at produktet av to tall er lik null hvis og bare hvis minst ett av dem er lik null. Derfor, fra den resulterende likheten, følger det at x 1 −x 2 =0 og/eller x 1 +x 2 =0, som er det samme, x 2 =x 1 og/eller x 2 =−x 1. Så vi kom til en selvmotsigelse, siden vi i begynnelsen sa at roten til likningen x 2 er forskjellig fra x 1 og −x 1. Dette beviser at ligningen ikke har andre røtter enn og .

La oss oppsummere informasjonen i dette avsnittet. Den ufullstendige andregradsligningen a x 2 +c=0 er ekvivalent med ligningen som

• har ingen røtter hvis ,
• har to røtter og , hvis .

La oss vurdere eksempler på løsning av ufullstendige andregradsligninger på formen a·x 2 +c=0.

La oss starte med den andregradsligningen 9 x 2 +7=0. Etter å ha flyttet det frie leddet til høyre side av ligningen, vil det ha formen 9 x 2 =−7. Ved å dele begge sider av den resulterende ligningen med 9, kommer vi til . Siden på høyre side viste det seg et negativt tall, så har denne ligningen ingen røtter, derfor har den opprinnelige ufullstendige kvadratiske ligningen 9 x 2 +7=0 ingen røtter.

La oss løse en annen ufullstendig andregradsligning −x 2 +9=0. Vi flytter de ni til høyre side: −x 2 =−9. Nå deler vi begge sider med −1, vi får x 2 =9. På høyre side er positivt tall, hvorfra vi konkluderer med at eller . Så skriver vi ned det endelige svaret: den ufullstendige andregradsligningen −x 2 +9=0 har to røtter x=3 eller x=−3.

a x 2 + b x=0

Det gjenstår å finne løsningen siste type ufullstendige andregradsligninger for c=0. Ufullstendige andregradsligninger på formen a x 2 + b x = 0 lar deg løse faktoriseringsmetode. Åpenbart kan vi, plassert på venstre side av ligningen, som det er nok å ta den felles faktoren x ut av parentes. Dette lar oss gå fra den opprinnelige ufullstendige andregradsligningen til en ekvivalent ligning på formen x·(a·x+b)=0. Og denne ligningen tilsvarer et sett med to ligninger x=0 og a·x+b=0, hvor sistnevnte er lineær og har en rot x=−b/a.

Så den ufullstendige andregradsligningen a·x 2 +b·x=0 har to røtter x=0 og x=−b/a.

For å konsolidere materialet, vil vi analysere løsningen til et spesifikt eksempel.

Eksempel.

Løs ligningen.

Løsning.

Å ta x ut av parentes gir ligningen . Det tilsvarer to ligninger x=0 og . Løser det vi har lineær ligning: , og dividere det blandede tallet med vanlig brøk, Vi finner . Derfor er røttene til den opprinnelige ligningen x=0 og .

Etter å ha fått nødvendig øvelse, kan løsninger på slike ligninger skrives kort:

Svar:

x=0, .

Diskriminant, formel for røttene til en andregradsligning

For å løse andregradsligninger er det en rotformel. La oss skrive det ned formel for røttene til en andregradsligning: , Hvor D=b 2 −4 a c- såkalte diskriminant av en andregradsligning. Oppføringen betyr i hovedsak at .

Det er nyttig å vite hvordan rotformelen ble utledet og hvordan den brukes til å finne røttene til kvadratiske ligninger. La oss finne ut av dette.

Utledning av formelen for røttene til en andregradsligning

La oss løse den andregradsligningen a·x 2 +b·x+c=0. La oss utføre noen tilsvarende transformasjoner:

• Vi kan dele begge sider av denne ligningen med et ikke-null tall a, noe som resulterer i følgende kvadratiske ligning.
• Nå velg en komplett firkant på venstre side: . Etter dette vil ligningen ha formen .
• På dette stadiet er det mulig å overføre de to siste leddene til høyre side med motsatt fortegn, vi har .
• Og la oss også transformere uttrykket på høyre side: .

Som et resultat kommer vi til en ligning som er ekvivalent med den opprinnelige andregradsligningen a·x 2 +b·x+c=0.

Vi har allerede løst likninger som ligner i form i de foregående avsnittene, da vi undersøkte. Dette lar oss trekke følgende konklusjoner angående røttene til ligningen:

• hvis , så har ligningen ingen reelle løsninger;
• hvis , så har ligningen formen , derfor, , hvorfra dens eneste rot er synlig;
• hvis , da eller , som er det samme som eller , det vil si at ligningen har to røtter.

Tilstedeværelsen eller fraværet av røtter til ligningen, og derfor den opprinnelige kvadratiske ligningen, avhenger således av tegnet til uttrykket på høyre side. I sin tur bestemmes tegnet til dette uttrykket av tellerens fortegn, siden nevneren 4·a 2 alltid er positiv, det vil si av tegnet til uttrykket b 2 −4·a·c. Dette uttrykket b 2 −4 a c ble kalt diskriminant av en andregradsligning og utpekt ved brevet D. Herfra er essensen av diskriminanten klar - basert på dens verdi og fortegn konkluderer de om kvadratisk ligning har reelle røtter, og i så fall hva er deres nummer - en eller to.

La oss gå tilbake til ligningen og omskrive den ved å bruke diskriminantnotasjonen: . Og vi trekker konklusjoner:

• hvis D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• hvis D=0, så har denne ligningen en enkelt rot;
• til slutt, hvis D>0, så har ligningen to røtter eller, som kan skrives om i formen eller, og etter å utvide og bringe brøkene til en fellesnevner får vi.

Så vi utledet formlene for røttene til den kvadratiske ligningen, de ser ut som , hvor diskriminanten D beregnes med formelen D=b 2 −4·a·c.

Med deres hjelp, med en positiv diskriminant, kan du beregne begge de reelle røttene til en kvadratisk ligning. Når diskriminanten er lik null, gir begge formlene samme verdi av roten, tilsvarende en unik løsning på kvadratisk ligning. Og med en negativ diskriminant, når vi prøver å bruke formelen for røttene til en kvadratisk ligning, står vi overfor å trekke ut kvadratroten av et negativt tall, som tar oss utenfor rekkevidden og skolepensum. Med en negativ diskriminant har andregradsligningen ingen reelle røtter, men har et par komplekst konjugat røtter, som kan finnes ved å bruke de samme rotformlene som vi fikk.

Algoritme for å løse andregradsligninger ved hjelp av rotformler

I praksis, når du løser kvadratiske ligninger, kan du umiddelbart bruke rotformelen til å beregne verdiene deres. Men dette er mer knyttet til å finne komplekse røtter.

Imidlertid, i skolekurs algebra vanligvis vi snakker om ikke om kompleks, men om reelle røtter til en kvadratisk ligning. I dette tilfellet er det tilrådelig, før du bruker formlene for røttene til en kvadratisk ligning, å først finne diskriminanten, forsikre deg om at den er ikke-negativ (ellers kan vi konkludere med at ligningen ikke har reelle røtter), og bare da beregne verdiene til røttene.

Resonnementet ovenfor lar oss skrive algoritme for å løse en andregradsligning. For å løse den kvadratiske ligningen a x 2 +b x+c=0, må du:

• ved å bruke diskriminantformelen D=b 2 −4·a·c, beregne verdien;
• konkludere med at en kvadratisk ligning ikke har noen reelle røtter hvis diskriminanten er negativ;
• beregne den eneste roten av ligningen ved å bruke formelen hvis D=0;
• finn to reelle røtter av en kvadratisk ligning ved å bruke rotformelen hvis diskriminanten er positiv.

Her legger vi bare merke til at hvis diskriminanten er lik null, kan du også bruke formelen, den vil gi samme verdi som .

Du kan gå videre til eksempler på bruk av algoritmen for å løse andregradsligninger.

Eksempler på løsning av andregradsligninger

La oss vurdere løsninger på tre andregradsligninger med en positiv, negativ og null diskriminant. Etter å ha behandlet løsningen deres, vil det analogt være mulig å løse enhver annen kvadratisk ligning. La oss begynne.

Eksempel.

Finn røttene til ligningen x 2 +2·x−6=0.

Løsning.

I dette tilfellet har vi følgende koeffisienter for kvadratisk ligning: a=1, b=2 og c=−6. I henhold til algoritmen må du først beregne diskriminanten; for å gjøre dette erstatter vi de angitte a, b og c i diskriminantformelen, vi har D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Siden 28>0, det vil si diskriminanten er større enn null, har kvadratisk ligning to reelle røtter. La oss finne dem ved å bruke rotformelen, vi får , her kan du forenkle de resulterende uttrykkene ved å gjøre flytte multiplikatoren forbi rottegnet etterfulgt av reduksjon av fraksjonen:

Svar:

La oss gå videre til neste typiske eksempel.

Eksempel.

Løs den andregradsligningen −4 x 2 +28 x−49=0 .

Løsning.

Vi starter med å finne diskriminanten: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Derfor har denne andregradsligningen en enkelt rot, som vi finner som , det vil si,

Svar:

x=3,5.

Det gjenstår å vurdere å løse andregradsligninger med en negativ diskriminant.

Eksempel.

Løs ligningen 5·y 2 +6·y+2=0.

Løsning.

Her er koeffisientene til kvadratisk ligning: a=5, b=6 og c=2. Vi erstatter disse verdiene med den diskriminerende formelen, vi har D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Diskriminanten er negativ, derfor har denne kvadratiske ligningen ingen reelle røtter.

Hvis du trenger å indikere komplekse røtter, så bruker vi den velkjente formelen for røttene til en kvadratisk ligning, og utfører handlinger med komplekse tall :

Svar:

det er ingen reelle røtter, komplekse røtter er: .

La oss merke igjen at hvis diskriminanten til en kvadratisk ligning er negativ, skriver de vanligvis umiddelbart ned et svar på skolen der de indikerer at det ikke er noen reelle røtter, og komplekse røtter ikke finnes.

Rotformel for selv andre koeffisienter

Formelen for røttene til en kvadratisk ligning, hvor D=b 2 −4·a·c lar deg få en formel av en mer kompakt form, slik at du kan løse kvadratiske ligninger med en jevn koeffisient for x (eller ganske enkelt med en koeffisient med formen 2·n, for eksempel, eller 14· ln5=2·7·ln5 ). La oss få henne ut.

La oss si at vi må løse en andregradsligning av formen a x 2 +2 n x+c=0. La oss finne røttene ved hjelp av formelen vi kjenner. For å gjøre dette, beregner vi diskriminanten D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), og så bruker vi rotformelen:

La oss betegne uttrykket n 2 −a c som D 1 (noen ganger er det betegnet D ") Da vil formelen for røttene til den andregradsligningen som vurderes med den andre koeffisienten 2 n ha formen , hvor D 1 =n 2 −a·c.

Det er lett å se at D=4·D 1, eller D 1 =D/4. D 1 er med andre ord den fjerde delen av diskriminanten. Det er tydelig at tegnet på D 1 er det samme som tegnet på D . Det vil si at tegnet D 1 også er en indikator på tilstedeværelse eller fravær av røtter til en kvadratisk ligning.

Så for å løse en andregradsligning med en andre koeffisient 2·n, trenger du

• Beregn D 1 =n 2 −a·c ;
• Hvis D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Hvis D 1 =0, beregner du den eneste roten av ligningen ved å bruke formelen;
• Hvis D 1 >0, finn to reelle røtter ved å bruke formelen.

La oss vurdere å løse eksemplet ved å bruke rotformelen oppnådd i dette avsnittet.

Eksempel.

Løs den andregradsligningen 5 x 2 −6 x −32=0 .

Løsning.

Den andre koeffisienten til denne ligningen kan representeres som 2·(−3) . Det vil si at du kan skrive om den opprinnelige kvadratiske ligningen på formen 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, her a=5, n=−3 og c=−32, og beregne den fjerde delen av diskriminerende: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Siden verdien er positiv, har ligningen to reelle røtter. La oss finne dem ved å bruke den riktige rotformelen:

Merk at det var mulig å bruke den vanlige formelen for røttene til en kvadratisk ligning, men i dette tilfellet måtte mer beregningsarbeid utføres.

Svar:

Forenkle formen til kvadratiske ligninger

Noen ganger, før du begynner å beregne røttene til en kvadratisk ligning ved hjelp av formler, skader det ikke å stille spørsmålet: "Er det mulig å forenkle formen til denne ligningen?" Enig i at når det gjelder beregninger vil det være lettere å løse andregradsligningen 11 x 2 −4 x−6=0 enn 1100 x 2 −400 x−600=0.

Vanligvis oppnås forenkling av formen til en kvadratisk ligning ved å multiplisere eller dele begge sider med et visst tall. For eksempel, i forrige avsnitt var det mulig å forenkle ligningen 1100 x 2 −400 x −600=0 ved å dele begge sider med 100.

En lignende transformasjon utføres med kvadratiske ligninger, hvis koeffisienter ikke er . I dette tilfellet er begge sider av ligningen vanligvis delt med de absolutte verdiene av koeffisientene. La oss for eksempel ta den andregradsligningen 12 x 2 −42 x+48=0. absolutte verdier av koeffisientene: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Ved å dele begge sider av den opprinnelige andregradsligningen med 6, kommer vi til den ekvivalente andregradsligningen 2 x 2 −7 x+8=0.

Og å multiplisere begge sider av en kvadratisk ligning gjøres vanligvis for å bli kvitt brøkkoeffisienter. I dette tilfellet utføres multiplikasjon med nevnerne til koeffisientene. For eksempel, hvis begge sider av den kvadratiske ligningen multipliseres med LCM(6, 3, 1)=6, vil den ha den enklere formen x 2 +4·x−18=0.

Som konklusjon av dette punktet legger vi merke til at de nesten alltid kvitter seg med minus ved den høyeste koeffisienten til en kvadratisk ligning ved å endre fortegnene til alle ledd, som tilsvarer å multiplisere (eller dividere) begge sider med −1. For eksempel går man vanligvis fra den andregradsligningen −2 x 2 −3 x+7=0 til løsningen 2 x 2 +3 x−7=0 .

Forholdet mellom røtter og koeffisienter til en kvadratisk ligning

Formelen for røttene til en kvadratisk ligning uttrykker røttene til ligningen gjennom koeffisientene. Basert på rotformelen kan du få andre sammenhenger mellom røtter og koeffisienter.

De mest kjente og anvendelige formlene fra Vietas teorem er av formen og . Spesielt for den gitte kvadratiske ligningen er summen av røttene lik den andre koeffisienten med motsatt fortegn, og produktet av røttene er lik frileddet. For eksempel, ved å se på formen til kvadratisk ligning 3 x 2 −7 x + 22 = 0, kan vi umiddelbart si at summen av røttene er lik 7/3, og produktet av røttene er lik 22 /3.

Ved å bruke de allerede skrevne formlene kan du få en rekke andre sammenhenger mellom røttene og koeffisientene til den kvadratiske ligningen. For eksempel kan du uttrykke summen av kvadratene til røttene til en kvadratisk ligning gjennom koeffisientene: .

Bibliografi.

• Algebra: lærebok for 8. klasse. allmennutdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigert av S. A. Telyakovsky. - 16. utg. - M.: Utdanning, 2008. - 271 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebra. 8. klasse. Kl. 14. Del 1. Lærebok for elever utdanningsinstitusjoner/ A. G. Mordkovich. - 11. utg., slettet. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

Bibliografisk beskrivelse: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Metoder for å løse kvadratiske ligninger // Ung vitenskapsmann. 2016. Nr 6.1. S. 17-20..02.2019).



Prosjektet vårt handler om måter å løse andregradsligninger på. Mål med prosjektet: lære å løse andregradsligninger på måter som ikke er inkludert i skolens læreplan. Oppgave: finne alt mulige måter løse andregradsligninger og lære hvordan du bruker dem selv og introdusere disse metodene for klassekameratene dine.

Hva er "kvadratiske ligninger"?

Kvadratisk ligning- formens ligning øks2 + bx + c = 0, Hvor en, b, c- noen tall ( a ≠ 0), x- ukjent.

Tallene a, b, c kalles koeffisientene til kvadratisk ligning.

• a kalles den første koeffisienten;
• b kalles den andre koeffisienten;
• c - gratis medlem.

Hvem var den første som "oppfant" andregradsligninger?

Noen algebraiske teknikker for å løse lineære og kvadratiske ligninger var kjent for 4000 år siden i det gamle Babylon. Oppdagelsen av gamle babylonske leirtavler, som dateres fra et sted mellom 1800 og 1600 f.Kr., gir det tidligste beviset på studiet av kvadratiske ligninger. De samme nettbrettene inneholder metoder for å løse visse typer kvadratiske ligninger.

Behovet for å løse ligninger ikke bare av første, men også av andre grad i antikken var forårsaket av behovet for å løse problemer knyttet til å finne områder tomter og med jordarbeider av militær karakter, samt med utviklingen av astronomi og matematikk selv.

Regelen for å løse disse ligningene, som er angitt i de babylonske tekstene, er i hovedsak sammenfallende med den moderne, men det er ikke kjent hvordan babylonerne kom frem til denne regelen. Nesten alle kileskriftstekster som er funnet så langt gir kun problemer med løsninger lagt opp i form av oppskrifter, uten indikasjon på hvordan de ble funnet. På tross av høy level utvikling av algebra i Babylon, mangler kileskrifttekstene begrepet et negativt tall og generelle metoder løse andregradsligninger.

Babylonske matematikere fra ca 400-tallet f.Kr. brukte kvadratets komplementmetode for å løse likninger med positive røtter. Rundt 300 f.Kr Euklid kom opp med en mer generell geometrisk løsningsmetode. Den første matematikeren som fant løsninger på ligninger med negative røtter i form av en algebraisk formel var en indisk vitenskapsmann Brahmagupta(India, 7. århundre e.Kr.).

Brahmagupta la ut en generell regel for å løse kvadratiske ligninger redusert til en enkelt kanonisk form:

ax2 + bx = c, a>0

Koeffisientene i denne ligningen kan også være negative. Brahmaguptas styre er i hovedsak det samme som vårt.

Offentlige konkurranser for å løse vanskelige problemer var vanlig i India. En av de gamle indiske bøkene sier følgende om slike konkurranser: «Som solen formørker stjernene med sin glans, så lærd mann vil formørke hans ære i offentlige forsamlinger ved å foreslå og løse algebraiske problemer.» Problemer ble ofte presentert i poetisk form.

I en algebraisk avhandling Al-Khwarizmi en klassifisering av lineære og andregradslikninger er gitt. Forfatteren teller 6 typer ligninger, og uttrykker dem som følger:

1) «Kvadrater er lik røtter», dvs. ax2 = bx.

2) «Kvadrater er lik tall», dvs. ax2 = c.

3) "Røttene er lik tallet", dvs. ax2 = c.

4) «Kvadrater og tall er lik røtter», dvs. ax2 + c = bx.

5) «Kvadrater og røtter er lik tallet», dvs. ax2 + bx = c.

6) «Røtter og tall er lik kvadrater», dvs. bx + c == ax2.

For Al-Khwarizmi, som unngikk bruken av negative tall, er vilkårene i hver av disse ligningene addisjoner og ikke subtraherbare. I dette tilfellet er det åpenbart ikke tatt hensyn til ligninger som ikke har positive løsninger. Forfatteren angir metoder for å løse disse ligningene ved å bruke teknikkene til al-jabr og al-mukabal. Hans avgjørelse er selvfølgelig ikke helt sammenfallende med vår. For ikke å nevne at det er rent retorisk, bør det for eksempel bemerkes at når man løser en ufullstendig kvadratisk ligning av den første typen, tar ikke Al-Khorezmi, som alle matematikere frem til 1600-tallet, hensyn til nullløsningen, sannsynligvis fordi det praktisk talt ikke spiller noen rolle i oppgaver. Når du løser komplette kvadratiske ligninger, angir Al-Khwarizmi reglene for å løse dem ved å bruke spesielle numeriske eksempler, og deretter deres geometriske bevis.

Skjemaer for å løse kvadratiske ligninger etter modellen til Al-Khwarizmi i Europa ble først fremsatt i "Book of the Abacus", skrevet i 1202. italiensk matematiker Leonard Fibonacci. Forfatteren utviklet uavhengig noen nye algebraiske eksempler løse problemer og var den første i Europa som innførte negative tall.

Denne boken bidro til spredningen av algebraisk kunnskap ikke bare i Italia, men også i Tyskland, Frankrike og andre europeiske land. Mange problemer fra denne boken ble brukt i nesten alle europeiske lærebøker på 1300- og 1600-tallet. Generell regel løsningen av kvadratiske ligninger redusert til en enkelt kanonisk form x2 + bх = с for alle mulige kombinasjoner av tegn og koeffisienter b, c ble formulert i Europa i 1544. M. Stiefel.

Avledningen av formelen for å løse en kvadratisk ligning i generell form er tilgjengelig fra Viète, men Viète gjenkjente bare positive røtter. italienske matematikere Tartaglia, Cardano, Bombelli blant de første på 1500-tallet. ta hensyn til, i tillegg til det positive, og negative røtter. Først på 1600-tallet. takket være innsatsen Girard, Descartes, Newton og andre forskere, har metoden for å løse kvadratiske ligninger en moderne form.

La oss se på flere måter å løse andregradsligninger på.

Standardmetoder for å løse andregradsligninger fra skolens læreplan:

1. Faktorer venstre side av ligningen.
2. Metode for å velge en komplett firkant.
3. Løse kvadratiske ligninger ved hjelp av formelen.
4. Grafisk løsning kvadratisk ligning.
5. Løse ligninger ved hjelp av Vietas teorem.

La oss dvele mer detaljert på løsningen av reduserte og ikke-reduserte kvadratiske ligninger ved å bruke Vietas teorem.

Husk at for å løse de ovennevnte kvadratiske ligningene, er det nok å finne to tall hvis produkt er lik frileddet, og hvis sum er lik den andre koeffisienten med motsatt fortegn.

Eksempel.x 2 -5x+6=0

Du må finne tall hvis produkt er 6 og summen er 5. Disse tallene vil være 3 og 2.

Svar: x 1 =2, x 2 =3.

Men du kan også bruke denne metoden for ligninger med den første koeffisienten som ikke er lik én.

Eksempel.3x 2 +2x-5=0

Ta den første koeffisienten og gang den med frileddet: x 2 +2x-15=0

Røttene til denne ligningen vil være tall hvis produkt er lik - 15, og hvis sum er lik - 2. Disse tallene er 5 og 3. For å finne røttene til den opprinnelige ligningen, del de resulterende røttene med den første koeffisienten.

Svar: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Løse ligninger ved å bruke "kast"-metoden.

Tenk på den andregradsligningen ax 2 + bx + c = 0, hvor a≠0.

Ved å multiplisere begge sider med a, får vi ligningen a 2 x 2 + abx + ac = 0.

La ax = y, derfra x = y/a; da kommer vi til ligningen y 2 + by + ac = 0, ekvivalent med den gitte. Vi finner røttene til 1 og 2 ved å bruke Vietas teorem.

Vi får til slutt x 1 = y 1 /a og x 2 = y 2 /a.

Med denne metoden multipliseres koeffisienten a med frileddet, som om den ble "kastet" til den, og det er derfor den kalles "kast"-metoden. Denne metoden brukes når røttene til ligningen lett kan finnes ved å bruke Vietas teorem og, viktigst av alt, når diskriminanten er et eksakt kvadrat.

Eksempel.2x 2 - 11x + 15 = 0.

La oss "kaste" koeffisienten 2 til frileddet og gjøre en substitusjon og få ligningen y 2 - 11y + 30 = 0.

I følge Vietas inverse teorem

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 ​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Svar: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Egenskaper til koeffisienter til en kvadratisk ligning.

La andregradsligningen ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 gis.

1. Hvis a+ b + c = 0 (dvs. summen av koeffisientene til ligningen er null), så er x 1 = 1.

2. Hvis a - b + c = 0, eller b = a + c, så er x 1 = - 1.

Eksempel.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Siden a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), så er x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Svar: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Eksempel.132x 2 + 247x + 115 = 0

Fordi a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), deretter x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Svar: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Det er andre egenskaper til koeffisientene til en kvadratisk ligning. men bruken er mer kompleks.

8. Løse andregradsligninger ved hjelp av et nomogram.

Fig 1. Nomogram

Dette er en gammel og for tiden glemt metode for å løse andregradsligninger, plassert på s. 83 i samlingen: Bradis V.M. Firesifrede matematiske tabeller. - M., utdanning, 1990.

Tabell XXII. Nomogram for å løse ligningen z 2 + pz + q = 0. Dette nomogrammet tillater, uten å løse en kvadratisk ligning, å bestemme røttene til ligningen fra koeffisientene.

Den krumlinjede skalaen til nomogrammet er bygget i henhold til formlene (fig. 1):

Troende OS = p, ED = q, OE = a(alle i cm), fra Fig. 1 likheter av trekanter SAN Og CDF vi får andelen

som etter substitusjoner og forenklinger gir ligningen z 2 + pz + q = 0, og brevet z betyr merket for ethvert punkt på en buet skala.

Ris. 2 Løse andregradsligninger ved hjelp av et nomogram

Eksempler.

1) For ligningen z 2 - 9z + 8 = 0 nomogrammet gir røttene z 1 = 8,0 og z 2 = 1,0

Svar:8.0; 1.0.

2) Ved hjelp av et nomogram løser vi ligningen

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Del koeffisientene til denne ligningen med 2, vi får ligningen z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Nomogrammet gir røttene z 1 = 4 og z 2 = 0,5.

Svar: 4; 0,5.

9. Geometrisk metode for å løse andregradsligninger.

Eksempel.X 2 + 10x = 39.

I originalen er dette problemet formulert som følger: "Kvadraten og ti røttene er lik 39."

Tenk på en firkant med side x, rektangler er konstruert på sidene slik at den andre siden av hver av dem er 2,5, derfor er arealet av hver 2,5x. Den resulterende figuren kompletteres deretter til en ny firkant ABCD, og ​​legger til fire ruter i hjørnene. lik kvadrat, siden av hver av dem er 2,5, og arealet er 6,25

Ris. 3 Grafisk metode for å løse ligningen x 2 + 10x = 39

Arealet S av kvadratet ABCD kan representeres som summen av arealene til: det opprinnelige kvadratet x 2, fire rektangler (4∙2.5x = 10x) og fire ekstra kvadrater (6.25∙4 = 25), dvs. S = x 2 + 10x = 25. Ved å erstatte x 2 + 10x med tallet 39 får vi at S = 39+ 25 = 64, som betyr at siden av kvadratet er ABCD, dvs. segment AB = 8. For den nødvendige siden x av det opprinnelige kvadratet får vi

10. Løse ligninger ved hjelp av Bezouts teorem.

Bezouts teorem. Resten av å dele polynomet P(x) med binomialet x - α er lik P(α) (det vil si verdien av P(x) ved x = α).

Hvis tallet α er roten til polynomet P(x), så er dette polynomet delelig med x -α uten en rest.

Eksempel.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Del P(x) med (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, eller x-3=0, x=3; Svar: x1 =2, x2 =3.

Konklusjon: Evnen til raskt og rasjonelt å løse andregradsligninger er rett og slett nødvendig for å løse flere komplekse ligninger, for eksempel rasjonelle brøklikninger, likninger høyere grader, biquadratiske ligninger og i videregående skole trigonometriske, eksponentielle og logaritmiske ligninger. Etter å ha studert alle de funnet måtene å løse andregradsligninger på, kan vi gi råd til klassekameratene våre, bortsett fra standard metoder, løsning ved overføringsmetode (6) og løsning av ligninger ved bruk av egenskapene til koeffisienter (7), siden de er mer tilgjengelige for forståelse.

Litteratur:

1. Bradis V.M. Firesifrede matematiske tabeller. - M., utdanning, 1990.
2. Algebra 8. klasse: lærebok for 8. klasse. allmennutdanning institusjoner Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovsky 15. utgave, revidert. - M.: Utdanning, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazer G.I. Matematikkens historie på skolen. Håndbok for lærere. / Red. V.N. Yngre. - M.: Utdanning, 1964.

Første nivå

Kvadratiske ligninger. Omfattende guide (2019)

I begrepet "kvadratisk ligning" er nøkkelordet "kvadratisk." Dette betyr at ligningen nødvendigvis må inneholde en variabel (den samme x) i annen, og det skal ikke være x-er til den tredje (eller større) potensen.

Løsningen av mange ligninger kommer ned til å løse andregradsligninger.

La oss lære å bestemme at dette er en andregradsligning og ikke en annen ligning.

Eksempel 1.

La oss kvitte oss med nevneren og gange hvert ledd i ligningen med

La oss flytte alt til venstre side og ordne begrepene i synkende rekkefølge av potenser til X

Nå kan vi med sikkerhet si det gitt ligning er firkantet!

Eksempel 2.

Multipliser venstre og høyre side med:

Denne ligningen, selv om den opprinnelig var i den, er ikke kvadratisk!

Eksempel 3.

La oss gange alt med:

Skummelt? Den fjerde og andre graden... Men hvis vi gjør en erstatning, vil vi se at vi har en enkel andregradsligning:

Eksempel 4.

Det ser ut til å være der, men la oss se nærmere. La oss flytte alt til venstre side:

Se, det er redusert - og nå er det en enkel lineær ligning!

Prøv nå å bestemme selv hvilke av følgende ligninger som er kvadratiske og hvilke som ikke er det:

Eksempler:

Svar:

1. torget;
2. torget;
3. ikke firkantet;
4. ikke firkantet;
5. ikke firkantet;
6. torget;
7. ikke firkantet;
8. torget.

Matematikere deler konvensjonelt alle kvadratiske ligninger inn i følgende typer:

• Fullfør andregradsligninger- ligninger der koeffisientene og, samt frileddet c, ikke er lik null (som i eksempelet). I tillegg er det blant komplette andregradsligninger gitt- dette er ligninger der koeffisienten (ligningen fra eksempel en ikke bare er fullstendig, men også redusert!)

• Ufullstendige andregradsligninger- ligninger der koeffisienten og eller frileddet c er lik null:

  De er ufullstendige fordi de mangler et element. Men ligningen må alltid inneholde x i annen!!! Ellers vil det ikke lenger være en andregradsligning, men en annen ligning.

Hvorfor kom de med en slik inndeling? Det ser ut til at det er et X i kvadrat, og det er greit. Denne inndelingen bestemmes av løsningsmetodene. La oss se på hver av dem mer detaljert.

Løse ufullstendige andregradsligninger

La oss først fokusere på å løse ufullstendige kvadratiske ligninger - de er mye enklere!

Det finnes typer ufullstendige kvadratiske ligninger:

1. , i denne ligningen er koeffisienten lik.
2. , i denne ligningen er frileddet lik.
3. , i denne ligningen er koeffisienten og frileddet like.

1. jeg. Fordi vi vet hvordan vi skal trekke ut Kvadratrot, så la oss uttrykke fra denne ligningen

Uttrykket kan enten være negativt eller positivt. Et kvadratert tall kan ikke være negativt, fordi når du multipliserer to negative eller to positive tall, vil resultatet alltid være et positivt tall, så: hvis, så har ligningen ingen løsninger.

Og hvis, så får vi to røtter. Det er ikke nødvendig å huske disse formlene. Det viktigste er at du må vite og alltid huske at det ikke kan være mindre.

La oss prøve å løse noen eksempler.

Eksempel 5:

Løs ligningen

Nå gjenstår det bare å trekke ut roten fra venstre og høyre side. Tross alt, husker du hvordan du trekker ut røtter?

Svar:

Glem aldri røtter med negativt fortegn!!!

Eksempel 6:

Løs ligningen

Svar:

Eksempel 7:

Løs ligningen

Åh! Kvadraten til et tall kan ikke være negativ, noe som betyr at ligningen

ingen røtter!

For slike ligninger som ikke har røtter, kom matematikere opp med et spesielt ikon - (tomt sett). Og svaret kan skrives slik:

Svar:

Dermed har denne kvadratiske ligningen to røtter. Det er ingen begrensninger her, siden vi ikke hentet ut roten.
Eksempel 8:

Løs ligningen

La oss ta den felles faktoren ut av parentes:

Dermed,

Denne ligningen har to røtter.

Svar:

Den enkleste typen ufullstendige kvadratiske ligninger (selv om de alle er enkle, ikke sant?). Åpenbart har denne ligningen alltid bare én rot:

Vi vil avstå fra eksempler her.

Løse komplette andregradsligninger

Vi minner om at en komplett kvadratisk ligning er en ligning av formen ligning der

Å løse komplette andregradsligninger er litt vanskeligere (bare litt) enn disse.

Huske, Enhver kvadratisk ligning kan løses ved hjelp av en diskriminant! Til og med ufullstendig.

De andre metodene vil hjelpe deg å gjøre det raskere, men hvis du har problemer med kvadratiske ligninger, må du først mestre løsningen ved å bruke diskriminanten.

1. Løse andregradsligninger ved hjelp av en diskriminant.

Å løse kvadratiske ligninger ved hjelp av denne metoden er veldig enkelt; det viktigste er å huske rekkefølgen av handlinger og et par formler.

Hvis, så har ligningen en rot. Du må være spesielt oppmerksom på trinnet. Diskriminant () forteller oss antall røtter til ligningen.

• Hvis, vil formelen i trinnet reduseres til. Dermed vil ligningen kun ha en rot.
• Hvis, så vil vi ikke være i stand til å trekke ut roten til diskriminanten på trinnet. Dette indikerer at ligningen ikke har noen røtter.

La oss gå tilbake til ligningene våre og se på noen eksempler.

Eksempel 9:

Løs ligningen

Trinn 1 vi hopper over.

Steg 2.

Vi finner diskriminanten:

Dette betyr at ligningen har to røtter.

Trinn 3.

Svar:

Eksempel 10:

Løs ligningen

Ligningen er presentert i standardform, så Trinn 1 vi hopper over.

Steg 2.

Vi finner diskriminanten:

Dette betyr at ligningen har én rot.

Svar:

Eksempel 11:

Løs ligningen

Ligningen er presentert i standardform, så Trinn 1 vi hopper over.

Steg 2.

Vi finner diskriminanten:

Dette betyr at vi ikke vil være i stand til å trekke ut roten til diskriminanten. Det er ingen røtter til ligningen.

Nå vet vi hvordan vi skal skrive ned slike svar riktig.

Svar: ingen røtter

2. Løse andregradsligninger ved hjelp av Vietas teorem.

Hvis du husker, er det en type ligning som kalles redusert (når koeffisienten a er lik):

Slike ligninger er veldig enkle å løse ved å bruke Vietas teorem:

Summen av røtter gitt andregradsligningen er lik, og produktet av røttene er lik.

Eksempel 12:

Løs ligningen

Denne ligningen kan løses ved å bruke Vietas teorem fordi .

Summen av røttene til ligningen er lik, dvs. vi får den første ligningen:

Og produktet er lik:

La oss komponere og løse systemet:

• Og. Beløpet er lik;
• Og. Beløpet er lik;
• Og. Beløpet er likt.

og er løsningen på systemet:

Svar: ; .

Eksempel 13:

Løs ligningen

Svar:

Eksempel 14:

Løs ligningen

Ligningen er gitt, som betyr:

Svar:

KVADRATISKE LIGNINGER. GJENNOMSNITTLIG NIVÅ

Hva er en andregradsligning?

Med andre ord, en andregradsligning er en ligning av formen, hvor - det ukjente, - noen tall, og.

Tallet kalles det høyeste eller første koeffisient kvadratisk ligning, - andre koeffisient, A - gratis medlem.

Hvorfor? For hvis ligningen umiddelbart blir lineær, fordi vil forsvinne.

I dette tilfellet kan og være lik null. I denne stolen kalles ligningen ufullstendig. Hvis alle vilkårene er på plass, det vil si at ligningen er komplett.

Løsninger på ulike typer kvadratiske ligninger

Metoder for å løse ufullstendige andregradsligninger:

La oss først se på metoder for å løse ufullstendige kvadratiske ligninger - de er enklere.

Vi kan skille mellom følgende typer ligninger:

I., i denne ligningen er koeffisienten og frileddet like.

II. , i denne ligningen er koeffisienten lik.

III. , i denne ligningen er frileddet lik.

La oss nå se på løsningen for hver av disse undertypene.

Åpenbart har denne ligningen alltid bare én rot:

Et kvadratert tall kan ikke være negativt, for når du multipliserer to negative eller to positive tall, vil resultatet alltid være et positivt tall. Derfor:

hvis, så har ligningen ingen løsninger;

hvis vi har to røtter

Det er ikke nødvendig å huske disse formlene. Det viktigste å huske er at det ikke kan være mindre.

Eksempler:

Løsninger:

Svar:

Glem aldri røtter med negativt fortegn!

Kvadraten til et tall kan ikke være negativ, noe som betyr at ligningen

ingen røtter.

For å kort skrive ned at et problem ikke har noen løsninger, bruker vi det tomme sett-ikonet.

Svar:

Så denne ligningen har to røtter: og.

Svar:

Vi tar den ut felles multiplikator utenfor parentesene:

Produktet er lik null hvis minst en av faktorene er lik null. Dette betyr at ligningen har en løsning når:

Så denne andregradsligningen har to røtter: og.

Eksempel:

Løs ligningen.

Løsning:

La oss faktorisere venstre side av ligningen og finne røttene:

Svar:

Metoder for å løse komplette kvadratiske ligninger:

1. Diskriminerende

Å løse kvadratiske ligninger på denne måten er enkelt, det viktigste er å huske handlingssekvensen og et par formler. Husk at enhver annengradsligning kan løses ved hjelp av en diskriminant! Til og med ufullstendig.

La du merke til roten fra diskriminanten i formelen for røtter? Men diskriminanten kan være negativ. Hva å gjøre? Vi må være spesielt oppmerksomme på trinn 2. Diskriminanten forteller oss antall røtter til ligningen.

• Hvis, så har ligningen røtter:
• Hvis så ligningen har identiske røtter, men egentlig én rot:

  Slike røtter kalles dobbeltrøtter.

• Hvis, så trekkes ikke roten til diskriminanten ut. Dette indikerer at ligningen ikke har noen røtter.

Hvorfor er det mulig forskjellige mengder røtter? La oss gå til geometrisk sans kvadratisk ligning. Grafen til funksjonen er en parabel:

I et spesielt tilfelle, som er en andregradsligning, . Dette betyr at røttene til en kvadratisk ligning er skjæringspunktene med abscisseaksen (aksen). En parabel kan ikke krysse aksen i det hele tatt, eller kan krysse den ved ett (når parabelens toppunkt ligger på aksen) eller to punkter.

I tillegg er koeffisienten ansvarlig for retningen til grenene til parablen. Hvis, så er grenene til parablen rettet oppover, og hvis, så nedover.

Eksempler:

Løsninger:

Svar:

Svar: .

Svar:

Dette betyr at det ikke finnes noen løsninger.

Svar: .

2. Vietas teorem

Det er veldig enkelt å bruke Vietas teorem: du trenger bare å velge et tallpar hvis produkt er lik ligningens frie ledd, og summen er lik den andre koeffisienten tatt med motsatt fortegn.

Det er viktig å huske at Vietas teorem kun kan brukes i reduserte andregradsligninger ().

La oss se på noen eksempler:

Eksempel #1:

Løs ligningen.

Løsning:

Denne ligningen kan løses ved å bruke Vietas teorem fordi . Andre koeffisienter: ; .

Summen av røttene til ligningen er:

Og produktet er lik:

La oss velge par med tall hvis produkt er likt og sjekke om summen deres er lik:

• Og. Beløpet er lik;
• Og. Beløpet er lik;
• Og. Beløpet er likt.

og er løsningen på systemet:

Dermed og er røttene til ligningen vår.

Svar: ; .

Eksempel #2:

Løsning:

La oss velge tallpar som gir i produktet, og så sjekke om summen deres er lik:

og: de gir totalt.

og: de gir totalt. For å få det er det nok å bare endre tegnene på de antatte røttene: og tross alt produktet.

Svar:

Eksempel #3:

Løsning:

Frileddet til ligningen er negativ, og derfor er produktet av røttene et negativt tall. Dette er bare mulig hvis en av røttene er negativ og den andre er positiv. Derfor er summen av røttene lik forskjellene på modulene deres.

La oss velge par med tall som gir produktet, og hvis forskjell er lik:

og: deres forskjell er lik - passer ikke;

og: - ikke egnet;

og: - ikke egnet;

og: - egnet. Alt som gjenstår er å huske at en av røttene er negativ. Siden summen deres må være lik, må roten med den mindre modulen være negativ: . Vi sjekker:

Svar:

Eksempel #4:

Løs ligningen.

Løsning:

Ligningen er gitt, som betyr:

Frileddet er negativt, og derfor er produktet av røttene negativt. Og dette er bare mulig når en rot av ligningen er negativ og den andre er positiv.

La oss velge par med tall hvis produkt er likt, og deretter bestemme hvilke røtter som skal ha et negativt fortegn:

Åpenbart er bare røttene og egnet for den første tilstanden:

Svar:

Eksempel #5:

Løs ligningen.

Løsning:

Ligningen er gitt, som betyr:

Summen av røttene er negativ, noe som betyr at minst én av røttene er negativ. Men siden deres produkt er positivt, betyr det at begge røttene har et minustegn.

La oss velge par med tall hvis produkt er lik:

Åpenbart er røttene tallene og.

Svar:

Enig, det er veldig praktisk å komme opp med røtter muntlig, i stedet for å regne denne ekle diskriminanten. Prøv å bruke Vietas teorem så ofte som mulig.

Men Vietas teorem er nødvendig for å lette og fremskynde å finne røttene. For at du skal dra nytte av å bruke den, må du bringe handlingene til automatikk. Og for dette, løs fem flere eksempler. Men ikke juks: du kan ikke bruke en diskriminant! Bare Vietas teorem:

Løsninger på oppgaver for selvstendig arbeid:

Oppgave 1. ((x)^(2))-8x+12=0

I følge Vietas teorem:

Som vanlig starter vi utvalget med stykket:

Ikke egnet fordi mengden;

: beløpet er akkurat det du trenger.

Svar: ; .

Oppgave 2.

Og igjen vår favoritt Vieta-setning: summen må være lik, og produktet må være lik.

Men siden det må være ikke, men, vi endrer tegnene til røttene: og (totalt).

Svar: ; .

Oppgave 3.

Hmm... Hvor er det?

Du må flytte alle termene til én del:

Summen av røttene er lik produktet.

Ok, stopp! Ligningen er ikke gitt. Men Vietas teorem er kun anvendelig i de gitte ligningene. Så først må du gi en ligning. Hvis du ikke kan lede, gi opp denne ideen og løs på en annen måte (for eksempel gjennom en diskriminant). La meg minne deg på at å gi en kvadratisk ligning betyr å gjøre den ledende koeffisienten lik:

Flott. Da er summen av røttene lik og produktet.

Her er det like enkelt som å avskalle pærer å velge: det er tross alt et primtall (beklager tautologien).

Svar: ; .

Oppgave 4.

Det gratis medlemmet er negativt. Hva er spesielt med dette? Og faktum er at røttene vil ha forskjellige tegn. Og nå, under utvalget, sjekker vi ikke summen av røttene, men forskjellen i modulene deres: denne forskjellen er lik, men et produkt.

Så røttene er lik og, men en av dem er minus. Vietas teorem forteller oss at summen av røttene er lik den andre koeffisienten med motsatt fortegn, altså. Dette betyr at den mindre roten vil ha minus: og siden.

Svar: ; .

Oppgave 5.

Hva bør du gjøre først? Det stemmer, gi ligningen:

Igjen: vi velger faktorene til tallet, og forskjellen deres skal være lik:

Røttene er lik og, men en av dem er minus. Hvilken? Summen deres skal være lik, noe som betyr at minus vil ha en større rot.

Svar: ; .

La meg oppsummere:

1. Vietas teorem brukes bare i de andregradsligningene som er gitt.
2. Ved å bruke Vietas teorem kan du finne røttene ved seleksjon, muntlig.
3. Hvis ligningen ikke er gitt eller ingen ligning er funnet passende par multiplikatorer av fribegrepet, som betyr at det ikke er hele røtter, og du må løse det på en annen måte (for eksempel gjennom en diskriminant).

3. Metode for å velge en komplett firkant

Hvis alle ledd som inneholder det ukjente er representert i form av termer fra forkortede multiplikasjonsformler - kvadratet av summen eller differansen - så etter å ha erstattet variabler, kan ligningen presenteres i form av en ufullstendig kvadratisk ligning av typen.

For eksempel:

Eksempel 1:

Løs ligningen:.

Løsning:

Svar:

Eksempel 2:

Løs ligningen:.

Løsning:

Svar:

Generelt vil transformasjonen se slik ut:

Dette innebærer: .

Minner deg ikke om noe? Dette er en diskriminerende ting! Det var akkurat slik vi fikk diskriminantformelen.

KVADRATISKE LIGNINGER. KORT OM DE VIKTIGSTE TINGENE

Kvadratisk ligning- dette er en likning av formen, der - det ukjente, - koeffisientene til kvadratisk likning, - frileddet.

Fullfør andregradsligningen- en ligning der koeffisientene ikke er lik null.

Redusert andregradsligning- en ligning der koeffisienten, det vil si: .

Ufullstendig andregradsligning- en ligning der koeffisienten og eller frileddet c er lik null:

• hvis koeffisienten, ser ligningen slik ut: ,
• hvis det er et fritt ledd, har ligningen formen: ,
• hvis og, ser ligningen slik ut: .

1. Algoritme for å løse ufullstendige andregradsligninger

1.1. En ufullstendig andregradsligning av formen, hvor:

1) La oss uttrykke det ukjente: ,

2) Sjekk tegnet til uttrykket:

• hvis, så har ligningen ingen løsninger,
• hvis, så har ligningen to røtter.

1.2. En ufullstendig andregradsligning av formen, hvor:

1) La oss ta den felles faktoren ut av parentes: ,

2) Produktet er lik null hvis minst en av faktorene er lik null. Derfor har ligningen to røtter:

1.3. En ufullstendig andregradsligning av formen, der:

Denne ligningen har alltid bare én rot: .

2. Algoritme for å løse komplette andregradsligninger av formen hvor

2.1. Løsning ved hjelp av diskriminant

1) La oss redusere ligningen til standard visning: ,

2) La oss beregne diskriminanten ved å bruke formelen: , som indikerer antall røtter til ligningen:

3) Finn røttene til ligningen:

• hvis, så har ligningen røtter, som finnes av formelen:
• hvis, så har ligningen en rot, som finnes av formelen:
• hvis, så har ligningen ingen røtter.

2.2. Løsning ved hjelp av Vietas teorem

Summen av røttene til den reduserte andregradsligningen (ligningen av formen hvor) er lik, og produktet av røttene er lik, dvs. , A.

2.3. Løsning ved å velge en komplett firkant

I Moderne samfunn Evnen til å utføre operasjoner med ligninger som inneholder en variabel i kvadrat kan være nyttig innen mange aktivitetsområder og er mye brukt i praksis i vitenskapelig og teknisk utvikling. Bevis på dette kan finnes i utformingen av sjø- og elvefartøyer, fly og missiler. Ved hjelp av slike beregninger, banene for bevegelse av de fleste forskjellige kropper, inkludert romobjekter. Eksempler med løsning av kvadratiske ligninger brukes ikke bare i økonomisk prognoser, i design og konstruksjon av bygninger, men også i de mest vanlige hverdagslige omstendigheter. De kan være nødvendige på fotturer, på sportsbegivenheter, i butikker ved kjøp og i andre svært vanlige situasjoner.

La oss dele uttrykket inn i dets komponentfaktorer

Graden av ligningen bestemmes maksimal verdi grad av variabelen som dette uttrykket inneholder. Hvis den er lik 2, kalles en slik ligning kvadratisk.

Hvis vi snakker på formlerspråket, kan de angitte uttrykkene, uansett hvordan de ser ut, alltid bringes til formen når venstre side uttrykk består av tre ledd. Blant dem: akse 2 (det vil si en variabel kvadratisk med koeffisienten), bx (en ukjent uten kvadrat med koeffisienten) og c (en fri komponent, dvs. vanlig nummer). Alt dette på høyre side er lik 0. I tilfellet når et slikt polynom mangler en av sine konstituerende ledd, med unntak av akse 2, kalles det en ufullstendig andregradsligning. Eksempler med løsning av slike problemer, verdiene til variablene som er enkle å finne, bør vurderes først.

Hvis uttrykket ser ut som det har to ledd på høyre side, nærmere bestemt ax 2 og bx, er den enkleste måten å finne x ved å sette variabelen ut av parentes. Nå vil ligningen vår se slik ut: x(ax+b). Deretter blir det åpenbart at enten x=0, eller problemet kommer ned til å finne en variabel fra følgende uttrykk: ax+b=0. Dette er diktert av en av egenskapene til multiplikasjon. Regelen sier at produktet av to faktorer gir 0 bare hvis en av dem er null.

Eksempel

x=0 eller 8x - 3 = 0

Som et resultat får vi to røtter av ligningen: 0 og 0,375.

Ligninger av denne typen kan beskrive bevegelsen til kropper under påvirkning av tyngdekraften, som begynte å bevege seg fra et bestemt punkt tatt som opprinnelsen til koordinatene. Her tar den matematiske notasjonen følgende skjema: y = v 0 t + gt 2 /2. Ved å erstatte de nødvendige verdiene, likestille høyresiden med 0 og finne mulige ukjente, kan du finne ut tiden som går fra det øyeblikket kroppen reiser seg til det øyeblikket den faller, samt mange andre størrelser. Men vi skal snakke om dette senere.

Faktorering av et uttrykk

Regelen beskrevet ovenfor gjør det mulig å løse disse problemene i mer komplekse saker. La oss se på eksempler på løsning av andregradsligninger av denne typen.

X 2 - 33x + 200 = 0

Dette kvadratisk trinomium er ferdig. La oss først transformere uttrykket og faktorisere det. Det er to av dem: (x-8) og (x-25) = 0. Som et resultat har vi to røtter 8 og 25.

Eksempler med å løse andregradsligninger i grad 9 lar denne metoden finne en variabel i uttrykk ikke bare av andre, men til og med av tredje og fjerde orden.

For eksempel: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Når du faktoriserer høyre side inn i faktorer med en variabel, er det tre av dem, det vil si (x+1), (x-3) og (x+ 3).

Som et resultat blir det åpenbart at denne ligningen har tre røtter: -3; -1; 3.

Kvadratrot

En annen sak ufullstendig ligning den andre orden er et uttrykk representert i bokstavspråket på en slik måte at høyresiden er konstruert av komponentene akse 2 og c. Her, for å få verdien av variabelen, overføres frileddet til høyre side, og etter det tas kvadratroten fra begge sider av likheten. Det skal bemerkes at i dette tilfellet er det vanligvis to røtter til ligningen. De eneste unntakene kan være likheter som ikke inneholder et ledd med i det hele tatt, hvor variabelen er lik null, samt varianter av uttrykk når høyresiden viser seg å være negativ. I sistnevnte tilfelle er det ingen løsninger i det hele tatt, siden handlingene ovenfor ikke kan utføres med røtter. Eksempler på løsninger på andregradsligninger av denne typen bør vurderes.

I dette tilfellet vil røttene til ligningen være tallene -4 og 4.

Beregning av landareal

Behovet for denne typen beregninger dukket opp i antikken, fordi utviklingen av matematikk på mange måter i disse fjerne tider ble bestemt av behovet for å bestemme med størst nøyaktighet arealene og omkretsene til tomter.

Vi bør også vurdere eksempler på løsning av andregradsligninger basert på problemer av denne typen.

Så la oss si at det er en rektangulær tomt, hvis lengde er 16 meter større enn bredden. Du bør finne lengden, bredden og omkretsen av stedet hvis du vet at området er 612 m2.

For å komme i gang, la oss først lage den nødvendige ligningen. La oss angi bredden på området med x, da vil lengden være (x+16). Av det som er skrevet følger det at arealet er bestemt av uttrykket x(x+16), som i henhold til betingelsene for vår oppgave er 612. Dette betyr at x(x+16) = 612.

Å løse komplette andregradsligninger, og dette uttrykket er akkurat det, kan ikke gjøres på samme måte. Hvorfor? Selv om venstre side fortsatt inneholder to faktorer, er produktet deres ikke lik 0 i det hele tatt, så forskjellige metoder brukes her.

Diskriminerende

Først av alt, la oss gjøre de nødvendige transformasjonene, da utseende av dette uttrykket vil se slik ut: x 2 + 16x - 612 = 0. Dette betyr at vi har fått et uttrykk i en form som tilsvarer den tidligere spesifiserte standarden, hvor a=1, b=16, c=-612.

Dette kan være et eksempel på å løse andregradsligninger ved hjelp av en diskriminant. Her nødvendige beregninger produseres i henhold til skjemaet: D = b 2 - 4ac. Denne hjelpemengden gjør det ikke bare mulig å finne de nødvendige mengdene i en andreordens ligning, den bestemmer også antall mulige alternativer. Hvis D>0, er det to av dem; for D=0 er det én rot. I tilfelle D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Om røtter og deres formel

I vårt tilfelle er diskriminanten lik: 256 - 4(-612) = 2704. Dette tyder på at problemet vårt har et svar. Hvis du kjenner k, må løsningen av andregradsligninger fortsettes ved å bruke formelen nedenfor. Den lar deg beregne røttene.

Dette betyr at i det presenterte tilfellet: x 1 =18, x 2 =-34. Det andre alternativet i dette dilemmaet kan ikke være en løsning, fordi dimensjonene til tomten ikke kan måles i negative mengder, noe som betyr at x (det vil si bredden på tomten) er 18 m. Herfra beregner vi lengden: 18 +16=34, og omkretsen 2(34+ 18)=104(m2).

Eksempler og oppgaver

Vi fortsetter vår studie av kvadratiske ligninger. Eksempler og detaljerte løsninger på flere av dem vil bli gitt nedenfor.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

La oss flytte alt til venstre side av likheten, gjøre en transformasjon, det vil si at vi får den typen ligning som vanligvis kalles standard, og likestille den til null.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Ved å legge til lignende, bestemmer vi diskriminanten: D = 49 - 48 = 1. Dette betyr at ligningen vår vil ha to røtter. La oss beregne dem i henhold til formelen ovenfor, noe som betyr at den første av dem vil være lik 4/3, og den andre til 1.

2) La oss nå løse mysterier av et annet slag.

La oss finne ut om det er noen røtter her x 2 - 4x + 5 = 1? For å få et omfattende svar, la oss redusere polynomet til den tilsvarende vanlige formen og beregne diskriminanten. I eksemplet ovenfor er det ikke nødvendig å løse den kvadratiske ligningen, fordi dette ikke er essensen av problemet i det hele tatt. I dette tilfellet er D = 16 - 20 = -4, som betyr at det egentlig ikke er noen røtter.

Vietas teorem

Det er praktisk å løse kvadratiske ligninger ved å bruke formlene ovenfor og diskriminanten, når kvadratroten er tatt fra verdien av sistnevnte. Men dette skjer ikke alltid. Imidlertid er det mange måter å få verdiene til variabler på i dette tilfellet. Eksempel: løse andregradsligninger ved å bruke Vietas teorem. Hun er oppkalt etter som levde på 1500-tallet i Frankrike og gjorde en strålende karriere takket være hans matematiske talent og forbindelser ved hoffet. Portrettet hans kan sees i artikkelen.

Mønsteret som den berømte franskmannen la merke til var som følger. Han beviste at røttene til ligningen summerer seg numerisk til -p=b/a, og deres produkt tilsvarer q=c/a.

La oss nå se på spesifikke oppgaver.

3x 2 + 21x - 54 = 0

For enkelhets skyld, la oss transformere uttrykket:

x 2 + 7x - 18 = 0

La oss bruke Vietas teorem, dette vil gi oss følgende: summen av røttene er -7, og deres produkt er -18. Herfra får vi at røttene til ligningen er tallene -9 og 2. Etter å ha sjekket vil vi forsikre oss om at disse variabelverdiene virkelig passer inn i uttrykket.

Parabelgraf og ligning

Begrepene kvadratisk funksjon og andregradsligninger er nært beslektet. Eksempler på dette er allerede gitt tidligere. La oss nå se litt mer detaljert på noen matematiske gåter. Enhver ligning av den beskrevne typen kan representeres visuelt. Et slikt forhold, tegnet som en graf, kalles en parabel. De forskjellige typene er presentert i figuren nedenfor.

Enhver parabel har et toppunkt, det vil si et punkt der grenene kommer ut. Hvis a>0, går de høyt til uendelig, og når a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Visuelle representasjoner av funksjoner hjelper til med å løse alle ligninger, inkludert kvadratiske. Denne metoden kalles grafisk. Og verdien av x-variabelen er abscissekoordinaten i punktene der graflinjen skjærer 0x. Koordinatene til toppunktet kan bli funnet ved å bruke formelen som nettopp er gitt x 0 = -b/2a. Og ved å erstatte den resulterende verdien i den opprinnelige ligningen til funksjonen, kan du finne ut y 0, det vil si den andre koordinaten til toppunktet til parabelen, som tilhører ordinataksen.

Skjæringspunktet mellom grenene til en parabel med abscisseaksen

Det finnes mange eksempler på løsning av kvadratiske ligninger, men det er også generelle mønstre. La oss se på dem. Det er klart at skjæringspunktet mellom grafen og 0x-aksen for a>0 bare er mulig hvis y 0 tar negative verdier. Og for en<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Ellers D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Fra grafen til parablen kan du også bestemme røttene. Det motsatte er også sant. Det vil si at hvis det ikke er lett å få en visuell representasjon av en kvadratisk funksjon, kan du likestille høyre side av uttrykket til 0 og løse den resulterende ligningen. Og når man kjenner skjæringspunktene med 0x-aksen, er det lettere å konstruere en graf.

Fra historien

Ved å bruke ligninger som inneholder en kvadratisk variabel, gjorde de i gamle dager ikke bare matematiske beregninger og bestemte arealene til geometriske figurer. De gamle trengte slike beregninger for store funn innen fysikk og astronomi, samt for å lage astrologiske prognoser.

Som moderne vitenskapsmenn foreslår, var innbyggerne i Babylon blant de første som løste kvadratiske ligninger. Dette skjedde fire århundrer før vår tidsregning. Selvfølgelig var deres beregninger radikalt forskjellige fra de som for tiden er akseptert og viste seg å være mye mer primitive. For eksempel hadde mesopotamiske matematikere ingen anelse om eksistensen av negative tall. De var også ukjente med andre finesser som ethvert moderne skolebarn kjenner til.

Kanskje enda tidligere enn forskerne i Babylon begynte vismannen fra India Baudhayama å løse kvadratiske ligninger. Dette skjedde omtrent åtte århundrer før Kristi æra. Riktignok var andreordens ligningene, metodene for å løse som han ga, de enkleste. Foruten ham var kinesiske matematikere også interessert i lignende spørsmål i gamle dager. I Europa begynte kvadratiske ligninger å bli løst først på begynnelsen av 1200-tallet, men senere ble de brukt i deres arbeider av så store forskere som Newton, Descartes og mange andre.

I denne artikkelen skal vi se på å løse ufullstendige andregradsligninger.

Men først, la oss gjenta hvilke ligninger som kalles kvadratiske. En likning av formen ax 2 + bx + c = 0, der x er en variabel, og koeffisientene a, b og c er noen tall, og a ≠ 0, kalles torget. Som vi ser er koeffisienten for x 2 ikke lik null, og derfor kan koeffisientene for x eller frileddet være lik null, i så fall får vi en ufullstendig andregradsligning.

Det er tre typer ufullstendige kvadratiske ligninger:

1) Hvis b = 0, c ≠ 0, så er ax 2 + c = 0;

2) Hvis b ≠ 0, c = 0, så ax 2 + bx = 0;

3) Hvis b = 0, c = 0, så er ax 2 = 0.

• La oss finne ut hvordan vi løser det ligninger på formen ax 2 + c = 0.

For å løse ligningen flytter vi frileddet c til høyre side av ligningen, vi får

akse 2 = ‒s. Siden a ≠ 0, deler vi begge sider av ligningen med a, da x 2 = ‒c/a.

Hvis ‒с/а > 0, har ligningen to røtter

x = ±√(–c/a) .

Hvis ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

La oss prøve å forstå med eksempler hvordan man løser slike ligninger.

Eksempel 1. Løs ligningen 2x 2 ‒ 32 = 0.

Svar: x 1 = - 4, x 2 = 4.

Eksempel 2. Løs ligningen 2x 2 + 8 = 0.

Svar: ligningen har ingen løsninger.

• La oss finne ut hvordan vi løser det ligninger av formen ax 2 + bx = 0.

For å løse ligningen ax 2 + bx = 0, la oss faktorisere den, det vil si å ta x ut av parentes, vi får x(ax + b) = 0. Produktet er lik null hvis minst en av faktorene er lik til null. Da enten x = 0, eller ax + b = 0. Løser vi ligningen ax + b = 0, får vi ax = - b, derfra x = - b/a. En ligning av formen ax 2 + bx = 0 har alltid to røtter x 1 = 0 og x 2 = ‒ b/a. Se hvordan løsningen på ligninger av denne typen ser ut i diagrammet.

La oss konsolidere kunnskapen vår med et spesifikt eksempel.

Eksempel 3. Løs ligningen 3x 2 ‒ 12x = 0.

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 eller 3x – 12 = 0

Svar: x 1 = 0, x 2 = 4.

• Ligninger av den tredje typen ax 2 = 0 løses veldig enkelt.

Hvis ax 2 = 0, så er x 2 = 0. Ligningen har to like røtter x 1 = 0, x 2 = 0.

For klarhet, la oss se på diagrammet.

La oss forsikre oss om at når vi løser eksempel 4, kan likninger av denne typen løses veldig enkelt.

Eksempel 4. Løs ligningen 7x 2 = 0.

Svar: x 1, 2 = 0.

Det er ikke alltid umiddelbart klart hvilken type ufullstendig andregradsligning vi må løse. Tenk på følgende eksempel.

Eksempel 5. Løs ligningen

La oss multiplisere begge sider av ligningen med en fellesnevner, det vil si med 30

La oss kutte det ned

5(5x 2 + 9) – 6(4x 2 – 9) = 90.

La oss åpne parentesene

25x 2 + 45 – 24x 2 + 54 = 90.

La oss gi lignende

La oss flytte 99 fra venstre side av ligningen til høyre, og endre tegnet til det motsatte

Svar: ingen røtter.

Vi så på hvordan ufullstendige andregradsligninger løses. Jeg håper at du nå ikke vil ha noen problemer med slike oppgaver. Vær forsiktig når du bestemmer typen ufullstendig andregradsligning, da vil du lykkes.

Hvis du har spørsmål om dette emnet, meld deg på timene mine, vi løser problemene som oppstår sammen.

nettside, ved kopiering av materiale helt eller delvis, kreves en lenke til kilden.