Logaritmiske ulikheter. Hvordan løse logaritmiske ulikheter? Komplekse logaritmiske ulikheter Løse logaritmiske ulikheter med detaljerte USE-løsninger

Resonnementet som er utført er enkelt, men forenkler løsningen av logaritmiske ulikheter betydelig.

Eksempel 4.

log x (x 2 -3)<0

Løsning:

Eksempel 5.

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x )

Løsning:

Svar. (0; 0,5)U.

Eksempel 6.

For å løse denne ulikheten skriver vi i stedet for nevneren (x-1-1)(x-1), og i stedet for telleren skriver vi produktet (x-1)(x-3-9 + x).

Svar : (3;6)

Eksempel 7.

Eksempel 8.

2.3. Ikke-standard substitusjon.

Eksempel 1.

Eksempel 2.

Eksempel 3.

Eksempel 4.

Eksempel 5.

Eksempel 6.

Eksempel 7.

log 4 (3 x -1) log 0,25

La oss gjøre erstatningen y=3 x -1; da vil denne ulikheten ta formen

Logg 4 log 0,25
.

Fordi log 0,25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , så omskriver vi den siste ulikheten som 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

La oss gjøre erstatningen t =log 4 y og få ulikheten t 2 -2t +≥0, hvis løsning er intervallene - .

For å finne verdiene til y har vi derfor et sett med to enkle ulikheter
Løsningen på dette settet er intervallene 0<у≤2 и 8≤у<+.

Derfor er den opprinnelige ulikheten ekvivalent med settet av to eksponentielle ulikheter,
det vil si aggregater

Løsningen på den første ulikheten i dette settet er intervallet 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Dermed er den opprinnelige ulikheten tilfredsstilt for alle verdier av x fra intervallene 0<х≤1 и 2≤х<+.

Eksempel 8.

Løsning:

Ulikhet er lik system

Løsningen på den andre ulikheten som definerer ODZ vil være settet med disse x,

for hvilket x > 0.

For å løse den første ulikheten gjør vi substitusjonen

Da får vi ulikheten

eller

Settet med løsninger på den siste ulikheten er funnet ved metoden

intervaller: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, vi får

eller

Mange av de x, som tilfredsstiller den siste ulikheten

tilhører ODZ ( x> 0), er derfor en løsning på systemet,

og derav den opprinnelige ulikheten.

Svar:

2.4. Oppgaver med feller.

Eksempel 1.

.

Løsning. ODZ for ulikheten er alle x som tilfredsstiller betingelsen 0 . Derfor er alle x fra intervallet 0

Eksempel 2.

log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.. ? Poenget er at det andre tallet åpenbart er større enn

Konklusjon

Det var ikke lett å finne spesifikke metoder for å løse C3-problemer fra en stor overflod av ulike pedagogiske kilder. I løpet av arbeidet som ble gjort, var jeg i stand til å studere ikke-standardiserte metoder for å løse komplekse logaritmiske ulikheter. Disse er: ekvivalente overganger og den generaliserte metoden for intervaller, metoden for rasjonalisering , ikke-standard substitusjon , oppgaver med feller på ODZ. Disse metodene er ikke inkludert i skolens læreplan.

Ved å bruke forskjellige metoder løste jeg 27 ulikheter foreslått på Unified State Exam i del C, nemlig C3. Disse ulikhetene med løsninger etter metoder dannet grunnlaget for samlingen "C3 Logaritmiske ulikheter med løsninger", som ble et prosjektprodukt av min aktivitet. Hypotesen jeg stilte i begynnelsen av prosjektet ble bekreftet: C3-problemer kan effektivt løses hvis du kjenner disse metodene.

I tillegg oppdaget jeg interessante fakta om logaritmer. Det var interessant for meg å gjøre dette. Prosjektproduktene mine vil være nyttige for både elever og lærere.

Konklusjoner:

Dermed er prosjektmålet nådd og problemet løst. Og jeg fikk den mest komplette og varierte opplevelsen av prosjektaktiviteter på alle stadier av arbeidet. Mens jeg jobbet med prosjektet, var min viktigste utviklingsmessige innvirkning på mental kompetanse, aktiviteter knyttet til logiske mentale operasjoner, utvikling av kreativ kompetanse, personlig initiativ, ansvar, utholdenhet og aktivitet.

En garanti for suksess når man lager et forskningsprosjekt for Jeg fikk: betydelig skoleerfaring, evnen til å få informasjon fra ulike kilder, sjekke påliteligheten og rangere den etter viktighet.

I tillegg til direkte fagkunnskaper i matematikk utvidet jeg mine praktiske ferdigheter innen datavitenskap, fikk ny kunnskap og erfaring innen psykologi, etablerte kontakter med klassekamerater og lærte å samarbeide med voksne. Under prosjektaktivitetene ble organisatoriske, intellektuelle og kommunikative allmennpedagogiske ferdigheter utviklet.

Litteratur

1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Systemer av ulikheter med en variabel (standardoppgaver C3).

2. Malkova A. G. Forberedelse til Unified State eksamen i matematikk.

3. Samarova S. S. Løse logaritmiske ulikheter.

4. Matematikk. Samling av treningsverk redigert av A.L. Semenov og I.V. Jasjtsjenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 s.-

Når man bestemmer seg logaritmiske ulikheter vi legger til grunn egenskapene til logaritmiske funksjoner. Nemlig at funksjonen på=logg en x på EN> 1 vil være monotont økende, og ved 0< EN< 1 - монотонно убывающей.

La oss analysere transformasjon nødvendig for å løse ulikheter

log 1/5 (x - l) > - 2.

I utgangspunktet må du utjevne baser for logaritmer, i dette tilfellet, vis høyre side i form av en logaritme med det nødvendige basis. La oss transformere -2=-2 log 1/5 1/5= log 1/5 1/5 -2 = log 1/5 25, så indikerer vi den valgte ulikheten i skjemaet:

logg 1/5 (x- l) > logg 1/5 25.

Funksjon på= logg 1/5 x vil være monotont avtagende. Det viser seg at en større verdi av denne funksjonen tilsvarer en mindre argumentverdi. Og følgelig har vi, X—1 < 25. К указанному неравенству требуется добавить еще неравенство X- 1 > 0, tilsvarende det faktum at under tegnet logaritme det kan bare være en positiv verdi. Det viser seg at denne ulikheten er identisk med systemet med to lineære ulikheter. Tatt i betraktning at basen til logaritmen er mindre enn én, i et identisk system er tegnet på ulikhet reversert:

Etter å ha løst som vi ser at:

1 < х < 26.

Det er av stor betydning å ikke glemme betingelsen x- 1 > 0, ellers blir konklusjonen feil: x< 26. Тогда бы в эти «решения» входило бы и значение х = 0, при котором левая часть первоначального неравенства не существует.

Blant hele variasjonen av logaritmiske ulikheter studeres ulikheter med en variabel base separat. De løses ved hjelp av en spesiell formel, som av en eller annen grunn sjelden blir undervist på skolen:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

I stedet for avmerkingsboksen "∨", kan du sette et hvilket som helst ulikhetstegn: mer eller mindre. Hovedsaken er at i begge ulikhetene er tegnene de samme.

På denne måten blir vi kvitt logaritmer og reduserer problemet til en rasjonell ulikhet. Sistnevnte er mye lettere å løse, men når man forkaster logaritmer kan det dukke opp ekstra røtter. For å kutte dem av, er det nok å finne utvalget av akseptable verdier. Hvis du har glemt ODZ for en logaritme, anbefaler jeg på det sterkeste å gjenta den - se "Hva er en logaritme".

Alt relatert til rekkevidden av akseptable verdier må skrives ut og løses separat:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Disse fire ulikhetene utgjør et system og må tilfredsstilles samtidig. Når utvalget av akseptable verdier er funnet, gjenstår det bare å krysse det med løsningen av den rasjonelle ulikheten - og svaret er klart.

Oppgave. Løs ulikheten:

Først, la oss skrive ut logaritmens ODZ:

De to første ulikhetene tilfredsstilles automatisk, men den siste må skrives ut. Siden kvadratet av et tall er null hvis og bare hvis selve tallet er null, har vi:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Det viser seg at ODZ til logaritmen er alle tall unntatt null: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Nå løser vi hovedulikheten:

Vi gjør overgangen fra logaritmisk ulikhet til rasjonell. Den opprinnelige ulikheten har et "mindre enn"-tegn, noe som betyr at den resulterende ulikheten også må ha et "mindre enn"-tegn. Vi har:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.

Nullpunktene til dette uttrykket er: x = 3; x = −3; x = 0. Dessuten er x = 0 en rot av den andre multiplisiteten, noe som betyr at når du passerer gjennom den, endres ikke funksjonens fortegn. Vi har:

Vi får x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Dette settet er fullstendig inneholdt i ODZ for logaritmen, noe som betyr at dette er svaret.

Konvertering av logaritmiske ulikheter

Ofte er den opprinnelige ulikheten forskjellig fra den ovenfor. Dette kan enkelt korrigeres ved å bruke standardreglene for arbeid med logaritmer - se "Grunnleggende egenskaper for logaritmer". Nemlig:

1. Ethvert tall kan representeres som en logaritme med en gitt base;
2. Summen og differansen av logaritmer med samme base kan erstattes med én logaritme.

Separat vil jeg minne deg om utvalget av akseptable verdier. Siden det kan være flere logaritmer i den opprinnelige ulikheten, er det nødvendig å finne VA til hver av dem. Dermed er det generelle opplegget for å løse logaritmiske ulikheter som følger:

1. Finn VA for hver logaritme inkludert i ulikheten;
2. Reduser ulikheten til en standard ved å bruke formlene for å legge til og subtrahere logaritmer;
3. Løs den resulterende ulikheten ved å bruke skjemaet gitt ovenfor.

Oppgave. Løs ulikheten:

La oss finne definisjonsdomenet (DO) til den første logaritmen:

Vi løser ved hjelp av intervallmetoden. Finne nullene til telleren:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Deretter - nullene til nevneren:

x − 1 = 0;
x = 1.

Vi markerer nuller og tegn på koordinatpilen:

Vi får x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Den andre logaritmen vil ha samme VA. Hvis du ikke tror det, kan du sjekke det. Nå transformerer vi den andre logaritmen slik at basen er to:

Som du kan se, er treerne ved basen og foran logaritmen redusert. Vi fikk to logaritmer med samme grunntall. La oss legge dem sammen:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Vi oppnådde standard logaritmisk ulikhet. Vi kvitter oss med logaritmer ved hjelp av formelen. Siden den opprinnelige ulikheten inneholder et "mindre enn"-tegn, må det resulterende rasjonelle uttrykket også være mindre enn null. Vi har:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Vi har to sett:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Kandidatens svar: x ∈ (−1; 3).

Det gjenstår å krysse disse settene - vi får det virkelige svaret:

Vi er interessert i skjæringspunktet mellom sett, så vi velger intervaller som er skyggelagt på begge pilene. Vi får x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - alle punktene er punktert.

Leksjonens mål:

Didaktikk:

• Nivå 1 – lære hvordan du løser de enkleste logaritmiske ulikhetene ved å bruke definisjonen av en logaritme og egenskapene til logaritmene;
• Nivå 2 – løs logaritmiske ulikheter, velg din egen løsningsmetode;
• Nivå 3 – kunne anvende kunnskap og ferdigheter i ikke-standardiserte situasjoner.

Pedagogisk: utvikle hukommelse, oppmerksomhet, logisk tenkning, sammenligningsevner, kunne generalisere og trekke konklusjoner

Pedagogisk: dyrke nøyaktighet, ansvar for oppgaven som utføres, og gjensidig bistand.

Læringsmetoder: verbal , visuell , praktisk , delvis søk , selvstyre , kontroll.

Organiseringsformer for elevenes kognitive aktivitet: frontal , individuell , arbeid i par.

Utstyr: et sett med testoppgaver, referansenotater, blanke ark for løsninger.

Leksjonstype: lære nytt materiale.

I løpet av timene

1. Organisatorisk øyeblikk. Temaet og målene for timen, timeplanen kunngjøres: hver elev får et vurderingsark, som eleven fyller ut i løpet av timen; for hvert elevpar - trykt materiell med oppgaver, oppgaver må utføres i par; blanke løsningsark; støtteark: definisjon av logaritme; graf av en logaritmisk funksjon, dens egenskaper; egenskapene til logaritmer; algoritme for å løse logaritmiske ulikheter.

Alle vedtak etter egenvurdering sendes til lærer.

Elevens resultatliste

2. Oppdatering av kunnskap.

Lærerens instruksjoner. Husk definisjonen av logaritme, grafen til den logaritmiske funksjonen og dens egenskaper. For å gjøre dette, les teksten på s. 88–90, 98–101 i læreboken “Algebra and the beginnings of analysis 10–11” redigert av Sh.A Alimov, Yu.M Kolyagin og andre.

Elevene får utdelt ark hvor det er skrevet: definisjonen av en logaritme; viser en graf av en logaritmisk funksjon og dens egenskaper; egenskaper til logaritmer; algoritme for å løse logaritmiske ulikheter, et eksempel på å løse en logaritmisk ulikhet som reduserer til en kvadratisk.

3. Studere nytt materiale.

Å løse logaritmiske ulikheter er basert på monotonisiteten til den logaritmiske funksjonen.

Algoritme for å løse logaritmiske ulikheter:

A) Finn definisjonsdomenet til ulikheten (det sublogaritmiske uttrykket er større enn null).
B) Representer (hvis mulig) venstre og høyre side av ulikheten som logaritmer til samme grunntall.
C) Bestem om den logaritmiske funksjonen er økende eller avtagende: hvis t>1, så økende; hvis 0 1, deretter avtagende.
D) Gå til en enklere ulikhet (sublogaritmiske uttrykk), ta i betraktning at tegnet på ulikheten forblir det samme hvis funksjonen øker og endres hvis den avtar.

Læringselement #1.

Mål: konsolidere løsningen på de enkleste logaritmiske ulikhetene

Form for organisering av elevenes kognitive aktivitet: individuelt arbeid.

Oppgaver for selvstendig arbeid i 10 minutter. For hver ulikhet er det flere mulige svar; du må velge det riktige og sjekke det med tasten.

NØKKEL: 13321, maksimalt antall poeng – 6 poeng.

Læringselement #2.

Mål: konsolidere løsningen av logaritmiske ulikheter ved å bruke egenskapene til logaritmene.

Lærerens instruksjoner. Husk de grunnleggende egenskapene til logaritmer. For å gjøre dette, les teksten i læreboken på s. 92, 103–104.

Oppgaver for selvstendig arbeid i 10 minutter.

NØKKEL: 2113, maksimalt antall poeng – 8 poeng.

Læringselement #3.

Formål: å studere løsningen av logaritmiske ulikheter ved metoden for reduksjon til kvadratisk.

Lærerens instruksjoner: metoden for å redusere en ulikhet til en kvadratisk er å transformere ulikheten til en slik form at en viss logaritmisk funksjon betegnes med en ny variabel, og dermed oppnå en kvadratisk ulikhet med hensyn til denne variabelen.

La oss bruke intervallmetoden.

Du har bestått det første nivået for å mestre materialet. Nå må du uavhengig velge en metode for å løse logaritmiske ligninger, ved å bruke all din kunnskap og evner.

Læringselement #4.

Mål: konsolidere løsningen på logaritmiske ulikheter ved uavhengig å velge en rasjonell løsningsmetode.

Oppgaver for selvstendig arbeid i 10 minutter

Læringselement #5.

Lærerens instruksjoner. Bra gjort! Du mestrer å løse ligninger på det andre nivået av kompleksitet. Målet med ditt videre arbeid er å bruke kunnskapen og ferdighetene dine i mer komplekse og ikke-standardiserte situasjoner.

Oppgaver for selvstendig løsning:

Lærerens instruksjoner. Det er flott hvis du har fullført hele oppgaven. Bra gjort!

Karakteren for hele leksjonen avhenger av antall poeng for alle utdanningselementer:

• hvis N ≥ 20, får du en "5"-vurdering,
• for 16 ≤ N ≤ 19 – score "4",
• for 8 ≤ N ≤ 15 – score “3”,
• på N< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

Send inn vurderingsoppgavene til læreren.

5. Lekser: hvis du ikke fikk mer enn 15 poeng, arbeid med feilene dine (løsninger kan fås fra læreren), hvis du fikk mer enn 15 poeng, fullfør en kreativ oppgave om emnet "Logaritmiske ulikheter."

Når vi studerte den logaritmiske funksjonen, vurderte vi hovedsakelig ulikheter i formen
logg en x< b и log а х ≥ b. Рассмотрим решение более сложных логарифмических неравенств. Обычным способом решения таких неравенств является переход от данного неравенства к более простому неравенству или системе неравенств, которая имеет то же самое множество решений.

Løs ulikhetsloggen (x + 1) ≤ 2 (1).

Løsning.

1) Høyre side av ulikheten under vurdering gir mening for alle verdier av x, og venstre side gir mening for x + 1 > 0, dvs. for x > -1.

2) Intervallet x > -1 kalles definisjonsdomenet for ulikhet (1). En logaritmisk funksjon med grunntallet 10 øker, derfor, forutsatt x + 1 > 0, er ulikhet (1) tilfredsstilt hvis x + 1 ≤ 100 (siden 2 = log 100). Altså ulikhet (1) og systemet med ulikheter

(x > -1, (2)
(x + 1 ≤ 100,

er ekvivalente, med andre ord er settet med løsninger på ulikhet (1) og systemet med ulikheter (2) det samme.

3) Løsningssystem (2), vi finner -1< х ≤ 99.

Svar. -1< х ≤ 99.

Løs ulikheten log 2 (x – 3) + log 2 (x – 2) ≤ 1 (3).

Løsning.

1) Definisjonsdomenet til den logaritmiske funksjonen som vurderes er settet med positive verdier av argumentet, derfor gir venstre side av ulikheten mening for x – 3 > 0 og x – 2 > 0.

Følgelig er definisjonsdomenet for denne ulikheten intervallet x > 3.

2) Ifølge egenskapene til logaritmen er ulikhet (3) for x > 3 ekvivalent med ulikheten log 2 (x – 3)(x – 2) ≤ log 2 (4).

3) Den logaritmiske funksjonen med base 2 øker. Derfor, for x > 3, er ulikhet (4) tilfredsstilt hvis (x – 3)(x – 2) ≤ 2.

4) Dermed er den opprinnelige ulikheten (3) ekvivalent med systemet med ulikheter

((x – 3)(x – 2) ≤ 2,
(x > 3.

Ved å løse den første ulikheten i dette systemet får vi x 2 – 5x + 4 ≤ 0, hvorav 1 ≤ x ≤ 4. Ved å kombinere dette segmentet med intervallet x > 3 får vi 3< х ≤ 4.

Svar. 3< х ≤ 4.

Løs ulikhetsloggen 1/2 (x 2 + 2x – 8) ≥ -4. (5)

Løsning.

1) Definisjonsdomenet for ulikheten er funnet fra betingelsen x 2 + 2x – 8 > 0.

2) Ulikhet (5) kan skrives som:

log 1/2 (x 2 + 2x – 8) ≥ log 1/2 16.

3) Siden den logaritmiske funksjonen med grunntallet ½ er avtagende, får vi for alle x fra hele definisjonsdomenet til ulikheten:

x 2 + 2x – 8 ≤ 16.

Dermed er den opprinnelige likheten (5) ekvivalent med systemet med ulikheter

(x 2 + 2x – 8 > 0, eller (x 2 + 2x – 8 > 0,
(x 2 + 2x – 8 ≤ 16, (x 2 + 2x – 24 ≤ 0.

Løser vi den første kvadratiske ulikheten, får vi x< -4, х >2. Ved å løse den andre kvadratiske ulikheten får vi -6 ≤ x ≤ 4. Følgelig er begge ulikhetene i systemet tilfredsstilt samtidig for -6 ≤ x< -4 и при 2 < х ≤ 4.

Svar. -6 ≤ x< -4; 2 < х ≤ 4.

nettside, ved kopiering av materiale helt eller delvis, kreves en lenke til kilden.