Formel for høyden til en trekantet pyramide. Grunnleggende om geometri: en vanlig pyramide er

Denne videoopplæringen vil hjelpe brukere med å få en ide om Pyramid-temaet. Riktig pyramide. I denne leksjonen skal vi bli kjent med begrepet en pyramide og gi det en definisjon. La oss vurdere hva en vanlig pyramide er og hvilke egenskaper den har. Så beviser vi teoremet om sideflaten til en vanlig pyramide.

I denne leksjonen skal vi bli kjent med begrepet en pyramide og gi det en definisjon.

Tenk på en polygon A 1 A 2...A n, som ligger i α-planet, og punktet P, som ikke ligger i α-planet (fig. 1). La oss koble sammen prikkene P med topper A 1, A 2, A 3, … A n. Vi får n trekanter: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R og så videre.

Definisjon. Polyeder RA 1 A 2 ...A n, består av n-torget A 1 A 2...A n Og n trekanter RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 kalles n-kullpyramide. Ris. 1.

Ris. 1

Tenk på en firkantet pyramide PABCD(Fig. 2).

R- toppen av pyramiden.

ABCD- bunnen av pyramiden.

RA- sideribbe.

AB- bunnribb.

Fra poenget R la oss slippe vinkelrett RN til grunnplanet ABCD. Den vinkelrette tegnet er høyden på pyramiden.

Ris. 2

Hele overflaten av pyramiden består av sideflaten, det vil si arealet av alle sideflatene, og arealet av basen:

S full = S side + S hoved

En pyramide kalles riktig hvis:

• basen er en vanlig polygon;
• segmentet som forbinder toppen av pyramiden til midten av basen er høyden.

Forklaring ved å bruke eksempelet på en vanlig firkantet pyramide

Tenk på en vanlig firkantet pyramide PABCD(Fig. 3).

R- toppen av pyramiden. Basen av pyramiden ABCD- en vanlig firkant, det vil si en firkant. Punktum OM, skjæringspunktet mellom diagonalene, er midten av kvadratet. Midler, RO er høyden på pyramiden.

Ris. 3

Forklaring: i riktig n I en trekant faller midten av den innskrevne sirkelen og midten av den omskrevne sirkelen sammen. Dette senteret kalles polygonens senter. Noen ganger sier de at toppunktet er projisert inn i midten.

Høyden på sideflaten til en vanlig pyramide trukket fra toppunktet kalles apotem og er utpekt h a.

1. alle sidekanter av en vanlig pyramide er like;

2. Sideflatene er like likebenede trekanter.

Vi vil gi et bevis på disse egenskapene ved å bruke eksemplet med en vanlig firkantet pyramide.

Gitt: PABCD- vanlig firkantet pyramide,

ABCD- torget,

RO- høyden på pyramiden.

Bevise:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Se fig. 4.

Ris. 4

Bevis.

RO- høyden på pyramiden. Det vil si rett RO vinkelrett på planet ABC, og derfor direkte JSC, VO, SO Og GJØRE ligger i den. Så trekanter ROA, ROV, ROS, ROD- rektangulær.

Tenk på en firkant ABCD. Av egenskapene til et kvadrat følger det at AO = VO = CO = GJØRE.

Så de rette trekantene ROA, ROV, ROS, ROD bein RO- generelt og ben JSC, VO, SO Og GJØRE er like, som betyr at disse trekantene er like på to sider. Fra likheten av trekanter følger likheten av segmenter, RA = PB = RS = PD. Punkt 1 er bevist.

Segmenter AB Og Sol er like fordi de er sider av samme firkant, RA = PB = RS. Så trekanter AVR Og VSR - likebenet og like på tre sider.

På lignende måte finner vi at trekanter ABP, VCP, CDP, DAP er likebente og like, som kreves for å være bevist i paragraf 2.

Arealet av sideoverflaten til en vanlig pyramide er lik halvparten av produktet av omkretsen av basen og apotemet:

For å bevise dette, la oss velge en vanlig trekantet pyramide.

Gitt: RAVS- vanlig trekantet pyramide.

AB = BC = AC.

RO- høyde.

Bevise: . Se fig. 5.

Ris. 5

Bevis.

RAVS- vanlig trekantet pyramide. Det er AB= AC = BC. La OM- midten av trekanten ABC, Deretter RO er høyden på pyramiden. Ved bunnen av pyramiden ligger en likesidet trekant ABC. Legg merke til det .

Trekanter RAV, RVS, RSA- like likebente trekanter (etter egenskap). En trekantet pyramide har tre sideflater: RAV, RVS, RSA. Dette betyr at arealet av sideoverflaten til pyramiden er:

S side = 3S RAW

Teoremet er bevist.

Radiusen til en sirkel innskrevet ved bunnen av en vanlig firkantet pyramide er 3 m, høyden på pyramiden er 4 m. Finn arealet av sideoverflaten til pyramiden.

Gitt: vanlig firkantet pyramide ABCD,

ABCD- torget,

r= 3 m,

RO- høyden på pyramiden,

RO= 4 m.

Finne: S-siden. Se fig. 6.

Ris. 6

Løsning.

I følge det beviste teoremet, .

La oss først finne siden av basen AB. Vi vet at radiusen til en sirkel innskrevet ved bunnen av en vanlig firkantet pyramide er 3 m.

Så, m.

Finn omkretsen av firkanten ABCD med en side på 6 m:

Tenk på en trekant BCD. La M- midt på siden DC. Fordi OM- midten BD, Det (m).

Triangel DPC- likebent. M- midten DC. Det er, RM- median, og derfor høyden i trekanten DPC. Deretter RM- apotem av pyramiden.

RO- høyden på pyramiden. Så rett RO vinkelrett på planet ABC, og derfor direkte OM, ligger i den. La oss finne apotemet RM fra en rettvinklet trekant rom.

Nå kan vi finne sideoverflaten til pyramiden:

Svar: 60 m2.

Radiusen til sirkelen som er omskrevet rundt bunnen av en vanlig trekantet pyramide er lik m. Sideoverflaten er 18 m 2. Finn lengden på apotemet.

Gitt: ABCP- vanlig trekantet pyramide,

AB = BC = SA,

R= m,

S-side = 18 m2.

Finne: . Se fig. 7.

Ris. 7

Løsning.

I en rettvinklet trekant ABC Radien til den omskrevne sirkelen er gitt. La oss finne en side AB denne trekanten ved hjelp av sinusloven.

Når vi kjenner siden til en vanlig trekant (m), finner vi dens omkrets.

Ved teoremet om det laterale overflatearealet til en vanlig pyramide, hvor h a- apotem av pyramiden. Deretter:

Svar: 4 m.

Så vi så på hva en pyramide er, hva en vanlig pyramide er, og vi beviste teoremet om sideoverflaten til en vanlig pyramide. I neste leksjon skal vi bli kjent med den avkortede pyramiden.

Bibliografi

1. Geometri. Karakterer 10-11: lærebok for studenter ved generelle utdanningsinstitusjoner (grunnleggende og spesialiserte nivåer) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. utgave, rev. og tillegg - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill.
2. Geometri. 10-11 klassetrinn: Lærebok for allmenne utdanningsinstitusjoner / Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 s.: ill.
3. Geometri. Karakter 10: Lærebok for allmenne utdanningsinstitusjoner med fordypning og spesialisering i matematikk /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. utgave, stereotypi. - M.: Bustard, 008. - 233 s.: ill.

1. Internettportal "Yaklass" ()
2. Internettportal "Festival for pedagogiske ideer "Første september" ()
3. Internettportal «Slideshare.net» ()

Hjemmelekser

1. Kan en regulær polygon være bunnen av en uregelmessig pyramide?
2. Bevis at usammenhengende kanter på en vanlig pyramide er vinkelrette.
3. Finn verdien av den dihedriske vinkelen ved siden av basen til en vanlig firkantet pyramide hvis apotemet til pyramiden er lik siden av basen.
4. RAVS- vanlig trekantet pyramide. Konstruer den lineære vinkelen til den dihedrale vinkelen ved bunnen av pyramiden.

Videoopplæring 2: Pyramideproblem. Volum av pyramiden

Videoopplæring 3: Pyramideproblem. Riktig pyramide

Foredrag: Pyramiden, dens base, laterale ribber, høyde, lateral overflate; trekantet pyramide; vanlig pyramide

Pyramiden, dens egenskaper

Pyramide er et tredimensjonalt legeme som har en polygon ved bunnen, og alle ansiktene består av trekanter.

Et spesielt tilfelle av en pyramide er en kjegle med en sirkel ved bunnen.

La oss se på hovedelementene i pyramiden:

Apotem- dette er et segment som forbinder toppen av pyramiden med midten av den nedre kanten av sideflaten. Dette er med andre ord høyden på kanten av pyramiden.

På figuren kan du se trekanter ADS, ABS, BCS, CDS. Hvis du ser nøye på navnene, kan du se at hver trekant har én felles bokstav i navnet – S. Det vil si at dette betyr at alle sideflatene (trekantene) konvergerer i ett punkt, som kalles toppen av pyramiden .

Segmentet OS som forbinder toppunktet med skjæringspunktet for diagonalene til basen (i tilfelle trekanter - i skjæringspunktet mellom høydene) kalles pyramide høyde.

Et diagonalt snitt er et plan som går gjennom toppen av pyramiden, samt en av diagonalene til basen.

Siden sideoverflaten til pyramiden består av trekanter, for å finne det totale arealet av sideflaten er det nødvendig å finne arealet til hver side og legge dem sammen. Antall og form på ansikter avhenger av formen og størrelsen på sidene av polygonen som ligger ved basen.

Det eneste planet i en pyramide som ikke tilhører toppunktet kalles basis pyramider.

På figuren ser vi at basen er et parallellogram, men det kan være en hvilken som helst vilkårlig polygon.

Egenskaper:

Tenk på det første tilfellet av en pyramide, der den har kanter av samme lengde:

• En sirkel kan tegnes rundt bunnen av en slik pyramide. Hvis du projiserer toppen av en slik pyramide, vil projeksjonen være plassert i midten av sirkelen.
• Vinklene ved bunnen av pyramiden er de samme på hver side.
• I dette tilfellet kan en tilstrekkelig betingelse for at en sirkel kan beskrives rundt bunnen av pyramiden, og også at alle kantene har forskjellig lengde, betraktes som de samme vinklene mellom bunnen og hver kant av flatene.

Hvis du kommer over en pyramide der vinklene mellom sideflatene og basen er like, så er følgende egenskaper sanne:

• Du vil kunne beskrive en sirkel rundt bunnen av pyramiden, hvis toppunkt er projisert nøyaktig i midten.
• Hvis du tegner hver sidekant av høyden til basen, vil de være like lange.
• For å finne det laterale overflatearealet til en slik pyramide, er det nok å finne omkretsen til basen og multiplisere den med halvparten av lengden av høyden.
• S bp = 0,5 P oc H.
• Typer pyramide.
• Avhengig av hvilken polygon som ligger ved bunnen av pyramiden, kan de være trekantede, firkantede osv. Hvis det ved bunnen av pyramiden er en regulær polygon (med like sider), vil en slik pyramide kalles regulær.

Vanlig trekantet pyramide

Vi fortsetter å vurdere oppgavene som er inkludert i Unified State Examination i matematikk. Vi har allerede studert problemer der tilstanden er gitt og det kreves å finne avstanden mellom to gitte punkter eller en vinkel.

En pyramide er et polyeder, hvis basis er en polygon, de resterende flatene er trekanter, og de har et felles toppunkt.

En vanlig pyramide er en pyramide ved bunnen av som ligger en regulær polygon, og toppunktet er projisert inn i midten av bunnen.

En vanlig firkantet pyramide - basen er en firkant Toppen av pyramiden projiseres i skjæringspunktet mellom diagonalene til basen (firkantet).

ML - apotem
∠MLO - dihedral vinkel ved bunnen av pyramiden
∠MCO - vinkel mellom sidekanten og planet til bunnen av pyramiden

I denne artikkelen skal vi se på problemer for å løse en vanlig pyramide. Du må finne et element, sideoverflateareal, volum, høyde. Selvfølgelig må du kjenne Pythagoras teorem, formelen for arealet av sideoverflaten til en pyramide og formelen for å finne volumet til en pyramide.

I artikkelen "" presenterer formlene som er nødvendige for å løse problemer i stereometri. Så, oppgavene:

SABCD punktum O- midten av basen,S toppunkt, SÅ = 51, A.C.= 136. Finn sidekantenS.C..

I dette tilfellet er basen en firkant. Dette betyr at diagonalene AC og BD er like, de skjærer hverandre og er halvert av skjæringspunktet. Legg merke til at i en vanlig pyramide passerer høyden som faller fra toppen gjennom midten av bunnen av pyramiden. Så SO er høyden og trekantenSOCrektangulær. Så ifølge Pythagoras teorem:

Hvordan trekke ut roten til et stort tall.

Svar: 85

Bestem selv:

I en vanlig firkantet pyramide SABCD punktum O- midten av basen, S toppunkt, SÅ = 4, A.C.= 6. Finn sidekanten S.C..

I en vanlig firkantet pyramide SABCD punktum O- midten av basen, S toppunkt, S.C. = 5, A.C.= 6. Finn lengden på segmentet SÅ.

I en vanlig firkantet pyramide SABCD punktum O- midten av basen, S toppunkt, SÅ = 4, S.C.= 5. Finn lengden på segmentet A.C..

SABC R- midten av ribben B.C., S- toppen. Det er kjent at AB= 7, a S.R.= 16. Finn sideflatearealet.

Arealet av sideoverflaten til en vanlig trekantet pyramide er lik halvparten av produktet av omkretsen av basen og apotemet (apotem er høyden på sideflaten til en vanlig pyramide trukket fra toppunktet):

Eller vi kan si dette: arealet av sideoverflaten til pyramiden er lik summen av arealene til de tre sideflatene. Sideflatene i en vanlig trekantet pyramide er trekanter med samme areal. I dette tilfellet:

Svar: 168

Bestem selv:

I en vanlig trekantet pyramide SABC R- midten av ribben B.C., S- toppen. Det er kjent at AB= 1, a S.R.= 2. Finn sideflatearealet.

I en vanlig trekantet pyramide SABC R- midten av ribben B.C., S- toppen. Det er kjent at AB= 1, og arealet av sideflaten er 3. Finn lengden på segmentet S.R..

I en vanlig trekantet pyramide SABC L- midten av ribben B.C., S- toppen. Det er kjent at SL= 2, og arealet av sideflaten er 3. Finn lengden på segmentet AB.

I en vanlig trekantet pyramide SABC M. Arealet av en trekant ABC er 25, er volumet av pyramiden 100. Finn lengden på segmentet MS.

Basen til pyramiden er en likesidet trekant. Derfor Mer midten av basen, ogMS- høyden på en vanlig pyramideSABC. Volum av pyramiden SABC lik: se løsning

I en vanlig trekantet pyramide SABC medianene til basen skjærer hverandre i punktet M. Arealet av en trekant ABC tilsvarer 3, MS= 1. Finn volumet til pyramiden.

I en vanlig trekantet pyramide SABC medianene til basen skjærer hverandre i punktet M. Volumet av pyramiden er 1, MS= 1. Finn arealet av trekanten ABC.

La oss avslutte her. Som du kan se, løses problemer i ett eller to trinn. I fremtiden vil vi vurdere andre problemer fra denne delen, der revolusjonskropper blir gitt, ikke gå glipp av det!

Jeg ønsker deg suksess!

Med vennlig hilsen Alexander Krutitskikh.

P.S: Jeg ville være takknemlig hvis du forteller meg om nettstedet på sosiale nettverk.

Definisjon

Pyramide er et polyeder som er sammensatt av et polygon \(A_1A_2...A_n\) og \(n\) trekanter med et felles toppunkt \(P\) (ligger ikke i polygonets plan) og sider på motsatt side, sammenfallende med sider av polygonet.
Betegnelse: \(PA_1A_2...A_n\) .
Eksempel: femkantet pyramide \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Trekanter \(PA_1A_2, \PA_2A_3\), etc. er kalt sideflater pyramider, segmenter \(PA_1, PA_2\), etc. – laterale ribber, polygon \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – basis, punkt \(P\) – topp.

Høyde pyramider er en perpendikulær som går ned fra toppen av pyramiden til planet til basen.

En pyramide med en trekant ved bunnen kalles tetraeder.

Pyramiden kalles riktig, hvis basen er en vanlig polygon og en av følgende betingelser er oppfylt:

\((a)\) sidekantene av pyramiden er like;

\((b)\) høyden på pyramiden går gjennom midten av sirkelen omskrevet nær basen;

\((c)\) sideribbene er skråstilt til basens plan i samme vinkel.

\((d)\) sideflatene er skråstilt til basens plan i samme vinkel.

Vanlig tetraeder er en trekantet pyramide, hvis ansikter alle er like likesidede trekanter.

Teorem

Betingelsene \((a), (b), (c), (d)\) er likeverdige.

Bevis

La oss finne høyden på pyramiden \(PH\) . La \(\alpha\) være planet til bunnen av pyramiden.

1) La oss bevise at fra \((a)\) følger \((b)\) . La \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Fordi \(PH\perp \alpha\), så er \(PH\) vinkelrett på en hvilken som helst linje som ligger i dette planet, noe som betyr at trekantene er rettvinklede. Dette betyr at disse trekantene er like i felles ben \(PH\) og hypotenusen \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Dette betyr \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Dette betyr at punktene \(A_1, A_2, ..., A_n\) er i samme avstand fra punktet \(H\), derfor ligger de på samme sirkel med radius \(A_1H\) . Denne sirkelen er per definisjon omskrevet om polygonen \(A_1A_2...A_n\) .

2) La oss bevise at \((b)\) innebærer \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) rektangulær og lik på to ben. Dette betyr at vinklene deres også er like, derfor \(\vinkel PA_1H=\vinkel PA_2H=...=\vinkel PA_nH\).

3) La oss bevise at \((c)\) innebærer \((a)\) .

I likhet med det første punktet, trekanter \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) rektangulær både langs benet og spiss vinkel. Dette betyr at hypotenusene deres også er like, det vil si \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) La oss bevise at \((b)\) innebærer \((d)\) .

Fordi i en regulær polygon faller sentrene til de omskrevne og innskrevne sirklene sammen (generelt sett kalles dette punktet midten av en regulær polygon), da er \(H\) sentrum av den innskrevne sirkelen. La oss tegne perpendikulære fra punktet \(H\) til sidene av basen: \(HK_1, HK_2\), etc. Dette er radiene til den innskrevne sirkelen (per definisjon). Så, ifølge TTP (\(PH\) er en vinkelrett på planet, \(HK_1, HK_2\), etc. er projeksjoner vinkelrett på sidene) skråstilte \(PK_1, PK_2\), etc. vinkelrett på sidene \(A_1A_2, A_2A_3\), etc. hhv. Så per definisjon \(\vinkel PK_1H, \vinkel PK_2H\) lik vinklene mellom sideflatene og basen. Fordi trekanter \(PK_1H, PK_2H, ...\) er like (som rektangulære på to sider), deretter vinklene \(\vinkel PK_1H, \vinkel PK_2H, ...\) er like.

5) La oss bevise at \((d)\) innebærer \((b)\) .

I likhet med det fjerde punktet er trekantene \(PK_1H, PK_2H, ...\) like (som rektangulære langs benet og spiss vinkel), noe som betyr at segmentene \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) er lik. Dette betyr per definisjon, \(H\) er midten av en sirkel innskrevet i basen. Men fordi For vanlige polygoner faller sentrene til de innskrevne og omskrevne sirklene sammen, så er \(H\) sentrum av den omskrevne sirkelen. Chtd.

Konsekvens

Sideflatene til en vanlig pyramide er like likebenede trekanter.

Definisjon

Høyden på sideflaten til en vanlig pyramide trukket fra toppunktet kalles apotem.
Apotemene til alle sideflatene til en vanlig pyramide er lik hverandre og er også medianer og halveringslinjer.

Viktige notater

1. Høyden til en regulær trekantet pyramide faller i skjæringspunktet mellom høydene (eller halveringslinjene, eller medianene) til basen (grunnlaget er en vanlig trekant).

2. Høyden på en vanlig firkantet pyramide faller i skjæringspunktet mellom diagonalene til basen (basen er en firkant).

3. Høyden på en regulær sekskantet pyramide faller i skjæringspunktet mellom diagonalene til basen (basen er en vanlig sekskant).

4. Høyden på pyramiden er vinkelrett på enhver rett linje som ligger ved basen.

Definisjon

Pyramiden kalles rektangulær, hvis en av sidekantene er vinkelrett på basens plan.

Viktige notater

1. I en rektangulær pyramide er kanten vinkelrett på basen høyden på pyramiden. Det vil si at \(SR\) er høyden.

2. Fordi \(SR\) er vinkelrett på en hvilken som helst linje fra basen, da \(\triangle SRM, \triangle SRP\)– rette trekanter.

3. Trekanter \(\triangle SRN, \triangle SRK\)- også rektangulær.
Det vil si at enhver trekant som dannes av denne kanten og diagonalen som kommer ut fra toppunktet til denne kanten som ligger ved basen, vil være rektangulær.

\[(\Large(\text(Volum og overflateareal av pyramiden)))\]

Teorem

Volumet av pyramiden er lik en tredjedel av produktet av arealet av basen og høyden på pyramiden: \

Konsekvenser

La \(a\) være siden av basen, \(h\) være høyden på pyramiden.

1. Volumet til en vanlig trekantet pyramide er \(V_(\text(høyre trekant.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Volumet til en vanlig firkantet pyramide er \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).

3. Volumet til en vanlig sekskantet pyramide er \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Volumet til et vanlig tetraeder er \(V_(\text(høyre tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Teorem

Arealet av sideoverflaten til en vanlig pyramide er lik halvproduktet av omkretsen av basen og apotemet.

\[(\Large(\text(Frustum)))\]

Definisjon

Tenk på en vilkårlig pyramide \(PA_1A_2A_3...A_n\) . La oss tegne et plan parallelt med bunnen av pyramiden gjennom et bestemt punkt som ligger på sidekanten av pyramiden. Dette planet vil dele pyramiden i to polyedre, hvorav den ene er en pyramide (\(PB_1B_2...B_n\)), og den andre kalles avkortet pyramide(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

Den avkortede pyramiden har to baser - polygoner \(A_1A_2...A_n\) og \(B_1B_2...B_n\) som ligner hverandre.

Høyden på en avkortet pyramide er en vinkelrett trukket fra et punkt på den øvre basen til planet til den nedre basen.

Viktige notater

1. Alle sideflater av en avkortet pyramide er trapeser.

2. Segmentet som forbinder sentrene til basene til en vanlig avkortet pyramide (det vil si en pyramide oppnådd ved tverrsnitt av en vanlig pyramide) er høyden.

En pyramide er et polyeder med en polygon ved bunnen. Alle flater danner på sin side trekanter som konvergerer i ett toppunkt. Pyramider er trekantede, firkantede og så videre. For å finne ut hvilken pyramide som er foran deg, er det nok å telle antall vinkler ved basen. Definisjonen av "høyden på en pyramide" finnes veldig ofte i geometriproblemer i skolens læreplan. I denne artikkelen skal vi prøve å se på ulike måter å finne den på.

Deler av pyramiden

Hver pyramide består av følgende elementer:

• sideflater, som har tre hjørner og konvergerer på toppen;
• apotemet representerer høyden som går ned fra toppen;
• toppen av pyramiden er et punkt som forbinder sideribbene, men ligger ikke i basens plan;
• basen er en polygon som toppunktet ikke ligger på;
• høyden til en pyramide er et segment som skjærer toppen av pyramiden og danner en rett vinkel med basen.

Hvordan finne høyden på en pyramide hvis volumet er kjent

Gjennom formelen V = (S*h)/3 (i formelen er V volumet, S er arealet av basen, h er høyden på pyramiden) finner vi at h = (3*V)/ S. For å konsolidere materialet, la oss umiddelbart løse problemet. Den trekantede basen er 50 cm 2 , mens volumet er 125 cm 3 . Høyden på den trekantede pyramiden er ukjent, og det er det vi trenger å finne. Alt er enkelt her: vi setter inn dataene i formelen vår. Vi får h = (3*125)/50 = 7,5 cm.

Hvordan finne høyden på en pyramide hvis lengden på diagonalen og dens kanter er kjent

Som vi husker, danner høyden på pyramiden en rett vinkel med basen. Dette betyr at høyden, kanten og halvparten av diagonalen til sammen danner Mange husker selvfølgelig Pythagoras teorem. Når du kjenner to dimensjoner, vil det ikke være vanskelig å finne den tredje mengden. La oss huske det velkjente teoremet a² = b² + c², hvor a er hypotenusen, og i vårt tilfelle kanten av pyramiden; b - det første benet eller halvparten av diagonalen og c - henholdsvis det andre benet, eller høyden på pyramiden. Fra denne formelen c² = a² - b².

Nå er problemet: i en vanlig pyramide er diagonalen 20 cm, når lengden på kanten er 30 cm. Du må finne høyden. Vi løser: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Derfor c = √ 500 = omtrent 22,4.

Hvordan finne høyden på en avkortet pyramide

Det er en polygon med et tverrsnitt parallelt med bunnen. Høyden på en avkortet pyramide er segmentet som forbinder de to basene. Høyden kan finnes for en vanlig pyramide hvis lengden på diagonalene til begge basene, samt kanten på pyramiden, er kjent. La diagonalen til den større basen være d1, mens diagonalen til den mindre basen er d2, og kanten har lengde l. For å finne høyden kan du senke høydene fra de to øverste motsatte punktene i diagrammet til basen. Vi ser at vi har to rette trekanter; det gjenstår bare å finne lengden på bena deres. For å gjøre dette trekker du den minste fra den større diagonalen og deler på 2. Så vi finner ett ben: a = (d1-d2)/2. Deretter, ifølge Pythagoras teorem, er alt vi trenger å gjøre å finne det andre benet, som er høyden på pyramiden.

La oss nå se på hele denne greia i praksis. Vi har en oppgave foran oss. En avkortet pyramide har en firkant i bunnen, diagonallengden på den større bunnen er 10 cm, mens den minste er 6 cm, og kanten er 4 cm. Du må finne høyden. Først finner vi ett ben: a = (10-6)/2 = 2 cm. Ett ben er lik 2 cm, og hypotenusen er 4 cm. Det viser seg at det andre benet eller høyden vil være lik 16- 4 = 12, det vil si h = √12 = ca 3,5 cm.